32方法专题九 手拉手模型-【智乐星中考·中考备战】2025年山东省济宁市中考数学精练本

1 2 1. 如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=3，AC=4，点D在线段BC上运动，点P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是_______.   2 1 3 5 题序 2 4 6 3 2. 问题背景：如图1，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE; 尝试应用：如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，=，求 的值. 1 3 5 题序 2 4 6 4 问题背景 证明：∵△ABC∽△ADE， ∴=，∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE，=，∴△ABD∽△ACE. 尝试应用 解：如图，连接EC. ∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°， ∴△ABC∽△ADE. 1 3 5 题序 2 4 6 5 由(1)知△ABD∽△ACE， =， ∴==，∠ACE=∠ABD=∠ADE. 在Rt△ADE中，∠ADE=30°， ∴=，∴=·=×=3. ∵∠ADF=∠ECF，∠AFD=∠EFC， ∴△ADF∽△ECF，∴==3. 1 3 5 题序 2 4 6 6 3. 如图，已知矩形ABCD和矩形AEFG共用顶点A，点E在线段BD上， 连接EG，DG，且 =. (1)求证：∠ABE=∠ADG; (2)若AB=，AD=，BE=BD，求EG的长. 1 3 5 题序 2 4 6 7 (1)证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均为矩形， ∴∠BAD=∠EAG=90°， 即∠BAE+∠DAE=∠DAG+∠DAE=90°， ∴∠BAE=∠DAG. 又∵=，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE=∠ADG. (2)解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ABE+∠CBD=90°， ∴∠ADB=∠CBD. 1 3 5 题序 2 4 6 8 ∵∠ABE=∠ADG， ∴∠ADG+∠ADB=∠ABE+∠CBD=90°，即∠EDG=90°. 在Rt△ABD中，AB=，AD=， ∴BD===3， ∴BE=BD=，DE=2， 由(1)知△ABE∽△ADG， ∴=，∠ABE=∠ADG，∴=，∴DG=. 在Rt△DEG中，EG===3. 1 3 5 题序 2 4 6 9 4. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=nBC，P为AB上的一点(不与端点重合)，过点P作PM⊥AB交AC于点M，得到△APM. (1)【问题发现】如图1，当n=1时，点P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为________;  (2)【类比探究】如图2，当n=2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由. 1 3 5 题序 2 4 6 10 解：(1)CM=BP (2)CM=BP的数量关系不变. 理由如下： 当n=2时，AB=2BC， 由勾股定理可得AC===AB，∴=. 由旋转得∠CAB=∠MAP， 即∠BAP+∠CAP=∠CAM+∠CAP， ∴∠BAP=∠CAM，∴△ABP∽△ACM， ∴==，∴CM=BP. 1 3 5 题序 2 4 6 11 5. (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE. 请判断BD与CE的数量关系：________;  (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°. 连接BD，CE. 请写出BD与CE的数量关系：________;  1 3 5 题序 2 4 6 12 (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且 ==. 连接BD，CE. ①求 的值; ②延长CE交BD于点F， 交AB于点G. 求sin∠BFC的值. 1 3 5 题序 2 4 6 13 解：(1)BD=CE (2)BD=CE (3)①∵==，∠ABC=∠ADE=90°， ∴△ABC∽△ADE，∴∠DAE=∠BAC，即∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC， ∴∠DAB=∠EAC. 设AB=3x，BC=4x. 在Rt△ABC中，AC===5x. 1 3 5 题序 2 4 6 14 同理，在Rt△ADE中，设AD=3a，DE=4a，则AE=5a， ∴∠DAB=∠EAC，====， 即==， ∴△DAB∽△EAC，∴==. ②由①得△DAB∽△EAC，∴∠ABD=∠ACE. ∵∠BGF=∠AGC，∴△BGF∽△CGA，∴∠BFG=∠GAC， ∴sin∠BFC=sin∠BAC. 在Rt△ABC中，∴sin∠BAC===，∴sin∠BFC=. 1 3 5 题序 2 4 6 15 6. (1)观察猜想 如图1，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，∠BAD=∠CAE=90°，连接BE，CD，则BE与CD的数量关系为________，位置关系为________;  (2)类比探究 如图2，在△ABC中，分别以AB，AC为边作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE. ∠BAD=∠CAE=90°，点D，E，C在同一直线上，AM为△ACE中CE边上的高，猜想DC，BC，AM之间的数量关系并说明理由. 1 3 5 题序 2 4 6 16 1 3 5 题序 2 4 6 17 解：(1)BE=CD　BE⊥CD (2)DC=BC+2AM. 理由如下： ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AC=AE. ∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAD-∠EAB=∠CAE-∠EAB，即∠DAE=∠BAC. 在△ADE和△ABC中， 1 3 5 题序 2 4 6 18 ∴△ADE≌△ABC(SAS)，∴DE=BC. ∵AC=AE，AM⊥CE，∴EC=2EM. ∵△ACE为等腰直角三角形，AM⊥CE， ∴∠AEM=∠EAM=45°， ∴EM=AM，∴EC=2AM，∴DC=DE+EC=BC+2AM. 1 3 5 题序 2 4 6 19 $$