31方法专题八 半角模型-【智乐星中考·中考备战】2025年山东省济宁市中考数学精练本

1 2 1. 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN. 若∠MAN=45°，BM=2，则线段NC的长为(　　) A. 2 B. 3 C. D. 1 3 5 7 题序 2 4 6 3 2. 如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E为BC边上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF. 下列4个结论：①△ADC≌△AFB;②△ABE≌△ACD;③△AED≌△AEF;④BE+EF=BC-BF. 正确的结论的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1 3 5 7 题序 2 4 6 4 3. 如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°. 若BM=1，CN=3，则MN的长为 ________.   1 3 5 7 题序 2 4 6 5 4. 如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC=∠BDC=90°，BC=4，AB=AC，∠CBD=30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN=45°，则△DMN的周长为________.   2+2 1 3 5 7 题序 2 4 6 6 5. (2024·德阳)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G. (1)证明：△BEF∽△BCO; (2)证明：△BEG≌△AEG. 1 3 5 7 题序 2 4 6 7 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AC⊥BD. 又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC. ∵点F为BC的中点，∴AF⊥BC， ∴∠BOC=∠BFE=90°. 又∵∠EBF=∠CBO，∴△BEF∽△BCO. 1 3 5 7 题序 2 4 6 8 (2)∵BO⊥AC，AF⊥BC，∴CG⊥AB， ∴∠BGE=∠AGE. 又∵AC=BC，∴BG=AG. 在△BEG和△AEG中， ∴△BEG≌△AEG(SAS). 1 3 5 7 题序 2 4 6 9 6. 已知，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D，E在边BC上，且∠DAE=α. (1)如图1，当α=60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连接DF. ①∠DAF=________;②求证：DF=DE;  (2)如图2，当α=90°时，猜想BD，DE，CE的数量关系，并说明理由. 1 3 5 7 题序 2 4 6 10 (1)①解：30° ②证明：由①知AF=AE，∠DAF=∠DAE=30°. ∵AD=AD，∴△DAF≌△DAE(SAS)，∴DF=DE. (2)解：DE2=BD2+CE2. 理由如下：如图，将△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB的位置，连接DF. ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠C=∠ABF=45°. 由旋转的性质得△BAF≌△CAE， 1 3 5 7 题序 2 4 6 11 ∴BF=CE，∠ABF=∠ACE=45°， ∴∠DBF=90°，根据勾股定理得DF2=BD2+BF2， ∴DF2=BD2+CE2. 由(1)得DF=DE，∴DE2=BD2+CE2. 1 3 5 7 题序 2 4 6 12 7. 【问题发现与证明】 如图1，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，“截长补短”是常用的方法之一. 在图2中，连接EF，为了证明结论“EF=BE+DF”，小亮延长CB到点G，使BG=DF解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程; 1 3 5 7 题序 2 4 6 13 【问题拓展与应用】 如图3，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在BC，CD上. 若AE=3，∠EAF=45°，求AF的长. 1 3 5 7 题序 2 4 6 14 【问题发现与证明】证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=AB，∠BAD=∠D=90°， ∴∠ADF=∠ABG=90°. 在△ADF和△ABG中， ∴△ADF≌△ABG(SAS)，∴AF=AG，∠DAF=∠BAG. ∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠BAG+∠BAE=45°，即∠EAG=45°，∴∠EAF=∠EAG. 1 3 5 7 题序 2 4 6 15 在△EAF和△EAG中， ∴△EAF≌△EAG(SAS)，∴EF=GE， ∵GE=BG+BE，BG=DF，∴GE=DF+BE， ∴EF=BE+DF. 1 3 5 7 题序 2 4 6 16 【问题拓展与应用】解：∵正方形ABCD的边长为6， ∴AB=BC=CD=AD=6，∠B=∠C=∠D=90°. 在Rt△ABE中，AB=6，AE=3， ∴BE===3， ∴CE=BC-BE=6-3=3. 由【问题发现与证明】可知EF=BE+DF， 设DF=x，则CF=CD-DF=6-x，EF=BE+DF=3+x. 在Rt△FEC中，CE2+CF2=EF2， ∴32+(6-x)2=(3+x)2，解得x=2，∴DF=2. 在Rt△ADF中，AF===2. 1 3 5 7 题序 2 4 6 17 $$