专题08 成对数据的统计分析（2大题型）（人教A版2019）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（广西专用）

专题08 成对数据的统计分析 题型概览 题型01线性、非线性回归方程（精选16题） 题型02列联表与独立性检验（精选7题） 优选提升题（精选4题） 线性、非线性回归方程题型01 一、单选题 1．（23-24高二下·广西钦州·期末）变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间（    ）    A．可能存在负相关 B．可能存在正相关 C．一定存在正相关 D．一定存在负相关 2．（23-24高二下·广西百色·期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，设①②③④图对应的相关系数分别为，，，，则，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广西百色·期末）下列说法中正确的有（    ） ①线性回归方程至少经过一个样本点； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强； ③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．2.9 5．（22-23高二下·广西桂林·期末）某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：千台）与年份代号x的数据如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 年份代号x 1 2 3 4 年销量y 15 20 m 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为，则表中m的值为（    ） A．25 B．28 C．30 D．32 6．（23-24高二下·广西防城港·期末）随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据： 20 25 30 35 40 5 7 8 9 11 用最小二乘法求得与之间的经验回归方程是，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为（    ）（单位：百件） A．11.2 B．11.75 C．12 D．12.2 7．（22-23高二下·广西河池·期末）下列说法中正确是（    ） A．相关系数越大，则两变量的相关性就越强 B．回归方程不一定过样本中心点 C．对于经验回归方程，当变量增加1个单位时，平均增加3个单位 D．对于经验回归方程，变量与变量负相关 二、多选题 8．（22-23高二下·广西百色·期末）如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则（    ） A．解释变量和响应变量是函数关系 B．相关系数 C．残差平方和为0 D．决定系数 9．（23-24高二下·广西桂林·期末）某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下： 月份编号x 1 2 3 4 5 销量y（万件） 50 96 142 185 227 若与线性相关，其线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ） A．线性回归方程必过 B． C．相关系数 D．6月份的服装销量一定为272.9万件 三、填空题 10．（23-24高二下·广西玉林·期末）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 11．（21-22高二下·广西百色·期末）为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则 . 四、解答题 12．（21-22高二下·广西百色·期末）某超市记录了某农副产品5个月内的月平均销售价格，得到的统计数据如下表： 月份x 1 2 3 4 5 月平均销售价格（单位：元/千克） 12 10.5 10 8.5 9 (1)若月平均销售价格y与月份x之间的回归直线方程为，求的值，并预测6月份该农副产品的月平均销售价格； (2)求该农副产品5个月内的月平均销售价格这组数据的方差． 13．（21-22高二下·广西河池·期末）我国机床行业核心零部件对外依存度较高，我国整机配套的中高档功能部件大量依赖进口，根据中国机床工具工业协会的数据，国内高档系统自给率不到10%，约90%依赖进口.因此，迅速提高国产数控机床功能部件制造水平，加快国产数控机床功能部件产业化进程至关重要.通过对某机械上市公司近几年的年报公布的研发费用x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据进行统计，得到下表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 x 2 3 4 6 8 10 13 y 15 22 27 40 48 54 60 根据数据，可建立y关于x的两个回归模型：模型①：；模型②：. (1)根据表格中的数据，分别求出模型①，②的相关指数的大小（结果保留三位有效数字）； (2)(i)根据（1）选择拟合精度更高、更可靠的模型； (ii)若2022年该公司计划投入研发费用17亿元，使用(i)中的模型预测可为该公司带来多少直接收益. 回归模型 模型① 模型② 79.13 18.86 附：. 14．（22-23高二下·广西百色·期末）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，得到如图所示的散点图. (1)利用散点图判断，和哪一个更适合作为观看人次和销售量的回归方程类型；（只要给出判断即可，不必说明理由） (2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表： 其中令，. 根据（1）的判断结果及表中数据，求（单位：千件）关于（单位：十万次）的回归方程，并预测当观看人次为万人时的销售量； 参考数据和公式：， 附：对于一组数据、、、，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 15．（22-23高二下·广西贵港·期末）防疫抗疫，人人有责．随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增．下表是某口罩厂今年的月份x与订单y（单位：万元）的几组对应数据： 月份x 1 2 3 4 5 订单y (1)求y关于x的经验回归方程，并估计该厂6月份的订单金额； (2)已知甲从该口罩厂随机购买了4箱口罩，该口罩厂质检过程中发现该批口罩的合格率为，不合格产品需要更换．用X表示甲需要更换口罩的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望． 参考数据：； 参考公式：回归直线的方程是，其中， 16．（22-23高二下·广西百色·期末）今年全国两会期间，习近平总书记在看望参加全国政协十三届五次会议的农业界、社会福利和社会保障界委员时指出“粮食安全是‘国之大者’.悠悠万事，吃饭为大.”某校课题小组针对粮食产量与化肥施用量间关系进行研究，收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值．每亩化肥施用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）． 参考数据： 650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5 表中， (1)根据散点图判断，与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于每亩化肥施用量x的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值； 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；②取． 列联表与独立性检验题型02 一、单选题 1．（23-24高二下·广西南宁·期末）近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 初中生 160 40 高中生 140 60 附：， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 以下结论中错误的是（    ） A．有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 B．没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关 2．（21-22高二下·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表： a b c d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 二、解答题 3．（24-25高二下·广西桂林·期末）某学生对40名同学的饮食习惯进行了一次调查，其中甲组为女同学，乙组为男同学，调查的饮食指数结果如下： 甲组： 乙组： （说明：饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数不低于70的人，饮食以肉类为主） (1)根据以上数据完成下列列联表： 性别 主食蔬菜 主食肉类 总计 女 男 总计 (2)是否有的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关？ 附：. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 4．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表： 多于5本 少于5本 合计 活动前 35 65 100 活动后 60 40 100 合计 95 105 200 (1)试通过计算，判断是否有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用； (2)已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，并且随机安排阅读顺序.记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量，求的数学期望. 参考公式：. 临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 5．（22-23高二下·广西钦州·期末）为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表： 体育锻炼 性别 合计 男生 女生 喜欢 280 不喜欢 120 合计 在本次调查中，男生人数占总人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的. (1)求的值； (2)能否有的把握认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关？ 0.05 0.025 0.010 0.001 3.841 5.024 6.635 10.828 6．（23-24高二下·广西玉林·期末）某校进行健康体检，发现学生中近视率与性别有关．若将近视率超过50%的班级称为“近视班”，未超过的称为“非近视班”．现从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如下所示： 近视班男生：60人，女生：70人． 非近视班男生：40人，女生：30人． 合计男生：100人，女生：100人． (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“近视班”与性别有关联？ (2)若从随机抽取的非近视班学生中采用分层抽样的方法抽取7人，再从7人中抽取3人，求这3人中至少有2名男生的概率． 附： 下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 7．（22-23高二下·广西桂林·期末）截至2022年，由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城市”调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余座幸福城市，全国9亿多人次参与调查，使“城市幸福感”概念深入人心．为了便于对某城市的“城市幸福感”指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下表所示不完整的列联表（数据单位：人）． 男 女 合计 非常幸福 11 15 比较幸福 9 合计 30 (1)将列联表补充完整，并依据的独立性检验，分析“城市幸福感”指数与性别是否有关； (2)若感觉“非常幸福”记2分，“比较幸福”记1分，从上表男性中随机抽取3人，记3人得分之和为X，求X的分布列，并根据分布列求的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 一、单选题 1．（22-23高二下·广西河池·期末）一种高产新品种水稻单株穗粒数和土壤锌含量有关，现整理并收集了6组试验数据，（单位：粒）与土壤锌含量（单位：）得到样本数据，令，并将绘制成如图所示的散点图.若用方程对与的关系进行拟合，则（    ）    A． B． C． D． 二、解答题 2．（21-22高二下·广西南宁·期末）疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗开展临床对比试验.若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效.在100名受访者中，60名接种灭活疫苗，剩余40名接种核酸疫苗，根据临床试验数据绘制等高条形图如图所示.已知在接种灭活疫苗的受访者中有6人抗体为阴性.    (1)求等高条形图中a的值； (2)根据所给数据，完成下面的列联表： 抗体情况 灭活疫苗 核酸疫苗 总计 抗体为阳性 抗体为阴性 总计 100 (3)判断能否有90%的把握认为两种疫苗的预防效果存在差异? 参考公式：，其中 0.15 0.10 0.05 2.072 2.706 3.841 3．（22-23高二下·广西南宁·期末）一个医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 再调查病例组100例的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)已知该地方这种疾病的患者的患病率为0.5%，该地方年龄位于区间的人口占该地方总人口的20%.从该地方中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率）. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．（22-23高二下·广西玉林·期末）2023年5月10日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持.5月30日，再问苍穹，神舟十六号发射成功.在“神箭”“神舟”的护送下，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名中国航天员顺利进入太空，开启为期约5个月的巡天之旅.某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”.现从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如表所示： 航天达人 非航天达人 合计 男 80 40 120 女 30 50 80 合计 110 90 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联？ (2)①从随机抽取的这200名学生中采用比例分配的分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A＝“至少有2名是男生”，事件B＝“至少有2名是航天达人的男生”，事件C＝“至多有1名是航天达人的女生”.试计算和的值，并比较它们的大小. ②由①中与的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由. 参考公式及数据，. 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 成对数据的统计分析 题型概览 题型01线性、非线性回归方程（精选16题） 题型02列联表与独立性检验（精选7题） 优选提升题（精选4题） 线性、非线性回归方程题型01 一、单选题 1．（23-24高二下·广西钦州·期末）变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间（    ）    A．可能存在负相关 B．可能存在正相关 C．一定存在正相关 D．一定存在负相关 【答案】A 【分析】根据散点图以及相关关系的定义判断即可． 【详解】解：从散点图看，这些点在一条线的附近，且从左上角到右下角呈递减的趋势，所以据此可以推断变量x与y之间可能存在负相关， 故选：A． 2．（23-24高二下·广西百色·期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，设①②③④图对应的相关系数分别为，，，，则，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据散点图和相关系数的知识即可求解. 【详解】由散点图可知，图①，③是正相关，图②，④是负相关， 且图①，②比③，④的线性相关性更强，所以. 故选：A. 3．（23-24高二下·广西百色·期末）下列说法中正确的有（    ） ①线性回归方程至少经过一个样本点； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大则两个变量的相关程度越强； ③在回归分析中，决定系数的模型比的模型拟合效果要好； ④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据线性回归方程和相关系数及残差分析即可判断正误. 【详解】线性回归方程可以不经过任何一个样本点，①错， 值越大则两个变量的相关程度越强，②错， 决定系数越大，模型拟合效果越好，③对， 残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，④对. 故选：B. 4．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．2.9 【答案】B 【分析】根据线性回归方程估计，再根据残差定义列方程可得答案. 【详解】由线性回归方程，取，得， 又相应于点的残差为，， 解得. 故选：B. 5．（22-23高二下·广西桂林·期末）某市2018年至2022年新能源汽车年销量y（单位：千台）与年份代号x的数据如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 年份代号x 1 2 3 4 年销量y 15 20 m 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线方程为，则表中m的值为（    ） A．25 B．28 C．30 D．32 【答案】C 【分析】根据线性回归直线方程经过样本中心，即可代入求解. 【详解】由已知得，回归直线方程为过样本点中心， ∴，即， ∴． 故选：C． 6．（23-24高二下·广西防城港·期末）随着“一带一路”经贸合作持续深化，西安某地对外贸易近几年持续繁荣，2023年6月18日，该地很多商场都在搞“”促销活动.市物价局派人对某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价（单位：元）和销售量（单位：百件）之间的一组数据： 20 25 30 35 40 5 7 8 9 11 用最小二乘法求得与之间的经验回归方程是，当售价为45元时，预测该商品的销售量件数大约为（    ）（单位：百件） A．11.2 B．11.75 C．12 D．12.2 【答案】D 【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可得到回归直线方程，最后代入计算可得. 【详解】因为，， 所以回归直线过点，故，解得， 所以，将代入中，得， 即当售价为45元时，该商品的销售量件数大约为百件. 故选：D. 7．（22-23高二下·广西河池·期末）下列说法中正确是（    ） A．相关系数越大，则两变量的相关性就越强 B．回归方程不一定过样本中心点 C．对于经验回归方程，当变量增加1个单位时，平均增加3个单位 D．对于经验回归方程，变量与变量负相关 【答案】D 【分析】根据相关系数、回归直线方程的特征，以及回归系数的含义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，相关系数的绝对值越大，则两变量的相关性就越强，所以A错误； 对于B中，由回归方程一定过样本中心点，所以B错误； 对于C中，根据经验回归方程可知增加1个单位时，平均增加2个单位，所以C错误； 对于D中，由回归系数，可得，变量与变量负相关，所以D正确． 故选：D. 二、多选题 8．（22-23高二下·广西百色·期末）如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则（    ） A．解释变量和响应变量是函数关系 B．相关系数 C．残差平方和为0 D．决定系数 【答案】ACD 【分析】根据散点图得这两个变量线性相关，由此可判断各选项． 【详解】样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上，这条直线就是回归直线，它们的相关关系是一次函数，相关指数，相关系数满足，残差的平方和为0．故B错误. 故选：ACD． 9．（23-24高二下·广西桂林·期末）某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下： 月份编号x 1 2 3 4 5 销量y（万件） 50 96 142 185 227 若与线性相关，其线性回归方程为，则下列说法正确的是（    ） A．线性回归方程必过 B． C．相关系数 D．6月份的服装销量一定为272.9万件 【答案】AB 【分析】对于A，由回归直线过样本中心点判断，对于B，将样本中心点代入回归方程求解，对于C，由的值分析判断，对于D，将代入回归方程求解. 【详解】对于A，因为，所以线性回归方程必过，所以A正确； 对于B，由线性回归直线必过，所以，解得，所以B正确； 对于C，因为，所以相关系数，所以C错误； 对于D，当时，，所以可预测6月份的服装销量约为272.9万件，所以D错误． 故选：AB． 三、填空题 10．（23-24高二下·广西玉林·期末）甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中， 研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 【答案】甲 【分析】根据相关系数的性质即可求解. 【详解】因为，所以这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 故答案为：甲. 11．（21-22高二下·广西百色·期末）为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则 . 【答案】100； 【解析】由于线性回归直线方程过样本中心点，代入可得，再由，即得解 【详解】由于线性回归直线方程过样本中心点，设样本中心点为 由题意，故 代入计算可得： 故 故答案为：100 【点睛】本题考查了线性回归直线方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算能力，属于基础题. 四、解答题 12．（21-22高二下·广西百色·期末）某超市记录了某农副产品5个月内的月平均销售价格，得到的统计数据如下表： 月份x 1 2 3 4 5 月平均销售价格（单位：元/千克） 12 10.5 10 8.5 9 (1)若月平均销售价格y与月份x之间的回归直线方程为，求的值，并预测6月份该农副产品的月平均销售价格； (2)求该农副产品5个月内的月平均销售价格这组数据的方差． 【答案】(1)，预测6月份该农副产品的月平均销售价格为7.6元/千克. (2)1.5 【分析】（1）根据题干中的数据，计算可得的值，带入回归直线方程可得，根据回归直线方程可得6月份该农副产品的月平均销售价格; （2）根据题干中数据，结合方差计算公式即可求解. 【详解】（1）解：依题意，， 有，可得, 当时，， 故预测6月份该农副产品的月平均销售价格为7.6元/千克. （2）解：这组数据的方差为： . 故该农副产品5个月内的月平均销售价格这组数据的方差为1.5. 13．（21-22高二下·广西河池·期末）我国机床行业核心零部件对外依存度较高，我国整机配套的中高档功能部件大量依赖进口，根据中国机床工具工业协会的数据，国内高档系统自给率不到10%，约90%依赖进口.因此，迅速提高国产数控机床功能部件制造水平，加快国产数控机床功能部件产业化进程至关重要.通过对某机械上市公司近几年的年报公布的研发费用x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据进行统计，得到下表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 x 2 3 4 6 8 10 13 y 15 22 27 40 48 54 60 根据数据，可建立y关于x的两个回归模型：模型①：；模型②：. (1)根据表格中的数据，分别求出模型①，②的相关指数的大小（结果保留三位有效数字）； (2)(i)根据（1）选择拟合精度更高、更可靠的模型； (ii)若2022年该公司计划投入研发费用17亿元，使用(i)中的模型预测可为该公司带来多少直接收益. 回归模型 模型① 模型② 79.13 18.86 附：. 【答案】(1)模型①：；模型②： (2)(i)模型②；(ii)72.93亿元 【分析】（1）根据所给数据公式求相关系数； （2）(i)比较相关系数可得；(ii)代入模型①回归方程计算． 【详解】（1）因为， 所以， 则模型①的相关指数， 模型②的相关指数； （2）(i)由（1）知，，所以模型②的拟合精度更高、更可靠； (ii)由回归方程，可得当时，， 所以若2022年该公司计划投入研发费用17亿元，大约可为该公司带来72.93亿元的直接收益. 14．（22-23高二下·广西百色·期末）《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，得到如图所示的散点图. (1)利用散点图判断，和哪一个更适合作为观看人次和销售量的回归方程类型；（只要给出判断即可，不必说明理由） (2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表： 其中令，. 根据（1）的判断结果及表中数据，求（单位：千件）关于（单位：十万次）的回归方程，并预测当观看人次为万人时的销售量； 参考数据和公式：， 附：对于一组数据、、、，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】(1)更适合； (2)，预测当观看人次为万人时的销售量约为件. 【分析】（1）根据散点图中散点的分布情况可选择合适的回归模型； （2）令，则，将表格中的数据代入最小二乘法公式，可求得、的值，进而可得出关于的回归方程，将代入回归方程可得出销售量. 【详解】（1）解：由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，所以选择回归方程更适合. （2）解：令，则， 因为，， 所以， 又因为，，所以， 所以与的线性回归方程为， 故关于的回归方程为. 令，代入回归方程可得（千件） 所以预测观看人次为万人时的销售量约为件. 15．（22-23高二下·广西贵港·期末）防疫抗疫，人人有责．随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增．下表是某口罩厂今年的月份x与订单y（单位：万元）的几组对应数据： 月份x 1 2 3 4 5 订单y (1)求y关于x的经验回归方程，并估计该厂6月份的订单金额； (2)已知甲从该口罩厂随机购买了4箱口罩，该口罩厂质检过程中发现该批口罩的合格率为，不合格产品需要更换．用X表示甲需要更换口罩的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望． 参考数据：； 参考公式：回归直线的方程是，其中， 【答案】(1)，59.9万元 (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知和参考数据求出即可得出经验回归方程，代入可估计该厂6月份的订单金额； （2）由题意可得X的取值可能为0，1，2，3，4，且，求出X取不同值的概率即可得出分布列，求得期望． 【详解】（1）由数据可得 ， 故y关于x的经验回归方程为 当时， 估计该厂6月份的订单金额为59.9万元． （2）依题意，随机变量X的取值可能为0，1，2，3，4，且． ；； ；； ． 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ． 16．（22-23高二下·广西百色·期末）今年全国两会期间，习近平总书记在看望参加全国政协十三届五次会议的农业界、社会福利和社会保障界委员时指出“粮食安全是‘国之大者’.悠悠万事，吃饭为大.”某校课题小组针对粮食产量与化肥施用量间关系进行研究，收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值．每亩化肥施用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）． 参考数据： 650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5 表中， (1)根据散点图判断，与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于每亩化肥施用量x的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值； 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；②取． 【答案】(1)更适合 (2)； 【分析】（1）根据散点图，结合一次函数和幂函数图象，即可判断，更适合作为关于的回归方程类型； （2）对两边取对数，得，即，根据表中数据求出，再根据最小二乘法求出和的值，从而得出关于的回归方程；则当时，即可预测粮食亩产量的值. 【详解】（1）解：根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型. （2）解：对两边取对数，得，即， 由表中数据得：，， 则， ， 所以， 所以关于的回归方程为， 当时，. 列联表与独立性检验题型02 一、单选题 1．（23-24高二下·广西南宁·期末）近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生(包含初中生与高中生)对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 初中生 160 40 高中生 140 60 附：， 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 以下结论中错误的是（    ） A．有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 B．没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关 D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度无关 【答案】D 【分析】首先完善列联表，并计算，并根据选项和和比较大小，判断选项. 【详解】完善列联表如下： 喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间 总计 初中生 160 40 200 高中生 140 60 200 总计 300 100 400 零假设：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，则 ， 没有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关. 因为，，所以有的把握认为学段与对增加体育运动时间的态度有关. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为学段与对增加体育运动时间的态度有关. 故选：D 2．（21-22高二下·广西河池·期末）假设有两个变量x与y的列联表如下表： a b c d 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】计算每个选项中的值，最大的即对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大. 【详解】对于A， ， 对于B，， 对于C，， 对于D， 显然B中最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大, 故选:B. 二、解答题 3．（24-25高二下·广西桂林·期末）某学生对40名同学的饮食习惯进行了一次调查，其中甲组为女同学，乙组为男同学，调查的饮食指数结果如下： 甲组： 乙组： （说明：饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数不低于70的人，饮食以肉类为主） (1)根据以上数据完成下列列联表： 性别 主食蔬菜 主食肉类 总计 女 男 总计 (2)是否有的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关？ 附：. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析 (2)有的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关 【分析】（1）根据已知条件填写列联表. （2）计算的值，进而作出判断. 【详解】（1）根据题目所给数据，填写列联表如下： 性别 主食蔬菜 主食肉类 总计 女 10 10 20 男 4 16 20 总计 14 26 40 （2）， 所以有的把握判断同学们的饮食习惯与性别有关. 4．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表： 多于5本 少于5本 合计 活动前 35 65 100 活动后 60 40 100 合计 95 105 200 (1)试通过计算，判断是否有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用； (2)已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，并且随机安排阅读顺序.记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量，求的数学期望. 参考公式：. 临界值表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)有 (2) 【分析】（1）由表中数据计算卡方，对比临界值即可得出结论； （2）的可能取值为，由古典概型概率公式、组合数公式求出对应概率，进一步由数学期望公式即可运算求解. 【详解】（1）由表中数据可知，， 所以有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用； （2）由题意可知，的可能取值为， 则， ， 所以. 5．（22-23高二下·广西钦州·期末）为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表： 体育锻炼 性别 合计 男生 女生 喜欢 280 不喜欢 120 合计 在本次调查中，男生人数占总人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的. (1)求的值； (2)能否有的把握认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关？ 0.05 0.025 0.010 0.001 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1) (2)没有的把握认为学生的性别与喜欢体育锻炼之间有关联. 【分析】（1）根据题中所给数据比和表中数据直接求解； （2）补全上述列联表，利用独立性检验求解. 【详解】（1）由题可知 解得. （2）根据列联表及（1）中数据补全列联表， 体育锻炼 性别 合计 男生 女生 喜欢 280 180 460 不喜欢 120 120 240 合计 400 300 700 经计算得到. 所以没有的把握认为学生的性别与喜欢体育锻炼之间有关联. 6．（23-24高二下·广西玉林·期末）某校进行健康体检，发现学生中近视率与性别有关．若将近视率超过50%的班级称为“近视班”，未超过的称为“非近视班”．现从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如下所示： 近视班男生：60人，女生：70人． 非近视班男生：40人，女生：30人． 合计男生：100人，女生：100人． (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“近视班”与性别有关联？ (2)若从随机抽取的非近视班学生中采用分层抽样的方法抽取7人，再从7人中抽取3人，求这3人中至少有2名男生的概率． 附： 下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)不能 (2) 【分析】（1）根据所给数据计算出后与比较即可得； （2）由分层抽样的性质可得抽取的人中男女生人数，再结合组合数计算这3人中至少有2名男生的概率即可得. 【详解】（1）所给数据可得列联表如下： 性别 是否“近视班” 合计 是 否 男性 60 40 100 女性 70 30 100 合计 130 70 200 设零假设：“近视班”与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，可推断成立， 故不能认为“近视班”与性别有关联； （2），，故将抽取男生人，女生人， 再从中抽取3人，则至少有2名男生的概率. 7．（22-23高二下·广西桂林·期末）截至2022年，由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城市”调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余座幸福城市，全国9亿多人次参与调查，使“城市幸福感”概念深入人心．为了便于对某城市的“城市幸福感”指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下表所示不完整的列联表（数据单位：人）． 男 女 合计 非常幸福 11 15 比较幸福 9 合计 30 (1)将列联表补充完整，并依据的独立性检验，分析“城市幸福感”指数与性别是否有关； (2)若感觉“非常幸福”记2分，“比较幸福”记1分，从上表男性中随机抽取3人，记3人得分之和为X，求X的分布列，并根据分布列求的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，认为“城市幸福感”指数与性别无关 (2)分布列见解析，的概率为 【分析】（1）根据表中数据可补充完整列联表，计算的值，与临界值表比较，可得结论； （2）确定的可能得取值，求出每个值对应的概率，即得分布列，由此可求得的概率. 【详解】（1）补充完整的表格如下所示： 男 女 合计 非常幸福 4 11 15 比较幸福 6 9 15 合计 10 20 30 假设为：“城市幸福感”指数与性别无关． 计算可得， 依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为“城市幸福感”指数与性别无关． （2）由题可知，X的可能取值有3，4，5，6， ，，，， 所以的分布列为： 3 4 5 6 P 所以． 一、单选题 1．（22-23高二下·广西河池·期末）一种高产新品种水稻单株穗粒数和土壤锌含量有关，现整理并收集了6组试验数据，（单位：粒）与土壤锌含量（单位：）得到样本数据，令，并将绘制成如图所示的散点图.若用方程对与的关系进行拟合，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对方程两边取对数，写出回归直线方程，再根据散点图的特征分析判断作答. 【详解】因为，，令，则与的回归方程为， 根据散点图可知与正相关，因此，又回归直线的纵截距小于0，即，得， 所以，. 故诜：C 二、解答题 2．（21-22高二下·广西南宁·期末）疫苗是指用各种病原微生物制作的用于预防接种的生物制品，接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.某制药厂对预防某种疾病的两种疫苗开展临床对比试验.若使用后的抗体呈阳性，则认为疫苗有效.在100名受访者中，60名接种灭活疫苗，剩余40名接种核酸疫苗，根据临床试验数据绘制等高条形图如图所示.已知在接种灭活疫苗的受访者中有6人抗体为阴性.    (1)求等高条形图中a的值； (2)根据所给数据，完成下面的列联表： 抗体情况 灭活疫苗 核酸疫苗 总计 抗体为阳性 抗体为阴性 总计 100 (3)判断能否有90%的把握认为两种疫苗的预防效果存在差异? 参考公式：，其中 0.15 0.10 0.05 2.072 2.706 3.841 【答案】(1)0.9 (2)见解析 (3)没有％的把握认为两种疫苗的预防效果存在差异. 【分析】（1）根据题意求出注射灭活疫苗后抗体呈阳性发生的概率求得. （2）根据已知条件填写列联表. （3）计算出的值，由此作出判断. 【详解】（1）由题意，在接种灭活疫苗的受访者中有6人抗体为阴性， 故抗体阳性发生的概率为， 所以等高条形图中a的值为. （2）由等高条形图知注射核酸疫苗的40人中，抗体阳性的为， 故可列联表如下： 抗体情况 灭活疫苗 核酸疫苗 总计 抗体为阳性 抗体为阴性 总计 60 40 100 （3）， 所以没有％的把握认为两种疫苗的预防效果存在差异. 3．（22-23高二下·广西南宁·期末）一个医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 再调查病例组100例的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：    (1)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2)已知该地方这种疾病的患者的患病率为0.5%，该地方年龄位于区间的人口占该地方总人口的20%.从该地方中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率）. 附： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能推断患该疾病群体与末患该疾病群体的卫生习惯有差异； (2). 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再结合临界值表判断作答. （2）利用条件概率公式计算作答. 【详解】（1）设零假设：患该病群体和卫生习惯没有差异； 由数据表得，又， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以认为患该疾病群体与末患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间为事件，此人患这种疾病为事件， 于是，， 所以所求概率为. 4．（22-23高二下·广西玉林·期末）2023年5月10日长征七号火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持.5月30日，再问苍穹，神舟十六号发射成功.在“神箭”“神舟”的护送下，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名中国航天员顺利进入太空，开启为期约5个月的巡天之旅.某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息达到6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”.现从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如表所示： 航天达人 非航天达人 合计 男 80 40 120 女 30 50 80 合计 110 90 200 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“航天达人”与性别有关联？ (2)①从随机抽取的这200名学生中采用比例分配的分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件A＝“至少有2名是男生”，事件B＝“至少有2名是航天达人的男生”，事件C＝“至多有1名是航天达人的女生”.试计算和的值，并比较它们的大小. ②由①中与的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由. 参考公式及数据，. 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)认为“航天达人”与性别有关联 (2)①，；；②答案见解析 【分析】（1）根据卡方的计算即可求解， （2）根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】（1）零假设：假设“航天达人”与性别无关， 根据表中数据，计算得到， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为“航天达人”与性别有关联.该推断犯错误的概率不大于0.01. （2）由题意可知：抽取的20人中，男航天达人有8人，非航天达人4人，女航天达人3人，非航天达人5人， ①由已知事件表示：“抽取的3人为2男生1女生，男生都是航天达人”和“抽取的3人为3男生，至少两人是航天达人”， D＝“抽取的3人中为2男生1女生，男生都是航天达人”， E＝“抽取的3人中为3男生且至少两人是航天达人”， ， ， 所以， ， 所以. ②由①得与相等的关系可以推广到更一般的情形， 即对于一般的三个事件A，B，C，有， 证明过程如下：，得证. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$