02第一章 第二节 代数式及整式(含因式分解)-【智乐星中考·中考备战】2025年山东省济宁市中考数学精讲本

1 第二节　代数式及整式(含因式分解) 第一、二章 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点1 代数式 1.代数式 用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子.特别地，单独一个数或一个字母也是代数式. 2.代数式的值 用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果. 4 3.代数式求值的一般方法 (1)直接代入法：把字母所表示的数值直接代入，计算求值; (2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式;②通过因式分解、提公因式等，将所求代数式变形，使其与已知代数式成倍分关系;③把已知代数式看成一个整体代入求值. 5 知识点2 整式的相关概念 6 2.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项.(所有常数项都是同类项) 7 【方法指导】 确定同类项的条件 　　判断同类项要严格按照定义中的两个条件，即字母相同，相同字母的指数也相同.特别地，所有常数项都是同类项. 8 3.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项. 其法则是：合并同类项时，把同类项的　 　相加，字母和字母的 　 　不变.  系数 指数 9 知识点3 整式的运算 1.加减运算 (1)一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后合并同类项. (2)去括号法则 ①如果括号前面是“+”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同，如a+(b-c)=a+b-c，a+(b+c)=a+b+c; ②如果括号前面是“-”，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，如a-(b-c)=a-b+c，a-(b+c)=a-b-c.可简记为“-”变，“+”不变. 10 2.幂的运算 (1)同底数幂相乘：am·an=　 　.  (2)同底数幂相除：am÷an=　 　.(a≠0)  (3)幂的乘方：(am)n=　 　.  (4)积的乘方：(ab)n=　 　.  am+n　 am-n　 amn　 anbn 11 3.乘法运算 (1)单项式与单项式相乘，把它们的　 　、　 　分别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式， 如3xy·4x2z=12x3yz.  (2)单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得 的积　 　，如a(b+c-d)=ab+ac-ad.  (3)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积　 ，如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.  系数　 同底数幂　 相加　 相加　 12 4.除法运算 (1)单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在 被除式里含有的字母，则连同它的　 　作为商的一个因式， 如3a2b÷ac2=(3÷)a2-1·bc-2=9abc-2.  (2)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式， 再把所得的商相加，如(4a3b+5ab2)÷3ab=4a3b÷3ab+5ab2÷3ab=a2+b. 指数 13 知识点4 因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成几个　 　的积的形式.  2.因式分解与整式乘法互为逆运算，即多项式 整式的积. 3.因式分解的方法 (1)提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c). (2)公式法： ①平方差公式：a2-b2=__________________;  ②完全平方公式：a2±2ab+b2=_____________.  (3)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 整式　 (a+b)(a-b)　 (a±b)2 14 命题点1 代数式求值 7地1考　 例1 (2023·济宁)已知实数m满足m2-m-1=0，则2m3-3m2-m+9=____.  【解题启发】 你能从“2m3-3m2-m+9”里找到“m2-m-1”吗？ 8 15 练1 (2024·广安)若x2-2x-3=0，则2x2-4x+1=________.  练2 (2022·滨州)若m+n=10，mn=5，则m2+n2的值为________.  7 90 16 命题点2 整式的相关概念 7地0考　 例2 (2024·泰安)单项式-3ab2的次数是　　　.  【解题启发】 什么是单项式的次数？ 3 17 练3 若-4xm+2y4与2x3yn-1为同类项，则m-n的值为(　　)　　　　　　　　　 A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 练4 (2023·江西)单项式-5ab的系数为　　　.  A -5 18 命题点3 因式分解 7地1考　 例3 (2023·菏泽)因式分解：m3-4m=　　　　　　　　　.  【解题启发】 提取公因式之后的式子是最简结果吗？ m(m+2)(m-2)　 19 【方法指导】 因式分解的一般步骤 一提：如果多项式各项都有公因式，应先提公因式，别忘记负号、系数等; 二套：观察多项式的特点，考虑使用平方差公式、完全平方公式、十字相乘法; 三分组：若多项式为四项及以上时，考虑分组分解法，常用的有二二分组和一三分组; 四检查：检查是否正确，检查是否分解彻底. 20 练5 (2024·山东)因式分解：x2y+2xy=___________.  练6 (2024·威海)因式分解：(x+2)(x+4)+1=___________.  练7 (2023·东营)因式分解：3ma2-6mab+3mb2=___________.  xy(x+2) (x+3)2　 3m(a-b)2 21 命题点4 整式的运算 7地5考　 例4(2024·滨州)下列运算正确的是(　　) A.(n3)3=n6 B.(-2a)2=-4a2 C.x8÷x2=x4 D.m2·m=m3 【解题启发】 幂的运算与积的乘方有什么区别？ D 22 练8 (2024·山东)下列运算正确的是(　　) A.a4+a3=a7 B.(a-1)2=a2-1 C.(a3b)2=a3b2 D.a(2a+1)=2a2+a 练9 (2024·泰安)下列运算正确的是(　　) A.2x2y-3xy2=-x2y B.4x8y2÷2x2y2=2x4 C.(x-y)(-x-y)=x2-y2 D.(x2y3)2=x4y6 D D 23 练10 【新考法】 结合同底数幂的加法和乘法运算 (2024·河北)若a，b是正整数，且满足=，则a与b的关系正确的是(　　) A.a+3=8b B.3a=8b C.a+3=b8 D.3a=8+b A 24 命题点5 整式的化简及求值 7地1考　 例5 (2024·济宁)先化简，再求值：x(y-4x)+(2x+y)(2x-y)，其中x=，y=2. 【解题启发】 平方差公式(a+b)(a-b)=_____，代入求值时需要注意什么吗？  【规范解答】 解：原式=xy-4x2+4x2-y2=xy-y2. 其中x=，y=2，∴原式=×2-22=1-4=-3. 25 练11 (2024·甘肃)先化简，再求值：[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b， 其中a=2，b=-1. 解：原式=[4a2+4ab+b2-(4a2-b2)]÷2b =(4ab+2b2)÷2b=2a+b. 当a=2，b=-1时，原式=2×2-1=3. 26 命题点6 规律的探索 7地4考　 考法❶　数式规律的探索 例6 按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…第n个单项 式是(　　)　　　　　　　　 A.(2n-1)xn B.(2n+1)xn C.(n-1)xn D.(n+1)xn 【解题启发】 分开看系数与幂的指数，发现什么规律？ A 27 练12 按一定的规律排列的一组数：，…，，… (其中a，b为整数)，则a+b的值为(　　)　　　　　 A.222 B.212 C.232 D.182 练13 已知a1=x-1(x≠1且x≠2)，a2=，a3=，…，an=， 则a2 024的值为(　　) A. B.x+1 C.x-1 D. A D 28 考法❷　图形规律的探索 例7 如图是由相同大小的圆圈按照一定规律摆放而成的，按此规律， 则第n个图形中圆圈的个数为(　　) A.n+1 B.n2+n C.4n+1 D.2n-1 【解题启发】 仔细观察图形，你能发现什么规律？怎么列代数式？ C 29 练14 (2024·济宁)如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为(　　) A.90 B.91 C.92 D.93 B 30 练15 (2024·泰安)如图所示，是用图形“ ”和“ ”按一定规律摆成的“小屋子”. 按照此规律继续摆下去，第_____个“小屋子”中图形“ ”个数是图形“ ” 个数的3倍.  12 31 建议用时：10分钟 1.(2024·河南)计算()3的结果是(　　) A.a5 B.a6 C.aa+3 D.a3a 2.(2024·威海)下列运算正确的是(　　) A.x5+x5=x10 B.m÷n2·= C.a6÷a2=a4 D.(-a2)3=-a5 D C 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 32 3.(2023·牡丹江)观察下面两行数： 1，5，11，19，29，… 1，3，6，10，15，… 取每行数的第7个数，计算这两个数的和是( 　) A.92 B.87 C.83 D.78 4.【原创题】 分解因式：(1)9a3-ab2=____________________.  (2)4xy-2x2-2y2=_________________.  C a(3a+b)(3a-b)　 -2(x-y)2　 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 33 5.(2023·遂宁) 【跨学科·化学】烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在 生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护.通常用碳原 子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷(当碳原子数目超过10个时即用 汉文数字表示，如十一烷、十二烷……)等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学 式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8，……其分子结构模型如图所示，按照此规律， 十二烷的化学式为________.  C12H26 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 34 6.若5x=3，5y=2，则52x-3y=________.  7.若x=1时，代数式ax3-3bx+4的值为7，则当x=-1时，这个代数式的值为________.  8.计算：(-2)2 024×(+2)2 025=___________.  1 +2 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 35 9.(人教版八上P119练习T2改编)化简：(2m+n)2-(m+2n)2. 解：原式=4m2+4mn+n2-m2-4mn-4n2=3m2-3n2. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 36 10.(2024·陕西)先化简，再求值：(x+y)2+x(x-2y)，其中x=1，y=-2. 解：原式=x2+2xy+y2+x2-2xy=2x2+y2. 当x=1，y=-2时，原式=2×12+(-2)2=6. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 10 37 $$