10.2 电势差 讲义- 2025-2026学年高一升高二暑假预习物理强化讲义（人教版（2019）必修第三册）

10.2 电势差 ——划重点之高一暑假预习强化精细讲义 电鳗是放电能力极强的淡水鱼，它的体内从头到尾都有一些类似小型电池的细胞，这些“电池”串联起来后，在电鳗的头和尾之间就产生了很高的电势差。 知识点1：电势差 1.定义及定义式 (1)定义：电场中两点间电势的差值叫作电势差，也叫作电压。用 表示，单位为 ，用 表示。 (2)定义式：设电场中A点的电势为φA,B点的电势为φB,则A、B两点之间的电势差为UAB = .B、A两点之间的电势差为UBA = ,所以UAB = . 2.对电势差的理解 ①电场中两点间的电势差，由电场本身的性质及两点的位置决定。在确定的电场中，任意两点间的电势差有 值，与零电势点的选取 ，即使不放入电荷，这两点间电势差也是 的。 ②注意电势差的下标及下标顺序，区别A、B间电势差UAB=φA-φB和B、A间电势差UBA=φB-φA,UAB =-UBA。 ③电势差等于两点间的电势之差，所以某点的电势可看成是该点与 点间的电势差，即 φA =UA0,φ0 = 0。 ④电势差是 ，但电势差有正、负，电势差的正、负表示电场中两点电势的 ，如UAB =-6V,表示A点的电势比B点的电势低6V。 电势 电势差 区别 定义 电势能与电荷量之比， 静电力做的功与电荷量之比 决定因素 由电场和电场中点的位置决定 由电场和场内两点的位置决定 相对性 有，与零电势点的选取 无，与零电势点的选取 联系 数值关系 UAB = φA - φB,当φB = 0时，UAB = φA 标矢性 都是标量，但均有正、负 单位 国际单位制单位都为伏特(V) 物理意义 都是描述电场的 的性质的物理量 知识点2:静电力做功与电势差的关系 1.公式推导 电荷q在电场中从A点移到B点，由静电力做功与电势能变化的关系可得：WAB = ,由电势能与电势的关系可得EpA=qφA,EpB=qφB.所以WAB=q(φA-φB)= ,所以有. 2.物理定义 电场中A、B两点间的电势差，等于将电荷由A点移至B点的过程中静电力做的功与电荷量q的比值. 3.运用公式WAB=qUAB的两种思路 思路一 带正负号计算.WAB的正负号表示静电力做正功还是负功，UAB的正负号表示A点电势高于或低于B点电势，q的正负号表示是正电荷还是负电荷. 思路二 带绝对值计算.该方法得到的结果没有负号，静电力做正功还是负功，通过电荷的正负以及电荷移动的方向与电场的方向关系来判断，比较麻烦。 ①引入电势差概念后，静电力做功的计算十分方便，特别是当静电力是 时，不能用W=Eqlcos θ来计算，可以用WAB=qUAB来计算. ②公式WAB=qUAB适用于任何电场，计算时W与U的角标要对应，即WAB=qUAB、WBA=qUBA. ③WAB=qUAB中，静电力做的功WAB与移动电荷q的路径 ，只跟 、 位置有关. ④电子伏特的符号为eV,是能量的单位，代表一个电子(带电荷量为-1.6×10-19C)经过1V的电压加速后所获得的动能。电子伏特(eV)与焦耳(J)的换算关系是1 eV = J. 知识点3:等势面 1.定义 用等势面可以形象地反映电场中电势的高低变化，电场中电势相同的各点构成的面叫作等势面. 2.特点 (1)电场线一定与等势面 ，并且由电势 的等势面指向电势 的等势面. (2)电荷沿等势面运动，静电力 ，或做功之和为 .因为等势面上各点电势相等，电荷在同一等势面上各点具有 的电势能，所以在同一等势面上移动电荷时，电势能不变，即静电力不做功. (3)等差等势面密处场强 、电场线 ，疏处场强 、电场线 . (4)任意两个等势面都不会 . 电势为零处，场强 定为零；电势越高处，场强 定大；电势相等处，场强 定相等. 3.典型的等势面 名称 等势面的描述 分布 孤立点电荷 以点电荷为球心的一簇球面，以正点电荷为例，越靠近点电荷，电势越 ；越远离点电荷，电势越 。 等量异种点电荷 两簇对称的曲面(含中垂面): （1）两电荷连线上由正电荷到负电荷，电势逐渐 ，以中垂面为界，取无穷远处电势为零，正电荷一边的电场中每点电势都为 ，负电荷一边的电场中每点电势都为 。 （2）中垂面无限大，与无穷远处等势，中垂面上电势处处 ，若取无穷远处电势为 ，则中垂面上各点电势都为 。 等量同种点电荷 两簇对称的曲面(以等量正点电荷为例): （1）在两点电荷连线上：中点电势最 ，但不为 ；关于中点对称的任意两点电势 。 （2）连线的中垂线上：由连线中点向两边到无穷远处电势逐渐 ，无穷远处电势为 ；中垂线上关于连线中点对称的任意两点电势 。 匀强电场 垂直于电场线的一簇 平面。 不规则带电导体 垂直于电场线的一簇 曲面。 4.等量同种和异种点电荷的φ-x图像 ①两等量正点电荷连线上的各点，中点电势最低，由中点到两端电势升高，关于中点对称的两点电势相等，如图(a)所示. ②两等量正点电荷连线的中垂线上的各点，中点电势最高，由中点到无穷远处电势降低，关于中点对称的两点电势相等，如图(b)所示. ③等量异种点电荷电场的等势面：两点电荷连线上各点，从正电荷到负电荷电势逐渐降低，若以连线的中垂面为零电势面，正电荷一边的电场中的电势均为正，负电荷一边的电场中的电势均为负，如图(c)所示. ①处于静电平衡状态的整个导体是个 ，导体的表面为 . ②地球是一个极大的导休.可以认为处于静电平衡状态，所以它是一个等势体，这是我们可以选大地作为零电势体的一个原因.在很多问题中提到的“接地”,表示与大地相连的部分电势为 . ③处于静电平衡状态的导体内部场强处处为 ，电势 定为零，因为电势其有相对性，电势的数值与零电势点的选取 . 重难点1：静电力做功问题的解题方法及特点 1.静电力做功问题的解题方法 表达式 注意问题 功的定义 W= = 适用于匀强电场 电势差法 WAB = 适用于任何电场，注意带符号运算 功能关系 WAB = EpA-EpB = (1)既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场 (2)既适用于只受静电力的情况，也适用于受多种力的情况 动能定理 W静电力+W其他力=ΔEk 2.带电体只在静电力作用下的能量转化规律 (1)从动能定理角度考虑，带电体动能的变化量 静电力对它做的功. (2)从静电力做功与带电体的电势能变化的关系考虑，带电体的电势能的 等于静电力对它做的功. (3)从能量守恒角度考虑，带电体动能的 等于它的电势能的减少量。 重难点2：等势面与电场线的区别与联系 1.区别 (1)电场线起始于正电荷(或无穷远处),终止于无穷远处(或负电荷),不 ；等势面可以闭合，也可以不闭合。 (2)电场线的疏密程度表示电场强度的大小，只有 等势面才能用疏密程度表示电场强度的大小。 (3)电场线上某点的切线方向表示该点电场强度的方向、等势面上各点电场强度的方向都 于等势面，指向电势降落的方向。 (4)沿电场线移动电荷，静电力 做功；沿等势面移动电荷，静电力 做功。 2.联系 (1)电场线和等势面处处 。 (2)任意两电场线之间和任意两等势面之间都不 。 (3)电场线和等势面都是为了形象地描述电场而假想出来的，实际上并 。 命题点1：电场力做功的求解方法 【针对练习1】有一电荷量的点电荷，从电场中的A点移动到B点时，静电力做功，从B点移动到C点时克服静电力做功。（重力忽略不计） (1)求电势差UAB、UBC的大小； (2)若以C点为零电势点，求B点的电势和点电荷在B点的电势能； (3)将该点电荷放在C点，由静止释放后，求它到达A点时动能的大小 【针对练习2】如图所示，在匀强电场中，将电荷量为的点电荷从电场中的A点移到B点，克服静电力做功为，再从B点移到C点，静电力做功为。已知电场的方向与所在的平面平行。 (1)两点间的电势差和两点间的电势差分别为多少？ (2)如果规定B点的电势为0，则A点和C点的电势分别为多少？ (3)请在图中画出过B点的电场线方向，并说明理由。 【针对练习3】如图所示，A、B是固定在同一条竖直线上的两个等量异种点电荷，它们的电荷量均为Q，它们之间的距离为2d。MN是竖直固定的光滑绝缘细杆，细杆上的C点与点电荷A所在位置等高，细杆上的D点与点电荷B所在位置等高，O点为CD的中点，A、B两点电荷到细杆的距离均为。现将一套在细杆上的质量为m、电荷量为q、带正电的小球（视为质点）从C点由静止释放，小球经过O点时的速度大小为，静电力常量为k，重力加速度大小为g。求： (1)O点处的电场强度大小E； (2)C、O两点间的电势差UCO； (3)小球到达D点时的速度大小v。 命题点2：等势面的应用 【针对练习4】真空中某带负电的点电荷的等势面分布如图所示，图中相邻等势面的半径差相等。下列说法中正确的是（　　） A．P点电势比Q点电势高 B．P点的场强比Q点的场强大 C．相邻等势面间的电势差相等 D．把另一带负电的点电荷从P点移到Q点，电场力做负功 【针对练习5】电鳐是一种能够放电的生物，如图所示，生物学家在研究电鳐放电的过程中，利用一带电体模拟电鳐其中一个极板放电的过程，其中实线为电场线，虚线为等势线，点位置关于带电体对称，下列说法正确的是（　　） A．两点电场强度相同 B．点的电势可能等于点的电势 C．负点电荷在点比在点受到的电场力大 D．负点电荷在点比在点具有的电势能大 【针对练习6】某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场力作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点，运动轨迹与等势面d在Р点相切，则下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电荷 B．M点的电场强度比N点的电场强度大 C．粒子在M点的电势能比在N点的电势能小 D．粒子在P点的动能比在M点的动能小 命题点3：电势差与力学综合 【针对练习7】如图所示，电荷量为+Q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为θ的光滑绝缘斜面。质量为m、电荷量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。只考虑+Q在空间各处产生的电场，取离+Q无限远处的电势为0。已知AC间的距离为S，重力加速度大小为g，静电力常量为k。仅利用以上条件不能求出的是（　　） A．B点的场强EB B．OB之间的距离xOB C．A点的电势φA D．AC两点间的电势差UAC 【针对练习8】（多选）如图所示，在平面直角坐标系xOy的、两点处固定着电荷量分别为+q、的两个点电荷，A、B为y轴上两点，坐标分别为、，M、N、P、Q四个点是以为中心的正方形的四个顶点，在上述两个点电荷所形成的电场中，下列说法正确的是（　　） A．N点与Q点电势相等 B．x轴上处电场强度为零 C．B点的电势高于A点的电势，A点的电场强度大于B点的电场强度 D．将某一负电荷从P点移动到Q点电场力做的功大于将其从N点移动到M点电场力做的功 【针对练习9】如图所示，竖直面内有一长为、宽为的长方形ABCD，M、N分别为AD与BC的中点。四个电荷量均为Q（Q未知）的点电荷位于长方形的四个顶点，A、D处点电荷带正电， B、C处点电荷带负电。一个质量为m、电荷量为（可视为点电荷）的带电小球从M处由静止释放，小球运动到MN中点O处时速度为。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，求: (1)M、O两点间的电势差； (2)小球到达N点时的速度大小； (3)已知在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势为，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和，求点电荷Q的电荷量。 一、单选题 1．在做心电图体检时，人体表面某一时刻的电势分布如图所示。P、Q是心电图机的两个电极，a、b是人体表面的两点，下列说法正确的是（    ） A．P极是负极，Q极是正极 B．b点的电势比a点的电势低 C．b点的电场强度比a点的电场强度小 D．电子从a点移到b点过程中，电场力做功 2．除颤仪是一种常见的医疗仪器，它能用较强的脉冲电流消除心律失常，使心脏恢复窦性心律。如图是除颤仪某次工作时产生的局部电场，虚线是等势线及其电势值，一带电粒子只在电场力作用下沿实线飞经该电场，则（　　） A．粒子带负电 B．粒子在A点的动能大于在C点的动能 C．A点的加速度小于C点的加速度 D．粒子从A点到B点电场力所做的功小于从B点到C点电场力所做的功 3．将不带电的金属球靠近带正电的金属球，系统达到静电平衡状态后，纸面内的电场线和等势面分布如图所示，两点关于金属球的连线对称，为金属球外表面的两点，下列说法正确的是（　　） A．金属球B左侧带正电 B．点与点电场强度相同 C．间的电势差与间的电势差相等 D．将带正电的试探电荷从点移到点，电势能增加 4．如图甲所示，竖直放置的绝缘圆环上均匀分布着正电荷，光滑的绝缘细杆过圆心且垂直于圆环平面，杆上套有一带电小球。时将小球从点由静止释放，小球沿细杆运动的图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．小球从到的过程中电势能一直增大 B．小球从到的过程中电势能先增大后减小 C．点的电场强度大于点的电场强度 D．、两点电势差小于、两点的电势差 5．在真空中A、B两处固定两个等量异种电荷，正下方有一根足够长的光滑玻璃杆水平放置，一个质量为m、电荷量为的小圆环穿在杆上，从A点的正下方C处以速度向右运动至B点正下方D处时的速度为，O点是CD的中点，下列说法正确的是（    ）    A．小圆环从C到D过程中先做减速运动，再做加速运动 B．CD两点间的电势差为： C．小圆环至O点时的速度为： D．小圆环通过D点后，继续向前运动很远距离，最终速率趋于 6．如图所示，对称分布的实线表示真空中两点电荷在某一平面内的部分等差等势线，点是两点电荷连线的中点，E、F在两点电荷连线上，A、B在两点电荷连线的中垂线上，B、C、D三点在同一条直线上。已知，电子能以点为圆心在垂直纸面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．电势差 B．两点电荷为等量的负电荷 C．A、B两点的场强相同 D．E、F两点的电势相等 7．电场是存在于电荷周围能传递电荷与电荷之间相互作用的物理场。在电荷的周围存在着由它产生的电场，同时电场对场中其他电荷产生力的作用。如图，为在同一竖直平面内以为圆心的圆上四点，其中沿同一水平线，点到线的垂直距离相等，间某点（不包含、点）固定一负点电荷，则下列说法正确的是（　　） A．一试探电荷在点受到的电场力大于在点受到的电场力 B．两点的电场强度相同 C．将一正点电荷由点移至点，电场力对该电荷做正功 D．点的电势高于点的电势 8．如图所示为一正四棱锥，底面四个顶点A、B、C、D上依次固定电荷量为＋q、＋q、－q、－q的点电荷，O点为底面中心，规定无穷远处电势为零，则（　　） A．E点处电场强度、电势都为零 B．O点处电场强度方向由B指向O C．将一质子从O点沿直线移动到CD边中点，其电势能逐渐减小 D．将一质子从O点沿直线移动到E点，其电势能增加 二、多选题 9．在一个匀强电场中有、两点，相距为，电场强度为，把一个电荷量为的正点电荷由点移到点时，克服电场力做功为，下列说法正确的是（    ） A．该点电荷在点的电势能比在点的电势能小 B．点电势比点电势低 C．、两点电势差大小一定为 D．、两点电势差 10．图中虚线代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面上的电势为。一电子经过时的动能为，从到的过程中克服电场力所做的功为。下列说法正确的是（　　） A．平面上的电势为零 B．该电子一定可以到达平面 C．该电子经过平面时，其电势能为 D．该电子经过平面时的速率是经过时的2倍 三、解答题 11．如图所示，光滑绝缘细杆竖直固定在、两点连线的中垂线上，A、B是细杆上的两个点，在、两点分别固定一负点电荷，电荷量均为，且。质量为、电荷量为q（）的带正电小球套在杆上，小球从A点无初速度下滑到B点时的速度大小为。静电力常量为，重力加速度大小为。求： (1)B点电场强度的大小； (2)A、B两点的电势差。 12．如图所示，一光滑绝缘细杆与水平地面成夹角放置，底部A点固定一带电荷量为Q的正电荷，杆上有B、C两点，C为AB的中点，AB两点相距d。现将一带电小球穿过杆从B点由静止释放，当带电小球运动到C点时速度恰好为零，带电小球在B点加速度大小为，已知重力加速度为g，静电力常量为 k。求： (1)小球运动到C点时的加速度； (2)和C两点间的电势差。 13．如图所示，在竖直平面内固定着一根光滑绝缘细杆，细杆左侧点处固定着一个带负电的点电荷，以为圆心的圆周与细杆交于两点，点为的中点。现将一质量为电荷量为的小球（可视为质点）套在杆上从点由静止释放，小球滑到点时的速度大小为。已知重力加速度为，点和点的高度差为，取点为零电势点。求： (1)点的电势； (2)小球滑至点时的速度大小。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2 电势差 ——划重点之高一暑假预习强化精细讲义 电鳗是放电能力极强的淡水鱼，它的体内从头到尾都有一些类似小型电池的细胞，这些“电池”串联起来后，在电鳗的头和尾之间就产生了很高的电势差。 知识点1：电势差 1.定义及定义式 (1)定义：电场中两点间电势的差值叫作电势差，也叫作电压。用U表示，单位为伏特，用V表示。 (2)定义式：设电场中A点的电势为φA,B点的电势为φB,则A、B两点之间的电势差为UAB = φA - φB.B、A两点之间的电势差为UBA = φB - φA,所以UAB = -UBA. 2.对电势差的理解 ①电场中两点间的电势差，由电场本身的性质及两点的位置决定。在确定的电场中，任意两点间的电势差有固定值，与零电势点的选取无关，即使不放入电荷，这两点间电势差也是固定的。 ②注意电势差的下标及下标顺序，区别A、B间电势差UAB=φA-φB和B、A间电势差UBA=φB-φA,UAB =-UBA。 ③电势差等于两点间的电势之差，所以某点的电势可看成是该点与零电势点间的电势差，即 φA =UA0,φ0 = 0。 ④电势差是标量，但电势差有正、负，电势差的正、负表示电场中两点电势的高低，如UAB =-6V,表示A点的电势比B点的电势低6V。 电势 电势差 区别 定义 电势能与电荷量之比， 静电力做的功与电荷量之比 决定因素 由电场和电场中点的位置决定 由电场和场内两点的位置决定 相对性 有，与零电势点的选取有关 无，与零电势点的选取无关 联系 数值关系 UAB = φA - φB,当φB = 0时，UAB = φA 标矢性 都是标量，但均有正、负 单位 国际单位制单位都为伏特(V) 物理意义 都是描述电场的能的性质的物理量 知识点2:静电力做功与电势差的关系 1.公式推导 电荷q在电场中从A点移到B点，由静电力做功与电势能变化的关系可得：WAB = EpA-EpB,由电势能与电势的关系可得EpA=qφA,EpB=qφB.所以WAB=q(φA-φB)=qUAB,所以有. 2.物理定义 电场中A、B两点间的电势差，等于将电荷由A点移至B点的过程中静电力做的功与电荷量q的比值. 3.运用公式WAB=qUAB的两种思路 思路一 带正负号计算.WAB的正负号表示静电力做正功还是负功，UAB的正负号表示A点电势高于或低于B点电势，q的正负号表示是正电荷还是负电荷. 思路二 带绝对值计算.该方法得到的结果没有负号，静电力做正功还是负功，通过电荷的正负以及电荷移动的方向与电场的方向关系来判断，比较麻烦。 ①引入电势差概念后，静电力做功的计算十分方便，特别是当静电力是变力时，不能用W=Eqlcos θ来计算，可以用WAB=qUAB来计算. ②公式WAB=qUAB适用于任何电场，计算时W与U的角标要对应，即WAB=qUAB、WBA=qUBA. ③WAB=qUAB中，静电力做的功WAB与移动电荷q的路径无关，只跟初、末位置有关. ④电子伏特的符号为eV,是能量的单位，代表一个电子(带电荷量为-1.6×10-19C)经过1V的电压加速后所获得的动能。电子伏特(eV)与焦耳(J)的换算关系是1 eV =1.6×10-19J. 知识点3:等势面 1.定义 用等势面可以形象地反映电场中电势的高低变化，电场中电势相同的各点构成的面叫作等势面. 2.特点 (1)电场线一定与等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面. (2)电荷沿等势面运动，静电力不做功，或做功之和为零.因为等势面上各点电势相等，电荷在同一等势面上各点具有相同的电势能，所以在同一等势面上移动电荷时，电势能不变，即静电力不做功. (3)等差等势面密处场强大、电场线密，疏处场强小、电场线疏. (4)任意两个等势面都不会相交. 电势为零处，场强不一定为零；电势越高处，场强不一定大；电势相等处，场强不一定相等. 3.典型的等势面 名称 等势面的描述 分布 孤立点电荷 以点电荷为球心的一簇球面，以正点电荷为例，越靠近点电荷，电势越高；越远离点电荷，电势越低。 等量异种点电荷 两簇对称的曲面(含中垂面): （1）两电荷连线上由正电荷到负电荷，电势逐渐降低，以中垂面为界，取无穷远处电势为零，正电荷一边的电场中每点电势都为正，负电荷一边的电场中每点电势都为负。 （2）中垂面无限大，与无穷远处等势，中垂面上电势处处相等，若取无穷远处电势为零，则中垂面上各点电势都为零。 等量同种点电荷 两簇对称的曲面(以等量正点电荷为例): （1）在两点电荷连线上：中点电势最低，但不为零；关于中点对称的任意两点电势相等。 （2）连线的中垂线上：由连线中点向两边到无穷远处电势逐渐降低，无穷远处电势为零；中垂线上关于连线中点对称的任意两点电势相等。 匀强电场 垂直于电场线的一簇平行平面。 不规则带电导体 垂直于电场线的一簇不规则曲面。 4.等量同种和异种点电荷的φ-x图像 ①两等量正点电荷连线上的各点，中点电势最低，由中点到两端电势升高，关于中点对称的两点电势相等，如图(a)所示. ②两等量正点电荷连线的中垂线上的各点，中点电势最高，由中点到无穷远处电势降低，关于中点对称的两点电势相等，如图(b)所示. ③等量异种点电荷电场的等势面：两点电荷连线上各点，从正电荷到负电荷电势逐渐降低，若以连线的中垂面为零电势面，正电荷一边的电场中的电势均为正，负电荷一边的电场中的电势均为负，如图(c)所示. ①处于静电平衡状态的整个导体是个等势体，导体的表面为等势面. ②地球是一个极大的导休.可以认为处于静电平衡状态，所以它是一个等势体，这是我们可以选大地作为零电势体的一个原因.在很多问题中提到的“接地”,表示与大地相连的部分电势为零. ③处于静电平衡状态的导体内部场强处处为零，电势不一定为零，因为电势其有相对性，电势的数值与零电势点的选取有关. 重难点1：静电力做功问题的解题方法及特点 1.静电力做功问题的解题方法 表达式 注意问题 功的定义 W=qElcos θ=qEd 适用于匀强电场 电势差法 WAB = qUAB 适用于任何电场，注意带符号运算 功能关系 WAB = EpA-EpB = -ΔEp (1)既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场 (2)既适用于只受静电力的情况，也适用于受多种力的情况 动能定理 W静电力+W其他力=ΔEk 2.带电体只在静电力作用下的能量转化规律 (1)从动能定理角度考虑，带电体动能的变化量等于静电力对它做的功. (2)从静电力做功与带电体的电势能变化的关系考虑，带电体的电势能的减少量等于静电力对它做的功. (3)从能量守恒角度考虑，带电体动能的增加量等于它的电势能的减少量。 重难点2：等势面与电场线的区别与联系 1.区别 (1)电场线起始于正电荷(或无穷远处),终止于无穷远处(或负电荷),不闭合；等势面可以闭合，也可以不闭合。 (2)电场线的疏密程度表示电场强度的大小，只有等差等势面才能用疏密程度表示电场强度的大小。 (3)电场线上某点的切线方向表示该点电场强度的方向、等势面上各点电场强度的方向都垂直于等势面，指向电势降落的方向。 (4)沿电场线移动电荷，静电力一定做功；沿等势面移动电荷，静电力一定不做功。 2.联系 (1)电场线和等势面处处垂直。 (2)任意两电场线之间和任意两等势面之间都不相交。 (3)电场线和等势面都是为了形象地描述电场而假想出来的，实际上并不存在。 命题点1：电场力做功的求解方法 【针对练习1】有一电荷量的点电荷，从电场中的A点移动到B点时，静电力做功，从B点移动到C点时克服静电力做功。（重力忽略不计） (1)求电势差UAB、UBC的大小； (2)若以C点为零电势点，求B点的电势和点电荷在B点的电势能； (3)将该点电荷放在C点，由静止释放后，求它到达A点时动能的大小 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）电荷由A移向B，则有静电力做正功 解得 电荷从B点移动到C点时克服静电力做功即静电力做负功，同理可得 （2）又因为 若，可得 解得 （3）A、C两点电势差为 所以 由动能定理可得 【针对练习2】如图所示，在匀强电场中，将电荷量为的点电荷从电场中的A点移到B点，克服静电力做功为，再从B点移到C点，静电力做功为。已知电场的方向与所在的平面平行。 (1)两点间的电势差和两点间的电势差分别为多少？ (2)如果规定B点的电势为0，则A点和C点的电势分别为多少？ (3)请在图中画出过B点的电场线方向，并说明理由。 【答案】(1)， (2)， (3)，见解析 【详解】（1）根据电场力做功和电势差的关系 可得两点间的电势差和两点间的电势差分别为 （2）由题可知 若规定，则解得 （3）设的中点为D，易知D点电势也为，与C电势相等，连接，则为匀强电场中的一条等势线，过B作的垂线，即为过B的电场线，沿电场方向电势降低，故过B的电场线如图 【针对练习3】如图所示，A、B是固定在同一条竖直线上的两个等量异种点电荷，它们的电荷量均为Q，它们之间的距离为2d。MN是竖直固定的光滑绝缘细杆，细杆上的C点与点电荷A所在位置等高，细杆上的D点与点电荷B所在位置等高，O点为CD的中点，A、B两点电荷到细杆的距离均为。现将一套在细杆上的质量为m、电荷量为q、带正电的小球（视为质点）从C点由静止释放，小球经过O点时的速度大小为，静电力常量为k，重力加速度大小为g。求： (1)O点处的电场强度大小E； (2)C、O两点间的电势差UCO； (3)小球到达D点时的速度大小v。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）点电荷在点处产生的电场强度大小 根据几何关系有 设点电荷在点处产生的电场方向与竖直方向的夹角为，根据矢量的合成可知 根据几何关系可知 解得 。 （2）小球从点运动到点的过程中，根据动能定理有 两点间的电势差 解得 。 （3）根据电场分布的对称性可知 小球从点运动到点的过程中，根据动能定理有 解得 命题点2：等势面的应用 【针对练习4】真空中某带负电的点电荷的等势面分布如图所示，图中相邻等势面的半径差相等。下列说法中正确的是（　　） A．P点电势比Q点电势高 B．P点的场强比Q点的场强大 C．相邻等势面间的电势差相等 D．把另一带负电的点电荷从P点移到Q点，电场力做负功 【答案】B 【详解】A. P点距离负电荷较近，可知P点电势比Q点电势低，选项A错误； B. P点距离负电荷较近，P点的场强比Q点的场强大，选项B正确； C. 距离负电荷越远则场强越小，根据U=Ed，可知相邻等势面间的电势差不相等，选项C错误； D. 把另一带负电的点电荷从P点移到Q点，电场力做正功，选项D错误。 故选B。 【针对练习5】电鳐是一种能够放电的生物，如图所示，生物学家在研究电鳐放电的过程中，利用一带电体模拟电鳐其中一个极板放电的过程，其中实线为电场线，虚线为等势线，点位置关于带电体对称，下列说法正确的是（　　） A．两点电场强度相同 B．点的电势可能等于点的电势 C．负点电荷在点比在点受到的电场力大 D．负点电荷在点比在点具有的电势能大 【答案】D 【详解】A．电场强度方向垂直于等势线，故两点电场强度方向不同，故A错误； B．沿电场方向电势逐渐降低，将两点等势到相同的电场线上可知点电势高于点电势，故B错误； C．根据电场线疏密可知点电场强度小于点电场强度，故电荷在点的电场力小于在点的电场力，故C错误； D．点电势高于点电势，则负电荷在点比在点具有的电势能大，故D正确。 故选D。 【针对练习6】某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场力作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点，运动轨迹与等势面d在Р点相切，则下列说法正确的是（　　） A．粒子带负电荷 B．M点的电场强度比N点的电场强度大 C．粒子在M点的电势能比在N点的电势能小 D．粒子在P点的动能比在M点的动能小 【答案】D 【详解】A．根据等势面的电势分布可知，带电体带正电荷，再由粒子的运动轨迹可知，粒子在运动过程中受到带电体的排斥，判断该粒子带正电荷，A错误； B．等差等势面越密集，电场强度越大，故M点的电场强度比N点的小，B错误； C．粒子带正电，因为M点的电势高于N点的电势，故粒子在M点的电势能比在N点的电势能大，C错误； D．由于带电粒子仅在电场作用下运动，电势能与动能总和不变，可知当粒子的电势能增大时动能减小，故粒子到达Р点时电势能最大，动能最小，D正确。 故选D。 命题点3：电势差与力学综合 【针对练习7】如图所示，电荷量为+Q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为θ的光滑绝缘斜面。质量为m、电荷量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。只考虑+Q在空间各处产生的电场，取离+Q无限远处的电势为0。已知AC间的距离为S，重力加速度大小为g，静电力常量为k。仅利用以上条件不能求出的是（　　） A．B点的场强EB B．OB之间的距离xOB C．A点的电势φA D．AC两点间的电势差UAC 【答案】C 【详解】AB．由题意知小滑块在B点处的加速度为零，则根据受力分析，沿斜面方向有 解得 所以可以求出B点的场强EB，根据点电荷场强公式 联立解得OB之间的距离 所以可以求出OB之间的距离xOB，故AB不符合题意； D．因为滑到C点时速度为零，小滑块从A到C的过程，静电力对小滑块做的功为W，根据动能定理有 解得 AC之间的电势差为 所以可以求出AC两点间的电势差，故D不符合题意。 C．因为条件不足所以无法求出A点的电势，故C符合题意。 故选C。 【针对练习8】（多选）如图所示，在平面直角坐标系xOy的、两点处固定着电荷量分别为+q、的两个点电荷，A、B为y轴上两点，坐标分别为、，M、N、P、Q四个点是以为中心的正方形的四个顶点，在上述两个点电荷所形成的电场中，下列说法正确的是（　　） A．N点与Q点电势相等 B．x轴上处电场强度为零 C．B点的电势高于A点的电势，A点的电场强度大于B点的电场强度 D．将某一负电荷从P点移动到Q点电场力做的功大于将其从N点移动到M点电场力做的功 【答案】CD 【详解】A．若单独考查形成的电场，N点和Q点位于同一等势面上，但对于形成的电场中，Q点的电势高于N点的电势，根据电势的叠加可知，在两个点电荷形成的叠加电场中，Q点的电势高于N点的电势，A错误； B．根据点电荷形成的电场，可知在处的电场强度 方向水平向右，在处的电场强度 方向水平向右，故二者大小相等，方向相同，合场强不为零，B错误； C．的点电荷等效成一个和一个的两个点电荷，对于和的电场中，A、B位于同一等势面上，而在点电荷形成的电场中，B点的电势高于A点电势，故B点电势高于A点电势，由于A点相对于场源电荷较近，故A点的场强大于B点的场强，C正确； D．形成的电场，N点和Q点位于同一等势面上，但对于形成的电场中，Q点的电势高于N点的电势，因此两点的电势差大于两点的电势差，故将某一负电荷从P点移动到Q点电场力做的功大于将其从N点移动到M点电场力做的功，D正确。 故选CD。 【针对练习9】如图所示，竖直面内有一长为、宽为的长方形ABCD，M、N分别为AD与BC的中点。四个电荷量均为Q（Q未知）的点电荷位于长方形的四个顶点，A、D处点电荷带正电， B、C处点电荷带负电。一个质量为m、电荷量为（可视为点电荷）的带电小球从M处由静止释放，小球运动到MN中点O处时速度为。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，求: (1)M、O两点间的电势差； (2)小球到达N点时的速度大小； (3)已知在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势为，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和，求点电荷Q的电荷量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球从M运动到O，由题意知 由动能定理可得 解得 （2）由题意可知 小球从M运动到N，由动能定理得 联立解得 （3）根据点电荷电势的定义可得，M点的电势 O点的电势 而 各式联立解得 一、单选题 1．在做心电图体检时，人体表面某一时刻的电势分布如图所示。P、Q是心电图机的两个电极，a、b是人体表面的两点，下列说法正确的是（    ） A．P极是负极，Q极是正极 B．b点的电势比a点的电势低 C．b点的电场强度比a点的电场强度小 D．电子从a点移到b点过程中，电场力做功 【答案】D 【详解】A．题图可知P极附近电势为正，故P为正极，Q为负极，故A错误； B．题图可知，故b点的电势比a点的电势高，故B错误； C．题图可知b点等差等势面比a的密集，故b点的电场强度比a点的电场强度大，故C错误； D．电子从a点移到b点过程中，电场力做功 故D正确。 故选D。 2．除颤仪是一种常见的医疗仪器，它能用较强的脉冲电流消除心律失常，使心脏恢复窦性心律。如图是除颤仪某次工作时产生的局部电场，虚线是等势线及其电势值，一带电粒子只在电场力作用下沿实线飞经该电场，则（　　） A．粒子带负电 B．粒子在A点的动能大于在C点的动能 C．A点的加速度小于C点的加速度 D．粒子从A点到B点电场力所做的功小于从B点到C点电场力所做的功 【答案】B 【详解】A．电场线和等势线垂直且由电势高的等势线指向电势低的等势线，因此图中电场线方向应垂直等势线大体指向左侧，带电粒子所受电场力沿电场线指向曲线内侧，故粒子应带正电，故A错误； B．从A到C过程中，电场力做负功，电势能增大，则动能减小，所以粒子在A点的动能大于在C点的动能，故B正确； C．等差等势线越密，电场线也密，所以A点电场强度大于C点，根据牛顿第二定律得 可知A点的加速度大于C点的加速度，故C错误； D．电场力做功与路径无关，只与初末位置电势差有关，因为 所以粒子从A点到B点和从B到C电场力做功相等，故D错误。 故选B。 3．将不带电的金属球靠近带正电的金属球，系统达到静电平衡状态后，纸面内的电场线和等势面分布如图所示，两点关于金属球的连线对称，为金属球外表面的两点，下列说法正确的是（　　） A．金属球B左侧带正电 B．点与点电场强度相同 C．间的电势差与间的电势差相等 D．将带正电的试探电荷从点移到点，电势能增加 【答案】C 【详解】A．金属球A带正电，由静电感应原理可知，金属球B左侧带负电，右侧带正电，A错误； B．由对称性，a点与b点电场强度大小相等，方向不同，B错误； C．达到静电平衡状态的导体是等势体，可知c点的电势与d点的电势相等，间的电势差与间的电势差相等，C正确； D．沿电场方向电势降低，由题图可知，a点的电势高于f点的电势，则将带正电的试探电荷从a点移到f点，电场力做正功，电势能减少，D错误。 故选C。 4．如图甲所示，竖直放置的绝缘圆环上均匀分布着正电荷，光滑的绝缘细杆过圆心且垂直于圆环平面，杆上套有一带电小球。时将小球从点由静止释放，小球沿细杆运动的图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．小球从到的过程中电势能一直增大 B．小球从到的过程中电势能先增大后减小 C．点的电场强度大于点的电场强度 D．、两点电势差小于、两点的电势差 【答案】D 【详解】AB．由题意可知小球带正电，小球从经过运动到点的过程中，速度一直增大，静电力一直做正功，电势能一直减小，故AB错误； C．根据v-t图像的斜率表示加速度，可知小球在点的加速度小于在点的加速度，由 可知点的电场强度小于点的电场强度，故C错误； D．根据动能定理，从a到b有 从b到c有 可得 故D正确。 故选D。 5．在真空中A、B两处固定两个等量异种电荷，正下方有一根足够长的光滑玻璃杆水平放置，一个质量为m、电荷量为的小圆环穿在杆上，从A点的正下方C处以速度向右运动至B点正下方D处时的速度为，O点是CD的中点，下列说法正确的是（    ）    A．小圆环从C到D过程中先做减速运动，再做加速运动 B．CD两点间的电势差为： C．小圆环至O点时的速度为： D．小圆环通过D点后，继续向前运动很远距离，最终速率趋于 【答案】B 【详解】A．根据受力分析，小圆环从C到D过程中受静电力向左，圆环做减速运动，故A错误； B．根据动能定理 解得 故B正确： C．根据对称性 根据动能定理 联立解得 故C错误： D．根据等量异种点电荷电场特点，取无限远处电势为零，则O处电势为零，圆环通过O点到无穷远过程 圆环向无穷远运动过程电势接近0，则有趋向于，故D错误； 故选B。 6．如图所示，对称分布的实线表示真空中两点电荷在某一平面内的部分等差等势线，点是两点电荷连线的中点，E、F在两点电荷连线上，A、B在两点电荷连线的中垂线上，B、C、D三点在同一条直线上。已知，电子能以点为圆心在垂直纸面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．电势差 B．两点电荷为等量的负电荷 C．A、B两点的场强相同 D．E、F两点的电势相等 【答案】D 【详解】AD．根据题意可知，实线为等差等势线，由图可知 E、F两点在同一条等势线上，电势相等，故A错误，D正确； B．电子能以点为圆心在垂直纸面内做匀速圆周运动，说明电子所受电场力指向点，结合图像可知，两点电荷为等量的正电荷，故B错误； C．由对称性可知，A、B两点的场强大小相等，方向相反，故C错误。 故选D。 7．电场是存在于电荷周围能传递电荷与电荷之间相互作用的物理场。在电荷的周围存在着由它产生的电场，同时电场对场中其他电荷产生力的作用。如图，为在同一竖直平面内以为圆心的圆上四点，其中沿同一水平线，点到线的垂直距离相等，间某点（不包含、点）固定一负点电荷，则下列说法正确的是（　　） A．一试探电荷在点受到的电场力大于在点受到的电场力 B．两点的电场强度相同 C．将一正点电荷由点移至点，电场力对该电荷做正功 D．点的电势高于点的电势 【答案】D 【详解】A．根据题意知点、A点距负点电荷的距离关系为 根据，知电场强度 一试探电荷在点受到的电场力小于在点受到的电场力，故A错误； B．根据关于对称，距点电荷距离相同，则点的电场强度与点的电场强度大小相同，方向不同，故B错误； C．根据点电荷周围等势面分布图知，距离点电荷距离相同的点所在的面上电势都相同，点距负点电荷的距离小于点距负点电荷的距离，根据沿电场线方向电势降低可知点的电势低于点的电势，将一正点电荷由点移至点，电场力对该电荷做负功，故C错误； D．根据几何关系知A点距负点电荷的距离大于点距负点电荷的距离，故A点的电势高于点的电势，故D正确。 故选D。 8．如图所示为一正四棱锥，底面四个顶点A、B、C、D上依次固定电荷量为＋q、＋q、－q、－q的点电荷，O点为底面中心，规定无穷远处电势为零，则（　　） A．E点处电场强度、电势都为零 B．O点处电场强度方向由B指向O C．将一质子从O点沿直线移动到CD边中点，其电势能逐渐减小 D．将一质子从O点沿直线移动到E点，其电势能增加 【答案】C 【详解】A．根据等量异种点电荷连线中垂线上的电场及电势特点，由电势叠加可知，O点电势为零，OE为一条等势线，故E点的电势为0；由场强叠加原理可知，E点处电场强度不为零，故A错误； B．由场强叠加可知A、C两等量异种点电荷在O点的场强方向垂直于BD指向C；B、D两等量异种点电荷在O点的场强方向垂直AC指向D，则O点处的电场强度方向沿水平方向向右，且与CD边垂直，故B错误； C．由于CD边中点的电势为负值，则将一质子从O点沿直线移动到CD边中点，电势降低，根据可知，质子的电势能逐渐减小，故C正确； D．由于OE为一条等势线，所以将一质子从O点沿直线移动到E点，电场力不做功，其电势能不变，故D错误。 故选C。 二、多选题 9．在一个匀强电场中有、两点，相距为，电场强度为，把一个电荷量为的正点电荷由点移到点时，克服电场力做功为，下列说法正确的是（    ） A．该点电荷在点的电势能比在点的电势能小 B．点电势比点电势低 C．、两点电势差大小一定为 D．、两点电势差 【答案】AB 【详解】A．正电荷从a点移到b点时，克服电场力做功为W，即电场力对电荷做负功，电势能增加，则电荷在a点电势能较b点小，故A正确； B．由电势能公式Ep=qφ分析知，正电荷在电势低处电势能小，所以a点电势比b点电势低，故B正确； C．a、b两点不一定沿着电场线方向，所以a、b两点电势差大小不一定为U=Ed，故C错误； D．电荷从a移动到b，电场力做功为，根据电势差的定义得：ab间的电势差为 故D错误。 故选AB。 10．图中虚线代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面上的电势为。一电子经过时的动能为，从到的过程中克服电场力所做的功为。下列说法正确的是（　　） A．平面上的电势为零 B．该电子一定可以到达平面 C．该电子经过平面时，其电势能为 D．该电子经过平面时的速率是经过时的2倍 【答案】AC 【详解】A．虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV，动能减小了6eV，电势能增加了6eV，因此a、b、c、d、f相邻两个等势面间的电势差为2V，因平面b上的电势为2V，由于电子的电势能增加，可知等势面电势由a到f是降低，因此平面c上的电势为零，平面a上的电势4V，故A正确； B．由上分析可知，当电子垂直等势面由a向f方向运动，则电子到达平面f的动能为2eV，由于题目中没有说明电子如何运动，因此也可能电子在匀强电场中做类斜抛运动，则可能不会到达平面f，故B错误； CD．在平面b上电势为2V，则电子的电势能为-2eV，动能为8eV，电势能与动能之和为6eV，当电子经过平面d时，动能为4eV，其电势能为2eV，电子经过平面b时的动能是平面d的动能2倍，电子经过平面b时的速率是经过d时的倍，故C正确，D错误。 故选AC。 三、解答题 11．如图所示，光滑绝缘细杆竖直固定在、两点连线的中垂线上，A、B是细杆上的两个点，在、两点分别固定一负点电荷，电荷量均为，且。质量为、电荷量为q（）的带正电小球套在杆上，小球从A点无初速度下滑到B点时的速度大小为。静电力常量为，重力加速度大小为。求： (1)B点电场强度的大小； (2)A、B两点的电势差。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）电荷、在点产生的电场强度大小相等，根据点电荷电场强度的表达式有 根据矢量合成有 解得 （2）小球从A到，根据动能定理有 所示过程电场力做功 解得 12．如图所示，一光滑绝缘细杆与水平地面成夹角放置，底部A点固定一带电荷量为Q的正电荷，杆上有B、C两点，C为AB的中点，AB两点相距d。现将一带电小球穿过杆从B点由静止释放，当带电小球运动到C点时速度恰好为零，带电小球在B点加速度大小为，已知重力加速度为g，静电力常量为 k。求： (1)小球运动到C点时的加速度； (2)和C两点间的电势差。 【答案】(1)，方向沿杆向上 (2) 【详解】（1）带电小球在B点时，由牛顿第二定律得 带电小球在C点时，由牛顿第二定律得 可计算得出时 方向沿杆向上 （2）由B点到C点应用动能定理得 在B点，由牛顿第二定律得 联立可求得BC间的电势差 13．如图所示，在竖直平面内固定着一根光滑绝缘细杆，细杆左侧点处固定着一个带负电的点电荷，以为圆心的圆周与细杆交于两点，点为的中点。现将一质量为电荷量为的小球（可视为质点）套在杆上从点由静止释放，小球滑到点时的速度大小为。已知重力加速度为，点和点的高度差为，取点为零电势点。求： (1)点的电势； (2)小球滑至点时的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球从点到点过程，由动能定理可得 又 解得 又由 ， 解得 （2）由几何关系可得段的竖直高度 小球从点到点过程，静电力做功为零，根据动能定理可得 解得 学科网（北京）股份有限公司 $$