05第二章 第一节 一次方程(组)及其应用-【智乐星中考·中考备战】2025年山东省济宁市中考数学精讲本

1 第一节　一次方程(组)及其应用 第一、二章 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点1 一元一次方程及其解法 1.方程：含有　 　的等式.  2.方程的解：使方程中等号左右两边相等的　 　的值.  3.一元一次方程：只含有　 未知数(元)，未知数的次数都是　　， 等号两边都是整式.  未知数　 未知数　 一个　 1　 4 4.等式的基本性质 (1)等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.即如果a=b， 那么a±c=　 　.  (2)等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 即如果a=b，那么ac=________，=________(c≠0).  b±c　 bc 5 5.解一元一次方程的一般步骤 步骤 注意事项 去分母 (1)不能漏乘不含分母的项; (2)分子是多项式时，去分母后加括号 去括号 (1)括号前的数要乘括号内的每一项; (2)括号前是负号时，去括号后原括号内的每一项都要变号 移项 移项要改变符号 合并同类项 系数相加时，不能漏掉符号 系数化为1 分子、分母不能颠倒 注：解一元一次方程的实质是利用等式的基本性质将方程两边进行恒等变形 6 知识点2 二元一次方程(组)及其解法 1.二元一次方程：含有　 　未知数，并且含有未知数的项的次数都是 　 　.  2.二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次 数都是1，并且一共有两个方程. 3.二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解. 两个　 1 7 4.二元一次方程组的解法 (1)代入消元法(代入法)：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. (2)加减消元法(加减法)：当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程. 8 知识点3 一次方程(组)的应用 1.常见问题及关系式 常见问题 基本关系式 行程问题 路程=速度×时间 相遇问题：总路程=甲走的路程+乙走的路程 9 常见问题 基本关系式 行船问题 顺水速度=静水速度+水流速度(考虑水流速度) 逆水速度=静水速度-水流速度(考虑水流速度) 利润问题 利润=售价-进价;售价=标价×折扣率;销售额=售价×数量;利润率=×100% 工程问题 工作总量=工作效率×工作时间; 总工作效率=各个单独做的效率的和 10 2.列方程(组)解应用题的一般步骤 (1)审，即审清题意，分清题中的已知量和未知量. (2)设，即设出关键未知数. (3)列，即找出题干中的等量关系，列方程(组). (4)解，即解方程(组). (5)验，即检验结果是否正确或是否符合实际意义. (6)答，即回归题中，规范作答. 11 命题点1 解一元一次方程 7地1考　 例1 (2023·永州)关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1，则m的值 为(　　)　　　　　　　　　　 A.3 B.-3 C.7 D.-7 【解题启发】 在不知道m的值的情况下，怎么解一元一次方程？怎样利用已知的方程的解？ A 12 练1 若关于x的方程+a=4的解是x=2，则a的值为________.  练2 (2024·新疆生产建设兵团)解方程：2(x-1)-3=x.   练3 解方程：-1=x. 3 解：x=5. 解：x=3.　 13 命题点2 解二元一次方程组 7地0考　 例2 (2023·连云港)解方程组： 【解题启发】 观察方程组，用什么方法解方程组最简便？ 【规范解答】 解：方程组的解为 14 练4 (改编题)已知x，y满足方程组则x+y的值为_____.  练5 (2024·泰安岱岳一模)解方程组： -2　 解：方程组的解是 15 练6 解方程组： 解：方程组的解为 16 命题点3 一次方程(组)中的含参问题 7地0考　 例3 (改编题)已知关于x，y的二元一次方程组的解中 x-y=5，则k的值为( ) A.4 B.6 C.-4 D.-6 【解题启发】 怎么用含k的式子表示出x与y的差？ C 17 【解题通法】 (1)把参数当作数字解方程组，即用含参数的代数式表示x，y，或利用整体思想表示出x与y需满足的关系; (2)根据解满足的关系求参数. 18 练7 (2024·淄博淄川二模)由方程组可得出x与y之间的关系 是(　　) A.x+y=1 B.x+y=-1 C.x+y=7 D.x+y=-7 B 19 练8 【新设问】 根据看错系数的结果还原正确系数 在解方程组时，甲同学正确解得乙同学把c 看错了，而得到则a，b，c的值为(　　) A.a=-2，b=4，c=5 B.a=4，b=5，c=-2 C.a=5，b=4，c=2 D.a=4，b=5，c=17 B 20 练9 (2024·东营垦利二模)若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+2y>14，则k的取值范围为________.  k<-2　 21 命题点4 一次方程(组)的实际应用 7地3考　 例4(2023·枣庄)【数学文化】《算学启蒙》是我国较早的数学著作之一， 书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马 先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马 每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x 天可以追上慢马，则下列方程正确的是(　　) A.240x+150x=150×12 B.240x-150x=240×12 C.240x+150x=240×12 D.240x-150x=150×12 【解题启发】 你能找到什么样的等量关系？追及路程是多少？ D 22 练10 (2024·烟台)【数学文化】 《周髀算经》 是中国现存最早的数理天文著作.书中记载这样一道题：“今有女子不善 织，日减功迟.初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫，问织几何？” 意思是现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减 少的数量相同.第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工， 问一共织了多少布？(　　) A.45尺 B.88尺 C.90尺 D.98尺 C 23 练11 【新设问】根据结果判断条件 (2024·泰安)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九 百九十九文钱，可买甜果、苦果共一千个.若…，…，试问买甜果、苦果各几个？ 若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为(　　) A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 D 24 练12 (2023·临沂)大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月(30天)的 报酬是M型平板电脑一台和1 500元现金，当她工作满20天后因故结束实习， 结算工资时公司给了她一台M型平板电脑和300元现金. (1)这台M型平板电脑价值多少元？ (2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬？ (用含m的代数式表示) 解：(1)这台M型平板电脑价值2 100元. (2)她应获得120m元的报酬. 25 练13 (2024·湖南)某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元;购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元. (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价; (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共 1 000棵，总费用不超过38 000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 解：(1)脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵. (2)最多可以购买脐橙树苗400棵. 26 建议用时：10分钟 1.(2023·温州)一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍， 碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30 g.设蛋白质、脂肪的含量分别为 x(g)，y(g)，可列出方程为(　　)　 A.x+y=30 B.x+y=30 C.x+y=30 D.x+y=30 A 1 3 5 题序 2 4 6 27 2.(2023·泰安)【数学文化】 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有 一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等;交易其一，金轻十三两. 问金、银各重几何？”意思是甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装 有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等.两袋互相交换1枚后，甲袋比乙 袋轻了13两(袋子重量忽略不计).问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x两，每枚白银重y两.根据题意得(　　) A. B. C. D. C 1 3 5 题序 2 4 6 28 3.(2024·宿迁)若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于x，y的方程组的解是________.  1 3 5 题序 2 4 6 29 4.(2024·滨州节选)解方程：=. 解：x=5.　 1 3 5 题序 2 4 6 30 5.(2023·乐山)解二元一次方程组： 解：方程组的解为 1 3 5 题序 2 4 6 31 6.某商场购进商品后，加价50%作为销售价，商场搞优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣.某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到八折和九折，共付款390元，两种商品原销售价之和为450元. (1)甲、乙两种商品进价分别为多少元？ (2)优惠促销活动结束后，若每天销售甲、乙两种商品共20件，且销售利润不低于1 580元，那么乙商品每天最少需要卖出多少件？ 解：(1)甲、乙两种商品进价分别为100元、200元. (2)乙商品每天最少需要卖出12件. 1 3 5 题序 2 4 6 32 $$