第19课 正方形《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列-2024-2025学年浙教版数学八年级下册

第19课 正方形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握正方形的概念. 2.了解正方形与矩形、菱形的关系. 3.掌握正方形的判定. 4.掌握正方形的性质定理，会运用正方形的性质定理解决些有关正方形的论证和计算等问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 正方形的性质 正方形：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。 性质：①边：四条边都相等； ②角：四角相等； ③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）． 知识点02 正方形的判定 正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形． ① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形 ② 有一组邻边相等 的矩形； ③ 对角线互相垂直 的矩形． ④ 有一个角是直角 的菱形 ⑤ 对角线相等 的菱形； ( 能力拓展 )考点01 正方形的性质 【典例1】如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF⊥DG于F． （1）求证：△AED≌△DFC； （2）求证：AE＝FC+EF． 【思路点拨】（1）根据正方形性质得AD＝DC，∠ADC＝90°，再根据AE⊥DG，CF⊥DG得∠AED＝∠DFC＝90°，证明∠DAE＝∠CDF，进而可依据“AAS”判定△AEE和△DFC全等； （2）根据△AEE和△DFC全等得AE＝DF，ED＝FC，然后再根据DF＝ED+EF＝FC+EF即可得出结论． 【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠CDF＝90°， ∵AE⊥DG，CF⊥DG， ∴∠AED＝∠DFC＝90°， ∴∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠DAE＝∠CDF， 在△AEE和△DFC中， ， ∴△AED≌△DFC（AAS）； （2）∵△AED≌△DFC， ∴AE＝DF，ED＝FC， ∵DF＝ED+EF＝FC+EF． ∴AE＝FC+EF． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质还解决问题的关键． 【即学即练1】在正方形ABCD中： （1）如图①，如果点E，F分别在BC，CD上，且AE⊥BF，垂足为M，猜想线段AE与BF的数量关系：　AE＝BF　 ．（直接写出结论） （2）如图②，如果点E，F，G分别在BC，CD，DA上，且GE⊥BF，垂足为M，那么GE与BF相等吗？证明你的结论． 【思路点拨】（1）根据正方形性质得AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，再根据AE⊥BF得∠AMB＝90°，进而得∠BAE＝∠CBF，由此可依据“ASA”判定△BAE和△CBF全等，然后根据全等三角形的性质即可得出线段AE与BF的数量关系； （2）过点A作AN⊥BF交BC于点N，同（1）可证明△BAN和△CBF全等，则AN＝BF，再证明四边形ANEG是平行四边形得GE＝AN，由此即可得出结论． 【解析】解：（1）线段AE与BF的数量关系是：AE＝BF，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠ABM+∠CBF＝90°， ∵AE⊥BF， ∴∠AMB＝90°， 在Rt△ABM中，∠BAE+∠ABM＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△BAE和△CBF中， ， ∴△BAE≌△CBF（ASA）， ∴AE＝BF； （2）GE与BF相等，证明如下： 过点A作AN⊥BF交BC于点N，如图所示： 同（1）可证明：△BAN≌△CBF（ASA）， ∴AN＝BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∵AN⊥BF，GE⊥BF， ∴AN∥GE， ∴四边形ANEG是平行四边形， ∴GE＝AN， ∴GE＝BF． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 考点02 正方形的判定 【典例2】已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【思路点拨】要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答． 【解析】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形， 故本选项符合题意； C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形， 故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 【即学即练2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，AD＝BC．过点D作DE⊥AB且DE＝BD，连接CE．求证：四边形BCED是正方形． 【思路点拨】由AD＝BD，且AD＝BC，得BD＝BC，由∠ABC＝90°，DE⊥AB且DE＝BD，推导出DE∥BC，且DE＝BC，则四边形BCED是平行四边形，即可由∠B＝90°，DE＝BD，证明四边形BCED是正方形． 【解析】证明：∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∵AD＝BC， ∴BD＝BC， ∵∠ABC＝90°，DE⊥AB且DE＝BD， ∴∠ADE＝∠ABC＝90°，DE＝BC， ∴DE∥BC，且DE＝BC， ∴四边形BCED是平行四边形， ∵∠B＝90°， ∴四边形BCED是矩形， ∵DE＝BD， ∴四边形BCED是正方形． 【点睛】此题重点考查正方形的判定，推导出DE∥BC，且DE＝BC是解题的关键． 考点03 特殊四边形综合题 【典例3】如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　45　 °（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求DF的长． 【思路点拨】（1）根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，根据角平分线的定义得到∠AFE＝∠DFE，∠AEF＝∠BEF，求得∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF），根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出AB＝AD，即可得出四边形ABCD是正方形； ②设DF＝x，根据已知条件得到BC＝6，由①得四边形ABCD是正方形，求得BC＝CD＝4，根据全等三角形的性质得到BE＝EG＝2，同理，GF＝DF＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解析】（1）解：∵∠C＝90°， ∴∠CFE+∠CEF＝90°， ∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°， ∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF， ∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF， ∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°， ∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°， 故答案为：45； （2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示： 则∠AGE＝∠AGF＝90°， ∵AB⊥CE，AD⊥CF， ∴∠B＝∠D＝90°＝∠C， ∴四边形ABCD是矩形， ∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A， ∴AB＝AG，AD＝AG， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形； ②解：设DF＝x， ∵BE＝EC＝3， ∴BC＝6， 由①得四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝6， 在Rt△ABE与Rt△AGE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）， ∴BE＝EG＝6， 同理，GF＝DF＝x， 在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2， 即32+（6﹣x）2＝（x+3）2， 解得：x＝2， ∴DF的长为2． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识是解题的关键． 【即学即练3】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF，交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题． 【思路点拨】（1）证明△ADG≌△CDF，可得AD＝CD，从而可得结论； （2）证明四边形DGHF是矩形，可得∠G＝90°＝∠DFC，同理可得：∠ADG＝∠CDF，证明△ADG≌△CDF，DG＝DF，AG＝CF，证明四边形DGHF是正方形，可得HG＝HF，从而可得结论． 【解析】解：（1）∵GD⊥DF，DF⊥CE，AG⊥DG， ∴∠G＝∠DFC＝90°，∠ADG+∠ADF＝90°， ∵矩形ABCD， ∴∠ADC＝90°＝∠ADF+∠CDF， ∴∠ADG＝∠CDF， ∵AG＝CF， ∴△ADG≌△CDF（ASA）， ∴AD＝CD， ∴矩形ABCD是正方形． （2）∵DF⊥CE，AH⊥CE，GD⊥DF， ∴∠DFH＝∠H＝∠GDF＝90°， ∴四边形DGHF是矩形， ∴∠G＝90°＝∠DFC， 同理可得：∠ADG＝∠CDF， ∵正方形ABCD， ∴AD＝CD， ∴△ADG≌△CDF（ASA）， ∴DG＝DF，AG＝CF， ∴四边形DGHF是正方形， ∴HG＝HF， ∴FH＝HG＝AH+AG＝AH+CF． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解本题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列结论中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．邻边相等 C．对角线相等 D．面积等于对角线乘积的一半 【思路点拨】根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论． 【解析】解：正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等； 菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分； 因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解决问题的关键． 2．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE＝AC，则∠E＝（　　） A．90° B．45° C．30° D．22.5° 【思路点拨】根据正方形的性质得∠ACB＝45°，再根据等腰三角形的性质得∠E＝∠CAE，再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可解决问题． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCA＝∠ACD＝45°， ∵CE＝CA， ∴∠CAE＝∠E， ∵∠BCA＝∠E+∠CAE， ∴∠E＝∠CAE＝22.5°， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角等于两个不相邻的内角的和，解题的关键是熟练掌握这些性质，属于基础题，中考常考题型． 3．下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【思路点拨】根据正方形、矩形、菱形的判定定理判断即可． 【解析】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，不符合题意； B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，不符合题意； C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，符合题意； D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、菱形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 4．如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则根据下列条件能判定它是正方形的是（　　） A．∠DAB＝90°且AD＝BC B．AB＝BC且AC＝BD C．∠DAB＝90°且AC⊥BD D．AC⊥BD且AO＝BO＝CO＝DO 【思路点拨】根据正方形的判定对角线相等且互相垂直平分是正方形对各个选项进行分析从而得到答案． 【解析】解：A，不能判定它是正方形； B，不能判定它是正方形； C，不能判定它是正方形； D，能，因为对角线相等且互相垂直平分； 故选：D． 【点睛】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 5．四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则能够判断它是一个正方形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO B．AO＝CO＝BO＝DO C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD 【思路点拨】根据正方形的判定对角线相等且互相垂直平分是正方形对各个选项进行分析从而得到答案． 【解析】解：A，不能，只能判定为平行四边形； B，不能，只能判定为矩形； C，不能，只能判定为菱形； D，能，因为对角线相等且互相垂直平分； 故选：D． 【点睛】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 6．如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，DE＝9，则EF的长为（　　） A．5 B．8 C．12 D．2 【思路点拨】由正方形的性质得AB＝DA，∠BAD＝90°，由DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，得∠AFB＝∠DEA＝90°，则∠BAF＝∠ADE＝90°﹣∠DAE，即可根据“AAS”证明△BAF≌△ADE，得BF＝AE＝4，AF＝DE＝9，则EF＝AF﹣AE＝5，于是得到问题的答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠BAD＝90°， ∵DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，BF＝4，DE＝9， ∴∠AFB＝∠DEA＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE＝90°﹣∠DAE， 在△BAF和△ADE中， ， ∴△BAF≌△ADE（AAS）， ∴BF＝AE＝4，AF＝DE＝9， ∴EF＝AF﹣AE＝9﹣4＝5， 故选：A． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△BAF≌△ADE是解题的关键． 7．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F在对角线BD上，四边形AECF是菱形，且∠DAE＝67.5°，则BE的长为（　　） A． B．2 C．4﹣4 D．6﹣4 【思路点拨】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE． 【解析】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°， ∵∠DAE＝67.5°， ∴在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠DAE＝∠AED， ∴AD＝DE＝4， ∵正方形的边长为4， ∴BD＝4， ∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的性质． 8．我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为10cm，∠D′＝30°，则四边形的面积减少了（　　） A．50cm2 B． C．100cm2 D． 【思路点拨】过点A′H⊥BC于H，由题意得四边形A′BCD′是菱形，根据含30度直角三角形的性质求出A′H，分别求出正方形ABCD的面积和菱形A′BCD′的面积，即可得的答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝10cm， ∴正方形ABCD的面积＝100cm2，AB＝BC＝CD＝AD＝10cm， 由题意知A′B＝BC＝CD′＝A′D′＝10cm， ∴四边形A′BCD′是菱形， ∴∠A′BC＝∠D′＝30°， 过点A′H⊥BC于H， ∴∠A′HB＝90°， ∴A′H＝A′B＝5cm， ∴菱形A′BCD′的面积＝BC•A′H＝10×5＝50（cm2）， ∵正方形ABCD的面积﹣菱形A′BCD′的面积＝50cm2， ∴四边形的面积减少了50cm2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，证得四边形A′BCD′是菱形是解决问题的关键． 9．如图，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，CE＝3，CF＝2，则AP的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 【思路点拨】延长FP交AD于点H，证明四边形PFCE是矩形得PF＝CE＝3，PE＝CF＝2，∠EPF＝90°，进而可证明四边形PEDH是正方形得PH＝DH＝PE＝DE＝2，继而得AH＝3，然后再根据勾股定理即可求出AP的长． 【解析】解：延长FP交AD于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠ADC＝90°，∠BDC＝45°， ∵PE⊥DC，PF⊥BC，CE＝3，CF＝2， ∵∠PFC＝∠PEC＝∠C＝90°， ∴四边形PFCE是矩形， ∴PF＝CE＝3，PE＝CF＝2，∠EPF＝90°， ∴∠PED＝∠EPH＝∠ADC＝90°， ∴四边形PEDH是矩形， ∴∠PHD＝∠PHA＝90°， ∵∠PED＝90°，∠BDC＝45°， ∴△PED是等腰在直角三角形， ∵PE＝DE＝2， ∴矩形PEDH是正方形， ∴PH＝DH＝PE＝DE＝2， ∴CD＝CE+DE＝5， ∴AD＝CD＝5， ∴AH＝AD﹣DH＝3， 在Rt△APH中，由勾股定理得：AP＝＝＝． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 10．正方形对角线长为8，则正方形的边长为 　　 ． 【思路点拨】根据正方形性质，边长相等，四个角都是直角，可以用勾股定理求出边长． 【解析】解：根据题意画出图形，四边形ABCD是正方形，对角线AC＝8， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝90°，AB＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， 根据勾股定理AB2+BC2＝AC2， ∴2AB2＝64， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形性质及勾股定理的应用，正确计算是解答本题的关键． 11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，可添加 　AB＝AD（答案不唯一）　 （写出一个条件即可）． 【思路点拨】根据正方形 的判定定理即可得到结论． 【解析】解：这个条件可以是AB＝AD（答案不唯一）， 理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 12．如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 　②　 ．（仅填序号） 【思路点拨】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可． 【解析】解：由四边形ABCD是菱形加上条件AB＝AD不能证明四边形ABCD成为正方形； 由四边形ABCD是菱形加上条件AC＝BD可证△ABD≌△DAC（SSS）得到∠ADC＝∠BAD＝90°，能证明四边形ABCD成为正方形； 由四边形ABCD是菱形加上条件∠ABC＝∠ADC不能证明四边形ABCD成为正方形； 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 13．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，Q是CD上任意一点，DP⊥AQ，交BC于点P． 求证：（1）DQ＝CP； （2）OP⊥OQ． 【思路点拨】（1）要证明DQ＝CP，证明△DCP≌△ADQ即可． （2）要证明OP⊥OQ，证明∠POQ＝90°即可，证明△OPC≌△OQD得到∠POC＝∠QOD即可． 【解析】证： （1）∵AD＝CD，∠DCP＝∠ADQ， ∠DQM+∠PDC＝90°，∠DQM+∠DAQ＝90°， ∴∠PDC＝∠QAD， 在△DCP和△ADQ中， ， ∴△DCP≌△ADQ， ∴DQ＝CP． （2）证： 在△OPC和△OQD中， ∵ ∴△OPC≌△OQD， ∴∠POC＝∠QOD， ∵∠QOD+∠QOC＝90° ∴∠POC+∠QOC＝∠POQ＝90°，即OQ⊥OP． 【点睛】本题考查了正方形对角线互相垂直平分，考查了正方形四条边均相等，且各内角均为直角，解本题的关键是找出正确的全等三角形并进行证明，找出正确的对应角、对应边解题． 14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）填空：①当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是 　菱　 形； ②当△ABC满足条件 　∠BAC＝90°，AB＝AC　 时，四边形AFBD是正方形． 【思路点拨】（1）由AF∥BC，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到AE＝DE，利用AAS得到△AFE与△CDE全等，利用全等三角形对应边相等得到AF＝CD，再由BD＝CD，等量代换得到AF＝BD，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）①由∠BAC＝90°，AD为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD＝BD由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证； ②添加条件为∠BAC＝90°，AB＝AC，由∠BAC＝90°，根据①得到四边形AFBD为菱形，再由AB＝AC，利用等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，根据有一个角是直角的菱形为正方形即可得证． 【解析】（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； （2）解：①当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形，理由为： ∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴ ∵四边形AFBD为平行四边形，AD＝BD； ∴四边形AFBD为菱形； 故答案为：菱形； ②当△ABC满足条件∠BAC＝90°，AB＝AC时，四边形AFBD是正方形，理由为： 由①知当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形， ∵AB＝AC，D为BC中点， ∴AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°， ∵四边形AFBD是菱形，∠ADB＝90° ∴四边形AFBD为正方形． 故答案为：∠BAC＝90°，AB＝AC． 【点睛】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形与直角三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 15．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点F，E分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF，连接BF，CF，BE，CE． （1）若BC＝EF，求证：四边形BECF是矩形； （2）已知AB＝5，BC＝6． ①当AC的长为多少时，四边形BECF是菱形？并加以证明； ②请直接写出当AF的长为多少时，四边形BECF是正方形． 【思路点拨】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形可得结论； （2）①根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论； ②由正方形的性质可得BD＝CD＝DE＝DF＝3，由勾股定理得AD＝4，即可解答． 【解析】（1）证明：∵D是边BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE＝DF， ∴四边形BECF是平行四边形， ∵BC＝EF， ∴四边形BECF是矩形； （2）解：①当AC＝5时，四边形BECF是菱形，证明如下： ∵AB＝AC＝5，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴EF⊥BC， 由（1）知：四边形BECF是平行四边形， ∴四边形BECF是菱形； ②若四边形BECF是正方形时，BC＝EF＝6，BC⊥EF， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD＝DE＝DF＝3， ∴AD＝＝＝4， ∴AF＝AD﹣DF＝4﹣3＝1． 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，矩形的判定，正方形的性质，勾股定理等知识，掌握菱形和矩形的判定是解本题的关键． 题组B 能力提升练 16．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF⊥AD；④四边形ACDF的面积是8.5．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据正方形的性质可得∠EOD＝45°，∠AOC＝90°，再由平角的定义即可得到∠COD的度数，据此可判断①；利用正方形的性质和勾股定理求出OE，OA的长即可判断②；证明△DOA≌△FOC（SAS），得到∠OAD＝∠OCF，然后导角即可证明③；利用勾股定理求出AD2，由全等三角形的性质得到AD＝CF，根据即可判断④． 【解析】解：∵正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上， ∴∠EOD＝45°，∠AOC＝90°， ∴∠COD＝180°﹣∠EOD﹣∠AOC＝45°，故①正确； 在Rt△EOF中，OF＝EF＝，则OE＝， 由正方形的性质可得OA＝AB＝3， ∴AE＝OA+OE＝5，故②正确； 设AD，CF交于H，CF，AE交于G，由正方形的性质可得OF＝OD，OC＝OA，∠DOF＝∠COA＝90°， ∴∠DOF+∠DOC＝∠COA+∠DOC， ∴△DOA≌△FOC（SAS）， ∴∠OAD＝∠OCF， ∵∠OCF+∠OGC＝90°， ∴∠OAD+∠OGC＝90°， ∴∠AHG＝90°，即AD⊥CF，故③正确； 设DF，AE交于T， 由正方形的性质可得， ∴AT＝4， ∴AD2＝DT2+AT2＝17， ∵△DOA≌△FOC， ∴AD＝CF， ∵AD⊥CF， ∴，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键． 17．如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH，连接BE并延长交线段AD于点M，若∠AMB＝2∠BAF，给出下面四个结论： ①M是AD的中点；②BF平分∠EBC；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【思路点拨】根据全等三角形的性质可知∠BAF＝∠ADE，则∠AMB＝2∠ADE，再由外角定理可得∠ADE＝∠MED，根据∠AED＝90°可得∠MAE+∠ADE＝∠MEA+∠MED＝90°，故∠MAE＝∠MEA，由等角对等边可得ME＝MA，ME＝MD，故M是AD的中点，①正确；由正方形对边平行可得AD∥BC，故∠MBC＝∠AMB＝2∠ADE＝2∠CBG，又∠MBC＝∠CBG+∠EBF，故∠CBG＝∠EBF，即BF平分∠EBC，②正确；由①可知BM＝AM，而AM与AE不一定相等，CG＝AE，故③不正确． 【解析】解：（1）∵正方形ABCD是由四个全等的直角三角形拼成的， ∴∠BAF＝∠ADE＝∠CBG，AB＝AD， ∵∠AMB＝2∠BAF， ∴∠AMB＝2∠ADE， ∵∠AMB＝∠ADE+∠MED， ∴∠ADE＝∠MED， ∴ME＝MD， ∵∠MAE+∠ADE＝90°，∠MEA+∠MED＝90°， ∴∠MAE＝∠MEA， ∴ME＝MA， ∴MA＝MD， ∴M是AD的中点，故结论①正确； ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠AMB＝2∠ADE＝2∠CBG， ∵∠EBC＝∠CBG+∠EBF， ∴∠CBG＝∠EBF， 即BF平分∠EBC，结论②正确； 设MA＝x，则AB＝AD＝2x， 在Rt△ABM中，BM＝， ∴BM＝MA， 而所给条件并不能得出MA＝CG，故结论③不正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的全等，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝　　 ． 【思路点拨】连接AG，EG，垂直平分线和正方形的性质，可得AG＝EG，∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝2，设CG＝x，则BG＝2﹣x，根据勾股定理表示出EG2＝x2+1，AG2＝4+（2﹣x）2，根据AG＝EG解出x的值即可． 【解析】解：如图，连接AG，EG， ∵HG垂直平分AE， ∴AG＝EG， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝2， ∵E是CD的中点， ∴CE＝1， 设CG＝x，则BG＝2﹣x， 由勾股定理，得 EG2＝CG2+EC2＝x2+1，AG2＝AB2+BG2＝4+（2﹣x）2， ∴x2+1＝4+（2﹣x）2， 解得：x＝， ∴CG＝， ∴BG＝2﹣＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，正确作出辅助线，是解答本题的关键． 19．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论： （1）△DOF≌△COE；（2）CF＝BE；（3）四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的； （4）OF2+OE2＝EF2．其中正确的是 　①②③④　 ． 【思路点拨】利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质逐一分析即可得出正确答案． 【解析】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠COE+∠EOF＝∠COF+∠DOF＝90°， ∴∠COE＝∠DOF， 在△COE和△DOF中， ， ∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确； ②∵△COE≌△DOF， ∴CE＝DF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD， ∴BE＝CF，故②正确； ③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等， ∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ，故③正确； ④在Rt△ECF中，∠EOF＝90°，根据勾股定理，得：OE2+OF2＝EF2，故④正确； 综上所述，正确的是①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明出△COE≌△DOF． 20．如图，△ABC中，点P是AC的中点，过点P作直线MN∥BD，∠ACB，∠ACD的平分线分别交MN于点E，F，连接AE，AF． （1）请判断四边形AECF的形状，并说明理由． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由． 【思路点拨】（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，可知∠ACE＝∠BCE＝∠PEC，可得PE＝PC，同理：PF＝PC，可得PE＝PF，且AP＝PC，可证四边形AECF是平行四边形，由对角线相等的平行四边形是矩形可证四边形AECF是矩形； （2）△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形，判断出AC⊥EF，即可得证． 【解析】解：（1）四边形AECF是矩形，理由如下： ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE． ∵MN∥BC， ∴∠PEC＝∠BCE． ∴∠ACE＝∠PEC， ∴PE＝PC． 同理：PF＝PC． ∴PE＝PF， ∵点P是AC的中点， ∴AP＝PC，且PE＝PF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AP＝PC＝PE＝PF， ∴EF＝AC， ∴▱AECF是矩形； （2）△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下： ∵MN∥BC， ∴∠APM＝∠ACB＝90°， ∴AC⊥EF， ∵四边形AECF是矩形，且对角线互相垂直， ∴四边形AECF是正方形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，证明四边形AECF是平行四边形是本题的关键． 21．如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【思路点拨】（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，根据正方形的性质可得EN＝EM，进而说明∠DEN＝∠FEM，再证明△DEN≌△FEM可得DE＝EF，再结合四边形DEFG是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，然后根据线段的和差即可解答． 【解析】（1）证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，则∠MEN＝90°， 由条件可知EM＝EN， ∵∠ENC＝∠MCN＝∠EMC＝90°， ∴四边形ENCM为矩形， ∴∠MEN＝90°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN+∠FEN＝∠MEF+∠FEN＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形． （2）解：CE+CG的值是定值，定值为，理由如下： 由条件可知DE＝DG，AD＝DC， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定、线段的和差，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 题组C 培优拔尖练 22．将两张矩形纸片AEQH，NFCG和另三张正方形纸片EBFM，MNPQ，HPGD按如图所示方式不重叠地放置在矩形ABCD内．则下列条件中，不能求出四边形EFGH的面积的是（　　） A．正方形EBFM与正方形HPGD周长的和 B．矩形ABCD与正方形MNPQ周长的差 C．矩形AEQH与矩形NFCG周长的和 D．矩形ABCD的周长 【思路点拨】根据题意设DG＝x，MQ＝y，BE＝z，则AE＝x﹣y，先根据面积差可计算四边形EFGH的面积，再分别根据矩形和正方形的周长，分别判断即可． 【解析】解：设DG＝x，MQ＝y，BE＝z，则AE＝x﹣y， 四边形EFGH的面积＝S矩形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DHG ＝（x+y+z）（x﹣y+z）﹣•（x﹣y）（y+z）﹣z2﹣（z﹣y）（x+y）﹣x2 ＝（x2+2xz+z2） ＝（x+z）2， A、若知正方形EBFM与正方形HPGD周长的和，则可知：4z+4x，得x+z的值，所以可以求出四边形EFGH的面积，不符合题意； B、若知矩形ABCD与正方形MNPQ周长的差，则可知：2（x+y+z+x﹣y+z）﹣4y＝4x+4z﹣4y，所以不能求出四边形EFGH的面积，符合题意； C、若知矩形AEQH与矩形NFCG周长的和，则可知：2（x﹣y+y+z）+2（z﹣y+x+y）＝4x+4z，所以可以求出四边形EFGH的面积，不符合题意； D、若知矩形ABCD的周长，则可知：2（x﹣y+z+x+y+z）＝4x+4z，所以可以求出四边形EFGH的面积，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查整式混合运算的应用，矩形的性质，四边形的面积，周长和正方形的性质，解题的关键是能用字母表示各矩形的边长并计算面积． 23．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则四边形ABDF的面积是（　　） A． B． C．（a+b）2 D．（a﹣b）2 【思路点拨】根据四个全等的直角三角形拼成的图形，可知AB＝BD＝DE＝AF，AH＝CD＝EF＝FG，AG＝BH＝BC＝DE，设CD＝m，DE＝n，可用含a，b的式子表示BC，CD，再根据勾股定理即可求解． 【解析】解：根据题意，AB＝BD＝DE＝AF，AH＝CD＝EF＝FG，AG＝BH＝BC＝DE， ∵CE＝a，HG＝b， ∴设CD＝m，DE＝n， ∴， ∴， 在Rt△BCD中，CD＝，BC＝， ∴BD2＝BC2+CD2＝＝＝， ∴四边形ABDF的面积是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查正方形的性质和判定，勾股定理，掌握图形特点，勾股定理是解题的关键． 24．如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况： ①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG＝EF； ③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为． 正确的有　①②③④　 ． 【思路点拨】先证明四边形GFCE是矩形，再证明GE＝GF，则四边形CEGF是正方形，即可判定①正确；连接GC，由四边形GFCE是矩形，得EF＝GC，再证明△ADG≌△CDG（SAS），得AG＝GC，则 AG＝EF，即可判定②正确；证明GE＝ED，GF＝CE，从而得GE+GF＝ED+CE＝CD＝4，即可判定③正确；根据EF＝GC，所以当CG最小时，EF最小，所以当CG⊥BD时，CG最小，利用求得，即得线段EF的最小值为，即可判定④正确． 【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，AD＝DC，∠CBG＝∠CDG＝∠ADG＝45°， ∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC＝∠GED＝∠GFC＝∠GFB＝90°， ∴四边形GFCE是矩形，∠EGD＝∠EDG＝45°，∠FGB＝∠CBG＝45°， ∴，， ∵G为BD的中点， ∴DG＝BG， ∴GE＝GF， ∴四边形GFCE是正方形， 故①正确； 连接GC， ∵四边形GFCE是矩形， ∴EF＝GC， 在△ADG与△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴AG＝GC， ∴AG＝EF， 故②正确； ∵∠EGD＝∠EDG＝45°， ∴GE＝ED， ∵四边形GFCE是矩形， ∴GF＝CE， ∴GE+GF＝ED+CE＝CD＝4， 即GE+GF的值为定值4，故③正确； ∵EF＝GC， ∴当CG最小时，EF最小， ∴当CG⊥BD时，CG最小， 在Rt△BCD中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段EF的最小值为， 故④正确； ∴正确的有①②③④ 故答案为：①②③④． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 25．如图1，已知正方形ABC的对角线AC和BD交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥EE，垂足为点M，AM交BD于点F． （1）求证：AE＝OB+OF． （2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，则线段AE，OB，OF数量关系为 　AE＝OB+OF　 ． 【思路点拨】（1）由正方形的性质得∠AOF＝∠BOE＝90°，OA＝OB，由AM⊥BE于点M，得∠AME＝90°，则∠OAF＝∠OBE＝90°﹣∠AEB，可根据“ASA”证明△AOF≌△BOE，得OF＝OE，则AE＝OA+OE＝OB+OF； （2）由正方形的性质得∠AOF＝∠BOE＝90°，OA＝OB，由AM⊥BE于点M，得∠AME＝90°，则∠F＝∠E＝90°﹣∠EAF，可根据“AAS”证明△AOF≌△BOE，得OF＝OE，则AE＝OA+OE＝OB+OF，于是得到问题的答案． 【解析】（1）证明：如图①，∵四边形ABCD是正方形，对角线AC和BD交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，且AC＝BD， ∴∠AOF＝∠BOE＝90°，OA＝OB， ∵AM⊥BE于点M， ∴∠AME＝90°， ∴∠OAF＝∠OBE＝90°﹣∠AEB， 在△AOF和△BOE中， ， ∴△AOF≌△BOE（ASA）， ∴OF＝OE， ∵AE＝OA+OE，且OA+OE＝OB+OF， ∴AE＝OB+OF． （2）解：如图②，∵四边形ABCD是正方形，对角线AC和BD交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，且AC＝BD， ∴∠AOF＝∠BOE＝90°，OA＝OB， ∵AM⊥BE于点M， ∴∠AME＝90°， ∴∠F＝∠E＝90°﹣∠EAF， 在△AOF和△BOE中， ， ∴△AOF≌△BOE（AAS）， ∴OF＝OE， ∵AE＝OA+OE，且OA+OE＝OB+OF， ∴AE＝OB+OF， 故答案为：AE＝OB+OF． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AOF≌△BOE是解题的关键． 26．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 【思路点拨】（1）根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE（SAS），即可解决问题； （2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，得到EN＝EM，然后证得∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF，根据正方形的判定即可证得矩形DEFG是正方形； ②证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，证明CE⊥CG，连接EG，根据勾股定理即可解决问题． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG＝＝＝3， ∴DE＝EG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得△DEN≌△FEM． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19课 正方形 ( 目标导航 ) 学习目标 1.掌握正方形的概念. 2.了解正方形与矩形、菱形的关系. 3.掌握正方形的判定. 4.掌握正方形的性质定理，会运用正方形的性质定理解决些有关正方形的论证和计算等问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 正方形的性质 正方形：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。 性质：①边：四条边都相等； ②角：四角相等； ③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450； ④对称性：轴对称图形（4条）． 知识点02 正方形的判定 正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形． ① 有一组邻边相等 且有一个直角 的平行四边形 ② 有一组邻边相等 的矩形； ③ 对角线互相垂直 的矩形． ④ 有一个角是直角 的菱形 ⑤ 对角线相等 的菱形； ( 能力拓展 )考点01 正方形的性质 【典例1】如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF⊥DG于F． （1）求证：△AED≌△DFC； （2）求证：AE＝FC+EF． 【即学即练1】在正方形ABCD中： （1）如图①，如果点E，F分别在BC，CD上，且AE⊥BF，垂足为M，猜想线段AE与BF的数量关系：　 ．（直接写出结论） （2）如图②，如果点E，F，G分别在BC，CD，DA上，且GE⊥BF，垂足为M，那么GE与BF相等吗？证明你的结论． 考点02 正方形的判定 【典例2】已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【即学即练2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，AD＝BC．过点D作DE⊥AB且DE＝BD，连接CE．求证：四边形BCED是正方形． 考点03 特殊四边形综合题 【典例3】如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　 　 °（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求DF的长． 【即学即练3】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由； （2）小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF，交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列结论中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对边平行且相等 B．邻边相等 C．对角线相等 D．面积等于对角线乘积的一半 2．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE＝AC，则∠E＝（　　） A．90° B．45° C．30° D．22.5° 3．下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 4．如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则根据下列条件能判定它是正方形的是（　　） A．∠DAB＝90°且AD＝BC B．AB＝BC且AC＝BD C．∠DAB＝90°且AC⊥BD D．AC⊥BD且AO＝BO＝CO＝DO 5．四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则能够判断它是一个正方形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO B．AO＝CO＝BO＝DO C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD 6．如图，在正方形ABCD中，点G在BC边上，连接AG，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，若BF＝4，DE＝9，则EF的长为（　　） A．5 B．8 C．12 D．2 7．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F在对角线BD上，四边形AECF是菱形，且∠DAE＝67.5°，则BE的长为（　　） A． B．2 C．4﹣4 D．6﹣4 8．我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为10cm，∠D′＝30°，则四边形的面积减少了（　　） A．50cm2 B． C．100cm2 D． 9．如图，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别是E，F，CE＝3，CF＝2，则AP的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 10．正方形对角线长为8，则正方形的边长为 　 　 ． 11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，可添加 　 　 （写出一个条件即可）． 12．如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 　 　 ．（仅填序号） 13．在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，Q是CD上任意一点，DP⊥AQ，交BC于点P． 求证：（1）DQ＝CP； （2）OP⊥OQ． 14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）填空：①当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是 　 　 形； ②当△ABC满足条件 　 　 时，四边形AFBD是正方形． 15．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点F，E分别在线段AD及其延长线上，DE＝DF，连接BF，CF，BE，CE． （1）若BC＝EF，求证：四边形BECF是矩形； （2）已知AB＝5，BC＝6． ①当AC的长为多少时，四边形BECF是菱形？并加以证明； ②请直接写出当AF的长为多少时，四边形BECF是正方形． 题组B 能力提升练 16．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF⊥AD；④四边形ACDF的面积是8.5．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．如图，由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH，连接BE并延长交线段AD于点M，若∠AMB＝2∠BAF，给出下面四个结论： ①M是AD的中点；②BF平分∠EBC；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 18．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝　　 ． 19．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论： （1）△DOF≌△COE；（2）CF＝BE；（3）四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的； （4）OF2+OE2＝EF2．其中正确的是 　 　 ． 20．如图，△ABC中，点P是AC的中点，过点P作直线MN∥BD，∠ACB，∠ACD的平分线分别交MN于点E，F，连接AE，AF． （1）请判断四边形AECF的形状，并说明理由． （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由． 21．如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 题组C 培优拔尖练 22．将两张矩形纸片AEQH，NFCG和另三张正方形纸片EBFM，MNPQ，HPGD按如图所示方式不重叠地放置在矩形ABCD内．则下列条件中，不能求出四边形EFGH的面积的是（　　） A．正方形EBFM与正方形HPGD周长的和 B．矩形ABCD与正方形MNPQ周长的差 C．矩形AEQH与矩形NFCG周长的和 D．矩形ABCD的周长 23．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则四边形ABDF的面积是（　　） A． B． C．（a+b）2 D．（a﹣b）2 24．如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况： ①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG＝EF； ③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为． 正确的有　 　 ． 25．如图1，已知正方形ABC的对角线AC和BD交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥EE，垂足为点M，AM交BD于点F． （1）求证：AE＝OB+OF． （2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，则线段AE，OB，OF数量关系为 　AE＝OB+OF　 ． 26．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $$