13综合考点一 反比例函数的综合应用-【智乐星中考·中考备战】2025年山东省济宁市中考数学精讲本

1 第一、二章 2 目 录 难点分层探究 好题随堂演练 3 命题点▶反比例函数的综合应用 7地3考　 【核心母题】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数y=(x>0) 的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D.若点D的坐标为(4，m)，AD=3. (1)求反比例函数y=的表达式; (2)经过C，D两点的直线表达式是________;  (3)连接OD，CD，求△OCD的面积. 4 【解题启发】 (1)你能用含m的式子表示点C和点D的坐标吗？ (2)你能用什么方法求一次函数表达式？ (3)△OCD的底怎么确定？你能用什么方法求出△OCD的面积. 5 【规范解答】 解：(1)反比例函数的表达式为y=. (2)y=-x+3 (3)S△OCD=3. 6 变式1 和差法或等积转化法求面积 在核心母题的条件下，E是反比例函数y=(x>0)图象上的一点，且横坐标为1，连接OE，CE，请求出直线CE的表达式及△OCE的面积. 解：直线CE的表达式为y=-2x+6，S△OCE=3. 7 变式2 直接利用公式求面积 (2024·泰安)直线y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=- 的 图象相交于点A(-2，m)，B(n，-1)，与y轴交于点C. (1)求直线y1的表达式; (2)若y1>y2，请直接写出满足条件的x的取值范围; (3)过点C作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积. 解：(1)直线y1的表达式为 y1=-x+3. (2)x<-2或0<x<8. (3)S△ACD=. 8 变式3 利用平行线进行等积转化 (2024·凉山)如图，正比例函数y1=x与反比例函数y2=(x>0)的图象交于点A(m，2). (1)求反比例函数的解析式; (2)把直线y1=x向上平移3个单位长度与y2=(x>0) 的图象交于点B，连接AB，OB，求△AOB的面积. 解：(1)反比例函数的解析式为y2=. (2)S△AOB=6. 9 变式4 利用铅垂法求面积 (2024·自贡)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(-6，1)， B(1，n)两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)点P是直线x=-2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P的坐标; (3)点Q在反比例函数y=位于第四象限的图象上，△QAB的面积为21，请直接写出点Q的坐标. 10 解：(1)反比例函数的解析式为y=-， 一次函数的解析式为y=-x-5. (2)点P的坐标为(-2，3)或(-2，-9). (3)点Q的坐标为(，-)或(3，-2). 11 变式5 与角度结合 (改编题)如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 y=(x<0)的图象相交于点A(-1，6)，与x轴交于点C， 且∠ACO=45°. (1)求反比例函数与一次函数的关系式; (2)D是线段AC上一点，且∠AOD=45°，求出点D的坐标. 解：(1)反比例函数的关系式为y=-，一次函数关系式为y=-x+5. (2)D(). 12 变式6 与线段最值结合 (改编题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象交于点 A(1，2)和B(-2，m). (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)在平面内存在一点P，且∠APB=90°， 请求写出OP的最小值和最大值. 解：(1)反比例函数的解析式为y2=，一次函数的解析式为y1=x+1. (2)OP的最小值为，最大值为2. 13 变式7 与平移结合 (改编题)如图，在菱形ABCD中，AD∥x轴，点A的坐标为(0，4)，点B的坐标为(3，0)，CD边所在直线y1=mx+n与x轴交于点C，与双曲线y2=(x<0)交于点D. (1)求直线CD的函数解析式及k的值; (2)把菱形ABCD沿y轴的正方向平移多少个 单位后，点C落在双曲线y2=(x<0)上？ 14 解：(1)直线CD的函数解析式为y1=-x-，k=-20. (2)把菱形ABCD沿y轴的正方向平移10个单位长度后，点C落在双曲线y2=-(x<0)上. 15 变式8 结合特殊图形的存在性 在平面直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO=10，sin∠AOB=，反比例函数y=(k>0)的图象经过AO的中点C且与AB交于点D. (1)求k的值; (2)在x轴上是否存在点P，使得△OCP为等腰三角形？ 若存在，求出点P的坐标. 解：(1)k的值为12. (2)存在.点P的坐标为(8，0)或(-5，0)或(5，0)或(，0). 16 建议用时：15分钟 1.(2024·烟台)如图，正比例函数y=x与反比例函数y=的图象交于点A(，a)，将正比例函数图象向下平移n(n>0)个单位长度后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴、y轴交于点D，E，且满足BE∶CE=3∶2.过点B作BF⊥x轴，垂足为F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG. (1)求反比例函数的表达式; (2)求n的值及△BCG的面积. 1 3 题序 2 17 解：(1)y=. (2)n=1，S△BCG=10. 1 3 题序 2 18 2.(2024·济南长清一模)如图，在平面直角坐标系中， 一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象在第一象限 内交于A(a，4)和B(4，2)两点，直线AB与x轴相交于 点C，连接OA. (1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥的解集; (3)过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，在x轴上是否存在点P，使以点O，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由. 1 3 题序 2 19 解：(1)反比例函数的表达式为y=，一次函数的表达式为y=-x+6. (2)关于x的不等式mx+n≥的解集为2≤x≤4. (3)存在.点P的坐标为(3，0)或(-3，0). 1 3 题序 2 20 3.在平面直角坐标系中，已知一次函数y1=k1x+b与坐标轴分别交于A(5，0)，B(0，)两点，且与反比例函数y2= 的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为. (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)当y2>y1时，求x的取值范围; (3)若点C为线段OA上的一个动点， 当 PC+KC最小时，求△PKC的面积. 1 3 题序 2 21 解：(1)一次函数的解析式为y1=-x+， 反比例函数的解析式为y2=. (2)当y2>y1时，x的取值范围为0<x<1或x>4. (3)当PC+KC最小时，△PKC的面积为. 1 3 题序 2 22 $$