专题07 随机变量及其分布（3大题型）（人教A版2019）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（广西专用）

专题07 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率与全概率公式（精选14题） 题型02离散型随机变量的分布列和数字特征（精选10题） 题型03超几何、二项、正态分布（精选23题） 优选提升题（精选11题） 条件概率与全概率公式题型01 一、单选题 1．（22-23高二下·广西钦州·期末）已知，则（    ） A．0.5 B．0.35 C．0.25 D．0.17 2．（23-24高二下·广西钦州·期末）某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广西玉林·期末）袋中有6个球，其中红黄蓝紫白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广西北海·期末）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（    ） A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1 5．（22-23高二下·广西百色·期末）甲乙两位游客慕名来到百色旅游，准备分别从凌云浩坤湖、大王岭原始森林、靖西鹅泉和乐业大石围天坑4个景点中随机选择其中一个，记事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑，则条件概率（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高二下·广西北海·期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多有1次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，有以下说法；①事件B与事件C互斥；②；③事件A与事件B独立；④记C的对立事件为，则.其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 7．（21-22高二下·广西梧州·期末）甲､乙两袋中各有大小相同的10个球，甲袋有5个红球，5个白球；乙袋有7个红球，3个白球，随机选择一袋，然后从中随机摸出两个球，表示恰好摸到一个红球与一个白球的事件的概率，则等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高二下·广西梧州·期末）已知随机事件的对立事件分别为，若，则（    ） A． B． C．若独立，则 D．若互斥，则 9．（22-23高二下·广西桂林·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（    ） A．第二天去甲餐厅的概率为0.54 B．第二天去乙餐厅的概率为0.44 C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 10．（22-23高二下·广西桂林·期末）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．事件与事件相互独立 D．，，两两互斥 三、填空题 11．（23-24高二下·广西桂林·期末）盒子里有4个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．如果不放回地依次抽取2个球，在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率是 ． 12．（23-24高二下·广西钦州·期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中6个黑球，4个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为 ． 13．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是次品的概率为 . 四、解答题 14．（23-24高二下·广西梧州·期末）学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为． (1)求首次摸球就试验结束的概率； (2)在首次摸球摸出红球的条件下． ①求选到的袋子为乙袋的概率； ②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大． 随机变量的分布列和数字特征题型02 一、单选题 1．（23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 2．（22-23高二下·广西玉林·期末）随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ） X 0 1 P a b A．3 B． C．5 D．9 3．（22-23高二下·广西百色·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（22-23高二下·广西河池·期末）已知随机变量满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（22-23高二下·广西桂林·期末）一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则 ． 四、解答题 6．（23-24高二下·广西贵港·期末）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． (1)求甲在一年内考试失败的概率； (2)求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 7．（22-23高二下·广西钦州·期末）猜歌名游戏根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，节目组准备了两组歌曲的主旋律制成的铃声，随机从两组歌曲中各播放两首歌曲的主旋律制成的铃声，该嘉宾根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.已知该嘉宾猜对组中每首歌曲的歌名的概率均是，猜对组中每首歌曲的歌名的概率均是，且猜对每首歌曲的歌名相互独立. (1)求该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率； (2)若嘉宾猜对一首组歌曲的歌名得1分，猜对一首组歌曲的歌名得2分，猜错均得0分，记该嘉宾累计得分为，求的分布列与期望. 8．（22-23高二下·广西河池·期末）为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师､化学老师､数学老师各2名． (1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率； (2)设表示选出的3人中数学老师的人数，求的均值与方差． 9．（22-23高二下·广西南宁·期末）某商场为了回馆顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放5个大小相同的小球，其中红球2个，白球3个．规定：每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出一个小球，如果摸出的是红球即为中奖，球不放回；如果摸出的是白球即为不中奖，球放回袋子中，每名顾客可进行三次抽奖．求： (1)在第2次取出的是白球的条件下，第1次取出的是红球的概率； (2)取了3次后，取出的红球个数的分布列及数学期望． 10．（21-22高二下·广西玉林·期末）为响应绿色出行，某市推出新能源租赁汽车.每次租车的收费由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：0.12元/分.已知陈先生的家距离公司12公里，每天上下班租用该款汽车各一次.一次路上开车所用的时间记为t（分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示. 时间t（分） 次数 12 28 8 2 将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为. (1)估计陈先生一次租用新能源汽车所用的时间不低于30分钟的概率； (2)求陈先生一次路上开车所用的时间t（分）的分布列和数学期望（同一区间内的值都看作该区间的中点值）； (3)若公司每月发放800元的交通补助，请估计是否足够陈先生一个月上下班租用新能源汽车（每月按22天计算），并说明理由. 超几何、二项、正态分布题型03 一、单选题 1．（23-24高二下·广西钦州·期末）已知随机变量X服从二项分布，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·广西梧州·期末）某次数学考试成绩近似服从正态分布，若，则可以估计考试成绩大于或等于80分的概率为（    ） A．0.372 B．0.256 C．0.128 D．0.744 3．（23-24高二下·广西防城港·期末）某体育器材厂生产一批足球，单个足球的质量Y（单位：克）服从正态分布，从这一批足球中随机抽检500个，则被抽检的足球的质量不小于396克的个数约为（    ） 附：若随机变量X服从正态分布，则 A．341 B．421 C．477 D．489 4．（23-24高二下·广西崇左·期末）已知随机变量，，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 5．（23-24高二下·广西百色·期末）在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（    ） A．600 B．800 C．1200 D．1400 6．（22-23高二下·广西河池·期末）已知随机变量，且，又，则实数的值为（    ） A．0或2 B．2 C．-2或2 D．-2 7．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知随机变量，，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·广西梧州·期末）现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高二下·广西桂林·期末）某批产品正品率为，次品率为，抽取5件产品恰有3次抽到正品的概率是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·广西南宁·期末）某田地生长的小麦的株高服从正态分布，则（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A．0.6827 B．0.8186 C．0.9545 D．0.9759 12．（22-23高二下·广西桂林·期末）一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（22-23高二下·广西钦州·期末）已知两个随机变量满足，若，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·广西钦州·期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 16．（22-23高二下·广西桂林·期末）近年来，国家相关政策大力鼓励创新创业，某农业大学毕业生小佟贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和，且当随机变量X服从正态分布时，有．则下列正确的是（    ） A．白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为0.3413 B．白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售量更集中 C．红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售量更集中 D．若红玫瑰的日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰的日销售量的平均数约为250 17．（22-23高二下·广西百色·期末）已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） （参考数据：①；②；③） A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分 B．的值越大，成绩不低于100分的人数越多 C．若，则这次考试分数高于120分的约有46人 D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为 三、填空题 18．（23-24高二下·广西玉林·期末）设随机变量服从正态分布，若，则的值为 ． 19．（22-23高二下·广西玉林·期末）设随机变量，若，则p的值为 . 20．（22-23高二下·广西梧州·期末）已知随机变量服从二项分布，则 . 四、解答题 21．（23-24高二下·广西玉林·期末）甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为. (1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了Y局比赛，求随机变量Y的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大； (2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？ 22．（22-23高二下·广西南宁·期末）甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种． (1)甲在每次挑战中，成功的概率都为．设为甲在3次挑战中成功的次数，求的分布列和数学期望； (2)乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1；求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率． 23．（21-22高二下·广西北海·期末）现有甲，乙两名篮球运动员，甲､乙两人各投篮一次，投中的概率分别和，假设每次投篮是否投中，相互之间没有影响.（结果需用分数作答） (1)求甲投篮3次，至少有2次未投中的概率； (2)求两人各投篮2次，甲恰好投中2次且乙恰好投中1次的概率； (3)设乙单独投篮3次，用表示投中的次数，求的分布列和数学期望. 一、单选题 1．（21-22高二下·广西河池·期末）在某独立重复实验中，事件相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中．若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广西北海·期末）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（    ） A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1 3．（22-23高二下·广西玉林·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知随机变是服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是增函数 D． 5．（22-23高二下·广西北海·期末）下列说法中正确的是（    ） A．将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有3种放法 B．被7除后的余数为2 C．若，则 D．抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，则点P在圆内的次数的均值为 三、填空题 6．（23-24高二下·广西百色·期末）阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有20%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有30%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占60%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为 . 四、解答题 7．（23-24高二下·广西南宁·期末）据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为，，，通过甲公司的测试后选择签约的概率为，通过乙公司的测试后选择签约的概率为，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响． (1)求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率； (2)设小王获得的年薪为（单位：万元），求的分布列及其数学期望． 8．（23-24高二下·广西梧州·期末）学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为． (1)求首次摸球就试验结束的概率； (2)在首次摸球摸出红球的条件下． ①求选到的袋子为乙袋的概率； ②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大． 9．（23-24高二下·广西北海·期末）有三种不同的果树苗，，，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为0.6，引种树苗，的自然成活率均为. (1)任取树苗，，各一株，设自然成活的株数为，求的分布列及； (2)将（1）中的取得最小值时的的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种株种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.5，其余的树苗不能成活. ①求一株种树苗最终成活的概率； ②若每株树苗引种最终成活后可获利400元，不成活的每株亏损60元，该农户为了获利不低于30万元，应至少引种种树苗多少株? 10．（22-23高二下·广西百色·期末）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率； (2)设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； (3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 11．（23-24高二下·广西百色·期末）中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立. (1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）； (2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率； (3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率与全概率公式（精选14题） 题型02离散型随机变量的分布列和数字特征（精选10题） 题型03超几何、二项、正态分布（精选23题） 优选提升题（精选11题） 条件概率与全概率公式题型01 一、单选题 1．（22-23高二下·广西钦州·期末）已知，则（    ） A．0.5 B．0.35 C．0.25 D．0.17 【答案】C 【分析】根据条件概率公式结合题意直接求解即可. 【详解】因为， 所以． 故选：C 2．（23-24高二下·广西钦州·期末）某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用全概率公式计算概率即可. 【详解】设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件， 则， 所以. 故选：C. 3．（23-24高二下·广西玉林·期末）袋中有6个球，其中红黄蓝紫白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出和的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，事件：甲、乙只有一人摸到红球， 则，， 因此，. 故选：A. 4．（23-24高二下·广西北海·期末）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（    ） A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1 【答案】C 【分析】利用条件概率的概率公式求解即可. 【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件， 则，，，， 故所求概率， 故选：C. 5．（22-23高二下·广西百色·期末）甲乙两位游客慕名来到百色旅游，准备分别从凌云浩坤湖、大王岭原始森林、靖西鹅泉和乐业大石围天坑4个景点中随机选择其中一个，记事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑，则条件概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用古典概型的概率公式求出和，在利用条件概率的公式求解. 【详解】由已知条件得,, 所以, 故选：C. 6．（21-22高二下·广西北海·期末）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多有1次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，有以下说法；①事件B与事件C互斥；②；③事件A与事件B独立；④记C的对立事件为，则.其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】事件B包含事件C可判断①，利用对立事件的概率求法可判断②，根据相互独立事件的定义可判断③，利用条件概率公式求解可判断④. 【详解】事件B，C可能同时发生，①错误； ，②正确； ，，故A与B独立③正确； ,，故④正确， 因此②③④正确. 故选：D. 7．（21-22高二下·广西梧州·期末）甲､乙两袋中各有大小相同的10个球，甲袋有5个红球，5个白球；乙袋有7个红球，3个白球，随机选择一袋，然后从中随机摸出两个球，表示恰好摸到一个红球与一个白球的事件的概率，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算可得； 【详解】设事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”， 则，， 则. 故选：C. 二、多选题 8．（23-24高二下·广西梧州·期末）已知随机事件的对立事件分别为，若，则（    ） A． B． C．若独立，则 D．若互斥，则 【答案】ACD 【分析】根据条件概率的性质及独立事件、互斥事件的概念，逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B错误； 对于C，若独立，则， 所以，所以C正确， 对于D，若互斥，则， 所以，， 所以，所以D正确， 故选：ACD 9．（22-23高二下·广西桂林·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（    ） A．第二天去甲餐厅的概率为0.54 B．第二天去乙餐厅的概率为0.44 C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为 D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为 【答案】AC 【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可. 【详解】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅， :第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅， 所以，，， 因为， 所以， 所以有, 因此选项A正确, ，因此选项B不正确； 因为，所以选项C正确； ，所以选项D不正确， 故选：AC 10．（22-23高二下·广西桂林·期末）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．事件与事件相互独立 D．，，两两互斥 【答案】BD 【分析】根据已知得出，然后即可根据概率的乘法公式以及全概率公式，得出答案. 【详解】由已知可得，，，，，，. 对于A项，由全概率公式可得，，故A项错误； 对于B项，根据已知，即可计算，故B项正确； 对于C项，由已知可得，，，故C项错误； 对于D项，由已知可知，，，两两互斥，故D项正确. 故选：BD. 三、填空题 11．（23-24高二下·广西桂林·期末）盒子里有4个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．如果不放回地依次抽取2个球，在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率是 ． 【答案】/0.6 【分析】根据事件A发处的条件下事件B发生的概率为即可求解. 【详解】记“第一次摸到红球”为事件A，记“第二次摸到红球”为事件B，则两次都摸到红球为事件AB. 因为，，所以. 故答案为： 12．（23-24高二下·广西钦州·期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中6个黑球，4个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据条件概率的定义，结合样本空间，即可求解. 【详解】在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为． 故答案为： 13．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是次品的概率为 . 【答案】0.043 【分析】代入全概率公式，列式求解. 【详解】设取到一件产品，是第一批产品，为事件，取到一件产品是第二批产品，为事件，取得一件产品，为次品，为事件， 则. 故答案为： 四、解答题 14．（23-24高二下·广西梧州·期末）学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为． (1)求首次摸球就试验结束的概率； (2)在首次摸球摸出红球的条件下． ①求选到的袋子为乙袋的概率； ②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大． 【答案】(1)； (2)①；②选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大. 【分析】（1）利用全概率公式计算可得； （2）①利用条件概率概率公式计算可得；②分别求出两种方案中摸到白球的概率，再比较即可. 【详解】（1）设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件． 所以． 所以摸球一次就试验结束的概率为． （2）①因为，是对立事件，． 所以， 所以选到的袋子为乙袋的概率为． ②由①，得， 所以方案一中取到白球的概率为． 方案二中取到白球的概率为， 因为． 所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大． 随机变量的分布列和数字特征题型02 一、单选题 1．（23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（    ） 0 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列的性质及数学期望的计算求解即可. 【详解】由分布列的性质可知，，故A正确； 因为Y的期望值为1，所以，所以C错. 若，不满足分布列性质，B错， 由上，有，显然D错. 故选：A 2．（22-23高二下·广西玉林·期末）随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ） X 0 1 P a b A．3 B． C．5 D．9 【答案】C 【分析】由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果． 【详解】，由随机变量X的分布列得： ，解得， ， . 故选：C． 3．（22-23高二下·广西百色·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，则， 故，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 二、多选题 4．（22-23高二下·广西河池·期末）已知随机变量满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据期望及方差的性质即可求解. 【详解】，则,故A正确，B错误； ，则，故C正确，D错误. 故选：AC 三、填空题 5．（22-23高二下·广西桂林·期末）一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则 ． 【答案】/ 【分析】先求出期望，借助期望求方差. 【详解】由题知，一次射门命中次数为0次或1次， , 因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3， , 故答案为： 四、解答题 6．（23-24高二下·广西贵港·期末）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． (1)求甲在一年内考试失败的概率； (2)求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，． 【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，分类讨论考试失败的概率； （2）由可能的取值，计算相应的概率，写出分布列，由公式计算期望 【详解】（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为． 甲两次笔试均未通过的概率为， 甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为， 甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为 所以甲在一年内考试失败的概率为． （2）由题意得的可能取值为， 所以的分布列为 2 3 4 故． 7．（22-23高二下·广西钦州·期末）猜歌名游戏根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，节目组准备了两组歌曲的主旋律制成的铃声，随机从两组歌曲中各播放两首歌曲的主旋律制成的铃声，该嘉宾根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.已知该嘉宾猜对组中每首歌曲的歌名的概率均是，猜对组中每首歌曲的歌名的概率均是，且猜对每首歌曲的歌名相互独立. (1)求该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率； (2)若嘉宾猜对一首组歌曲的歌名得1分，猜对一首组歌曲的歌名得2分，猜错均得0分，记该嘉宾累计得分为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）先计算出该嘉宾一首歌曲的歌名都没有猜对的概率和该嘉宾只猜对一首歌曲的歌名的概率，进而利用对立事件求概率公式求出答案； （2）求出的所有可能取值及对应的概率，写出分布列，计算出数学期望. 【详解】（1）该嘉宾一首歌曲的歌名都没有猜对的概率； 该嘉宾只猜对一首歌曲的歌名的概率. 故该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率. （2）由题意可得的所有可能取值分别是0，1，2，3，4，5，6. 没有猜对组中每首歌曲的歌名的概率为，没有猜对组中每首歌曲的歌名的概率是， ， ， ， ， ， . 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 故. 8．（22-23高二下·广西河池·期末）为深入学习贯彻党的二十大精神，认真贯彻落实习近平总书记在二十大报告中指出的“加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化，优化区域教育资源配置”指示精神，促进城乡教育高质量共同发展．某市第一中学打算从各年级推荐的总共6名老师中任选3名去参加“送教下乡”的活动．这6名老师中，英语老师､化学老师､数学老师各2名． (1)求选出的数学老师人数多于英语老师人数的概率； (2)设表示选出的3人中数学老师的人数，求的均值与方差． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据组合数的计算，结合古典概型和互斥事件的概率计算公式，可得答案； （2）根据超几何分布的概率计算公式，以及均值和方差的计算公式，可得答案. 【详解】（1）推荐的6名老师中任选3名去参加活动基本事件总数， 这6名老师中，数学老师2名，英语老师2名，化学老师2名， 设事件表示“选出的数学老师人数多于英语老师人数”， 表示“恰好选出1名数学老师和2名化学老师”，表示“恰好选出2名数学老师”， 互斥，且，，， 选出数学老师人数多于英语老师人数的概率为； （2）由于从6名老师中任选3名的结果为 从6名老师中任选3名，其中恰有名数学老师的结果为，那么6名中任选3人， 恰有名数学老师的概率为， 所以， ， ． 9．（22-23高二下·广西南宁·期末）某商场为了回馆顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放5个大小相同的小球，其中红球2个，白球3个．规定：每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出一个小球，如果摸出的是红球即为中奖，球不放回；如果摸出的是白球即为不中奖，球放回袋子中，每名顾客可进行三次抽奖．求： (1)在第2次取出的是白球的条件下，第1次取出的是红球的概率； (2)取了3次后，取出的红球个数的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）设事件为第1次取出的是红球，事件为第2次取出的是白球，根据条件概率公式计算即可； （2）记取了3次后，取出的红球的个数为，则的可能取值为0，1，2，计算对应概率，写出分布列和期望即可． 【详解】（1）设事件为第1次取出的是红球，事件为第2次取出的是白球； 则， ， 所以． （2）记取了3次后，取出的红球的个数为，则， ， ， 的分布列为 0 1 2 的数学期望 10．（21-22高二下·广西玉林·期末）为响应绿色出行，某市推出新能源租赁汽车.每次租车的收费由两部分组成：①里程计费：1元/公里；②时间计费：0.12元/分.已知陈先生的家距离公司12公里，每天上下班租用该款汽车各一次.一次路上开车所用的时间记为t（分），现统计了50次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示. 时间t（分） 次数 12 28 8 2 将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为. (1)估计陈先生一次租用新能源汽车所用的时间不低于30分钟的概率； (2)求陈先生一次路上开车所用的时间t（分）的分布列和数学期望（同一区间内的值都看作该区间的中点值）； (3)若公司每月发放800元的交通补助，请估计是否足够陈先生一个月上下班租用新能源汽车（每月按22天计算），并说明理由. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望35 (3)足够，理由见解析 【分析】（1）要求“陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于30分钟的概率”，可以利用“陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间低于30分钟的概率”求解； （2）时间t（分）可取的值有25，35，45，55， 根据概率公式求出分布列，再通过期望公式求期望即可； （3）求出每次租用新能源租赁汽车的平均费用，则每个月的费用可求. 【详解】（1）设“陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟”的时间为A， 则所求的概率为， 所以陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于30分钟的概率为； （2）由已知时间t（分）可取的值有， 则， ， ， 陈先生一次路上开车所用的时间t（分）的分布列为 25 35 45 55 则数学期望为 （3）每次租用新能源租赁汽车的平均费用为1×12＋0.12×35＝16.2， 每个月的费用为16.2×2×22＝712.8， 712.8＜800， 因此公司补贴足够上下班租用新能源汽车． 超几何、二项、正态分布题型03 一、单选题 1．（23-24高二下·广西钦州·期末）已知随机变量X服从二项分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的方差公式计算即得. 【详解】由题意得． 故选：D. 2．（22-23高二下·广西梧州·期末）某次数学考试成绩近似服从正态分布，若，则可以估计考试成绩大于或等于80分的概率为（    ） A．0.372 B．0.256 C．0.128 D．0.744 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】由正态分布的对称性可知：， 故估计考试成绩大于或等于80分的概率为. 故选：C 3．（23-24高二下·广西防城港·期末）某体育器材厂生产一批足球，单个足球的质量Y（单位：克）服从正态分布，从这一批足球中随机抽检500个，则被抽检的足球的质量不小于396克的个数约为（    ） 附：若随机变量X服从正态分布，则 A．341 B．421 C．477 D．489 【答案】D 【分析】根据题意，结合正态分布曲线的对称性，求得量不小于396克的概率为，进而求得个数，得到答案. 【详解】由题意，随机变量，可得， 根据正态分布曲线的对称性，可得质量不小于396克的概率为:， 所以被抽检的足球的质量不小于396克的个数约为人. 故选：D. 4．（23-24高二下·广西崇左·期末）已知随机变量，，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可. 【详解】因为随机变量， 所以， 所以， 解得， 故． 故选：D 5．（23-24高二下·广西百色·期末）在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且，若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（    ） A．600 B．800 C．1200 D．1400 【答案】B 【分析】由随机变量的密度函数可求，由条件，利用正态分布的性质可求，由此可求结论. 【详解】依题意可知，，又因为， 所以， 所以数学成绩超过120分的人数约为， 故选：B. 6．（22-23高二下·广西河池·期末）已知随机变量，且，又，则实数的值为（    ） A．0或2 B．2 C．-2或2 D．-2 【答案】C 【分析】根据题意，先求出，近而可得的值，结合正态分布的性质可得关于的方程，解出即可. 【详解】因为随机变量， 所以， 又所以， 当时，， 解得或2， 故选：C． 7．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知随机变量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布期望和方差的公式求解即可. 【详解】随机变量， 由得：，解得． 故选：D 8．（23-24高二下·广西梧州·期末）现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为，已知，则本次测试的不合格率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设10名学生中有名不合格，根据题意可得，可求，进而可求不合格率. 【详解】设10名学生中有名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为， 由，得，化简得，解得， 即本次测试的不合格率为. 故选：C. 9．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得. 【详解】由题意可知，件产品中有件次品，件正品， 从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数， 表示要从件次品中抽取件，从件正品中抽取件， 故. 故选：B. 10．（22-23高二下·广西桂林·期末）某批产品正品率为，次品率为，抽取5件产品恰有3次抽到正品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项分布独立重复试验的概率求出所求事件的概率． 【详解】由题意可知，5件产品恰有3次正品，则有2次测到次品， 根据独立重复试验的概率公式可知，所求事件的概率为， 故选：B． 11．（22-23高二下·广西南宁·期末）某田地生长的小麦的株高服从正态分布，则（    ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A．0.6827 B．0.8186 C．0.9545 D．0.9759 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性及所提供数据运算即可. 【详解】由题知，， 所以 . 故选：B 12．（22-23高二下·广西桂林·期末）一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定从100件中任取五件的取法数，再确定任取5件，则恰有1件不合格品的取法数，即可求得答案. 【详解】一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件， 共有 种取法； 其中恰有1件不合格品的取法有种取法， 故恰有1件不合格品的概率是， 故选：A. 二、多选题 13．（22-23高二下·广西钦州·期末）已知两个随机变量满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，由二项分布的期望与方差公式代入计算即可得到，再由期望与方差的性质即可得到. 【详解】由题意可得,， 且，则， . 故选：ABD 14．（23-24高二下·广西钦州·期末）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】随机变量X服从正态分布， 所以正态分布的对称轴为 ， 根据对称性可知：，得，A正确，B错误； 则，C错误，D正确. 故选：AD 15．（23-24高二下·广西示范性高中·期末）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据正态分布的原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 16．（22-23高二下·广西桂林·期末）近年来，国家相关政策大力鼓励创新创业，某农业大学毕业生小佟贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和，且当随机变量X服从正态分布时，有．则下列正确的是（    ） A．白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为0.3413 B．白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售量更集中 C．红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售量更集中 D．若红玫瑰的日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰的日销售量的平均数约为250 【答案】AC 【分析】根据正态分布的对称性结合给定区间的概率判断A，D；根据方差的大小判断B，C，即得答案. 【详解】对于A，设白玫瑰的日销售量为X，则, 故，A正确； 对于B，C，由于红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和， 故红玫瑰的日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差， 即红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售量更集中，B错误，C正确； 对于D，红玫瑰的日销售量范围在的概率是0.6826， 则，D错误； 故选：AC 17．（22-23高二下·广西百色·期末）已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） （参考数据：①；②；③） A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分 B．的值越大，成绩不低于100分的人数越多 C．若，则这次考试分数高于120分的约有46人 D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为 【答案】BD 【分析】根据正态分布中的意义判断AB选项，根据计算对应的概率求出人数判断C，由独立重复试验计算至少有2人的分数超过90分的概率判断D. 【详解】对A，根据正态分布知，数学考试成绩X的平均值为，故A错误； 对B，根据中标准差的意义，的值越大则高于90分低于100分的人数变小，所以成绩不低于100分的人数增多，故B正确； 对于C，时，， 故这次考试分数高于120分的约有人，故C错误； 对D，由数学考试成绩X近似服从正态分布知， 由n次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为，故D正确. 故选：BD 三、填空题 18．（23-24高二下·广西玉林·期末）设随机变量服从正态分布，若，则的值为 ． 【答案】0.8413 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为：0.8413. 19．（22-23高二下·广西玉林·期末）设随机变量，若，则p的值为 . 【答案】 【分析】根据二项分布的概率公式，结合对立事件的概率即可求解. 【详解】，由于， 所以， 故答案为： 20．（22-23高二下·广西梧州·期末）已知随机变量服从二项分布，则 . 【答案】/4.8 【分析】根据二项分布的方差运算公式以及变量间的方差关系公式即可求解. 【详解】因为,所以, 所以. 故答案为:. 四、解答题 21．（23-24高二下·广西玉林·期末）甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为. (1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了Y局比赛，求随机变量Y的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大； (2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？ 【答案】(1)答案见解析，进行4局比赛的可能性最大. (2)答案见解析，采用五局三胜制. 【分析】（1）根据题意分析可知：的所有可能取值为3，4，5，结合独立重复性实验求分布列和期望； （2）分别求五局三胜制和三局两胜制时，甲队获胜的概率，对比分析即可. 【详解】（1）由题意可知：的所有可能取值为3，4，5，则有： ； ； ； 故的分布列为： 3 4 5 因为，所以进行4局比赛的可能性最大. （2）采用三局两胜时，甲获胜概率， 采用五局三胜时，甲获胜概率， 因为，所以如果我是甲队领队，采用五局三胜制. 22．（22-23高二下·广西南宁·期末）甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种． (1)甲在每次挑战中，成功的概率都为．设为甲在3次挑战中成功的次数，求的分布列和数学期望； (2)乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变，其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1；求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2)0.4． 【分析】(1)由已知得，然后列出相应分布列即可. (2)根据条件概率的计算公式，列出相应的计算公式，直接计算求解即可. 【详解】（1）由题意得，，则，其中， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则. （2）设事件为“乙在第i次挑战中成功”，其中． 设事件B为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则， 则 ． 即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为0.4． 23．（21-22高二下·广西北海·期末）现有甲，乙两名篮球运动员，甲､乙两人各投篮一次，投中的概率分别和，假设每次投篮是否投中，相互之间没有影响.（结果需用分数作答） (1)求甲投篮3次，至少有2次未投中的概率； (2)求两人各投篮2次，甲恰好投中2次且乙恰好投中1次的概率； (3)设乙单独投篮3次，用表示投中的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列答案见解析，数学期望： 【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式即可得出答案； （2）根据独立重复试验的概率公式结合相互独立事件的概率公式即可得出答案； （3）由已知可得服从二项分布，写出随机变量的所有取值，再求出对应随机变量的概率，即可得出分布列，再根据二项分布的期望公式即可求出数学期望. 【详解】（1）解：记“甲投篮3次至少有2次未投中”为事件， 由题意知投篮3次，相当于3次独立重复试验， 故； （2）解：记“甲投篮2次，恰有2次投中”为事件， “乙投篮2次，恰有1次投中”为事件， 则，， 由于甲､乙投篮相互独立，故； （3）解：根据题意可知，的可能取值为0，1，2，3， 服从二项分布，， 则， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望为. 一、单选题 1．（21-22高二下·广西河池·期末）在某独立重复实验中，事件相互独立，且在一次实验中，事件发生的概率为，事件发生的概率为，其中．若进行次实验，记事件发生的次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设知，，从而得到，，，，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由题知，则，，， 又相互独立，则，易知， 则， 对于选项A，因为， 当时，，所以选项A错误， 对于选项B，因为， 当时，，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，所以，故选项C正确， 对于选项D，因为，， 所以，故选项D错误， 故选：C. 2．（23-24高二下·广西北海·期末）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（    ） A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1 【答案】C 【分析】利用条件概率的概率公式求解即可. 【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件， 则，，，， 故所求概率， 故选：C. 3．（22-23高二下·广西玉林·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正态密度曲线的对称性求出的值，然后将与相乘，展开后可求得的最小值. 【详解】因为，且，则，解得， 因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 二、多选题 4．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知随机变是服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是增函数 D． 【答案】ACD 【分析】由正态分布可求得，判断A；当时，，，判断B；易得在上是增函数，可判断C；计算可得，可判断D. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，， 当时，，则， 又，所以不成立，故B错误； 对于C：，当增大时，也增大，所以在上是增函数，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：ACD. 5．（22-23高二下·广西北海·期末）下列说法中正确的是（    ） A．将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有3种放法 B．被7除后的余数为2 C．若，则 D．抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，则点P在圆内的次数的均值为 【答案】ACD 【分析】根据组合数的计算即可判断A,根据二项式定理即可判断B，根据赋值法即可判断C，根据古典概型求解概率，由独立重复事件的均值计算即可判断D. 【详解】对于A：选一个盒子放两个球，另外两个盒子放一个球，共有种放法，故A正确； 对于B, ，展开式中只有最后一项-2不是7的倍数，所以被7除后的余数为5，故B错误； 对于C：在中， 令，得， 令，得，， 两式相加除以2，得，故C正确； 对于D：在一次抛掷两枚骰子的过程中，点P共有36种情况，其中在圆内的有，共8种，所以掷这两枚骰子一次，点P在圆内的概率为．因为，所以的均值为，故D正确， 故选:ACD 三、填空题 6．（23-24高二下·广西百色·期末）阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有20%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有30%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占60%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为 . 【答案】 【分析】利用全概率公式可构造方程求得所求概率. 【详解】设写作能力被评为优秀等级为事件A，每天阅读时间超过小时为事件， 则，，； ， ， 即从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为. 故答案为： 四、解答题 7．（23-24高二下·广西南宁·期末）据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为，，，通过甲公司的测试后选择签约的概率为，通过乙公司的测试后选择签约的概率为，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响． (1)求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率； (2)设小王获得的年薪为（单位：万元），求的分布列及其数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）记事件：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试，记事件：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【详解】（1）记事件：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试， 记事件：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试， 则，， 显然与互斥，所以小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率． （2）依题意的可能取值为，，，， 则，， ，， 则的分布列如下表： 0 10 12 18 故． 8．（23-24高二下·广西梧州·期末）学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为． (1)求首次摸球就试验结束的概率； (2)在首次摸球摸出红球的条件下． ①求选到的袋子为乙袋的概率； ②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大． 【答案】(1)； (2)①；②选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大. 【分析】（1）利用全概率公式计算可得； （2）①利用条件概率概率公式计算可得；②分别求出两种方案中摸到白球的概率，再比较即可. 【详解】（1）设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件． 所以． 所以摸球一次就试验结束的概率为． （2）①因为，是对立事件，． 所以， 所以选到的袋子为乙袋的概率为． ②由①，得， 所以方案一中取到白球的概率为． 方案二中取到白球的概率为， 因为． 所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大． 9．（23-24高二下·广西北海·期末）有三种不同的果树苗，，，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为0.6，引种树苗，的自然成活率均为. (1)任取树苗，，各一株，设自然成活的株数为，求的分布列及； (2)将（1）中的取得最小值时的的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种株种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.5，其余的树苗不能成活. ①求一株种树苗最终成活的概率； ②若每株树苗引种最终成活后可获利400元，不成活的每株亏损60元，该农户为了获利不低于30万元，应至少引种种树苗多少株? 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)①0.76；②1036株. 【分析】（1）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答. （2）①利用（1）的结论求出p，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出概率作答； ②利用二项分布的期望公式，结合期望的性质求出获利的期望，列出不等式求解作答. 【详解】（1）依题意，的所有可能值为0，1，2，3， 则， ， ，， 由此得的分布列如下表： 0 1 2 3 . （2）因为，由（1）知，则当时，取得最小值， ①一株种树苗最终成活的概率为； ②记为株种树苗的成活株数，为株种树苗的利润，则. ， ， 要使，即，解得，而，则 ， 所以该农户应至少种植1036株种树苗，就可获利不低于30万元. 10．（22-23高二下·广西百色·期末）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率； (2)设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； (3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望为，方差为； (3)甲公司竞标成功的可能性更大. 【分析】（1）将甲乙共答对2道题的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的概率，结合古典概率求解作答. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望和方差作答. （3）求出乙公司答对题数的期望和方差，与甲公司的比对作答. 【详解】（1）记“甲、乙两家公司共答对2道题” 的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥， 则有， 所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是. （2）设甲公司答对题数为，则的取值分别为， ， 则的分布列为： 1 2 3 期望，方差. （3）设乙公司答对题数为，则的取值分别为， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 期望， 方差， 显然， 所以甲公司竞标成功的可能性更大. 11．（23-24高二下·广西百色·期末）中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立. (1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）； (2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率； (3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望. 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】(1)用两点分布的概率公式计算即可. (2)设出事件，分别计算P(A)、P(AB)，用条件概率公式计算得结果. (3)用超几何分布概率公式分别计算出所有可能情况的概率，再计算出数学期望. 【详解】（1）由题设, 服从参数为 的两点分布, . （2）记 表示事件: “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”; 记 表示事件: “甲投中花球”, 则 于是 （3）由题设 值可取 , 则 于是 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$