（期末易错复习讲义）常考易错知识点专题突破（八大专题78个突破点）-2024-2025学年四年级下册数学期末备考总复习（苏教版）

1 / 78 2024-2025 学年四年级下册数学期末备考总复习 常考易错知识点专题突破（八大专题 78 个突破点） 2 / 78 目录 专题一平移、旋转和轴对称 ....................................................... 5 突破题型一判断平移的格数 ....................................................5 突破题型二旋转三要素及旋转 ..................................................6 突破题型三判断轴对称的数量 ..................................................7 突破题型四作平移后的图形 ....................................................8 突破题型五作旋转后的图形 ...................................................10 突破题型六补全轴对称图形 ...................................................11 突破题型七综合作图（平移、旋转和轴对称） ...................................12 突破题型八运用平移、旋转和轴对称设计图案 ...................................14 专题二认识多位数 .............................................................. 15 突破题型一数十万以内的数 ...................................................15 突破题型二亿以内数的读写 ...................................................16 突破题型三亿以内数的组成 ...................................................17 突破题型四整数的数级、数位及计数单位的认识 .................................17 突破题型五亿以内数的改写 ...................................................18 突破题型六亿以内数的近似数 .................................................19 突破题型七十进制计数法 .....................................................20 突破题型八大数的比较大小 ...................................................21 突破题型九亿以上数的读写 ...................................................21 突破题型十亿以上数的组成 ...................................................23 突破题型十一亿以上数的改写 .................................................23 突破题型十二亿以上数的近似数 ...............................................24 专题三三位数乘两位数 .......................................................... 25 突破题型一三位数与两位数的乘法 .............................................25 突破题型二三位数与两位数，三位数中间有 0 ................................... 25 突破题型三三位数与两位数，乘数末尾有 0 ..................................... 26 突破题型四积的变化规律（整数乘法） .........................................27 突破题型五三位数乘两位数的竖式计算 .........................................27 3 / 78 突破题型六含三位数乘两位数的脱式计算 .......................................28 突破题型七三位数乘两位数解决问题 ...........................................29 突破题型八数量关系之经济问题 ...............................................29 突破题型九数量关系之行程问题 ...............................................30 突破题型十解决简单的工程问题 ...............................................32 专题四用计算器计算 ............................................................ 32 突破题型一计算器的初步认识 .................................................32 突破题型二计算器按键坏掉的解决办法 .........................................33 突破题型三用计算器计算按错键的解决办法 .....................................34 突破题型四根据算式确定使用计算器的步骤 .....................................34 突破题型五根根据按键顺序确定屏幕显示的数字 .................................35 突破题型六用计算器直接计算 .................................................36 突破题型七用计算器探索规律 .................................................36 突破题型八用计算器计算解决实际问题 .........................................37 专题五解决问题的策略 .......................................................... 38 突破题型一用画图法解决和差倍问题 ...........................................38 突破题型二补全线段图并解决问题 .............................................39 突破题型三面积增加问题（求原面积） .........................................40 突破题型四面积增加问题（求现面积） .........................................42 突破题型五根据提议填表并解决问题 ...........................................43 突破题型六根据线段图直接计算解决问题 .......................................44 专题六运算律 .................................................................. 46 突破题型一加法交换律的应用 .................................................46 突破题型二加法结合律的应用 .................................................47 突破题型三减法的性质的应用 .................................................47 突破题型四乘法交换律的应用 .................................................48 突破题型五乘法结合律的应用 .................................................49 突破题型六乘法分配律的应用 .................................................50 突破题型七除法的性质的应用 .................................................51 4 / 78 突破题型八运算律解决相遇问题 ...............................................52 突破题型九加法运算律和乘法运算律简便运算 ...................................53 专题七三角形、平行四边形和梯形 ................................................ 54 突破题型一三角形的概念和表示方法 ...........................................54 突破题型二三角形的稳定性及应用 .............................................55 突破题型三三角形的三边关系 .................................................56 突破题型四三角形的内角和 ...................................................57 突破题型五三角形的分类 .....................................................57 突破题型六等腰三角形和等边三角形的认识及特征 ...............................58 突破题型七平行四边形的概念及特点 ...........................................60 突破题型八平行四边形的不稳定性及应用 .......................................60 突破题型九梯形的概念及特点 .................................................61 突破题型十平行四边形的周长的计算及实际应用 .................................62 突破题型十一梯形的周长的计算及实际应用 .....................................62 突破题型十二画三角形的高 ...................................................63 突破题型十三画三角形 .......................................................63 突破题型十四画平行四边形的高 ...............................................64 突破题型十五画平行四边形 ...................................................65 突破题型十六画梯形的高 .....................................................66 突破题型十七画梯形 .........................................................66 突破题型十八多边形的内角和 .................................................67 专题八确定位置 ................................................................ 68 突破题型一用数对表示位置 ...................................................68 突破题型二根据数对找位置 ...................................................70 突破题型三和数对相关的平移问题 .............................................72 突破题型四和数对相关的旋转或轴对称问题 .....................................73 突破题型五和数对相关的路线图问题 ...........................................74 突破题型六和数对相关的图上基础行程问题 .....................................75 突破题型七和数对相关的象棋走法 .............................................77 5 / 78 专题一平移、旋转和轴对称 突破题型一判断平移的格数 1．移一移，填一填。 向下平移( )格 向( )平移( )格 向( )平移( )格 2．在下图中，将长方形 A向( )平移( )格就能变成一个正方形。 3．看图填一填。 (1)图①先向( )平移了( )格，再向( )平移了( )格。 6 / 78 (2)图②先向( )平移了( )格，再向( )平移了( )格。 4． (1)平移过程中，图形的( )和( )都不会发生改变。 (2)图形 B向( )平移( )格，再向( )平移( )格，就能与图形 A拼成一个完整的图形了。 突破题型二旋转三要素及旋转 5．看图填空。 钟面上的时针从 6：00 到 9：00 旋转了( )°。 6．观察图，从图①到图②，三角形绕点 O( )时针旋转( )°。 7 / 78 7．体育老师发出口令“向右转”，你的身体需按( )方向旋转( )°。 8．“六一”儿童节那天，果果 7：30 起床，7：45 跟爸爸妈妈一起出发前往植物园游玩，这 段时间里分针按( )方向旋转了( )度。果果下午到家，发现时针从 7：45 起正好按顺时针方向旋转了 180 度，分针又转回了原来的位置，果果到家的时间是 ( )。（用 24 时计时法表示） 突破题型三判断轴对称的数量 9．下面三幅图都是由 2个圆组合成的，对称轴最多的是( )，对称轴最少的是 ( )。 10．下图中共有( )条对称轴。 8 / 78 11．下图中，图①有( )条对称轴，图②有( )条对称轴，图③有( ) 条对称轴，图④有( )条对称轴。 12．填空。 (1)只有一条对称轴的图形有( )； (2)共有两条对称轴的图形有( )； (3)共有四条对称轴的图形有( )。 突破题型四作平移后的图形 13．画出平行四边形向下平移 3格后的图形。 9 / 78 14．按要求画出平移后的图形。 15．把下面方格图中的三角形向右平移 10 格，画出平移后的图形。 16．画出下图的轴对称图形，并整体向右平移 8格。 10 / 78 突破题型五作旋转后的图形 17．画出长方形绕点 A顺时针旋转 90°后的图形。 18．（1）画出三角形绕点 A顺时针旋转 90°后的图形。 （2）画出长方形向左平移 6后格的图形。 19．（1）将下图中三角形先向右平移 5格，再向下平移 6格。 （2）将下图中梯形沿 A点顺时针旋转 90 度。 11 / 78 20．按要求画出下面图形。 （1）将①号图形向下平移 2格。 （2）把②号图形绕点 A顺时针旋转 90°。 突破题型六补全轴对称图形 21．分别画出图形的另一部分，使它成为一个轴对称图形。 22．在下面每个图形中涂一个小方格，使涂色部分成为一个轴对称图形。 12 / 78 23．画出下面图①的另一半，使它成为一个轴对称图形，画出图②的对称轴。 24．将三角形围绕O点逆时针旋转90，画出旋转后的图形。画出第二个图形的另一半，使它 成为一个轴对称图形。 突破题型七综合作图（平移、旋转和轴对称） 25．按要求在方格纸上画一画。 （1）把平行四边形向下平移 4格。 （2）把梯形绕点 A逆时针旋转 90 度。 13 / 78 （3）画出最后一个图形的另一半，使它成为轴对称图形。 26．按要求完成下面各题。 （1）把平行四边形向右平移 8格，画出平移后的图形。 （2）画出左下方图形的另一半，使它成为轴对称图形。 （3）把三角形绕点 A顺时针旋转 90 度。 27．（1）画出下面三角形围绕点 A逆时针旋转 90°后的图形； （2）把平行四边形先向右平移 5格，再向上平移 3格，画出平移后的图形； （3）将下表中的图 B添上一个小方格使它成为一个轴对称图形。 14 / 78 28．操作。 （1）画出①号图形向下平移 5格，再向右平移 6格后的图形。 （2）画出②号图形绕点 A顺时针旋转 90°后的图形。 （3）画出③号图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。 突破题型八运用平移、旋转和轴对称设计图案 29．利用方格中的图形按要求设计图案。 用旋转的方式设计。 15 / 78 30．利用轴对称变换设计出一幅美丽的图案。 31．在右面的两个图中用圆规和三角尺绘出左面两个美丽的图案。 32．照样子继续画下去，形成一幅美丽的图案，并涂上你喜欢的颜色。 专题二认识多位数 突破题型一数十万以内的数 1．一个一个地数，10998 接着往后写两个数：( )、( )。 16 / 78 2．与 11 万相邻的两个数分别是( ) 和( ) 。 3．写出下面各数相邻的两个数。 ( )、72699、( ) ( )、40000、( ) 4．比最大的五位数多 1的数是( )，最小的六位数与最大的五位数相差( )。 突破题型二亿以内数的读写 5．一个数由 8个百万、4个万、7个百和 9个一组成，这个数写作( )。 6．75402509 是一个( )位数，最高位是( )位，这个数读作( )。 7．太阳中心的温度约是一千五百万摄氏度，横线上的数写作( )。太阳与水星的距离 约是 57910000 千米，横线上的数读作( )。 17 / 78 8．读出横线上的数。 突破题型三亿以内数的组成 9．一万一万地数，九十七万后面接着数是( )万、( )万和( )万。 10．四十六万零五十八是由( )个万和( )个一组成的；八千万八千是由 ( )个万和( )个一组成的。 11．3 个千万、2个万和 7个一组成的数是( )。 12．26070500 是由( )个万和( )个一组成的。 突破题型四整数的数级、数位及计数单位的认识 13．用下面八张卡片摆出符合要求的八位数。（至少写一个） 只读一个“零”：( )； 读出两个“零”：( )； 读出三个“零”：( )； 18 / 78 一个“零”都不读出来：( )。 14．29009070945 最左边上的“9”表示 9个( )，中间的“9”表示 9个( )， 最右边的“9”表示 9个( )，最左边的“9”是最右边的( )倍。 15．305005900000 是( )位数，最高位是( )位，左边的“5”表示( ) 个( )，右边的“5”表示( )个( )。 16．一个数由4个千万、3个百万，2个万、1个千组成，这个数写作( )，读作( )， 这个数是( )位数。 突破题型五亿以内数的改写 17．一本小说的字数约是 9890000，改写成用“万”作单位的数是( )。 18．把下面各数改写成用“万”作单位的数。 250000＝( ) 13500000＝( ) 19 / 78 19．比较大小。 85 万( )850000 90( )90 万 507 万( )5070001 20．今年“五一”假期，成都假日文旅市场呈现安全平稳、繁荣有序的良好发展态势。数据显 示，成都接待游客一千四百六十一万三千人次，横线上的数写作( )，改为以“万”为 单位的数约是( )万。 突破题型六亿以内数的近似数 21．《四库全书》全称《钦定四库全书》，是清代乾隆时期编修的大型丛书。分经、史、子、 集四部，故名“四库”。据文津阁藏本，共收录 3462 种图书，共计 79338 卷，36000 余册， 约800000000字。800000000读作( )。把 79338 改写成用“万”作单位的近似数是( )。 22．一个数由 3个千万、6个百万、4个十万和 9个千组成，这个数写作( )，“四 舍五入”到万位约是( )万。 23．6 846≈6 万， 中最大填( )；99 7604215≈100 亿， 中最小填( )。 24．按要求写数。 20 / 78 (1)一个数“五入”所得的近似数是 135 万，这个数最大是( )，最小是( )。 (2)一个数“四舍”所得的近似数是 135 万，这个数最大是( )，最小是( )。 突破题型七十进制计数法 25．( )个千万是 1亿，( )个百万是 1亿，( )个十万是 1亿， ( )个万是 1亿，1亿里有( )个一。 26．( )个亿是十亿，( )个百亿是一千亿。 27．十进制计数法，不相邻的两个计数单位之间的进率。看它们之间隔几个计数单位，隔一个 计数单位的进率是( )，隔 2个计数单位的进率是( )。 28．十进制计数法“满十进一”，二进制计数法“满二进一”，十进制计数法与二进制计数法 可以互相转换。请观察下面表格中的数据，并将表格补充完整。 十进制数 1 2 3 4 5 二进制数 1 10 11 ( ) ( ) 21 / 78 突破题型八大数的比较大小 29．456 万＜ 061200， 里最小可以填( )；906000000＞ 亿， 里最大可以填 ( )。 30．先读出下面各数，再把它们按照从大到小的顺序排列。 2720000 4040000 2400000 读作：( ) 读作：( ) 读作：( ) 排列：( )＞( )＞( )。 31．在 90580560004、90500085640、90490004560、9050806900 这几个数中，( )更接 近 905 亿。 32．一个八位数，各个数位上的数字和是 12，最高位上的数字是万位上数字的 2倍，这个数 最大是( )，最小是( )。 突破题型九亿以上数的读写 33．一个十位数，最高位上的数字是 6，千万位和千位上的数字都是 5，其余各位上都是 0。 这个数是( )。 22 / 78 34．在“56”后面添( )个 0，就成了五亿六千万；在“1”和“4”的中间添( )个 0，就成了十万零四。 35．写出下面横线上的数。 2022 年末全国民用轿车保有量达一亿七千七百四十万辆，比上年末增加一千零三万辆，其中 私人轿车保有量达一亿六千六百八十五万辆。 一亿七千七百四十万 写作：( ) 一千零三万 写作：( ) 一亿六千六百八十五万 写作：( ) 36．填表。 到太阳的平均距离/千米 读作 土星 1427000000 （ ） 地球 149600000 （ ） 水星 57910000 （ ） 夏粮 2022 年产量/吨 写作 早稻 一亿四千七百四十万 （ ） 秋粮 两千八百一十二万 （ ） 23 / 78 突破题型十亿以上数的组成 37．一个数的百亿位上的数字比十亿位上的数字大 6，且百亿位上的数字是十亿位上的数字的 3倍，其他各位上都是 0。这个数是( )。 38．4500809300 是由( )个亿、( )个万和( )个一组成的。 39．由 8个亿、3个百万和 6个千组成的数写作( )，这个数还可以看作是由( ) 个亿、( )个万和( )个一组成的。 40．一个数是由4个十亿、8个千和6个一组成的，这个数写作( )，它是一个( ) 位数，这个数也可以看成是由( )个亿和( )个一组成的。 突破题型十一亿以上数的改写 41．2870990000 由( )个亿和( )个万组成，这个数读作( )，改 写成用万作单位的数是( )。 42．在括号里填“＞”或“＜”。 24 / 78 192350( )200140 2901000000( )29 亿 43．国庆节小长假，某省游客接待数量再创历史新高，达到 166500000 人次。这个数改写成用 “万”做单位的数是( )万，省略亿位后面的尾数约是( ) 44．一个数，它的十亿位和千万位都是 8，万位上是 5，其它数位上一个计数单位也没有，这 个数写作( )，读作( )。把这个数改写成以“万”为单位的数是( ) 万，用“四舍五入”法省略亿位后面的尾数约是( )亿。 突破题型十二亿以上数的近似数 45．鄱阳湖是我国第一大淡水湖，也是我国第二大湖，最大蓄水量为 14960000000 立方米，横 线上的数读作( )，把它改写成用“万”作单位的数是( )万；省 略“亿”后面的尾数约是( )亿。 46．将下面的数改写成用“亿”作单位的近似数。 7230000000≈( ) 4725810000≈( ) 3953045080≈( ) 47．18□450≈19 万，□里最小能填( )。3□6456740≈3 亿，□里最大能填( )。 25 / 78 48．六亿五千四百八十万写作( )，把它改写成用“万”作单位的数是( )，“四舍 五入”到亿位为( )亿。 专题三三位数乘两位数 突破题型一三位数与两位数的乘法 1．24 个 124 的和是（ ），65 的 130 倍是（ ）。 2．用 1，2，4，6，8这五个数字组成三位数乘两位数的算式。（每个数字只能用一次） （1）积最大（ ）（ ）（ ）×（ ）（ ） （2）积最小：（ ）（ ）（ ）×（ ）（ ） 3．在（ ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 547×88（ ）54×880 250×40（ ）350×35 320×31（ ）310×32 270×60（ ）60×300 40×316（ ）3160×4 160×50（ ）15×600 突破题型二三位数与两位数，三位数中间有 0 4．大众粮油批发部一天销售大米和面粉的情况如下表。你能算一算、填一填吗？ 26 / 78 每袋质量/千克 数量/袋 售出总质量/千克 大米 25 106 （ ） 面粉 15 243 （ ） 5．每个篮球108元，篮球的单价是108（ ），李老师要买15个这样的篮球，共需要（ ） 元，这里用到的数量关系式是（ ）。 6．408×50的积的末尾有（ ）个0，要使243×□1的积是四位数，□里最大可以填（ ）。 突破题型三三位数与两位数，乘数末尾有 0 7．500×80 的积的末尾有（ ）个 0；一个三位数乘 10，积是（ ）位数。 8．全世界大约每分钟就有 270 名婴儿出生，照这样计算，全世界每小时大约有（ ）名 婴儿出生。 9．完成下列表格。 单价/（元/个） 数量/个 总价/元 27 / 78 68 140 （ ） （ ） 5 860 11 （ ） 1210 突破题型四积的变化规律（整数乘法） 10．根据 450×26＝11700 直接写出下面算式的结果。 45×260＝（ ） 45×26＝（ ） 11．已知 37037×3＝111111，37037×6＝222222，37037×9＝333333…根据这样的规律可以 推算出 37037×24＝（ ）。 12．如果 A×B＝40，那么 A×（5×B）＝（ ），（A÷4）×（B×4）＝（ ）。 突破题型五三位数乘两位数的竖式计算 13．用竖式计算。 142×21＝ 38×306＝ 28 / 78 14．用竖式计算。 80×320＝ 728×56＝ 15．用竖式计算。 340×55＝ 507×24＝ *125×36＝ 突破题型六含三位数乘两位数的脱式计算 16．用递等式计算。 730＋70×125－480 （279＋21×30）÷9 18×[（860－530）÷15] 17．计算下面各题。 38×2－91÷7 500－（125＋225÷25） 12×［312÷（21－18）] 18．计算下面各题。 5340－128×13 [250―（43＋132）]×18 1000－720÷8×9 29 / 78 突破题型七三位数乘两位数解决问题 19．生活垃圾处理不当不仅影响城市面貌，还污染生态环境。某市新建的垃圾处理厂每天大约 可处理 2230 吨垃圾，预计该垃圾处理厂 2025 年大约能处理多少吨垃圾？ 20．“张衡一号”卫星是我国第一颗电磁监测试验卫星，大约需 120 小时就能完成对地球同一 地点的重访，照这样计算，它对地球某一地点完成 21 次重访，大约需要多长时间？ 21．学校订购了 90 套新的桌椅，用来替换各班的老旧桌椅。商场里有三种桌椅，第一种每套 108 元，第二种每套 120 元，第三种每套 150 元，学校最多可用 10000 元购买这些桌椅，购买 哪一种桌椅合适？ 突破题型八数量关系之经济问题 22．某商店从厂家批发了 460 个皮球，每个皮球进价是 15 元。 （1）该商店需要付给厂家多少元？ （2）该商店在卖出 307 个皮球后开始打折促销。如果皮球全部售出，那么该店是赔了还是赚 了？ 23．李大伯家本周卖出花卉情况如下表。 30 / 78 品种 茶花 玉兰花 牡丹花 每株的价格 12 元 15 元 20 元 卖出的数量 270 株 307 株 360 株 （1）茶花比牡丹花少卖多少元？ （2）请你提出其他数学问题并解答。 24．某地森林公园菊花展的门票价格如下。 购票人数 1～50 人 51～100 人 100 人以上 每人票价 30 元 25 元 20 元 四年级三个班的学生去赏菊，一班 42 人，二班 52 人，三班 34 人。 （1）每班分别购票，各需要多少元？ （2）三个班合起来购票，共需要多少元？ 突破题型九数量关系之行程问题 25．在拆除城市中心的高层建筑时，经常用到爆破楼体的技术。在一次爆破中，张师傅准备点 燃一根长 640 毫米的引线来引爆炸药，引线每秒燃烧 8毫米。张师傅点燃引线后以 6米/秒的 速度跑向距离爆炸点 450 米的安全区域，这次爆破张师傅会有危险吗？ 26．北京→上海。 2024-2025学年四年级下册数学期末备考总复习 常考易错知识点专题突破（八大专题78个突破点） 目录 专题一平移、旋转和轴对称 5 突破题型一判断平移的格数 5 突破题型二旋转三要素及旋转 7 突破题型三判断轴对称的数量 9 突破题型四作平移后的图形 11 突破题型五作旋转后的图形 14 突破题型六补全轴对称图形 17 突破题型七综合作图（平移、旋转和轴对称） 19 突破题型八运用平移、旋转和轴对称设计图案 24 专题二认识多位数 26 突破题型一数十万以内的数 26 突破题型二亿以内数的读写 27 突破题型三亿以内数的组成 29 突破题型四整数的数级、数位及计数单位的认识 30 突破题型五亿以内数的改写 32 突破题型六亿以内数的近似数 33 突破题型七十进制计数法 35 突破题型八大数的比较大小 37 突破题型九亿以上数的读写 39 突破题型十亿以上数的组成 41 突破题型十一亿以上数的改写 42 突破题型十二亿以上数的近似数 44 专题三三位数乘两位数 45 突破题型一三位数与两位数的乘法 45 突破题型二三位数与两位数，三位数中间有0 47 突破题型三三位数与两位数，乘数末尾有0 48 突破题型四积的变化规律（整数乘法） 50 突破题型五三位数乘两位数的竖式计算 51 突破题型六含三位数乘两位数的脱式计算 52 突破题型七三位数乘两位数解决问题 54 突破题型八数量关系之经济问题 55 突破题型九数量关系之行程问题 58 突破题型十解决简单的工程问题 60 专题四用计算器计算 61 突破题型一计算器的初步认识 61 突破题型二计算器按键坏掉的解决办法 62 突破题型三用计算器计算按错键的解决办法 63 突破题型四根据算式确定使用计算器的步骤 64 突破题型五根根据按键顺序确定屏幕显示的数字 66 突破题型六用计算器直接计算 67 突破题型七用计算器探索规律 69 突破题型八用计算器计算解决实际问题 71 专题五解决问题的策略 72 突破题型一用画图法解决和差倍问题 72 突破题型二补全线段图并解决问题 75 突破题型三面积增加问题（求原面积） 78 突破题型四面积增加问题（求现面积） 80 突破题型五根据提议填表并解决问题 83 突破题型六根据线段图直接计算解决问题 86 专题六运算律 88 突破题型一加法交换律的应用 88 突破题型二加法结合律的应用 90 突破题型三减法的性质的应用 91 突破题型四乘法交换律的应用 92 突破题型五乘法结合律的应用 94 突破题型六乘法分配律的应用 95 突破题型七除法的性质的应用 97 突破题型八运算律解决相遇问题 98 突破题型九加法运算律和乘法运算律简便运算 100 专题七三角形、平行四边形和梯形 105 突破题型一三角形的概念和表示方法 105 突破题型二三角形的稳定性及应用 107 突破题型三三角形的三边关系 108 突破题型四三角形的内角和 109 突破题型五三角形的分类 111 突破题型六等腰三角形和等边三角形的认识及特征 113 突破题型七平行四边形的概念及特点 115 突破题型八平行四边形的不稳定性及应用 116 突破题型九梯形的概念及特点 117 突破题型十平行四边形的周长的计算及实际应用 118 突破题型十一梯形的周长的计算及实际应用 119 突破题型十二画三角形的高 121 突破题型十三画三角形 122 突破题型十四画平行四边形的高 124 突破题型十五画平行四边形 125 突破题型十六画梯形的高 126 突破题型十七画梯形 127 突破题型十八多边形的内角和 129 专题八确定位置 131 突破题型一用数对表示位置 131 突破题型二根据数对找位置 133 突破题型三和数对相关的平移问题 136 突破题型四和数对相关的旋转或轴对称问题 139 突破题型五和数对相关的路线图问题 141 突破题型六和数对相关的图上基础行程问题 143 突破题型七和数对相关的象棋走法 147 专题一平移、旋转和轴对称 突破题型一判断平移的格数 1．移一移，填一填。 向下平移( )格       向( )平移( )格   向( )平移( )格 【答案】4 右 7 左 6 【分析】要想知道一个图形平移的方向和距离，只需要找到图形中的一个关键点，找出这个关键点平移的方向和距离即可。 （1）由图可知，原图形向下平移了4格。 （2）由图可知，原图形向右平移了7格。 （3）由图可知，原图形向左平移了6格。 【解答】 向下平移4格                  向右平移7格             向左平移6格。 2．在下图中，将长方形A向( )平移( )格就能变成一个正方形。 【答案】下 4 【分析】决定平移后图形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距离；正方形的四条边都相等，四个角都是直角，依此解答。 【解答】 如图，将长方形A向下平移4格就能变成一个正方形。 3．看图填一填。 (1)图①先向( )平移了( )格，再向( )平移了( )格。 (2)图②先向( )平移了( )格，再向( )平移了( )格。 【答案】(1)下 4 右 6 (2)上 4 左 5 【分析】（1）首先找出图①的某个点和平移后的对应点，然后判断出移动的方向和格数即可。 （2）首先找出图②的某个点和平移后的对应点，然后判断出移动的方向和格数即可。 【解答】（1）图①先向下平移了4格，再向右平移了6格。 （2）图②先向上平移了4格，再向左平移了5格。 【点评】此题主要考查了平移的特征和应用，要熟练掌握，注意平移的方向和格数。 4． (1)平移过程中，图形的( )和( )都不会发生改变。 (2)图形B向( )平移( )格，再向( )平移( )格，就能与图形A拼成一个完整的图形了。 【答案】(1)形状 大小 (2)左 3 上 1 【分析】（1）平移是指在同一个平面内，如果一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，那么这样的图形运动就叫做图形的平移运动，简称平移，平移不改变图形的形状和大小，依此填空。 （2）先找出构成图形的关键点，再确定平移方向和平移距离即可，依此填空。 【解答】（1）平移过程中，图形的形状和大小都不会发生改变。 （2）根据分析可知，图形B向左平移3格，再向上平移1格，就能与图形A拼成一个完整的图形了。（答案不唯一） 【点评】熟练掌握平移图形的方法是解答此题的关键。 突破题型二旋转三要素及旋转 5．看图填空。 钟面上的时针从6：00到9：00旋转了( )°。 【答案】90 【分析】钟面上一共12个大格，每个大格对应的度数是30°；由题意得，6：00时，时针指向数字6；9：00时，时针指向数字9。从6：00到9：00，时针走过了3个大格。每个大格对应的度数是30°，直接用30°乘3即可算出时针一共旋转了多少度。 【解答】9－6＝3（大格） 30°×3＝90° 钟面上的时针从6：00到9：00旋转了90°。 6．观察图，从图①到图②，三角形绕点O( )时针旋转( )°。 【答案】顺 90 【分析】根据旋转图形的意义，一个图形绕某点顺时针（或逆时针）旋转一定的角度，某点的位置不动，其余各部分均绕此点按相同的方向旋转相向的角度，图②在图①的下方，对应的两条边互相垂直，据此填空即可。 【解答】从图①到图②，三角形绕点O顺时针旋转90°。 7．体育老师发出口令“向右转”，你的身体需按( )方向旋转( )°。 【答案】顺时针 90 【分析】一个图形绕着某点沿某个方向转动一个角度的图形运动叫做旋转；与时针旋转方向相同的是顺时针，与时针旋转方向相反的是逆时针；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；结合实际可知：向左或向右转都是旋转了90°，向后转是旋转了180°；向左是逆时针，向右是顺时针，据此解答即可。 【解答】根据解析可知，体育老师发出口令“向右转”，你的身体需按顺时针方向旋转90°。 8．“六一”儿童节那天，果果7：30起床，7：45跟爸爸妈妈一起出发前往植物园游玩，这段时间里分针按( )方向旋转了( )度。果果下午到家，发现时针从7：45起正好按顺时针方向旋转了180度，分针又转回了原来的位置，果果到家的时间是( )。（用24时计时法表示） 【答案】顺时针 90 13：45 【分析】将简单图形平移或旋转一定的度数；7：30到7：45，分针转了15分，转了3大格，1大格是30度，3大格是90度；时针从7：45起正好按顺时针方向旋转了180度，也就是经过了6小时，分针又转回了原来的位置，即回到45分的位置，据此可解此题。 【解答】7：45－7：30＝15（分钟） 15分钟对应3大格 3×30＝90（度） 故15分钟，分针按顺时针方向旋转了90度 7：45＋6小时＝13：45 综上可知，“六一”儿童节那天，果果7：30起床，7：45跟爸爸妈妈一起出发前往植物园游玩，这段时间里分针按顺时针方向旋转了90度。果果下午到家君钟面，发现时针从7：45起正好按顺时针方向旋转了180度，分针又转回了原来的位置，果果到家的时间是13：45。 突破题型三判断轴对称的数量 9．下面三幅图都是由2个圆组合成的，对称轴最多的是( )，对称轴最少的是( )。 【答案】① ② 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴；据此解答。 【解答】根据分析：观察发现①有无数条对称轴，②有1条对称轴，③有2条对称轴，所以对称轴最多的是①，对称轴最少的是②。 10．下图中共有( )条对称轴。 【答案】2 【分析】轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可。 【解答】该图形共有2条对称轴，如下图所示： 【点评】掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿一条直线对折后两部分能否完全重合。 11．下图中，图①有( )条对称轴，图②有( )条对称轴，图③有( )条对称轴，图④有( )条对称轴。 【答案】4 2 1 3 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此确定对称轴的数量。 【解答】 图①有4条对称轴，图②有2条对称轴，图③有1条对称轴，图④有3条对称轴。 12．填空。 (1)只有一条对称轴的图形有( )； (2)共有两条对称轴的图形有( )； (3)共有四条对称轴的图形有( )。 【答案】(1)③、⑤ (2)①、④ (3)② 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。 【解答】（1）只有一条对称轴的图形有③、⑤； （2）共有两条对称轴的图形有①、④； （3）共有四条对称轴的图形有②。 突破题型四作平移后的图形 13．画出平行四边形向下平移3格后的图形。 【答案】见详解 【分析】作平移后的图形步骤：找点（找出构成图形的关键点）；定方向、距离（确定平移方向和平移距离）；定点（由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置）；连点（顺次连接各个对应点）。 【解答】 14．按要求画出平移后的图形。 【答案】见详解 【分析】把图中图形的各个顶点分别向右平移9格，然后顺次把各个顶点连接起来即可得到平移9格后的图形。再把平移后的图形的各个顶点分别向下平移6格，然后顺次把各个顶点连接起来即可得到再平移6格后的图形，据此作图即可解答。 【解答】 15．把下面方格图中的三角形向右平移10格，画出平移后的图形。 【答案】见详解 【分析】将三角形三个顶点向右平移10格，将平移后的点顺次相连，即可得到平移后的三角形。 【解答】 【点评】作平移后的图形，把握好平移方向及平移的格数。 16．画出下图的轴对称图形，并整体向右平移8格。 【答案】见详解 【分析】（1）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 （2）作平移后的图形的方法：找出构成图形的关键点，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，再依据图形的形状顺次连接各对应点，画出最终的图形。 【解答】 【点评】补全轴对称图形和作平移后图形时，确定图形的关键点及对称点或对应点是解决本题的关键。 突破题型五作旋转后的图形 17．画出长方形绕点A顺时针旋转90°后的图形。 【答案】见详解 【分析】作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 【解答】 18．（1）画出三角形绕点A顺时针旋转90°后的图形。 （2）画出长方形向左平移6后格的图形。 【答案】（1）画图见详解 （2）画图见详解 【分析】（1）先找到三角形以点A为顶点的两条边，并分别把两条边沿顺时针方向（即向右）旋转90°，也就是画出分别与这两条边向右呈直角的且长度相等的线段，再把画出的两条线段的另一个端点连接起来，即把三角形绕点A顺时针旋转了90°； （2）把已知长方形的4个顶点分别向左平移6格，再把平移后的4个点顺次连接进来，即画出了把长方形向左平移6格的图形。据此解答。 【解答】根据分析，画图如下： 19．（1）将下图中三角形先向右平移5格，再向下平移6格。 （2）将下图中梯形沿A点顺时针旋转90度。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）图形平移的方法是点对点平移，把三角形的各顶点先向右平移5格，再向下平移6格，依次连接各点，即可画出平移后的图形。 （2）根据旋转的特征，这个梯形绕点A顺时针旋转90°后，点A位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，即可画出旋转后的图形。 【解答】（1）、（2）如图： 20．按要求画出下面图形。    （1）将①号图形向下平移2格。 （2）把②号图形绕点A顺时针旋转90°。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）物体平移的方法是点对点平移，把①号图形的各顶点向下平移2格，再依次连接各点。 （2）根据旋转的特征，这个图形绕点A顺时针旋转90°后，点A位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 【解答】   【点评】平移作图要注意平移方向和平移距离，旋转作图要注意旋转方向和旋转角度。 突破题型六补全轴对称图形 21．分别画出图形的另一部分，使它成为一个轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【解答】如图： 22．在下面每个图形中涂一个小方格，使涂色部分成为一个轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】轴对称图形是指在平面图内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。先找出对称轴，然后画出对应的图形即可。 【解答】如下图： 23．画出下面图①的另一半，使它成为一个轴对称图形，画出图②的对称轴。 【答案】见详解 【分析】补全轴对称图形的方法： （1）确定所给图形的关键点，也就是图形上每条线段的端点； （2）确定关键点的对称点（对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出图形的关键对称点。）； （3）把描出的对称点按顺序连线，得到轴对称图形的另一半。 轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 【解答】 24．将三角形围绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形。画出第二个图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】（1）作旋转一定角度后的图形的方法：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，找出构成图形的关键点，按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点，顺次连接作出的各点即可。 （2）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 【解答】作图如下： 【点评】作旋转后图形和补全轴对称图形时，确定图形的关键点及对称点或对应点是解决本题的关键。 突破题型七综合作图（平移、旋转和轴对称） 25．按要求在方格纸上画一画。 （1）把平行四边形向下平移4格。 （2）把梯形绕点A逆时针旋转90度。 （3）画出最后一个图形的另一半，使它成为轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】（1）根据平移的特征，把图形平行四边形的各顶点分别向下平移4格，依次连结即可得到向下平移4格后的图形； （2）根据旋转的特征，梯形绕点A逆时针旋转90°，点A的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形； （3）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的左边画出右图的关键对称点，依次连结即可。 【解答】（1）（2）（3）如图所示： 26．按要求完成下面各题。 （1）把平行四边形向右平移8格，画出平移后的图形。 （2）画出左下方图形的另一半，使它成为轴对称图形。 （3）把三角形绕点A顺时针旋转90度。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）把平行四边形的四个顶点作为关键点，把关键点都向右平移8格，然后得到平移后的对应点，最后把对应点连接起来即可。 （2）把该图形每条线段的端点作为关键点，根据“轴对称图形两个对称点的连线垂直于对称轴，且这两个点到对称轴的距离相等”找到关键点的对称点，最后把对称点连接起来即可。 （3）把这个三角形的两条直角边作为关键线段，两条边分别绕点A顺时针旋转90°得到对应线段，再将对应线段的端点连接起来即可。 【解答】（1）把平行四边形向右平移8格，得到的图形如下图： （2）这个轴对称图形如下图： （3）把三角形绕点A顺时针旋转90°，得到的图形如下图： 【点评】图形作平移、旋转、轴对称变换时，应先找到关键点或关键边，再作相对应的运动。 27．（1）画出下面三角形围绕点A逆时针旋转90°后的图形； （2）把平行四边形先向右平移5格，再向上平移3格，画出平移后的图形； （3）将下表中的图B添上一个小方格使它成为一个轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】（1）作旋转后图形的方法：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角度，找出构成图形的关键点，按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点，顺次连接作出的各点即可。 （2）作平移后图形的方法：找出构成图形的关键点，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，再依据图形的形状顺次连接各对应点，画出最终的图形。 （3）一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。根据轴对称图形的定义作图即可。 【解答】（1）旋转后的三角形如图所示； （2）平移后的平行四边形如图所示； （3）使图B成为一个轴对称图形有三种添加方法，分别在图中1、2、3的位置。（画出一种即可） 28．操作。 （1）画出①号图形向下平移5格，再向右平移6格后的图形。 （2）画出②号图形绕点A顺时针旋转90°后的图形。 （3）画出③号图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解 【分析】（1）这是一个四边形，先将图形的4个顶点向下平移5格，画出图形，再将平移后的图形继续向右平移，找到4个顶点向右平移6格后的位置，再把4个顶点顺次相连即可。 （2）与时针旋转方向相同的方向叫顺时针，先画出这个直角三角形较短的一条直角边旋转之后的图形，再画出直角三角形中最长的边旋转后的图形，最后把这两条线段的另外一个端点相连即可。 （3）分别画出图中对称轴右侧3个顶点的对称点，再按照对称轴右边图形的连接方式将其连接，使得这个图形沿着对称轴折叠，对称轴两侧的图形能够完全重合。 【解答】（1）（2）（3）如图： 突破题型八运用平移、旋转和轴对称设计图案 29．利用方格中的图形按要求设计图案。 用旋转的方式设计。 【答案】见详解 【分析】决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。物体或图形旋转后，它们的形状、大小都不改变，只是位置发生了变化。据此作图即可。 【解答】根据分析，作图如下： （画法不唯一） 30．利用轴对称变换设计出一幅美丽的图案。 【答案】见详解 【分析】轴对称图形的概念：一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合；据此解答。 【解答】根据分析如图： （答案不唯一） 31．在右面的两个图中用圆规和三角尺绘出左面两个美丽的图案。 【答案】见详解 【分析】第一个图形是以正方形的四个顶点为圆心，以正方形的边长为半径，在正方形内作弧即可作出；第二个图以圆的直径与圆上的交点为圆心，以圆的半径为半径即可 【解答】 32．照样子继续画下去，形成一幅美丽的图案，并涂上你喜欢的颜色。 【答案】图见详解 【分析】根据平移的性质，把图形向右、向下平移，并保留原图形，然后涂色即可。 【解答】作图如下： 专题二认识多位数 突破题型一数十万以内的数 1．一个一个地数，10998接着往后写两个数：( )、( )。 【答案】10999 11000 【分析】根据自然数的排列规律，相邻的自然数相差1，据此解答即可。 【解答】一个一个地数，10998接着往后写两个数是：10999、11000。 【点评】此题考查的目的是理解掌握自然数的排列规律及应用。 2．与11万相邻的两个数分别是( ) 和( ) 。 【答案】109999 110001 【分析】根据相邻的两个自然数相差1，进行解答即可。 【解答】11万＝110000 110000－1＝109999 110000＋1＝110001 【点评】本题考查的是自然数的认识，根据自然数排列的顺序进行解答即可，要注意“相邻两个数”其中一个数比11万小1，一个数比11万大1。 3．写出下面各数相邻的两个数。 ( )、72699、( )        ( )、40000、( ) 【答案】72698 72700 39999 40001 【分析】根据题意，要写出相邻的两个数，则前面的数比已知数小1，用中间的数减1即可求出前面的数，用中间的数加1即可求出后面的数，据此填空即可。 【解答】72699－1＝72698，72699＋1＝72700 40000－1＝39999，40000＋1＝40001 72698、72699、72700；39999、40000、40001。 4．比最大的五位数多1的数是( )，最小的六位数与最大的五位数相差( )。 【答案】100000 1 【分析】根据题意，最大的五位数即5个数位上都是9，即99999，比99999多1的数，即是数数时在99999后面一个数字，也可用99999加1，即100000；最小的六位数即最高位是1，后面5个数位都是0，即100000，最大的五位数是99999，它们是两个相邻的自然数，它们相差1，也可以把它们相减。据此解答。 【解答】根据分析可知： 99999＋1＝100000 100000－99999＝1 所以，比最大的五位数多1的数是100000，最小的六位数与最大的五位数相差1。 突破题型二亿以内数的读写 5．一个数由8个百万、4个万、7个百和9个一组成，这个数写作( )。 【答案】8040709 【分析】一个数由8个百万、4个万、7个百和9个一组成，说明这个数的百万位上是8，万位上是4，百位上是7，个位上是9，其他数位上是0，写数时，从高位到低位，一级一级地写，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，据此此写出这个数。 【解答】一个数由8个百万、4个万、7个百和9个一组成，这个数写作8040709。 6．75402509是一个( )位数，最高位是( )位，这个数读作( )。 【答案】八 千万 七千五百四十万二千五百零九 【分析】 75402509是一个八位数，如图，八位数的最高位是千万位，大数的读法通常从高位（即数的最左边）开始读起。从右向左，每四位为一级，即个位、十位、百位、千位为个级，万位、十万位、百万位、千万位为万级，以此类推。按级加字：读万级时，按照个级的读法来读，读完万级后加上一个“万”字。0的读法：每级末尾不管有几个0都不读，每级中间不管连续有几个0都只读一个0。 【解答】75402509是一个八位数，最高位是千万位，这个数读作：七千五百四十万二千五百零九。 7．太阳中心的温度约是一千五百万摄氏度，横线上的数写作( )。太阳与水星的距离约是57910000千米，横线上的数读作( )。 【答案】15000000 五千七百九十一万 【分析】整数的读法：从高位读起，先读亿级，再读万级，最后读个级；读亿级和万级时按读个级的方法来读，读完亿级后加上一个“亿”字，读完万级后加上一个“万”字；每级末尾不管有几个0都不读，每级中间和前面有一个或连续几个0，都只读一个0，据此读数。 整数的写法，从高位到低位，一级一级的写；亿级的数有三级，要先写亿级，再写万级，最后写个级；万级的数只有两极，要先写万级，再写个级；哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，依此写数；据此解答。 【解答】太阳中心的温度约是一千五百万摄氏度，横线上的数写作15000000。太阳与水星的距离约是57910000千米，横线上的数读作五千七百九十一万。 8．读出横线上的数。 《西游记》是四大名著之一，是由明代小说家吴承恩所完善的中国古代第一部浪漫主义章回体长篇神魔小说，主要描写的是唐僧师徒西行取经的故事。全书约706527字。横线上的数读作( )。 【答案】七十万六千五百二十七 【分析】大数的读法：从最高位读起，一级一级地往下读；读亿级或万级的数时，先按照个级的数的读法来读，再在后面读出“亿”或“万”；每级末尾不管有几个0都不读出来；每级中间或开头有一个0或连续几个0，都只读一个0。 【解答】由分析可知： 全书约706527字。横线上的数读作七十万六千五百二十七。 突破题型三亿以内数的组成 9．一万一万地数，九十七万后面接着数是( )万、( )万和( )万。 【答案】九十八 九十九 一百 【分析】一万一万地数，也就是后面的数比前面的数多一万，据此即可解答。 【解答】一万一万地数，九十七万后面接着数是九十八万、九十九万和一百万。 10．四十六万零五十八是由( )个万和( )个一组成的；八千万八千是由( )个万和( )个一组成的。 【答案】46 58 8000 8000 【分析】多位数的组成：从右边起每四个数位为一级，分别是个级，万级，亿级等，四十六万零五十八的万级是46就有46个万，个级是58就有58个一；八千万八千的万级是8000就有8000个万，个级是8000就有8000个一。 【解答】由分析可知，四十六万零五十八是由46个万和58个一组成的；八千万八千是由8000个万和8000个一。 11．3个千万、2个万和7个一组成的数是( )。 【答案】30020007 【分析】数位顺序表中，从个位起向左数，依次是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位……计数单位依次是个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……据此可知，3个千万、2个万和7个一组成的数是30020007。 【解答】由分析可知，3个千万、2个万和7个一组成的数是30020007。 12．26070500是由( )个万和( )个一组成的。 【答案】2607 500 【分析】26070500的分为万级和个级，万级里面的数位有千万位，百万位，十万位，万位；个级里面的数位有：千位，百位，十位，个位。26070500各个数位上的数如下表所示： 因此26070500是由2607个万和500个一组成。据此解答即可。 【解答】26070500是由2607个万和500个一组成。 突破题型四整数的数级、数位及计数单位的认识 13．用下面八张卡片摆出符合要求的八位数。（至少写一个） 只读一个“零”：( )； 读出两个“零”：( )； 读出三个“零”：( )； 一个“零”都不读出来：( )。 【答案】60732000 60730200 60070302 67320000 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每级末尾的0都不读出来，其他数位有一个零或连续几个0都只读一个“零”。 （1）只读一个“零”，可以把一个0放在万级且不是万级的末尾，其余3个0放在个级的末尾，这样就只读出一个“零”； （2）读出两个“零”，可以把一个0放在万级且不是万级的末尾，一个0放在个级的首位，其余2个0放在个级的末尾，这样就读出两个“零”； （3）读出三个“零”，可以把两个连续的0放在万级且不是万级的末尾，一个0放在个级的首位，百位上放一个非0数，十位上放一个0，个位上再放一个非0数，这样就读出三个“零”； （4）一个“零”都不读出来，把4个0都放在数的末尾，这样就一个“零”都不读出来。 【解答】只读一个“零”：60732000； 读出两个“零”：60730200； 读出三个“零”：60070302； 一个“零”都不读出来：67320000。 （答案不唯一） 14．29009070945最左边上的“9”表示9个( )，中间的“9”表示9个( )，最右边的“9”表示9个( )，最左边的“9”是最右边的( )倍。 【答案】十亿 百万 百 10000000 【分析】数位指一个数中每一个数字所占的位置，整数部分从右往左是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿位、百亿位……等； 计数单位就是数字计量单位，整数部分通常是一、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿……等，数字在哪个数位上，就表示有几个对应的计数单位； 求一个数是另一个数的几倍，用除法计算；据此解答。 【解答】根据分析：29009070945最左边上的“9”在十亿位上，所以表示9个十亿；中间的“9”在百万位上，所以表示9个百万；最右边的“9”在百位上，所以表示9个百；最左边的“9”表示9个十亿，也就是9000000000，最右边的“9” 表示9个百，也就是900，9000000000÷900＝10000000，所以最左边的“9”是最右边的10000000倍。 15．305005900000是( )位数，最高位是( )位，左边的“5”表示( )个( )，右边的“5”表示( )个( )。 【答案】十二 千亿 5 十亿 5 百万 【分析】根据亿以上的数的数位和计数单位，从右边起数位依次是：个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位、十亿位、百亿位、千亿位……，对应的计数单位依次是个（一）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿……；一个整数由几个数字组成它就是几位数，哪个数位上是几，就有几个这样的计数单位；305005900000是由12个数字组成的，所以它是十二位数；最高位是千亿位，左边的“5”在十亿位上，表示5个十亿，右边的“5”在百万位上，表示5个百万。据此解答。 【解答】根据分析可知： 305005900000是十二位数，最高位是千亿位，左边的“5”表示5个十亿，右边的“5”表示5个百万。 16．一个数由4个千万、3个百万，2个万、1个千组成，这个数写作( )，读作( )，这个数是( )位数。 【答案】43021000 四千三百零二万一千 八 【分析】整数的数位顺序表如下： 数级 …… 亿级 万级 个级 数位 …… 千 亿位 百 亿位 十 亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十 位 个 位 计数单位 …… 千 亿 百 亿 十 亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 个 亿以内的数的写法：先写万级，再写个级。哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0；亿以内数的读法：先分级，再从最高级读起；万级的数都按照个级的数的读法来读，读完万级的数，要加“万”字；每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个零。据此解答。 【解答】一个数由4个千万、3个百万，2个万、1个千组成，那么这个数的千万位上是4，百万位上是3，万位上是2，千位上是1，其余数位上都是0，所以这个数是43021000。43021000读作：四千三百零二万一千，它是一个八位数。 一个数由4个千万、3个百万，2个万、1个千组成，这个数写作43021000，读作四千三百零二万一千，这个数是八位数。 突破题型五亿以内数的改写 17．一本小说的字数约是9890000，改写成用“万”作单位的数是( )。 【答案】989万 【分析】整万数改写成用万作单位的数，就是直接省略万位后面的4个0，然后在数的末尾处加一个万字。据此解答。 【解答】9890000＝989万 即一本小说的字数约是9890000，改写成用“万”作单位的数是989万。 18．把下面各数改写成用“万”作单位的数。 250000＝( )                       13500000＝( ) 【答案】25万 1350万 【分析】把整万数改写成用“万”作单位的数，把末尾4个0去掉，同时在后面写上“万”字。 【解答】250000＝25万 13500000＝1350万 19．比较大小。 85万( )850000    90( )90万    507万( )5070001 【答案】＝ ＜ ＜ 【分析】根据整数比较大小的方法：比较两个整数的大小，首先要看它们的数位，如果数位不同，那么数位多的数就大，如果数位相同，从最高位开始，相同数位上的数大的那个数就大；这里可以先把以“万”为单位的数写成整数，再比较大小。 【解答】根据分析可得： 85万＝850000，所以85万＝850000 90万＝900000，所以90＜90万 507万＝5070000，所以507万＜5070001 所以85万＝850000，90＜90万，507万＜5070001 20．今年“五一”假期，成都假日文旅市场呈现安全平稳、繁荣有序的良好发展态势。数据显示，成都接待游客一千四百六十一万三千人次，横线上的数写作( )，改为以“万”为单位的数约是( )万。 【答案】 14613000 1461 【分析】（1）整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，据此写出此数；（2）改写时去掉万位的后边数字，并加上一个“万”字（除以四舍五入）即可。 【解答】根据题意可知一千四百六十一万三千是万级上的数，千万位上是1，百万位上是4，十万位上是6，万位上是1，千位上是3，其余数位都是0，这个数写作14613000； 横线上的数改为“万”为单位的数是1461万。 突破题型六亿以内数的近似数 21．《四库全书》全称《钦定四库全书》，是清代乾隆时期编修的大型丛书。分经、史、子、集四部，故名“四库”。据文津阁藏本，共收录3462种图书，共计79338卷，36000余册，约800000000字。800000000读作( )。把79338改写成用“万”作单位的近似数是( )。 【答案】八亿 8万 【分析】读数时，把数先分级，从个位起四位一级，先读亿级再读万级最后读个级，亿级或万级的数按照个级的读法去读，再在那一级的末尾添上“亿”或“万”字，每级末尾的0都不读，每一级开头或中间有一个0或连续几个0，都只读一个0；把79338改写成用“万”作单位的近似数，就是根据千位上的数字四舍五入，千位上的数字大于或等于5就向万位进1，再去掉万位后面的尾数，千位上的数字小于5，则直接去掉万位后面的数字，再在数的后面写上“万”字。 【解答】《四库全书》全称《钦定四库全书》，是清代乾隆时期编修的大型丛书。分经、史、子、集四部，故名“四库”。据文津阁藏本，共收录3462种图书，共计79338卷，36000余册，约800000000字。800000000读作八亿。把79338改写成用“万”作单位的近似数是8万。 22．一个数由3个千万、6个百万、4个十万和9个千组成，这个数写作( )，“四舍五入”到万位约是( )万。 【答案】36409000 3641 【分析】整数的写法：从高位到低位，一级一级写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0占位。据此写出此数； “四舍五入”到万位，也就是省略万位后面的尾数，要看千位上的数，如果大于4，则向前进1后省略尾数，如果小于5，则直接省略尾数，最后再在数的后面加上一个“万”字。据此解答。 【解答】一个数由3个千万、6个百万、4个十万和9个千组成，即这个数千万位上的数字是3，百万位上的数字是6，十万位上的数字是4，千位上的数字是9，这个数写作36409000；36409000千位上的数是“9”，比5大，所以要向前进1，所以36409000≈3641万。 23．6846≈6万，中最大填( )；997604215≈100亿，中最小填( )。 【答案】4 5 【分析】省略万位后面的尾数求近似数的方法：先分级，找到万位。根据千位上的数字，进行“四舍五入”，最后加上“万”字。 省略亿位后面的尾数求近似数的方法：先分级，找到亿位。根据千万位上的数字，进行“四舍五入”，最后加上“亿”字。据此解答。 【解答】 因为6846≈6万，说明6万是“四舍”得到的，千位上的数字要小于5，即里可以填0、1、2、3、4，所以中最大填4。 因为997604215≈100亿，说明100亿是“五入”得到的，千万位上的数字要大于或等于5，即里可以填5、6、7、8、9，所以中最小填5。 6846≈6万，中最大填4；997604215≈100亿，中最小填5。 24．按要求写数。 (1)一个数“五入”所得的近似数是135万，这个数最大是( )，最小是( )。 (2)一个数“四舍”所得的近似数是135万，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】(1)1349999 1345000 (2)1354999 1350001 【分析】通过四舍五入法求整数的近似数，要对省略的尾数部分的最高位上的数进行四舍五入，若小于5则直接舍去，若大于或等于5，则向前进一位，并加上“万”字； （1）要使一个数“五入”所得的近似数是135万，求这个数最大是多少，那么百万位上是1，十万位上是3，万位上是4，千位、百位、十位、个位上都是最大的一位数9；求这个数最小是多少，那么百万位上是1，十万位上是3，万位上是4，千位上是5，百位、十位、个位上都是最小的一位数0； （2）要使一个数“四舍”所得的近似数是135万，求这个数最大是多少，那么百万位上是1，十万位上是3，万位上是5，千位上是4，百位、十位、个位上都是最大的一位数9；求这个数最小是多少，那么百万位上是1，十万位上是3，万位上是5，千位、百位、十位上都是最小的一位数0，个位上是1；据此解答。 【解答】（1）1349999≈135万，1345000≈135万，所以一个数“五入”所得的近似数是135万，这个数最大是1349999，最小是1345000。 （2）1354999≈135万，1350001≈135万，所以一个数“四舍”所得的近似数是135万，这个数最大是1354999，最小是1350001。 突破题型七十进制计数法 25．( )个千万是1亿，( )个百万是1亿，( )个十万是1亿，( )个万是1亿，1亿里有( )个一。 【答案】10 100 1000 10000 100000000 【分析】根据整数数位和计数单位可知：从右边起，数位依次是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位……，对应的计数单位依次是个（一）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……；每相邻两个计数单位之间的进率是10；千万和亿是两个相邻的计数单位，它们之间的进率是10；百万和亿之间的进率是100；十万和亿之间的进率是1000；万和亿之间的进率是10000；个和亿之间的进率就是100000000。据此解答。 【解答】根据分析可知： 10个千万是1亿，100个百万是1亿，1000个十万是1亿，10000个万是1亿，1亿里有100000000个一。 26．( )个亿是十亿，( )个百亿是一千亿。 【答案】10 10 【分析】每相邻的两个计数单位之间的进率都是十，根据计数单位从小到大的排列顺序可得：10个亿是十亿，10个百亿是一千亿；据此解题即可。 【解答】根据分析可知， 10个亿是十亿，10个百亿是一千亿。 27．十进制计数法，不相邻的两个计数单位之间的进率。看它们之间隔几个计数单位，隔一个计数单位的进率是( )，隔2个计数单位的进率是( )。 【答案】100 1000 【解答】每相邻两个计数单位之间的进率都是十，我们把这种计数方法叫做“十进制计数法”；不相邻的两个计数单位之间的进率。看它们之间隔几个计数单位，隔一个计数单位的进率是100，隔2个计数单位的进率是1000； 例如：个与百之间隔了一个十，它们的进率是100；个与千之间隔了十、百，它们之间的进率是1000。 28．十进制计数法“满十进一”，二进制计数法“满二进一”，十进制计数法与二进制计数法可以互相转换。请观察下面表格中的数据，并将表格补充完整。 十进制数 1 2 3 4 5 二进制数 1 10 11 ( ) ( ) 【答案】100 101 【分析】二进制是现代计算机技术中广泛采用的一种计数方法。二进制数是用0和1两个数字表示的数，它的进位规则是“逢二进一”。 【解答】 十进制数 1 2 3 4 5 二进制数 1 10 11 100 101 【点评】本题考查了学生对二进制的掌握与理解。 突破题型八大数的比较大小 29．456万＜061200，里最小可以填( )；906000000＞亿，里最大可以填( )。 【答案】5 9 【分析】将“万”或“亿”作单位的数改写成“个”作单位的数，再进行比较；大数比较大小的方法：位数相同的两个数比较大小，从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数，一直到比较出大小为止；位数不同的两个数比较大小，位数多的数就大；据此解答。 【解答】（1）456万＝4560000，4560000和□061200都是七位数，我们可以尝试填数进行比较大小；□061200的最高位填5时，4560000＜5061200；□061200的最高位填4时，4560000＞4061200；所以456万＜□061200，□里最小可以填5； （2）□亿＝□00000000，906000000和□00000000都是九位数，我们可以尝试填数进行比较大小；□00000000的最高位填9时，906000000＞900000000，所以906000000＞□亿，□里最大可以填9。 30．先读出下面各数，再把它们按照从大到小的顺序排列。 2720000                  4040000         2400000 读作：( )   读作：( )    读作：( ) 排列：( )＞( )＞( )。 【答案】二百七十二万 四百零四万 二百四十万 4040000 2720000 2400000 【分析】亿以内数的读法：先分级，再从最高级读起；万级的数都按照个级的数的读法来读，读完万级的数，要加“万”字；每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位上有一个0或连续几个0，都只读一个零；大数的比较：先比较两个数的位数，位数多的数就大。如果两个数的位数相同，就从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一个数位上的数。据此解答。 【解答】2720000读作：二百七十二万    4040000读作：四百零四万     2400000读作：240万 2720000、4040000和2400000比较大小，它们都是七位数，最高位上4＞2＝2，所以4040000最大。十万位上7＞4，所以2720000＞2400000。 2720000                  4040000                  2400000 读作：二百七十二万     读作：四百零四万        读作： 二百四十万 排列：4040000＞2720000＞2400000 31．在90580560004、90500085640、90490004560、9050806900这几个数中，( )更接近905亿。 【答案】90500085640 【分析】用给题干中给出的数与905亿相减（大数减小数），求出结果，比较大小，找出最小的，那么这个数也就是最接近905亿的数。 【解答】905亿＝90500000000 90580560004－90500000000＝80560004 90500085640－90500000000＝85640 90500000000－90490004560＝9995440 90500000000－9050806900＝81449193100 85640＜9995440＜80560004＜81449193100 所以90500085640更接近905亿。 32．一个八位数，各个数位上的数字和是12，最高位上的数字是万位上数字的2倍，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】80040000 20010009 【分析】根据题意可知，这个数为八位数，所以最高位为千万位，最低位为个位，最高位上的数字是万位上数字的2倍，所以我们要从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中找出有2倍关系的，1×2＝2，2×2＝4，3×2＝6，4×2＝8，即分别是：1和2，2和4，3和6，4和8，这个八位数想要最大，关键在于千万位要最大，所以这个有2倍关系的两个数为8和4，所以千万位为8，万位为4；又知各个数位上的数字和是12，因为8＋4＝12，所以其余数位上的数字皆为0，故这个数为80040000； 要使这个数最小，关键在于千万位最小，所以这两个有2倍关系的数为1和2，千万位为2，万位为1，因为1＋2＝3，12－3＝9，还剩一个9，把9放在个位上最小，故这个数为20010009。 【解答】据分析可得： 最高位上的数字是万位上数字的2倍，这个数最大是80040000，最小是20010009。 突破题型九亿以上数的读写 33．一个十位数，最高位上的数字是6，千万位和千位上的数字都是5，其余各位上都是0。这个数是( )。 【答案】6050005000 【分析】十位数的最高位是十亿位，所以这个数的十亿位是6，千万位和千位上的数字都是5，其他数位上是0，写数时，从高位到低位，一级一级地写，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，据此即可解答。 【解答】由分析知，这个数写作：6050005000。 34．在“56”后面添( )个0，就成了五亿六千万；在“1”和“4”的中间添( )个0，就成了十万零四。 【答案】7 4 【分析】整数的写法：先写亿级，再写万级，最后写个级。哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。据此写出五十七万和五十万零七，再进行解答。 【解答】五亿六千万写作560000000，则在56的后面添7个0，就是五亿六千万； 十万零四写作100004，则在1和4中间添4个0，就是十万零四。 35．写出下面横线上的数。 2022年末全国民用轿车保有量达一亿七千七百四十万辆，比上年末增加一千零三万辆，其中私人轿车保有量达一亿六千六百八十五万辆。 一亿七千七百四十万       写作：( ) 一千零三万               写作：( ) 一亿六千六百八十五万     写作：( ) 【答案】177400000 10030000 166850000 【分析】整数写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。在写数时用数位表写数能较好的避免漏写0的情况。 【解答】一亿七千七百四十万       写作：（177400000） 一千零三万               写作：（10030000） 一亿六千六百八十五万     写作：（166850000） 36．填表。 到太阳的平均距离/千米 读作 土星 1427000000 （    ） 地球 149600000 （    ） 水星 57910000 （    ） 夏粮 2022年产量/吨 写作 早稻 一亿四千七百四十万 （    ） 秋粮 两千八百一十二万 （    ） 【答案】十四亿二千七百万；一亿四千九百六十万；五千七百九十一万；147400000；28120000 【分析】亿以内数的读法：先读万级，再读个级。万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加一个万字。每级末尾不管有几个0，都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个0。 亿以上数的读法：先分级，再从最高位读起，读完亿级的数，要加“亿”字，读完万级的数，要加“万”字。每级末尾的0都不读，中间连续有几个0，都只读一个0。 亿以内数的写法：先写万级，再写个级。哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0 。 亿以上数的写法：先看这个数有几级，再从最高级写起。哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 【解答】1427000000：先读亿级 “十四亿”，再读万级 “二千七百万”，合起来就是十四亿二千七百万。 149600000：先读亿级 “一亿”，再读万级 “四千九百六十万”， 读作一亿四千九百六十万。 57910000：直接按照个级的读法来读，后面再加一个“万”字，读作五千七百九十一万。 一亿四千七百四十万：亿级上是 1，万级上是 4740，个级上一个单位也没有，用四个0占位，写作147400000。 两千八百一十二万：万级上是 2812，个级上用四个0占位，写作28120000。 到太阳的平均距离/千米 读作 土星 1427000000 （十四亿二千七百万） 地球 149600000 （一亿四千九百六十万） 水星 57910000 （五千七百九十一万） 夏粮 2022年产量/吨 写作 早稻 一亿四千七百四十万 （147400000） 秋粮 两千八百一十二万 （28120000） 突破题型十亿以上数的组成 37．一个数的百亿位上的数字比十亿位上的数字大6，且百亿位上的数字是十亿位上的数字的3倍，其他各位上都是0。这个数是( )。 【答案】93000000000 【分析】由这个数百亿位上的数字比十亿位上的数字大6，且百亿位上的数字是十亿位上的数字的3倍可知，这是一个差倍问题，即十亿位上的数字是6÷（3－1）＝6÷2＝3，则百亿位上的数字是3×3＝9，其他数位上是0，据此写出该数即可解答。 【解答】6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3 3×3＝9 这个数是93000000000。 38．4500809300是由( )个亿、( )个万和( )个一组成的。 【答案】45 80 9300 【分析】一个数从右起每四个数位为一级，分别是个级，万级，亿级⋯⋯，亿级是几就有几个亿，万级是几就有几个万，个级是几就有几个一。 【解答】4500809300是由45个亿，80个万和9300个一组成。 39．由8个亿、3个百万和6个千组成的数写作( )，这个数还可以看作是由( )个亿、( )个万和( )个一组成的。 【答案】803006000 8 300 6000 【分析】写数的时候，把计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。一个数字所在的数位不同，表示的数的大小也不同。从右到左，第一个数位称为个位，依次是十位，百位，千位，万位，十万位⋯⋯在数位上写上对应的数字。8个亿是8亿，3个百万是300万，6个千是6000，由此还可以看作是由8个亿，300个万和6000个一组成。 【解答】由8个亿、3个百万和6个千组成的数写作803006000，这个数还可以看作是由 8个亿、300个万、6000个一组成的。 40．一个数是由4个十亿、8个千和6个一组成的，这个数写作( )，它是一个( )位数，这个数也可以看成是由( )个亿和( )个一组成的。 【答案】4000008006 十 40 8006 【分析】据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数，有几个数字就是几位数；整数的计数单位有：个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿等，相应的数位上是几，就有几个相应的计数单位组成。 【解答】根据上述分析可得：一个数是由4个十亿、8个千和6个一组成的，这个数写作4000008006，它是一个十位数，这个数也可以看成是由40个亿和8006个一组成的。 突破题型十一亿以上数的改写 41．2870990000由( )个亿和( )个万组成，这个数读作( )，改写成用万作单位的数是( )。 【答案】28 7099 二十八亿七千零九十九万 287099万 【分析】从右边起，每四个数位是一级，个级包括个位、十位、百位、千位，个级上的数表示几个一，万级包括万位、十万位、百万位、千万位，万级上的数表示几个万，亿级包括亿位、十亿位、百亿位、千亿位，亿级上的数表示几个亿； 根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位一个0或连续几个0都只读一个零，即可读出此数； 改写成用“万”作单位的数，就是把万位后面的4个0直接省略，换成一个“万”字。 【解答】2870990000＝287099万 2870990000由28个亿和7099个万组成，这个数读作二十八亿七千零九十九万，改写成用万作单位的数是287099万。 42．在括号里填“＞”或“＜”。 192350( )200140   2901000000( )29亿 【答案】＜ ＞ 【分析】大数的比较：先比较两个数的位数，位数多的数就大，如果两个数的位数相同，就从最高位比起，最高位上的数字大的那个数就大，如果最高位上的数字相同，就依次比较下一个数位上的数字，直到比出大小为止。 在比较2901000000与29亿时，要将29亿去掉“亿”字，再在末尾添上8个0即可，再进行比较。 【解答】192350和200140都是六位数，比较最高位1＜2，所以192350＜200140； 2901000000的百万位上是1，而29亿＝2900000000，它的百万位上是0，1＞0，所以2901000000＞29亿。 43．国庆节小长假，某省游客接待数量再创历史新高，达到166500000人次。这个数改写成用“万”做单位的数是( )万，省略亿位后面的尾数约是( ) 【答案】16650 2亿 【分析】整万数改写成用“万”作单位的数，就是去掉万位后面的4个0，再在数的后面写上“万”字。 省略“亿”位后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字。 【解答】166500000＝16650万； 千万位上的数字为6，6＞5，因此166500000≈2亿 因此这个数改写成用“万”做单位的数是16650万，省略亿位后面的尾数约是2亿。 44．一个数，它的十亿位和千万位都是8，万位上是5，其它数位上一个计数单位也没有，这个数写作( )，读作( )。把这个数改写成以“万”为单位的数是( )万，用“四舍五入”法省略亿位后面的尾数约是( )亿。 【答案】8080050000 八十亿八千零五万 808005 81 【分析】根据整数的写法，从高级到低级，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出次数； 根据整数的读法：从高位到低位，一级一级的读，每一级末尾的0都不读；其余数位一个0或连续几个0都只读一个零，即可读出此数； 改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字； 省略“亿”位后面的尾数求近似数，根据千万位上数字的大小来确定“四舍”法还是用“五入”法，再在数的后面写上“亿”字，据此解答。 【解答】一个数，它的十亿位和千万位都是8，万位上是5，其它数位上一个计数单位也没有，这个数写作：8080050000； 8080050000读作：八十亿八千零五万； 8080050000＝808005万 8080050000≈81亿 一个数，它的十亿位和千万位都是8，万位上是5，其它数位上一个计数单位也没有，这个数写作8080050000，读作八十亿八千零五，把这个数改写成以“万”为单位的数是808005万，用“四舍五入”法省略亿位后面的尾数约是81亿。 突破题型十二亿以上数的近似数 45．鄱阳湖是我国第一大淡水湖，也是我国第二大湖，最大蓄水量为14960000000立方米，横线上的数读作( )，把它改写成用“万”作单位的数是( )万；省略“亿”后面的尾数约是( )亿。 【答案】一百四十九亿六千万 1496000 150 【分析】这是一个十一位数，最高级是亿级，先读亿级数字，再读万级，最后读个级，每级中间连续几个0只读一个，每级末尾的0不读，据此读数，将其改写为以万为单位的数，将其个级的4个0舍掉，再在所得数的末尾添上万字即可，将其近似到亿位，看千万位的数字，这一位的数字是6，向亿位进1，再在所得数的末尾添上亿字即可。 【解答】14960000000＝1496000万 14960000000≈150亿 鄱阳湖是我国第一大淡水湖，也是我国第二大湖，最大蓄水量为14960000000立方米，横线上的数读作一百四十九亿六千万，把它改写成用“万”作单位的数是1496000万；省略“亿”后面的尾数约是150亿。 46．将下面的数改写成用“亿”作单位的近似数。 7230000000≈( )    4725810000≈( )    3953045080≈( ) 【答案】72亿 47亿 40亿 【分析】要省略亿位后面的尾数，就是近似数保留到亿位，要看千万位上的数字用“四舍五入法”求出近似数。 【解答】7230000000的千万位是3，四舍后是72亿，7230000000≈72亿； 4725810000的千万位是2，四舍后是47亿，4725810000≈47亿； 3953045080的千万位是5，五入后是40亿，3953045080≈40亿。 47．18□450≈19万，□里最小能填( )。3□6456740≈3亿，□里最大能填( )。 【答案】5 4 【分析】省略万位后面的尾数，就先找到万位，然后看千位上的数字，当千位上的数小于5时就直接省略，当千位上的数大于或等于5时就直接向万位进“1”后再省略，最后在数的末尾加一个“万”字； 省略亿位后面的尾数，就先找到亿位，然后看亿位后面的一个数字（千万位上的数字），当千万位上的数小于5时就直接省略，当千万位上的数大于或等于5时就直接向前进“1”后再省略，最后在数的末尾加一个“亿”字；依此即可解答。 【解答】18□450≈19万，则18□450千位上的数应等于或大于5，即□里最小能填5； 3□6456740≈3亿，则3□6456740千万位上的数应小于5，即□里最大能填4。 48．六亿五千四百八十万写作( )，把它改写成用“万”作单位的数是( )，“四舍五入”到亿位为( )亿。 【答案】654800000 65480万 7 【分析】整数的写法：先写亿级，再写万级，最后写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，据此写出各个数。 把整万的数改写成用“万”作单位的数，只要省略万位后面的0，再加上“万”字。 把它“四舍五入”到亿位，就是省略亿后面的尾数，要看千万位上的数。根据四舍五入法的原则，若千万位上的数字大于等于5，就向亿位进1；若千万位上的数字小于5，就舍去千万位及其后面数位上的数。 【解答】654800000＝65480万 六亿五千四百八十万写作654800000，把它改写成用“万”作单位的数是65480万，“四舍五入”到亿位为7亿。 专题三三位数乘两位数 突破题型一三位数与两位数的乘法 1．24个124的和是（ ），65的130倍是（ ）。 【答案】2976 8450 【分析】求几个相同加数的和，用乘法，用24×124，即可解答；求一个数的几倍是多少用乘法，用65×130，即可解答。 【解答】24×124＝2976 65×130＝8450 24个124的和是2976，65的130倍是8450。 2．用1，2，4，6，8这五个数字组成三位数乘两位数的算式。（每个数字只能用一次） （1）积最大（ ）（ ）（ ）×（ ）（ ） （2）积最小：（ ）（ ）（ ）×（ ）（ ） 【答案】（1）6 4 1 8 2 （2）2 6 8 1 4 【分析】（1）要使乘积最大，则两个数的最高位上的数字应尽可能大，所以一个数的最高位是8，另一个数的最高位是6，把第三大的数字4放在三位数的十位，较小的两个数2和1放在个位上，基于以上条件列出满足条件的所有算式并计算出答案，把计算结果进行比较，即可解答。 （2）要使乘积最小，则两个数的最高位上的数字应尽可能小，所以一个数的最高位是1，另一个数的最高位是2，把第三小数字4放在两位数个位，把数字6放在三位数的十位，把数字8放在三位数的个位，据此解答即可。 【解答】（1）841×62＝52142 841×61＝51301 641×82＝52562 642×81＝52002 52562＞52142＞52002＞51301 积最大641×82 （2）268×14＝3752 168×24＝4032 3752＜4032 积最小：268×14 3．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 547×88（ ）54×880    250×40（ ）350×35    320×31（ ）310×32 270×60（ ）60×300    40×316（ ）3160×4     160×50（ ）15×600 【答案】＞ ＜ ＝ ＜ ＝ ＜ 【分析】根据题意，先计算出各个算式的结果，再比较大小；三位数乘两位数的计算方法：先用两位数个位上的数去乘三位数，积的末位与个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，积的末位与十位对齐；最后把两次乘得的积相加；计算乘数末尾有0的乘法，先用0前面的数去乘，再看乘数的末尾有几个0，就在积的末尾添几个0，据此解答。 【解答】（1），，48136＞47520，所以547×88＞54×880； （2），，10000＜12250，所以250×40＜350×35； （3），，9920＝9920，所以320×31＝310×32； （4），，16200＜18000，所以270×60＜60×300； （5），，12640＝12640，所以40×316＝3160×4； （6），，8000＜9000，所以160×50＜15×600。 突破题型二三位数与两位数，三位数中间有0 4．大众粮油批发部一天销售大米和面粉的情况如下表。你能算一算、填一填吗？ 每袋质量/千克 数量/袋 售出总质量/千克 大米 25 106 （    ） 面粉 15 243 （    ） 【答案】2650；3645 【分析】根据总质量＝1袋的质量×袋数，把106与25相乘，即可求出106袋大米的总质量，把243与15相乘，即可求出243袋面粉的质量。 【解答】106×25＝2650（千克） 243×15＝3645（千克） 每袋质量/千克 数量/袋 售出总质量/千克 大米 25 106 2650 面粉 15 243 3645 5．每个篮球108元，篮球的单价是108（ ），李老师要买15个这样的篮球，共需要（ ）元，这里用到的数量关系式是（ ）。 【答案】元/个 1620 总价＝单价×数量 【分析】单价表示的是每个物品的价格，总价＝单价×数量，108元为篮球的单价，15个为购买篮球的数量；据此解答。 【解答】根据分析： 108×15＝1620（元） 所以篮球的单价是108元/个，李老师要买15个这样的篮球，共需要1620元，这里用到的数量关系式是总价＝单价×数量。 6．408×50的积的末尾有（ ）个0，要使243×□1的积是四位数，□里最大可以填（ ）。 【答案】2 4 【分析】先根据三位数乘两位数的计算方法，求出408×50的积，再看积的末尾有几个0。计算243×□1时，243大约是250，最大的四位数是9999，根据250×40＝10000可知，要使243×□1的积是四位数，方框里的数要小于等于4，将方框里的数等于4代入算式求积进行验证。 【解答】408×50＝20400，则积末尾有2个0； 243×41＝9963，243×51＝12393，则要使243×□1的积是四位数，□里最大可以填4。 突破题型三三位数与两位数，乘数末尾有0 7．500×80的积的末尾有（ ）个0；一个三位数乘10，积是（ ）位数。 【答案】4 四 【分析】三位数乘两位数，因数末尾有0时，把两个因数0前面的数相乘，再在积的后面添上没有参加运算的几个0。500×80中，5×8＝40，所以500×80＝40000，积的末尾有4个0；三位数乘10，积是三位数末尾添加一个0，例如123×10＝1230，120×10＝1200，所以一个三位数乘10，积是四位数；据此即可解答。 【解答】根据分析可知，500×80＝40000，积的末尾有4个0；一个三位数乘10，积是四位数。 8．全世界大约每分钟就有270名婴儿出生，照这样计算，全世界每小时大约有（ ）名婴儿出生。 【答案】16200 【分析】根据1小时＝60分钟，用270×60即可求出全世界每小时大约有多少名婴儿出生。 【解答】1小时＝60分钟 270×60＝16200（名） 全世界每小时大约有16200名婴儿出生。 9．完成下列表格。 单价/（元/个） 数量/个 总价/元 68 140 （    ） （    ） 5 860 11 （    ） 1210 【答案】填表见详解 【分析】 从表中信息可知：已知的单价和数量，求总价，根据单价×数量＝总价，列出算式，并按照三位数乘两位数的法则计算，即把数位对齐，从个位乘起，用第二个因数的每一位分别去乘第一个因数的每一位，用哪一位上的数去乘，乘得的积的个位就和那一位对齐；乘到哪一位满几十，就向前一位进几，最后把乘得的积合并起来；如果因数末尾有0，可以先把0前面的数相乘，再看因数末尾共有几个0，就在得数后面添上几个0； 已知的总价和数量，求单价，根据总价÷数量＝单价，列出算式，并按照三位数除以一位数的法则计算，即从被除数的最高位除起，用除数分别去除被除数的每一位，最高位不够除再看前两位；除到被除数的哪一位就把商写在那一位上面，除到被除数的中间或末尾不够商1就商0，每一步除得的余数都要比除数小； 已知的单价和总价，求数量，根据总价÷单价＝数量，列出算式，并按照除数是两位数的除法法则计算，即从被除数的最高位除起，先用除数去除被除数的前两位，前两位不够除再除前三位，除到被除数的哪一位就把商写在那一位上面，每一步除得的余数要比除数小；如果被除数末尾有0，且除到0前面的数已除尽而没有余数，可把末尾的0调上去写在商对应的数位上。据此解答。 【解答】68×140＝9520（元） 860÷5＝172（个） 1210÷11＝110（个） 所以，填表如下： 单价/（元/个） 数量/个 总价/元 68 140 （9520） （172） 5 860 11 （110） 1210 突破题型四积的变化规律（整数乘法） 10．根据450×26＝11700直接写出下面算式的结果。 45×260＝（ ）       45×26＝（ ） 【答案】11700 1170 【分析】一个乘数乘（或除以）几，另一个乘数不变，积要乘（或除以）相同的数；一个乘数乘（或除以）几，另一个乘数除以（或乘）相同的数，积不变，据此解答。 【解答】（1） （2） 11．已知37037×3＝111111，37037×6＝222222，37037×9＝333333…根据这样的规律可以推算出37037×24＝（ ）。 【答案】888888 【分析】根据题意可知，利用积的变化规律可知，计算37037×24，可以看成37037×3×8，37037×3的积是111111，再乘8就可以计算出结果。 【解答】37037×24＝37037×3×8＝111111×8＝888888 12．如果A×B＝40，那么A×（5×B）＝（ ），（A÷4）×（B×4）＝（ ）。 【答案】200 40 【分析】在乘法算式里，两个因数都不为0时，一个因数不变，另一个因数乘几，积就乘几； 一个因数乘几（不为0），另一个因数除以前面一个因数乘的数，积的大小不变；依此计算并填空。 【解答】40×5＝200 如果A×B＝40，那么A×（5×B）＝200，（A÷4）×（B×4）＝40。 突破题型五三位数乘两位数的竖式计算 13．用竖式计算。 142×21＝                 38×306＝ 【答案】2982；11628 【分析】三位数乘两位数，相同数位对齐，用第二个因数的个位乘第一个因数的个位和十位以及百位，结果从个位写起，再用第二个因数的十位乘第一个因数的个位和十位以及百位，结果从十位写起，最后结果相加，满十向前一位进一。 【解答】142×21＝2982       38×306＝11628                                 14．用竖式计算。 80×320＝                 728×56＝ 【答案】25600；40768 【分析】整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。 【解答】80×320＝25600             728×56＝40768                              15．用竖式计算。 340×55＝                507×24＝                *125×36＝ 【答案】18700；12168；4500 【分析】三位数乘两位数的计算方法：先是用两位数的个位上的数与三位数相乘，所得的积末尾与个位对齐；接着用两位数的十位上的数与三位数相乘，所得的积末尾与十位对齐，最后把两次乘得的积相加；当乘数末尾有0时，可先不让0参与计算，最后将0的个数补在积的末尾处即可。乘法验算时，交换两个因数的位置，看是不是等于积。 【解答】340×55＝18700           507×24＝12168            125×36＝4500          验算： 突破题型六含三位数乘两位数的脱式计算 16．用递等式计算。 730＋70×125－480       （279＋21×30）÷9        18×[（860－530）÷15] 【答案】9000；101；396 【分析】730＋70×125－480先计算乘法再按顺序从左到右计算加法，最后计算减法；（279＋21×30）÷9先计算括号里的乘法再计算括号里的加法，最后计算括号外的除法；18×[（860－530）÷15]先计算小括号里的减法，再计算中括号里的除法，最后计算中括号外的乘法。 【解答】730＋70×125－480 ＝730＋8750－480 ＝9480－480 ＝9000 （279＋21×30）÷9 ＝（279＋630）÷9 ＝909÷9 ＝101 18×[（860－530）÷15] ＝18×[330÷15] ＝18×22 ＝396 17．计算下面各题。 38×2－91÷7       500－（125＋225÷25）        12×［312÷（21－18）] 【答案】63；366；1248 【分析】（1）先计算乘法和除法，再计算减法； （2）先计算小括号里的除法，再计算小括号里的加法，最后计算括号外面的减法； （3）先计算小括号里的减法，再计算中括号里的除法，最后计算括号外面的乘法。 【解答】（1） （2） （3） 18．计算下面各题。 5340－128×13           [250―（43＋132）]×18          1000－720÷8×9 【答案】3676；1350；190 【分析】（1）先计算乘法，再计算减法； （2）先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后算中括号外的乘法； （3）先计算除法，再计算乘法，最后计算减法。 【解答】5340－128×13 ＝5340－1664 ＝3676 [250－（43＋132）]×18 ＝[250－175]×18 ＝75×18 ＝1350 1000－720÷8×9 ＝1000－90×9 ＝1000－810 ＝190 突破题型七三位数乘两位数解决问题 19．生活垃圾处理不当不仅影响城市面貌，还污染生态环境。某市新建的垃圾处理厂每天大约可处理2230吨垃圾，预计该垃圾处理厂2025年大约能处理多少吨垃圾？ 【答案】813950吨 【分析】公历年份是4的倍数的一般都是闰年，但年份是100的倍数时，必须是400的倍数才是闰年；平年全年有365天，闰年全年有366天；先用2025除以4计算出2025年是平年还是闰年，再用2025年的天数乘2230，计算出该垃圾处理厂2025年大约能处理多少吨垃圾；据此解答。 【解答】2025÷4＝506……1 那么2025年是平年，全年有365天 365×2230＝813950（吨） 答：预计该垃圾处理厂2025年大约能处理813950吨垃圾。 20．“张衡一号”卫星是我国第一颗电磁监测试验卫星，大约需120小时就能完成对地球同一地点的重访，照这样计算，它对地球某一地点完成21次重访，大约需要多长时间？ 【答案】 2520小时 【分析】根据题意，重访一次大约需要120小时，重访21次就用21乘120，据此计算解答即可。 【解答】120×21 ＝120×21 ＝2520（小时） 答：重访21次大约需要2520小时。 21．学校订购了90套新的桌椅，用来替换各班的老旧桌椅。商场里有三种桌椅，第一种每套108元，第二种每套120元，第三种每套150元，学校最多可用10000元购买这些桌椅，购买哪一种桌椅合适？ 【答案】第一种 【分析】总价＝单价×数量，依此分别计算出每种桌椅订购90套的总钱数，然后与学校购买桌椅的费用进行比较，只要总钱数不超过10000元即可，依此解答。 【解答】第一种：108×90＝9720（元） 第二种：120×90＝10800（元） 第三种：150×90＝13500（元） 9720＜10000＜10800＜13500，购买第一种桌椅合适 答：购买第一种桌椅合适。 突破题型八数量关系之经济问题 22．某商店从厂家批发了460个皮球，每个皮球进价是15元。 （1）该商店需要付给厂家多少元？ （2）该商店在卖出307个皮球后开始打折促销。如果皮球全部售出，那么该店是赔了还是赚了？ 【答案】（1）6900元 （2）赚了 【分析】（1）根据总价＝单价×数量，用460乘15即可求出该商店需要付给厂家的钱数； （2）由题意可得，先求出未降价前307个皮球的总价格；再求剩下的皮球降价后的总价；将两次总价加起来和成本价作对比即可。 【解答】（1）（元） 答：该商店需要付给厂家6900元。 （2）（元） （元） （元） 7669＞6900 答：如果皮球全部售出，那么该店是赚了。 23．李大伯家本周卖出花卉情况如下表。 品种 茶花 玉兰花 牡丹花 每株的价格 12元 15元 20元 卖出的数量 270株 307株 360株 （1）茶花比牡丹花少卖多少元？ （2）请你提出其他数学问题并解答。 【答案】（1）3960元 （2）玉兰花卖了多少元；4605元（提问答案不唯一） 【分析】（1）单价×数量＝总价，用12乘270可以计算出270株茶花的价格，用20乘360可以计算出360株牡丹花的价格，再将两个总价格相减，计算出茶花比牡丹花少卖多少元； 三位数乘两位数末尾有0的竖式计算方法：当三位数乘两位数时，末尾有0，可以先把两个数末尾上的0放在一边；其他数先相乘，两个数原来末尾一共有几个0，就在计算的末尾补上几个0； （2）可以提问：玉兰花卖了多少元？用每株玉兰花的价格，乘卖出的数量；提问合理即可；三位数乘两位数的竖式计算方法：数位对齐，先用两位数的个位分别从右往左与三位数的每一位数相乘；再用两位数的十位分别从右往左与三位数的每一位数相乘，乘得结果的个位要与前面结果的十位对齐；然后两个结果相加就得到三位数乘两位数的结果了；要注意满十往前进位；据此解答。 【解答】（1）12×270＝3240（元） 20×360＝7200（元） 7200－3240＝3960（元） 答：茶花比牡丹花少卖3960元。 （2）提问：玉兰花卖了多少元？ 15×307＝4605（元） 答：玉兰花卖了4605元。（提问答案不唯一） 24．某地森林公园菊花展的门票价格如下。 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人票价 30元 25元 20元 四年级三个班的学生去赏菊，一班42人，二班52人，三班34人。 （1）每班分别购票，各需要多少元？ （2）三个班合起来购票，共需要多少元？ 【答案】（1）1260元；1300元；1020元 （2）2560元 【分析】（1）一班42人，则按照每人30元购票，用30×42即可求出一班购票需要多少元；二班52人，则按照每人25元购票，用25×52即可求出二班购票需要多少元；三班34人，则按照每人30元购票，用30×34即可求出三班购票需要多少元。 （2）先将三个班的人数相加，再根据不同购票人数的票价，用每人的票价乘总人数，即可求出三个班合起来购票，共需要多少元。 【解答】（1）一班：30×42＝1260（元） 二班：25×52＝1300（元） 三班：30×34＝1020（元） 答：一班购票需要1260元，二班购票需要1300元，三班购票需要1020元。 （2）42＋52＋34 ＝94＋34 ＝128（人） 128×20＝2560（元） 答：三个班合起来购票，共需要2560元。 突破题型九数量关系之行程问题 25．在拆除城市中心的高层建筑时，经常用到爆破楼体的技术。在一次爆破中，张师傅准备点燃一根长640毫米的引线来引爆炸药，引线每秒燃烧8毫米。张师傅点燃引线后以6米/秒的速度跑向距离爆炸点450米的安全区域，这次爆破张师傅会有危险吗？ 【答案】不会 【分析】根据路程＝速度×时间，先用引线的长度除以每秒燃烧的长度，求出多少秒后炸药爆炸，用时间乘张师傅每秒跑的距离，求出爆炸前张师傅可以跑多少米，和距离爆炸点的安全长度比较，如果大于或等于则没有危险，小于则有危险，据此解答即可。 【解答】640÷8＝80（秒） 6×80＝480（米） 480米＞450米 答：这次爆破张师傅不会有危险。 26．北京→上海。 京沪高速铁路 京沪高速公路 高速列车的速度是264千米/时，大约5小时行完全程。 汽车的速度是105千米/时，大约12小时行完全程。 京沪高速铁路和京沪高速公路的全长大约各是多少千米？ 【答案】1320千米；1260千米 【分析】根据路程＝速度×时间，把264与5相乘，即可求出京沪高速铁路大约是多少千米。把105与12相乘即可求出京沪高速公路全长大约是多少千米。 【解答】264×5＝1320（千米） 105×12＝1260（千米） 答：京沪高速铁路的全长大约是1320千米，京沪高速公路的全长大约1260千米。 27．小东一家乘火车从杭州去南昌旅游。 里程/千米 杭州－上海 167 杭州－南京 464 杭州－合肥 719 杭州－南昌 1156 （1）火车平均每时行驶103千米，11时后，他们大概在什么位置？（算一算，再标出来） （2）在南昌，计划每天住宿吃饭等共花费370元，如果游玩一个星期，那么准备2800元够吗？ 【答案】（1）靠近南昌；画图见详解 （2）够 【分析】（1）1小时行103千米，103乘11求出11小时行的路程是1133千米，再与表格中的数据比较，发现1133比719大，比1156小，由此可知此时他们快到南昌了。 （2）一个星期7天，1天共花费370元，7乘370即可求出一个星期的总费用是多少元，最后与2800比较即可。 【解答】（1）103×11＝1133（千米） 1133＞719 1133＜1156 所以此时的位置靠近南昌。 如图： （2）370×7＝2590（元） 2590＜2800 答：够。 突破题型十解决简单的工程问题 28．2022年6月5日世界环境日那天，某社区开始清理一条长8000米的河道，工程队以平均每天清理350米的速度清理了16天后，如果剩下的工程需要在5天内完成，那么平均每天要清理多少米？（列综合算式解答） 【答案】480米 【分析】根据题意“平均每天清理350米的速度清理了16天”，依据公式“工作总量＝工作效率×工作时间”代入对应数值，求出16天的工作量，再用总工作量减去16天的工作量，求出剩下的工作量，已知剩下的时间，可根据公式“工作效率＝工作总量÷工作时间”代入对应数值，据此列式解答即可。 【解答】（8000－350×16）÷5 ＝（8000－5600）÷5 ＝2400÷5 ＝480（米） 答：那么平均每天要清理480米。 29．2024年5月，中国国际物流装备与技术展览会在广州隆重举行。本次展会以“数智工厂•智慧物流”为主题，我国自主研发的智能物流机器人在快递分拣中的应用令人印象深刻，充分展现了中国物流科技创新实力。如果智能物流机器人分拣快递的速度约90件/分，照这样计算，2台这样的机器人1小时能分拣多少件快递？ 【答案】10800件 【分析】1小时＝60分钟，先根据进率转换单位，工作效率×工作时间＝工作总量，再用90件乘60分钟，计算出每台机器人1小时能分拣多少件快递；最后乘2台，计算出2台这样的机器人1小时能分拣多少件快递；据此解答。 【解答】1小时＝60分钟 90×60×2＝10800（件） 答：2台这样的机器人1小时能分拣10800件快递。 30．与纯人工分拣相比，“物流快递智能分拣机器人”提高了分拣的效率和准确性。分拣900个快递，如果纯人工分拣需要20小时完成；如果机器人分拣，只需3小时就能完成。机器人每小时比纯人工多分拣多少个？ 【答案】255个 【分析】用900个快递分别除以人和机器人各自分拣完成需要的时间求出每个小时可以分拣的数量，再用机器人每个小时可以分拣的数量减去人每个小时可以分拣的数量即可。 【解答】900÷3－900÷20 ＝300－45 ＝255（个） 答：机器人每小时比纯人工多分拣255个。 专题四用计算器计算 突破题型一计算器的初步认识 1．计算器上的ON是（ ）键，有（ ）的作用，关闭计算器时要按（ ）键。 【答案】开机 开机 OFF 【分析】根据对计算器的认识可知,在计算器的功能键中,ON是开机键（开机），OFF是关机键（关机），AC是全部清除键（清除全部数据），CE是部分清除键（清除当前输入数据），M＋是数据存储，MR是数据提取，MC是清除存储数据；据此解答。 【解答】根据解析可知，计算器上的ON是开机键，有开机的作用，关闭计算器时要按OFF键。 2．计算器上“ON”键是（ ）键，“OFF”键是（ ）键，用计算器计算，如果输错了，可以按（ ）键消除。 【答案】开机 关机 AC 【解答】计算器上“ON”键是开机键，“OFF”键是关机键，用计算器计算，如果输错了，可以按AC键消除。如下图所示： 3．用计算器计算38＋27的步骤： （1）开机按（ ）键； （2）依次按（ ）键和（ ）键； （3）按（ ）键； （4）按（ ）键和（ ）键； （5）按（ ）键显示结果。 【答案】（1）ON （2）3 8 （3）＋ （4）2 7 （5）＝ 【分析】根据计算器的使用可知，先按ON开机键，再依次输入数字38，再按运算符号键“＋”，再输入数字27，最后按“＝”键就可以显示计算结果。 【解答】（1）开机按（ON）键； （2）依次按（3）键和（8）键； （3）按（＋）键； （4）按（2）键和（7）键； （5）按（＝）键显示结果。 【点评】本题考查的是对计算器各个按键功能的认识和熟练使用。 突破题型二计算器按键坏掉的解决办法 4．灵灵用计算器计算698×32时，发现数字键“3”坏了。如果还是用这个计算器，她可以按怎样的算式计算？请写出算式（ ）。 【答案】698×4×8（答案不唯一） 【分析】灵灵用计算器计算698×32时，发现数字键“3”坏了。如果还是用这个计算器，那么她可以利用计算器键盘上的其他数字进行计算得到32的方法进行计算，如：32＝4×8，答案不唯一，合理即可。 【解答】将32替换成4×8，因此算式可以是：698×4×8。 5．用计算器计算“39×176”时，发现数字键“9”坏了。如果还用这个计算器，你会怎样计算？请写出算式： 。 【答案】13×3×176 【分析】此题考查的目的是理解掌握用计算器进行计算的方法及应用，积不变的性质及应用。数字键9坏了，只要不用数字键9，不改变运算结果即可，根据积不变的性质，把39拆分为（13×3），也就是39×176＝13×3×176，据此解答。 【解答】根据分析可知： 因为39＝13×3，所以39×176＝13×3×176。 我会用13×3×176来进行计算。 （答法不唯一） 6．小清用计算器计算时，她发现7这个按键坏掉了，如果还想继续使用这个计算器，可以怎样计算？请列出算式（ ）。 【答案】9×3×38 【分析】7这个按键坏掉了，那么27就不能正常按出来，根据27＝9×3，我们可以用9×3×38代替原来的算式，据此填空即可。 【解答】27×38＝9×3×38 可以用算式9×3×38计算。 突破题型三用计算器计算按错键的解决办法 7．马小虎用计算器计算258乘一个数时，错把乘号键按成了除号键，得到的结果是3，正确的结果是（ ）。 【答案】22188 【分析】由题意得，马小虎用计算器计算258乘一个数时，错把乘号键按成了除号键，得到的结果是3，可以先用258除以3算出另一个乘数，然后再用这个乘数乘上258即可算出正确的结果。 【解答】258÷3＝86 258×86＝22188 故正确的结果是22188。 8．小文用计算器计算“395412＋10589”时，因为按错一个键，计算结果少了30000，他出错的原因可能是 。 【答案】把395412中万位的9按成了6 【分析】本题考查了用计算器计算时的应用。少计算了3万，则把395412中万位的9按成了6，据此解答。 【解答】根据分析可知： 395412－30000＝365412 即因为按错一个键，计算结果少了30000，他出错的原因可能是把395412中万位的9按成了6。 9．乐乐在使用计算器计算时，先按224，不小心将“－”按成了“＋”，接着在除以215时，又错误地把“÷”按成了“×”，结果显示为50095。正确的结果应该是（ ）。 【答案】1 【分析】根据题意，最后应该除以215按成了乘215，结果是50095，则用50095÷215可以求出这一步按错之前的数，应该用224减去这个数但是按成了加上这个数，则用这个数减去224就可以求出原来应该减去的数，最后代入数字先用224减去这个数，再除以215即可。 【解答】50095÷215＝233 233－224＝9 （224－9）÷215 ＝215÷215 ＝1 乐乐在使用计算器计算时，先按224，不小心将“－”按成了“＋”，接着在除以215时，又错误地把“÷”按成了“×”，结果显示为50095。正确的结果应该是1。 突破题型四根据算式确定使用计算器的步骤 10．用计算器计算382574×12的结果，请你将下面的步骤按正确的顺序进行排列。 A．按＝键    B．按ON键 C．按1、2键    D．按×键 E．依次按 3、8、2、5、7、4键 正确的步骤是 。（填字母） 【答案】BEDCA 【分析】使用计算器进行计算的步骤：开启计算器，按开关键，也就是ON；输入第一个数字；输入运算符号；输入第二个数字；显示计算结果，按＝键，最后显示出结果；清除屏幕，按清除键AC；结束计算，按关闭键OFF，据此解答。 【解答】根据解析可知，用计算器计算382574×12时，开启计算器，按开关键，也就是ON；输入第一个数字，依次按 3、8、2、5、7、4键；输入运算符号，按×键；输入第二个数字，按1、2键；显示计算结果，按＝键，所以正确的步骤是BEDCA。 11．在计算器上计算“195÷5”时，依次输入“195→（ ）→（ ）→＝”，输入完成后，结果就会显示在屏幕上。 【答案】÷ 5 【分析】计算器使用方法：键入数字键按下相应数字，键入运算符号键入相应运算符号，依次输入，最后输入“＝”，输入完成后，结果就会显示在屏幕上。 【解答】在计算器上计算“195÷5”时，依次输入“195→（÷）→（5）→＝”，输入完成后，结果就会显示在屏幕上。 12．用计算器计算293293÷7的结果，请你将下面的计算步骤正确排序。 A．开机按ON/AC键    B．按＝键    C．按÷键    D．按7键    E.依次按2、9、3、2、9、3键 正确的步骤是：（ ）。 【答案】AECDB 【分析】在用计算器计算除法时，要先按ON/AC键开机，再根据被除数、除号、除数、等号的顺序依次输入计算器，即可得到计算结果。 【解答】根据分析可知，用计算器计算293293÷7的结果时，要先按ON/AC键开机；再依次按2、9、3、2、9、3键，输入被除数；再按÷键；之后按7键，输入除数；最后按＝键，即可得到结果。 因此正确的步骤是：AECDB。 突破题型五根根据按键顺序确定屏幕显示的数字 13．根据按键顺序这时屏上显示的数是（ ）。 【答案】64 【分析】“ON/C”是开关及清除屏键、“CE”是清除输入键、“＋”是加号键、“＝”是等号键，据此即可解答。 【解答】按“ON/C”清除屏幕，计算器上显示0，再按25，显示25，再按“＋”和36，显示“25＋36”，再按“CE”就将36清除了，再按39，显示“25＋39”，再按“＝”就计算出“25＋39”的结果，显示的数是64。 【点评】熟练掌握计算器上各个键的功能是解答本题的关键。 14．琪琪用计算器计算一道题，按键顺序如下。 此时计算器的显示屏上显示的数是（ ）。 【答案】9430 【分析】根据对计算器的认识可知，在计算器的功能键中，ON/C是开机或清屏，OFF指关机，AC起全部清除作用的键，CE是清除当前输入键；用电子计算器计算时，先用数字键按出第一个数，再按运算符号键，接着按出第二个数，最后按等号键得出结果；据此解答。 【解答】根据分析：先依次按了数字“205”，再按“×”，接着按了“48”，再按了“CE”，这时清除了48，再按“46”，最后按“＝”，也就是计算了205×46＝9430，所以此时计算器的显示屏上显示的数是9430。 15．在计算器上依次按“”这些键，显示屏显示的数是（ ）。 【答案】920 【分析】屏幕上显示的是720与200的和，直接计算出和即可。 【解答】720＋200＝920，屏幕上会显示920。 【点评】考查学生对计算器的使用情况。 突破题型六用计算器直接计算 16．用计算器计算。               【答案】5463；44764；325 44965；157 【分析】（1）根据计算器的使用可知，先按ON键开机，再依次输入数字765，再按运算符号键“＋”，再依次输入数字4698，最后按等号键可以出示计算结果。 （2）根据计算器的使用可知，先按ON键开机，再依次输入数字589，再按运算符号键“×”，再次输入数字76，最后按等号键可以出示计算结果。 （3）根据计算器的使用可知，先按ON键开机，再依次输入数字41600，再按运算符号键“÷”，再依次输入数字128，最后按等号键可以出示计算结果。 （4）根据混合计算的运算法则，先算287乘156的积，再算193加它们的积。再根据计算器的使用可知，先按ON键开机，再依次输入数字287，再按运算符号键“×”，再依次输入数字156，再按等号键出示它们积的结果；然后再按运算符号键“＋”，再依次输入数字193，最后再按等号键出示计算结果。 （5）根据混合计算的运算法则，先算括号里的449减去289的差，再算25120除以它们的差。再根据计算器的使用可知，先按ON键开机，可以连续按数字25120，运算符号键“÷’，“（ ”，数字449，运算符号键“－”，数字键289，“）”，最后按等号键出示计算结果。 【解答】765＋4698＝5463 589×76＝44764 41600÷128＝325 193＋287×156＝44965 25120÷（449－289）＝157 17．用计算器计算。                      【答案】1080；158； 42224；64 【分析】根据先乘除后加减，有小括号要先算，用计算器计算即可。 1620÷36×24先计算除法再计算乘法； 321－7824÷48先计算除法，再计算减法； （520＋208）×58先计算括号内的加法，再计算乘法； 6336÷（897－798）先计算括号内的减法，再计算除法。 【解答】1620÷36×24 ＝45×24 ＝1080 321－7824÷48 ＝321－163 ＝158 （520＋208）×58 ＝728×58 ＝42224 6336÷（897－798） ＝6336÷99 ＝64 18．用计算器计算。 189216÷324＝         980146－697238＝        336699÷99＝ 587＋769－357＝       9050×14÷362＝         6218＋1436×312＝ 【答案】584；282908；3401； 999；350；454250 【分析】根据计算器的使用规则，先按开机键，将计算器打开，再将算式从左至右依次输入计算器，即可得到答案。 在计算189216÷324时，先输入189216，之后输入÷，再输入324，最后输入＝，即可得到答案； 在计算980146－697238时，先输入980146，之后输入－，再输入697238，最后输入＝，即可得到答案； 在计算336699÷99时，先输入336699，之后输入÷，再输入99，最后输入＝，即可得到答案； 在计算587＋769－357时，先输入587，之后输入＋，然后输入769，接着输入－，再输入357，最后输入＝，即可得到答案； 在计算时9050×14÷362，先输入9050，之后输入×，然后输入14，接着输入÷，再输入362，最后输入＝，即可得到答案； 在计算6218＋1436×312时，先输入1436，接着输入×，再输入312，然后输入＋，再输入6218，最后输入＝，即可得到答案。 【解答】根据分析，将算式依次输入计算器，得到的结果如下： 189216÷324＝584 980146－697238＝282908 336699÷99＝3401 587＋769－357＝999 9050×14÷362＝350 6218＋1436×312＝454250 突破题型七用计算器探索规律 19．先算出前三个算式的得数，再根据规律直接写出其他算式的得数。 3×8＝ 33×68＝ 333×668＝ 3333×6668＝ 33333×66668＝ 【答案】24 2244 222444 22224444 2222244444 【分析】计算得出3×8＝24，33×68＝2244，333×668＝222444，观察发现第一个乘数按照3、33、333、…的顺序排列，第二个乘数个位上都是8，其他数位上都是6，位数与第一个乘数的位数相同，积的位数是两个乘数的位数之和，左边一半数字都是2、右边一半数字都是4；据此解答。 【解答】根据分析： 3×8＝24 33×68＝2244 333×668＝222444 3333×6668＝22224444 33333×66668＝2222244444 20．先算出前三个算式的得数，再根据规律直接写出其他算式的得数。 273273÷1001＝ 354354÷1001＝ 473473÷1001＝ 569569÷1001＝ 686686÷1001＝ 【答案】273； 354； 473； 569； 686 【分析】计算发现273273÷1001＝273，354354÷1001＝354，473473÷1001＝473，观察发现被除数是由两个一样的三位数前后排列组成的，除数都是1001，商是被除数中两个一样的三位数中，其中的一个三位数；据此解答。 【解答】根据分析： 273273÷1001＝273 354354÷1001＝354 473473÷1001＝473 569569÷1001＝569 686686÷1001＝686 21．先用计算器算出前三个算式的得数，再根据规律直接写出其他算式的得数。 111111÷37037＝     222222÷37037＝     333333÷37037＝     444444÷37037＝ 555555÷37037＝     666666÷37037＝     777777÷37037＝     888888÷37037＝ 【答案】3；6；9；12 15；18；21；24 【分析】先用计算器算出前三个算式的得数；通过观察算式可得规律：被除数是6个相同的数字组成，除数是相同的数字37037，在除法算式中，除数不变，商随被除数变化的规律：被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几；据此解答即可。 【解答】111111÷37037＝3 222222÷37037＝6 333333÷37037＝9 （111111×4）÷37037＝444444÷37037＝3×4＝12 （111111×5）÷37037＝555555÷37037＝3×5＝15 （111111×6）÷37037＝666666÷37037＝3×6＝18 （111111×7）÷37037＝777777÷37037＝3×7＝21 （111111×8）÷37037＝888888÷37037＝3×8＝24 突破题型八用计算器计算解决实际问题 22．饮料的易拉罐是由铝制成的，40个易拉罐可以回收制成1千克铝。如果一个城市有500万户家庭，每户家庭每年所用的易拉罐有60个，将其全部回收。这些易拉罐可以制成多少千克铝？合多少吨？（用计算器计算） 【答案】7500000千克；7500吨 【分析】由题意得，40个易拉罐可以回收制成1千克铝。如果一个城市有500万户家庭，每户家庭每年所用的易拉罐有60个，可以先把500万转化为5000000，然后再乘上60算出这个城市每年可收集多少个易拉罐，接着除以40算出可以回收制成多少千克铝。最后再根据“1000千克＝1吨”将单位转化为多少吨即可。 【解答】500万＝5000000 5000000×60＝300000000（个） 300000000÷40＝7500000（千克） 7500000÷1000＝7500（吨） 答：这些易拉罐可以制成7500000千克铝，合7500吨。 23．32小张纸算作1大张纸，500大张纸是1令，一辆汽车可以装125令纸。如果每名小学生节约1小张纸，那么13000万小学生节约的纸大约要装多少辆汽车？（可以用计算器计算） 【答案】65辆 【分析】32小张纸×500大张纸＝1令的张数，再乘125令纸是125令有多少张纸，最后看13000万里面包含125令纸的张数，用除法计算。 【解答】13000万＝130000000 130000000÷（32×500×125） ＝130000000÷（16000×125） ＝130000000÷2000000 ＝65（辆） 答：13000万小学生节约的纸大约要装65辆汽车。 24．清泉乡居民去年冬季主要采用燃煤取暖，共消耗煤炭6630吨。今年为改善大气环境，大力推行煤改电取暖，预计今年煤炭消耗量将减少4860吨。预计今年消耗煤炭多少吨？（用计算器计算） 【答案】1770吨 【分析】由题意可知，用去年消耗的煤炭6630吨减去今年煤炭消耗量将减少的4860吨，即可求出今年消耗煤炭多少吨。 【解答】6630－4860＝1770（吨） 答：预计今年消耗煤炭1770吨。 【点评】本题主要考查计算器计算的应用，熟练掌握计算器计算的方法是解题的关键。 专题五解决问题的策略 突破题型一用画图法解决和差倍问题 1．原来河里的鸭子只数是岸上的3倍。河里的鸭子上岸10只后，河里与岸上的鸭子只数正好相等。原来河里和岸上各有多少只鸭子？（在图中表示出条件和问题，再解答） 【答案】原来河里：30只；原来岸上：10只 【分析】根据题意可知，原来河里的鸭子只数比原来岸上的鸭子只数多：10×2＝20（只）；把原来岸上鸭子的只数看作1份，则原来河里鸭子的只数是3份，原来河里鸭子只数比原来岸上鸭子只数多2份，即2份是20只，则用20除以2，即可求出1份是多少只鸭子，也就是原来岸上鸭子的只数；用求出原来岸上鸭子的只数乘3，即可求出原来河里鸭子的只数。据此解答。 【解答】 10×2÷（3－1） ＝10×2÷2 ＝20÷2 ＝10（只） 10×3＝30（只） 答：原来河里有30只鸭子；原来岸上有10只鸭子。 2．商店新进了一批文具盒和书包，文具盒和书包的数量一样多，文具盒卖出去40个，书包卖出去28个，剩下的书包个数是文具盒的3倍。原来有多少个文具盒？（可以画图试一试） 【答案】画图见详解；46个 【分析】文具盒和书包一样多，文具盒卖出40个，书包卖出28个。说明剩余的书包比文具盒多12个。再根据剩下的书包个数是文具盒的3倍，把剩下文具盒看成1份，剩下的书包就是这样的3份，剩下书包比文具盒多2份。2份是12个，可以算出一份的量。最后再加上卖出的文具盒，就可以算出原来文具盒的数量。画线段图更能清晰表示出两者之间的数量关系。 【解答】 40－28＝12（个） 3－1＝2 12÷2＝6（个） 40＋6＝46（个） 答：原来有46个文具盒。 3．一个双层书架，上层书的本数是下层的3倍。如果从上层搬60本到下层，那么两层书的本数正好相等。原来上、下层各有图书多少本？（在图中表示出条件和问题，再解答） 【答案】图见详解；上层有180本，下层有60本 【分析】根据题意，上层书的本数是下层的3倍。通过分析可知，上层比下层多了2份，当上层给下层1份后两层的本数相等。已知这1份就是 60 本，由此可以在图中表示出条件和问题，并求出下层和上层图书的本数。 【解答】 60×2÷（3－1） ＝120÷2 ＝60（本） 60×3＝180（本） 答：上层有图书180本，下层有图书60本。 4．2023年8月8日，第16届省运会在大同市体育中心举行。本届省运会共设48个竞赛大项，其中竞技体育项目比群众体育项目多4个，第16届省运会中竞技体育项目和群众体育项目各有多少个？（把已知条件和问题在线段图上画出来，再解答） 【答案】线段图见详解； 竞技体育项目26个；群众体育项目22个 【分析】根据题意，先用一条线段表示群众体育项目，再画一条比群众体育项目长一点的线段，超出部分表示多4个项目，最后把两条线段括起来表示一共设48个竞赛项目，再将两条线段分别括起来，标上问号，据此画出线段图； 解答时，可以把群众体育项目看作1份，则竞技体育项目比1份多4个，假设竞技体育项目和群众体育项目一样多，则一共的竞赛项目将少4个，即48－4＝48（个）；其中包括两个群众体育项目，所以用48除以2即得到1份数群众体育项目的个数，再用群众体育项目的个数加4即得到竞技体育项目的个数。 【解答】线段图如下： 群众体育项目： （48－4）÷2 ＝44÷2 ＝22（个） 竞技体育项目： 22＋4＝26（个） 答：竞技体育项目有26个，群众体育项目有22个。 突破题型二补全线段图并解决问题 5．芳芳用11米长的绳子做了4根同样长的短跳绳和1根长跳绳。如果长跳绳比每根短跳绳长1米，每根短跳绳长多少米？长跳绳呢？（先把线段图补充完整，再解答） 【答案】短跳绳2米；长跳绳3米；线段图见详解 【分析】根据题意将线段图补充完整即可。这根绳子去掉1米即可做成（4＋1）根短跳绳，即（11－1）除以（4＋1）就是每根短跳绳的长度，一根短跳绳的长度加1米就是一根长跳绳的长度；据此解答即可。 【解答】线段图如下： （11－1）÷（4＋1） ＝10÷5 ＝2（米） 2＋1＝3（米） 答：每根短跳绳长2米，长跳绳长3米。 6．已知甲城与乙城相距540千米，一辆轿车从甲城开往乙城，已经行驶了4小时，剩下的路程比已经行驶的少60千米。这辆轿车的平均速度是多少千米/时？（先把线段图补充完整，再解答） 【答案】线段图见详解；75千米/时 【分析】首先用甲城与乙城之间的距离加上60千米，求出已经行的路程的2倍是多少；然后用它除以2，求出已经行的路程是多少；最后根据路程÷时间＝速度，用已经行的路程除以4小时，求出这辆轿车的平均速度是多少千米/时即可。 【解答】线段图如下： （540＋60）÷2 ＝600÷2 ＝300（千米） 300÷4＝75（千米/时） 答：这辆轿车的平均速度是75千米/时。 7．蓉蓉和玲玲共制作48个纸飞机，蓉蓉比玲玲少做10个。两人各制作多少个纸飞机？（先把线段图填写完整，再列式解答） 【答案】玲玲制作了29个纸飞机，蓉蓉制作了19个纸飞机 【分析】根据题意将线段图填写完整，即右边括号里填48，下面括号里填10。用纸飞机总个数减去10个，求出蓉蓉制作纸飞机个数的2倍，再除以2，求出蓉蓉制作纸飞机个数。用纸飞机总个数减去蓉蓉制作纸飞机个数，求出玲玲制作纸飞机个数。 【解答】 （48－10）÷2 ＝38÷2 ＝19（个） 48－19＝29（个） 答：玲玲制作了29个纸飞机，蓉蓉制作了19个纸飞机。 8．四、五年级的同学参加植树活动，一共植了82棵树，五年级比四年级多植了14棵。四、五年级各植树多少棵？（先根据题意把线段补充完整，再解答） 【答案】四年级34棵，五年级48棵（图见详解） 【分析】把82填入一共多少棵的括号里，把14填入五年级比四年级多多少棵的括号里，再把四年级、五年级的线段标上“？棵”；根据题意可知，82加14等于五年级植树棵数的2倍，再除以2，即等于五年级植树的棵数，82减五年级植树的棵数，即等于四年级植树的棵数，据此即可解答。 【解答】 （82＋14）÷2 ＝96÷2 ＝48（棵） 82－48＝34（棵） 答：四年级植树34棵，五年级植树48棵。 突破题型三面积增加问题（求原面积） 9．如下图，有一块正方形花圃。如果一组对边各增加8米，那么面积就增加256平方米。这块正方形花圃原来有多少平方米？ 【答案】1024平方米 【分析】长方形面积公式：长×宽，由图可知增加部分是一个长方形，且宽是8米，逆用长方形面积公式，用256除以8，即可求出这个长方形的长是多少米，这个数即为原来正方形的边长，再根据正方形面积公式：边长×边长，代入数据，计算出正方形面积即可。 【解答】256÷8＝32（米） 32×32＝1024（平方米） 答：这块正方形花圃原来有1024平方米。 10．张大伯有一块长方形菜地，长30米。如果把菜地的长增加5米，这样面积就增加了80平方米。原来这块菜地的面积是多少平方米？（先在图上画一画，再解答。） 【答案】图见详解；480平方米 【分析】根据题意，菜地长增加5米，宽不变，面积增加80平方米。用增加的面积除以增加的长，求出原来菜地的宽。再根据长方形的面积＝长×宽，求出原来菜地的面积。 【解答】 80÷5＝16（米） 30×16＝480（平方米） 答：原来这块菜地的面积是480平方米。 11．李阿姨家有一块长方形草莓种植园，为了扩大种植面积，把种植园的宽增加了16米，这时种植园面积增加了640平方米。扩建后的种植园正好是一个正方形，原来这块种植园的面积是多少平方米？（先画出示意图，后解答） 【答案】图见详解；960平方米 【分析】根据题意，种植园的宽增加了16米，这时种植园面积增加了640平方米，原来长方形的长不变，用640÷16＝40米，求出这块长方形草莓种植园的长是多少米，因为扩建后是正方形，正方形的边长相等，即宽增加16米后是40米，用40－16，求出原来长方形种植园的宽，再根据长方形面积＝长×宽，代入数值，即可求出原来这块种植园的面积是多少平方米。 【解答】 640÷16＝40（米） 40－16＝24（米） 40×24＝960（平方米） 答：原来这块种植园的面积是960平方米。 12．学校有一个长方形花圃，把它的宽增加5米后，得到一个正方形，这时花圃的面积增加100平方米。原来花圃的面积是多少平方米？（先画图整理条件和问题，再解答） 【答案】见详解；300平方米 【分析】根据题意，先画一个长方形，将宽增加5米，面积增加100平方米，且扩大后是一个正方形，求原来的长方形面积是多少平方米，据此作图即可；长方形面积＝长×宽，先用增加的面积除以增加的宽，求出原来长方形的长是多少米，用长减去增加的长度即可求出原来长方形的宽是多少米，最后代入数字即可计算出原来花圃的面积是多少平方米。 【解答】 如图： 长：100÷5＝20（米） 宽：20－5＝15（米） 面积：20×15＝300（平方米） 答：原来花圃的面积是300平方米。 突破题型四面积增加问题（求现面积） 13．一个长方形花圃长10米，宽7米。张师傅想用只改变它的长或宽的办法，将它变成一个正方形花圃。改变后它的面积最大是多少平方米？最小呢？（先分别画出示意图，再解答） 【答案】图见详解； 最大是100平方米；最小是49平方米 【分析】要使面积最大，那么就把宽增加，变成和长一样，这样正方形的边长就是10米，再根据正方形的面积＝边长×边长求解；要使面积最小，那么就把长减少，变成和宽一样，这样正方形的边长就是7米，再根据正方形的面积＝边长×边长求解；据此解答。 【解答】如图： 10×10＝100（平方米） 7×7＝49（平方米） 答：改变后它的面积最大是100平方米，最小是49平方米。 14．一个正方形（如下图），把它的一组对边增加3米，另一组对边增加5米，得到的长方形面积是多少平方米？ 【答案】143平方米 【分析】 如图，用正方形的边长分别加上增加的米数，算出长方形的长和宽各是多少米。再根据长×宽＝长方形的面积。算出结果即可。 【解答】（8＋3）×（8＋5） ＝11×13 ＝143（平方米） 答：得到的长方形面积是143平方米。 15．已知下图中大正方形的边长比小正方形的边长长2厘米，大正方形的面积比小正方形的面积多68平方厘米，小正方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】256平方厘米 【分析】已知下图中大正方形的边长比小正方形的边长长2厘米，大正方形的面积比小正方形的面积多68平方厘米，大正方形比小正方形大的部分是一个不规则图形，可以将其分为三部分（如下图）。 由图可知，右下角的小正方形的边长为2厘米。正方形的面积＝边长×边长，可以先算出它的面积。剩余的两部分都是长方形，它们的面积相等。长方形的面积＝长×宽，那么这个长方形的面积就等于小正方形的边长乘2。可以用68平方厘米减去小正方形的面积得到两个长方形的面积之和，然后再除以2算出一个长方形的面积。长方形的长＝面积÷2，直接用长方形的面积除以2即可算出长方形的长，也就是小正方形的边长。正方形的面积＝边长×边长，直接将数据代入即可算出小正方形的面积。 【解答】68－2×2 ＝68－4 ＝64（平方厘米） 64÷2÷2 ＝32÷2 ＝16（厘米） 16×16＝256（平方厘米） 答：小正方形的面积是256平方厘米。 16．李师傅为广场设计了一个长方形花圃，宽16米，后来又将宽增加了6米，于是这个花圃的面积增加了180平方米。现在这个花圃的面积是多少？（先画图分析，再解答） 【答案】图见详解；660平方米 【分析】根据题意画图即可，长方形花圃的宽增加了6米，长不变，面积增加了180平方米，因此可用增加的面积除以增加的宽，得到这个长方形花圃的长，又因宽16米，后来又将宽增加了6米，则现在的宽是16＋6＝22（米），再根据长方形的面积＝长×宽，即可求得现在这个花圃的面积。 【解答】如图所示： 180÷6×（16＋6） ＝180÷6×22 ＝30×22 ＝660（平方米） 答：现在这个花圃的面积是660平方米。 突破题型五根据提议填表并解决问题 17．《论语》是儒家学派的经典著作之一。小丽读了《论语》第一章共154页，计划两周看完。第一周（7天）每天看了10页，第二周计划每天看14页，还需看多少天才能看完第一章？ 第一章共（    ）页 第一周 每天看（    ）页 看了（    ）天 第二周 每天看（    ）页 看了（    ）天 【答案】 6天；填表见详解 【分析】根据题意，先求出第一周（7天）共看的页数，即用每天看的10页乘7天；再用一共的页数减第一周共看的页数，得到第二周共看的页数，再除以每天看的14页，即求到还需看的天数；再根据已知条件和所求的问题填空。据此解答。 【解答】（154－10×7）÷14 ＝（154－70）÷14 ＝84÷14 ＝6（天） 答：还需看6天才能看完第一章。 填表如下： 第一章共（154）页 第一周 每天看（10）页 看了（7）天 第二周 每天看（14）页 看了（6）天 18．小明和小丽同住一幢楼，一天他俩同时从家出发去少年宫，小明的速度是62米/分，小丽的速度是57米/分。经过20分钟，小明到达少年宫，这时小丽离少年宫还有多远？（先列表整理，再解答） 小明 （    ）米/分 走了（    ）分 小丽 （    ）米/分 走了（    ）分 【答案】 小明 （62）米/分 走了（20）分 小丽 （57）米/分 走了（20）分 100米 【分析】依据路程＝速度×时间，分别求出两人20分钟行驶的路程，由于小明和小丽同住一幢楼，所以他们到少年宫的路程是一样的，因为经过20分钟，小明到达少年宫，所以小丽距离少年宫的距离＝小明行驶的路程－小丽行驶的路程，据此即可解答。 【解答】结合题目信息，列表整理如下： 小明 （62）米/分 走了（20）分 小丽 （57）米/分 走了（20）分 62×20－57×20 ＝1240－1140 ＝100（米） 答：小明到达少年宫，这时小丽离少年宫还有100米。 19．王老师用800元钱买了50支钢笔和100瓶墨水，钢笔单价是8元/支，墨水单价是多少元/瓶？（先列表整理，再解答） 钢笔（    ）支 （    ）元/支 总计（    ）元 墨水（    ）瓶 （    ）元/瓶 【答案】列表见详解；4元/瓶 【分析】根据题意，先求买钢笔花的钱：8×50＝400（元），然后用花的总钱数减掉买钢笔的钱数就是买墨水花的钱数：800－400＝400（元），然后根据买墨水的瓶数及所花钱数，求每瓶墨水的价钱：400÷100＝4（元/瓶）。 【解答】根据分析，列表如下： 钢笔（  50  ）支 （  8  ）元/支 总计（   800 ）元 墨水（  100  ）瓶 （  4  ）元/瓶 8×50＝400（元） 800－400＝400（元） 400÷100＝4（元/瓶） 答：墨水单价是4元/瓶。 20．果园里桃树和梨树共有875棵，桃树有25行，每行15棵；梨树每行20棵，有多少行？（先把条件和问题填入下表进行整理，再解答） 一共有（   ）棵树 桃树 每行（   ）棵 （   ）行 梨树 每行（   ）棵 （   ）行 【答案】表见详解 25行 【分析】根据题意将表格补充完整，然后桃树的总棵树＝每行桃树的棵树×桃树的行数，然后再用一共的棵树减去桃树的总棵树，就是梨树的总棵树，再利用行数＝总棵树÷每行梨树的棵树进行求解即可。 【解答】 一共有875棵树 桃树 每行15棵 25行 梨树 每行20棵 ？行 15×25＝375（棵） （875－375）÷20 ＝500÷20 ＝25（行） 答：梨树有25行。 突破题型六根据线段图直接计算解决问题 21．看图列式解答。 【答案】56米 【分析】小东和小兰同时从学校出发、同向而行，他们的速度分别是75米/分和68米/分，都走了相同的时间8分钟，求的是8分钟后两人相距多少米？因为每分钟两人相差（75－68）米，那么8分钟后两人相距8个（75－68）米。据此解答即可。 【解答】（75－68）×8 ＝7×8 ＝56（米） 即8分钟后两人相距56米。 22．看图列式计算。 【答案】180千克；120千克 【分析】由图可知梨比苹果少60千克，梨与苹果的总质量是300千克。若给梨增加60千克，那么此时梨与苹果的质量相等，据此先求出300与60的和是360，再除以2即可求出苹果的质量，最后用苹果的质量减60即可求出梨的质量。 【解答】苹果：（300＋60）÷2 ＝360÷2 ＝180（千克） 梨：180－60＝120（千克） 梨重120千克。 23．看图列式计算。 【答案】17只 【分析】先用42减去8，计算出绵羊的只数减去8只后与山羊的只数和是多少，再除以2可以计算出山羊的只数；据此解答。 【解答】（42－8）÷2 ＝34÷2 ＝17（只） 所以山羊有17只。 24．看图列式并解答。 【答案】145本；115本 【分析】根据题图可知，科技书和故事书一共有260本，故事书比科技书少30本；求科技书和故事书各有多少本。先用260加上30，求出科技书的2倍，再除以2即可求出科技书是多少本，用科技书的本数减去30，即可求出故事书的本数；据此解答。 【解答】（260＋30）÷2 ＝290÷2 ＝145（本） 145－30＝115（本） 科技书有145本；故事书有115本。 专题六运算律 突破题型一加法交换律的应用 1．工程队周一上午铺路547米，下午铺路674米。为了尽快铺完，周二需要铺的路比周一还要多153米。周二需要铺路多少米？ 【答案】1374米 【分析】由题意得，工程队周一上午铺路547米，下午铺路674米，可以先用加法算出周一一共铺路多少米。周二需要铺的路比周一还要多153米，那么直接用前面的得数加上153，即可算出周二需要铺路多少米。计算时，利用加法交换律：a＋b＋c＝a＋c＋b可使计算简便。 【解答】547＋674＋153 ＝547＋153＋674 ＝700＋674 ＝1374（米） 答：周二需要铺路1374米。 2．海海应用加法交换律写了一道等式：3＋5＝5＋7。若这两个数的和是124，则这两个加数分别是多少？ 【答案】73；51 【分析】加法交换律：a＋b＝b＋a，通过观察等式，可知是两位数加两位数，等式左边第一个数的个位是3，换到等式右边应该是等式右边第二个数，所以十位是7，也就是73；加数＝和－另一个加数，据此用124－73即可求出另一个加数。 【解答】 由3＋5＝5＋7可知，左边3是73； 124－73＝51 答：这两个加数是73和51。 3．你能很快算出下面几种费用各月的合计数吗？ 月份 合计/元 水费/元 电费/元 电话费/元 一 56 45 44 二 64 36 65 三 48 37 52 【答案】145； 165； 137 【分析】计算时将能凑成整百数的两个数先计算，可以很快算出各月的合计； 用（56＋45＋44）可以计算出一月合计的费用，计算时可以运用加法交换律：a＋b＝b＋a； 用（64＋36＋65）可以计算出二月合计的费用，计算时可以从左往右计算； 用（48＋37＋52）可以计算出三月合计的费用，计算时可以运用加法交换律：a＋b＝b＋a；据此解答。 【解答】一月：56＋45＋44 ＝56＋44＋45 ＝100＋45 ＝145（元） 二月：64＋36＋65 ＝100＋65 ＝165（元） 三月：48＋37＋52 ＝48＋52＋37 ＝100＋37 ＝137（元） 如表： 月份 合计/元 水费/元 电费/元 电话费/元 一 145 56 45 44 二 165 64 36 65 三 137 48 37 52 4．王大爷的报亭去年下半年各月卖出某种晚报的数量分别是480份、510份、495份、500份、505份、520份。去年下半年王大爷的报亭一共卖出这种晚报多少份？ 【答案】3010份 【分析】分析题目，根据加法的意义，把下半年各月卖出的报纸份数相加即可求出下半年王大爷的报亭一共卖出的份数。 【解答】480＋510＋495＋500＋505＋520 ＝（480＋520）＋（495＋505）＋510＋500 ＝1000＋1000＋510＋500 ＝3010（份） 答：去年下半年王大爷的报亭一共卖出这种晚报3010份。 突破题型二加法结合律的应用 5．水族馆第一天卖出365张门票，第二天上午卖出112张，下午卖出235张。这两天一共卖出多少张门票？ 【答案】712张 【分析】把第一天卖出的票数加上第二天上午和第二天下午卖出的票数，求出它们三个之间的总和即可，运用简便计算时，可运用加法交换、结合律先计算出再进行计算即可算出正确答案。 【解答】 （张） 答：这两天一共卖出712张门票。 6．一只青蛙第一天捉了138只害虫，第二天捉了157只害虫，第三天捉了62只害虫。这只青蛙三天一共捉了多少只害虫？ 【答案】357只 【分析】根据题意，将这个三天捕捉害虫的数量相加即可，再计算时，根据加法交换律和交换律，先将138与62相加，计算更简便，据此作答。 【解答】138＋157＋62 ＝157＋（138＋62） ＝157＋200 ＝357（只） 答：一共捉了357只害虫。 突破题型三减法的性质的应用 7．超市购进了5000个购物袋，第一周用去了1221个，第二周用去了979个，还剩多少个购物袋？ 【答案】2800个 【分析】由题意得，超市购进了5000个购物袋，第一周用去了1221个，第二周用去了979个，求还剩下多少个购物袋，直接用5000减去1221再减去979即可。计算时，利用减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）可使计算简便。 【解答】5000－1221－979 ＝5000－（1221＋979） ＝5000－2200 ＝2800（个） 答：还剩2800个购物袋。 8．王老师买这台笔记本电脑样品需要付多少元？ 【答案】4799元 【分析】根据题意，笔记本电脑原价是5599元，降价345元后，样品再降价455元，用5599减去345，再减去455，就是现在需要付的钱数，计算时可根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），进行简便运算，列式计算即可。 【解答】根据分析可知： 5599－345－455 ＝5599－（345＋455） ＝5599－800 ＝4799（元） 答：王老师买这台笔记本电脑样品需要付4799元。 9．双“十一”当天，刘阿姨带850元到商场购买了一台微波炉和一台电饭煲。她还剩多少元？ 【答案】250元 【分析】由题意得，买一台微波炉需要398元，买一台电饭煲需要202元，刘阿姨带850元到商场购买了一台微波炉和一台电饭煲，求她还剩多少钱，直接用850减去398再减去202即可解答。计算时，利用减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）可使计算简便。 【解答】850－398－202 ＝850－（398＋202） ＝850－600 ＝250（元） 答：她还剩250元。 突破题型四乘法交换律的应用 10．学校一共需要购进多少套双人课桌椅？ 【答案】800套 【分析】由题意得，学校新教学楼有4层，每层有8间教室，可以先用4乘8算出新教学楼一共有多少间教室。每间教室要配25套双人课桌椅，再用前面的得数乘上25即可算出学校一共需要购进多少套双人课桌椅。计算时，利用乘法交换律：a×b×c＝a×c×b可使计算简便。 【解答】4×8×25 ＝4×25×8 ＝100×8 ＝800（套） 答：学校一共需要购进800套双人课桌椅。 11．这幢新教学楼最多能容纳多少名学生同时上课？ 【答案】1200名 【分析】根据题意，先用4×6求出一共有多少间教室，再乘25即可求出一共有多少套双人课桌椅，最后乘2即可求出最多能容纳多少名学生同时上课，可以利用乘法交换律简便计算。 【解答】4×6×25×2 ＝4×25×6×2 ＝100×6×2 ＝600×2 ＝1200（名） 答：这幢新教学楼最多能容纳1200名学生同时上课。 12．改革开放40多年来，从粮票、布票、纸币、硬币、银行卡到第三方支付，再到移动支付＋刷脸支付，人们的支付方式变得越来越便捷。张叔叔的水果超市里支持现金、微信和支付宝三种付款方式。10月1日店里的收款统计后发现支付宝收款是现金收款的7倍，微信收款是支付宝的4倍，现金收款250元，这天微信收款共多少元？ 【答案】7000元 【分析】已知现金收款250元，支付宝收款是现金收款的7倍，根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算，即用250乘7，即可求出支付宝收款多少元；又已知微信收款是支付宝的4倍，同理，用求出的支付宝收款的钱数乘4，即可求出这天微信收款共多少元；据此列式再根据乘法交换律计算即可解答。 【解答】250×7×4 ＝250×4×7 ＝1000×7 ＝7000（元） 答：这天微信收款共7000元。 突破题型五乘法结合律的应用 13．图书馆里有7本同样的科幻书，每本科幻书有125页，平均每页有8幅插画，这些科幻书中共有多少幅插画？ 【答案】7000幅 【分析】根据题意，用科幻书的本数乘每本科幻书的页数，求出科幻书的总页数，再用科幻书的总页数乘平均每页有插画的幅数，即可求出这些科幻书中共有多少幅插画。计算时可以利用乘法结合律。 【解答】7×125×8 ＝7×（125×8） ＝7×1000 ＝7000（幅） 答：这些科幻书中共有7000幅插画。 14．小明在用计算器计算“365×49”时，发现计算器上的按键“4”坏了。如果还用这个计算器，要怎样算才能算出正确的结果？正确结果是多少？ 【答案】把49分成7×7；17885 【分析】根据乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变；把49分成7×7，365×49＝365×7×7，计算出结果，即可解答。 【解答】365×49 ＝365×7×7 ＝2555×7 ＝17885 答：把49分成7×7，正确结果是17885。 15．草船借箭是我国古典名著《三国演义》中赤壁之战的一个经典故事。若有20条船，一共可以借到多少支箭？ 每条船上有128个草靶子，每个草靶子上平均插50支箭。 【答案】128000支 【分析】一条船上共有128个草靶子，每个草靶子上插50支箭，因此一条船上可借箭数为128×50＝6400支。再乘20即可求出20条船一共可借多少支箭。 【解答】128×50×20 ＝128×（50×20） ＝128×1000 ＝128000（支） 答：一共可以借到128000支箭。 突破题型六乘法分配律的应用 16．石家庄丝弦唱腔独特，刻画人物细腻传神，富有浓郁的乡土气息。某单位28人去戏院看丝弦演出，买嘉宾票比买贵宾票少花多少钱？ 贵宾票：每人150元 嘉宾票：每人115元 【答案】980元 【分析】由题意得，贵宾票每人150元，嘉宾票每人115元，某单位28人去戏院看丝弦演出，可以先用150和115分别去乘28算出买贵宾票和嘉宾票需要多少钱。然后再把得数相减即可算出买嘉宾票比买贵宾票少花多少钱。计算时，利用乘法分配律的逆运算：a×c－b×c＝（a－b）×c可使计算简便。 【解答】150×28－115×28 ＝（150－115）×28 ＝35×28 ＝980（元） 答：买嘉宾票比买贵宾票少花980元。 17．为了让同学们更深入了解“惊蛰”，四（1）班开展踏青研学活动，需要提前定制统一的帽子和文化衫40套，四（1）班购买帽子和文化衫一共要花多少钱？ 帽子15元/个， 文化衫45元/件。 【答案】2400元 【分析】先算出一套的价钱＝一顶帽子的价钱＋一件文化衫的价钱，再乘40套即可。 【解答】（15＋45）×40 ＝60×40 ＝2400（元） 答：四（1）班购买帽子和文化衫一共要花2400元。 18．解决问题。 （1）李红买了洗发水和沐浴液各5瓶。买沐浴液比买洗发水少用多少元？ （2）妈妈买了3瓶洗发水和2瓶润肤霜，一共用去142元。每瓶润肤霜多少元？ 【答案】（1）40元；（2）32元 【分析】（1）总价＝单价×数量，26乘5等于5瓶洗发水的价钱，18乘5等于5瓶沐浴液的价钱，计算时利用乘法分配律进行计算。 （2）26乘3等于3瓶洗发水的价钱，142减去3瓶洗发水的价钱等于2瓶润肤霜的价钱，然后除以2等于一瓶润肤霜的价钱。 【解答】（1）5×26－5×18 ＝5×（26－18） ＝5×8 ＝40（元） 答：买沐浴液比买洗发水少用40元。 （2）（142－3×26）÷2 ＝（142－78）÷2 ＝64÷2 ＝32（元/瓶） 答：每瓶润肤霜32元。 突破题型七除法的性质的应用 19．学校要做3600面彩旗，把这个任务交给了25个班级。已知每个班级有4个小组，那么平均每个小组要做多少面彩旗？ 【答案】36面 【分析】根据题意，已知学校要做3600面彩旗，把这个任务交给了25个班级，用3600除以25，先算每个班级的任务量，再除以4，就是每个小组要做的彩旗数，列式计算时可以根据除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），进行简便运算。 【解答】根据分析可知： 3600÷25÷4 ＝3600÷（25×4） ＝3600÷100 ＝36（面） 答：那么平均每个小组要做36面彩旗。 20．2024年6月9日是第17个国际档案日，今年宣传主题为“筑梦向现代化、奋斗兰台人”。目前我国已有15项档案文献入选世界记忆名录，17项档案文献入选世界记忆亚太地区名录，数量位居世界前列。某部门将27000份档案放入新购进的125个书柜进行整理，每个书柜有8层，平均每层多少份档案？（用简便方法计算） 【答案】27份 【分析】先用27000除以125算出平均每个书柜放多少份档案，再除以8即可算出平均每层放多少份档案。计算时，利用除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c）可使计算简便。据此解答。 【解答】27000÷125÷8 ＝27000÷（125×8） ＝27000÷1000 ＝27（份） 答：平均每层27份档案。 21．每年4月24日为“中国航天日”，为激励广大少年儿童发扬中国航天精神，某企业为彤彤所在的学校捐赠了720册航天类图书，学校共5个年级，每个年级8个班，平均每个班分到多少册？ 【答案】18册 【分析】先用720除以5计算出平均每个年级分到多少册，再除以8计算出平均每个班分到多少册；计算时可以运用除法的性质：a÷b÷c＝a÷（b×c），据此解答。 【解答】720÷5÷8 ＝720÷（5×8） ＝720÷40 ＝18（册） 答：平均每个班分到18册。 突破题型八运算律解决相遇问题 22．A，B两艘轮船在同一条航线上。A船以53千米/时的速度往下游开，同时B船从下游以37千米/时的速度往上游开，两船在距离中点32千米的地方相遇。这条航线长多少千米？ 【答案】360千米 【解答】由题意可知，A船的速度比B船快，两船相遇时A船比B船多行驶了2个32千米，即2×32＝64（千米）。A船每小时比B船多行驶了53－37＝16（千米），根据时间＝路程÷速度，可以计算出两船相遇时行驶了多少时间，即64÷16＝4（小时），再根据路程＝时间×速度，计算出两船行驶的路程之和，就是这条航线的总长，据此即可解答。 【分析】32×2＝64（千米） 64÷（53－37） ＝64÷16 ＝4（小时） 53×4＋37×4 ＝（53＋37）×4 ＝90×4 ＝360（千米） 答：这条航线长360千米。 23． 甲地有一辆快车，速度是75千米/时；乙地有一辆慢车，速度是50千米/时。 （1）两车同时分别从甲地和乙地出发，经过2小时在仓库A相遇。甲地和乙地相距多少千米？ （2）两车同时从仓库A向仓库B开去，经过3小时，快车到达仓库B，这时慢车离仓库B还有多少千米？ 【答案】（1）250千米； （2）75千米 【分析】（1）先把两车的速度相加，求出两车的速度的和，再用速度和乘相遇时间，即可求出甲地和乙地相距多少千米； （2）从仓库A向仓库B，根据路程＝时间×速度，先用快车的速度乘3小时，求出两个仓库之间的路程，再用慢车的速度乘3小时，求出慢车已经行驶的路程，然后用快车行驶的路程（两个仓库之间的路程）减去慢车行驶的路程即可求解，计算时，根据乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【解答】（1）（75＋50）×2 ＝125×2 ＝250（千米） 答：甲地和乙地相距250千米。 （2）75×3－50×3 ＝（75－50）×3 ＝25×3 ＝75（千米） 答：这时慢车离仓库B还有75千米。 24．周末的早晨，小明和小强相约来到合肥市天鹅湖进行晨跑运动。他们从同一地点同时沿着环湖道路朝相反方向开始跑，小明的速度是135米/分钟，小强的速度是165米/分钟，12分钟后他们相遇。合肥市天鹅湖一圈的周长大约是多少米？ 【答案】3600米 【分析】根据路程＝速度×时间，用135×12求出小明跑的距离，用165×12求出小强跑的距离，相加即可求出一共跑的距离即天鹅湖一圈的周长，可以利用乘法分配律简便计算。 【解答】135×12＋165×12 ＝（135＋165）×12 ＝300×12 ＝3600（米） 答：合肥市天鹅湖一圈的周长大约是3600米。 突破题型九加法运算律和乘法运算律简便运算 25．怎样算简便就怎样算。 37＋138＋63    17×2×25    630÷18÷5 243－29－71    37＋37×55＋37×44    188×22－88×22 【答案】238；850；7 143；3700；2200 【分析】（1）利用加法交换律，先求37加63的和，再加138； （2）利用乘法结合律，先求2乘25的积，再用17乘积； （3）利用除法的性质，先求18乘5的积，再用630除以积； （4）利用减法的性质，先求29加71的和，再用243减和； （5）利用乘法分配律，先求1＋55＋44的和，再用37乘和； （6）利用乘法分配律，先求188减88的差，再用差乘22。 【解答】37＋138＋63     ＝37＋63＋138 ＝100＋138 ＝238 17×2×25     ＝17×（2×25） ＝17×50 ＝850 630÷18÷5 ＝630÷（18×5） ＝630÷90 ＝7 243－29－71     ＝243－（29＋71） ＝243－100 ＝143 37＋37×55＋37×44     ＝37×（1＋55＋44） ＝37×100 ＝3700 188×22－88×22 ＝（188－88）×22 ＝100×22 ＝2200 26．用简便方法计算。                          【答案】7900；900； 8700；66 【分析】计算25×79×4时，根据乘法交换律，交换79与4的位置，再进行计算。 计算176＋285＋124＋315时，利用加法交换律和加法结合律，将能凑成整百的数结合在一起进行计算。 计算87×62＋87×38时，根据乘法分配律进行简便计算。 计算466－256－144时，根据减法的性质，将后两个数结合起来进行计算。 【解答】25×79×4 ＝25×4×79 ＝100×79 ＝7900 176＋285＋124＋315 ＝（176＋124）＋（285＋315） ＝300＋600 ＝900 87×62＋87×38 ＝87×（62＋38） ＝87×100 ＝8700 466－256－144 ＝466－（256＋144） ＝466－400 ＝66 27．用简便方法计算。 14×21×5    25×27×4    125×67×8 13×25×4    （25×125）×4×8    187×50×2 【答案】1470；2700；67000 1300；100000；18700 【分析】（1）利用乘法交换律，交换14和21的位置，再根据乘法结合律进行简算。 （2）利用乘法交换律，交换25和27的位置，再根据乘法结合律进行简算。 （3）运用乘法交换律，交换125和67的位置，再根据乘法结合律进行简算。 （4）利用乘法结合律进行简算。 （5）利用乘法交换律和结合律，将25与4结合，125与8结合。 （6）利用乘法结合律进行简算。 【解答】14×21×5 ＝21×（14×5） ＝21×70 ＝1470 25×27×4 ＝27×（25×4） ＝27×100 ＝2700 125×67×8 ＝67×（125×8） ＝67×1000 ＝67000 13×25×4 ＝13×（25×4） ＝13×100 ＝1300 （25×125）×4×8 ＝（25×4）×（125×8） ＝100×1000 ＝100000 187×50×2 ＝187×（50×2） ＝187×100 ＝18700 28．用简便方法计算下面各题。 386＋254＋46         504＋536             25×32 35×65＋35×35      75×141－75×41       630÷18÷5 【答案】686；1040；800； 3500；7500；7 【分析】（1）利用加法结合律，先计算254＋46进行凑整，再加386； （2）把504拆成500＋4，利用加法结合律，先计算4＋536，再加500； （3）乘法中利用凑整进行巧算，，将32拆分成4和8相乘，利用乘法结合律，先计算25乘4，再乘8； （4）根据乘法分配律，提取相同的因数35，先计算65加35的和，再乘35即可； （5）根据乘法分配律，提取相同的因数75，先计算141减41的差，再乘75即可； （6）利用除法的性质进行简算，将两个除数相乘，然后再进行除法运算。 【解答】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 专题七三角形、平行四边形和梯形 突破题型一三角形的概念和表示方法 1．如图，两条平行线上共有6个点，以这些点为顶点能组成（ )个三角形。 【答案】16 【分析】 如图，以上面的一个点为顶点，这样可以组成6个三角形，以上面的另一个点为顶点，又可以组成6个三角形；如下图，这样又可以组成4个三角|形； 据此可以算出能组成多少个三角形。 【解答】6＋6＋4＝16（个） 所以，以这些点为顶点能组成16个三角形。 2．下面图形（ )是三角形。（填序号） 【答案】①⑤ 【分析】三角形是由3条线段首尾依次连接而成的封闭图形；据此找出三角形即可。 【解答】 是三角形； 没有首尾依次连接，不是三角形； 有一段曲线不是线段，不是三角形； 不是封闭图形，不是三角形； 是三角形。 下面图形①⑤是三角形。 3．下面图形中各有多少个三角形？ （ )个              （ )个            （ )个 【答案】8 5 20 【分析】第一个图形中，单独的三角形有4个，两个三角形组成的三角形有4个，则一共有（4＋4）个三角形；第二个图形中单独的三角形有4个，四个三角形组成的大三角形有1个，则一共有（4＋1）个三角形；第三个图形中，单独的小三角形有4个，两个三角形组成的三角形有3个，三个三角形组成的有2个，四个三角形组成1个大三角形，一个三角形和另一个图形组成的三角形有4个，两个三角形和两个其他图形组成的三角形有3个，三个三角形和三个其他图形组成的三角形有2个，大三角形有1个，一共有（4＋3＋2＋1＋4＋3＋2＋1）个三角形。 【解答】4＋4＝8（个） 4＋1＝5（个） 4＋3＋2＋1＋4＋3＋2＋1＝20（个） 突破题型二三角形的稳定性及应用 4．生活中许多物体上都有三角形的结构，如自行车车架、人字梁等，这是因为三角形具有（ )。 【答案】稳定性 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，例如：埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造。据此填空即可。 【解答】生活中许多物体上都有三角形的结构，如自行车车架、人字梁等，这是因为三角形具有稳定性。 5．小猴子这样搭篱笆，是利用了三角形具有（ )。 【答案】稳定性 【分析】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，据此填空即可。 【解答】小猴子这样搭篱笆，是利用了三角形具有稳定性。 6．生活中很多建筑物以三角形的结构建造的，如：凉亭的顶部、一些房子的屋顶、法国的埃菲尔铁塔等，这些都是利用了三角形的（ )性。 【答案】稳定 【分析】根据三角形具有稳定性来解答即可。 【解答】生活中很多建筑物以三角形的结构建造的，如：凉亭的顶部、一些房子的屋顶、法国的埃菲尔铁塔等，这些都是利用了三角形的稳定性。 【点评】此题考查了三角形的特性。 突破题型三三角形的三边关系 7．两根小棒分别长4厘米、7厘米，第三根小棒的长要小于（ )厘米且大于3厘米，这三根小棒才能围成一个三角形。 【答案】11 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，已知两条边分别是4厘米和7厘米，据此判断第三条边的范围即可。 【解答】7－4＝3（厘米） 7＋4＝11（厘米） 3厘米＜第三根小棒的长度＜11厘米 两根小棒分别长4厘米、7厘米，第三根小棒的长要小于11厘米且大于3厘米，这三根小棒才能围成一个三角形。 8．下面每组有三根小棒，哪些能围成一个等腰三角形？在下面的□里画“√”。 【答案】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，确定三根小棒是否可以围成三角形；再根据有两条边相等的三角形是等腰三角形；据此解答此题。 【解答】5＋2＝7（厘米），7＞5，能围成三角形，且两条边是5厘米，能围成等腰三角形； 2＋2＝4（厘米），4＜5，不能围成三角形； 3＋3＝6（厘米），6＞5，能围成三角形，且两条边是3厘米，能围成等腰三角形。 综上可知，在能围成等腰三角形的□里画“√”为： 9．用一根长18厘米的铁丝围成一个三角形。 （1)要使围成的三角形的三条边都相等，每条边的长度是（ )厘米。 （2)在围成的三角形中，最长的一条边的长度要小于（ )厘米。 【答案】（1)6 （2)9 【分析】（1）围成的三角形的三条边都相等，用铁丝总长除以3，就是每条边的长度。 （2）三角形的任意两边之和大于第三条边，所以最长边的长度要比18的一半少。 【解答】（1）18÷3＝6（厘米） 所以，要使围成的三角形的三条边都相等，每条边的长度是6厘米。 （2）18÷2＝9（厘米） 所以，在围成的三角形中，最长的一条边的长度要小于9厘米。 突破题型四三角形的内角和 10．一个等腰三角形，若一个底角是50°，则顶角是（ )°；若顶角是50°，则一个底角是（ )°。 【答案】80 65 【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等；已知一个底角是50°，则用三角形的内角和连续减去两个底角的度数，即可求出这个等腰三角形的顶角是多少度；已知顶角是50°，则用三角形的内角和减去顶角的度数，再除以2，即可求出这个三角形的一个底角的度数。 【解答】180°－50°－50° ＝130°－50° ＝80° （180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 即一个等腰三角形，若一个底角是50°，则顶角是80°；若顶角是50°，则一个底角是65°。 11．写出下面每个三角形中∠3的度数。 （1)∠1＝30°，∠2＝60°，∠3＝（ )°。 （2)∠1＝35°，∠2＝35°，∠3＝（ )°。 （3)∠1＝62°，∠2＝36°，∠3＝（ )°。 【答案】（1)90 （2)110 （3)82 【分析】（1）（2）（3）三角形内角和是180°，用180°减去两个已知角的度数，即可求出∠3的度数。 【解答】（1）180°－30°－60° ＝150°－60° ＝90° ∠1＝30°，∠2＝60°，∠3＝90°。 （2）180°－35°－35° ＝145°－35° ＝110° ∠1＝35°，∠2＝35°，∠3＝110°。 （3）180°－62°－36° ＝118°－36° ＝82° ∠1＝62°，∠2＝36°，∠3＝82°。 12．如图，在三角形ABC中，点D在BC上，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝24°，则∠1＝（ )° 【答案】44 【分析】三角形的内角和是180°，且由题意可知∠1＝∠2，∠3＝∠4。 如图，设与∠3相邻的角为∠6，从图中可以看出，∠1＋∠5＋∠6＝180° ，∠3＋∠6＝180°，则∠3＝∠1＋∠5。因为 ∠3＝∠4，所以∠4＝∠1＋∠5。又因为 ∠1＝∠2，则三角形ABC的内角和＝∠1＋∠2＋∠4＋∠5＝∠1＋∠1＋∠1＋∠5＋ ∠5，所以∠1的度数为（180°－24°×2）÷ 3＝44°。据此解决。 【解答】由分析可知： 设与∠3相邻的角为∠6， 由∠1＋∠5＋∠6＝180°，∠3＋∠6＝180°，得∠3＝∠1＋∠5； 因为 ∠3＝∠4，所以∠4＝∠1＋∠5； 且∠1＝∠2，∠1＋∠2＋∠4＋∠5＝180°，所以∠1＋∠1＋∠1＋∠5＋ ∠5＝180°； 再由∠5＝24°，得∠1＋∠1＋∠1＋24°＋24°＝180°，即，3∠1＝180°－24°×2＝180°－48°＝132°； 故，∠1＝132°÷3＝44°； 即，∠1＝44°。 【点评】本题较难，需要学生灵活利用三角形的内角和和转换的思维来求解，对学生综合能力要求较高。 突破题型五三角形的分类 13．有一个角是钝角的三角形是（ )三角形，等腰三角形的两个底角（ )。 【答案】钝角 相等 【分析】三个角都锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有两条边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形；等边三角形的3个角相等，都等于60度，等腰三角形的两底角相等；据此即可解答。 【解答】根据分析可知，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，等腰三角形的两个底角相等。 14．把三角形的序号填在相应的圈里。 【答案】见详解 【分析】大于0度小于90度的角是锐角，等于90度的角为直角，大于90度小于180度的角为钝角；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；据此分析解答。 【解答】根据分析：①③⑥都有直角符号，都是直角三角形；②和④的三个角都是锐角，都是锐角三角形；⑤和⑦均有一个角是钝角，所以都是钝角三角形。 所以将三角形的序号填在相应的圈里如下： 15．下面三个三角形都被盖住了两个角，你能确定它们各是什么三角形吗？选择正确答案的序号填在括号里。 （ )           （ )             （ ) ①锐角三角形    ②直角三角形    ③钝角三角形    ④无法确定 【答案】② ③ ④ 【分析】大于0度小于90度的角是锐角，等于90度的角为直角，大于90度小于180度的角为钝角；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；据此分析解答。 【解答】根据分析： 第一个三角形，没被盖住的角为直角，所以这个三角形是直角三角形； 第二个三角形，没被盖住的角为钝角，所以这个三角形是钝角三角形； 第三个三角形，没被盖住的角为锐角，其余两个盖住的角可能都是锐角，也可能有一个直角，或者可能有一个钝角；所以无法确定该三角形类型。 综上可知，填写序号如下： 突破题型六等腰三角形和等边三角形的认识及特征 16．下图是一个等边三角形，∠1＝（ )°，∠2＝（ )°。这个等边三角形的周长是（ )厘米。 【答案】60 60 30 【分析】等边三角形三条边相等，三个角都相等，用三角形内角和180°÷3即可求出一个角的度数。通过观察图可知，图中5厘米长的线段是一条边的一半，即一条边是5×2＝10厘米，用10×3即可得周长。 【解答】180°÷3＝60° 5×2＝10（厘米） 10×3＝30（厘米） 因此，∠1＝60°，∠2＝60°。这个等边三角形的周长是30厘米。 17．用一根长18厘米的铁丝围成一个三角形。 （1)如果围成等边三角形，那么边长是（ )厘米。 （2)如果围成腰长7厘米的等腰三角形，那么底边长（ )厘米。 （3)如果围成底边长8厘米的等腰三角形，那么腰长（ )厘米。 【答案】（1)6 （2)4 （3)5 【分析】（1）根据等边三角形三条边相等，用18÷3，即可解答； （2）等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。等腰三角形的周长是18厘米，用周长减去2个腰长，即可解答； （3）用周长减去底边长，求出腰长和，再用腰长和除以2，即可解答。 【解答】（1）18÷3＝6（厘米） 如果围成等边三角形，那么边长是6厘米。 （2）18－7×2 ＝18－14 ＝4（厘米） 如果围成腰长7厘米的等腰三角形，那么底边长4厘米。 （3）（18－8）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 如果围成底边长8厘米的等腰三角形，那么腰长5厘米。 18．按要求在括号里填小棒的序号。 （1)围一个钝角三角形，可以选（ )这三根小棒。 （2)围一个等腰三角形，可以选（ )这三根小棒。 （3)围一个等腰梯形，可以选（ )这四根小棒。 【答案】（1)①③④ （2)①④⑥ （3)①③④⑥ 【分析】（1）根据三角形的性质，两边之和大于第三边，同时一个三角形能否构成钝角三角形，取决于其中一个角是否大于90°，如果有一个角大于90°，那么这个三角形就是钝角三角形，围一个钝角三角形，可以选①③④； （2）要围成一个等腰三角形，则其中两条相等的边长只能为8厘米，那么第三条边应满足：8＋8＞第三边，即第三边小于16厘米，据此选择小棒即可； （3）要围成一个等腰梯形，则其中两条相等的腰长只能为8厘米，再在其他4根小棒里任选两根作为上下底即可。 【解答】（1）如下图： 围一个钝角三角形，可以选①③④这三根小棒。（答案不唯一） （2）围一个等腰三角形，可以选①④⑥这三根小棒。（答案不唯一） （3）围一个等腰梯形，可以选①③④⑥这四根小棒。（答案不唯一） 突破题型七平行四边形的概念及特点 19． 【答案】16 【分析】根据题意，如图共有 4 条平行的“横”线和 4 条平行的“竖”线。任取 2 条“横”线与 2 条“竖”线可构成一个平行四边形；要包含中间那颗★，则“横”线必须同时在 ★ 的上方与下方各选一条（有 4 种选法），同理“竖”线也有 4 种选法。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： 4×4＝16（个） 20．下面哪几组中的四条线段可以围成一个平行四边形？请在括号里画“√”。 【答案】见详解 【分析】平行四边形的两组对边分别平行且相等，根据平行四边形的特征，逐一分析解答即可。 【解答】从左到右，第一图有两组长度分别相等的线段，能够围成平行四边形；第二图没有长度相等的线段，不能围成平行四边形；第三图四条线段长度都相等，能够围成平行四边形；第四图有两组长度分别相等的线段，能够围成平行四边形。 作答如下： 21．用5厘米和8厘米的木棒各两根围成一个长方形，周长是（ )厘米；如果围成一个平行四边形，周长是（ )厘米。 【答案】26 26 【分析】根据题意，明确长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形对边相等，因此必须使用两根5厘米作为一组对边，两根8厘米作为另一组对边；平行四边形对边也相等，同样需要用两根5厘米和两根8厘米分别作为两组对边。因此周长与长方形相同；计算周长即可。 【解答】根据分析可知： （5＋8）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 用5厘米和8厘米的木棒各两根围成一个长方形，周长是26厘米；如果围成一个平行四边形，周长是26厘米。 突破题型八平行四边形的不稳定性及应用 22．用下面图1，图2所示两种方法围篱笆。用图（ )的方法围成的篱笆牢固一些，因为（ )。 【答案】2 三角形具有稳定性 【分析】观察两个篱笆，一个是平行四边形形状，一个是三角形形状，平行四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性，由此可知哪个篱笆牢固，据此可解此题。 【解答】由分析可知，图中图2的方法围成的篱笆牢固一些，因为三角形具有稳定性。 23．起重机的三角形吊臂是利用了三角形的（ )性，升降机可以上下活动是利用了平行四边形的（ )性。 【答案】稳定 不稳定 【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，如埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造，所以起重机的三角形吊臂是利用了三角形的稳定性；平行四边形容易变形，具有不稳定性，升降机上下活动时，中间的平行四边形会变形，所以升降机利用了平行四边形的不稳定性。 【解答】起重机的三角形吊臂是利用了三角形的稳定性，升降机可以上下活动是利用了平行四边形的不稳定性。 突破题型九梯形的概念及特点 24．在梯形下面的括号里画“√”。 【答案】见详解 【分析】只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 （1）该图形是四边形且只有一组对边平行，它是梯形。 （2）该图形不是四边形，它不是梯形。 （3）该图形是四边形且只有一组对边平行，它是梯形。 （4）该图形是五边形，它不是梯形。 【解答】 25．如图，一个四边形被覆盖了一部分，从图中看，这个四边形不可能是（ )形和（ )形，可能是（ )形或（ )形。 【答案】长方 正方 平行四边 梯 【分析】长方形对边相等且四个都是直角，正方形四条边相等且四个角都是直角，平行四边形对边平行且相等，梯形有一组对边平行另一组对边不平行，图中已知有两个角不是直角，则一定不是长方形或正方形，有一组对边平行，则可能是平行四边形或梯形，据此填空即可。 【解答】 如图，一个四边形被覆盖了一部分，从图中看，这个四边形不可能是长方形和正方形，可能是平行四边形或梯形。 26．下图中有（ )个三角形，有（ )个梯形。 【答案】5 3 【分析】 如图所示，有4个小三角形和1个大三角形；三个小三角形构成一个梯形，如图所示，有3个梯形。 【解答】下图中有5个三角形，有3个梯形。 突破题型十平行四边形的周长的计算及实际应用 27．桌上一共有6个相同的平行四边形（如下图），要拼成一个大的平行四边形，周长是多少厘米？（我是这样设计的（如图），你能设计一种不同方案吗？画出示意图，并计算） 【答案】图见详解 26厘米 【分析】 6个相同的平行四边形，要拼成一个大的平行四边形，可以画一行6个；还可以画两行，一行3个，如图：，用3×3，2×2，分别计算出平行四边形两组对边，然后求周长，合理即可。 【解答】 3×3＝9（厘米） 2×2＝4（厘米） （4＋9）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 答：周长是26厘米。 （答案不唯一） 28．苏格兰人最喜欢格子，专门为贵族设计了一种“贵族格”。这种“贵族格”是周长为50厘米的平行四边形，其中一条边长是18厘米，另外三条边长分别是多少厘米？ 【答案】7厘米；7厘米；18厘米 【分析】平行四边形的对边平行且相等，一条边长是18厘米，则它的对边也是18厘米。然后根据平行四边形周长的计算方法解答即可。 【解答】18×2＝36（厘米） 50－36＝14（厘米） 14÷2＝7（厘米） 答：另外三条边长分别是7厘米、7厘米、18厘米。 【点评】本题主要考查平行四边形的特征，平行四边形的对边平行且相等。 突破题型十一梯形的周长的计算及实际应用 29．一个直角梯形，上底是1厘米，一条腰是5厘米，如果把上底延长3厘米，就变成了一个正方形。原来梯形的周长是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】上底是1厘米，把上底延长3厘米，就变成了一个正方形，说明下底长是1＋3＝4（厘米），高是1＋3＝4（厘米）；将梯形的四条边相加，即可求出它的周长。 【解答】高、下底为：1＋3＝4（厘米） 1＋5＋4＋4＝14（厘米） 答：原来梯形的周长是14厘米。 30．为了美化环境，创建文明城市，某市在广场上新建了一个等腰梯形的花坛，等腰梯形的上、下底的和是36米，一条腰长是12米。在花坛的四周围一圈栅栏，已知栅栏每米28元，买栅栏一共需要多少元？ 【答案】1680元 【分析】等腰梯形的两条腰的长度相等，根据梯形的周长＝上底＋下底＋两条腰，计算出等腰梯形花坛的周长；已知栅栏每米28元，根据“总价＝单价×数量”，这里的数量就是花坛的周长，可得买栅栏需要的费用。 【解答】36＋2×12 ＝36＋24 ＝60（米） 28×60＝1680（元） 答：买栅栏一共需要1680元。 31．如下图，用两个完全一样的梯形拼成一个长方形，梯形的上底是6厘米，下底是10厘米、高是5厘米。拼成的长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】80平方厘米 【分析】长方形的面积＝长×宽；此题中长方形的宽是5厘米，长方形的长是6＋10＝16（厘米），依此计算即可。 【解答】长方形的宽是5厘米； 6＋10＝16（厘米） 16×5＝80（平方厘米） 答：拼成的长方形的面积是80平方厘米。 【点评】此题考查的是平面图形的拼接，长方形的面积的计算，熟练掌握梯形的特点是解答此题的关键。 突破题型十二画三角形的高 32．下面各是什么三角形？请画出每个三角形底边上的高。 【答案】直角；锐角；钝角；见详解 【分析】根据题意，三角形按角分类，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，第一个三角形是直角三角形。它有一个角是直角，底边上的高可以直接从对角顶点向底边垂直画下。   第二个三角形是锐角三角形。它的三个角都小于90°，从对着底边的顶点向底边做垂线，垂线会落在底边上。 第三个三角形是钝角三角形。它有一个角大于90°，从对着底边的顶点向底边作垂线。作图时，注意画出“垂直符号”表明是高（即与底边垂直）。 【解答】根据分析画图如下： 33．画出每个三角形底边上的高。 【答案】见详解 【分析】三角形高是对确定的底而言，同一三角形所选底不同，高亦不同。经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）或者对边的延长线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高（钝角三角形钝角边上的高在其反方向延长线上）；直角三角形一条直角边就是以另一直角边为底的高。 【解答】 突破题型十三画三角形 34．在下面的方格纸上画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形，并分别画出它们的一条高。 【答案】见详解 【分析】锐角三角形：三个角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形； 直角三角形：有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形； 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形，叫做钝角三角形； 作高：找到三角形的一条底边，从底边所对的顶角作一条垂线垂直于底边，并画上垂足符号，这条垂线则为三角形的高； 【解答】根据分析可得：作图如下 35．按要求在下面的方格中画三角形，并画出它们所有的对称轴。 （1）既是等腰三角形，又是锐角三角形。 （2）既是等腰三角形，又是直角三角形。 （3）既是等腰三角形，又是钝角三角形。 【答案】见详解 【分析】等腰三角形：等腰三角形是指有两条边长度相等的三角形。 锐角三角形：锐角三角形是指三个角都是锐角的三角形。 直角三角形：直角三角形是指有一个角是直角的三角形。 钝角三角形：钝角三角形是指有一个角是钝角的三角形。 对称轴：对称轴是指一条直线，使得图形沿这条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合。等腰三角形底边上的高就在它的对称轴上，由此即可快速画出等腰三角形的对称轴。 【解答】如图： （答案不唯一） 36．在方格纸上画出3个三角形：①底是4厘米，高是6厘米；②底是6厘米、高是4厘米；③底和高都是4厘米。（每个小方格的边长表示1厘米） 【答案】见详解 【分析】①底占4格，高占6格，在底边的上方先确定一点，这一点到底边的垂线段的长度占6格，再把这一点与长度是4厘米的线段的两个端点相连，即可得到满足要求的三角形。再按照同样的方法画出满足要求的②、③的三角形。 【解答】 （画法不唯一） 突破题型十四画平行四边形的高 37．画出每个图形底边上的高。 【答案】见详解 【分析】根据题意，平行四边形：从与“底”相对的顶点向底边（或其延长线）画一条垂线，这条垂线的长度就是高。梯形：从与“底”平行的另一条边上，任选一点向底边（或其延长线）画垂线，垂线段的长度即为高。三角形：从与“底”相对的顶点向底边（或其延长线）画垂线，这条垂线的长度就是高。在图形中只须注意先确定“底”所在位置，再将顶点沿垂直方向连到底边或底边的延长线上，就可准确画出高。 【解答】根据分析画图如下： 38．画出每个图形底边上的高。 【答案】见详解 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高；从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，高一般用虚线表示，并画上垂足符号；从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。梯形有2条底，有无数条高。高一般用虚线表示，并画上垂足符号，据此作图即可。 【解答】 如图：（平行四边形和梯形高画法不唯一） 突破题型十五画平行四边形 39．在方格纸上画一个底4厘米、高3厘米的三角形，一个底3厘米、高4厘米的平行四边形。（每个小方格表示1平方厘米） 【答案】见详解 【分析】方格的面积为1平方厘米，所以方格的边长为1厘米；三角形的底4个格子长，高3个格子长，平行四边形的底3个格子长，高4个格子长，据此画图。 【解答】 （图形不唯一） 40．如下图，图中三点是一个平行四边形的三个顶点。试着在方格纸中画出这个平行四边形，可以画出几个？ 【答案】2个；图见详解 【分析】平行四边形的对边平行且相等。我们可以根据已知的三个顶点，利用这一性质来确定第四个顶点的位置，从而画出平行四边形，通过分析不同的情况来确定能画出平行四边形的个数。 【解答】作图如下： 可以画出2个。 突破题型十六画梯形的高 41．画出每个梯形的高。 【答案】见详解 【分析】根据梯形高的画法：在梯形的上底任意找一点，过这个点向下底作垂线，这个点到垂足之间的线段就是梯形的高，依此画图。 【解答】 （画法不唯一） 42．画出下边梯形的高。量一量，梯形高（    ）厘米，上、下底的和是（    ）厘米。 【答案】图见详解；5；9 【分析】把直角三角尺与梯形的下底重合，在上底上任取一点，使得上底上的这一点在三角尺的另一条直角边上，固定三角尺，沿着这条直角边过这一点向底边画线段，即为梯形的高。再把直尺的零刻度线与这条高的一个端点重合，另一个端点指向几，即为这条高的长度；再用尺子测量出上底和下底的长度，最后相加即可。 【解答】 3＋6＝9（厘米） 梯形高5厘米，上、下底的和是9厘米。 （以实际测量为准） 突破题型十七画梯形 43．在下面的方格纸上画底是4厘米、高是2厘米的平行四边形和三角形各一个，再画一个上底是2厘米、下底是4厘米、高是3厘米的等腰梯形。（每个小方格表示边长1厘米的正方形） 【答案】图见详解 【分析】根据平行四边形的对边平行且相等的性质，可画一个底是4厘米、高是2厘米的平行四边形即可；三条线段首尾顺次相连，可画底是4厘米，高是2厘米的三角形即可；梯形是有一组对边平行的四边形，可画一个上底是2厘米、下底是4厘米、高是3厘米的等腰梯形即可。 【解答】 （画法不唯一） 44．操作题。 按要求在方格纸上画图。（每个小方格表示边长1厘米的正方形） （1）画一个底是4厘米、高是3厘米的三角形。 （2）画一个底是4厘米，高是2厘米的平行四边形。 （3）画一个上底是4厘米、下底是6厘米，高是4厘米的等腰梯形，并画出它的对称轴。 【答案】见详解 【分析】（1）在方格纸上水平画一条线段，使其长度刚好占4个小方格的边长，这条线段就是三角形的底，长度为4厘米。从底边开始，向上数3个小方格，在这个位置点一个点，这个点就是三角形的顶点。用直尺把刚才确定的顶点与底边的另外两端连接起来，这样就得到了一个底是 4 厘米，高是 3 厘米的三角形。 （2）在方格纸上水平画出一条长度为 4 厘米的线段，因为每个小方格边长是 1 厘米，所以这条线段刚好占4个小方格的边长，此线段即为平行四边形的底，从底边的一个端点开始，垂直向上数2个小方格，在该位置点一个点。过该点同样画一条长度为 4 厘米的线段平行于底；再连接两条线段的端点，即可画出一个底是4厘米，高是2厘米的平行四边形。 （3）在方格纸上水平画一条长度为6厘米的线段，占6个小方格边长，这就是等腰梯形的下底，从下底的中间3厘米处画一根垂线，这就是对称轴，再从下底沿着对称轴方向数4个小格的地方点一点，即高为4厘米，以对称轴为中心，经过该点画一条4厘米线段平行下底，这就是上底；然后连接上底和下底对应端点，这样就画出了上底是4厘米、下底是6厘米，高是4厘米的等腰梯形，以及它的对称轴。 【解答】如图： （三角形和平行四边形画法不唯一） 突破题型十八多边形的内角和 45．如果用两个完全一样的三角形拼成了一个大三角形，大三角形的内角和是（ ）°；如果拼成了一个平行四边形，它的内角和是（ ）°。 【答案】180 360 【分析】不论几个三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和都是180°，不论几个三角形拼成一个平行四边形，因为平行四边形是四边形，所有四边形的内角和都是360°。据此解答即可。 【解答】如果用两个完全一样的三角形拼成了一个大三角形，大三角形的内角和是180°；如果拼成了一个平行四边形，它的内角和是360°。 46．如图，直角梯形中，∠1＝75°，求∠2。 【答案】105° 【分析】根据题意，一个直角梯形中∠1＝75°，由于梯形是直角梯形所以∠A＝∠B＝90°，根据四边形内角和为360°，即∠2＝360°－∠A－∠B－∠1，即可解答。 【解答】∠2＝360°－∠A－∠B－∠1＝360°－90°－90°－75°＝270°－90°－75°＝180°－75°＝105° 答：∠2为105°。 47．一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是几边形？ 【答案】十二边形 【分析】根据题意，明确多边形内角和定理：多边形的内角的和等于（边数－2）×180°，已知一个多边形的内角和是1800°，用1800°除以180°再加上2，即可求出这个多边形的边数。 【解答】根据分析可知： 1800°÷180°＋2 ＝10＋2 ＝12（边） 答：这个多边形是十二边形。 48．在人类文化史中，“五角星”是一个古老而又神奇的几何图形。数学实践课上龙龙和小伙伴一起探究五角星中“角”的奥秘。首先他们发现并提出问题：五角星的5个角一样大，每个角究竟是多少度呢？他们团队经历了下面的思考过程： （1）先研究（图1）五角星中心的正五边形的内角和是（ ）°，再推算出图2中∠1＝（ ）°。 （2）如图2根据∠1与∠2的关系，推算出∠2＝（ ）°。 （3）如图2根据等腰三角形中3个角的特点，推算出五角星一个角的度数：∠3＝（ ）°。 【答案】（1） 540 108 （2）72 （3）36 【分析】（1）多边形内角和定理n边形的内角的和等于：（n－2）×180°（n大于等于3）即可求解正五边形的内角和：因为正五边形五个内角度数相等，所以根据除法的意义，用正五边形的内角和除以5即可求出一个内角的度数。 （2）根据∠1与∠2互补，用180°减去∠1，即可求出∠2的度数。 （3）根据等腰三角形两个底角相等，结合三角形内角和是180°，用180°减去2个底角度数之和即可求解。 【解答】（1）（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 所以五角星中心的正五边形的内角和是540°。 540°÷5＝108° 所以图2中∠1＝108°。 （2）180°－108°＝72° 所以推算出∠2＝72°。 （3）180°－2×72° ＝180°－144° ＝36° 所以∠3为36°。 专题八确定位置 突破题型一用数对表示位置 1．某班三名同学的位置用数对表示是小宇（3，4），小恒（3，2），小军（4，4）。下列说法正确的是（    ）。 A．小宇和小军在同一列 B．小恒和小军在同一列 C．小宇和小恒在同一行 D．小宇和小军在同一行 【答案】D 【分析】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。据此判断出每个同学在第几行第几列，再判断即可。 【解答】A．小宇在第3列第4行，小军在第4列第4行，在同一行，原说法错误。     B．小恒在第3列第2行，小军在第4列第4行，不在同一行，不在同一列，原说法错误。 C．小宇在第3列第4行，小恒在第3列第2行，在同一列，原说法错误。 D．小宇在第3列第4行，小军在第4列第4行，在同一行，原说法正确。 故答案为：D 2．用数对表示小林在班级的座位是（3，4），排在他前面的一个同学的座位用数对表示是（    ）。 A．（4，3） B．（3，3） C．（3，5） 【答案】B 【分析】根据用数对表示位置“先列后行”的规则可知：小林的座位（3，4）在第3列第4行，排在他前面的一个同学的座位和他的列数相同，即第3列，行数比小林的行数少1，即4－1＝3（行），据此解答即可。 【解答】根据分析可得：排在他前面的一个同学的座位用数对（3，3）来表示。 故答案为：B 3．如下图，如果点A用数对表示为（5，2），那么点B用数对表示为（    ）。 A．（9，4） B．（9，3） C．（6，3） D．（5，2） 【答案】B 【分析】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。根据A点的行数和列数继续数，可得到B点的行数和列数，即可知A点用数对表示为多少。 【解答】如下图，如果点A用数对表示为（5，2），那么点B用数对表示为（9，3）。 4．中国象棋大约起源于两千年前，它是中华民族的文明瑰宝，下图中棋盘上“将”所在的位置可以用数对表示为（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号，据此解答即可。 【解答】中国象棋大约起源于两千年前，它是中华民族的文明瑰宝，下图中棋盘上“将”所在的位置可以用数对表示为（5，4）。 故答案为：C 突破题型二根据数对找位置 5．学了用数对表示物体的位置后，王老师送给同学们一句话，共8个字，这8个字在下面的字表中的位置用数对表示依次是（6，4）、（9，1）、（2，4）、（5，1）、（7，4）、（2，2）、（4，3）、（3，4）。 请你破译出王老师的话： 。 【答案】数学学习其乐无穷 【分析】根据对数位的了解，列在前行在后，据此找出八个数对对应的字后，即可破译出王老师的话。 【解答】（6，4）即第六列第四行是“数”字； （9，1）即第九列第一行是“学”字； （2，4）即第二列第四行是“学”字； （5，1）即第五列第一行是“习”字； （7，4）即第七列第四行是“其”字； （2，2）即第二列第二行是“乐”字； （4，3）即第四列第三行是“无”字； （3，4）即第三列第四行是“穷”字。 王老师的话：数学学习其乐无穷。 6．下面是某校集合时各个班级在操场上的位置图。 （1）用数对表示各年级3班的位置。 一（3）班（ ）  二（3）班（ ）  三（3）班（ ） 四（3）班（ ）  五（3）班（ ）  六（3）班（ ） （2）表示某班位置的数对是（x，3），可能是哪个班？（ ） （3）表示某班位置的数对是（3，y），可能是哪个班？（ ） 【答案】（1）（3，1） （6，2） （2，2） （5，3） （2，4） （5，5） （2）三（5）班、三（6）班、四（1）班、四（2）班、四（3）班、四（4）班 （3）一（3）班、三（2）班、四（1）班、五（2）班、六（1）班 【分析】（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行，一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数，表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号，据此即可解答问题； （2）表示某班位置的数对是（x，3），说明某班在第x列第3行，第几列不确定，但是确定在第3行；通过观察图表发现，第3行的班级有三（5）班、三（6）班、四（1）班、四（2）班、四（3）班和四（4）班，这些班都有可能； （3）表示某班位置的数对是（3，y），说明某班在第3列第y行，第几行不确定，但是确定在第3列；通过观察图表发现，第3列的班级有一（3）班、三（2）班、四（1）班、五（2）班和六（1）班，这些班都有可能。 【解答】（1）一（3）班（3，1）  二（3）班（6，2）  三（3）班（2，2） 四（3）班（5，3）  五（3）班（2，4）  六（3）班（5，5） （2）表示某班位置的数对是（x，3），可能是三（5）班、三（6）班、四（1）班、四（2）班、四（3）班、四（4）班。 （3）表示某班位置的数对是（3，y），可能是一（3）班、三（2）班、四（1）班、五（2）班、六（1）班。 7． （1）“入”用数对（ ）表示，“欲”用数对（ ）表示。 （2）数对（3，2）表示的是“（ ）”字，数对（2，3）表示的是“（ ）”字。 【答案】（1）（3，3） （1，2） （2）千 河 【分析】用数对表示位置时第一个数表示列，第二个数表示行。 （1）“入”在第3列第3行；“欲”在第1列第2行； （2）数对（3，2）表示第3列第2行；数对（2，3）表示第2列第3行。 【解答】（1）“入”用数对（3，3）表示，“欲”用数对（1，2）表示。 （2）数对（3，2）表示的是“千”字，数对（2，3）表示的是“河”字。 8．根据下图填空。 （1）在第（ ）列第（ ）行，用数对表示它的位置是（ ， ）。 （2）（2，3）表示第（ ）列第（ ）行，在这个位置上的玩具是（ ）。 【答案】（1）2 2 2 2 （2）2 3 坦克 【分析】 （1）数对中左边的数是表示所在的列数，右边的数是表示所在的行数。要根据给定的行列位置确定玩具所在的位置，结合图示信息可知，在第2列第2行，据此用数对表示。 （2）（2，3）需要根据给定的数对确定玩具所在的行列位置和玩具类型。据此解答即可。 【解答】（1） 在第2列第2行，用数对表示为（2，2）。 （2）（2，3）表示第2列第3行，在这个位置的玩具是坦克。 突破题型三和数对相关的平移问题 9． （1）在上面的方格纸上画一个以AB为一条直角边的直角三角形，并用数对表示出三个顶点的位置。 （2）把所画的直角三角形绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的图形，并用数对表示出旋转后三个顶点的位置。 【答案】（1）图见详解；用数对表示：A（5，6），B（5，3），C（3，3） （2）图见详解；用数对表示为：（8，3），B（5，3），（5，5） 【分析】（1）一个内角为直角的三角形是直角三角形，过点B作线段AB的垂线BC，连接AC即可；根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此用数对表示三角形各个顶点的位置； （2）把三角形绕点B顺时针旋转90°后，点B的位置不动，其余各部分均绕点B按相同方向旋转相同的度数即可；然后根据用数对表示位置的方法，表示出点的位置即可。 【解答】（1）如图： 用数对表示：A（5，6），B（5，3），C（3，3）； （2）如图： 用数对表示为：（8，3），B（5，3），（5，5）。 10．（1）用数对表示下图中三角形顶点A、B、C的位置。 A（ ， ）B（ ， ）C（ ， ） （2）把三角形向右平移7格，画出平移后的图形，并在图中用数对表示平移后三角形三个顶点的位置。 （3）把三角形绕点C顺时针旋转90°，如果用A1，B1分别表示点A、点B旋转后的位置，那么点A1用数对（ ， ）表示，点B1用数对（ ， ）表示。 【答案】（1）（4，6）；（2，3）；（4，3） （2）见详解 （3）见详解；（7，3）；（4，5） 【分析】（1）对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行；由图可知三点的坐标为A（4，6），B（2，3），C（4，3）。 （2）根据图形平移的方法，分别将点A、B、C向右平移7格，顺次连接起来就得到平移后的三角形。 （3）根据图形旋转的方法，将与点C相连的两条边顺时针旋转90°，即可得出旋转后的图形。 【解答】根据分析可知： （1）用数对表示下图中三角形顶点A、B、C的位置。 A（4，6），B（2，3），C（4，3） （2）把三角形向右平移7格，画出平移后的图形，并在图中用数对表示平移后三角形三个顶点的位置如下：   （3）把三角形绕点C顺时针旋转90°，如果用A1，B1分别表示点A、点B旋转后的位置，那么点A1用数对（7，3）表示，点B1用数对（4，5）表示。 突破题型四和数对相关的旋转或轴对称问题 11．操作题。 （1）用数对表示三角形三个顶点的位置： A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ） （2）画出三角形绕点B逆时针旋转90°后的图形，并把旋转后的图形向右平移5格。 （3）画一个只有两条对称轴的轴对称图形，并画出对称轴。 【答案】（1）（8，7）；（4，7）；（6，9） （2）（3）见详解 【分析】（1）根据对数对的认识，列在前行在后，中间用逗号隔开，据用数对表示三角形三个顶点的位置。 （2）作旋转一定角度后的图形的方法：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，找出构成图形的关键点，按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点，顺次连接作出的各点即可； 作平移后的图形的方法：找出构成图形的关键点，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，再依据图形的形状顺次连接各对应点，画出最终的图形。 （3）一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，长方形是轴对称图形且只有两条对称轴，据此作图即可。 【解答】（1）用数对表示三角形三个顶点的位置： A（8，7），B（4，7），C（6，9） （2）（3）如图： （轴对称图形画法不唯一） 12． （1）用数对表示图中三角形顶点A、B、C的位置：A（    ），B（    ），C（    ）。 （2）在图的三角形中，以AB边为底，画出这个三角形的高。 （3）把图中的梯形绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 【答案】（1）A（1，1），B（6，5），C（3，6） （2）（3）见详解 【分析】（1）数对的表示方法：（列数，行数），找出图中各顶点所在的列数和行数，并用数对表示出来即可； （2）三角形的高：把三角板的一直角边靠紧三角形的底边，沿三角形的底边滑动三角板，当另一直角边经过三角形底边相对的顶点时，沿这条直角边画的顶点到底边的垂直线段就是该三角形的高，高用虚线表示，依此画图并标上垂直符合即可； （3）作旋转一定角度后的图形的方法：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，找出构成图形的关键点，按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点，顺次连接作出的各点即可。 【解答】（1）用数对表示图中三角形顶点A、B、C的位置：A（1，1），B（6，5），C（3，6）。 （2）（3）如图： 突破题型五和数对相关的路线图问题 13．（1）用数对表示小冬家、学校、商店的位置。 （2）从小冬家出发，向南走2格，再向东走6格，到了小华家。在图上标出小华家的位置，并用数对表示。 【答案】（1）小冬家（2，6）；学校（6，2）；商店（9，5） （2）图见详解 小华家的位置在（8，4） 【分析】（1）数对中第一个数表示列，第二个数表示行，所以小冬家在第2列第6行，用数对表示为（2，6）；学校在第6列第2行，用数对表示为（6，2）；商店在第9列第5行，用数对表示为（9，5）。 （2）从小冬家出发，向南走2格，即行数减2，变为第4行，再向东走6格，即列数加6，变为第8列，所以小华家在第8列第4行，用数对表示为（8，4）。 【解答】（1）小东家用数对表示：（2，6）；学校用数对表示是（6，2）；商店用数对表示是（9，5）。 （2） 小华家的位置在（8，4）。 14． （1）蚂蚁搬家从★（2，5）的位置向右平移6格，此时他家的位置在（ ， ），请用●标出来；接着再向下平移3格，这时蚂蚁家的位置在（ ， ）请用▲标出来。 （2）蚂蚁搬家的这条路实际总长度为27米，每格的边长表示的实际长度是（    ）米。 【答案】（1）（8，5）；（8，2）；图见详解 （2）3 【分析】（1）根据平移的特征，蚂蚁把家从★（2，5）的位置向右6格，列数加6，行数不变；用●标出；再向下移动3个，列数不变，行数减3，用▲标出来，据此解答； （2）从开始的位置向右平移6格，接着再向下平移3格，一共移动了9格；用27米除以移动的个数，就是平均每一格表示的实际长度。 【解答】（1）蚂蚁把家从★（2，5）的位置向右移6格，此时它家的位置在（8，5），接着，它再向下移3格，这时蚂蚁家的位置在（8，2）。 （2） （米） 答：平均每一格表示的实际长度是3米。 突破题型六和数对相关的图上基础行程问题 15．动物保护小组用卫星定位系统测得一只梅花鹿的位置用数对表示是A（1，6）；3小时后，再测得这只梅花鹿在B（7，6）处。 （1）在图中分别标出这只梅花鹿两次所在的位置。 （2）如果这只梅花鹿的行动轨迹在一条直线上，且一个小方格的边长是10千米，这只梅花鹿平均每小时跑多少千米？ 【答案】（1）见详解 （2）20千米 【分析】（1）数对的前一个数表示列，后一个数表示行。对于A（1，6），先找到第1列，再找到第6行，这个交点就是梅花鹿第一次所在的位置A。对于B（7，6），先找到第7列，再找到第6行，这个交点就是梅花鹿第二次所在的位置B。 （2）因为梅花鹿的行动轨迹在一条直线上，且两次位置的纵坐标相同都是6，说明梅花鹿是在同一行移动的。从A（1，6）到B（7，6），列数从1变为7，移动的格数为7－1＝6格。已知一个小方格的边长是10千米，用乘法计算出梅花鹿移动的距离，梅花鹿移动的时间是3小时。根据速度＝路程÷时间，可得梅花鹿的速度。 【解答】（1）如下图： （2）7－1＝6（格） 6×10÷3 ＝60÷3 ＝20（千米） 答：这只梅花鹿平均每小时跑20千米。 16．下面是实验小学所在街区的平面图。     （1）用数对表示实验小学、文化馆的位置。 （2）图上（6，2）和（2，6）表示的位置相同吗？ （3）小明从实验小学到文化馆，要向东走几格，再向北走几格？他从实验小学到电影院可以怎样走？ 【答案】（1）实验小学（9，4）；文化馆（12，7）；（2）不同；（3）见详解 【分析】（1）数对中第一个数表示列，第二个数表示行，实验小学在第9列第4行用数对表示（9，4）；文化馆在第12列第7行用数对表示（12，7）； （2）（6，2）表示第6列第2行，（2，6）表示第2列第6行，行数和列数不同，表示的位置不同； （3）根据上北下南左西右东确定方向，从实验小学到文化馆，先向东走3格，再向北走3格；从实验小学到电影院可以先向西走3格，再向南走2格或先向南走2格，再向西走3格。 【解答】（1）如图： （2）由分析可知图上（6，2）和（2，6）表示的位置不同； （3）如上图从实验小学到文化馆，先向东走3格，再向北走3格；从实验小学到电影院可以先向西走3格，再向南走2格或先向南走2格，再向西走3格。 17．如下图，一辆汽车从A点行驶到B点用了4小时。 （1）在下图中标出A（2，3）和B（10，3）的位置。 （2）如果图中每格的距离代表50千米，这辆汽车平均每小时行（    ）千米。 【答案】（1）见详解 （2）100 【分析】（1）根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此完成汽车两次所在的位置；（2）用每格的距离乘格数，求出距离，再根据，用这辆汽车行驶的路程除以行驶的时间，即可求出这辆汽车平均每小时行多少千米。 【解答】（1）如下图： （2） （千米） 所以这辆汽车平均每小时行100千米。 19．如图，李师傅的电动车从点A（6，3）苏州科技城小学校（科业校区）的位置出发向西开往点B（2，3）南京大学医学院附属苏州医院的位置，又向南开往点C（2，2）苏州科技城小学校（西渚校区）的位置，全程共用15分钟。如果每格代表1200米，请完成下面问题。 （1）标出电动车经过的三个位置； （2）李师傅的平均速度是（    ）米/分钟； （3）顺次连接A、B、C、A围成三角形，画出三角形ABC绕点B逆时针旋转90°后的图形。 【答案】（1）（3）图见详解 （2）400 【分析】（1）数对中的第一个数表示列数，第二个数表示行数，据此填空。 （2）每格代表1200米，根据格数求出行驶的距离，利用速度＝录成÷时间即可解答。 （3）根据旋转的特征，将三角形ABC绕点B逆时针旋转90°后，点B位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 【解答】（1）（3）如图： （2）6－2＝4 3－2＝1 （4＋1）×1200÷15 ＝5×1200÷15 ＝6000÷15 ＝400（米/分钟） 李师傅的平均速度是400米/分钟 突破题型七和数对相关的象棋走法 20．下图是中国象棋棋盘的一部分。按规定“象”走“田”字，“象”从棋盘上现在的位置走到（8，2）这个位置，一种走法是（2，0）→（4，2）→（6，0）→（8，2）。请照样子再写出一种走法。 【答案】（2，0）→（4，2）→（6，4）→（8，2） 【分析】数对中，前面的数字表示列，后面的数字表示行；现在象的位置是（2，0），根据“象”走“田”字可知它下一步可以走到的位置，据此解答。 【解答】（答案不唯一）“象”的另一种走法是：（2，0）→（4，2）→（6，4）→（8，2）。 21．象棋中有“马走日，象走田”的说法。 （1）棋盘上有一枚棋子走一步记录为（5，2）→（4，1），这枚棋子是（    ）。在图上画出这枚棋子的新位置。 （2）请用数对表示出“象”一步可能跳到的位置。 （    ）、（    ）、（    ）、（    ）。 【答案】（1）仕；图见详解 （2）（2，5）；（2，9）；（6，5）；（6，9） 【分析】（1）数对中第一个数表示列，第二个数表示行。已知棋子从（5，2）走到（4，1）。这枚棋子是仕，在图上找到列数为4，行数为1的位置，画出仕的新位置。 （2）象走田，象当前位置为（4，7）。从象当前位置出发，按照“田”字对角线走法：向左上方走，列数减 2，行数加 2，得到位置（2，9）。向左下方走，列数减 2，行数减 2，得到位置（2，5）。向右上方走，列数加 2，行数加 2，得到位置（6，9）。向右下方走，列数加 2，行数减 2，得到位置（6，5）。所以象一步可能跳到的位置用数对表示为（2，5）、（2，9）、（6，5）、（6，9）。 【解答】（1）这枚棋子是仕。如下图： （2）“象”一步可能跳到的位置用数对表示为（2，5）、（2，9）、（6，5）、（6，9）。 22．下边是国际象棋棋盘的示意图。 （1）白王“”所在的位置用国际象棋专用的方法可以记录为“g2”。你知道是怎样记录棋子位置的吗？ （2）棋盘上其他棋子各在什么位置？先说一说，再记录下来。 黑王“”：（    ） 黑车“”：（    ） 白兵“”：（    ） （3）如果在棋盘上有一枚棋子走一步记录为c6—c2，你知道是哪枚棋子从什么位置走到什么位置吗？在图上标出来。 【答案】（1）记录棋子位置时，按照先列后行的规则，第一个是字母，表示所在的列数，第二个是数字，表示所在的行数。 （2）d7 c6 g4 （3）黑车“”从第c列第6行走到第c列第2行；画图见详解。 【分析】 （1）从白王“”所在的位置用国际象棋专用的方法可以记录为“g2”可知：g为其所在的列数，2为其所在的行数，所以，记录棋子位置时，按照先列后行的规则，第一个是字母，表示所在的列数，第二个是数字，表示所在的行数。 （2）分别找到黑王、黑车、白兵所在的列数和行数，按照“先列后行”的规则表示它们的位置；即黑王在第d列第7行，可表示为“d7”；黑车在第c列第6行，可表示为“c6”；白兵在第g列第4行，可表示为“g4”。 （3）棋盘上位置在c6（第c列第6行）的是黑车“”，走一步到c2（第c列第2行），据此解答并作图。 【解答】（1）根据分析可知： 记录棋子位置时，按照先列后行的规则，第一个是字母，表示所在的列数，第二个是数字，表示所在的行数。 （2）其他棋子的位置是： 黑王“”：d7 黑车“”：c6 白兵“”：g4 （3）根据分析可知： 如果在棋盘上有一枚棋子走一步记录为c6—c2，这枚棋子是黑车“”从第c列第6行走到第c列第2行。 作图如下： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年四年级下册数学期末备考总复习 常考易错知识点专题突破（八大专题78个突破点） 目录 专题一平移、旋转和轴对称 5 突破题型一判断平移的格数 5 突破题型二旋转三要素及旋转 6 突破题型三判断轴对称的数量 7 突破题型四作平移后的图形 8 突破题型五作旋转后的图形 10 突破题型六补全轴对称图形 11 突破题型七综合作图（平移、旋转和轴对称） 12 突破题型八运用平移、旋转和轴对称设计图案 14 专题二认识多位数 15 突破题型一数十万以内的数 15 突破题型二亿以内数的读写 16 突破题型三亿以内数的组成 17 突破题型四整数的数级、数位及计数单位的认识 17 突破题型五亿以内数的改写 18 突破题型六亿以内数的近似数 19 突破题型七十进制计数法 20 突破题型八大数的比较大小 21 突破题型九亿以上数的读写 21 突破题型十亿以上数的组成 23 突破题型十一亿以上数的改写 23 突破题型十二亿以上数的近似数 24 专题三三位数乘两位数 25 突破题型一三位数与两位数的乘法 25 突破题型二三位数与两位数，三位数中间有0 25 突破题型三三位数与两位数，乘数末尾有0 26 突破题型四积的变化规律（整数乘法） 27 突破题型五三位数乘两位数的竖式计算 27 突破题型六含三位数乘两位数的脱式计算 28 突破题型七三位数乘两位数解决问题 29 突破题型八数量关系之经济问题 29 突破题型九数量关系之行程问题 30 突破题型十解决简单的工程问题 32 专题四用计算器计算 32 突破题型一计算器的初步认识 32 突破题型二计算器按键坏掉的解决办法 33 突破题型三用计算器计算按错键的解决办法 34 突破题型四根据算式确定使用计算器的步骤 34 突破题型五根根据按键顺序确定屏幕显示的数字 35 突破题型六用计算器直接计算 36 突破题型七用计算器探索规律 36 突破题型八用计算器计算解决实际问题 37 专题五解决问题的策略 38 突破题型一用画图法解决和差倍问题 38 突破题型二补全线段图并解决问题 39 突破题型三面积增加问题（求原面积） 40 突破题型四面积增加问题（求现面积） 42 突破题型五根据提议填表并解决问题 43 突破题型六根据线段图直接计算解决问题 44 专题六运算律 46 突破题型一加法交换律的应用 46 突破题型二加法结合律的应用 47 突破题型三减法的性质的应用 47 突破题型四乘法交换律的应用 48 突破题型五乘法结合律的应用 49 突破题型六乘法分配律的应用 50 突破题型七除法的性质的应用 51 突破题型八运算律解决相遇问题 52 突破题型九加法运算律和乘法运算律简便运算 53 专题七三角形、平行四边形和梯形 54 突破题型一三角形的概念和表示方法 54 突破题型二三角形的稳定性及应用 55 突破题型三三角形的三边关系 56 突破题型四三角形的内角和 57 突破题型五三角形的分类 57 突破题型六等腰三角形和等边三角形的认识及特征 58 突破题型七平行四边形的概念及特点 60 突破题型八平行四边形的不稳定性及应用 60 突破题型九梯形的概念及特点 61 突破题型十平行四边形的周长的计算及实际应用 62 突破题型十一梯形的周长的计算及实际应用 62 突破题型十二画三角形的高 63 突破题型十三画三角形 63 突破题型十四画平行四边形的高 64 突破题型十五画平行四边形 65 突破题型十六画梯形的高 66 突破题型十七画梯形 66 突破题型十八多边形的内角和 67 专题八确定位置 68 突破题型一用数对表示位置 68 突破题型二根据数对找位置 70 突破题型三和数对相关的平移问题 72 突破题型四和数对相关的旋转或轴对称问题 73 突破题型五和数对相关的路线图问题 74 突破题型六和数对相关的图上基础行程问题 75 突破题型七和数对相关的象棋走法 77 专题一平移、旋转和轴对称 突破题型一判断平移的格数 1．移一移，填一填。 向下平移( )格       向( )平移( )格   向( )平移( )格 2．在下图中，将长方形A向( )平移( )格就能变成一个正方形。 3．看图填一填。 (1)图①先向( )平移了( )格，再向( )平移了( )格。 (2)图②先向( )平移了( )格，再向( )平移了( )格。 4． (1)平移过程中，图形的( )和( )都不会发生改变。 (2)图形B向( )平移( )格，再向( )平移( )格，就能与图形A拼成一个完整的图形了。 突破题型二旋转三要素及旋转 5．看图填空。 钟面上的时针从6：00到9：00旋转了( )°。 6．观察图，从图①到图②，三角形绕点O( )时针旋转( )°。 7．体育老师发出口令“向右转”，你的身体需按( )方向旋转( )°。 8．“六一”儿童节那天，果果7：30起床，7：45跟爸爸妈妈一起出发前往植物园游玩，这段时间里分针按( )方向旋转了( )度。果果下午到家，发现时针从7：45起正好按顺时针方向旋转了180度，分针又转回了原来的位置，果果到家的时间是( )。（用24时计时法表示） 突破题型三判断轴对称的数量 9．下面三幅图都是由2个圆组合成的，对称轴最多的是( )，对称轴最少的是( )。 10．下图中共有( )条对称轴。 11．下图中，图①有( )条对称轴，图②有( )条对称轴，图③有( )条对称轴，图④有( )条对称轴。 12．填空。 (1)只有一条对称轴的图形有( )； (2)共有两条对称轴的图形有( )； (3)共有四条对称轴的图形有( )。 突破题型四作平移后的图形 13．画出平行四边形向下平移3格后的图形。 14．按要求画出平移后的图形。 15．把下面方格图中的三角形向右平移10格，画出平移后的图形。 16．画出下图的轴对称图形，并整体向右平移8格。 突破题型五作旋转后的图形 17．画出长方形绕点A顺时针旋转90°后的图形。 18．（1）画出三角形绕点A顺时针旋转90°后的图形。 （2）画出长方形向左平移6后格的图形。 19．（1）将下图中三角形先向右平移5格，再向下平移6格。 （2）将下图中梯形沿A点顺时针旋转90度。 20．按要求画出下面图形。    （1）将①号图形向下平移2格。 （2）把②号图形绕点A顺时针旋转90°。 突破题型六补全轴对称图形 21．分别画出图形的另一部分，使它成为一个轴对称图形。 22．在下面每个图形中涂一个小方格，使涂色部分成为一个轴对称图形。 23．画出下面图①的另一半，使它成为一个轴对称图形，画出图②的对称轴。 24．将三角形围绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形。画出第二个图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。 突破题型七综合作图（平移、旋转和轴对称） 25．按要求在方格纸上画一画。 （1）把平行四边形向下平移4格。 （2）把梯形绕点A逆时针旋转90度。 （3）画出最后一个图形的另一半，使它成为轴对称图形。 26．按要求完成下面各题。 （1）把平行四边形向右平移8格，画出平移后的图形。 （2）画出左下方图形的另一半，使它成为轴对称图形。 （3）把三角形绕点A顺时针旋转90度。 27．（1）画出下面三角形围绕点A逆时针旋转90°后的图形； （2）把平行四边形先向右平移5格，再向上平移3格，画出平移后的图形； （3）将下表中的图B添上一个小方格使它成为一个轴对称图形。 28．操作。 （1）画出①号图形向下平移5格，再向右平移6格后的图形。 （2）画出②号图形绕点A顺时针旋转90°后的图形。 （3）画出③号图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。 突破题型八运用平移、旋转和轴对称设计图案 29．利用方格中的图形按要求设计图案。 用旋转的方式设计。 30．利用轴对称变换设计出一幅美丽的图案。 31．在右面的两个图中用圆规和三角尺绘出左面两个美丽的图案。 32．照样子继续画下去，形成一幅美丽的图案，并涂上你喜欢的颜色。 专题二认识多位数 突破题型一数十万以内的数 1．一个一个地数，10998接着往后写两个数：( )、( )。 2．与11万相邻的两个数分别是( ) 和( ) 。 3．写出下面各数相邻的两个数。 ( )、72699、( )        ( )、40000、( ) 4．比最大的五位数多1的数是( )，最小的六位数与最大的五位数相差( )。 突破题型二亿以内数的读写 5．一个数由8个百万、4个万、7个百和9个一组成，这个数写作( )。 6．75402509是一个( )位数，最高位是( )位，这个数读作( )。 7．太阳中心的温度约是一千五百万摄氏度，横线上的数写作( )。太阳与水星的距离约是57910000千米，横线上的数读作( )。 8．读出横线上的数。 突破题型三亿以内数的组成 9．一万一万地数，九十七万后面接着数是( )万、( )万和( )万。 10．四十六万零五十八是由( )个万和( )个一组成的；八千万八千是由( )个万和( )个一组成的。 11．3个千万、2个万和7个一组成的数是( )。 12．26070500是由( )个万和( )个一组成的。 突破题型四整数的数级、数位及计数单位的认识 13．用下面八张卡片摆出符合要求的八位数。（至少写一个） 只读一个“零”：( )； 读出两个“零”：( )； 读出三个“零”：( )； 一个“零”都不读出来：( )。 14．29009070945最左边上的“9”表示9个( )，中间的“9”表示9个( )，最右边的“9”表示9个( )，最左边的“9”是最右边的( )倍。 15．305005900000是( )位数，最高位是( )位，左边的“5”表示( )个( )，右边的“5”表示( )个( )。 16．一个数由4个千万、3个百万，2个万、1个千组成，这个数写作( )，读作( )，这个数是( )位数。 突破题型五亿以内数的改写 17．一本小说的字数约是9890000，改写成用“万”作单位的数是( )。 18．把下面各数改写成用“万”作单位的数。 250000＝( )                       13500000＝( ) 19．比较大小。 85万( )850000    90( )90万    507万( )5070001 20．今年“五一”假期，成都假日文旅市场呈现安全平稳、繁荣有序的良好发展态势。数据显示，成都接待游客一千四百六十一万三千人次，横线上的数写作( )，改为以“万”为单位的数约是( )万。 突破题型六亿以内数的近似数 21．《四库全书》全称《钦定四库全书》，是清代乾隆时期编修的大型丛书。分经、史、子、集四部，故名“四库”。据文津阁藏本，共收录3462种图书，共计79338卷，36000余册，约800000000字。800000000读作( )。把79338改写成用“万”作单位的近似数是( )。 22．一个数由3个千万、6个百万、4个十万和9个千组成，这个数写作( )，“四舍五入”到万位约是( )万。 23．6846≈6万，中最大填( )；997604215≈100亿，中最小填( )。 24．按要求写数。 (1)一个数“五入”所得的近似数是135万，这个数最大是( )，最小是( )。 (2)一个数“四舍”所得的近似数是135万，这个数最大是( )，最小是( )。 突破题型七十进制计数法 25．( )个千万是1亿，( )个百万是1亿，( )个十万是1亿，( )个万是1亿，1亿里有( )个一。 26．( )个亿是十亿，( )个百亿是一千亿。 27．十进制计数法，不相邻的两个计数单位之间的进率。看它们之间隔几个计数单位，隔一个计数单位的进率是( )，隔2个计数单位的进率是( )。 28．十进制计数法“满十进一”，二进制计数法“满二进一”，十进制计数法与二进制计数法可以互相转换。请观察下面表格中的数据，并将表格补充完整。 十进制数 1 2 3 4 5 二进制数 1 10 11 ( ) ( ) 突破题型八大数的比较大小 29．456万＜061200，里最小可以填( )；906000000＞亿，里最大可以填( )。 30．先读出下面各数，再把它们按照从大到小的顺序排列。 2720000                  4040000         2400000 读作：( )   读作：( )    读作：( ) 排列：( )＞( )＞( )。 31．在90580560004、90500085640、90490004560、9050806900这几个数中，( )更接近905亿。 32．一个八位数，各个数位上的数字和是12，最高位上的数字是万位上数字的2倍，这个数最大是( )，最小是( )。 突破题型九亿以上数的读写 33．一个十位数，最高位上的数字是6，千万位和千位上的数字都是5，其余各位上都是0。这个数是( )。 34．在“56”后面添( )个0，就成了五亿六千万；在“1”和“4”的中间添( )个0，就成了十万零四。 35．写出下面横线上的数。 2022年末全国民用轿车保有量达一亿七千七百四十万辆，比上年末增加一千零三万辆，其中私人轿车保有量达一亿六千六百八十五万辆。 一亿七千七百四十万       写作：( ) 一千零三万               写作：( ) 一亿六千六百八十五万     写作：( ) 36．填表。 到太阳的平均距离/千米 读作 土星 1427000000 （    ） 地球 149600000 （    ） 水星 57910000 （    ） 夏粮 2022年产量/吨 写作 早稻 一亿四千七百四十万 （    ） 秋粮 两千八百一十二万 （    ） 突破题型十亿以上数的组成 37．一个数的百亿位上的数字比十亿位上的数字大6，且百亿位上的数字是十亿位上的数字的3倍，其他各位上都是0。这个数是( )。 38．4500809300是由( )个亿、( )个万和( )个一组成的。 39．由8个亿、3个百万和6个千组成的数写作( )，这个数还可以看作是由( )个亿、( )个万和( )个一组成的。 40．一个数是由4个十亿、8个千和6个一组成的，这个数写作( )，它是一个( )位数，这个数也可以看成是由( )个亿和( )个一组成的。 突破题型十一亿以上数的改写 41．2870990000由( )个亿和( )个万组成，这个数读作( )，改写成用万作单位的数是( )。 42．在括号里填“＞”或“＜”。 192350( )200140   2901000000( )29亿 43．国庆节小长假，某省游客接待数量再创历史新高，达到166500000人次。这个数改写成用“万”做单位的数是( )万，省略亿位后面的尾数约是( ) 44．一个数，它的十亿位和千万位都是8，万位上是5，其它数位上一个计数单位也没有，这个数写作( )，读作( )。把这个数改写成以“万”为单位的数是( )万，用“四舍五入”法省略亿位后面的尾数约是( )亿。 突破题型十二亿以上数的近似数 45．鄱阳湖是我国第一大淡水湖，也是我国第二大湖，最大蓄水量为14960000000立方米，横线上的数读作( )，把它改写成用“万”作单位的数是( )万；省略“亿”后面的尾数约是( )亿。 46．将下面的数改写成用“亿”作单位的近似数。 7230000000≈( )    4725810000≈( )    3953045080≈( ) 47．18□450≈19万，□里最小能填( )。3□6456740≈3亿，□里最大能填( )。 48．六亿五千四百八十万写作( )，把它改写成用“万”作单位的数是( )，“四舍五入”到亿位为( )亿。 专题三三位数乘两位数 突破题型一三位数与两位数的乘法 1．24个124的和是（ ），65的130倍是（ ）。 2．用1，2，4，6，8这五个数字组成三位数乘两位数的算式。（每个数字只能用一次） （1）积最大（ ）（ ）（ ）×（ ）（ ） （2）积最小：（ ）（ ）（ ）×（ ）（ ） 3．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 547×88（ ）54×880    250×40（ ）350×35    320×31（ ）310×32 270×60（ ）60×300    40×316（ ）3160×4     160×50（ ）15×600 突破题型二三位数与两位数，三位数中间有0 4．大众粮油批发部一天销售大米和面粉的情况如下表。你能算一算、填一填吗？ 每袋质量/千克 数量/袋 售出总质量/千克 大米 25 106 （    ） 面粉 15 243 （    ） 5．每个篮球108元，篮球的单价是108（ ），李老师要买15个这样的篮球，共需要（ ）元，这里用到的数量关系式是（ ）。 6．408×50的积的末尾有（ ）个0，要使243×□1的积是四位数，□里最大可以填（ ）。 突破题型三三位数与两位数，乘数末尾有0 7．500×80的积的末尾有（ ）个0；一个三位数乘10，积是（ ）位数。 8．全世界大约每分钟就有270名婴儿出生，照这样计算，全世界每小时大约有（ ）名婴儿出生。 9．完成下列表格。 单价/（元/个） 数量/个 总价/元 68 140 （    ） （    ） 5 860 11 （    ） 1210 突破题型四积的变化规律（整数乘法） 10．根据450×26＝11700直接写出下面算式的结果。 45×260＝（ ）       45×26＝（ ） 11．已知37037×3＝111111，37037×6＝222222，37037×9＝333333…根据这样的规律可以推算出37037×24＝（ ）。 12．如果A×B＝40，那么A×（5×B）＝（ ），（A÷4）×（B×4）＝（ ）。 突破题型五三位数乘两位数的竖式计算 13．用竖式计算。 142×21＝                 38×306＝ 14．用竖式计算。 80×320＝                 728×56＝ 15．用竖式计算。 340×55＝                507×24＝                *125×36＝ 突破题型六含三位数乘两位数的脱式计算 16．用递等式计算。 730＋70×125－480       （279＋21×30）÷9        18×[（860－530）÷15] 17．计算下面各题。 38×2－91÷7       500－（125＋225÷25）        12×［312÷（21－18）] 18．计算下面各题。 5340－128×13           [250―（43＋132）]×18          1000－720÷8×9 突破题型七三位数乘两位数解决问题 19．生活垃圾处理不当不仅影响城市面貌，还污染生态环境。某市新建的垃圾处理厂每天大约可处理2230吨垃圾，预计该垃圾处理厂2025年大约能处理多少吨垃圾？ 20．“张衡一号”卫星是我国第一颗电磁监测试验卫星，大约需120小时就能完成对地球同一地点的重访，照这样计算，它对地球某一地点完成21次重访，大约需要多长时间？ 21．学校订购了90套新的桌椅，用来替换各班的老旧桌椅。商场里有三种桌椅，第一种每套108元，第二种每套120元，第三种每套150元，学校最多可用10000元购买这些桌椅，购买哪一种桌椅合适？ 突破题型八数量关系之经济问题 22．某商店从厂家批发了460个皮球，每个皮球进价是15元。 （1）该商店需要付给厂家多少元？ （2）该商店在卖出307个皮球后开始打折促销。如果皮球全部售出，那么该店是赔了还是赚了？ 23．李大伯家本周卖出花卉情况如下表。 品种 茶花 玉兰花 牡丹花 每株的价格 12元 15元 20元 卖出的数量 270株 307株 360株 （1）茶花比牡丹花少卖多少元？ （2）请你提出其他数学问题并解答。 24．某地森林公园菊花展的门票价格如下。 购票人数 1～50人 51～100人 100人以上 每人票价 30元 25元 20元 四年级三个班的学生去赏菊，一班42人，二班52人，三班34人。 （1）每班分别购票，各需要多少元？ （2）三个班合起来购票，共需要多少元？ 突破题型九数量关系之行程问题 25．在拆除城市中心的高层建筑时，经常用到爆破楼体的技术。在一次爆破中，张师傅准备点燃一根长640毫米的引线来引爆炸药，引线每秒燃烧8毫米。张师傅点燃引线后以6米/秒的速度跑向距离爆炸点450米的安全区域，这次爆破张师傅会有危险吗？ 26．北京→上海。 京沪高速铁路 京沪高速公路 高速列车的速度是264千米/时，大约5小时行完全程。 汽车的速度是105千米/时，大约12小时行完全程。 京沪高速铁路和京沪高速公路的全长大约各是多少千米？ 27．小东一家乘火车从杭州去南昌旅游。 里程/千米 杭州－上海 167 杭州－南京 464 杭州－合肥 719 杭州－南昌 1156 （1）火车平均每时行驶103千米，11时后，他们大概在什么位置？（算一算，再标出来） （2）在南昌，计划每天住宿吃饭等共花费370元，如果游玩一个星期，那么准备2800元够吗？ 突破题型十解决简单的工程问题 28．2022年6月5日世界环境日那天，某社区开始清理一条长8000米的河道，工程队以平均每天清理350米的速度清理了16天后，如果剩下的工程需要在5天内完成，那么平均每天要清理多少米？（列综合算式解答） 29．2024年5月，中国国际物流装备与技术展览会在广州隆重举行。本次展会以“数智工厂•智慧物流”为主题，我国自主研发的智能物流机器人在快递分拣中的应用令人印象深刻，充分展现了中国物流科技创新实力。如果智能物流机器人分拣快递的速度约90件/分，照这样计算，2台这样的机器人1小时能分拣多少件快递？ 30．与纯人工分拣相比，“物流快递智能分拣机器人”提高了分拣的效率和准确性。分拣900个快递，如果纯人工分拣需要20小时完成；如果机器人分拣，只需3小时就能完成。机器人每小时比纯人工多分拣多少个？ 专题四用计算器计算 突破题型一计算器的初步认识 1．计算器上的ON是（ ）键，有（ ）的作用，关闭计算器时要按（ ）键。 2．计算器上“ON”键是（ ）键，“OFF”键是（ ）键，用计算器计算，如果输错了，可以按（ ）键消除。 3．用计算器计算38＋27的步骤： （1）开机按（ ）键； （2）依次按（ ）键和（ ）键； （3）按（ ）键； （4）按（ ）键和（ ）键； （5）按（ ）键显示结果。 突破题型二计算器按键坏掉的解决办法 4．灵灵用计算器计算698×32时，发现数字键“3”坏了。如果还是用这个计算器，她可以按怎样的算式计算？请写出算式（ ）。 5．用计算器计算“39×176”时，发现数字键“9”坏了。如果还用这个计算器，你会怎样计算？请写出算式： 。 6．小清用计算器计算时，她发现7这个按键坏掉了，如果还想继续使用这个计算器，可以怎样计算？请列出算式（ ）。 突破题型三用计算器计算按错键的解决办法 7．马小虎用计算器计算258乘一个数时，错把乘号键按成了除号键，得到的结果是3，正确的结果是（ ）。 8．小文用计算器计算“395412＋10589”时，因为按错一个键，计算结果少了30000，他出错的原因可能是 。 9．乐乐在使用计算器计算时，先按224，不小心将“－”按成了“＋”，接着在除以215时，又错误地把“÷”按成了“×”，结果显示为50095。正确的结果应该是（ ）。 突破题型四根据算式确定使用计算器的步骤 10．用计算器计算382574×12的结果，请你将下面的步骤按正确的顺序进行排列。 A．按＝键    B．按ON键 C．按1、2键    D．按×键 E．依次按 3、8、2、5、7、4键 正确的步骤是 。（填字母） 11．在计算器上计算“195÷5”时，依次输入“195→（ ）→（ ）→＝”，输入完成后，结果就会显示在屏幕上。 12．用计算器计算293293÷7的结果，请你将下面的计算步骤正确排序。 A．开机按ON/AC键    B．按＝键    C．按÷键    D．按7键    E.依次按2、9、3、2、9、3键 正确的步骤是：（ ）。 突破题型五根根据按键顺序确定屏幕显示的数字 13．根据按键顺序这时屏上显示的数是（ ）。 14．琪琪用计算器计算一道题，按键顺序如下。 此时计算器的显示屏上显示的数是（ ）。 15．在计算器上依次按“”这些键，显示屏显示的数是（ ）。 突破题型六用计算器直接计算 16．用计算器计算。               17．用计算器计算。                      18．用计算器计算。 189216÷324＝         980146－697238＝        336699÷99＝ 587＋769－357＝       9050×14÷362＝         6218＋1436×312＝ 突破题型七用计算器探索规律 19．先算出前三个算式的得数，再根据规律直接写出其他算式的得数。 3×8＝ 33×68＝ 333×668＝ 3333×6668＝ 33333×66668＝ 20．先算出前三个算式的得数，再根据规律直接写出其他算式的得数。 273273÷1001＝ 354354÷1001＝ 473473÷1001＝ 569569÷1001＝ 686686÷1001＝ 21．先用计算器算出前三个算式的得数，再根据规律直接写出其他算式的得数。 111111÷37037＝     222222÷37037＝     333333÷37037＝     444444÷37037＝ 555555÷37037＝     666666÷37037＝     777777÷37037＝     888888÷37037＝ 突破题型八用计算器计算解决实际问题 22．饮料的易拉罐是由铝制成的，40个易拉罐可以回收制成1千克铝。如果一个城市有500万户家庭，每户家庭每年所用的易拉罐有60个，将其全部回收。这些易拉罐可以制成多少千克铝？合多少吨？（用计算器计算） 23．32小张纸算作1大张纸，500大张纸是1令，一辆汽车可以装125令纸。如果每名小学生节约1小张纸，那么13000万小学生节约的纸大约要装多少辆汽车？（可以用计算器计算） 24．清泉乡居民去年冬季主要采用燃煤取暖，共消耗煤炭6630吨。今年为改善大气环境，大力推行煤改电取暖，预计今年煤炭消耗量将减少4860吨。预计今年消耗煤炭多少吨？（用计算器计算） 专题五解决问题的策略 突破题型一用画图法解决和差倍问题 1．原来河里的鸭子只数是岸上的3倍。河里的鸭子上岸10只后，河里与岸上的鸭子只数正好相等。原来河里和岸上各有多少只鸭子？（在图中表示出条件和问题，再解答） 2．商店新进了一批文具盒和书包，文具盒和书包的数量一样多，文具盒卖出去40个，书包卖出去28个，剩下的书包个数是文具盒的3倍。原来有多少个文具盒？（可以画图试一试） 3．一个双层书架，上层书的本数是下层的3倍。如果从上层搬60本到下层，那么两层书的本数正好相等。原来上、下层各有图书多少本？（在图中表示出条件和问题，再解答） 4．2023年8月8日，第16届省运会在大同市体育中心举行。本届省运会共设48个竞赛大项，其中竞技体育项目比群众体育项目多4个，第16届省运会中竞技体育项目和群众体育项目各有多少个？（把已知条件和问题在线段图上画出来，再解答） 突破题型二补全线段图并解决问题 5．芳芳用11米长的绳子做了4根同样长的短跳绳和1根长跳绳。如果长跳绳比每根短跳绳长1米，每根短跳绳长多少米？长跳绳呢？（先把线段图补充完整，再解答） 6．已知甲城与乙城相距540千米，一辆轿车从甲城开往乙城，已经行驶了4小时，剩下的路程比已经行驶的少60千米。这辆轿车的平均速度是多少千米/时？（先把线段图补充完整，再解答） 7．蓉蓉和玲玲共制作48个纸飞机，蓉蓉比玲玲少做10个。两人各制作多少个纸飞机？（先把线段图填写完整，再列式解答） 8．四、五年级的同学参加植树活动，一共植了82棵树，五年级比四年级多植了14棵。四、五年级各植树多少棵？（先根据题意把线段补充完整，再解答） 突破题型三面积增加问题（求原面积） 9．如下图，有一块正方形花圃。如果一组对边各增加8米，那么面积就增加256平方米。这块正方形花圃原来有多少平方米？ 10．张大伯有一块长方形菜地，长30米。如果把菜地的长增加5米，这样面积就增加了80平方米。原来这块菜地的面积是多少平方米？（先在图上画一画，再解答。） 11．李阿姨家有一块长方形草莓种植园，为了扩大种植面积，把种植园的宽增加了16米，这时种植园面积增加了640平方米。扩建后的种植园正好是一个正方形，原来这块种植园的面积是多少平方米？（先画出示意图，后解答） 12．学校有一个长方形花圃，把它的宽增加5米后，得到一个正方形，这时花圃的面积增加100平方米。原来花圃的面积是多少平方米？（先画图整理条件和问题，再解答） 突破题型四面积增加问题（求现面积） 13．一个长方形花圃长10米，宽7米。张师傅想用只改变它的长或宽的办法，将它变成一个正方形花圃。改变后它的面积最大是多少平方米？最小呢？（先分别画出示意图，再解答） 14．一个正方形（如下图），把它的一组对边增加3米，另一组对边增加5米，得到的长方形面积是多少平方米？ 15．已知下图中大正方形的边长比小正方形的边长长2厘米，大正方形的面积比小正方形的面积多68平方厘米，小正方形的面积是多少平方厘米？ 16．李师傅为广场设计了一个长方形花圃，宽16米，后来又将宽增加了6米，于是这个花圃的面积增加了180平方米。现在这个花圃的面积是多少？（先画图分析，再解答） 突破题型五根据提议填表并解决问题 17．《论语》是儒家学派的经典著作之一。小丽读了《论语》第一章共154页，计划两周看完。第一周（7天）每天看了10页，第二周计划每天看14页，还需看多少天才能看完第一章？ 第一章共（    ）页 第一周 每天看（    ）页 看了（    ）天 第二周 每天看（    ）页 看了（    ）天 18．小明和小丽同住一幢楼，一天他俩同时从家出发去少年宫，小明的速度是62米/分，小丽的速度是57米/分。经过20分钟，小明到达少年宫，这时小丽离少年宫还有多远？（先列表整理，再解答） 小明 （    ）米/分 走了（    ）分 小丽 （    ）米/分 走了（    ）分 19．王老师用800元钱买了50支钢笔和100瓶墨水，钢笔单价是8元/支，墨水单价是多少元/瓶？（先列表整理，再解答） 钢笔（    ）支 （    ）元/支 总计（    ）元 墨水（    ）瓶 （    ）元/瓶 20．果园里桃树和梨树共有875棵，桃树有25行，每行15棵；梨树每行20棵，有多少行？（先把条件和问题填入下表进行整理，再解答） 一共有（   ）棵树 桃树 每行（   ）棵 （   ）行 梨树 每行（   ）棵 （   ）行 突破题型六根据线段图直接计算解决问题 21．看图列式解答。 22．看图列式计算。 23．看图列式计算。 24．看图列式并解答。 专题六运算律 突破题型一加法交换律的应用 1．工程队周一上午铺路547米，下午铺路674米。为了尽快铺完，周二需要铺的路比周一还要多153米。周二需要铺路多少米？ 2．海海应用加法交换律写了一道等式：3＋5＝5＋7。若这两个数的和是124，则这两个加数分别是多少？ 3．你能很快算出下面几种费用各月的合计数吗？ 月份 合计/元 水费/元 电费/元 电话费/元 一 56 45 44 二 64 36 65 三 48 37 52 4．王大爷的报亭去年下半年各月卖出某种晚报的数量分别是480份、510份、495份、500份、505份、520份。去年下半年王大爷的报亭一共卖出这种晚报多少份？ 突破题型二加法结合律的应用 5．水族馆第一天卖出365张门票，第二天上午卖出112张，下午卖出235张。这两天一共卖出多少张门票？ 6．一只青蛙第一天捉了138只害虫，第二天捉了157只害虫，第三天捉了62只害虫。这只青蛙三天一共捉了多少只害虫？ 突破题型三减法的性质的应用 7．超市购进了5000个购物袋，第一周用去了1221个，第二周用去了979个，还剩多少个购物袋？ 8．王老师买这台笔记本电脑样品需要付多少元？ 9．双“十一”当天，刘阿姨带850元到商场购买了一台微波炉和一台电饭煲。她还剩多少元？ 突破题型四乘法交换律的应用 10．学校一共需要购进多少套双人课桌椅？ 11．这幢新教学楼最多能容纳多少名学生同时上课？ 12．改革开放40多年来，从粮票、布票、纸币、硬币、银行卡到第三方支付，再到移动支付＋刷脸支付，人们的支付方式变得越来越便捷。张叔叔的水果超市里支持现金、微信和支付宝三种付款方式。10月1日店里的收款统计后发现支付宝收款是现金收款的7倍，微信收款是支付宝的4倍，现金收款250元，这天微信收款共多少元？ 突破题型五乘法结合律的应用 13．图书馆里有7本同样的科幻书，每本科幻书有125页，平均每页有8幅插画，这些科幻书中共有多少幅插画？ 14．小明在用计算器计算“365×49”时，发现计算器上的按键“4”坏了。如果还用这个计算器，要怎样算才能算出正确的结果？正确结果是多少？ 15．草船借箭是我国古典名著《三国演义》中赤壁之战的一个经典故事。若有20条船，一共可以借到多少支箭？ 每条船上有128个草靶子，每个草靶子上平均插50支箭。 突破题型六乘法分配律的应用 16．石家庄丝弦唱腔独特，刻画人物细腻传神，富有浓郁的乡土气息。某单位28人去戏院看丝弦演出，买嘉宾票比买贵宾票少花多少钱？ 贵宾票：每人150元 嘉宾票：每人115元 17．为了让同学们更深入了解“惊蛰”，四（1）班开展踏青研学活动，需要提前定制统一的帽子和文化衫40套，四（1）班购买帽子和文化衫一共要花多少钱？ 帽子15元/个， 文化衫45元/件。 18．解决问题。 （1）李红买了洗发水和沐浴液各5瓶。买沐浴液比买洗发水少用多少元？ （2）妈妈买了3瓶洗发水和2瓶润肤霜，一共用去142元。每瓶润肤霜多少元？ 突破题型七除法的性质的应用 19．学校要做3600面彩旗，把这个任务交给了25个班级。已知每个班级有4个小组，那么平均每个小组要做多少面彩旗？ 20．2024年6月9日是第17个国际档案日，今年宣传主题为“筑梦向现代化、奋斗兰台人”。目前我国已有15项档案文献入选世界记忆名录，17项档案文献入选世界记忆亚太地区名录，数量位居世界前列。某部门将27000份档案放入新购进的125个书柜进行整理，每个书柜有8层，平均每层多少份档案？（用简便方法计算） 21．每年4月24日为“中国航天日”，为激励广大少年儿童发扬中国航天精神，某企业为彤彤所在的学校捐赠了720册航天类图书，学校共5个年级，每个年级8个班，平均每个班分到多少册？ 突破题型八运算律解决相遇问题 22．A，B两艘轮船在同一条航线上。A船以53千米/时的速度往下游开，同时B船从下游以37千米/时的速度往上游开，两船在距离中点32千米的地方相遇。这条航线长多少千米？ 23． 甲地有一辆快车，速度是75千米/时；乙地有一辆慢车，速度是50千米/时。 （1）两车同时分别从甲地和乙地出发，经过2小时在仓库A相遇。甲地和乙地相距多少千米？ （2）两车同时从仓库A向仓库B开去，经过3小时，快车到达仓库B，这时慢车离仓库B还有多少千米？ 24．周末的早晨，小明和小强相约来到合肥市天鹅湖进行晨跑运动。他们从同一地点同时沿着环湖道路朝相反方向开始跑，小明的速度是135米/分钟，小强的速度是165米/分钟，12分钟后他们相遇。合肥市天鹅湖一圈的周长大约是多少米？ 突破题型九加法运算律和乘法运算律简便运算 25．怎样算简便就怎样算。 37＋138＋63    17×2×25    630÷18÷5 243－29－71    37＋37×55＋37×44    188×22－88×22 26．用简便方法计算。                          27．用简便方法计算。 14×21×5    25×27×4    125×67×8 13×25×4    （25×125）×4×8    187×50×2 28．用简便方法计算下面各题。 386＋254＋46         504＋536             25×32 35×65＋35×35      75×141－75×41       630÷18÷5 专题七三角形、平行四边形和梯形 突破题型一三角形的概念和表示方法 1．如图，两条平行线上共有6个点，以这些点为顶点能组成（ )个三角形。 2．下面图形（ )是三角形。（填序号） 3．下面图形中各有多少个三角形？ （ )个              （ )个            （ )个 突破题型二三角形的稳定性及应用 4．生活中许多物体上都有三角形的结构，如自行车车架、人字梁等，这是因为三角形具有（ )。 5．小猴子这样搭篱笆，是利用了三角形具有（ )。 6．生活中很多建筑物以三角形的结构建造的，如：凉亭的顶部、一些房子的屋顶、法国的埃菲尔铁塔等，这些都是利用了三角形的（ )性。 突破题型三三角形的三边关系 7．两根小棒分别长4厘米、7厘米，第三根小棒的长要小于（ )厘米且大于3厘米，这三根小棒才能围成一个三角形。 8．下面每组有三根小棒，哪些能围成一个等腰三角形？在下面的□里画“√”。 9．用一根长18厘米的铁丝围成一个三角形。 （1)要使围成的三角形的三条边都相等，每条边的长度是（ )厘米。 （2)在围成的三角形中，最长的一条边的长度要小于（ )厘米。 突破题型四三角形的内角和 10．一个等腰三角形，若一个底角是50°，则顶角是（ )°；若顶角是50°，则一个底角是（ )°。 11．写出下面每个三角形中∠3的度数。 （1)∠1＝30°，∠2＝60°，∠3＝（ )°。 （2)∠1＝35°，∠2＝35°，∠3＝（ )°。 （3)∠1＝62°，∠2＝36°，∠3＝（ )°。 12．如图，在三角形ABC中，点D在BC上，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝24°，则∠1＝（ )° 突破题型五三角形的分类 13．有一个角是钝角的三角形是（ )三角形，等腰三角形的两个底角（ )。 14．把三角形的序号填在相应的圈里。 15．下面三个三角形都被盖住了两个角，你能确定它们各是什么三角形吗？选择正确答案的序号填在括号里。 （ )           （ )             （ ) ①锐角三角形    ②直角三角形    ③钝角三角形    ④无法确定 突破题型六等腰三角形和等边三角形的认识及特征 16．下图是一个等边三角形，∠1＝（ )°，∠2＝（ )°。这个等边三角形的周长是（ )厘米。 17．用一根长18厘米的铁丝围成一个三角形。 （1)如果围成等边三角形，那么边长是（ )厘米。 （2)如果围成腰长7厘米的等腰三角形，那么底边长（ )厘米。 （3)如果围成底边长8厘米的等腰三角形，那么腰长（ )厘米。 18．按要求在括号里填小棒的序号。 （1)围一个钝角三角形，可以选（ )这三根小棒。 （2)围一个等腰三角形，可以选（ )这三根小棒。 （3)围一个等腰梯形，可以选（ )这四根小棒。 突破题型七平行四边形的概念及特点 19． 20．下面哪几组中的四条线段可以围成一个平行四边形？请在括号里画“√”。 21．用5厘米和8厘米的木棒各两根围成一个长方形，周长是（ )厘米；如果围成一个平行四边形，周长是（ )厘米。 突破题型八平行四边形的不稳定性及应用 22．用下面图1，图2所示两种方法围篱笆。用图（ )的方法围成的篱笆牢固一些，因为（ )。 23．起重机的三角形吊臂是利用了三角形的（ )性，升降机可以上下活动是利用了平行四边形的（ )性。 突破题型九梯形的概念及特点 24．在梯形下面的括号里画“√”。 25．如图，一个四边形被覆盖了一部分，从图中看，这个四边形不可能是（ )形和（ )形，可能是（ )形或（ )形。 26．下图中有（ )个三角形，有（ )个梯形。 突破题型十平行四边形的周长的计算及实际应用 27．桌上一共有6个相同的平行四边形（如下图），要拼成一个大的平行四边形，周长是多少厘米？（我是这样设计的（如图），你能设计一种不同方案吗？画出示意图，并计算） 28．苏格兰人最喜欢格子，专门为贵族设计了一种“贵族格”。这种“贵族格”是周长为50厘米的平行四边形，其中一条边长是18厘米，另外三条边长分别是多少厘米？ 突破题型十一梯形的周长的计算及实际应用 29．一个直角梯形，上底是1厘米，一条腰是5厘米，如果把上底延长3厘米，就变成了一个正方形。原来梯形的周长是多少厘米？ 30．为了美化环境，创建文明城市，某市在广场上新建了一个等腰梯形的花坛，等腰梯形的上、下底的和是36米，一条腰长是12米。在花坛的四周围一圈栅栏，已知栅栏每米28元，买栅栏一共需要多少元？ 31．如下图，用两个完全一样的梯形拼成一个长方形，梯形的上底是6厘米，下底是10厘米、高是5厘米。拼成的长方形的面积是多少平方厘米？ 突破题型十二画三角形的高 32．下面各是什么三角形？请画出每个三角形底边上的高。 33．画出每个三角形底边上的高。 突破题型十三画三角形 34．在下面的方格纸上画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形，并分别画出它们的一条高。 35．按要求在下面的方格中画三角形，并画出它们所有的对称轴。 （1）既是等腰三角形，又是锐角三角形。 （2）既是等腰三角形，又是直角三角形。 （3）既是等腰三角形，又是钝角三角形。 36．在方格纸上画出3个三角形：①底是4厘米，高是6厘米；②底是6厘米、高是4厘米；③底和高都是4厘米。（每个小方格的边长表示1厘米） 突破题型十四画平行四边形的高 37．画出每个图形底边上的高。 38．画出每个图形底边上的高。 突破题型十五画平行四边形 39．在方格纸上画一个底4厘米、高3厘米的三角形，一个底3厘米、高4厘米的平行四边形。（每个小方格表示1平方厘米） 40．如下图，图中三点是一个平行四边形的三个顶点。试着在方格纸中画出这个平行四边形，可以画出几个？ 突破题型十六画梯形的高 41．画出每个梯形的高。 42．画出下边梯形的高。量一量，梯形高（    ）厘米，上、下底的和是（    ）厘米。 突破题型十七画梯形 43．在下面的方格纸上画底是4厘米、高是2厘米的平行四边形和三角形各一个，再画一个上底是2厘米、下底是4厘米、高是3厘米的等腰梯形。（每个小方格表示边长1厘米的正方形） 44．操作题。 按要求在方格纸上画图。（每个小方格表示边长1厘米的正方形） （1）画一个底是4厘米、高是3厘米的三角形。 （2）画一个底是4厘米，高是2厘米的平行四边形。 （3）画一个上底是4厘米、下底是6厘米，高是4厘米的等腰梯形，并画出它的对称轴。 突破题型十八多边形的内角和 45．如果用两个完全一样的三角形拼成了一个大三角形，大三角形的内角和是（ ）°；如果拼成了一个平行四边形，它的内角和是（ ）°。 46．如图，直角梯形中，∠1＝75°，求∠2。 47．一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是几边形？ 48．在人类文化史中，“五角星”是一个古老而又神奇的几何图形。数学实践课上龙龙和小伙伴一起探究五角星中“角”的奥秘。首先他们发现并提出问题：五角星的5个角一样大，每个角究竟是多少度呢？他们团队经历了下面的思考过程： （1）先研究（图1）五角星中心的正五边形的内角和是（ ）°，再推算出图2中∠1＝（ ）°。 （2）如图2根据∠1与∠2的关系，推算出∠2＝（ ）°。 （3）如图2根据等腰三角形中3个角的特点，推算出五角星一个角的度数：∠3＝（ ）°。 专题八确定位置 突破题型一用数对表示位置 1．某班三名同学的位置用数对表示是小宇（3，4），小恒（3，2），小军（4，4）。下列说法正确的是（    ）。 A．小宇和小军在同一列 B．小恒和小军在同一列 C．小宇和小恒在同一行 D．小宇和小军在同一行 2．用数对表示小林在班级的座位是（3，4），排在他前面的一个同学的座位用数对表示是（    ）。 A．（4，3） B．（3，3） C．（3，5） 3．如下图，如果点A用数对表示为（5，2），那么点B用数对表示为（    ）。 A．（9，4） B．（9，3） C．（6，3） D．（5，2） 4．中国象棋大约起源于两千年前，它是中华民族的文明瑰宝，下图中棋盘上“将”所在的位置可以用数对表示为（    ）。 A． B． C． 突破题型二根据数对找位置 5．学了用数对表示物体的位置后，王老师送给同学们一句话，共8个字，这8个字在下面的字表中的位置用数对表示依次是（6，4）、（9，1）、（2，4）、（5，1）、（7，4）、（2，2）、（4，3）、（3，4）。 请你破译出王老师的话： 。 6．下面是某校集合时各个班级在操场上的位置图。 （1）用数对表示各年级3班的位置。 一（3）班（ ）  二（3）班（ ）  三（3）班（ ） 四（3）班（ ）  五（3）班（ ）  六（3）班（ ） （2）表示某班位置的数对是（x，3），可能是哪个班？（ ） （3）表示某班位置的数对是（3，y），可能是哪个班？（ ） 7． （1）“入”用数对（ ）表示，“欲”用数对（ ）表示。 （2）数对（3，2）表示的是“（ ）”字，数对（2，3）表示的是“（ ）”字。 8．根据下图填空。 （1）在第（ ）列第（ ）行，用数对表示它的位置是（ ， ）。 （2）（2，3）表示第（ ）列第（ ）行，在这个位置上的玩具是（ ）。 突破题型三和数对相关的平移问题 9． （1）在上面的方格纸上画一个以AB为一条直角边的直角三角形，并用数对表示出三个顶点的位置。 （2）把所画的直角三角形绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的图形，并用数对表示出旋转后三个顶点的位置。 10．（1）用数对表示下图中三角形顶点A、B、C的位置。 A（ ， ）B（ ， ）C（ ， ） （2）把三角形向右平移7格，画出平移后的图形，并在图中用数对表示平移后三角形三个顶点的位置。 （3）把三角形绕点C顺时针旋转90°，如果用A1，B1分别表示点A、点B旋转后的位置，那么点A1用数对（ ， ）表示，点B1用数对（ ， ）表示。 突破题型四和数对相关的旋转或轴对称问题 11．操作题。 （1）用数对表示三角形三个顶点的位置： A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ） （2）画出三角形绕点B逆时针旋转90°后的图形，并把旋转后的图形向右平移5格。 （3）画一个只有两条对称轴的轴对称图形，并画出对称轴。 12． （1）用数对表示图中三角形顶点A、B、C的位置：A（    ），B（    ），C（    ）。 （2）在图的三角形中，以AB边为底，画出这个三角形的高。 （3）把图中的梯形绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。 突破题型五和数对相关的路线图问题 13．（1）用数对表示小冬家、学校、商店的位置。 （2）从小冬家出发，向南走2格，再向东走6格，到了小华家。在图上标出小华家的位置，并用数对表示。 14． （1）蚂蚁搬家从★（2，5）的位置向右平移6格，此时他家的位置在（ ， ），请用●标出来；接着再向下平移3格，这时蚂蚁家的位置在（ ， ）请用▲标出来。 （2）蚂蚁搬家的这条路实际总长度为27米，每格的边长表示的实际长度是（    ）米。 突破题型六和数对相关的图上基础行程问题 15．动物保护小组用卫星定位系统测得一只梅花鹿的位置用数对表示是A（1，6）；3小时后，再测得这只梅花鹿在B（7，6）处。 （1）在图中分别标出这只梅花鹿两次所在的位置。 （2）如果这只梅花鹿的行动轨迹在一条直线上，且一个小方格的边长是10千米，这只梅花鹿平均每小时跑多少千米？ 16．下面是实验小学所在街区的平面图。     （1）用数对表示实验小学、文化馆的位置。 （2）图上（6，2）和（2，6）表示的位置相同吗？ （3）小明从实验小学到文化馆，要向东走几格，再向北走几格？他从实验小学到电影院可以怎样走？ 17．如下图，一辆汽车从A点行驶到B点用了4小时。 （1）在下图中标出A（2，3）和B（10，3）的位置。 （2）如果图中每格的距离代表50千米，这辆汽车平均每小时行（    ）千米。 19．如图，李师傅的电动车从点A（6，3）苏州科技城小学校（科业校区）的位置出发向西开往点B（2，3）南京大学医学院附属苏州医院的位置，又向南开往点C（2，2）苏州科技城小学校（西渚校区）的位置，全程共用15分钟。如果每格代表1200米，请完成下面问题。 （1）标出电动车经过的三个位置； （2）李师傅的平均速度是（    ）米/分钟； （3）顺次连接A、B、C、A围成三角形，画出三角形ABC绕点B逆时针旋转90°后的图形。 突破题型七和数对相关的象棋走法 20．下图是中国象棋棋盘的一部分。按规定“象”走“田”字，“象”从棋盘上现在的位置走到（8，2）这个位置，一种走法是（2，0）→（4，2）→（6，0）→（8，2）。请照样子再写出一种走法。 21．象棋中有“马走日，象走田”的说法。 （1）棋盘上有一枚棋子走一步记录为（5，2）→（4，1），这枚棋子是（    ）。在图上画出这枚棋子的新位置。 （2）请用数对表示出“象”一步可能跳到的位置。 （    ）、（    ）、（    ）、（    ）。 22．下边是国际象棋棋盘的示意图。 （1）白王“”所在的位置用国际象棋专用的方法可以记录为“g2”。你知道是怎样记录棋子位置的吗？ （2）棋盘上其他棋子各在什么位置？先说一说，再记录下来。 黑王“”：（    ） 黑车“”：（    ） 白兵“”：（    ） （3）如果在棋盘上有一枚棋子走一步记录为c6—c2，你知道是哪枚棋子从什么位置走到什么位置吗？在图上标出来。 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 151 2024-2025 学年四年级下册数学期末备考总复习 常考易错知识点专题突破（八大专题 78 个突破点） 2 / 151 目录 专题一平移、旋转和轴对称 ....................................................... 5 突破题型一判断平移的格数 ....................................................5 突破题型二旋转三要素及旋转 ..................................................7 突破题型三判断轴对称的数量 ..................................................9 突破题型四作平移后的图形 ...................................................11 突破题型五作旋转后的图形 ...................................................14 突破题型六补全轴对称图形 ...................................................17 突破题型七综合作图（平移、旋转和轴对称） ...................................19 突破题型八运用平移、旋转和轴对称设计图案 ...................................24 专题二认识多位数 .............................................................. 26 突破题型一数十万以内的数 ...................................................26 突破题型二亿以内数的读写 ...................................................27 突破题型三亿以内数的组成 ...................................................29 突破题型四整数的数级、数位及计数单位的认识 .................................30 突破题型五亿以内数的改写 ...................................................32 突破题型六亿以内数的近似数 .................................................33 突破题型七十进制计数法 .....................................................35 突破题型八大数的比较大小 ...................................................37 突破题型九亿以上数的读写 ...................................................39 突破题型十亿以上数的组成 ...................................................41 突破题型十一亿以上数的改写 .................................................42 突破题型十二亿以上数的近似数 ...............................................44 专题三三位数乘两位数 .......................................................... 45 突破题型一三位数与两位数的乘法 .............................................45 突破题型二三位数与两位数，三位数中间有 0 ................................... 47 突破题型三三位数与两位数，乘数末尾有 0 ..................................... 48 突破题型四积的变化规律（整数乘法） .........................................50 突破题型五三位数乘两位数的竖式计算 .........................................51 3 / 151 突破题型六含三位数乘两位数的脱式计算 .......................................52 突破题型七三位数乘两位数解决问题 ...........................................54 突破题型八数量关系之经济问题 ...............................................55 突破题型九数量关系之行程问题 ...............................................58 突破题型十解决简单的工程问题 ...............................................60 专题四用计算器计算 ............................................................ 61 突破题型一计算器的初步认识 .................................................61 突破题型二计算器按键坏掉的解决办法 .........................................62 突破题型三用计算器计算按错键的解决办法 .....................................63 突破题型四根据算式确定使用计算器的步骤 .....................................64 突破题型五根根据按键顺序确定屏幕显示的数字 .................................66 突破题型六用计算器直接计算 .................................................67 突破题型七用计算器探索规律 .................................................69 突破题型八用计算器计算解决实际问题 .........................................71 专题五解决问题的策略 .......................................................... 72 突破题型一用画图法解决和差倍问题 ...........................................72 突破题型二补全线段图并解决问题 .............................................75 突破题型三面积增加问题（求原面积） .........................................78 突破题型四面积增加问题（求现面积） .........................................80 突破题型五根据提议填表并解决问题 ...........................................83 突破题型六根据线段图直接计算解决问题 .......................................86 专题六运算律 .................................................................. 88 突破题型一加法交换律的应用 .................................................88 突破题型二加法结合律的应用 .................................................90 突破题型三减法的性质的应用 .................................................91 突破题型四乘法交换律的应用 .................................................92 突破题型五乘法结合律的应用 .................................................94 突破题型六乘法分配律的应用 .................................................95 突破题型七除法的性质的应用 .................................................97 4 / 151 突破题型八运算律解决相遇问题 ...............................................98 突破题型九加法运算律和乘法运算律简便运算 ..................................100 专题七三角形、平行四边形和梯形 ............................................... 105 突破题型一三角形的概念和表示方法 ..........................................105 突破题型二三角形的稳定性及应用 ............................................107 突破题型三三角形的三边关系 ................................................108 突破题型四三角形的内角和 ..................................................109 突破题型五三角形的分类 ....................................................111 突破题型六等腰三角形和等边三角形的认识及特征 ..............................113 突破题型七平行四边形的概念及特点 ..........................................115 突破题型八平行四边形的不稳定性及应用 ......................................116 突破题型九梯形的概念及特点 ................................................117 突破题型十平行四边形的周长的计算及实际应用 ................................118 突破题型十一梯形的周长的计算及实际应用 ....................................119 突破题型十二画三角形的高 ..................................................121 突破题型十三画三角形 ......................................................122 突破题型十四画平行四边形的高 ..............................................124 突破题型十五画平行四边形 ..................................................125 突破题型十六画梯形的高 ....................................................126 突破题型十七画梯形 ........................................................127 突破题型十八多边形的内角和 ................................................129 专题八确定位置 ............................................................... 131 突破题型一用数对表示位置 ..................................................131 突破题型二根据数对找位置 ..................................................133 突破题型三和数对相关的平移问题 ............................................136 突破题型四和数对相关的旋转或轴对称问题 ....................................139 突破题型五和数对相关的路线图问题 ..........................................141 突破题型六和数对相关的图上基础行程问题 ....................................143 突破题型七和数对相关的象棋走法 ............................................147 5 / 151 专题一平移、旋转和轴对称 突破题型一判断平移的格数 1．移一移，填一填。 向下平移( )格 向( )平移( )格 向( )平移( )格 【答案】4 右 7 左 6 【分析】要想知道一个图形平移的方向和距离，只需要找到图形中的一个关键点，找出这个关 键点平移的方向和距离即可。 （1）由图可知，原图形向下平移了 4格。 （2）由图可知，原图形向右平移了 7格。 （3）由图可知，原图形向左平移了 6格。 【解答】 向下平移 4格 向右平移 7格 向左平移 6格。 2．在下图中，将长方形 A向( )平移( )格就能变成一个正方形。 6 / 151 【答案】下 4 【分析】决定平移后图形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距离；正方形的四条边 都相等，四个角都是直角，依此解答。 【解答】 如图 ，将长方形 A向下平移 4格就能变成一个正方形。 3．看图填一填。 (1)图①先向( )平移了( )格，再向( )平移了( )格。 (2)图②先向( )平移了( )格，再向( )平移了( )格。 【答案】(1)下 4 右 6 (2)上 4 左 5 【分析】（1）首先找出图①的某个点和平移后的对应点，然后判断出移动的方向和格数即可。 （2）首先找出图②的某个点和平移后的对应点，然后判断出移动的方向和格数即可。 【解答】（1）图①先向下平移了 4格，再向右平移了 6格。 （2）图②先向上平移了 4格，再向左平移了 5格。 【点评】此题主要考查了平移的特征和应用，要熟练掌握，注意平移的方向和格数。 7 / 151 4． (1)平移过程中，图形的( )和( )都不会发生改变。 (2)图形 B向( )平移( )格，再向( )平移( )格，就能与图形 A拼成一个完整的图形了。 【答案】(1)形状 大小 (2)左 3 上 1 【分析】（1）平移是指在同一个平面内，如果一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相 同距离的移动，那么这样的图形运动就叫做图形的平移运动，简称平移，平移不改变图形的形 状和大小，依此填空。 （2）先找出构成图形的关键点，再确定平移方向和平移距离即可，依此填空。 【解答】（1）平移过程中，图形的形状和大小都不会发生改变。 （2）根据分析可知，图形 B向左平移 3格，再向上平移 1格，就能与图形 A拼成一个完整的 图形了。（答案不唯一） 【点评】熟练掌握平移图形的方法是解答此题的关键。 突破题型二旋转三要素及旋转 5．看图填空。 钟面上的时针从 6：00 到 9：00 旋转了( )°。 8 / 151 【答案】90 【分析】钟面上一共 12 个大格，每个大格对应的度数是 30°；由题意得，6：00 时，时针指 向数字 6；9：00 时，时针指向数字 9。从 6：00 到 9：00，时针走过了 3个大格。每个大格对 应的度数是 30°，直接用 30°乘 3即可算出时针一共旋转了多少度。 【解答】9－6＝3（大格） 30°×3＝90° 钟面上的时针从 6：00 到 9：00 旋转了 90°。 6．观察图，从图①到图②，三角形绕点 O( )时针旋转( )°。 【答案】顺 90 【分析】根据旋转图形的意义，一个图形绕某点顺时针（或逆时针）旋转一定的角度，某点的 位置不动，其余各部分均绕此点按相同的方向旋转相向的角度，图②在图①的下方，对应的两 条边互相垂直，据此填空即可。 【解答】从图①到图②，三角形绕点 O顺时针旋转 90°。 7．体育老师发出口令“向右转”，你的身体需按( )方向旋转( )°。 【答案】顺时针 90 【分析】一个图形绕着某点沿某个方向转动一个角度的图形运动叫做旋转；与时针旋转方向相 同的是顺时针，与时针旋转方向相反的是逆时针；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋 转角；结合实际可知：向左或向右转都是旋转了 90°，向后转是旋转了 180°；向左是逆时针， 向右是顺时针，据此解答即可。 【解答】根据解析可知，体育老师发出口令“向右转”，你的身体需按顺时针方向旋转 90°。 8．“六一”儿童节那天，果果 7：30 起床，7：45 跟爸爸妈妈一起出发前往植物园游玩，这 段时间里分针按( )方向旋转了( )度。果果下午到家，发现时针从 7：45 起正好按顺时针方向旋转了 180 度，分针又转回了原来的位置，果果到家的时间是 ( )。（用 24 时计时法表示） 9 / 151 【答案】顺时针 90 13：45 【分析】将简单图形平移或旋转一定的度数；7：30 到 7：45，分针转了 15 分，转了 3大格， 1大格是 30 度，3大格是 90 度；时针从 7：45 起正好按顺时针方向旋转了 180 度，也就是经 过了 6小时，分针又转回了原来的位置，即回到 45 分的位置，据此可解此题。 【解答】7：45－7：30＝15（分钟） 15 分钟对应 3大格 3×30＝90（度） 故 15 分钟，分针按顺时针方向旋转了 90 度 7：45＋6 小时＝13：45 综上可知，“六一”儿童节那天，果果 7：30 起床，7：45 跟爸爸妈妈一起出发前往植物园游 玩，这段时间里分针按顺时针方向旋转了 90 度。果果下午到家君钟面，发现时针从 7：45 起 正好按顺时针方向旋转了 180 度，分针又转回了原来的位置，果果到家的时间是 13：45。 突破题型三判断轴对称的数量 9．下面三幅图都是由 2个圆组合成的，对称轴最多的是( )，对称轴最少的是 ( )。 【答案】① ② 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形， 折痕所在的直线就是对称轴；据此解答。 【解答】根据分析：观察发现①有无数条对称轴，②有 1条对称轴，③有 2条对称轴，所以对 称轴最多的是①，对称轴最少的是②。 10．下图中共有( )条对称轴。 【答案】2 10 / 151 【分析】轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形 叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可。 【解答】该图形共有 2条对称轴，如下图所示： 【点评】掌握轴对称图形的意义，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿一条 直线对折后两部分能否完全重合。 11．下图中，图①有( )条对称轴，图②有( )条对称轴，图③有( ) 条对称轴，图④有( )条对称轴。 【答案】4 2 1 3 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形， 折痕所在的直线就是对称轴，据此确定对称轴的数量。 【解答】 图①有 4条对称轴，图②有 2条对称轴，图③有 1条对称轴，图④有 3条对称轴。 12．填空。 11 / 151 (1)只有一条对称轴的图形有( )； (2)共有两条对称轴的图形有( )； (3)共有四条对称轴的图形有( )。 【答案】(1)③、⑤ (2)①、④ (3)② 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形， 折痕所在的直线就是对称轴。 【解答】（1）只有一条对称轴的图形有③、⑤； （2）共有两条对称轴的图形有①、④； （3）共有四条对称轴的图形有②。 突破题型四作平移后的图形 13．画出平行四边形向下平移 3格后的图形。 【答案】见详解 【分析】作平移后的图形步骤：找点（找出构成图形的关键点）；定方向、距离（确定平移方 向和平移距离）；定点（由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置）；连点（顺次连接 各个对应点）。 【解答】 12 / 151 14．按要求画出平移后的图形。 【答案】见详解 【分析】把图中图形的各个顶点分别向右平移 9格，然后顺次把各个顶点连接起来即可得到平 移 9格后的图形。再把平移后的图形的各个顶点分别向下平移 6格，然后顺次把各个顶点连接 起来即可得到再平移 6格后的图形，据此作图即可解答。 【解答】 15．把下面方格图中的三角形向右平移 10 格，画出平移后的图形。 13 / 151 【答案】见详解 【分析】将三角形三个顶点向右平移 10 格，将平移后的点顺次相连，即可得到平移后的三角 形。 【解答】 【点评】作平移后的图形，把握好平移方向及平移的格数。 16．画出下图的轴对称图形，并整体向右平移 8格。 【答案】见详解 【分析】（1）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点， 再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 （2）作平移后的图形的方法：找出构成图形的关键点，过关键点沿平移方向画出平行线，由 平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，再依据图形的形状顺次连接各对应点，画出最 终的图形。 14 / 151 【解答】 【点评】补全轴对称图形和作平移后图形时，确定图形的关键点及对称点或对应点是解决本题 的关键。 突破题型五作旋转后的图形 17．画出长方形绕点 A顺时针旋转 90°后的图形。 【答案】见详解 【分析】作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角； 分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出 各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 【解答】 15 / 151 18．（1）画出三角形绕点 A顺时针旋转 90°后的图形。 （2）画出长方形向左平移 6后格的图形。 【答案】（1）画图见详解 （2）画图见详解 【分析】（1）先找到三角形以点 A为顶点的两条边，并分别把两条边沿顺时针方向（即向右） 旋转 90°，也就是画出分别与这两条边向右呈直角的且长度相等的线段，再把画出的两条线 段的另一个端点连接起来，即把三角形绕点 A顺时针旋转了 90°； （2）把已知长方形的 4个顶点分别向左平移 6格，再把平移后的 4个点顺次连接进来，即画 出了把长方形向左平移 6格的图形。据此解答。 【解答】根据分析，画图如下： 19．（1）将下图中三角形先向右平移 5格，再向下平移 6格。 （2）将下图中梯形沿 A点顺时针旋转 90 度。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 16 / 151 【分析】（1）图形平移的方法是点对点平移，把三角形的各顶点先向右平移 5格，再向下平 移 6格，依次连接各点，即可画出平移后的图形。 （2）根据旋转的特征，这个梯形绕点 A顺时针旋转 90°后，点 A位置不动，其余各部分均绕 此点按相同方向旋转相同的度数，即可画出旋转后的图形。 【解答】（1）、（2）如图： 20．按要求画出下面图形。 （1）将①号图形向下平移 2格。 （2）把②号图形绕点 A顺时针旋转 90°。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）物体平移的方法是点对点平移，把①号图形的各顶点向下平移 2格，再依次连 接各点。 （2）根据旋转的特征，这个图形绕点 A顺时针旋转 90°后，点 A位置不动，其余各部分均绕 此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 17 / 151 【解答】 【点评】平移作图要注意平移方向和平移距离，旋转作图要注意旋转方向和旋转角度。 突破题型六补全轴对称图形 21．分别画出图形的另一部分，使它成为一个轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称 图形，这条直线就是对称轴。 【解答】如图： 22．在下面每个图形中涂一个小方格，使涂色部分成为一个轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】轴对称图形是指在平面图内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重 合的图形。先找出对称轴，然后画出对应的图形即可。 18 / 151 【解答】如下图： 23．画出下面图①的另一半，使它成为一个轴对称图形，画出图②的对称轴。 【答案】见详解 【分析】补全轴对称图形的方法： （1）确定所给图形的关键点，也就是图形上每条线段的端点； （2）确定关键点的对称点（对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对 称轴的另一边画出图形的关键对称点。）； （3）把描出的对称点按顺序连线，得到轴对称图形的另一半。 轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对 称图形，这条直线叫做对称轴。 【解答】 19 / 151 24．将三角形围绕O点逆时针旋转90，画出旋转后的图形。画出第二个图形的另一半，使它 成为一个轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】（1）作旋转一定角度后的图形的方法：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，找出 构成图形的关键点，按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点，顺次连接作出的各点即 可。 （2）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据 图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 【解答】作图如下： 【点评】作旋转后图形和补全轴对称图形时，确定图形的关键点及对称点或对应点是解决本题 的关键。 突破题型七综合作图（平移、旋转和轴对称） 25．按要求在方格纸上画一画。 （1）把平行四边形向下平移 4格。 20 / 151 （2）把梯形绕点 A逆时针旋转 90 度。 （3）画出最后一个图形的另一半，使它成为轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】（1）根据平移的特征，把图形平行四边形的各顶点分别向下平移 4格，依次连结即 可得到向下平移 4格后的图形； （2）根据旋转的特征，梯形绕点 A逆时针旋转 90°，点 A的位置不动，其余各部分均绕此点 按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形； （3）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在 对称轴的左边画出右图的关键对称点，依次连结即可。 【解答】（1）（2）（3）如图所示： 26．按要求完成下面各题。 （1）把平行四边形向右平移 8格，画出平移后的图形。 （2）画出左下方图形的另一半，使它成为轴对称图形。 （3）把三角形绕点 A顺时针旋转 90 度。 21 / 151 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）把平行四边形的四个顶点作为关键点，把关键点都向右平移 8格，然后得到平 移后的对应点，最后把对应点连接起来即可。 （2）把该图形每条线段的端点作为关键点，根据“轴对称图形两个对称点的连线垂直于对称 轴，且这两个点到对称轴的距离相等”找到关键点的对称点，最后把对称点连接起来即可。 （3）把这个三角形的两条直角边作为关键线段，两条边分别绕点 A顺时针旋转 90°得到对应 线段，再将对应线段的端点连接起来即可。 【解答】（1）把平行四边形向右平移 8格，得到的图形如下图： 22 / 151 （2）这个轴对称图形如下图： （3）把三角形绕点 A顺时针旋转 90°，得到的图形如下图： 【点评】图形作平移、旋转、轴对称变换时，应先找到关键点或关键边，再作相对应的运动。 27．（1）画出下面三角形围绕点 A逆时针旋转 90°后的图形； （2）把平行四边形先向右平移 5格，再向上平移 3格，画出平移后的图形； （3）将下表中的图 B添上一个小方格使它成为一个轴对称图形。 【答案】见详解 【分析】（1）作旋转后图形的方法：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角度，找出构成图形 的关键点，按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点，顺次连接作出的各点即可。 23 / 151 （2）作平移后图形的方法：找出构成图形的关键点，过关键点沿平移方向画出平行线，由平 移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，再依据图形的形状顺次连接各对应点，画出最终 的图形。 （3）一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。 根据轴对称图形的定义作图即可。 【解答】（1）旋转后的三角形如图所示； （2）平移后的平行四边形如图所示； （3）使图 B成为一个轴对称图形有三种添加方法，分别在图中 1、2、3的位置。（画出一种 即可） 28．操作。 （1）画出①号图形向下平移 5格，再向右平移 6格后的图形。 （2）画出②号图形绕点 A顺时针旋转 90°后的图形。 （3）画出③号图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解 【分析】（1）这是一个四边形，先将图形的 4个顶点向下平移 5格，画出图形，再将平移后 的图形继续向右平移，找到 4个顶点向右平移 6格后的位置，再把 4个顶点顺次相连即可。 24 / 151 （2）与时针旋转方向相同的方向叫顺时针，先画出这个直角三角形较短的一条直角边旋转之 后的图形，再画出直角三角形中最长的边旋转后的图形，最后把这两条线段的另外一个端点相 连即可。 （3）分别画出图中对称轴右侧 3个顶点的对称点，再按照对称轴右边图形的连接方式将其连 接，使得这个图形沿着对称轴折叠，对称轴两侧的图形能够完全重合。 【解答】（1）（2）（3）如图： 突破题型八运用平移、旋转和轴对称设计图案 29．利用方格中的图形按要求设计图案。 用旋转的方式设计。 【答案】见详解 【分析】决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针）， 三是旋转角度。物体或图形旋转后，它们的形状、大小都不改变，只是位置发生了变化。据此 作图即可。 【解答】根据分析，作图如下： 25 / 151 （画法不唯一） 30．利用轴对称变换设计出一幅美丽的图案。 【答案】见详解 【分析】轴对称图形的概念：一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合；据此解答。 【解答】根据分析如图： （答案不唯一） 31．在右面的两个图中用圆规和三角尺绘出左面两个美丽的图案。 【答案】见详解 【分析】第一个图形是以正方形的四个顶点为圆心，以正方形的边长为半径，在正方形内作弧 即可作出；第二个图以圆的直径与圆上的交点为圆心，以圆的半径为半径即可 【解答】 26 / 151 32．照样子继续画下去，形成一幅美丽的图案，并涂上你喜欢的颜色。 【答案】图见详解 【分析】根据平移的性质，把图形向右、向下平移，并保留原图形，然后涂色即可。 【解答】作图如下： 专题二认识多位数 突破题型一数十万以内的数 1．一个一个地数，10998 接着往后写两个数：( )、( )。 【答案】10999 11000 【分析】根据自然数的排列规律，相邻的自然数相差 1，据此解答即可。 【解答】一个一个地数，10998 接着往后写两个数是：10999、11000。 【点评】此题考查的目的是理解掌握自然数的排列规律及应用。 2．与 11 万相邻的两个数分别是( ) 和( ) 。 【答案】109999 110001 【分析】根据相邻的两个自然数相差 1，进行解答即可。 【解答】11 万＝110000 110000－1＝109999 27 / 151 110000＋1＝110001 【点评】本题考查的是自然数的认识，根据自然数排列的顺序进行解答即可，要注意“相邻两 个数”其中一个数比 11 万小 1，一个数比 11 万大 1。 3．写出下面各数相邻的两个数。 ( )、72699、( ) ( )、40000、( ) 【答案】72698 72700 39999 40001 【分析】根据题意，要写出相邻的两个数，则前面的数比已知数小 1，用中间的数减 1即可求 出前面的数，用中间的数加 1即可求出后面的数，据此填空即可。 【解答】72699－1＝72698，72699＋1＝72700 40000－1＝39999，40000＋1＝40001 72698、72699、72700；39999、40000、40001。 4．比最大的五位数多 1的数是( )，最小的六位数与最大的五位数相差( )。 【答案】100000 1 【分析】根据题意，最大的五位数即 5个数位上都是 9，即 99999，比 99999 多 1 的数，即是 数数时在 99999 后面一个数字，也可用 99999 加 1，即 100000；最小的六位数即最高位是 1， 后面 5个数位都是 0，即 100000，最大的五位数是 99999，它们是两个相邻的自然数，它们相 差 1，也可以把它们相减。据此解答。 【解答】根据分析可知： 99999＋1＝100000 100000－99999＝1 所以，比最大的五位数多 1的数是 100000，最小的六位数与最大的五位数相差 1。 突破题型二亿以内数的读写 5．一个数由 8个百万、4个万、7个百和 9个一组成，这个数写作( )。 【答案】8040709 【分析】一个数由 8个百万、4个万、7个百和 9个一组成，说明这个数的百万位上是 8，万 位上是 4，百位上是 7，个位上是 9，其他数位上是 0，写数时，从高位到低位，一级一级地写， 哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写 0，据此此写出这个数。 【解答】一个数由 8个百万、4个万、7个百和 9个一组成，这个数写作 8040709。 6．75402509 是一个( )位数，最高位是( )位，这个数读作( )。 28 / 151 【答案】八 千万 七千五百四十万二千五百零九 【分析】 75402509 是一个八位数， 如图，八位数的最高位是千万位，大数的读 法通常从高位（即数的最左边）开始读起。从右向左，每四位为一级，即个位、十位、百位、 千位为个级，万位、十万位、百万位、千万位为万级，以此类推。按级加字：读万级时，按照 个级的读法来读，读完万级后加上一个“万”字。0的读法：每级末尾不管有几个 0都不读， 每级中间不管连续有几个 0都只读一个 0。 【解答】75402509 是一个八位数，最高位是千万位，这个数读作：七千五百四十万二千五百 零九。 7．太阳中心的温度约是一千五百万摄氏度，横线上的数写作( )。太阳与水星的距离 约是 57910000 千米，横线上的数读作( )。 【答案】15000000 五千七百九十一万 【分析】整数的读法：从高位读起，先读亿级，再读万级，最后读个级；读亿级和万级时按读 个级的方法来读，读完亿级后加上一个“亿”字，读完万级后加上一个“万”字；每级末尾不 管有几个 0都不读，每级中间和前面有一个或连续几个 0，都只读一个 0，据此读数。 整数的写法，从高位到低位，一级一级的写；亿级的数有三级，要先写亿级，再写万级，最后 写个级；万级的数只有两极，要先写万级，再写个级；哪一个数位上一个单位也没有，就在那 个数位上写 0，依此写数；据此解答。 【解答】太阳中心的温度约是一千五百万摄氏度，横线上的数写作 15000000。太阳与水星的 距离约是 57910000 千米，横线上的数读作五千七百九十一万。 8．读出横线上的数。 《西游记》是四大名著之一，是由明代小说家吴承恩所完善的中国古代第一部浪漫主义章回体 长篇神魔小说，主要描写的是唐僧师徒西行取经的故事。全书约 706527 字。横线上的数读作 ( )。 【答案】七十万六千五百二十七 29 / 151 【分析】大数的读法：从最高位读起，一级一级地往下读；读亿级或万级的数时，先按照个级 的数的读法来读，再在后面读出“亿”或“万”；每级末尾不管有几个 0都不读出来；每级中 间或开头有一个 0或连续几个 0，都只读一个 0。 【解答】由分析可知： 全书约 706527 字。横线上的数读作七十万六千五百二十七。 突破题型三亿以内数的组成 9．一万一万地数，九十七万后面接着数是( )万、( )万和( )万。 【答案】九十八 九十九 一百 【分析】一万一万地数，也就是后面的数比前面的数多一万，据此即可解答。 【解答】一万一万地数，九十七万后面接着数是九十八万、九十九万和一百万。 10．四十六万零五十八是由( )个万和( )个一组成的；八千万八千是由 ( )个万和( )个一组成的。 【答案】46 58 8000 8000 【分析】多位数的组成：从右边起每四个数位为一级，分别是个级，万级，亿级等，四十六万 零五十八的万级是 46 就有 46 个万，个级是 58 就有 58 个一；八千万八千的万级是 8000 就有 8000 个万，个级是 8000 就有 8000 个一。 【解答】由分析可知，四十六万零五十八是由 46 个万和 58 个一组成的；八千万八千是由 8000 个万和 8000 个一。 11．3 个千万、2个万和 7个一组成的数是( )。 【答案】30020007 【分析】数位顺序表中，从个位起向左数，依次是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、 百万位、千万位、亿位……计数单位依次是个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿…… 据此可知，3个千万、2个万和 7个一组成的数是 30020007。 【解答】由分析可知，3个千万、2个万和 7个一组成的数是 30020007。 12．26070500 是由( )个万和( )个一组成的。 【答案】2607 500 【分析】26070500 的分为万级和个级，万级里面的数位有千万位，百万位，十万位，万位； 个级里面的数位有：千位，百位，十位，个位。26070500 各个数位上的数如下表所示： 30 / 151 因此 26070500 是由 2607 个万和 500 个一组成。据此解答即可。 【解答】26070500 是由 2607 个万和 500 个一组成。 突破题型四整数的数级、数位及计数单位的认识 13．用下面八张卡片摆出符合要求的八位数。（至少写一个） 只读一个“零”：( )； 读出两个“零”：( )； 读出三个“零”：( )； 一个“零”都不读出来：( )。 【答案】60732000 60730200 60070302 67320000 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每级末尾的 0都不读出来，其他数位有 一个零或连续几个 0都只读一个“零”。 （1）只读一个“零”，可以把一个 0放在万级且不是万级的末尾，其余 3个 0放在个级的末 尾，这样就只读出一个“零”； （2）读出两个“零”，可以把一个 0放在万级且不是万级的末尾，一个 0放在个级的首位， 其余 2个 0放在个级的末尾，这样就读出两个“零”； （3）读出三个“零”，可以把两个连续的 0放在万级且不是万级的末尾，一个 0放在个级的 首位，百位上放一个非 0数，十位上放一个 0，个位上再放一个非 0数，这样就读出三个“零”； （4）一个“零”都不读出来，把 4个 0都放在数的末尾，这样就一个“零”都不读出来。 【解答】只读一个“零”：60732000； 读出两个“零”：60730200； 读出三个“零”：60070302； 一个“零”都不读出来：67320000。 （答案不唯一） 14．29009070945 最左边上的“9”表示 9个( )，中间的“9”表示 9个( )， 最右边的“9”表示 9个( )，最左边的“9”是最右边的( )倍。