精品解析：河北省承德市部分学校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试卷

2024—2025年度高一4月联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在正方体的所有棱所在的直线中，与直线异面的共有（ ） A. 4条 B. 6条 C. 8条 D. 2条 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的性质和异面直线的定义即可判定. 【详解】与有公共点的棱所在的直线不异面，有，，，，，共6条， 与直线异面的棱所在的直线有，，，，，，共6条． 故选：B. 2. 已知函数的图象关于点对称，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，可求，进而利用辅助角公式可得，可求最大值. 【详解】由题意，得，解得， 所以， 故当，即时，取得最大值． 故选：D． 3. 已知函数的最小正周期为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由周期公式求得，得到，然后结合图像可解不等式． 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，得． 所以， 由，得， 解得． 故选：A． 4. 已知是夹角为60°的两个单位向量，若，，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，再计算出，即可由求出夹角. 【详解】是夹角为60°的两个单位向量， ， ，， ， ， ， ， 则与夹角为. 故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，考查向量夹角的求解，属于基础题. 5. 如图，在等腰中，，，点是边上的动点，则有关的值的说法正确的是（ ） A. 为定值16 B. 不为定值，有最大值16 C. 为定值32 D. 不为定值，有最小值32 【答案】C 【解析】 【分析】先记的中点为，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】在等腰中，，，点是边上的动点． 如图，取的中点，连接， 由题意可知，，则，， 所以． 故选：C． 6. 在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（ ） A. 三边不全相等的锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知易求得，利用余弦定理，结合，可得，可得结论. 【详解】在中，，又，故． 由余弦定理得，结合，得， 解得，所以一定是等边三角形． 故选：D． 7. 已知函数，则下列命题中错误的是（ ） A. 若在上单调递增，则的取值范围是 B. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C. 若在上的值域为，则的取值范围是 D. 若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 【答案】B 【解析】 【分析】把的范围求出来，看成一个整体，再利用正弦曲线的性质，即可得到不等式，四个选项一一进行求解，求出的范围. 【详解】对于A，当时，，又在上单调递增， 所以，又，解得，故A正确； 对于B，当时，，若在上恰有3个零点， 则，解得，故B错误； 对于C，时，， 由题意得，解得，故C正确； 对于D，时，， 由题意得，解得，故D正确． 故选：B． 8. 函数的图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得到，，从而得到函数最小正周期，故，代入特殊点坐标，得到，得到函数解析式，结合函数的周期求出答案. 【详解】由的解析式可知，， 中，令得，令得， 故，，即，． 故的周期．即，解得， 故，则，得，． 因为，所以．则． ，，， ，，， ，，……， 因为，． 所以． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C. 平行六面体是一种特殊的斜四棱柱 D. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出的它的直观图恰好是一个边长为2的等边三角形，则原平面图形的面积是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据棱柱的概念可判断A；举反例可判断B；根据棱柱的概念可判断C；根据直观图与原图面积关系可判断D. 【详解】对于A，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，故A错误； 对于B，若四棱柱的底面是非正方形的菱形，侧棱垂直于底面，且侧棱长等于底面菱形边长， 则显然其四个侧面都是正方形，而此四棱柱不是正方体，B错误； 对于C，底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体， 而侧棱不垂直于底面的四棱柱叫做斜四棱柱， 因此平行六面体不一定是斜四棱柱，故C错误； 对于D，直观图面积为， 根据直观图与原图面积关系可得，故D正确． 故选：ABC． 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系、三角恒等变换及诱导公式判断各项的正误即可. 【详解】∵， ∴， ∴，A对； ，B错； ，C对； ，D错. 故选：AC 11. 设点是所在平面内任意一点，的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若点是的重心，则 B. 若，则点是的垂心 C. 若点是的垂心，则 D. 若为的外心，为的垂心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断A；根据向量的线性运算及数量积运算可得O到顶点距离相等即可判断B；根据垂心的性质及向量的线性运算判断C；根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得垂直两个不共线向量，即可得解判断D. 【详解】对于A，若点是的重心，则，即，A正确； 对于B，由， 得，得， 所以为的外心，B错误； 对于C，若点是的垂心，则， 所以，C正确； 对于D，如图，为圆的直径，则． 又因为为的垂心，所以，所以． 同理，所以四边形为平行四边形， 所以，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】∵， ∴ 而 故答案为 点睛：1．利用sin2＋cos2＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan可以实现角的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sincos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sincos，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2＋cos2，sin2＝1－cos2，cos2＝1－sin2. 13. 当时，不等式成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数得，再结合对勾函数的性质求范围. 【详解】因为，所以．由题意得成立， 即，即． 因为关于的对勾函数在上单调递减， 所以的最小值为7，所以，解得， 即的取值范围是． 故答案为： 14. 在棱长为3的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上靠近点的三等分点，用过点，，的平面截正方体，则截面图形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出截面，借助平行线分线段成比例定理计算相关线段长，再结合勾股定理求出周长. 【详解】如图，画直线交的延长线分别于点，连接交于点， 交延长线于点，连接交分别于点，连接， 则六边形即为过点，，的截面，由为棱上靠近点的三等分点， 得，即，由，得点为上靠近点的三等分点，即， 由，得，，由， 得，即，由，得， 由勾股定理得，，同理得， 所以截面图形的周长为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的三边长分别为，，． （1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； （2）求该三棱柱的外接球的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【小问1详解】 因为底面三角形的三边长分别为，，， 所以底面三角形直角三角形，两直角边长分别为，， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为， 所以． 设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积． 所以剩余部分几何体的体积． 【小问2详解】 由（1）可知，直三棱柱可补形为棱长分别为，，的长方体， 它的外接球的半径满足，即． 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为 16. （1）若，，求的值． （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）（2）． 【解析】 【分析】（1）将已知两等式平方相加可求得的值； （2）利用同角的正余弦的平方关系求得，，进而利用可求值. 详解】（1）由，， 可得， 故， 即，解得． （2）因为，所以．又． 所以． 因为，， 所以． 所以 ． 17. 如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. （1）用、表示； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解； （2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解. 【小问1详解】 因为，则，所以， 因为为的中点，故. 【小问2详解】 因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 18. 已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为． （1）求的解析式； （2）求函数的单调递增区间和的图象的对称轴方程； （3）将函数图象上所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式和二倍角正弦公式，以及三角恒等变换化简函数； （2）根据解析式，再结合三角函数的性质，即可求解； （3）利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解. 【小问1详解】 ， ， ，， 因为图象的相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得， 所以． 【小问2详解】 令． 则， 所以的单调递增区间为； 令，解得， 即的图象的对称轴方程为． 【小问3详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象， 再向左平移个单位得的图象． 令，，则， 所以， 因为在上只有一个解， 由的图象（如图）可得，或， 所以的取值范围是. 19. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若，，求外接圆的半径； （3）若点在线段上，，，求的最小值． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理边化角，化简整理求出，所以； （2）由余弦定理得求得，进而外接圆的半径； （3）利用面积方法可得关系，然后利用基本不等式求最小值 【小问1详解】 在中，由及正弦定理， 得， 则， 整理得， 而，则， 两边平方得， 又，所以，， 于是，解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理得 ， 而，， 则，解得， 所以， 所以外接圆的半径为． 【小问3详解】 由（1）知，由，则， 由，，则， 则，即， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025年度高一4月联考 数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在正方体的所有棱所在的直线中，与直线异面的共有（ ） A. 4条 B. 6条 C. 8条 D. 2条 2. 已知函数图象关于点对称，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知函数最小正周期为，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 4. 已知是夹角为60°的两个单位向量，若，，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 如图，在等腰中，，，点是边上的动点，则有关的值的说法正确的是（ ） A. 为定值16 B. 不为定值，有最大值16 C. 为定值32 D. 不为定值，有最小值32 6. 在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（ ） A. 三边不全相等的锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 7. 已知函数，则下列命题中错误的是（ ） A. 若在上单调递增，则的取值范围是 B. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C. 若在上的值域为，则的取值范围是 D. 若在上有最大值，没有最小值，则取值范围是 8. 函数的图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则（ ） A. B. 0 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B. 所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 C. 平行六面体是一种特殊的斜四棱柱 D. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出的它的直观图恰好是一个边长为2的等边三角形，则原平面图形的面积是 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 设点是所在平面内任意一点，的内角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若点是的重心，则 B. 若，则点是的垂心 C. 若点是垂心，则 D. 若为的外心，为的垂心，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则的值是__________． 13. 当时，不等式成立，则的取值范围是________． 14. 在棱长为3的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上靠近点的三等分点，用过点，，的平面截正方体，则截面图形的周长为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的三边长分别为，，． （1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； （2）求该三棱柱的外接球的表面积． 16. （1）若，，求的值． （2）已知，，，求的值． 17. 如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. （1）用、表示； （2）求的值. 18. 已知函数，图象的相邻对称轴之间的距离为． （1）求的解析式； （2）求函数的单调递增区间和的图象的对称轴方程； （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位得的图象，若关于的方程在上只有一个解，求实数的取值范围． 19. 已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）若，，求外接圆的半径； （3）若点在线段上，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$