04第一章 第四节 二次根式-【智乐星中考·中考备战】2025年山东省济宁市中考数学精讲本

1 第四节　二次根式 第一、二章 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点1 二次根式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，“”称为二次根号. 2.二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0. 4 3.最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式. 4.同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫作同类二次根式，如是同类二次根式. 5 知识点2 二次根式的性质 1.的双重非负性： 2.()2=________(a≥0).  3.=________.(注：中，a的取值范围是全体实数;化简时， 不要忽略a<0的情况.)  4.=________(a≥0，b≥0).  5.=________(a≥0，b>0).  a |a| · 6 知识点3 二次根式的运算 1.二次根式的加减：先将二次根式化成_____________，再将 _______________的二次根式进行合并.  2.二次根式的乘除法法则 (1)二次根式的乘法：·=_____ (a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘， 把被开方数______，根指数不变.  (2)二次根式的除法：=______(a≥0，b>0)，即两个二次根式相除， 把被开方数_____，根指数不变.  最简二次根式　 被开方数相同　 相乘 相除 7 知识点4 二次根式的估值 1.确定一个数在哪两个相邻整数之间 (1)先对根式平方; (2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数; (3)同时开方，即可确定这个根式的值在哪两个相邻整数之间. 8 2.确定一个数离哪个整数较近 (1)确定这个二次根式在哪两个相邻整数之间; (2)求这两个整数的平均数; (3)用平方法比较根式与平均数的大小，若根式的平方大于平均数的平方， 则离较大的整数近，否则离较小的整数近. 注：记住常见开方数的值可以快速解题，如≈1.414，≈1.732，≈2.236. 3.确定的整数部分 (1)确定在哪两个连续整数之间，如m≤≤m+1(m为整数); (2)确定整数部分：的整数部分为m，小数部分为-m. 9 命题点1 二次根式有意义的条件 7地0考　 例1 (2024·烟台)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ______.  【解题启发】 当二次根式在分母上，应该注意什么？ x>1 10 【易错警示】 　　二次根式有意义的条件是被开方数≥0，若二次根式在分母上，则被开方数>0. 11 练1 (2023·济宁)若代数式有意义，则实数x的取值范围是(　　) A.x≠2 B.x≥0 C.x≥2 D.x≥0且x≠2 练2 (2023·绥化)若式子有意义，则x的取值范围是______________.  D x≥-5且x≠0　 12 命题点2 二次根式的概念及性质 7地0考　 例2 (2023·烟台改编)下列各式中，与是同类二次根式的是(　　) A. B. C. D. 【解题启发】 是最简二次根式吗？什么是同类二次根式？ C 13 练3 下列各式是最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. A 14 命题点3 二次根式的运算 7地1考　 例3 (2023·武威)计算：÷×2-6. 【解题启发】 应该先算哪一步？ 【规范解答】 解：原式=3××2-6=6×2-6=12-6=6. 15 练4 (2024·济宁)下列运算正确的是(　　) A.+= B.×= C.2÷=1 D.=-5 练5 (2023·潍坊)从-中任意选择两个数，分别填在算式(□+○)2 ÷里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是_____________________. (只需写出一种结果)  练6 (2023·聊城)计算：(-3)÷=________.  4-2(答案不唯一)　 3 B 16 命题点4 二次根式的估值 7地1考　 例4(2024·滨州)写出一个比大且比小的整数______________.  【解题启发】 在和之间的整数有哪些？ 2(答案不唯一)　 17 练7 (2023·扬州)已知a=，b=2，c=，则a，b，c的大小关系是(　　) A.b>a>c B.a>c>b C.a>b>c D.b>c>a 练8 (2023·临沂)设m=5-，则实数m所在的范围是(　　) A.m<-5 B.-5<m<-4 C.-4<m<-3 D.m>-3 C B 18 练9 (2024·盐城)矩形相邻两边长分别为 cm， cm，设其面积为 S cm2，则S在哪两个连续整数之间(　　) A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5 C 19 练10 【新题型】以多空的填空题考查二次根式的估值 (2024·河北)已知a，b，n均为正整数. (1)若n<<n+1，则n=________;  (2)若n-1<<n，n<<n+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少________个.  3 2 20 命题点5 二次根式非负性的运用 7地0考　 例5 若y=+-6，则xy=　　　.  【解题启发】 二次根式的性质是什么？ -3 21 【方法指导】 (1)如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数每个都必须为0; (2)非负性常见于绝对值、偶次方、二次根式中，若与同时存在，则都为0，即a=1. 22 练11 若0<a<1，则下列二次根式有意义的是(　　) A. B. C. D. 练12 (2024·乐山)已知1<x<2，化简+|x-2|的结果为(　　) A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x D B 23 建议用时：10分钟 1.下列二次根式中属于最简二次根式的是(　　)　　　　 A. B. C. D. 2.(2024·重庆A卷)已知m=-，则实数m的范围是(　　) A.2<m<3 B.3<m<4 C.4<m<5 D.5<m<6 D B 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 24 3.(2022·河北)下列正确的是(　　) A.=2+3 B.=2×3 C.=32 D.=0.7 4.(2023·荆州)已知k=(+)·(-)，则与k最接近的整数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 5.如果1<a<，那么+|a-2|的值是(　　) A.6+a B.1 C.-a D.-6-a B B B 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 25 6.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________.  7.(2023·广东)计算×=________.  x>-1且x≠0　 6 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 26 8.计算：|-|+(-)2-(+)2. 解：原式=2+(-++)×(---) =2+2×(-1)=0. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 27 9.计算：(-4)-3-(3-2). 解：原式=(4-)--(-)=3-. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 28 10.计算：+-4+2×(-1)0. 解：原式=5+-4×+2=5. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 29 11.已知+=0，求(x+y)2的值. 解：由题意知x-2y=0，3x+2y-8=0. 联立得解得则(x+y)2=32=9. 1 3 5 7 9 11 题序 2 4 6 8 10 30 $$