（期末复习讲义）常考知识点典例精讲（七大专题25类典型例题）-2024-2025学年五年级下册数学期末备考总复习（苏教版）

1 / 44 2024-2025 学年五年级下册数学期末备考总复习 常考知识点典例精讲（七大专题 25 类典型题） 2 / 44 目录 专题一简易方程 ................................................................. 3 【考点一】等式与方程 ........................................................3 【考点二】等式的性质（一）和解方程 ..........................................4 【考点三】等式的性质（二）和解方程 ..........................................5 【考点四】列方程解决问题 ....................................................7 专题二折线统计图 ............................................................... 8 【考点一】单式折线统计图 ....................................................8 【考点二】复式折线统计图 ...................................................11 专题三因数与倍数 .............................................................. 13 【考点一】因数与倍数 .......................................................13 【考点二】2、5和 3的倍数的特征 ............................................ 14 【考点三】质数和合数 .......................................................15 【考点四】公因数和最大公因数 ...............................................16 【考点五】公倍数和最小公倍数 ...............................................17 专题四分数的意义和性质 ........................................................ 19 【考点一】分数的意义 .......................................................19 【考点二】分数与除法 .......................................................21 【考点三】真分数、假分数及带分数的认识和互化 ...............................22 【考点四】分数的基本性质、约分及应用 .......................................24 【考点五】通分、分数的大小比较 .............................................26 专题五分数加法和减法 .......................................................... 27 【考点一】异分母分数加减法 .................................................27 【考点二】分数混合运算 .....................................................29 专题六圆 ...................................................................... 31 【考点一】圆的认识 .........................................................31 【考点二】扇形的认识 .......................................................33 【考点三】圆的周长 .........................................................35 【考点四】圆的面积 .........................................................36 3 / 44 【考点五】圆环及组合图形的面积 .............................................38 专题七解决问题的策略 .......................................................... 41 【考点一】用转化的策略解决问题 .............................................41 【考点二】用转化的策略解决特殊的计算问题 ...................................42 专题一简易方程 【考点一】等式与方程 【典例一】把数量关系式填写完整。 果园里有 85 棵梨树，比桃树的 4倍少 18 棵。果园里有多少棵桃树？ ( )×4－18＝( )。 【分析】已知梨树有 85 棵，比桃树的 4倍少 18 棵，也就是桃树的棵数的 4倍减去 18 棵，就 是梨树的棵数，据此得出数量关系。 【解答】数量关系式： 桃树的棵数×4－18＝梨树的棵数 【典例二】猎豹追捕猎物时的速度大约是优秀短跑运动员百米赛跑速度的 3倍，每秒大约比运 动员多跑 20 米。优秀短跑运动员每秒大约跑多少米？猎豹呢？ 从以上条件中，可以找到两个等量关系式，分别是：①( )②( )。 如果设( )每秒大约跑 x米，就可以列出方程：( )。 【分析】根据题意，可以找到两个等量关系式，分别是：①优秀运动员的百米速度 3 猎豹的 速度 ②猎豹的速度短跑运动员的速度 20 米（答案不唯一） 如果设优秀短跑运动员每秒大约跑 x米，据此列方程解答。 【解答】两个等量关系式，分别是： ①优秀运动员的百米速度×3＝猎豹的速度 ②猎豹的速度－短跑运动员的速度＝20 米（答案 不唯一） 如果设优秀短跑运动员每秒大约跑 x米，就可以列方程： 3 20x x  或 20 3x x  【典例三】下面式子中，是方程的有( )。（填序号） ① 2.4 5y   ②25 x ③5.4 1.7 7.1  4 / 44 ④5 26n  ⑤ 2 0.5 5y y  ⑥40 15x  【分析】含有未知数的等式叫做方程；据此解答。 【解答】① 2.4 5y   ，既含有未知数，又是等式，所以是方程； ②25 x ，含有未知数，但不是等式，所以不是方程； ③5.4 1.7 7.1  ，是等式，但不含未知数，所以不是方程； ④5 26n  ，含有未知数，但不是等式，所以不是方程； ⑤ 2 0.5 5y y  ，既含有未知数，又是等式，所以是方程； ⑥40 15x  ，既含有未知数，又是等式，所以是方程。 综上所述，是方程的有①⑤⑥。 【考点二】等式的性质（一）和解方程 【典例一】如果 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ， ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ，那么 1个 和（ ）个 相等。 【分析】 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ，等式的两边同时减去两个 ，可以得 到 ＝ ＋ ＋ ，然后将 ＝ ＋ ＋ 代入 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 中，得到 ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ，即 1个 和 6个 相等。 【解答】由分析可知： 如果 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ， ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ，那么 1个 和 6个 相等。 【典例二】组装车间要装配两轮电动车和三轮电动车共 21 辆，需要 51 个轮胎。装配两轮电动 车（ ）辆，三轮电动车（ ）辆。 【分析】根据题意可知，每辆两轮电动车有 2个轮胎，每辆三轮电动车有 3个轮胎；根据“两 轮电动车和三轮电动车共 21 辆”，可以设三轮电动车有 x辆，则两轮电动车有（21－ x）辆。 等量关系：三轮电动车的辆数×3＋两轮电动车的辆数×2＝两轮电动车和三轮电动车轮胎的总 数，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设三轮电动车有 x辆，则两轮电动车有（21－ x）辆。 5 / 44 3 x＋2（21－ x）＝51 3 x＋42－2 x＝51 x＋42＝51 x＋42－42＝51－42 x＝9 21－9＝12（辆） 装配两轮电动车 12 辆，三轮电动车 9辆。 【点评】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。也可以用 鸡兔同笼的假设法解答。 【典例三】小明今年 10 岁，爷爷年龄比爸爸年龄的 2倍少 8岁，妈妈比小明大 26 岁，爷爷年 龄比小明年龄的 7倍少 2岁。爷爷多少岁？（先写出等量关系式，再列方程解答） 等量关系式：（ ） 【分析】根据题意，爷爷年龄比小明年龄的 7倍少 2岁，由此可以列出等量关系式为：爷爷的 年龄＋2＝小明今年的年龄×7，由此我们可以设爷爷今年 x岁，根据等量关系式，列出方程， 解出方程即可。 【解答】等量关系式：（爷爷年龄＋2岁＝小明年龄×7） 解：设爷爷 x岁。 x＋2＝7×10 x＋2＝70 x＋2－2＝70－2 x＝68 答：爷爷 68 岁。 【考点三】等式的性质（二）和解方程 【典例一】图中的天平都处于平衡状态，则 4○＝（ ）W 。 【分析】观察左边图可知，2○＝3△，根据等式的性质 2，方程两边同时乘或除以一个不为 0 的数，等式不变；两边同时乘 2；2×2○＝3×2△，即 4○＝6△； 右边图可知，2△＝3□，根据等式的性质 2，等式两边同时乘 3；2×3△＝3×3□，即 6△＝9 6 / 44 □，据此解答。 【解答】2○＝3△ 2×2○＝3×2△ 4○＝6△ 2△＝3□ 2×3△＝3×3□ 6△＝9□ 4○＝9□ 图中的天平都处于平衡状态，则 4○＝9□。 【典例二】小刚和小强同时从同一点出发，沿着 400 米环形跑道向相反方向慢跑，小刚每分钟 跑 95 米，小强每分钟跑 105 米。几分钟后两人第一次相遇？ 【分析】根据相遇问题的公式可得出等量关系：（小刚的速度＋小强的速度）×相遇时间＝路 程，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设 x分钟后两人第一次相遇。 （95＋105） x＝400 200 x＝400 200 x÷200＝400÷200 x＝2 答：2分钟后两人第一次相遇。 【典例三】妈妈从网上购买了 3瓶防晒喷雾，除了购买防晒喷雾的钱，还需要再付 6元运费， 一共付款 192 元。平均每瓶防晒喷雾多少元？（用方程解答） 【分析】设平均每瓶防晒喷雾 x元。依据等量关系式：平均每瓶防晒喷雾的单价×瓶数＝共支 付的钱数－运费，据此列方程，解方程。 【解答】解：设平均每瓶防晒喷雾 x元。 7 / 44 3x＝192－6 3x＝186 3x÷3＝186÷3 x＝62 答：平均每瓶防雾 62 元。 【考点四】列方程解决问题 【典例一】九九重阳节那天，幸福小学五年级有 180 人参加“敬老爱老”活动，比四年级参加 活动人数的 2倍少 20 人，四年级参加活动的有多少人？（用方程解答） 【分析】四年级参加活动人数×2－20 人＝五年级参加活动人数。设四年级参加活动的有 x人， 根据此等量关系式列出方程并解方程即可。 【解答】解：设四年级参加活动的有 x人。 2x－20＝180 2x－20＋20＝180＋20 2x＝200 2x÷2＝200÷2 x＝100 答：四年级参加活动的有 100 人。 【典例二】某学校有教师 72 人。其中女教师人数是男教师的 5倍，学校男教师和女教师各多 少人？（用方程解答） 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，设男教师有 x人，则女教师有 5x 人，根据男教师人 数＋女教师人数＝总人数，列出方程求出 x的值是男教师人数，总人数－男教师人数＝女教师 人数。 【解答】解：设学校男教师有 x人。 x＋5x＝72 6x＝72 6x÷6＝72÷6 x＝12 72－12＝60（人） 答：学校男教师和女教师各 12 人、60 人。 8 / 44 【典例三】成都与重庆相距 300 千米，一辆货车从成都开往重庆，一辆轿车从重庆开往成都， 货车每时行驶 60 千米，2时后，两车相距 30 千米，轿车每时行驶多少千米？ 【分析】设轿车每时行驶 x多少千米，根据等量关系：成都与重庆的路程＝30 千米＋货车 2小 时行的路程＋轿车 2小时的路程，列出方程求解即可。 【解答】解：设轿车每时行驶 x多少千米。 30＋60×2＋2 x＝300 30＋120＋2 x＝300 150＋2 x＝300 150＋2 x－150＝300－150 2 x＝150 2 x÷2＝150÷2 x＝75 答：轿车每时行驶 75 千米。 专题二折线统计图 【考点一】单式折线统计图 【典例一】下图是王阿姨元旦期间开车从金华回老家 C市过年的过程。下面说法错误的是（ ）。 A．开车 4小时后休息了 1个小时 B．8时~9 时，汽车行驶了 255 千米 C．金华到老家 C市相距 640 千米 D．9时~10 时汽车的速度最快 【解题思路】由折线统计图可知，横轴表示时间，纵轴表示路程，单位长度表示 100 千米，折 线越陡汽车速度越快，折线越缓汽车速度越慢； （1）当折线平行于横轴时，汽车行驶路程不变，此时间段为休息时间； （2）9时汽车行驶了 180 千米，8时汽车行驶了 75 千米，8时~9 时，汽车一共行驶了（180 －75）千米； 9 / 44 （3）15 时汽车行驶的路程就是金华到老家 C市的总路程； （4）根据“速度＝路程÷时间”分别求出汽车每小时行驶的路程，最后比较大小，据此解答。 【详细解答】A．11 时－7时＝4（小时） 12 时－11 时＝1（小时） 所以，7时~11 时汽车行驶了 4小时，11 时~12 时休息了 1个小时。 B．180－75＝105（千米） 所以，8时~9 时，汽车行驶了 105 千米。 C．由折线统计图可知，7时出发，15 时到达目的地，一共行驶了 640 千米，所以金华到老家 C市相距 640 千米。 D．7时~8 时：（75－0）÷1＝75（千米/时） 8时~9 时：（180－75）÷1＝105（千米/时） 9时~10 时：（300－180）÷1＝120（千米/时） 10 时~11 时：（410－300）÷1＝110（千米/时） 11 时~12 时：（410－410）÷1＝0（千米/时） 12 时~13 时：（500－410）÷1＝90（千米/时） 13 时~14 时：（580－500）÷1＝80（千米/时） 14 时~15 时：（640－580）÷1＝60（千米/时） 因为 120＞110＞105＞90＞80＞75＞60＞0，所以 9时~10 时汽车的速度最快。 故答案为：B 【考点点评】理解并掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息解决有关 实际问题是解答题目的关键。 【典例二】王叔叔参加了一项自行车赛，如图显示了他比赛时的情况。 （1）这项自行车赛的全程是（ ）千米； （2）他骑行前 30 千米用了（ ）分钟。 10 / 44 【解题思路】（1）由图可知，横轴表示时间，时间由 0增加到 140 分；纵轴表示路程，路程 由 0增加到 40 千米，因此可以得到这项自行车全程是 45 千米。 （2）问骑行前 30 千米所用的时间，由图可知，当路程为 30 千米时，对应的横轴上的时间是 80 分钟。 【详细解答】（1）这项自行车赛的全程是 40 千米； （2）他骑行前 30 千米用了 80 分钟。 【典例三】下面是博库书城一周的图书借阅情况。 博库书城一周图书借阅情况统计图 （1）星期（ ）图书借阅的数量最多，是（ ）本，星期（ ） 图书借阅的数量最少，是（ ）本。 （2）星期三和星期六图书借阅的数量相差（ ）本。 （3）星期（ ）到星期（ ）图书借阅的数量上升的幅度最大，星期 （ ）到星期（ ）图书借阅的数量下降的幅度最大。 【解题思路】（1）根据统计图可知，星期日图书借阅的数量最多，是 1200 本，星期二图书借 阅的数量最少，是 600 本； （2）用星期六图书借阅的数量减去星期三的图书借阅的数量解答即可； （3）根据统计图可知，星期六到星期日图书借阅的数量上升的幅度最大；星期一到星期二图 书借阅的数量下降的幅度最大。 【详细解答】（1）（1）星期日图书借阅的数量最多，是 1200 本，星期二图书借阅的数量最 少，是 600 本。 （2）850－700＝150（本） 11 / 44 星期三和星期六图书借阅的数量相差 150 本。 （3）星期六到星期日图书借阅的数量上升的幅度最大；星期一到星期二图书借阅的数量下降 的幅度最大。 【考点点评】本题考查了折线统计图的分析和整理知识，结合题意分析解答即可。 【考点二】复式折线统计图 【典例一】根据统计图，填一填。 （1）甲饭店第（ ）季度的营业额最高，乙饭店第（ ）季度的营业额最高。 （2）第（ ）季度两饭店的营业额相差最大。 （3）你认为（ ）饭店的营业额越来越好，生意越来越红火。 【解题思路】（1）实线表示甲饭店数据，虚线表示乙饭店数据，数据点位置越高表示营业额 越高，据此填空。 （2）同一季度，两数据点相距越远表示相差越大，据此分析。 （3）折线往上表示上升趋势，说明营业额越来越好；折线往下表示下降趋势，说明营业额越 来越差，据此分析。 （1）甲饭店第四季度的营业额最高，乙饭店第二季度的营业额最高。 （2）第四季度两饭店的营业额相差最大。 （3）甲饭店营业额一直呈现上升趋势，甲饭店的营业额越来越好，生意越来越红火。 【考点点评】折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示数量的增减 变化情况。复式折线统计图表示 2个及以上的量的增减变化情况。 【典例二】下图是 2023 年上半年某汽车交易市场销售轿车和货车情况的统计图。 12 / 44 （1）（ ）月份销售的轿车最多，（ ）月份销售的货车最少。 （2）（ ）月份轿车和货车销售量的差距最大。 （3）货车销售量下降最快的是（ ）月份。 （4）第一季度平均每月销售轿车（ ）辆。 【解题思路】（1）根据图上数据，分别找出销售的轿车最多的月份和销售的货车最少的月份 即可； （2）从图中可知，两条折线在 2月、3月和 5月相距较大，分别计算出相差的数量，再比较 即可； （3）观察货车折线的变化趋势，即可找出下降最快的月份； （4）1月、2月、3月是第一季度。第一季度轿车的销售总量÷3＝平均每月销售，代入数据 计算即可。 【详细解答】（1）2月份销售的轿车最多，5月份销售的货车最少。 （2）2月：309－115＝194（台） 3月：240－37＝203（台） 5月：230－25＝205（台） 194＜203＜205 5 月份轿车和货车销售量的差距最大。 （3）货车销售量下降最快的是 3月份。 （4）（210＋309＋240）÷3 ＝759÷3 ＝253（台） 第一季度平均每月销售轿车 253 台。 【典例三】小美调查了某电器店 2022 年 1—5 月甲、乙两种品牌冰箱的销售情况，并绘制了如 下图所示的复式条形统计图： 13 / 44 2022 年 1—5 月甲、乙两种品牌冰箱销售统计图 （1）（ ）月份两种品牌冰箱的销量相差最小，此时相差（ ）台。 （2）从总体情况来看，甲品牌冰箱销量呈现（ ）趋势，乙品牌冰箱销量呈现（ ） 趋势。如果老板打算再购进这两种冰箱中的一种，他应该购进（ ）品牌的冰箱更合适。 （3）甲品牌冰箱 1—5月平均每月销售（ ）台。 【解题思路】（1）观察折线统计图可知，同一月份数据越接近，说明甲、乙两种品牌销量差 越小，用较大值减去较小值即可； （2）由图可知，实线表示甲冰箱的销量，虚线表示乙冰箱的销量，观察两种冰箱销量的走势 图即可判断其变化趋势，进而确定应该购进的冰箱品牌； （3）用甲冰箱 5个月的销售总量除以 5即可。 【详细解答】（1）53－51＝2（台） 4月份两种品牌冰箱的销量相差最小，此时相差 2台。 （2）从总体情况来看，甲品牌冰箱销量呈现下降趋势，乙品牌冰箱销量呈现上升趋势，如果 老板打算再购进这两种冰箱中的一种，他应该购进乙品牌的冰箱更合适。 （3）（65＋60＋57＋53＋50）÷5 ＝285÷5 ＝57（台） 甲品牌冰箱 1—5月平均每月销售 57 台。 【考点点评】本题考查了从统计图中读出信息并根据信息解决问题的能力。 专题三因数与倍数 【考点一】因数与倍数 【典例一】在 9×6＝54 中，9和 6都是 54 的( )，54 是 9 的( )，也是 6的 14 / 44 ( )。 【分析】因数和倍数的意义：在乘法算式 a×b＝c（a、b、c均为非 0的自然数）中，a、b就 是 c的因数，c就是 a、b的倍数。 【解答】在 9×6＝54 中，9和 6都是 54 的因数，54 是 9 的倍数，也是 6的倍数。 【典例二】一个数的最大因数和最小倍数都是 27，这个数的因数中合数有( )。 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序， 一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。除了 1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了 1和它本身以外还有其他因数，这样 的数叫合数。据此先确定这个数，再找出这个数的所有因数，再从这个数的因数中找出合数即 可。 【解答】一个数的最大因数和最小倍数都是 27，这个数是 27。 27＝1×27＝3×9 这个数的因数中合数有 9，27。 【典例三】学校新购买了一些绘本，比 30 本多，比 40 本少，平均分给二年级的 7个班还多 2 本。平均每班分得( )本，一共购买了( )本。 【分析】由题意可知，这些绘本的本数减去 2就是 7的倍数，再根据求一个数的倍数的方法， 再结合绘本的本数在 30~40 之间，据此解答即可。 【解答】7的倍数且在 30~40 之间的数是 35 35＋2＝37（本） 37÷7＝5（本）⋯ ⋯ 2（本） 则平均每班分得 5本，一共购买了 37 本。 【点评】本题考查倍数，明确求一个数的倍数的方法是解题的关键。 【考点二】2、5 和 3 的倍数的特征 【典例一】“4□”是 5的倍数，□里可以填( )。 【分析】个位是 0或 5的数是 5的倍数，据此解答。 【解答】要使“4□”是 5的倍数，□里可以填 0、5。 【典例二】有三个人分别在朋友圈集赞，一段时间后，三人获得的点赞数为连续的偶数，他们 获得的点赞数的和是 24，那么三人中最少的点赞数是( )。 【分析】三个连续偶数的和是 24，可以设中间的偶数为 a，最小的偶数是 a－2，最大的偶数 15 / 44 是 a＋2，根据他们获得的点赞数的和是 24 列方程解答，先求出中间数，再用中间数－2即可。 【解答】解：设中间的偶数为 a。 a－2＋a＋（a＋2）＝24 a－2＋a＋a＋2＝24 3a＝24 a＝24÷3 a＝8 8－2＝6 所以三人中最少的点赞数是 6。 【典例三】海洋是人类未知的领域，海洋下有大量的沉船遗落的器物。若一个带密码的宝箱随 海洋运动被带到了岸边，宝箱的密码是由“0、2、1、6、7中的数字组成的三位数，且这个三 位数恰好是 9的倍数（不同数位上的数字不同），最多尝试( )次密码就可以打开宝箱。 【分析】9的倍数的特征是各位上的数的和是 9的倍数，这 5个数字中，2＋1＋6＝9，0＋2＋ 7＝9的三位数，即 207、270、702、720，用 2、1、6可以组成 6个不同的三位数，即 126、 162、216、261、612、621，用 0、2、7可以组成 4个不同的三位数，6＋4＝10（次），所以 最多尝试 10 次密码就可以打开宝箱。 【解答】由分析可知：最多尝试 10 次密码就可以打开宝箱。 【考点三】质数和合数 【典例一】一个数的最大因数和最小倍数都是 27，这个数的因数中合数有( )。 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序， 一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。除了 1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了 1和它本身以外还有其他因数，这样 的数叫合数。据此先确定这个数，再找出这个数的所有因数，再从这个数的因数中找出合数即 可。 【解答】一个数的最大因数和最小倍数都是 27，这个数是 27。 27＝1×27＝3×9 这个数的因数中合数有 9，27。 【典例二】能同时打开下面 3把锁的万能钥匙的密码是( )。 16 / 44 【分析】由左边的锁上的信息可知这是一个两位数；由中间的锁上的信息可知两位数的最高位 是 2，那么这个两位数是 20——30 之间的数；再由第三个锁上的信息，20 以内连续 3个质数 相加的和大于 20，那么由此可这 3个连续的质数是 5、7、11。由此解答。 【解答】5＋7＋11＝23 23 满足三把锁上的所有条件。 能同时打开下面 3把锁的万能钥匙的密码是（23）。 【点评】解决此类问题首先把选取最容易筛选的条件，将选取范围缩到最小，然后再依据剩下 的条件进一步筛选，最终进行验证确定。 【典例三】将下面各数分解质因数。 39 18 45 80 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分 解。 【解答】39＝3×13 18＝2×3×3 45＝3×3×5 80＝2×2×2×2×5 【考点四】公因数和最大公因数 【典例一】15 的因数有( )，25 的因数有( )，15 和 25 的公因数有( )。 【分析】求一个数的因数，就想哪两个非 0自然数相乘等于这个数，则相乘的两个数就是该数 的因数，如果相乘的两数相同，写一个即可；公因数是两个或两个以上数字的因数中相同的因 数。 【解答】因为 15＝1×15＝3×5，所以 15 的因数有：1，3，5，15； 因为 25＝1×25＝5×5，所以 25 的因数有：1，5，25； 15 和 25 的公因数有：1，5。 【典例二】王阿姨把 50 块巧克力和 35 块奶糖平均分给舞蹈队的小朋友，要求尽可能分完，分 17 / 44 完发现巧克力多了 2块，奶糖少了 5块。舞蹈队有多少个小朋友？ 【分析】根据题意，分别求出分给小朋友的巧克力糖和奶糖的块数，然后再求出分得块数的最 大公因数，然后再进一步解答即可。 【解答】50－2＝48（块） 35＋5＝40（块） 48＝2×2×2×2×3 40＝2×2×2×5 48 和 40 的最大公因数是：2×2×2＝8 答：舞蹈队有 8个小朋友。 【典例三】班主任把 36 支钢笔和 40 本练习本平均奖励给在书法比赛中获奖的学生，结果钢笔 多了 1支，练习本少了 2本。在书法比赛中获奖的学生有多少人？ 【分析】根据题意可知，问在书法比赛中获奖的学生有多少人，先算出钢笔和练习本各需要多 少，再求出它们的最大公因数，就是在书法比赛中获奖的学生的人数，据此解答即可。 【解答】36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35＝5×7 42＝2×3×7 35 和 42 的最大公因数是：7 答：在书法比赛中获奖的学生有 7人。 【考点五】公倍数和最小公倍数 【典例一】有 M，N两个数，它们的最大公因数是 6，最小公倍数是 90，M 是 18，N 是( )。 【分析】M和 N全部共有的质因数相乘的积就是它们的最大公因数；M和 N全部共有的质因数 乘各自独立的质因数就是它们的最小公倍数；因此 M和 N的最大公因数与最小公倍数的乘积等 于 M×N，用 M和 N的最大公因数乘最小公倍数，所得积除以 18，所得结果即为 N的值；据此 解答。 【解答】6×90÷18 ＝540÷18 ＝30 因此 N是 30。 18 / 44 【典例二】五年级二班同学去参观科技馆，小宇说：“我们班这次去的不到 50 人。”小恒说： “如果 6个人坐一辆车，多 3个人。”园园说：“如果 8个人坐一辆车，空 3个座位。”这次 最多有多少人去参观科技馆？ 【分析】由“如果 6个人坐一辆车，多 3个人，如果 8个人坐一辆车，空 3个座位”可知，如 果添加 3人，参观的人数刚好既是 6的倍数又是 8的倍数。根据求最小公倍数的方法：两个数 的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，较大的那个数为最 小公倍数；如果两个数为互质数，最小公倍数为两个数的乘积；据此先求出 6与 8的最小公倍 数，要使人数最多，只要在 6与 8的最小公倍数上乘整倍数，但要保证人数不超过 50，最后 减去 3即可得到参观的人数。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6 和 8 的最小公倍数为 2×2×2×3＝24 24×2－3 ＝48－3 ＝45（人） 答：这次最多有 45 人去参观科技馆。 【典例三】纵桨飞舟，粽叶飘香，赛龙舟是端午佳节的重要组成部分，是中华文化的传承。为 弘扬中华传统文化，彰显“水润之城”的城市内涵，6月 10 日，有 38 支来自各县区的代表队 在市区古黄河金鹰段举办 2024 宿迁端午龙舟赛。赛道上原来有 21 个浮漂（首尾各有一个）， 每两个浮漂之间距离是 15 米。现在每两个浮漂之间距离改为 20 米，不需要重新替换的浮漂有 多少个？ 【分析】赛道上原来有 21 个浮漂，首尾各有一个，所以赛道总长是（21－1）个 15 米，即 300 米。现在每两个浮漂之间距离改为 20 米，不需要重新替换的浮漂就是 15 和 20 的公倍数，15 和 20 的最小公倍数是 60，所以不需要重新替换的浮漂有（300÷60＋1）个。 【解答】21－1＝20（个） 20×15＝300（米） 15＝3×5 20＝2×2×5 所以 15 和 20 的最小公倍数是：5×3×2×2＝60 19 / 44 300÷60＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 答：不需要重新替换的浮漂有 6个。 专题四分数的意义和性质 【考点一】分数的意义 【典例一】一台拖拉机 5 6小时耕了一块地的 3 7 。这里的 5 6是把（ ）看作单位“1”。 A．1小时 B．耕地的总时间 C．一块地的总面积D．一块地的 3 7 【分析】通常把“的”前面的量以及“是”、“比”、“占”、“相当于”等后面的量看作单 位“1”，根据题意可知， 5 6小时耕了一块地的 3 7 ，这句话中， 5 6小时是把 1小时看作单位“1”。 根据分数的意义： 5 6小时表示把 1小时平均分成 6份，取其中的 5份，据此解答。 【解答】一台拖拉机 5 6小时耕了一块地的 3 7 。这里的 5 6是把 1小时看作单位“1”。 故答案为：A 【点评】此题考查了判断单位“1”的方法，应注意灵活运用。 【典例二】如图，空白三角形面积是涂色三角形的面积的( )，涂色三角形面积是梯形 面积的( )。 【分析】 如图所示，空白三角形的高、涂色三角形的高和梯形的高，三条高 是相等的，假设它们的高都是 h，根据三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下 底）×高÷2，分别计算出三个图形的面积，最后根据分数的意义：表示一个数是另一个数的 几分之几，分别用空白三角形面积除以涂色三角形的面积，涂色三角形面积除以梯形面积，据 此解答。 【解答】假设空白三角形、涂色三角形和梯形的高都是 h， 20 / 44 空白三角形面积：2×h÷2＝h（平方厘米）； 涂色三角形的面积：8×h÷2＝4h（平方厘米）； 梯形的面积：（2＋8）×h÷2 ＝10×h÷2 ＝5h（平方厘米） 14 4 h h  ， 44 5 5 h h  。 因此空白三角形面积是涂色三角形的面积的 1 4 ，涂色三角形面积是梯形面积的 4 5 。 【点评】解答本题的关键是抓住三者的高是相等的，结合三角形面积和梯形面积的计算公式来 求解。 【典例三】先表示出分数，然后比较大小。 1 4 ( ) 1 2 3 8 ( ) 7 8 1 2 ( ) 1 3 【分析】（1） 1 4表示把圆平均分成 4份（每份 1个），取其中的 1份； 1 2表示圆平均分成 2 份（每份 2个），取其中的 1份； （2） 3 8表示把长方形平均分成 8份（每份 1个），取其中的 3份； 7 8 表示把长方形平均分成 8 份（每份 1个），取其中的 7份； （3） 1 2表示把小圆圈平均分成 2份（每份 3个），取其中的 1份； 1 3表示把小圆圈平均分成 3 份（每份 2个），取其中的 1份。 【解答】涂色如下： 21 / 44 （涂色部分答案不唯一） 【点评】本题主要考查分数意义以及分数的大小比较，需熟练掌握。 【考点二】分数与除法 【典例一】15 克的盐水中有 3克盐，如果再加 2克盐，那么盐占盐水的（ ）。 A． 3 17 B． 5 17 C． 2 15 D． 5 20 【分析】将盐的质量除以盐水的质量，求出盐占盐水的几分之几。盐水的质量＝盐的质量＋水 的质量。 【解答】（3＋2）÷（15＋2） ＝5÷17 ＝ 5 17 所以，盐占盐水的 5 17。 故答案为：B 【点评】本题考查了分数与除法，求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。 【典例二】把 5 千克蜂蜜平均装到 6个瓶子里，每瓶蜂蜜是全部蜂蜜的( )，每瓶蜂蜜 的质量是( )千克。 【分析】求每瓶是全部蜂蜜的的几分之几，平均分的是单位“1”，求的是分率，即 1÷6；求 每瓶的千克数，平均分的是具体的数量 5千克，求的是具体的数量；用除法计算，据此解答。 【解答】1÷6＝ 1 6 5÷6＝ 5 6（千克） 把 5千克蜂蜜平均装到 6个瓶子里，每瓶蜂蜜是全部蜂蜜的 1 6 ，每瓶蜂蜜的质量是 5 6千克。 【点评】解决此题关键是弄清求得是具体的数量还是分率，求具体的数量平均分的是具体的数 量；求分率平均分的是单位“1”。 【典例三】习主席提出“绿水青山就是金山银山，我们要像保护眼睛一样保护生态环境。”3 月 12 日植树节，新华小学五年级要植一些树。 （1）植树时发现，如果每行植 16 棵，最后一行缺 1棵；如果每行植 12 棵，最后一行也缺 1 棵。这批树苗最少有多少棵？ （2）在这次植树活动中，新华小学五（1）班植了 11 棵松树，17 棵杨树。 22 / 44 ①植的松树棵数是杨树的几分之几？ ②杨树棵数是植树总棵数的几分之几？ 【分析】（1） 由题意可知，这批树苗的最少棵数比 16 和 12 的最小公倍数少 1，据此解答； （2）①求植的松树棵数是杨树的几分之几，就是求 11 是 17 的几分之几，用 11 除以 17 即可； ②求杨树棵数是植树总棵数的几分之几，就是求 17 是（11＋17） 的几分之几，用 17 除以（11 ＋17）即可。 【解答】（1）16＝2×2×2×2 12＝2×2×3 2×2×2×2×3－1 ＝4×2×2×3－1 ＝8×2×3－1 ＝16×3－1 ＝48－1 ＝47（棵） 答：这批树苗最少有 47 棵。 （2）①11÷17＝ 11 17 答：植的松树棵数是杨树的 11 17 ②17÷（11＋17） ＝17÷28 ＝ 17 28 答：杨树棵数是植树总棵数的 17 28 。 【点评】本题考查了最小公倍数的应用及求一个数是另一个数的几分之几的问题，需准确理解 题意。 【考点三】真分数、假分数及带分数的认识和互化 【典例一】若 1 8 a  是一个最简真分数，则其中 a表示的整数有（ ）种不同情况。 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】真分数的分子小于分母，求出 a 1 8  的真分数时所以 a的值，再从真分数中找出分子和 23 / 44 分母只有公因数 1的分数，据此解答。 【解答】当 a＝0时； 0 1 8  ＝ 1 8 当＝1时； 1 1 8  ＝ 2 8 当 a＝2时； 2 1 8  ＝ 3 8 当 a＝3时； 3 1 8  ＝ 4 8 当 a＝4时； 4 1 8  ＝ 5 8 当 a＝5时； 5 1 8  ＝ 6 8 当 a＝6时； 6 1 8  ＝ 7 8 由此可知，最简真分数有： 1 8、 7 8 、 3 8、 5 8；所以 a表示的整数可能是 0，2，4，6一共有 4种 不同情况。 若 1 8 a  是一个最简真分数，则其中 a表示的整数有 4种不同情况。 故答案为：B 【点评】熟练掌握真分数意义和最简分数的意义是解答本题的关键。 【典例二】在分数 a b （a，b均是不为 0的自然数）中，当 a是( )时， a b 是这个分数的 分数单位；当 a是( )时，这个分数等于 1；当 a( )时，这个分数是真分数。 【分析】分母是几分数单位就是几分之一，即分数单位都是分子是 1的分数；当分子＝分母时， 分数值＝1；当分子＜分母时，这个分数是真分数，据此填空。 【解答】在分数 a b （a，b均是不为 0的自然数）中，当 a是 1时， a b 是这个分数的分数单位； 当 a是 b时，这个分数等于 1；当 a小于 b时，这个分数是真分数。 【点评】关键是理解分数单位和真分数的含义，能根据分子和分母的关系确定分数值。 【典例三】王东每天要用一个一次性口罩，他现有一盒这样的口罩，共 50 个。 （1）王东一个星期用的口罩数量是这盒口罩的几分之几？ （2）这盒口罩王东能用几个星期？（用带分数表示） 【分析】（1）由题意可知，王东每天要用一个一次性口罩，则一个星期能用 7个，用一个星 期用的口罩数量除以这盒口罩的数量即可； 24 / 44 （2）用这盒口罩的数量除以 7即可求出这盒口罩王东能用几个星期。 【解答】（1）7÷50＝ 7 50 答：王东一个星期用的口罩数量是这盒口罩的 7 50 。 （2）50÷7＝ 17 7（个） 答：这盒口罩王东能用 17 7个星期。 【点评】本题考查求一个数是另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。 【考点四】分数的基本性质、约分及应用 【典例一】将 3 7 的分母加上 21，要使分数的大小不变，分子应该（ ）。 A．加上 21 B．乘 3 C．乘 4 D．加上 49 【分析】依据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数 的大小不变，据此可知， 3 7 的分母加上 21，变成了：7＋21＝28，扩大到原来的（28÷7＝4） 倍，要使分数的大小不变，分子也应扩大到原来的 4倍；变成：3×4＝12，又 12－3＝9，因 此分子应加上 9或乘 4。 【解答】根据分析可知， 7＋21＝28 28÷7＝4（倍） 3×4＝12 12÷3＝4 12－3＝9 将 3 7 的分母加上 21，要使分数的大小不变，分子应该加上 9或乘 4。 故答案为：C 【点评】这道题是对分数基本性质的应用，弄清楚分子扩大的倍数，是解答本题的关键。 【典例二】将下列分数约分成最简分数。 19 9 36 48 45 60 13 39 24 40 12 18 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为 0的数，分数的大小不 变；约分的依据是分数的基本性质，把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数， 25 / 44 叫做约分；分子和分母的公因数只有 1的分数，就是最简分数，据此解答。 【解答】 19 9 ＝ 19 9 36 48＝ 36 12 48 12   ＝ 3 4 45 60 ＝ 45 15 60 15   ＝ 3 4 13 39＝ 13 13 39 13   ＝ 1 3 24 40＝ 24 8 40 8   ＝ 3 5 12 18 ＝ 12 6 18 6   ＝ 2 3 【典例三】下图是李强 7～11 岁每年体检的体重与全校同龄学生平均体重的对比图。 （1）简要说明李强从 7岁到 11 岁体重的变化情况。 （2）李强几岁时的体重与全校同龄学生平均体重相差最大？这一年，李强的体重是全校同龄 学生平均体重的几分之几？ 【分析】（1）虚线表示李强体重，折线往上表示上升趋势，折线往下表示下降趋势（答案不 唯一）； （2）观察统计图，找出李强几岁时体重比全校同龄学生平均体重相差最大；再用这年李强的 体重除以全校同龄学生平均的体重，这一年，李强的体重是全校同龄学生平均体重的几分之几； 即可解答。 【解答】（1）先上升，再下降，后上升。 （2）李强 9岁时的体重与全校同龄学生平均体重相差最大； 26 / 44 45÷25＝ 9 5 答：李强 9岁时的体重与全校同龄学生平均体重相差最大，这一年，李强的体重是全校同龄学 生平均体重的 9 5。 【点评】本题考查折线统计图的实际应用；利用折线统计图提供的信息解答实际问题。 【考点五】通分、分数的大小比较 【典例一】满足条件 4 6 7 8 7 n   的所有整数 n的个数有（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【分析】先把三个分数进行通分， 32 56＜ 7 56 n ＜ 48 56。分母相同，分子大的分数大，则 32＜7n＜48。 当 n＝5时，7n＝7×5＝35；当 n＝6时，7n＝7×6＝42，满足要求。 【解答】 4 6 7 8 7 n   ＝ 32 56＜ 7 56 n ＜ 48 56 根据分数的大小比较，可以得到 32＜7n＜48，满足条件的整数 n只能是 5、6。 即满足条件 4 6 7 8 7 n   的所有整数 n的个数有 2个。 故答案为：B 【点评】先把分数进行通分，得出分子的范围，再选择符合要求的数据即可。 【典例二】先通分，再比较大小。 2 3和 5 9 3 4 和 4 5 3 10和 1 6 3 8和 7 12 【分析】通分的方法：先求出几个分数的分母的最小公倍数，把它作为这几个分数的公分母， 然后依据分数的基本性质，把原分数分别化成以公分母为分母的分数；通分后分母相同，直接 比较分子，分子大的分数大。 【解答】 2 3和 5 9 2 3＝ 6 9 因为 6 9＞ 5 9，所以 2 3＞ 5 9 3 4 和 4 5 3 4 ＝ 15 20； 4 5 ＝ 16 20 27 / 44 因为 15 20＜ 16 20，所以 3 4 ＜ 4 5 3 10和 1 6 3 10＝ 9 30； 1 6 ＝ 5 30 因为 9 30＞ 5 30，所以 3 10＞ 1 6 3 8和 7 12 3 8＝ 9 24； 7 12＝ 14 24 因为 9 24＜ 14 24，所以 3 8＜ 7 12 【典例三】 五（2）班接种了疫苗加强针的人数占全班的几分之几？和五年级的总体情况相比怎么样？ 【分析】用五（2）班疫苗加强针的人数÷五（2）班总人数，求出五（2）班疫苗加强针的人 数占全班人数的分率；再用五年级疫苗加强针的人数÷五年级总人数，求出五年级加强针占五 年级总人数的分率；再和五（2）班加强针占全班的分率进行比较，即可解答。 【解答】20÷45＝ 4 9 45÷150＝ 3 10 4 9 ＝ 40 90 ； 3 10＝ 27 90 40 90 ＞ 27 90；五（2）班疫苗加强针接种情况比整个年级好。 答：五（2）班接种了疫苗加强针的人数占全班的 4 9 ，五（2）班疫苗加强针接种情况比整个年 级好。 【点评】利用求一个数占另一个数的几分之几；以及分数比较大小的方法进行解答。 专题五分数加法和减法 【考点一】异分母分数加减法 【典例一】小明作一幅绕线画，他先用一根毛线围成一个等腰三角形，其中两条边分别长 1 8分 28 / 44 米、 1 3分米。这根毛线长（ ）分米。 A． 7 12 B． 19 24 C． 7 12或 19 24 【分析】根据等腰三角形的特征，有两条边长相等，所以第三条边长可以是 1 8分米或者 1 3分米。 再根据三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，判断两 种情况是否都符合条件。 【解答】 1 8＋ 1 8＝ 1 4 1 4 ＜ 1 3，两边之和小于第三边，所以这个等腰三角形这两条腰都是 1 3分米，第三条边为 1 8分米。 1 3＋ 1 3＋ 1 8 ＝ 2 3＋ 1 8 ＝ 16 24 ＋ 3 24 ＝ 19 24 （分米） 小明作一幅绕线画，他先用一根毛线围成一个等腰三角形，其中两条边分别长 1 8分米、 1 3分米。 这根毛线长 19 24 分米。 故答案为：B 【点评】本题主要考查等腰三角形的特点、三角形的三边关系以及分数的加法计算。 【典例二】淘气一家三口包饺子，妈妈包了全部饺子的 1 2 ，爸爸包了全部饺子的 1 3。爸爸和妈 妈一共包了全部饺子的( )，淘气包了全部饺子的( )。 【分析】把饺子总数看作单位“1”，即可求解。 【解答】爸爸和妈妈一共包了全部饺子的 1 1 5 2 3 6   ；淘气包了全部饺子的 5 11 6 6   。 【点评】本题主要考查分数的意义，找准单位“1”是解题的关键。 【典例三】学校运来 1吨沙子，用于修房和填跳远、跳高所需的沙坑、修房用去 4 5 吨，填沙坑 用去 1 8吨。 ①一共用了多少吨沙子？ ②还剩下多少吨沙子？ 29 / 44 【分析】①一共用去沙子的吨数＝修房用去沙子的吨数＋填沙坑用去沙子的吨数； ②剩下沙子的吨数＝沙子的总吨数－（修房用去沙子的吨数＋填沙坑用去沙子的吨数）；据此 解答。 【解答】① 4 5 ＋ 1 8 ＝ 32 40＋ 5 40 ＝ 37 40（吨） 答：一共用了 37 40吨沙子。 ②1－ 37 40＝ 3 40（吨） 答：还剩下 3 40吨沙子。 【点评】异分母分数相加减时，先把异分母分数化为同分母分数，再按照同分母分数加减法计 算。 【考点二】分数混合运算 【典例一】一条彩带，第一天用了全长的 2 15，比第二天多用了全长的 1 30，第三天用了全长的 1 12， 三天一共用了这条彩带的几分之几？列式如下，算式中的 7 30表示的是（ ）。 2 2 1 1 15 15 30 12    4 1 1 15 30 12    7 1 30 12   19 60  A．第二天用了这条彩带的几分之几 B．第一天和第二天一共用了这条彩带的几分之几 C．第二天和第三天一共用了这条彩带的几分之几 D．第一天和第三天一共用了这条彩带的几分之几 【分析】算式 2 2 1 1 15 15 30 12    即 2 2 1 1 15 15 30 12   （ ） ，其中 2 15是第一天用的， 2 1 15 30 （ ）是第二天用 30 / 44 的， 1 12是第三天用的。通过观察发现： 7 30是 2 2 1 15 15 30   计算后得出的，即是第一天和第二天 一共用了这条彩带的几分之几。 【解答】A．第二天用了这条彩带的 2 1 15 30  ＝ 4 30 1 30  ＝ 1 10。 B．第一天和第二天一共用了这条彩带的 2 2 1 15 15 30   ＝ 4 1 15 30  ＝ 8 30 1 30  ＝ 7 30。 C．第二天和第三天一共用了这条彩带的 2 1 1 15 30 12   ＝ 1 1 3 1 4 0 0 23   ＝ 1 1 10 12  ＝ 6 60 0 5 6  ＝ 11 60 。 D．第一天和第三天一共用了这条彩带的 2 1 15 12  ＝ 8 5 60 60  ＝ 13 60。 故答案为：B 【点评】此题考查了分数加、减混合运算。明确 7 30是如何计算出来的是解决此题的关键。 【典例二】某小区有一个圆形花圃，小区物业准备种一些花草。花圃面积的 1 4种月季花， 2 5 种 芍药花， 1 10种玫瑰， 3 20 种菊花。 (1) 3 1 20 10  表示：( )。 (2)这个圆形花圃还剩下( )没有种植植物。 【分析】（1）由题意可知， 3 20 表示种菊花的面积占花圃的面积的分率， 1 10表示种玫瑰的面积 占花圃的面积的分率，据此解答即可； （2）把花圃的面积看作单位“1”，用 1减去月季花、芍药花、玫瑰和菊花占花圃的面积的分 率即可。 【解答】（1） 3 1 20 10  表示：种菊花的面积比种玫瑰的面积多占花圃的几分之几。 （2）1－ 1 4－ 2 5 － 1 10－ 3 20 ＝ 3 4 － 2 5 － 1 10－ 3 20 ＝ 7 20－ 1 10－ 3 20 ＝ 5 20 － 3 20 ＝ 1 10 这个圆形花圃还剩下 1 10没有种植植物。 2024-2025学年五年级下册数学期末备考总复习 常考知识点典例精讲（七大专题25类典型题） 目录 专题一简易方程 3 【考点一】等式与方程 3 【考点二】等式的性质（一）和解方程 4 【考点三】等式的性质（二）和解方程 4 【考点四】列方程解决问题 5 专题二折线统计图 5 【考点一】单式折线统计图 5 【考点二】复式折线统计图 7 专题三因数与倍数 9 【考点一】因数与倍数 9 【考点二】2、5和3的倍数的特征 9 【考点三】质数和合数 10 【考点四】公因数和最大公因数 11 【考点五】公倍数和最小公倍数 11 专题四分数的意义和性质 12 【考点一】分数的意义 12 【考点二】分数与除法 13 【考点三】真分数、假分数及带分数的认识和互化 13 【考点四】分数的基本性质、约分及应用 14 【考点五】通分、分数的大小比较 15 专题五分数加法和减法 16 【考点一】异分母分数加减法 16 【考点二】分数混合运算 17 专题六圆 18 【考点一】圆的认识 18 【考点二】扇形的认识 19 【考点三】圆的周长 20 【考点四】圆的面积 21 【考点五】圆环及组合图形的面积 22 专题七解决问题的策略 23 【考点一】用转化的策略解决问题 24 【考点二】用转化的策略解决特殊的计算问题 24 专题一简易方程 【考点一】等式与方程 【典例一】把数量关系式填写完整。 果园里有85棵梨树，比桃树的4倍少18棵。果园里有多少棵桃树？ ( )×4－18＝( )。 【典例二】猎豹追捕猎物时的速度大约是优秀短跑运动员百米赛跑速度的3倍，每秒大约比运动员多跑20米。优秀短跑运动员每秒大约跑多少米？猎豹呢？ 从以上条件中，可以找到两个等量关系式，分别是：①( )②( )。 如果设( )每秒大约跑米，就可以列出方程：( )。 【典例三】下面式子中，是方程的有( )。（填序号） ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 【考点二】等式的性质（一）和解方程 【典例一】如果＋＋＝＋＋＋＋，＋＋＝＋＋＋＋＋，那么1个和（ ）个相等。 【典例二】组装车间要装配两轮电动车和三轮电动车共21辆，需要51个轮胎。装配两轮电动车（ ）辆，三轮电动车（ ）辆。 【典例三】小明今年10岁，爷爷年龄比爸爸年龄的2倍少8岁，妈妈比小明大26岁，爷爷年龄比小明年龄的7倍少2岁。爷爷多少岁？（先写出等量关系式，再列方程解答） 等量关系式：（    ） 【考点三】等式的性质（二）和解方程 【典例一】图中的天平都处于平衡状态，则○＝（ ）。 【典例二】小刚和小强同时从同一点出发，沿着400米环形跑道向相反方向慢跑，小刚每分钟跑95米，小强每分钟跑105米。几分钟后两人第一次相遇？ 【典例三】妈妈从网上购买了3瓶防晒喷雾，除了购买防晒喷雾的钱，还需要再付6元运费，一共付款192元。平均每瓶防晒喷雾多少元？（用方程解答） 【考点四】列方程解决问题 【典例一】九九重阳节那天，幸福小学五年级有180人参加“敬老爱老”活动，比四年级参加活动人数的2倍少20人，四年级参加活动的有多少人？（用方程解答） 【典例二】某学校有教师72人。其中女教师人数是男教师的5倍，学校男教师和女教师各多少人？（用方程解答） 从成都开往重庆，一辆轿车从重庆开往成都，货车每时行驶60千米，2时后，两车相距30千米，轿车每时行驶多少千米？ 专题二折线统计图 【考点一】单式折线统计图 【典例一】下图是王阿姨元旦期间开车从金华回老家C市过年的过程。下面说法错误的是（    ）。 A．开车4小时后休息了1个小时 B．8时~9时，汽车行驶了255千米 C．金华到老家C市相距640千米 D．9时~10时汽车的速度最快 【典例二】王叔叔参加了一项自行车赛，如图显示了他比赛时的情况。 （1）这项自行车赛的全程是（ ）千米； （2）他骑行前30千米用了（ ）分钟。 【典例三】下面是博库书城一周的图书借阅情况。 博库书城一周图书借阅情况统计图 （1）星期（ ）图书借阅的数量最多，是（ ）本，星期（ ）图书借阅的数量最少，是（ ）本。 （2）星期三和星期六图书借阅的数量相差（ ）本。 （3）星期（ ）到星期（ ）图书借阅的数量上升的幅度最大，星期（ ）到星期（ ）图书借阅的数量下降的幅度最大。 【考点二】复式折线统计图 【典例一】根据统计图，填一填。 （1）甲饭店第（ ）季度的营业额最高，乙饭店第（ ）季度的营业额最高。 （2）第（ ）季度两饭店的营业额相差最大。 （3）你认为（ ）饭店的营业额越来越好，生意越来越红火。 【典例二】下图是2023年上半年某汽车交易市场销售轿车和货车情况的统计图。 （1）（ ）月份销售的轿车最多，（ ）月份销售的货车最少。 （2）（ ）月份轿车和货车销售量的差距最大。 （3）货车销售量下降最快的是（ ）月份。 （4）第一季度平均每月销售轿车（ ）辆。 【典例三】小美调查了某电器店2022年1—5月甲、乙两种品牌冰箱的销售情况，并绘制了如下图所示的复式条形统计图： 2022年1—5月甲、乙两种品牌冰箱销售统计图 （1）（ ）月份两种品牌冰箱的销量相差最小，此时相差（ ）台。 （2）从总体情况来看，甲品牌冰箱销量呈现（ ）趋势，乙品牌冰箱销量呈现（ ）趋势。如果老板打算再购进这两种冰箱中的一种，他应该购进（ ）品牌的冰箱更合适。 （3）甲品牌冰箱1—5月平均每月销售（ ）台。 专题三因数与倍数 【考点一】因数与倍数 【典例一】在9×6＝54中，9和6都是54的( )，54是9的( )，也是6的( )。 【典例二】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数的因数中合数有( )。 【典例三】学校新购买了一些绘本，比30本多，比40本少，平均分给二年级的7个班还多2本。平均每班分得( )本，一共购买了( )本。 【考点二】2、5和3的倍数的特征 【典例一】“4□”是5的倍数，□里可以填( )。 【典例二】有三个人分别在朋友圈集赞，一段时间后，三人获得的点赞数为连续的偶数，他们获得的点赞数的和是24，那么三人中最少的点赞数是( )。 【典例三】海洋是人类未知的领域，海洋下有大量的沉船遗落的器物。若一个带密码的宝箱随海洋运动被带到了岸边，宝箱的密码是由“0、2、1、6、7中的数字组成的三位数，且这个三位数恰好是9的倍数（不同数位上的数字不同），最多尝试( )次密码就可以打开宝箱。 【考点三】质数和合数 【典例一】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数的因数中合数有( )。 【典例二】能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是( )。 【典例三】将下面各数分解质因数。 39    18    45    80 【考点四】公因数和最大公因数 【典例一】15的因数有( )，25的因数有( )，15和25的公因数有( )。 【典例二】王阿姨把50块巧克力和35块奶糖平均分给舞蹈队的小朋友，要求尽可能分完，分完发现巧克力多了2块，奶糖少了5块。舞蹈队有多少个小朋友？ 【典例三】班主任把36支钢笔和40本练习本平均奖励给在书法比赛中获奖的学生，结果钢笔多了1支，练习本少了2本。在书法比赛中获奖的学生有多少人？ 【考点五】公倍数和最小公倍数 【典例一】有M，N两个数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，M是18，N是( )。 【典例二】五年级二班同学去参观科技馆，小宇说：“我们班这次去的不到50人。”小恒说：“如果6个人坐一辆车，多3个人。”园园说：“如果8个人坐一辆车，空3个座位。”这次最多有多少人去参观科技馆？ 【典例三】纵桨飞舟，粽叶飘香，赛龙舟是端午佳节的重要组成部分，是中华文化的传承。为弘扬中华传统文化，彰显“水润之城”的城市内涵，6月10日，有38支来自各县区的代表队在市区古黄河金鹰段举办2024宿迁端午龙舟赛。赛道上原来有21个浮漂（首尾各有一个），每两个浮漂之间距离是15米。现在每两个浮漂之间距离改为20米，不需要重新替换的浮漂有多少个？ 专题四分数的意义和性质 【考点一】分数的意义 【典例一】一台拖拉机小时耕了一块地的。这里的是把（    ）看作单位“1”。 A．1小时 B．耕地的总时间 C．一块地的总面积 D．一块地的 【典例二】如图，空白三角形面积是涂色三角形的面积的( )，涂色三角形面积是梯形面积的( )。    【典例三】先表示出分数，然后比较大小。 ( )                ( )           ( ) 【考点二】分数与除法 【典例一】15克的盐水中有3克盐，如果再加2克盐，那么盐占盐水的（    ）。 A． B． C． D． 【典例二】把5千克蜂蜜平均装到6个瓶子里，每瓶蜂蜜是全部蜂蜜的( )，每瓶蜂蜜的质量是( )千克。 【典例三】习主席提出“绿水青山就是金山银山，我们要像保护眼睛一样保护生态环境。”3月12日植树节，新华小学五年级要植一些树。 （1）植树时发现，如果每行植16棵，最后一行缺1棵；如果每行植12棵，最后一行也缺1棵。这批树苗最少有多少棵？ （2）在这次植树活动中，新华小学五（1）班植了11棵松树，17棵杨树。 ①植的松树棵数是杨树的几分之几？ ②杨树棵数是植树总棵数的几分之几？ 【考点三】真分数、假分数及带分数的认识和互化 【典例一】若是一个最简真分数，则其中a表示的整数有（    ）种不同情况。 A．3 B．4 C．5 D．6 【典例二】在分数（a，b均是不为0的自然数）中，当a是( )时，是这个分数的分数单位；当a是( )时，这个分数等于1；当a( )时，这个分数是真分数。 【典例三】王东每天要用一个一次性口罩，他现有一盒这样的口罩，共50个。 （1）王东一个星期用的口罩数量是这盒口罩的几分之几？ （2）这盒口罩王东能用几个星期？（用带分数表示） 【考点四】分数的基本性质、约分及应用 【典例一】将的分母加上21，要使分数的大小不变，分子应该（    ）。 A．加上21 B．乘3 C．乘4 D．加上49 【典例二】将下列分数约分成最简分数。                                                          【典例三】下图是李强7～11岁每年体检的体重与全校同龄学生平均体重的对比图。 （1）简要说明李强从7岁到11岁体重的变化情况。 （2）李强几岁时的体重与全校同龄学生平均体重相差最大？这一年，李强的体重是全校同龄学生平均体重的几分之几？ 【考点五】通分、分数的大小比较 【典例一】满足条件的所有整数n的个数有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【典例二】先通分，再比较大小。 和        和        和        和 【典例三】 五（2）班接种了疫苗加强针的人数占全班的几分之几？和五年级的总体情况相比怎么样？ 专题五分数加法和减法 【考点一】异分母分数加减法 【典例一】小明作一幅绕线画，他先用一根毛线围成一个等腰三角形，其中两条边分别长分米、分米。这根毛线长（    ）分米。 A． B． C．或 【典例二】淘气一家三口包饺子，妈妈包了全部饺子的，爸爸包了全部饺子的。爸爸和妈妈一共包了全部饺子的( )，淘气包了全部饺子的( )。 【典例三】学校运来1吨沙子，用于修房和填跳远、跳高所需的沙坑、修房用去吨，填沙坑用去吨。 ①一共用了多少吨沙子？ ②还剩下多少吨沙子？ 【考点二】分数混合运算 【典例一】一条彩带，第一天用了全长的，比第二天多用了全长的，第三天用了全长的，三天一共用了这条彩带的几分之几？列式如下，算式中的表示的是（    ）。 A．第二天用了这条彩带的几分之几 B．第一天和第二天一共用了这条彩带的几分之几 C．第二天和第三天一共用了这条彩带的几分之几 D．第一天和第三天一共用了这条彩带的几分之几 【典例二】某小区有一个圆形花圃，小区物业准备种一些花草。花圃面积的种月季花，种芍药花，种玫瑰，种菊花。 (1)表示：( )。 (2)这个圆形花圃还剩下( )没有种植植物。 【典例三】今年2月，一批共享电动车投放到了乐乐的家乡。其中老城区投放共享电动车的数量占总数量的，新城区投放的数量比老城区多占总数量的，其余的投放到工业园区。工业园区投放的共享电动车的数量占总数量的几分之几？ 专题六圆 【考点一】圆的认识 【典例一】如图，井盖平面轮廓采用圆形的原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这里利用了（    ）。 A．同一个圆的直径都相等 B．圆是轴对称图形 C．圆是曲边图形 D．同圆内直径是半径的2倍 【典例二】看图填空。 (1)如左上图，大半圆形的半径是( )cm，小半圆形的半径是( )cm。 (2)如右上图，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。 【典例三】菲菲同学在学完了圆的知识后，想到了苏州的小桥流水，创作了下面一幅图。这幅图由5个完全相同的半圆组合而成，你知道菲菲在画半圆的时候，圆规两脚间的距离是多少吗？（单位：mm） 【考点二】扇形的认识 【典例一】下面涂色部分是扇形的是（    ）。 A． B． C． 【典例二】分针从12起所经过的部分都可以看作扇形。 (1)走5分钟，这个扇形的圆心角度数是( )。 (2)走15分钟，这个扇形的圆心角度数是( )。 (3)走30分钟，这个扇形的圆心角度数是( )。 【典例三】把一个圆分成两个扇形，其中大扇形的圆心角度数是小扇形圆心角的4倍。大、小扇形的圆心角各是多少度？各占圆的几分之几？ 【考点三】圆的周长 【典例一】星期天，小林去游乐场游玩，摩天轮的半径是50米，小林坐着它转动一周，大约在空中转过（    ）米。（π取3.14）    A．157 B．314 C．78.5 D．7850 【典例二】一辆汽车轮胎表面的一部分刚被涂了油漆，如图表示当车移动时这个轮胎所形成的印迹。那么这个轮胎的周长是( )厘米。 【典例三】有一个200m环形跑道，它是由两个直道和两个半圆形跑道组成，直道长50m，每条跑道宽为1.25m（如下图）。 （1）小军沿着第二道（由内向外数）跑一圈，他跑了多少米？ （2）如果在这个跑道上进行200m赛跑，请问第3道的起跑线与第1道相差多少？ （3）如果在这个跑道上进行100m赛跑，又该怎样确定起跑线的位置呢？ 【考点四】圆的面积 【典例一】下图是“禁止驶入”交通标志，标志中有一个长70cm、宽12cm的白色长方形，其余部分是红色。计算下面这个交通标志中红色部分的面积，列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【典例二】如图，平行四边形的面积比长方形的面积大6cm2，圆的面积是( )cm2。    【典例三】如下图，有一块长12米、宽8米的长方形草地，它的一个角上有一根木桩。如果有一只羊被拴在这根桩上，拴羊的绳子长6米，那么这只羊无法吃到草的草地面积是多少？ 【考点五】圆环及组合图形的面积 【典例一】如图所示。一个半径8m的圆形花坛，周围有一条2m宽的小路。这条小路的占地面积是（    ）m2。 A．64π B．28π C．4π D．36π 【典例二】学完了圆这一单元后，芳芳画了一个圆环，接着她又沿着内外圆的半径画了两个正方形（如图）。如果圆环的面积是20π平方厘米，那么阴影部分的面积是( )平方厘米。 【典例三】亮亮一家共10人去饭店聚餐，饭店餐桌是直径2米的圆形餐桌。 （1）这个餐桌的面积是多少平方米？ （2）如果每隔0.6米坐一个人，那么这个餐桌够坐吗？ （3）餐桌上还有一个方便夹菜的玻璃转盘，转盘半径是7分米，那么转盘周围留出放碗筷的面积是多少平方米？（得数保留一位小数） 专题七解决问题的策略 【考点一】用转化的策略解决问题 【典例一】图中阴影部分的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【典例二】在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8厘米，A为扇形AEF的圆心，且阴影部分①与②面积相等，扇形所在圆的面积是( )平方厘米。 【考点二】用转化的策略解决特殊的计算问题 【典例一】这是一组有规律的算式：1－，1－，1－，1－，…接着往下写，第六个算式是( )，这样减下去，结果越来越接近( )。 【典例二】先计算下面各题，然后找出规律。 （1）＝ （2）＝ （3）＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 25 2024-2025 学年五年级下册数学期末备考总复习 常考知识点典例精讲（七大专题 25 类典型题） 2 / 25 目录 专题一简易方程 ................................................................. 3 【考点一】等式与方程 ........................................................3 【考点二】等式的性质（一）和解方程 ..........................................4 【考点三】等式的性质（二）和解方程 ..........................................4 【考点四】列方程解决问题 ....................................................5 专题二折线统计图 ............................................................... 5 【考点一】单式折线统计图 ....................................................5 【考点二】复式折线统计图 ....................................................7 专题三因数与倍数 ............................................................... 9 【考点一】因数与倍数 ........................................................9 【考点二】2、5和 3的倍数的特征 ............................................. 9 【考点三】质数和合数 .......................................................10 【考点四】公因数和最大公因数 ...............................................11 【考点五】公倍数和最小公倍数 ...............................................11 专题四分数的意义和性质 ........................................................ 12 【考点一】分数的意义 .......................................................12 【考点二】分数与除法 .......................................................13 【考点三】真分数、假分数及带分数的认识和互化 ...............................13 【考点四】分数的基本性质、约分及应用 .......................................14 【考点五】通分、分数的大小比较 .............................................15 专题五分数加法和减法 .......................................................... 16 【考点一】异分母分数加减法 .................................................16 【考点二】分数混合运算 .....................................................17 专题六圆 ...................................................................... 18 【考点一】圆的认识 .........................................................18 【考点二】扇形的认识 .......................................................19 【考点三】圆的周长 .........................................................20 【考点四】圆的面积 .........................................................21 3 / 25 【考点五】圆环及组合图形的面积 .............................................22 专题七解决问题的策略 .......................................................... 23 【考点一】用转化的策略解决问题 .............................................24 【考点二】用转化的策略解决特殊的计算问题 ...................................24 专题一简易方程 【考点一】等式与方程 【典例一】把数量关系式填写完整。 果园里有 85 棵梨树，比桃树的 4倍少 18 棵。果园里有多少棵桃树？ ( )×4－18＝( )。 【典例二】猎豹追捕猎物时的速度大约是优秀短跑运动员百米赛跑速度的 3倍，每秒大约比运 动员多跑 20 米。优秀短跑运动员每秒大约跑多少米？猎豹呢？ 从以上条件中，可以找到两个等量关系式，分别是：①( )②( )。 如果设( )每秒大约跑 x米，就可以列出方程：( )。 【典例三】下面式子中，是方程的有( )。（填序号） ① 2.4 5y   ②25 x ③5.4 1.7 7.1  ④5 26n  ⑤ 2 0.5 5y y  ⑥40 15x  4 / 25 【考点二】等式的性质（一）和解方程 【典例一】如果 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ， ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ，那么 1个 和（ ）个 相等。 【典例二】组装车间要装配两轮电动车和三轮电动车共 21 辆，需要 51 个轮胎。装配两轮电动 车（ ）辆，三轮电动车（ ）辆。 【典例三】小明今年 10 岁，爷爷年龄比爸爸年龄的 2倍少 8岁，妈妈比小明大 26 岁，爷爷年 龄比小明年龄的 7倍少 2岁。爷爷多少岁？（先写出等量关系式，再列方程解答） 等量关系式：（ ） 【考点三】等式的性质（二）和解方程 【典例一】图中的天平都处于平衡状态，则 4○＝（ ）W 。 【典例二】小刚和小强同时从同一点出发，沿着 400 米环形跑道向相反方向慢跑，小刚每分钟 跑 95 米，小强每分钟跑 105 米。几分钟后两人第一次相遇？ 5 / 25 【典例三】妈妈从网上购买了 3瓶防晒喷雾，除了购买防晒喷雾的钱，还需要再付 6元运费， 一共付款 192 元。平均每瓶防晒喷雾多少元？（用方程解答） 【考点四】列方程解决问题 【典例一】九九重阳节那天，幸福小学五年级有 180 人参加“敬老爱老”活动，比四年级参加 活动人数的 2倍少 20 人，四年级参加活动的有多少人？（用方程解答） 【典例二】某学校有教师 72 人。其中女教师人数是男教师的 5倍，学校男教师和女教师各多 少人？（用方程解答） 从成都开往重庆，一辆轿车从重庆开往成都，货车每时行驶 60 千米，2时后，两车相距 30 千 米，轿车每时行驶多少千米？ 专题二折线统计图 【考点一】单式折线统计图 【典例一】下图是王阿姨元旦期间开车从金华回老家 C市过年的过程。下面说法错误的是（ ）。 6 / 25 A．开车 4小时后休息了 1个小时 B．8时~9 时，汽车行驶了 255 千米 C．金华到老家 C市相距 640 千米 D．9时~10 时汽车的速度最快 【典例二】王叔叔参加了一项自行车赛，如图显示了他比赛时的情况。 （1）这项自行车赛的全程是（ ）千米； （2）他骑行前 30 千米用了（ ）分钟。 【典例三】下面是博库书城一周的图书借阅情况。 博库书城一周图书借阅情况统计图 7 / 25 （1）星期（ ）图书借阅的数量最多，是（ ）本，星期（ ） 图书借阅的数量最少，是（ ）本。 （2）星期三和星期六图书借阅的数量相差（ ）本。 （3）星期（ ）到星期（ ）图书借阅的数量上升的幅度最大，星期 （ ）到星期（ ）图书借阅的数量下降的幅度最大。 【考点二】复式折线统计图 【典例一】根据统计图，填一填。 （1）甲饭店第（ ）季度的营业额最高，乙饭店第（ ）季度的营业额最高。 （2）第（ ）季度两饭店的营业额相差最大。 8 / 25 （3）你认为（ ）饭店的营业额越来越好，生意越来越红火。 【典例二】下图是 2023 年上半年某汽车交易市场销售轿车和货车情况的统计图。 （1）（ ）月份销售的轿车最多，（ ）月份销售的货车最少。 （2）（ ）月份轿车和货车销售量的差距最大。 （3）货车销售量下降最快的是（ ）月份。 （4）第一季度平均每月销售轿车（ ）辆。 【典例三】小美调查了某电器店 2022 年 1—5 月甲、乙两种品牌冰箱的销售情况，并绘制了如 下图所示的复式条形统计图： 2022 年 1—5 月甲、乙两种品牌冰箱销售统计图 9 / 25 （1）（ ）月份两种品牌冰箱的销量相差最小，此时相差（ ）台。 （2）从总体情况来看，甲品牌冰箱销量呈现（ ）趋势，乙品牌冰箱销量呈现（ ） 趋势。如果老板打算再购进这两种冰箱中的一种，他应该购进（ ）品牌的冰箱更合适。 （3）甲品牌冰箱 1—5月平均每月销售（ ）台。 专题三因数与倍数 【考点一】因数与倍数 【典例一】在 9×6＝54 中，9和 6都是 54 的( )，54 是 9 的( )，也是 6的 ( )。 【典例二】一个数的最大因数和最小倍数都是 27，这个数的因数中合数有( )。 【典例三】学校新购买了一些绘本，比 30 本多，比 40 本少，平均分给二年级的 7个班还多 2 本。平均每班分得( )本，一共购买了( )本。 【考点二】2、5 和 3 的倍数的特征 【典例一】“4□”是 5的倍数，□里可以填( )。 10 / 25 【典例二】有三个人分别在朋友圈集赞，一段时间后，三人获得的点赞数为连续的偶数，他们 获得的点赞数的和是 24，那么三人中最少的点赞数是( )。 【典例三】海洋是人类未知的领域，海洋下有大量的沉船遗落的器物。若一个带密码的宝箱随 海洋运动被带到了岸边，宝箱的密码是由“0、2、1、6、7中的数字组成的三位数，且这个三 位数恰好是 9的倍数（不同数位上的数字不同），最多尝试( )次密码就可以打开宝箱。 【考点三】质数和合数 【典例一】一个数的最大因数和最小倍数都是 27，这个数的因数中合数有( )。 【典例二】能同时打开下面 3把锁的万能钥匙的密码是( )。 【典例三】将下面各数分解质因数。 39 18 45 80 11 / 25 【考点四】公因数和最大公因数 【典例一】15 的因数有( )，25 的因数有( )，15 和 25 的公因数有( )。 【典例二】王阿姨把 50 块巧克力和 35 块奶糖平均分给舞蹈队的小朋友，要求尽可能分完，分 完发现巧克力多了 2块，奶糖少了 5块。舞蹈队有多少个小朋友？ 【典例三】班主任把 36 支钢笔和 40 本练习本平均奖励给在书法比赛中获奖的学生，结果钢笔 多了 1支，练习本少了 2本。在书法比赛中获奖的学生有多少人？ 【考点五】公倍数和最小公倍数 【典例一】有 M，N两个数，它们的最大公因数是 6，最小公倍数是 90，M 是 18，N 是( )。 【典例二】五年级二班同学去参观科技馆，小宇说：“我们班这次去的不到 50 人。”小恒说： “如果 6个人坐一辆车，多 3个人。”园园说：“如果 8个人坐一辆车，空 3个座位。”这次 最多有多少人去参观科技馆？ 【典例三】纵桨飞舟，粽叶飘香，赛龙舟是端午佳节的重要组成部分，是中华文化的传承。为 12 / 25 弘扬中华传统文化，彰显“水润之城”的城市内涵，6月 10 日，有 38 支来自各县区的代表队 在市区古黄河金鹰段举办 2024 宿迁端午龙舟赛。赛道上原来有 21 个浮漂（首尾各有一个）， 每两个浮漂之间距离是 15 米。现在每两个浮漂之间距离改为 20 米，不需要重新替换的浮漂有 多少个？ 专题四分数的意义和性质 【考点一】分数的意义 【典例一】一台拖拉机 5 6小时耕了一块地的 3 7 。这里的 5 6是把（ ）看作单位“1”。 A．1小时 B．耕地的总时间 C．一块地的总面积D．一块地的 3 7 【典例二】如图，空白三角形面积是涂色三角形的面积的( )，涂色三角形面积是梯形 面积的( )。 【典例三】先表示出分数，然后比较大小。 1 4 ( ) 1 2 3 8 ( ) 7 8 1 2 ( ) 1 3 13 / 25 【考点二】分数与除法 【典例一】15 克的盐水中有 3克盐，如果再加 2克盐，那么盐占盐水的（ ）。 A． 3 17 B． 5 17 C． 2 15 D． 5 20 【典例二】把 5 千克蜂蜜平均装到 6个瓶子里，每瓶蜂蜜是全部蜂蜜的( )，每瓶蜂蜜 的质量是( )千克。 【典例三】习主席提出“绿水青山就是金山银山，我们要像保护眼睛一样保护生态环境。”3 月 12 日植树节，新华小学五年级要植一些树。 （1）植树时发现，如果每行植 16 棵，最后一行缺 1棵；如果每行植 12 棵，最后一行也缺 1 棵。这批树苗最少有多少棵？ （2）在这次植树活动中，新华小学五（1）班植了 11 棵松树，17 棵杨树。 ①植的松树棵数是杨树的几分之几？ ②杨树棵数是植树总棵数的几分之几？ 【考点三】真分数、假分数及带分数的认识和互化 【典例一】若 1 8 a  是一个最简真分数，则其中 a表示的整数有（ ）种不同情况。 A．3 B．4 C．5 D．6 14 / 25 【典例二】在分数 a b （a，b均是不为 0的自然数）中，当 a是( )时， a b 是这个分数的 分数单位；当 a是( )时，这个分数等于 1；当 a( )时，这个分数是真分数。 【典例三】王东每天要用一个一次性口罩，他现有一盒这样的口罩，共 50 个。 （1）王东一个星期用的口罩数量是这盒口罩的几分之几？ （2）这盒口罩王东能用几个星期？（用带分数表示） 【考点四】分数的基本性质、约分及应用 【典例一】将 3 7 的分母加上 21，要使分数的大小不变，分子应该（ ）。 A．加上 21 B．乘 3 C．乘 4 D．加上 49 【典例二】将下列分数约分成最简分数。 19 9 36 48 45 60 13 39 24 40 12 18 【典例三】下图是李强 7～11 岁每年体检的体重与全校同龄学生平均体重的对比图。 15 / 25 （1）简要说明李强从 7岁到 11 岁体重的变化情况。 （2）李强几岁时的体重与全校同龄学生平均体重相差最大？这一年，李强的体重是全校同龄 学生平均体重的几分之几？ 【考点五】通分、分数的大小比较 【典例一】满足条件 4 6 7 8 7 n   的所有整数 n的个数有（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【典例二】先通分，再比较大小。 2 3和 5 9 3 4 和 4 5 3 10和 1 6 3 8和 7 12 16 / 25 【典例三】 五（2）班接种了疫苗加强针的人数占全班的几分之几？和五年级的总体情况相比怎么样？ 专题五分数加法和减法 【考点一】异分母分数加减法 【典例一】小明作一幅绕线画，他先用一根毛线围成一个等腰三角形，其中两条边分别长 1 8分 米、 1 3分米。这根毛线长（ ）分米。 A． 7 12 B． 19 24 C． 7 12或 19 24 【典例二】淘气一家三口包饺子，妈妈包了全部饺子的 1 2 ，爸爸包了全部饺子的 1 3。爸爸和妈 妈一共包了全部饺子的( )，淘气包了全部饺子的( )。 【典例三】学校运来 1吨沙子，用于修房和填跳远、跳高所需的沙坑、修房用去 4 5 吨，填沙坑 用去 1 8吨。 ①一共用了多少吨沙子？ ②还剩下多少吨沙子？ 17 / 25 【考点二】分数混合运算 【典例一】一条彩带，第一天用了全长的 2 15，比第二天多用了全长的 1 30，第三天用了全长的 1 12， 三天一共用了这条彩带的几分之几？列式如下，算式中的 7 30表示的是（ ）。 2 2 1 1 15 15 30 12    4 1 1 15 30 12    7 1 30 12   19 60  A．第二天用了这条彩带的几分之几 B．第一天和第二天一共用了这条彩带的几分之几 C．第二天和第三天一共用了这条彩带的几分之几 D．第一天和第三天一共用了这条彩带的几分之几 【典例二】某小区有一个圆形花圃，小区物业准备种一些花草。花圃面积的 1 4种月季花， 2 5 种 芍药花， 1 10种玫瑰， 3 20 种菊花。 (1) 3 1 20 10  表示：( )。 (2)这个圆形花圃还剩下( )没有种植植物。 【典例三】今年 2月，一批共享电动车投放到了乐乐的家乡。其中老城区投放共享电动车的数 量占总数量的 2 7，新城区投放的数量比老城区多占总数量的 4 35，其余的投放到工业园区。工业 园区投放的共享电动车的数量占总数量的几分之几？ 18 / 25 专题六圆 【考点一】圆的认识 【典例一】如图，井盖平面轮廓采用圆形的原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰 好盖住井口，这里利用了（ ）。 A．同一个圆的直径都相等 B．圆是轴对称图形 C．圆是曲边图形 D．同圆内直径是半径的 2倍 【典例二】看图填空。 (1)如左上图，大半圆形的半径是( )cm，小半圆形的半径是( )cm。 (2)如右上图，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。 【典例三】菲菲同学在学完了圆的知识后，想到了苏州的小桥流水，创作了下面一幅图。这幅 19 / 25 图由 5个完全相同的半圆组合而成，你知道菲菲在画半圆的时候，圆规两脚间的距离是多少 吗？（单位：mm） 【考点二】扇形的认识 【典例一】下面涂色部分是扇形的是（ ）。 A． B． C． 【典例二】分针从 12 起所经过的部分都可以看作扇形。 (1)走 5 分钟，这个扇形的圆心角度数是( )。 (2)走 15 分钟，这个扇形的圆心角度数是( )。 (3)走 30 分钟，这个扇形的圆心角度数是( )。 20 / 25 【典例三】把一个圆分成两个扇形，其中大扇形的圆心角度数是小扇形圆心角的 4倍。大、小 扇形的圆心角各是多少度？各占圆的几分之几？ 【考点三】圆的周长 【典例一】星期天，小林去游乐场游玩，摩天轮的半径是 50 米，小林坐着它转动一周，大约 在空中转过（ ）米。（π取 3.14） A．157 B．314 C．78.5 D．7850 【典例二】一辆汽车轮胎表面的一部分刚被涂了油漆，如图表示当车移动时这个轮胎所形成的 印迹。那么这个轮胎的周长是( )厘米。 【典例三】有一个 200m 环形跑道，它是由两个直道和两个半圆形跑道组成，直道长 50m，每 21 / 25 条跑道宽为 1.25m（如下图）。 （1）小军沿着第二道（由内向外数）跑一圈，他跑了多少米？ （2）如果在这个跑道上进行 200m 赛跑，请问第 3道的起跑线与第 1道相差多少？ （3）如果在这个跑道上进行 100m 赛跑，又该怎样确定起跑线的位置呢？ 【考点四】圆的面积 【典例一】下图是“禁止驶入”交通标志，标志中有一个长 70cm、宽 12cm 的白色长方形，其 余部分是红色。计算下面这个交通标志中红色部分的面积，列式正确的是（ ）。 A．  21 3.14 80 22    B．   23.14 80 2 70 12    C． 2 1 3.14 80 2   D． 23.14 80 70 12   【典例二】如图，平行四边形的面积比长方形的面积大 6cm2，圆的面积是( )cm2。 22 / 25 【典例三】如下图，有一块长 12 米、宽 8米的长方形草地，它的一个角上有一根木桩。如果 有一只羊被拴在这根桩上，拴羊的绳子长 6米，那么这只羊无法吃到草的草地面积是多少？ 【考点五】圆环及组合图形的面积 【典例一】如图所示。一个半径 8m 的圆形花坛，周围有一条 2m 宽的小路。这条小路的占地面 积是（ ）m2。 A．64π B．28π C．4π D．36π 23 / 25 【典例二】学完了圆这一单元后，芳芳画了一个圆环，接着她又沿着内外圆的半径画了两个正 方形（如图）。如果圆环的面积是 20π平方厘米，那么阴影部分的面积是( )平方厘 米。 【典例三】亮亮一家共 10 人去饭店聚餐，饭店餐桌是直径 2米的圆形餐桌。 （1）这个餐桌的面积是多少平方米？ （2）如果每隔 0.6 米坐一个人，那么这个餐桌够坐吗？ （3）餐桌上还有一个方便夹菜的玻璃转盘，转盘半径是 7分米，那么转盘周围留出放碗筷的 面积是多少平方米？（得数保留一位小数） 专题七解决问题的策略 24 / 25 【考点一】用转化的策略解决问题 【典例一】图中阴影部分的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【典例二】在三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8 厘米，A为扇形 AEF 的圆心，且阴影部 分①与②面积相等，扇形所在圆的面积是( )平方厘米。 【考点二】用转化的策略解决特殊的计算问题 【典例一】这是一组有规律的算式：1－ 1 2 ，1－ 3 4，1－ 7 8 ，1－ 15 16，…接着往下写，第六个算 式是( )，这样减下去，结果越来越接近( )。 【典例二】先计算下面各题，然后找出规律。 （1） 1 1 1 2 4 8   ＝ （2） 1 1 1 1 2 4 8 16    ＝ 25 / 25 （3） 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32     ＝ 2024-2025学年五年级下册数学期末备考总复习 常考知识点典例精讲（七大专题25类典型题） 目录 专题一简易方程 3 【考点一】等式与方程 3 【考点二】等式的性质（一）和解方程 4 【考点三】等式的性质（二）和解方程 5 【考点四】列方程解决问题 7 专题二折线统计图 8 【考点一】单式折线统计图 8 【考点二】复式折线统计图 11 专题三因数与倍数 13 【考点一】因数与倍数 13 【考点二】2、5和3的倍数的特征 14 【考点三】质数和合数 15 【考点四】公因数和最大公因数 16 【考点五】公倍数和最小公倍数 17 专题四分数的意义和性质 19 【考点一】分数的意义 19 【考点二】分数与除法 21 【考点三】真分数、假分数及带分数的认识和互化 22 【考点四】分数的基本性质、约分及应用 24 【考点五】通分、分数的大小比较 26 专题五分数加法和减法 27 【考点一】异分母分数加减法 27 【考点二】分数混合运算 29 专题六圆 31 【考点一】圆的认识 31 【考点二】扇形的认识 33 【考点三】圆的周长 35 【考点四】圆的面积 36 【考点五】圆环及组合图形的面积 38 专题七解决问题的策略 41 【考点一】用转化的策略解决问题 41 【考点二】用转化的策略解决特殊的计算问题 42 专题一简易方程 【考点一】等式与方程 【典例一】把数量关系式填写完整。 果园里有85棵梨树，比桃树的4倍少18棵。果园里有多少棵桃树？ ( )×4－18＝( )。 【分析】已知梨树有85棵，比桃树的4倍少18棵，也就是桃树的棵数的4倍减去18棵，就是梨树的棵数，据此得出数量关系。 【解答】数量关系式： 桃树的棵数×4－18＝梨树的棵数 【典例二】猎豹追捕猎物时的速度大约是优秀短跑运动员百米赛跑速度的3倍，每秒大约比运动员多跑20米。优秀短跑运动员每秒大约跑多少米？猎豹呢？ 从以上条件中，可以找到两个等量关系式，分别是：①( )②( )。 如果设( )每秒大约跑米，就可以列出方程：( )。 【分析】根据题意，可以找到两个等量关系式，分别是：①优秀运动员的百米速度猎豹的速度  ②猎豹的速度短跑运动员的速度米（答案不唯一） 如果设优秀短跑运动员每秒大约跑米，据此列方程解答。 【解答】两个等量关系式，分别是： ①优秀运动员的百米速度×3＝猎豹的速度  ②猎豹的速度－短跑运动员的速度＝20米（答案不唯一） 如果设优秀短跑运动员每秒大约跑米，就可以列方程： 或 【典例三】下面式子中，是方程的有( )。（填序号） ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 【分析】含有未知数的等式叫做方程；据此解答。 【解答】①，既含有未知数，又是等式，所以是方程； ②，含有未知数，但不是等式，所以不是方程； ③，是等式，但不含未知数，所以不是方程； ④，含有未知数，但不是等式，所以不是方程； ⑤，既含有未知数，又是等式，所以是方程； ⑥，既含有未知数，又是等式，所以是方程。 综上所述，是方程的有①⑤⑥。 【考点二】等式的性质（一）和解方程 【典例一】如果＋＋＝＋＋＋＋，＋＋＝＋＋＋＋＋，那么1个和（ ）个相等。 【分析】＋＋＝＋＋＋＋，等式的两边同时减去两个，可以得到＝＋＋，然后将＝＋＋ 代入＋＋＝＋＋＋＋＋ 中，得到＝＋＋＋＋＋，即1个和6个相等。 【解答】由分析可知： 如果＋＋＝＋＋＋＋，＋＋＝＋＋＋＋＋，那么1个和6个相等。 【典例二】组装车间要装配两轮电动车和三轮电动车共21辆，需要51个轮胎。装配两轮电动车（ ）辆，三轮电动车（ ）辆。 【分析】根据题意可知，每辆两轮电动车有2个轮胎，每辆三轮电动车有3个轮胎；根据“两轮电动车和三轮电动车共21辆”，可以设三轮电动车有辆，则两轮电动车有（21－）辆。 等量关系：三轮电动车的辆数×3＋两轮电动车的辆数×2＝两轮电动车和三轮电动车轮胎的总数，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设三轮电动车有辆，则两轮电动车有（21－）辆。 3＋2（21－）＝51 3＋42－2＝51 ＋42＝51 ＋42－42＝51－42 ＝9 21－9＝12（辆） 装配两轮电动车12辆，三轮电动车9辆。 【点评】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。也可以用鸡兔同笼的假设法解答。 【典例三】小明今年10岁，爷爷年龄比爸爸年龄的2倍少8岁，妈妈比小明大26岁，爷爷年龄比小明年龄的7倍少2岁。爷爷多少岁？（先写出等量关系式，再列方程解答） 等量关系式：（    ） 【分析】根据题意，爷爷年龄比小明年龄的7倍少2岁，由此可以列出等量关系式为：爷爷的年龄＋2＝小明今年的年龄×7，由此我们可以设爷爷今年x岁，根据等量关系式，列出方程，解出方程即可。 【解答】等量关系式：（爷爷年龄＋2岁＝小明年龄×7） 解：设爷爷x岁。 x＋2＝7×10 x＋2＝70 x＋2－2＝70－2 x＝68 答：爷爷68岁。 【考点三】等式的性质（二）和解方程 【典例一】图中的天平都处于平衡状态，则○＝（ ）。 【分析】观察左边图可知，2○＝3△，根据等式的性质2，方程两边同时乘或除以一个不为0的数，等式不变；两边同时乘2；2×2○＝3×2△，即4○＝6△； 右边图可知，2△＝3□，根据等式的性质2，等式两边同时乘3；2×3△＝3×3□，即6△＝9□，据此解答。 【解答】2○＝3△ 2×2○＝3×2△ 4○＝6△ 2△＝3□ 2×3△＝3×3□ 6△＝9□ 4○＝9□ 图中的天平都处于平衡状态，则4○＝9□。 【典例二】小刚和小强同时从同一点出发，沿着400米环形跑道向相反方向慢跑，小刚每分钟跑95米，小强每分钟跑105米。几分钟后两人第一次相遇？ 【分析】根据相遇问题的公式可得出等量关系：（小刚的速度＋小强的速度）×相遇时间＝路程，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设分钟后两人第一次相遇。 （95＋105）＝400 200＝400 200÷200＝400÷200 ＝2 答：2分钟后两人第一次相遇。 【典例三】妈妈从网上购买了3瓶防晒喷雾，除了购买防晒喷雾的钱，还需要再付6元运费，一共付款192元。平均每瓶防晒喷雾多少元？（用方程解答） 【分析】设平均每瓶防晒喷雾x元。依据等量关系式：平均每瓶防晒喷雾的单价×瓶数＝共支付的钱数－运费，据此列方程，解方程。 【解答】解：设平均每瓶防晒喷雾x元。 3x＝192－6 3x＝186 3x÷3＝186÷3 x＝62 答：平均每瓶防雾62元。 【考点四】列方程解决问题 【典例一】九九重阳节那天，幸福小学五年级有180人参加“敬老爱老”活动，比四年级参加活动人数的2倍少20人，四年级参加活动的有多少人？（用方程解答） 【分析】四年级参加活动人数×2－20人＝五年级参加活动人数。设四年级参加活动的有x人，根据此等量关系式列出方程并解方程即可。 【解答】解：设四年级参加活动的有x人。 2x－20＝180 2x－20＋20＝180＋20 2x＝200 2x÷2＝200÷2 x＝100 答：四年级参加活动的有100人。 【典例二】某学校有教师72人。其中女教师人数是男教师的5倍，学校男教师和女教师各多少人？（用方程解答） 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，设男教师有x人，则女教师有5x人，根据男教师人数＋女教师人数＝总人数，列出方程求出x的值是男教师人数，总人数－男教师人数＝女教师人数。 【解答】解：设学校男教师有x人。 x＋5x＝72 6x＝72 6x÷6＝72÷6 x＝12 72－12＝60（人） 答：学校男教师和女教师各12人、60人。 【典例三】成都与重庆相距300千米，一辆货车从成都开往重庆，一辆轿车从重庆开往成都，货车每时行驶60千米，2时后，两车相距30千米，轿车每时行驶多少千米？ 【分析】设轿车每时行驶多少千米，根据等量关系：成都与重庆的路程＝30千米＋货车2小时行的路程＋轿车2小时的路程，列出方程求解即可。 【解答】解：设轿车每时行驶多少千米。 30＋60×2＋2＝300 30＋120＋2＝300 150＋2＝300 150＋2－150＝300－150 2＝150 2÷2＝150÷2 ＝75 答：轿车每时行驶75千米。 专题二折线统计图 【考点一】单式折线统计图 【典例一】下图是王阿姨元旦期间开车从金华回老家C市过年的过程。下面说法错误的是（    ）。 A．开车4小时后休息了1个小时 B．8时~9时，汽车行驶了255千米 C．金华到老家C市相距640千米 D．9时~10时汽车的速度最快 【解题思路】由折线统计图可知，横轴表示时间，纵轴表示路程，单位长度表示100千米，折线越陡汽车速度越快，折线越缓汽车速度越慢； （1）当折线平行于横轴时，汽车行驶路程不变，此时间段为休息时间； （2）9时汽车行驶了180千米，8时汽车行驶了75千米，8时~9时，汽车一共行驶了（180－75）千米； （3）15时汽车行驶的路程就是金华到老家C市的总路程； （4）根据“速度＝路程÷时间”分别求出汽车每小时行驶的路程，最后比较大小，据此解答。 【详细解答】A．11时－7时＝4（小时） 12时－11时＝1（小时） 所以，7时~11时汽车行驶了4小时，11时~12时休息了1个小时。 B．180－75＝105（千米） 所以，8时~9时，汽车行驶了105千米。 C．由折线统计图可知，7时出发，15时到达目的地，一共行驶了640千米，所以金华到老家C市相距640千米。 D．7时~8时：（75－0）÷1＝75（千米/时） 8时~9时：（180－75）÷1＝105（千米/时） 9时~10时：（300－180）÷1＝120（千米/时） 10时~11时：（410－300）÷1＝110（千米/时） 11时~12时：（410－410）÷1＝0（千米/时） 12时~13时：（500－410）÷1＝90（千米/时） 13时~14时：（580－500）÷1＝80（千米/时） 14时~15时：（640－580）÷1＝60（千米/时） 因为120＞110＞105＞90＞80＞75＞60＞0，所以9时~10时汽车的速度最快。 故答案为：B 【考点点评】理解并掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息解决有关实际问题是解答题目的关键。 【典例二】王叔叔参加了一项自行车赛，如图显示了他比赛时的情况。 （1）这项自行车赛的全程是（ ）千米； （2）他骑行前30千米用了（ ）分钟。 【解题思路】（1）由图可知，横轴表示时间，时间由0增加到140分；纵轴表示路程，路程由0增加到40千米，因此可以得到这项自行车全程是45千米。 （2）问骑行前30千米所用的时间，由图可知，当路程为30千米时，对应的横轴上的时间是80分钟。 【详细解答】（1）这项自行车赛的全程是40千米； （2）他骑行前30千米用了80分钟。 【典例三】下面是博库书城一周的图书借阅情况。 博库书城一周图书借阅情况统计图 （1）星期（ ）图书借阅的数量最多，是（ ）本，星期（ ）图书借阅的数量最少，是（ ）本。 （2）星期三和星期六图书借阅的数量相差（ ）本。 （3）星期（ ）到星期（ ）图书借阅的数量上升的幅度最大，星期（ ）到星期（ ）图书借阅的数量下降的幅度最大。 【解题思路】（1）根据统计图可知，星期日图书借阅的数量最多，是1200本，星期二图书借阅的数量最少，是600本； （2）用星期六图书借阅的数量减去星期三的图书借阅的数量解答即可； （3）根据统计图可知，星期六到星期日图书借阅的数量上升的幅度最大；星期一到星期二图书借阅的数量下降的幅度最大。 【详细解答】（1）（1）星期日图书借阅的数量最多，是1200本，星期二图书借阅的数量最少，是600本。 （2）850－700＝150（本） 星期三和星期六图书借阅的数量相差150本。 （3）星期六到星期日图书借阅的数量上升的幅度最大；星期一到星期二图书借阅的数量下降的幅度最大。 【考点点评】本题考查了折线统计图的分析和整理知识，结合题意分析解答即可。 【考点二】复式折线统计图 【典例一】根据统计图，填一填。 （1）甲饭店第（ ）季度的营业额最高，乙饭店第（ ）季度的营业额最高。 （2）第（ ）季度两饭店的营业额相差最大。 （3）你认为（ ）饭店的营业额越来越好，生意越来越红火。 【解题思路】（1）实线表示甲饭店数据，虚线表示乙饭店数据，数据点位置越高表示营业额越高，据此填空。 （2）同一季度，两数据点相距越远表示相差越大，据此分析。 （3）折线往上表示上升趋势，说明营业额越来越好；折线往下表示下降趋势，说明营业额越来越差，据此分析。 （1）甲饭店第四季度的营业额最高，乙饭店第二季度的营业额最高。 （2）第四季度两饭店的营业额相差最大。 （3）甲饭店营业额一直呈现上升趋势，甲饭店的营业额越来越好，生意越来越红火。 【考点点评】折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示数量的增减变化情况。复式折线统计图表示2个及以上的量的增减变化情况。 【典例二】下图是2023年上半年某汽车交易市场销售轿车和货车情况的统计图。 （1）（ ）月份销售的轿车最多，（ ）月份销售的货车最少。 （2）（ ）月份轿车和货车销售量的差距最大。 （3）货车销售量下降最快的是（ ）月份。 （4）第一季度平均每月销售轿车（ ）辆。 【解题思路】（1）根据图上数据，分别找出销售的轿车最多的月份和销售的货车最少的月份即可； （2）从图中可知，两条折线在2月、3月和5月相距较大，分别计算出相差的数量，再比较即可； （3）观察货车折线的变化趋势，即可找出下降最快的月份； （4）1月、2月、3月是第一季度。第一季度轿车的销售总量÷3＝平均每月销售，代入数据计算即可。 【详细解答】（1）2月份销售的轿车最多，5月份销售的货车最少。 （2）2月：309－115＝194（台）  3月：240－37＝203（台）  5月：230－25＝205（台） 194＜203＜205 5月份轿车和货车销售量的差距最大。 （3）货车销售量下降最快的是3月份。 （4）（210＋309＋240）÷3 ＝759÷3 ＝253（台） 第一季度平均每月销售轿车253台。 【典例三】小美调查了某电器店2022年1—5月甲、乙两种品牌冰箱的销售情况，并绘制了如下图所示的复式条形统计图： 2022年1—5月甲、乙两种品牌冰箱销售统计图 （1）（ ）月份两种品牌冰箱的销量相差最小，此时相差（ ）台。 （2）从总体情况来看，甲品牌冰箱销量呈现（ ）趋势，乙品牌冰箱销量呈现（ ）趋势。如果老板打算再购进这两种冰箱中的一种，他应该购进（ ）品牌的冰箱更合适。 （3）甲品牌冰箱1—5月平均每月销售（ ）台。 【解题思路】（1）观察折线统计图可知，同一月份数据越接近，说明甲、乙两种品牌销量差越小，用较大值减去较小值即可； （2）由图可知，实线表示甲冰箱的销量，虚线表示乙冰箱的销量，观察两种冰箱销量的走势图即可判断其变化趋势，进而确定应该购进的冰箱品牌； （3）用甲冰箱5个月的销售总量除以5即可。 【详细解答】（1）53－51＝2（台） 4月份两种品牌冰箱的销量相差最小，此时相差2台。 （2）从总体情况来看，甲品牌冰箱销量呈现下降趋势，乙品牌冰箱销量呈现上升趋势，如果老板打算再购进这两种冰箱中的一种，他应该购进乙品牌的冰箱更合适。 （3）（65＋60＋57＋53＋50）÷5 ＝285÷5 ＝57（台） 甲品牌冰箱1—5月平均每月销售57台。 【考点点评】本题考查了从统计图中读出信息并根据信息解决问题的能力。 专题三因数与倍数 【考点一】因数与倍数 【典例一】在9×6＝54中，9和6都是54的( )，54是9的( )，也是6的( )。 【分析】因数和倍数的意义：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 【解答】在9×6＝54中，9和6都是54的因数，54是9的倍数，也是6的倍数。 【典例二】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数的因数中合数有( )。 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此先确定这个数，再找出这个数的所有因数，再从这个数的因数中找出合数即可。 【解答】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数是27。 27＝1×27＝3×9 这个数的因数中合数有9，27。 【典例三】学校新购买了一些绘本，比30本多，比40本少，平均分给二年级的7个班还多2本。平均每班分得( )本，一共购买了( )本。 【分析】由题意可知，这些绘本的本数减去2就是7的倍数，再根据求一个数的倍数的方法，再结合绘本的本数在30~40之间，据此解答即可。 【解答】7的倍数且在30~40之间的数是35 35＋2＝37（本） 37÷7＝5（本）⋯⋯2（本） 则平均每班分得5本，一共购买了37本。 【点评】本题考查倍数，明确求一个数的倍数的方法是解题的关键。 【考点二】2、5和3的倍数的特征 【典例一】“4□”是5的倍数，□里可以填( )。 【分析】个位是0或5的数是5的倍数，据此解答。 【解答】要使“4□”是5的倍数，□里可以填0、5。 【典例二】有三个人分别在朋友圈集赞，一段时间后，三人获得的点赞数为连续的偶数，他们获得的点赞数的和是24，那么三人中最少的点赞数是( )。 【分析】三个连续偶数的和是24，可以设中间的偶数为a，最小的偶数是a－2，最大的偶数是a＋2，根据他们获得的点赞数的和是24列方程解答，先求出中间数，再用中间数－2即可。 【解答】解：设中间的偶数为a。 a－2＋a＋（a＋2）＝24 a－2＋a＋a＋2＝24 3a＝24 a＝24÷3 a＝8 8－2＝6 所以三人中最少的点赞数是6。 【典例三】海洋是人类未知的领域，海洋下有大量的沉船遗落的器物。若一个带密码的宝箱随海洋运动被带到了岸边，宝箱的密码是由“0、2、1、6、7中的数字组成的三位数，且这个三位数恰好是9的倍数（不同数位上的数字不同），最多尝试( )次密码就可以打开宝箱。 【分析】9的倍数的特征是各位上的数的和是9的倍数，这5个数字中，2＋1＋6＝9，0＋2＋7＝9的三位数，即 207、270、702、720，用2、1、6可以组成6个不同的三位数，即126、162、216、261、612、621，用0、2、7可以组成4个不同的三位数，6＋4＝10（次），所以最多尝试10次密码就可以打开宝箱。 【解答】由分析可知：最多尝试10次密码就可以打开宝箱。 【考点三】质数和合数 【典例一】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数的因数中合数有( )。 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此先确定这个数，再找出这个数的所有因数，再从这个数的因数中找出合数即可。 【解答】一个数的最大因数和最小倍数都是27，这个数是27。 27＝1×27＝3×9 这个数的因数中合数有9，27。 【典例二】能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是( )。 【分析】由左边的锁上的信息可知这是一个两位数；由中间的锁上的信息可知两位数的最高位是2，那么这个两位数是20——30之间的数；再由第三个锁上的信息，20以内连续3个质数相加的和大于20，那么由此可这3个连续的质数是5、7、11。由此解答。 【解答】5＋7＋11＝23 23满足三把锁上的所有条件。 能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是（23）。 【点评】解决此类问题首先把选取最容易筛选的条件，将选取范围缩到最小，然后再依据剩下的条件进一步筛选，最终进行验证确定。 【典例三】将下面各数分解质因数。 39    18    45    80 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【解答】39＝3×13 18＝2×3×3 45＝3×3×5 80＝2×2×2×2×5 【考点四】公因数和最大公因数 【典例一】15的因数有( )，25的因数有( )，15和25的公因数有( )。 【分析】求一个数的因数，就想哪两个非0自然数相乘等于这个数，则相乘的两个数就是该数的因数，如果相乘的两数相同，写一个即可；公因数是两个或两个以上数字的因数中相同的因数。 【解答】因为15＝1×15＝3×5，所以15的因数有：1，3，5，15； 因为25＝1×25＝5×5，所以25的因数有：1，5，25； 15和25的公因数有：1，5。 【典例二】王阿姨把50块巧克力和35块奶糖平均分给舞蹈队的小朋友，要求尽可能分完，分完发现巧克力多了2块，奶糖少了5块。舞蹈队有多少个小朋友？ 【分析】根据题意，分别求出分给小朋友的巧克力糖和奶糖的块数，然后再求出分得块数的最大公因数，然后再进一步解答即可。 【解答】50－2＝48（块） 35＋5＝40（块） 48＝2×2×2×2×3 40＝2×2×2×5 48和40的最大公因数是：2×2×2＝8 答：舞蹈队有8个小朋友。 【典例三】班主任把36支钢笔和40本练习本平均奖励给在书法比赛中获奖的学生，结果钢笔多了1支，练习本少了2本。在书法比赛中获奖的学生有多少人？ 【分析】根据题意可知，问在书法比赛中获奖的学生有多少人，先算出钢笔和练习本各需要多少，再求出它们的最大公因数，就是在书法比赛中获奖的学生的人数，据此解答即可。 【解答】36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35＝5×7 42＝2×3×7 35和42的最大公因数是：7 答：在书法比赛中获奖的学生有7人。 【考点五】公倍数和最小公倍数 【典例一】有M，N两个数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，M是18，N是( )。 【分析】M和N全部共有的质因数相乘的积就是它们的最大公因数；M和N全部共有的质因数乘各自独立的质因数就是它们的最小公倍数；因此M和N的最大公因数与最小公倍数的乘积等于M×N，用M和N的最大公因数乘最小公倍数，所得积除以18，所得结果即为N的值；据此解答。 【解答】6×90÷18 ＝540÷18 ＝30 因此N是30。 【典例二】五年级二班同学去参观科技馆，小宇说：“我们班这次去的不到50人。”小恒说：“如果6个人坐一辆车，多3个人。”园园说：“如果8个人坐一辆车，空3个座位。”这次最多有多少人去参观科技馆？ 【分析】由“如果6个人坐一辆车，多3个人，如果8个人坐一辆车，空3个座位”可知，如果添加3人，参观的人数刚好既是6的倍数又是8的倍数。根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，较大的那个数为最小公倍数；如果两个数为互质数，最小公倍数为两个数的乘积；据此先求出6与8的最小公倍数，要使人数最多，只要在6与8的最小公倍数上乘整倍数，但要保证人数不超过50，最后减去3即可得到参观的人数。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数为2×2×2×3＝24 24×2－3 ＝48－3 ＝45（人） 答：这次最多有45人去参观科技馆。 【典例三】纵桨飞舟，粽叶飘香，赛龙舟是端午佳节的重要组成部分，是中华文化的传承。为弘扬中华传统文化，彰显“水润之城”的城市内涵，6月10日，有38支来自各县区的代表队在市区古黄河金鹰段举办2024宿迁端午龙舟赛。赛道上原来有21个浮漂（首尾各有一个），每两个浮漂之间距离是15米。现在每两个浮漂之间距离改为20米，不需要重新替换的浮漂有多少个？ 【分析】赛道上原来有21个浮漂，首尾各有一个，所以赛道总长是（21－1）个15米，即300米。现在每两个浮漂之间距离改为20米，不需要重新替换的浮漂就是15和20的公倍数，15和20的最小公倍数是60，所以不需要重新替换的浮漂有（300÷60＋1）个。 【解答】21－1＝20（个） 20×15＝300（米） 15＝3×5 20＝2×2×5 所以15和20的最小公倍数是：5×3×2×2＝60 300÷60＋1 ＝5＋1 ＝6（个） 答：不需要重新替换的浮漂有6个。 专题四分数的意义和性质 【考点一】分数的意义 【典例一】一台拖拉机小时耕了一块地的。这里的是把（    ）看作单位“1”。 A．1小时 B．耕地的总时间 C．一块地的总面积 D．一块地的 【分析】通常把“的”前面的量以及“是”、“比”、“占”、“相当于”等后面的量看作单位“1”，根据题意可知，小时耕了一块地的，这句话中，小时是把 1小时看作单位“1”。根据分数的意义：小时表示把1小时平均分成6份，取其中的5份，据此解答。 【解答】一台拖拉机小时耕了一块地的。这里的是把1小时看作单位“1”。 故答案为：A 【点评】此题考查了判断单位“1”的方法，应注意灵活运用。 【典例二】如图，空白三角形面积是涂色三角形的面积的( )，涂色三角形面积是梯形面积的( )。    【分析】如图所示，空白三角形的高、涂色三角形的高和梯形的高，三条高是相等的，假设它们的高都是h，根据三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别计算出三个图形的面积，最后根据分数的意义：表示一个数是另一个数的几分之几，分别用空白三角形面积除以涂色三角形的面积，涂色三角形面积除以梯形面积，据此解答。 【解答】假设空白三角形、涂色三角形和梯形的高都是h， 空白三角形面积：2×h÷2＝h（平方厘米）； 涂色三角形的面积：8×h÷2＝4h（平方厘米）； 梯形的面积：（2＋8）×h÷2 ＝10×h÷2 ＝5h（平方厘米） ， 。 因此空白三角形面积是涂色三角形的面积的，涂色三角形面积是梯形面积的。 【点评】解答本题的关键是抓住三者的高是相等的，结合三角形面积和梯形面积的计算公式来求解。 【典例三】先表示出分数，然后比较大小。 ( )                ( )           ( ) 【分析】（1）表示把圆平均分成4份（每份1个），取其中的1份；表示圆平均分成2份（每份2个），取其中的1份； （2）表示把长方形平均分成8份（每份1个），取其中的3份；表示把长方形平均分成8份（每份1个），取其中的7份； （3）表示把小圆圈平均分成2份（每份3个），取其中的1份；表示把小圆圈平均分成3份（每份2个），取其中的1份。 【解答】涂色如下： （涂色部分答案不唯一） 【点评】本题主要考查分数意义以及分数的大小比较，需熟练掌握。 【考点二】分数与除法 【典例一】15克的盐水中有3克盐，如果再加2克盐，那么盐占盐水的（    ）。 A． B． C． D． 【分析】将盐的质量除以盐水的质量，求出盐占盐水的几分之几。盐水的质量＝盐的质量＋水的质量。 【解答】（3＋2）÷（15＋2） ＝5÷17 ＝ 所以，盐占盐水的。 故答案为：B 【点评】本题考查了分数与除法，求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。 【典例二】把5千克蜂蜜平均装到6个瓶子里，每瓶蜂蜜是全部蜂蜜的( )，每瓶蜂蜜的质量是( )千克。 【分析】求每瓶是全部蜂蜜的的几分之几，平均分的是单位“1”，求的是分率，即1÷6；求每瓶的千克数，平均分的是具体的数量5千克，求的是具体的数量；用除法计算，据此解答。 【解答】1÷6＝ 5÷6＝（千克） 把5千克蜂蜜平均装到6个瓶子里，每瓶蜂蜜是全部蜂蜜的，每瓶蜂蜜的质量是千克。 【点评】解决此题关键是弄清求得是具体的数量还是分率，求具体的数量平均分的是具体的数量；求分率平均分的是单位“1”。 【典例三】习主席提出“绿水青山就是金山银山，我们要像保护眼睛一样保护生态环境。”3月12日植树节，新华小学五年级要植一些树。 （1）植树时发现，如果每行植16棵，最后一行缺1棵；如果每行植12棵，最后一行也缺1棵。这批树苗最少有多少棵？ （2）在这次植树活动中，新华小学五（1）班植了11棵松树，17棵杨树。 ①植的松树棵数是杨树的几分之几？ ②杨树棵数是植树总棵数的几分之几？ 【分析】（1） 由题意可知，这批树苗的最少棵数比16和12的最小公倍数少1，据此解答； （2）①求植的松树棵数是杨树的几分之几，就是求11是17的几分之几，用11除以17即可； ②求杨树棵数是植树总棵数的几分之几，就是求17是（11＋17） 的几分之几，用17除以（11＋17）即可。 【解答】（1）16＝2×2×2×2 12＝2×2×3 2×2×2×2×3－1 ＝4×2×2×3－1 ＝8×2×3－1 ＝16×3－1 ＝48－1 ＝47（棵） 答：这批树苗最少有47棵。 （2）①11÷17＝ 答：植的松树棵数是杨树的 ②17÷（11＋17） ＝17÷28 ＝ 答：杨树棵数是植树总棵数的。 【点评】本题考查了最小公倍数的应用及求一个数是另一个数的几分之几的问题，需准确理解题意。 【考点三】真分数、假分数及带分数的认识和互化 【典例一】若是一个最简真分数，则其中a表示的整数有（    ）种不同情况。 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】真分数的分子小于分母，求出的真分数时所以a的值，再从真分数中找出分子和分母只有公因数1的分数，据此解答。 【解答】当a＝0时；＝ 当＝1时；＝ 当a＝2时；＝ 当a＝3时；＝ 当a＝4时；＝ 当a＝5时；＝ 当a＝6时；＝ 由此可知，最简真分数有：、、、；所以a表示的整数可能是0，2，4，6一共有4种不同情况。 若是一个最简真分数，则其中a表示的整数有4种不同情况。 故答案为：B 【点评】熟练掌握真分数意义和最简分数的意义是解答本题的关键。 【典例二】在分数（a，b均是不为0的自然数）中，当a是( )时，是这个分数的分数单位；当a是( )时，这个分数等于1；当a( )时，这个分数是真分数。 【分析】分母是几分数单位就是几分之一，即分数单位都是分子是1的分数；当分子＝分母时，分数值＝1；当分子＜分母时，这个分数是真分数，据此填空。 【解答】在分数（a，b均是不为0的自然数）中，当a是1时，是这个分数的分数单位；当a是b时，这个分数等于1；当a小于b时，这个分数是真分数。 【点评】关键是理解分数单位和真分数的含义，能根据分子和分母的关系确定分数值。 【典例三】王东每天要用一个一次性口罩，他现有一盒这样的口罩，共50个。 （1）王东一个星期用的口罩数量是这盒口罩的几分之几？ （2）这盒口罩王东能用几个星期？（用带分数表示） 【分析】（1）由题意可知，王东每天要用一个一次性口罩，则一个星期能用7个，用一个星期用的口罩数量除以这盒口罩的数量即可； （2）用这盒口罩的数量除以7即可求出这盒口罩王东能用几个星期。 【解答】（1）7÷50＝ 答：王东一个星期用的口罩数量是这盒口罩的。 （2）50÷7＝（个） 答：这盒口罩王东能用个星期。 【点评】本题考查求一个数是另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。 【考点四】分数的基本性质、约分及应用 【典例一】将的分母加上21，要使分数的大小不变，分子应该（    ）。 A．加上21 B．乘3 C．乘4 D．加上49 【分析】依据分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘上或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，据此可知，的分母加上21，变成了：7＋21＝28，扩大到原来的（28÷7＝4）倍，要使分数的大小不变，分子也应扩大到原来的4倍；变成：3×4＝12，又12－3＝9，因此分子应加上9或乘4。 【解答】根据分析可知， 7＋21＝28 28÷7＝4（倍） 3×4＝12 12÷3＝4 12－3＝9 将的分母加上21，要使分数的大小不变，分子应该加上9或乘4。 故答案为：C 【点评】这道题是对分数基本性质的应用，弄清楚分子扩大的倍数，是解答本题的关键。 【典例二】将下列分数约分成最简分数。                                                          【分析】根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变；约分的依据是分数的基本性质，把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分；分子和分母的公因数只有1的分数，就是最简分数，据此解答。 【解答】＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ 【典例三】下图是李强7～11岁每年体检的体重与全校同龄学生平均体重的对比图。 （1）简要说明李强从7岁到11岁体重的变化情况。 （2）李强几岁时的体重与全校同龄学生平均体重相差最大？这一年，李强的体重是全校同龄学生平均体重的几分之几？ 【分析】（1）虚线表示李强体重，折线往上表示上升趋势，折线往下表示下降趋势（答案不唯一）； （2）观察统计图，找出李强几岁时体重比全校同龄学生平均体重相差最大；再用这年李强的体重除以全校同龄学生平均的体重，这一年，李强的体重是全校同龄学生平均体重的几分之几；即可解答。 【解答】（1）先上升，再下降，后上升。 （2）李强9岁时的体重与全校同龄学生平均体重相差最大； 45÷25＝ 答：李强9岁时的体重与全校同龄学生平均体重相差最大，这一年，李强的体重是全校同龄学生平均体重的。 【点评】本题考查折线统计图的实际应用；利用折线统计图提供的信息解答实际问题。 【考点五】通分、分数的大小比较 【典例一】满足条件的所有整数n的个数有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【分析】先把三个分数进行通分，＜＜。分母相同，分子大的分数大，则32＜7n＜48。当n＝5时，7n＝7×5＝35；当n＝6时，7n＝7×6＝42，满足要求。 【解答】＝＜＜ 根据分数的大小比较，可以得到32＜7n＜48，满足条件的整数n只能是5、6。 即满足条件的所有整数n的个数有2个。 故答案为：B 【点评】先把分数进行通分，得出分子的范围，再选择符合要求的数据即可。 【典例二】先通分，再比较大小。 和        和        和        和 【分析】通分的方法：先求出几个分数的分母的最小公倍数，把它作为这几个分数的公分母，然后依据分数的基本性质，把原分数分别化成以公分母为分母的分数；通分后分母相同，直接比较分子，分子大的分数大。 【解答】和 ＝ 因为＞，所以＞ 和 ＝；＝ 因为＜，所以＜ 和 ＝；＝ 因为＞，所以＞ 和 ＝；＝ 因为＜，所以＜ 【典例三】 五（2）班接种了疫苗加强针的人数占全班的几分之几？和五年级的总体情况相比怎么样？ 【分析】用五（2）班疫苗加强针的人数÷五（2）班总人数，求出五（2）班疫苗加强针的人数占全班人数的分率；再用五年级疫苗加强针的人数÷五年级总人数，求出五年级加强针占五年级总人数的分率；再和五（2）班加强针占全班的分率进行比较，即可解答。 【解答】20÷45＝ 45÷150＝ ＝；＝ ＞；五（2）班疫苗加强针接种情况比整个年级好。 答：五（2）班接种了疫苗加强针的人数占全班的，五（2）班疫苗加强针接种情况比整个年级好。 【点评】利用求一个数占另一个数的几分之几；以及分数比较大小的方法进行解答。 专题五分数加法和减法 【考点一】异分母分数加减法 【典例一】小明作一幅绕线画，他先用一根毛线围成一个等腰三角形，其中两条边分别长分米、分米。这根毛线长（    ）分米。 A． B． C．或 【分析】根据等腰三角形的特征，有两条边长相等，所以第三条边长可以是分米或者分米。再根据三角形的三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，判断两种情况是否都符合条件。 【解答】＋＝ ＜，两边之和小于第三边，所以这个等腰三角形这两条腰都是分米，第三条边为分米。 ＋＋ ＝＋ ＝＋ ＝（分米） 小明作一幅绕线画，他先用一根毛线围成一个等腰三角形，其中两条边分别长分米、分米。这根毛线长分米。 故答案为：B 【点评】本题主要考查等腰三角形的特点、三角形的三边关系以及分数的加法计算。 【典例二】淘气一家三口包饺子，妈妈包了全部饺子的，爸爸包了全部饺子的。爸爸和妈妈一共包了全部饺子的( )，淘气包了全部饺子的( )。 【分析】把饺子总数看作单位“1”，即可求解。 【解答】爸爸和妈妈一共包了全部饺子的；淘气包了全部饺子的。 【点评】本题主要考查分数的意义，找准单位“1”是解题的关键。 【典例三】学校运来1吨沙子，用于修房和填跳远、跳高所需的沙坑、修房用去吨，填沙坑用去吨。 ①一共用了多少吨沙子？ ②还剩下多少吨沙子？ 【分析】①一共用去沙子的吨数＝修房用去沙子的吨数＋填沙坑用去沙子的吨数； ②剩下沙子的吨数＝沙子的总吨数－（修房用去沙子的吨数＋填沙坑用去沙子的吨数）；据此解答。 【解答】①＋ ＝＋ ＝（吨） 答：一共用了吨沙子。 ②1－＝（吨） 答：还剩下吨沙子。 【点评】异分母分数相加减时，先把异分母分数化为同分母分数，再按照同分母分数加减法计算。 【考点二】分数混合运算 【典例一】一条彩带，第一天用了全长的，比第二天多用了全长的，第三天用了全长的，三天一共用了这条彩带的几分之几？列式如下，算式中的表示的是（    ）。 A．第二天用了这条彩带的几分之几 B．第一天和第二天一共用了这条彩带的几分之几 C．第二天和第三天一共用了这条彩带的几分之几 D．第一天和第三天一共用了这条彩带的几分之几 【分析】算式即，其中是第一天用的，是第二天用的，是第三天用的。通过观察发现：是计算后得出的，即是第一天和第二天一共用了这条彩带的几分之几。 【解答】A．第二天用了这条彩带的＝＝。 B．第一天和第二天一共用了这条彩带的＝＝＝。 C．第二天和第三天一共用了这条彩带的＝＝＝＝。 D．第一天和第三天一共用了这条彩带的＝＝。 故答案为：B 【点评】此题考查了分数加、减混合运算。明确是如何计算出来的是解决此题的关键。 【典例二】某小区有一个圆形花圃，小区物业准备种一些花草。花圃面积的种月季花，种芍药花，种玫瑰，种菊花。 (1)表示：( )。 (2)这个圆形花圃还剩下( )没有种植植物。 【分析】（1）由题意可知，表示种菊花的面积占花圃的面积的分率，表示种玫瑰的面积占花圃的面积的分率，据此解答即可； （2）把花圃的面积看作单位“1”，用1减去月季花、芍药花、玫瑰和菊花占花圃的面积的分率即可。 【解答】（1）表示：种菊花的面积比种玫瑰的面积多占花圃的几分之几。 （2）1－－－－ ＝－－－ ＝－－ ＝－ ＝ 这个圆形花圃还剩下没有种植植物。 【点评】本题考查异分母分数减法，明确其计算方法是解题的关键。 【典例三】今年2月，一批共享电动车投放到了乐乐的家乡。其中老城区投放共享电动车的数量占总数量的，新城区投放的数量比老城区多占总数量的，其余的投放到工业园区。工业园区投放的共享电动车的数量占总数量的几分之几？ 【分析】把这批共享电动车的数量看作单位“1”，根据加法的意义，则新城区投放的数量占总数量的（＋），用单位“1”减去老城区和新城区占总数量的分率即可求出工业园区投放的共享电动车的数量占总数量的几分之几。 【解答】1－－（＋） ＝1－－（＋） ＝1－－ ＝－ ＝ 答：工业园区投放的共享电动车的数量占总数量的。 专题六圆 【考点一】圆的认识 【典例一】如图，井盖平面轮廓采用圆形的原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这里利用了（    ）。 A．同一个圆的直径都相等 B．圆是轴对称图形 C．圆是曲边图形 D．同圆内直径是半径的2倍 【解题思路】根据圆内最长的线段是圆的直径，而且都相等，所以圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，在同圆或等圆中，圆的直径的长度总是半径的2倍，由此解答即可。 【详细解答】井盖平面轮廓采用圆形的原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这里利用了同一个圆的直径都相等这一原理。 故答案为：A 【典例二】看图填空。 (1)如左上图，大半圆形的半径是( )cm，小半圆形的半径是( )cm。 (2)如右上图，长方形的长是( )cm，宽是( )cm。 【解题思路】（1）圆上任意一点到圆心的距离叫圆的半径，同一个圆内所有半径都相等；通过圆心并且两端在圆上的线段叫圆的直径，同一个圆内所有直径都相等；同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半，所以大半圆形的半径是：14÷2＝7（cm），小半圆形的半径是：7÷2＝3.5（cm）； （2）由上图可看出，长方形的长相当于4条半径，即2×4＝8（cm），宽相当于1条直径，即2×2＝4（cm）。 【详细解答】（1）由分析可知： 大半圆形的半径是：14÷2＝7（cm） 小半圆形的半径是：7÷2＝3.5（cm） 所以如左上图，大半圆形的半径是7cm，小半圆形的半径是3.5cm。 （2）由分析可知： 长：2×4＝8（cm） 宽：2×2＝4（cm） 所以如右上图，长方形的长是8cm，宽是4cm。 【考点点评】本题考查半径、直径的应用，学生需熟练掌握半径与直径之间的数量关系。 【典例三】菲菲同学在学完了圆的知识后，想到了苏州的小桥流水，创作了下面一幅图。这幅图由5个完全相同的半圆组合而成，你知道菲菲在画半圆的时候，圆规两脚间的距离是多少吗？（单位：mm） 【解题思路】观察图形可知，上半部分是三个直径与两个12毫米的和，下半部分是两个直径与两个22毫米一个16毫米的和，设：圆的直径为x毫米。列方程：3x＋12×2＝2x＋22×2＋16，解方程，求出直径，再除以2，就是这个圆规两脚之间的距离。 【详细解答】解：设圆的直径为x毫米 3x＋12×2＝2x＋22×2＋16 3x＋24＝2x＋44＋16 3x－2x＝60－24 x＝36 36÷2＝18（毫米） 答：圆规两脚的距离是18毫米。 【考点点评】本题考查方程的实际应用，根据题意找出相关的量，列方程，解方程。 【考点二】扇形的认识 【典例一】下面涂色部分是扇形的是（    ）。 A． B． C． 【解题思路】根据扇形的定义：在一个圆中，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，据此判断即可。 【详细解答】在一个圆中，一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 A．连接弧两端的两条线段不是圆的半径，故A选项不符合题意。 B．连接弧两端的线段是圆的半径，故B符合题意。 C．连接弧两端的两条线段不是圆的半径，故C选项不符合题意。 故答案为：B 【典例二】分针从12起所经过的部分都可以看作扇形。 (1)走5分钟，这个扇形的圆心角度数是( )。 (2)走15分钟，这个扇形的圆心角度数是( )。 (3)走30分钟，这个扇形的圆心角度数是( )。 【解题思路】一个周角是360°，分针走一圈，走了60分钟，把360°平均分成60份，走1分钟就是走了1份，每份扇形圆心角的度数是360°÷60＝6°。所以分针走5分钟，扇形的圆心角是（6×5）°；分针走15分钟，扇形的圆心角是（6×15）°；分针走30分钟，扇形的圆心角是（6×30）°。 【详细解答】（1）360°÷60＝6° 6°×5＝30° 走5分钟，这个扇形的圆心角度数是30°。 （2）6°×15＝90° 走15分钟，这个扇形的圆心角度数是90°。 （3）6°×30＝180° 走30分钟，这个扇形的圆心角度数是180°。 【典例三】把一个圆分成两个扇形，其中大扇形的圆心角度数是小扇形圆心角的4倍。大、小扇形的圆心角各是多少度？各占圆的几分之几？ 【解题思路】已知一个圆分成两个扇形，其中大扇形的圆心角度数是小扇形圆心角的4倍，可以把小扇形圆心角的度数看作1份，则大扇形圆心角的度数是4份，一共是（1＋4）份； 圆周角是360度，用圆周角除以总份数，求出一份数，即小扇形圆心角的度数，再乘4即是大扇形圆心角的度数； 用小扇形的份数除以总份数，求出小扇形占圆的几分之几； 用大扇形的份数除以总份数，求出大扇形占圆的几分之几。 【详细解答】4＋1＝5（份） 小扇形： 360÷5＝72（度） 1÷5＝ 大扇形： 72×4＝288（度） 4÷5＝ 答：大扇形的圆心角是288度，小扇形的圆心角是72度。大扇形占圆的，小扇形占圆的。 【考点三】圆的周长 【典例一】星期天，小林去游乐场游玩，摩天轮的半径是50米，小林坐着它转动一周，大约在空中转过（    ）米。（π取3.14）    A．157 B．314 C．78.5 D．7850 【解题思路】求摩天轮在空中转过的米数，就是求半径为50米的圆的周长；根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算即可。 【详细解答】2×3.14×50＝314（米） 大约在空中转过314米。 故答案为：B 【考点点评】本题考查圆的周长公式的运用，明白摩天轮旋转一周的距离即是圆的周长。 【典例二】一辆汽车轮胎表面的一部分刚被涂了油漆，如图表示当车移动时这个轮胎所形成的印迹。那么这个轮胎的周长是( )厘米。 【解题思路】根据题意可知，从A到B的位置，轮胎刚好转了2周，印记长度为616厘米，所以轮胎的周长是厘米，据此解答。 【详细解答】（厘米） 即这个轮胎的周长是308厘米。 【典例三】有一个200m环形跑道，它是由两个直道和两个半圆形跑道组成，直道长50m，每条跑道宽为1.25m（如下图）。 （1）小军沿着第二道（由内向外数）跑一圈，他跑了多少米？ （2）如果在这个跑道上进行200m赛跑，请问第3道的起跑线与第1道相差多少？ （3）如果在这个跑道上进行100m赛跑，又该怎样确定起跑线的位置呢？ 【答案】（1）3.14×（31.85＋1.25×2）＝107.859（m） 107.859＋50×2＝207.859（m） 答：他跑了207.895米。 （2）1.25×2×3.14＝7.85（m） 7.85×（3－1）＝15.7（m） 答：第3道的起跑线与第1道相差15.7米。 （3）1.25×3.14＝3.925（m） 答：在200m的跑道上进行100m赛跑，当第1条跑道的起跑线确定后，以后每一道起跑线要比前一道提前3.925 m。 【考点四】圆的面积 【典例一】下图是“禁止驶入”交通标志，标志中有一个长70cm、宽12cm的白色长方形，其余部分是红色。计算下面这个交通标志中红色部分的面积，列式正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可知，这个交通标志中红色部分面积等于直径是80cm的圆的面积－长是70cm，宽是12cm长方形面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详细解答】3.14×（80÷2）2－70×12 ＝3.14×402－840 ＝3.14×1600－840 ＝5024－840 ＝4184（cm2） 下图是“禁止驶入”交通标志，标志中有一个长70cm、宽12cm的白色长方形，其余部分是红色。计算下面这个交通标志中红色部分的面积，列式正确的是3.14×（80÷2）2－70×12。 故答案为：B 【典例二】如图，平行四边形的面积比长方形的面积大6cm2，圆的面积是( )cm2。    【解题思路】长方形的长、平行四边形的高、圆的直径相等。由平行四边形的面积比长方形的面积大6 cm2，可知平行四边形的高是6÷（5－4）＝6（cm），所以圆的半径是：6÷2＝3（cm）；再根据圆的面积公式：，即可求出圆的面积。 【详细解答】6÷（5－4） ＝6÷1 ＝6（cm） 6÷2＝3（cm） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 所以，圆的面积是28.26cm2。 【考点点评】正确理解图意，熟记长方形、平行四边形、圆的面积计算公式，是解答此题的关键。 【典例三】如下图，有一块长12米、宽8米的长方形草地，它的一个角上有一根木桩。如果有一只羊被拴在这根桩上，拴羊的绳子长6米，那么这只羊无法吃到草的草地面积是多少？ 【解题思路】在一个角处拴一只羊，那么羊能吃到的范围是以绳子的长度为半径的圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，长方形的面积：长×宽，把数代入求出两部分的面积，再用长方形的面积减去圆的面积即可求出无法吃到草的草地面积。 【详细解答】3.14×62÷4 ＝3.14×36÷4 ＝28.26（平方米） 12×8－28.26 ＝96－28.26 ＝67.74（平方米） 答：这只羊无法吃到草的草地面积是67.74平方米。 【考点点评】本题主要考查圆的面积公式和长方形的面积公式，熟练掌握它们的面积公式并灵活运用。 【考点五】圆环及组合图形的面积 【典例一】如图所示。一个半径8m的圆形花坛，周围有一条2m宽的小路。这条小路的占地面积是（    ）m2。 A．64π B．28π C．4π D．36π 【解题思路】求这条小路的面积求圆环的面积，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），据此代入数值进行计算即可。 【详细解答】π [（8＋2）2－82] ＝π[100－64] ＝36π 故答案为：D 【考点点评】本题考查圆环的面积，熟记公式是解题的关键。 【典例二】学完了圆这一单元后，芳芳画了一个圆环，接着她又沿着内外圆的半径画了两个正方形（如图）。如果圆环的面积是20π平方厘米，那么阴影部分的面积是( )平方厘米。 【解题思路】观察图形可知，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；大正方形的边长等于圆环的大圆半径，小正方形的边长等于圆环的小圆的半径，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；大正方形面积＝大圆半径2，小正方形面积＝小圆半径2，阴影部分面积＝大圆半径2－小圆半径2；根据圆环的面积公式：圆环面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），大圆半径2－小圆半径2＝圆环面积÷π，即阴影部分面积＝圆环面积÷π，据此解答。 【详细解答】20π÷π＝20（平方厘米） 学完了圆这一单元后，芳芳画了一个圆环，接着她又沿着内外圆的半径画了两个正方形（如图）。如果圆环的面积是20π平方厘米，那么阴影部分的面积是20平方厘米。    【考点点评】解答本题的关键明确阴影部分面积与圆环面积之间的关系，进而解答。 【典例三】亮亮一家共10人去饭店聚餐，饭店餐桌是直径2米的圆形餐桌。 （1）这个餐桌的面积是多少平方米？ （2）如果每隔0.6米坐一个人，那么这个餐桌够坐吗？ （3）餐桌上还有一个方便夹菜的玻璃转盘，转盘半径是7分米，那么转盘周围留出放碗筷的面积是多少平方米？（得数保留一位小数） 【解题思路】（1）根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答； （2）根据圆的周长公式：C＝πd，求出这张桌面的周长，如果每隔0.6米坐一个人，用桌面的周长除以0.6即可； （3）根据环形面积＝外圆面积－内圆面积，把数据代入公式解答。 【详细解答】（1）3.14×（2÷2）2 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 答：这个餐桌的面积是3.14平方米。 （2）3.14×2÷0.6 ＝6.28÷0.6 ≈10（人） 答：如果每隔0.6米坐一个人，这个餐桌够坐。 （3）7分米＝0.7米 3.14－3.14×0.72 ＝3.14－3.14×0.49 ＝3.14－1.5386 ＝1.6014 ≈1.6（平方米） 答：剩余的面积大约是1.6平方米。 【考点点评】此题主要考查圆的周长公式、圆的面积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 专题七解决问题的策略 【考点一】用转化的策略解决问题 【典例一】图中阴影部分的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积相当于一个半径是2厘米的圆面积减去一个直径是2厘米的圆面积；阴影部分的周长相当于一个半径是2厘米的圆周长加上一个直径是2厘米的圆周长；根据圆周长公式和圆面积公式，用3.14×22－3.14×（2÷2）2即可求出阴影部分的面积；用3.14×2×2＋3.14×2即可求出阴影部分的周长。据此解答。 【解答】3.14×22－3.14×（2÷2）2 ＝3.14×22－3.14×12 ＝3.14×4－3.14×1 ＝12.56－3.14 ＝9.42（平方厘米） 3.14×2×2＋3.14×2 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（厘米） 图中阴影部分的面积是9.42平方厘米，周长是18.84厘米。 【点评】本题主要考查了圆周长公式和圆面积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 【典例二】在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8厘米，A为扇形AEF的圆心，且阴影部分①与②面积相等，扇形所在圆的面积是( )平方厘米。 【分析】根据题意，三角形ABC为等腰直角三角形，所以∠A＝∠B＝45°，利用转化的策略可知，阴影部分①与②面积相等，因为阴影部分①与②面积相等，所以扇形AEF的面积就等于三角形ABC的面积，整个圆面积的圆心角为360°，扇形AEF的圆心角是整个圆面积的面积，求扇形所在圆的面积可用扇形AEF的面积乘8即可得到答案。 【解答】360°÷45°＝8 扇形所在圆的面积： 8×8÷2×8 ＝32×8 ＝256（平方厘米） 【点评】此题主要考查了圆与组合图形面积的计算方法，解答此题的关键是要运用转化的策略明确扇形面积等于等腰三角形的面积。 【考点二】用转化的策略解决特殊的计算问题 【典例一】这是一组有规律的算式：1－，1－，1－，1－，…接着往下写，第六个算式是( )，这样减下去，结果越来越接近( )。 【分析】根据题意，1－，1－，1－，1－，…，由此可知，第几个算式，算式中分母就是前一个算式中分数的分母乘2，分子比分母小1，即分子＝分母－1，据此写出第六个算式；分子比分母小1，所以分数越来越接近1，结果越来越接近0，据此解答。 【解答】根据分析可知，第五个算式是：1－＝1－ 第六个算式是：1－＝1－ 这是一组有规律的算式：1－，1－，1－，1－，…接着往下写，第六个算式是1－，这样减下去，结果越来越接近0。 【点评】通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力。 【典例二】先计算下面各题，然后找出规律。 （1）＝ （2）＝ （3）＝ 【分析】这三个算式中每一个相加的加数中后一个加数的分母是前一个加数分母的2倍，可以利用拆项法分别算出算式（1）和是、算式（2）和是、算式（3）和是，通过比较可知，这三个算式的和正好分别是1减最后一个加数的差，由此解答。 【解答】（1）， ＝ ＝1－＋－＋－ ＝1－ ＝ （2）＋＋＋ ＝（1－）＋（－）＋（－）＋（－） ＝1＋－＋－＋－ ＝1－ ＝ （3）＋＋＋＋ ＝（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－） ＝1－＋－＋－＋－＋－ ＝1－ ＝ 规律是：后一种加数是前一个加数的一半的连加算式的和是：1减最后一个加数的差，即分母是最后一个加数的分母，分子比分母少1。 【点评】此题主要考查利用拆项法求和的方法。 学科网（北京）股份有限公司 $$