01第一章 第一节 实数及其运算-【智乐星中考·中考备战】2025年山东省济宁市中考数学精讲本

1 第一节　实数及其运算 第一、二章 2 目 录 知识全面梳理 核心考点突破 好题随堂演练 3 知识点1 实数的分类 1.按定义分类 负整数　 负分数　 无理数　 正无理数　 负无理数 4 2.按正、负数分类 正有理数　 正无理数　 0　 负有理数　 负无理数 5 知识点2 实数的有关概念 1.数轴 (1)概念：规定了________、__________和______________的直线.  (2)性质：①实数与数轴上的点是____________;  ②离原点越远的数的绝对值越__________;  ③数轴上右边的数总比左边的数__________.  原点　 正方向　 单位长度　 一一对应的　 大 大 6 2.相反数：只有　符号　不同的两个数互为相反数，即a+b=0⇔a，b互为 相反数;实数a(a≠0)的相反数是-a，特别地，0的相反数是0.  几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的 距离相等. 3.倒数：乘积是　1　的两个数互为倒数，即ab=1⇔a，b互为倒数.实数 a(a≠0)的倒数是　　，0没有倒数，1和-1的倒数是它本身.  4.绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的　距　叫作数a的绝对 值，记作|a|.  符号　 1 距离 7 【方法指导】 绝对值的表示形式及意义 (1)实数a的绝对值可以表示为|a|= (2)对任意实数a，总有|a|≥0; (3)若|x|=a(a≥0)，则x=±a. 8 5.平方根、算术平方根、立方根 (1)平方根：一般地，如果一个数的　平方　等于a，那么这个数叫作 a的平方根或二次方根，记作　±　.正数的平方根有两个，它们互为 相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.  (2)算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么 这个正数x叫作a的算术平方根，记作  　.正数的算术平方根是正数， 0的算术平方根是0.  (3)立方根：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方 根或三次方根，记作 　 .正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数 的立方根是负数，每个实数有且只有一个立方根.  平方　 ± 9 知识点3 近似数与科学记数法 1.近似数：与实际完全符合的数称为准确数，与实际接近的数称为近似数. 2.精确度：一个近似数的最后一位是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 3.科学记数法：把一个数表示成a×10n的形式(其中1≤|a|<10，n是整数)，使用的是科学记数法. 10 4.常见单位换算 将含有计数(量)单位的数用科学记数法表示时，要保证原数与要求表示成 的科学记数法形式的单位一致，常考的计数单位有：1千=103，1万=104， 1亿=108;常考的计量单位有：1 mm=10-3 m，1 μm=　1　 m，1 nm=10-9　m.  10-6 10-9 11 知识点4 计算器的使用 计算器的主要按键符号及功能说明： 1.ON/C(开机/清除);OFF(关机键);2ndF(第二功能选择键);ANS(最终答案存储 器);x-1(倒数);yx(乘幂运算);x2(平方);(方根运算);(开平方);(开立 方);ab/c(分数输入). 2.对于不同型号的计算器，使用方法也不完全相同，因此在使用计算器之 前应仔细阅读使用说明，了解计算器的操作要求. 12 知识点5 实数的大小比较 1.数轴比较法：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 2.法则比较法：正数>0>负数;两个负数比较大小，　绝对 大的数反而小.  3.作差比较法：a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔a<b. 4.作商比较法： (1)若a>0，b>0，则>1⇔a>b;=1⇔a=b;<1⇔a<b. (2)若a<0，b<0，则>1⇔a<b;=1⇔a=b;<1⇔a>b. 绝对值 13 5.平方比较法：若()2>()2>0，即a>b>0，则>.如()2=<()2=2， 则<. 适用条件：适用于含根号的无理数与其他数比较大小或二次根式的估值. 6.倒数比较法：若ab>0，则<⇔a>b. 7.特殊值法：含有字母时，给字母取特殊值更加简便快捷. 14 知识点6 实数的运算 1.实数的运算法则 (1)四则运算 ①加法：同号两数相加，取　 　符号，并把　　　绝对值; 绝对值不相等的异号两数相加，取　对值较 大的数　的符号， 并用　较大的绝对值减去较小 的　;互为相反数的两数相加得 　　;一个数同0相加，仍得这个数.  ②减法：a-b=a+(-b). ③乘法：a·b=ab，(-a)·(-b)=ab，a·(-b)=-ab，0·a=0. ④除法：a÷b=a·(b≠0)，0÷b=0(b≠0). 相同的 绝对值相加　 绝对值较大的加数 较大的绝对值减去较小的绝对值 0 15 (2)乘方运算：an= . (3)零指数幂与负整数指数幂 ①a0=1(a≠0); ②a-p=(a≠0，p为正整数). (4)幂的运算：an·(± )n=(±a·)n=(±1)n. (5)绝对值：|a-b|= a-b b-a 16 2.实数混合运算的顺序 (1)先乘方、开方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，注意一定先计算各小项的值. (2)同级运算按从左往右的顺序运算. 17 3.运算律 (1)加法交换律：a+b=b+a. (2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c). (3)乘法交换律：ab=ba. (4)乘法结合律：(ab)c=a(bc). (5)乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac. 18 命题点1 实数的分类 7地2考　 例1 (2024·烟台)下列实数中的无理数是(　　) A. B.3.14 C. D. C 【解题启发】 什么是无理数？无理数与有理数的区别是什么？ 19 【方法指导】 常见无理数的形式 (1)开方开不尽的数，如，… (2)某些三角函数值，如sin 60°，cos 45°，tan 30°，… (3)类似循环小数型，如1.010 010 001…，4.151 151 115…，… (4)π 型，如，4π，，…(注意：π0=1) 20 练1 (2024·威海)一批食品，标准质量为每袋454 g.现随机抽取4个样品进 行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示， 那么最接近标准质量的是(　　) A.+7 B.-5 C.-3 D.10 C 21 命题点2 实数的有关概念 7地4考　 考法❶　相反数、倒数、绝对值 例2 (2024·济宁)-3的绝对值是(　　) A.3 B. C.-3 D.- 【解题启发】 什么是绝对值？ A 22 练2 (2024·泰安)-的相反数是(　　) A. B.- C. D.- 练3 下列各组数中，互为倒数的是(　　) A.3与|-3| B.8与 C.7与- D.5与-5 C B 23 考法❷　平方根、算术平方根、立方根 例3 的算术平方根是(　　) A.8 B.±8 C.2 D.±2 【解题启发】 平方根、算术平方根和立方根有什么区别？ C 24 练4 (2024·内江)16的平方根是(　　) A.2 B.-4 C.4 D.±4 练5 (2024·青海)-8的立方根是　　　　.  D -2 25 命题点3 数轴 7地1考　 例4(2024·烟台)实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确 的是(　　) A.b+c>3 B.a-c<0 C.|a|>|c| D.-2a<-2b 【解题启发】 你能从数轴上得到什么信息？ B 26 练6 (2023·菏泽)实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子 正确的是(　　) A.c(b-a)<0 B.b(c-a)<0 C.a(b-c)>0 D.a(c+b)>0 练7 (北师大版七上P29T5改编)点A在数轴上距离原点2个单位长度，若一 个点从点A处向右移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，此时终 点所表示的数是　　　　.  C 3或-1　 27 命题点4 科学记数法 7地6考　 例5 (2024·山东)2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位 61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为(　　) A.0.619×103 B.61.9×104 C.6.19×105 D.6.19×106 【解题启发】 1万=1×　　　，61.9万转化为数字是　　　，a是　　　， n是　　　　.  C 28 【方法指导】 (1)表示形式：a×10n. (2)a的确定：1≤|a|<10. (3)n的确定：①当原数的绝对值≥10时，n为正整数，且等于原数的整数位数减1; ②当0<原数的绝对值<1时，n是负整数，且它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前面的那一个). 29 练8 【新素材】以全球最薄的手撕钢为背景考查科学记数法的表示 (2024·烟台)目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米， 约是A4纸厚度的六分之一，已知1毫米=1百万纳米，0.015毫米等于 多少纳米？将结果用科学记数法表示为(　　) A.0.15×103纳米 B.1.5×104纳米 C.15×10-5纳米 D.1.5×10-6纳米 B 30 练9 (2024·济宁)我国自主研发的500 m口径球面射电望远镜(FAST)有 “中国天眼”之称，它的反射面面积约为250 000 m2.将250 000用科学 记数法表示为　　　　　　.  2.5×105 31 命题点5 实数的大小比较 7地2考　 例6 (2024·山东)下列实数中，平方最大的数是(　　) A.3 B. C.-1 D.-2 【解题启发】 这些数进行平方计算后有什么变化？ A 32 练10 (2024·威海)下列各数中，最小的数是(　　) A.-2 B.-(-2) C.- D.- A 33 命题点6 实数的运算 7地6考　 例7 (2023·菏泽)计算：|-2|+2sin 60°-2 0230=　　　　.  【解题启发】 |-2|=　　　　，sin 60°=　　　　，2 0230=　　　　.  1 34 练11 (2024·滨州)计算：2-1+(-2)×(-)-. 解：原式=+1-=0. 35 练12 (2023·济宁)计算：-2cos 30°+|-2|+2-1. 解：原式=2-2×+2-+=2-+2-+=. 36 练13 【新考法】 策略开放性，自由组合进行计算 (2024·贵州节选)在①22，②|-2|，③(-1)0，④×2中任选3个代数式求和. 解：选取①②③这3个数进行求和，22+|-2|+(-1)0=4+2+1=7.(答案不唯一) 37 建议用时：5分钟 1.(2023·临沂)计算(-7)-(-5)的结果是(　　) A.-12 B.12 C.-2 D.2 2.(2024·日照)实数-，0，，1.732中无理数是(　　) A.- B.0 C. D.1.732 C C 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 38 3.(改编题)的平方根是(　　) A.4 B.±4 C.2 D.±2 4.(2023·济南)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是(　　) A.ab>0 B.a+b>0 C.a+3<b+3 D.-3a<-3b D D 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 39 5.填空：-3的相反数是________，绝对值是________，|-2|=______.  6.(2022·泸州)若(a-2)2+|b+3|=0，则ab=________.  7.(2023·东营)我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的 误差小于 0.000 000 3.将0.000 000 3用科学记数法可以表示为________.  3- 3- 2 -6 3×10-7 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 40 8.如图，是一个“数值转换机”的示意图.若x=-5，y=3，则输出结果为________.  13 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 41 9.(2023·东营改编)计算：tan 45°-(2 023-π)0+|2-2|+()-1. 解：原式=×1-1+2-2+4=3+1. 1 3 5 7 9 题序 2 4 6 8 42 $$