15第三章 第四节 二次函数的图象与性质-【智乐星中考·中考备战】2025年山东省济宁市中考数学精讲本

1 第四节　二次函数的图象与性质 第一、二章 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 难点分层探究 3 知识点1 二次函数的概念及解析式 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0). (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k). (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴的交点的横坐标，a≠0. 4 3.待定系数法求解析式 (1)根据所给点(坐标)的特征选设适当的解析式; (2)代入点的坐标：将已知点的坐标代入相应的解析式中，得到关于待定系数的方程(组); (3)求解：解方程(组)求出待定系数的值，从而得出函数的解析式. 5 知识点2 二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 解析式 y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) 对称轴 (1)直接运用公式x=________求解;  (2)配方法，将一般式化为顶点式y=a(x-h)2+k，则对称轴为直线________;  (3)对称轴x=(其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标) - x=h 6 顶点 (1)直接利用顶点坐标公式x=________，y=________求解;  (2)运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标为________;  (3)将对称轴x=x0代人函数解析式求得对应的y0 a的符号 a________0  a________0  - (h，k)　 > < 7 图象 开口方向 开口向上 开口向下 8 最值 当x=-时，y最小= 当x=-时，y最大= 最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点 增减性 当x<-时(对称轴左侧)， y随x的增大而 ;  当x>-时(对称轴右侧)， y随x的增大而   当x<-时(对称轴左侧)， y随x的增大而 ;  当x>-时(对称轴右侧)， y随x的增大而   减小　 增大　 增大　 减小 9 2.根据二次函数解析式判断函数图象 字母 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向　　　  a<0 开口向　　　  b b=0 对称轴为　　　轴  ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴　　　侧  ab<0(a与b异号) 对称轴在y轴　　　侧  上 下 y 左 右 10 字母 字母的符号 图象的特征 c c=0 经过原点 c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点) b2-4ac>0 与x轴有　　　个 交点 b2-4ac<0 与x轴没有交点 两 11 3.根据二次函数图象判断a，b，c与0的关系 图象(草图) 结论 a>0，b　　　0，c　　　0， b2-4ac________0  a________0，b________0， c________0，  b2-4ac________0  = = = > > = > 12 图象(草图) 结论 a<0，b　　　0，c　　　0， b2-4ac________0  a________0，b________0， c　　　0，b2-4ac　　　0  > < < < > = > 13 知识点3 二次函数图象与几何变换 平移与对称 原解析式 变换形式 变换后的解析式 将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标，再保持抛物线形状不变，平移其顶点坐标即可(m>0) y=a(x-h)2+k 向左平移m个单位长度 y=a(x-h+m)2+k 向右平移m个单位长度 ______________ 向上平移m个单位长度 y=a(x-h)2+k+m 向下平移m个单位长度 ______________ 关于x轴对称 _____________ 关于y轴对称 y=a(x+h)2+k 绕顶点旋转180° y=-a(x-h)2+k 绕原点旋转180° ______________ y=a(x-h-m)2+k　 y=a(x-h)2+k-m y=-a(x-h)2-k　 y=-a(x+h)2-k 14 平移与对称 原解析式 变换形式 变换后的解析式 将二次函数表达式转化成一般式y=ax2+bx+c，进行对称变换 y=ax2+bx+c 关于x轴对称 ______________ 关于y轴对称 y=ax2-bx+c 关于原点对称 ______________ y=-ax2-bx-c　 y=-ax2+bx-c 15 知识点4 二次函数图象与方程、不等式的关系 1.二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的________.  二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 根 16 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 拓展：|x1-x2|== 17 2.二次函数y=ax2+bx+c与不等式的关系 ax2+bx+c>0的解集是x<x1或x>x2 ax2+bx+c<0的解集是x1<x<x2 ax2+bx+c>0的解集是x1<x<x2 ax2+bx+c<0的解集是x<x1或x>x2 18 命题点1 确定二次函数的解析式 7地3考　 例1 已知二次函数y=ax2+bx-3(a≠0)的图象经过点(2，-3)，(-1，0)，求二次函数的解析式. 【解题启发】 应设二次函数解析式的哪种形式？ 【规范解答】 解：二次函数的解析式为y=x2-2x-3. 19 【解题通法】 确定二次函数解析式的步骤 (1)根据条件设解析式：对于二次函数y=ax2+bx+c，若系数a，b，c中有一个未知，则代入图象上任意一点坐标;若有两个未知， 则代入图象上任意两点坐标;若三个都未知，则根据下表所给点的坐标选择适当的解析式： 已知 所设解析式 顶点+其他点 y=a(x-h)2+k 与x轴的两个交点+其他点 y=a(x-x1)(x-x2) 与x轴的一个交点+对称轴+其他点 任意三个点 y=ax2+bx+c 20 (2)代入点坐标：将已知点坐标代入相应解析式中，得到关于待定系数的方程(组). (3)求解：解方程(组)求出待定系数的值，从而得出函数的解析式. 21 练1 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为(2，4)，且经过点(3，5)，求二次函数的解析式. 解：二次函数的解析式为y=(x-2)2+4=x2-4x+8. 22 练2 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)，求二次函数的解析式. 解：二次函数的解析式为y=3(x-1)(x-2)=3x2-9x+6. 23 练3 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1，8)，对称轴是直线 x=-2，且在x轴上截得的线段长为6，求二次函数的解析式. 解：二次函数的解析式为y=-(x+5)(x-1)=-x2-4x+5. 24 练4 已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0). (1)求这条抛物线的对称轴; (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式. 解：(1)∵x=-=1，∴其对称轴为直线x=1. (2)二次函数的解析式为y=x2-3x+或y=-x2+2x-1. 25 命题点2 二次函数的图象与性质 7地4考　 例2 【一题串考点 原创题】 已知二次函数y=ax2+bx+c，下表给出了两个变量x，y的对应关系. x … -1 0 1 2 3 4 … y … 0 -3 -4 -3 0 5 … 26 (1)该函数的图象开口向________，对称轴为直线________，顶点坐标为________，函数的最小值为________，该二次函数的图象与y轴的交点坐标为________，与x轴的交点坐标为________.  (2)-3≤x≤0时，y的最大值为________，最小值为________.  (3)当-1≤x≤2时，y的最大值为________，最小值为________.  (4)如果(-3，y1)，(2，y2)，(6，y3)在该二次函数图象上，那么y1，y2，y3之间的大小关系是________.  27 (5)已知点A(m，n)是抛物线上一点. ①若点A关于对称轴对称的点为B，且点B的坐标为(5，12)，则点A的坐标为________;  ②若点A与对称轴的距离d为5，则点A的坐标为________;当距离d=4时，满足条件的点A有________个.  (6)若(3，y1)，(a，y2)是抛物线上不同的两点，且y2=y1+5，则a的值为________.  (7)二次函数的图象与x轴所围成的区域内(不含边界)整点(横、纵坐标都为整数的点)的个数为________.  28 【解题启发】 此二次函数的解析式是什么？图象是什么样的？增减性怎么判断？ 29 解：(1)上　x=1　(1，-4)　-4　(0，-3) (3，0)或(-1，0) (2)12　-3　(3)0　-4　(4) y3 > y1 >y2 (5)①(-3，12)　②(6，21)或(-4，21)　2　(6)4或-2　 (7) 7 30 【解题通法】 求函数最值的常用方法 　　求函数的最值时，若自变量的取值范围为x1≤x≤x2： (1)若对称轴在该范围内，则最大值、最小值都存在，在顶点和一端点处取得; (2)若对称轴不在该范围内，则最大值、最小值也都存在，在x1，x2处取得. 31 练5 (2024·乐山)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1)，当x=-1时，函数取得 最大值;当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(　　) A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 C 32 命题点3 二次函数与方程、不等式的关系 7地1考 例3 (2024·济宁)将抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度.若平移后 得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是________.  【解题启发】 平移得到的抛物线与x轴有交点，你能联想到什么？ k≥3　 33 练6 抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为(　　) A.- B. C.-4 D.4 B 34 练7 (2024·泰安泰山模拟)已知二次函数y=a(x+k)2+h(a，k，h均为常数) 的图象与x轴的交点的横坐标分别为-2和5，则关于x的一元二次方程a(x+k+2)2+h=0的两个实数根分别是(　　) A.x1=-4，x2=3 B.x1=3，x2=7 C.x1=0，x2=7 D.x1=0，x2=3 A 35 练8 (2024·济宁邹城一模)如图，二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=mx+n的图象交于A(-2，p)，B(1，q)两点，则关于x的不等式ax2-mx+c>n的解集是__________.  -2<x<1　 36 练9 【新考法】 开放性，由交点位置判断参数范围 (2023·泰州)二次函数y=x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧， 则n的值可以是______________.(填一个值即可)  -3(答案不唯一)　 37 命题点4 二次函数图象与几何变换 7地3考　 例4【一题串考点 原创题】 已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(-1， 0)，B(2，3)两点. (1)二次函数的解析式为________，顶点坐标为________.  (2)该二次函数的图象关于x轴对称的新抛物线的解析式是________;关于y轴对称的新抛物线的解析式是________;绕顶点旋转180°后的新抛物线解析式是________;绕原点旋转180°后的新抛物线解析式是________.  38 (3)将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线L，求抛物线L的解析式; (4)将抛物线向左平移a(a>0)个单位长度得到抛物线M.若抛物线M与y轴的交点为(0，4)，求a的值; (5)如果将此二次函数的图象向上平移n个单位长度后过点P(m，4)，再将点P向右平移3个单位长度后得点Q，点Q恰好落在原二次函数y=-x2+bx+c的图象上，求n的值. 【解题启发】 抛物线的平移、旋转各有什么规律？ 39 【规范解答】 解：(1)y=-x2+2x+3　(1，4) (2)y=x2-2x-3　y=-x2-2x+3　y=x2-2x+5 y=x2+2x-3 (3)抛物线L的解析式为y=-x2-4x-2. (4)a=1. (5)n=9. 40 命题点5 二次函数图象与系数a，b，c的关系 7地2考 【核心母题】 在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0;②b2>4ac;③2a-b=0;④a-b+c<0. 其中正确的结论是________.  ②④ 41 【解题启发】 开口向下，则a________0;对称轴为直线x=1，则________=1;与y轴交点在y轴上半轴，则c________0;与x轴的交点有两个，则b2-4ac________0.  42 【解题模板】 灵活探究二次函数图象与系数关系的技巧 ①由开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a，b，c的符号; ②由抛物线与x轴的交点个数判断b2-4ac与0的关系; ③由对称轴的位置判断2a±b的符号; ④判断a±b+c，4a±2b+c的符号，令x=±1，x=±2，观察纵坐标; ⑤判断a，c或b，c关系，利用对称轴与x等于某个值时y的式子联立求解; 43 ⑥判断 (a+c)2与b2 的大小：先因式分解，再利用x等于某两个值的式子联立求解; ⑦判断a+b与m(am+b)的大小，由二次函数的增减性判断有关m(am+b)的不等式; ⑧判断二次函数与一元二次方程结合的根的情况，转化为抛物线与平行于x轴的直线的交点问题来求解. 44 变式1 判断与a，b，c有关的式子的符号 判断下列结论的正误，在括号内正确的打“√”，错误的打“✕”. ⑤3a+c>0(　　) ⑥(a+c)2<b2(　　) ⑦4a-2b+c<0(　　) ⑧4a+2b+c>0(　　) × √ √ √ 45 变式2 与增减性结合判断正误 判断下列结论的正误，在括号内正确的打“√”，错误的打“✕”. ⑨若m为任意实数，则有a+b≥m(am+b)(　　) ⑩若y≥0，则0≤x≤2(　　) √ × 46 变式3 与一元二次方程结合考查根的情况 判断下列结论的正误，在括号内正确的打“√”，错误的打“✕”. ⑪关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为x1=-1，x2=3(　　) ⑫关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根(　　) ⑬关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根大于-1，一个根小于3(　　) × √ √ 47 建议用时：10分钟 1.已知抛物线y=(x-2)2+1，下列结论错误的是(　　)　　 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=2 C.抛物线的顶点坐标为(2，1) D.当x<2时，y随x的增大而增大 D 1 3 5 7 题序 2 4 6 48 2.(2023·南充)若点P(m，n)在抛物线 y= ax2(a≠0)上，则下列各点在抛物线 y=a(x+1)2上的是(　　) A.(m，n+1) B.(m+1，n) C.(m，n-1) D.(m-1，n) D 1 3 5 7 题序 2 4 6 49 3.(2024·东营)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列 结论正确的是(　　) A.abc<0 B.a-b=0 C.3a-c=0 D.am2+bm≤a-b(m为任意实数) D 1 3 5 7 题序 2 4 6 50 4.(2024·滨州)将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个 单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为________.  (1，2)　 1 3 5 7 题序 2 4 6 51 5.(2023·上海)一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其 对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 _______________________.  y=-x2+1(答案不唯一)　 1 3 5 7 题序 2 4 6 52 6.已知函数y=mx2+3mx+m-1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 m的值为____________.  1或-　 1 3 5 7 题序 2 4 6 53 7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表： x -5 -4 -2 0 2 y 6 0 -6 -4 6 下列结论： ①a>0; ②当x=-2时，函数最小值为-6; ③若点(-8，y1)，(8，y2)在二次函数图象上，则y1<y2; ④方程ax2+bx+c=-5有两个不相等的实数根. 其中正确结论的序号是________.(把所有正确结论的序号都填上)  ①③④ 1 3 5 7 题序 2 4 6 54 $$