08第二章 第四节 一元一次不等式(组)-【智乐星中考·中考备战】2025年山东省济宁市中考数学精讲本

1 第四节　一元一次不等式(组) 第一、二章 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点1 不等式的概念及其性质 1.不等式的概念：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子. 2.不等式的解：使不等式成立的_______的值.  3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个 不等式的解集. 未知数 4 4.不等式的性质 (1)性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向_____ ， 即如果a>b，那么a±c_____b±c.  (2)性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向_____ ， 即如果a>b，c>0，那么ac _____ bc(或 ____).  (3)性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向_____ ， 即如果a>b，c<0，那么ac _____ bc(或____).  不变　 > 不变　 > > 改变　 <　 <　 5 知识点2 一元一次不等式及其解法 1.一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式. 2.一元一次不等式的解法 (1)解一元一次不等式的一般步骤：去分母， ______ ，移项， ______________ ，系数化为1.  (2)一元一次不等式的解集在数轴上的表示如下(其中a>0)： 去括号　 合并同类项 6 知识点3 一元一次不等式组及其解法 1.一元一次不等式组：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解法 (1)解一元一次不等式组的一般步骤：先求出这个不等式组中每个一元一次不等式的解集，再求出不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集. 7 (2)常见的几种不等式组解集的表示(其中a>b)： 不等式组 在数轴上表示 解集 口诀 x>a 同大取大 x<b 同小取小 b<x<a 大小小大 中间找 无解 大大小小 无解了 8 知识点4 一元一次不等式(组)的应用 列一元一次不等式解应用题的一般步骤： (1)审：即审清题意，找出不等关系. (2)设：即设出关键未知数. (3)列：即列不等式. (4)解：即解不等式. (5)验：即检验结果是否符合实际背景. (6)答：即写出规范结果，并作答. 9 命题点1 不等式的基本性质 7地1考　 例1 已知a>b，下列结论：①a2>ab;②a2>b2;③若b<0，则a+b<2b; ④若b>0，则<.其中正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解题启发】 想一想不等式的性质是什么？ A 10 练1 (2024·广州)若a<b，则(　　) A.a+3>b+3 B.a-2>b-2 C.-a<-b D.2a<2b D 11 命题点2 一元一次不等式的解法及解集表示 7地0考 例2 (2023·临沂)解不等式5-2x<，并在数轴上表示解集. 【解题启发】 解不等式时需要注意什么？ 12 【规范解答】 解：5-2x<， 去分母得10-4x<1-x， 移项、合并同类项得-3x<-9， 系数化为1得x>3. 不等式的解集在数轴上表示如下. 13 【易错警示】 (1)不等式两边各项都乘分母的最小公倍数时，不要漏乘不含分母的项; (2)当括号前是“-”号时，要注意去括号后括号内各项都要改变符号; (3)移项是从不等式的一边移到另一边，且不要忘记变号; (4)若不等式两边都乘(或除以)同一个负数，则不等号要改变方向. 14 练2 (2024·连云港)解不等式：<x+1，并把解集在数轴上表示出来. 解：x-1<2(x+1)， 去括号得x-1<2x+2， 移项得x-2x<2+1， 系数化为1得x>-3. 不等式的解集在数轴上表示如下. 15 练3 (2024·盐城)求不等式≥x-1的正整数解. 解：不等式的正整数解为1，2. 16 命题点3 一元一次不等式组的解法及解集表示 7地4考 例3 (2022·菏泽)解不等式组 并将其解集在数轴上表示出来. 【解题启发】 一元一次不等式组的解集在数轴上怎么表示？ 17 【规范解答】 解：解不等式①得x≤1， 解不等式②得x<6，∴不等式组的解集为x≤1. 不等式组的解集在数轴上表示如下. 18 【易错警示】 在数轴上表示不等式解集的注意点 　　在数轴上表示解集时，要注意两“定”： (1)定方向，“≤”“<”向左，“≥”“>”向右; (2)定边界点，“≥”“≤”用实心圆点，“>”“<”用空心圆圈. 19 练4 不等式组的所有非负整数解的和是(　　) A.15 B.12 C.11 D.5 A 20 练5 【新考法】 结合数轴列不等式组求解 (2024·包头)若2m-1，m，4-m这三个实数在数轴上所对应的点从左到 右依次排列，则m的取值范围是(　　) A.m<2 B.m<1 C.1<m<2 D.1<m< 练6 (2024·山东)写出满足不等式组的一个整数解 ________________.  B -1(答案不唯一)　 21 练7 (2022·枣庄)在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上. ①2x-1<7;②5x-2>3(x+1);③x+3≥1-x. 22 解：选①②组成不等式组 解不等式①得x<4，解不等式②得x>， ∴不等式①②组成的不等式组的解集是<x<4. 在数轴上表示不等式组的解集如下. (答案不唯一) 23 命题点4 由不等式(组)的解集确定字母的值或范围 7地0考 例4(2023·聊城)若不等式组的解集为x≥m，则m的取值范围 是________.  【解题启发】 不等式组的解集是什么？ m≥-1　 24 【方法指导】 第一步：先解出含参数的不等式组; 第二步：再利用数形结合将解集表示在数轴上，根据条件分析出参数的值或取值范围，或罗列出符合条件的参数的值. 25 练8 (2022·济宁)若关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的 取值范围是(　　) A.-4≤a<-2 B.-3<a≤-2 C.-3≤a≤-2 D.-3≤a<-2 练9 (2024·烟台)关于x的不等式m-≤1-x有正数解，m的值可以是_________________(写出一个即可).  D 0(答案不唯一)　 26 命题点5 一元一次不等式(组)的实际应用 7地3考 例5 (2023·聊城)五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰.某热门景点的门票价格规定见下表： 票的种类 A B C 购票人数/人 1~50 51~100 100以上 票价/元 50 45 40 某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人(甲团人数多于乙团)，在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元. (1)求两个旅游团各有多少人; (2)一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？ 27 【解题启发】 (1)知道总人数为102人(甲团人数多于乙团)，你能推测甲、乙两团的人数范围吗？你能从“团体购票会比两团分别各自购票节省730元”中，找出等量关系吗？ (2)购买B种门票的人数按多少算？ 28 【规范解答】 解：(1)甲团有58人，乙团有44人. (2)当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省. 29 【方法指导】 列不等式解应用题时的注意事项 (1)抓住问题中的一些关键词语并弄清其含义： 常用关键词 符号 大于、多于、超过、高于 >  小于、少于、不足、低于 <  至少、不少于、不低于、不小于 ≥ 最多、不高于、不大于、不超过 ≤ (2)注意题目中的隐含条件，如人数只能取自然数. 30 练10 (2024·菏泽东明模拟)商店为了对某种商品进行促销，将定价为5元 的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过8件，则按原价付款;若一 次性购买8件以上，则超出的部分打八折，小明带了70元钱，最多可以 购买该商品(　　) A.14件 B.15件 C.16件 D.17件 B 31 练11 (2024·山东)根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180 cm; ②1班学生的最低身高小于150 cm; ③2班学生的最高身高大于或等于170 cm. 上述结论中，所有正确结论的序号是(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ C 32 练12 (2024·泸州)某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元;购进5件A商品和2件B商品总费用为620元. (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元; (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍.若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1 770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 解：(1)A商品每件的进价是100元，B商品每件的进价是60元. (2)购进A商品的件数最多为20件. 33 建议用时：10分钟 1.不等式1-3x>0的解集是(　　) A.x<- B.x>- C.x< D.x> C 1 3 5 题序 2 4 6 34 2.(2023·烟台)不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的 是(　　) A 1 3 5 题序 2 4 6 35 3.(2023·遂宁)若关于x的不等式组的解集为x>3， 则a的取值范围是(　　) A.a>3 B.a<3 C.a≥3 D.a≤3 D 1 3 5 题序 2 4 6 36 4.(人教版七下P129例2改编)若不等式4x+2>3(x-1)与x-1≤7-x同时成立，求x的取值范围. 解：解不等式4x+2>3(x-1)得x>-5， 解不等式x-1≤7-x得x≤4， ∴x的取值范围为-5<x≤4. 1 3 5 题序 2 4 6 37 5.(2024·济南)解不等式组：并写出它的所有整数解. 解：解不等式①得x>-1，解不等式②得x<4， ∴原不等式组的解集是-1<x<4， ∴不等式组的整数解为0，1，2，3. 1 3 5 题序 2 4 6 38 6.(2024·资阳)2024年巴黎奥运会于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱.已知购进3个A款比购进2个B款多用120元;购进1个A款和2个B款共用200元. (1)分别求出A，B两款纪念品的进货单价; (2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5 000元，则至少应购买B款纪念品多少个？ 解：(1)A，B两款纪念品的进货单价分别为80元和60元. (2)至少应购买B款纪念品30个. 1 3 5 题序 2 4 6 39 $$