11第三章 第三节 反比例函数的图象与性质-【智乐星中考·中考备战】2025年山东省济宁市中考数学精讲本

1 第三节　反比例函数的图象与性质 第一、二章 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点1 反比例函数的概念及解析式 1.一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数，叫作反比例函数.其中反 比例函数的自变量x的取值范围是　 　的一切实数.  2.反比例函数解析式的三种形式 (1)y=(k为常数，k≠0). (2)y=kx-1(k为常数，k≠0). (3)xy=k(k为常数，k≠0). 不等于0 4 知识点2 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象是　 　，它有两个分支且 关于　 对称.  2.画反比例函数图象的一般步骤 (1)列表.(2)描点.(3)连线. 双曲线　 原点　 5 3.图象与性质 k的符号 k>0 k<0 图 象 的 位置 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 性 质 在同一象限内，y随 x的增大而 　 　;在不同象限内，第一象限 y值大于第三象限y值  在同一象限内，y随x的增大 而 　　;在不同象限内，第 二象限y值大于第四象限y值  减小　 增大 6 知识点3 反比例函数中k的几何意义 1.如图，过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN， 垂足分别为M，N，所得矩形PMON的面积S=|xy|=　 　.  |k| 7 2.反比例函数图象中有关图形的面积 S△AOP=|k| S△OBP=|k| 8 S△APP'=2|k| S△ABC=|k| S矩形OAPB=|k| S▱ABCD=|k| 9 知识点4 确定反比例函数的解析式 1.方法：待定系数法(常常还会利用k的几何意义求解析式，具体见上述知识点) 2.步骤 (1)设所求反比例函数解析式为y=(k为常数，k≠0); (2)找出满足反比例函数解析式的点P(a，b); (3)将点P(a，b)代入解析式得k=ab; (4)确定反比例函数解析式y=. 10 命题点1 确定反比例函数的解析式 7地2考　 例1 (2024·山东)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与y=部分自变量与函数值的对应关系： 11 (1)求a，b的值，并补全表格; (2)结合表格，当y=2x+b的图象在y=的图象上方时，直接写出x的取值范围. 【解题启发】 怎样求函数解析式？ x - a 1 2x+b a 1 　　　  　　　  　　　  7 12 【规范解答】 解：(1)当x=-时，2x+b=a，即-7+b=a， 当x=a时，2x+b=1，即2a+b=1， ∴解得 ∴一次函数为y=2x+5.当x=1时，y=7， ∴y==7，即k=7，∴反比例函数的解析式为y=. 当x=-时，y=7÷(-)=-2; 当x=-2时，y=-. 13 补全的表格如下. x - -2 1 2x+b -2 1 7 -2 - 7 (2)-<x<0或x>1. 14 练1 (2023·青岛)反比例函数y= 的图象经过点A(m，)，则反比例函数 的表达式为________.  y= 15 练2 (2024·潍坊)如图，正比例函数y=-x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点是A(m，).点P(2，n)在直线y=-x上，过点P作y轴的平行线，交反比例函数y=的图象于点Q. (1)求这个反比例函数的表达式; (2)求△OPQ的面积. 解：(1)反比例函数的表达式为y=-. (2)S△OPQ=. 16 命题点2 反比例函数的图象与性质 7地4考　 例2 【一题串考点 原创题】 已知反比例函数y=(k≠-1). (1)若该反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大， 则k的取值范围为________;  (2)当k=2时，此反比例函数图象在第________象限，关于直线 _________________对称;  (3)若点A(3，2)，B(a，6)在反比例函数y=(k≠-1)的图象上，则k=___，a=_____;  k<-1　 一、三　 y=-x或y=x　 5 1 17 (4)若k>0，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)在反比例函数的图象上， 且x1<0<x2<x3，则y1，y2，y3的大小关系是____________;  (5)若点P(x，y)在反比例函数y=的图象上，则点 Q(-x，-y)____(填 “在”或“不在”)反比例函数y=的图象上.  【解题启发】 反比例函数的图象是_______，关于______成中心对称.如何判断反比例函数增减性？  y1<y3<y2　 在 18 【易错警示】 判断反比例函数增减性的注意点 　　正确理解反比例函数的增减性，注意自变量的取值范围，不能笼统地说y随x的增大而增大(或减小)，应指明在某一象限内函数的增减变化情况. 19 练3 (2023·武汉)关于反比例函数y=，下列结论正确的是(　　) A.图象位于第二、四象限 B.图象与坐标轴有公共点 C.图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D.若图象经过点(a，a+2)，则a=1 C 20 练4 (北师大版九上P161T6改编)函数y=-ax+a与y=-(a≠0)在同一直角 坐标系中的图象可能是(　　) D 21 练5 (2024·济宁)已知点 A(-2，y1)，B(-1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y=(k<0) 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 C 22 练6 【新考法】 反比例函数最值与幂的运算结合 (2024·包头)若反比例函数y1=，y2=-，当1≤x≤3时，函数y1的最大值 是a，函数y2的最大值是b，则ab=________.  23 命题点3 反比例函数k的几何意义 7地1考　 例3 如图，点A在反比例函数y=的图象上，过点A作x轴的垂线， 垂足为B，点C在y轴上. 若△ABC的面积为2，则k的值为(　　)　　　　　　　　　 A.-2 B.2 C.-4 D.4 【解题启发】 △ABC的面积与k之间有什么关系？ C 24 练7 (2024·济南天桥模拟)如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO= 90°，反比例函数y= 经过AC的中点D，则△AOC的面积为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 B 25 练8 (2024·济南高新二模)如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数 y=(x>0)的图象上，点A，B在x轴上，且PA⊥PB，PA交y轴于点C， AO=BO=BP.若△ABP的面积是4，则k的值是(　　) A.1 B.2 C. D. B 26 练9 如图，一次函数y=x+k(k>0)的图象与 x轴和y轴分别交于点A和点B，与 反比例函数 y=的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足 分别为D，E.当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为______.  2 27 命题点4 反比例函数的实际应用 7地0考　 例4(2024·山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置， 其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器 狗载重后总质量m=60 kg时，它的最快移动速度v=6 m/s;当其载重后总质 量m=90 kg时，它的最快移动速度v=　　　m/s.  4 28 【解题启发】 怎么求出最快移动速度v(m/s)和载重后总质量m(kg)的关系式吗？ 29 练10 (2024·南通) 【跨学科·物理】 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电 池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象 如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10 A， 那么用电器可变电阻R应控制的范围是________.  R≥3.6 30 建议用时：10分钟 1.一次函数y=ax+b与反比例函数 y=(a，b为常数且均不等于0)在同一坐 标系内的图象可能是(　　) D 1 3 5 题序 2 4 6 31 2.(2023·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=x-2与反比例 函数 y2=的图象交于A，B两点，下列结论正确的是(　　) A.当x>3时，y1<y2 B.当x<-1时，y1<y2 C.当0<x<3时，y1>y2 D.当-1<x<0时，y1<y2 B 1 3 5 题序 2 4 6 32 3.(2023·济南)已知点A(-4，y1)，B(-2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y=(k<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)　　　　　　 A.y3<y2<y1 B.y1<y3<y2 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1 C 1 3 5 题序 2 4 6 33 4.(2024·德州模拟) 【跨学科·物理】 已知蓄电池的电压U(单位：V)为定 值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关 系，它的图象如图所示.下列说法不正确的是(　　) A.当I≤10 A时，R≤4 Ω B.蓄电池的电压是40 V C.当R=8 Ω时，I=5 A D.函数的表达式I=(R>0) A 1 3 5 题序 2 4 6 34 5.(改编题)在同一平面直角坐标系中，若正比例函数 y=k1x 与反比例 函数y=的图象没有交点，则k1k2的取值范围是(　　) A.k1k2<-1 B.k1k2>-1 C.k1k2<0 D.-1<k1k2<0 C 1 3 5 题序 2 4 6 35 6.(2024·呼伦贝尔)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(5， 0)，(2，6)，过点B作BC∥x轴交y轴于点C，D为线段AB上的一点，且 BD=2AD，反比例函数y=(x>0)的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形 ODBE的面积是________.  12 1 3 5 题序 2 4 6 36 $$