50方法专题十四 费马点与主从联动最值问题-【智乐星中考·中考备战】2025年山东省济宁市中考数学精讲本

1 2 模型1费马点构造四点共线 【学会模型】 模型 问题 作法 结论 在任意△ABC内确定一点P，使得PA+PB+PC的值最小 将△PBC绕点B顺时针旋转60°，得到等边三角形PBP'，则PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'，当PA，PP'和P'C'在一条直线上时，PA+PB+PC的值最小 将以P为顶点的三角形旋转60°，得到等边三角形，则三条共顶点(点P)线段转化为首尾相连的折线段.两点之间线段最短 3 例1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2.若P是△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为________.  【作图启发】 将________绕________旋转________度，将PA+PB+PC的最小值转化为________的长，利用勾股定理求解.  4 【运用模型】 练1 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，P是三角形内部 一点，则PA+PB+PC的最小值为________.  5 练2 如图，已知在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°.△ABC内一动点E到 A，B，C三点的距离之和的最小值为2，则AC的长为________.  -　 6 模型2主从联动问题 考法❶　动点轨迹是线段或直线 【学会模型】 图示 分析 结论 定点A，动点P和Q，∠PAQ=α，为定值k，点P在直线BC上运动 以A，Q，P三点共线为例证明. 证明：如图2，连接AP，AP'，过点Q作BC的平行线，分别交AP，AP'于点Q，Q'， 根据平行线分线段成比例可得=. ∵∠QAQ'=∠PAP'， ∴△AQQ'∽△APP'，∴=. ∵点P的轨迹为PP'，点Q的轨迹为QQ'， ∴P，Q两点轨迹所在直线的夹角等于0°(结论①); ∴P，Q两点轨迹长度之比等于AP∶AQ(结论②). 注：当三点不共线时，要考虑△APP'∽△AQQ'，则有 = 当点P的轨迹在直线上时，点Q的轨迹在直线上. ①P，Q两点轨迹所在直线的夹角等于α或180°-α; ②P，Q两点轨迹长度之比等于AP∶AQ 7 例2 (2024·泰安)如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点， AE=4，BE=8，F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为 30°角的直角三角形，连接AG.当点F在直线BC上运动时，线段AG的最 小值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.4-2 C.2 D.4 C 【解题启发】 点F的运动轨迹是什么？点G的运动轨迹与点F有什么关系？ 8 【运用模型】 练3 (2022·安徽一模)如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且 BE=2，点F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边三角 形EFG，连接CG，则CG的最小值为(　　) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 D 9 练4 如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，=，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为________.  10 考法❷　动点轨迹是圆或弧 【学会模型】 图示 分析 结论 定点A，动点P和Q，∠PAQ=α，为定值k，点P在☉O上运动 以A，Q，P三点共线为例证明 证明：如图2，可作连接AO，过点Q作OP的平行线，交AO于点M. 根据平行线分线段成比例可得=. ∵∠QAM=∠PAO，∴△AMQ∽△AOP， ∴==. ∵P，Q两点轨迹所在圆的圆心与点A连线的夹角等于0°(结论(1)); ∴主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆半径之比，即AQ∶AP=AM∶AO=QM∶PO(结论(2)). 注：若三点不共线，则考虑△AQM∽△APO，则有 == 当点P的轨迹在圆上时，点Q的轨迹在圆上. (1)两圆心与定点连线的夹角等于主、从动点与定点连线的夹角，即∠QAM=∠PAO; (2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆半径之比，即AQ∶AP=AM∶AO=QM∶PO 11 例3 如图，☉O 的直径AB=4，点P为☉O上的动点，连接AP，点Q为AP 的中点.若点P在☉O上运动一周，则点 Q 经过的路径长是　　　.  【解题启发】 点Q的运动轨迹是什么？ 2π 12 【运用模型】 练5 如图，AB=4，点O为AB的中点，☉O的半径为1，点P是☉O上一动 点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC(点P，B，C按逆时针方向排列)， 则线段AC的长的取值范围为________________.  ≤AC≤3 13 练6 如图，AB是☉O直径，点C在☉O上，CD⊥AB，垂足为D，点E是 ☉O上的动点(不与点C重合)，点F为CE的中点.若AD=2，CD=6，则DF 的最大值为________.  10　 14 $$