（期末复习讲义）常考知识点典例精讲（八大专题26类典型例题）-2024-2025学年五年级下册数学期末备考总复习（人教版）

1 / 25 2024-2025 学年五年级下册数学期末备考总复习 常考知识点典例精讲（八大专题 26 类典型题） 2 / 25 目录 专题一观察物体（三） ........................................................... 3 【考点一】观察物体 ..........................................................3 专题二因数和倍数 ............................................................... 4 【考点一】因数和倍数 ........................................................4 【考点二】2、5的倍数特征 ................................................... 5 【考点三】3的倍数特征 ...................................................... 5 【考点四】质数和合数 ........................................................6 专题三长方体和正方体 ........................................................... 7 【考点一】长方体和正方体的认识 ..............................................7 【考点二】长方体和正方体的表面积 ............................................8 【考点三】体积和体积单位 ....................................................9 【考点四】体积单位间的进率 ..................................................9 【考点五】容积和容积单位 ...................................................10 专题四分数的意义和性质 ........................................................ 11 【考点一】分数的意义 .......................................................11 【考点二】分数与除法 .......................................................11 【考点三】真分数和假分数、带分数及其互化 ...................................12 【考点四】分数的基本性质 ...................................................13 【考点五】约分及最大公因数 .................................................13 【考点六】通分及最小公倍数 .................................................14 【考点七】分数和小数的互化 .................................................15 专题五图形的运动（三） ........................................................ 16 【考点一】旋转 .............................................................16 【考点二】平移和旋转的综合 .................................................17 专题六分数的加法和减法 ........................................................ 18 【考点一】同分母分数加、减法 ...............................................18 【考点二】异分母分数加、减法 ...............................................19 【考点三】分数加减混合运算 .................................................20 3 / 25 专题七折线统计图 .............................................................. 20 【考点一】单式折线统计图 ...................................................20 【考点二】复式折线统计图 ...................................................22 专题八数学广角—找次品 ........................................................ 23 【考点一】优化策略分析解决找次品问题 .......................................23 【考点二】用直观流程图表示找次品的过程 .....................................24 专题一观察物体（三） 【考点一】观察物体 【典例一】下面 4个几何体中，从上面和前面看到的图形相同的是（ ）。 A． B． C． D． 【典例二】一个由相同的小正方体摆成的几何体，从上面看到的是 ，数字表示这个位 置所用的小正方体个数。这个几何体从左面看到的形状是图( )（填“甲”或“乙”）。 【典例三】下面是用同样的小正方体摆出的一些几何体。 4 / 25 （1）哪些从前面看是 ？哪些从左面看是 ？ （2）从前面观察一个几何体，看到的图形和从前面观察⑤所看到的一样。这个几何体是用 5 个小正方体摆成的，它有多少种不同的摆法？ （3）同桌之间互相提一个问题并解答。 专题二因数和倍数 【考点一】因数和倍数 【典例一】五（1）班 6名同学去给小树苗浇水。小树苗不到 40 棵，他们发现每人浇水棵数相 同。这批小树苗最多有（ ）棵。 A．30 B．36 C．39 【典例二】同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是 42cm2的长方形，又可以围出面积是 36cm2 的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长( )cm。 【典例三】端午节妈妈买了 35 个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的， 5 / 25 而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【考点二】2、5 的倍数特征 【典例一】三张卡片上分别写着 2、3、5，淘气和笑笑分别从中抽取一张，若两人抽取的卡片 的数字之积是奇数，则淘气胜；若是偶数，则笑笑胜，这个游戏（ ）。 A．淘气胜的可能性大 B．笑笑胜的可能性大 C．两人胜的可能性一样大 D．无法判断 【典例二】从 0，3，6，8 这四个数字中，选出三个数字（数字不能重复选择）组成一个同时 是 2、5倍数的最小三位数是( )，最大三位数是( )。 【典例三】敏敏打算买一些花送给妈妈，马蹄莲 10 元 1 枝，玫瑰 7元 1枝，郁金季 5元 1枝。 她买了一些马蹄莲和郁金香，付给售货员 100 元后，售货员找了她 13 元，请问找回的钱对吗？ 为什么？ 【考点三】3 的倍数特征 【典例一】五年级学生参加舞蹈队队员选拔。演出时需要进行两次队形变换，一次 3人一队， 一次 5人一队，并且不能有剩余。目前已经有 24 人选上，至少还要再选（ ）人刚好合适。 6 / 25 A．8 B．11 C．16 D．6 【典例二】体育课上，30 名学生站成一排，按老师口令从左往右报数：1，2，3，4，5，…30。 （1）老师先让所报数是 2的倍数的同学去跑步，去跑步的有（ ）人。 （2）余下学生中所报数是 3的倍数的同学去跳绳，去跳绳的有（ ）人。 【典例三】星期天，实验小学组织两个年级的同学去参加研学活动，每个年级都有 4个班，在 休息的时候，梅老师说：“我为同学们每人买了 1瓶 3元的饮料，请大家想一想，一共花了多 少钱？”过了一会儿，有三名同学算出了不同的结果。梅老师告诉同学们：“有两名同学算错 了。”你认为谁算对了，为什么？ 【考点四】质数和合数 【典例一】1742 年，德国数学家哥德巴赫提出猜想：每个大于 4的偶数都可以写成两个奇质 数的和，这就是著名的“哥德巴赫猜想”。下列式子能表达这个猜想的是（ ）。 A．20＝5＋15 B．9＝2＋7 C．12＝7＋5 D．18＝1＋17 【典例二】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B 是最 7 / 25 小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小 2的数，E是 10 以内最大的合数， F只有因数 1和 5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 【典例三】妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字 0，第一位数既是偶数，又 是质数；第二位数既是 5的倍数，又是 5的因数；第三位数既是 2的倍数，又是 3的倍数；第 四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的 合数。妈妈银行卡密码是多少？ 专题三长方体和正方体 【考点一】长方体和正方体的认识 【典例一】 图中一共有（ ）个小正方体，不改变小正方体的位置，至少再添 （ ）个同样的小正方体才可以搭成一个大正方体。 【典例二】用一根长为 132 厘米的铁丝围成一个正方体的模型，棱长是（ ）厘米，如果 围成一个长方体的模型，一条长、宽、高的和是（ ）厘米． 【典例三】心灵手巧的小美要用一根长 10m 的绳子给礼盒做装饰（方法如图），结头处绳长 8 / 25 30cm，这根绳子最多可捆扎几个这样的礼盒？ 【考点二】长方体和正方体的表面积 【典例一】一根钢管，它的横截面面积是 20 平方厘米，把它截成 4段，表面积增加了（ ）。 A． 260cm B． 280cm C． 2120cm D． 2160cm 【典例二】用长 6cm、宽 3cm、高 1cm 的两个小长方体拼成一个大长方体。这个大长方体的表 面积最小是（ ）cm2，表面积最大是（ ）cm2。 【典例三】如图，小明的卧室是一个长方体，长 5米，宽 4米，高 2.7 米，卧室有一扇门与客 厅相通，门高 2米，宽 1米，在另一面墙上距地面 1米处有一个长 1.5 米，高 1米的窗子。现 在要对卧室进行如下装修。 （1）给地面铺上50cm 50cm 的地砖，每块地砖的价格是 16 元，买地砖需多少元？ （2）从地面向上给四周的墙壁贴上 1米高的木板，需木板多少平方米？ 9 / 25 【考点三】体积和体积单位 【典例一】一段长为 2米的长方体木料，底面是边长 3cm 的正方形，这段木料的体积是（ ） dm3。 A．600 B．18 C．1.8 D．1800 【典例二】如图：在棱长是 1分米的正方体中挖下一个棱长 4厘米的小正方体，剩下部分的表 面积是（ ）平方分米。剩下部分的体积是（ ）立方分米。 【典例三】游泳池的长为 225 米，宽为 10 米，深为 1.6 米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）如果在游泳池的四周和池底贴上瓷砖，贴瓷砖部分的面积是多少平方米？ （3）游泳池的体积是多少立方米？ 【考点四】体积单位间的进率 【典例一】一根长方体方木，横截面积是 40 平方厘米，长 6.5 米，它的体积是（ ） 立方 厘米． A．260 B．26000 C．0.26 10 / 25 【典例二】有一个长 60 厘米，宽 50 厘米的长方体水缸，把买的西瓜完全浸入在水里，水面上 升了 3厘米。这个西瓜的体积是多少立方分米？ 【典例三】一个无盖的鱼缸，长 1.2m，宽 80cm，高 6dm，这个鱼缸可以放多少立方分米的水？ 【考点五】容积和容积单位 【典例一】一个鱼缸最多能容纳 100 升的水，这个鱼缸的体积可能是（ ）。 A．98 立方分米 B．99 立方分米 C．100 立方分米 D．102 立方分米 【典例二】一个长方体的无盖铁皮水箱，长 0.8 米，宽 0.65 米，高 0.6 米。做这个水箱至少 需要铁皮（ ）平方米。如果每升水重 1千克，这个水箱最多能装水（ ）千克。（铁 皮厚度不计） 【典例三】要挖一个长 9米，宽 5米，深 3米的蓄水池。 （1）这个蓄水池的占地面积是多少平方米？ （2）如果要给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ （3）这个水池能蓄水多少升？ 11 / 25 专题四分数的意义和性质 【考点一】分数的意义 【典例一】1.把一块蛋糕平均分给 3个人，每人分得这块蛋糕的（ ）。 A． 1 3 B． 3 8 C． 8 11 【典例二】（1）请在下面每个图中表示 3 4 。 （2）它们为什么都能表示 3 4 ？ 【典例三】一条水渠长 500 米，计划 14 天修完，照这样计算，4天可以修这条路的    。 【考点二】分数与除法 【典例一】将 6m 长的铁丝平均分成 9段，每段长（ ）。 A． 9 6 m B． 1 9 m C． 6 9 m 12 / 25 【典例二】修路队修一条公路，已修 80 千米，还剩下 31 千米没有修。已修的和没有修的各占 这条公路的几分之几？ 【典例三】五（6）班有 50 人，其中男生 31 人，而男生中爱好体育的有 20 人。 （1）五（6）班爱好体育的男生人数占全部男生人数的几分之几？ （2）五（6）班女生人数占全班的几分之几？ 【考点三】真分数和假分数、带分数及其互化 【典例一】下列说法正确的是（ ）。 A．所有的质数都是奇数 B．两个奇数的差一定是偶数 C．整数都比分数大 D．一个数的倍数一定比它的因数大 【典例二】把下面的假分数化成整数或带分数。 4 3＝ 60 12 ＝ 17 4 ＝ 44 5 ＝ 【典例三】一个带分数，它的分数部分的分子是 4，化成假分数后，分子是 53，这个带分数可 能是多少？ 13 / 25 【考点四】分数的基本性质 【典例一】分数 7 10的分母乘 2，要使分数的大小不变，分子应该（ ）。 A．加 2 B．加 10 C．除以 2 D．乘 2 【典例二】把下面的分数化成分母是 24 而大小不变的分数，请写出过程。 3 8 35 120 56 168 【典例三】甲、乙两位师傅完成同一种零件，甲师傅用了 2 3 小时，乙师傅用了 4 6小时。小丽说： “两位师傅用的时间一样长。”小丽说的对吗？请用计算或画图的方法说明理由。 【考点五】约分及最大公因数 【典例一】把12个梨和36个橘子，平均分给若干个小朋友，都正好分完。小朋友最多有( ) 人，每人分到( )个梨和( )个橘子。 【典例二】五年级（1）（2）班要参加学校组织的义务劳动，五（1）班来了 48 人，五（2） 班来了 42 人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每 组最多有多少人？一共有多少个小组？ 14 / 25 【典例三】一个分数，用 2约分一次，再用 3约分一次，得到 2 3，原来这个分数是( )。 【典例四】2021 年春茶之际，茶农平均每天可以采摘 50 千克茶叶，其中龙井茶有 20 千克， 白茶有 14 千克，其余是乌牛早。 （1）白茶质量是总质量的几分之几？ （2）算式“20÷（50－20－14）”解决的是什么问题？并计算。 【考点六】通分及最小公倍数 【典例一】水仙花每 6天浇一次水，兰花每 8天浇一次水，花匠今天给两种花同时浇了水，至 少( )天后给这两种花同时浇水。 【典例二】乐乐家的空气加湿器，每 6天会亮一次灯（提醒清洗），每 15 天会响一次提醒音 （提醒消毒）。9月 1日的时候既亮灯又响铃了，下一次既亮灯又响铃是在哪一天？ 【典例三】同走一段路，小华用了 2 5 小时，小兰用了 7 15小时，小明用了 5 12小时，( ) 的速度最快。 15 / 25 【典例四】尚好饮品店进了三种总容量相同的饮品，星期六整天的销售情况如下表，如果你是 这家饮品的一名员工，你想对老板提些什么好建议？（要求先比较大小再提出一个好建议） 咖啡奶 椰奶 果汁 售出占 1 4 售出占 2 5 售出占 7 10 【考点七】分数和小数的互化 【典例一】把一根 3m 长的木条锯成同样长的 8段，每段长度是这根木条总长度的    ，每 段长     m，也就是（ ）m。（填小数） 【典例二】五年级（l ）班举行折纸比赛，一组 7 个人共折了 23 个，二组 8 个人共折了 36 个，三组 6个人共折了 20 个，平均每人折的最多的是哪个组呢？ 【典例三】2022 年 6 月 5 日神舟十四号载人飞船顺利升空，我国航天事业愈发强大。王阿姨 和李叔叔打同样一篇有关航天新闻的稿子，王阿姨平均每秒打 5 6个字，李叔叔平均每秒打 0.9 个字，谁打字快一些？ 16 / 25 专题五图形的运动（三） 【考点一】旋转 【典例一】将左下图案绕 P点逆时针旋转 90 度，得到的图案是（ ） A． B． C． 【典例二】根据图，回答问题。 ①号三角形是绕 A点按（ ）时针方向旋转了（ ）度。 ②号梯形是绕 B点按（ ）时针方向旋转了（ ）度。 ③号三角形是绕 C点按（ ）时针方向旋转了（ ）度。 ④号平行四边形是绕 D点按（ ）时针方向旋转了（ ）度。 17 / 25 【典例三】实践操作。 （1）三角形 ABC 绕点 C（ ）时针旋转（ ）°，得到图形①。 （2）平行四边形 ABCD 绕点（ ）顺时针旋转（ ）°，得到图②。 （3）画出梯形 ABCD 绕点 C逆时针旋转 90°后的图形。 【考点二】平移和旋转的综合 【典例一】将图形 A（ ），可以得到图形 B． A．向右平移 3格，再绕 O点逆时针旋择 90° B．向右平移 5格，再绕 O点顺时针旋择 90° C．向右平移 3格，再绕 O点顺时针旋择 90° 【典例二】下面的图②是由图①绕点O按顺时针方向旋转( )°，再向( )平移 ( )格得到的。 18 / 25 【典例三】我是作图高手．将图 A 向上平移一格，绕O点顺时针旋转 90，画出得到的图形 B ． 专题六分数的加法和减法 【考点一】同分母分数加、减法 【典例一】 1 2 3 4 239 12 12 12 12 12 、 、 、 … ，这 239 个数中所有不是整数的分数的和是多少？（ ）。 A．2230 B．2140 C．2350 D．2200 【典例二】学校新到一批书，四年级领了这批书的 5 12 ，一年级领了 3 12 ，问，两个年级共领了 19 / 25 这批书的几分之几？还剩几分之几？ 【典例三】一条施工路段。第一天修了全长的 2 5 ，第二天修了全长的 1 5 ，还剩全长的几分之几 没有修？（先画出线段图，再解答） 【考点二】异分母分数加、减法 【典例一】如图：直观示意图表示（ ）算式的计算过程。 A． 5 1 8 4  B． 5 1 8 4  C． 3 1 8 4  D． 3 1 8 4  【典例二】妈妈买了 2kg 面粉，做蛋糕用了 3 7 kg，做披萨用了 1 4 kg，做蛋糕和披萨一共用了多 少千克面粉？ 【典例三】有红黄蓝三条丝带。红丝带比黄丝带长 7 10米，蓝丝带比黄丝带短 1 4 米。红丝带与蓝 丝带相差多少米？ 20 / 25 【考点三】分数加减混合运算 【典例一】一瓶饮料，喝去一半，又往瓶中加入 3 4 L 饮料，这时瓶中的饮料比原来少了 1 12 L， 这瓶饮料原来有( )升。 【典例二】五（1）班学习委员对本班同学进行了调查：全班 4 5 的同学喜欢数学， 3 4 的同学喜 欢语文， 1 20 的同学数学、语文两科都不喜欢。这个班既喜欢语文又喜欢数学的学生占全班人 数的几分之几？ 【典例三】李阿姨买了两条丝带，第一条长 7 4 米，第二条比第一条短 1 2 米。两条丝带一共长多 少米？ 专题七折线统计图 【考点一】单式折线统计图 【典例一】下图是王阿姨元旦期间开车从金华回老家 C市过年的过程。下面说法错误的是（ ）。 21 / 25 A．开车 4小时后休息了 1个小时 B．8时~9 时，汽车行驶了 255 千米 C．金华到老家 C市相距 640 千米 D．9时~10 时汽车的速度最快 【典例二】某市去年 11 月 1 日至 8日的日平均气温折线统计图如图所示， 从上图中，我们发现日平均气温连续增长的时间段是从 11 月（ ）日起到 11 月 （ ）日。 【典例三】如图是某地 2022 年下半年新能源汽车销售情况统计图。 （1）8月份销售新能源汽车（ ）辆，10 月份销售新能源汽车（ ）辆。 22 / 25 （2）7至 12 月一共销售新能源汽车多少辆？合多少万辆？ （3）该地 7至 12 月平均每月销售新能源汽车多少辆？ 【考点二】复式折线统计图 【典例一】甲、乙两地连续七天住宅成交量（套）如图所示。根据图中信息，下列说法错误的 是（ ）。 A．甲地平均每天的成交量低于乙地 B．单日成交量的最高值，甲地低于乙地 C．这七天，乙地比甲地的住宅成交量的波动更大 【典例二】下图是平安装修公司去年收入和支出统计图，认真读图后回答问题。 （1）平安装修公司（ ）月份收入最多，是（ ）万元；（ ）月份支出最少，是 （ ）万元。 （2）平安装修公司（ ）～（ ）月份收入下降得最多，降低了（ ）万元。 （3）平安装修公司全年的收入是（ ）万元，全年的月平均支出是（ ）万元。 23 / 25 【典例三】下面是某市第一中学和第二中学篮球队的五场比赛得分情况统计图，请根据统计图 回答问题。 （1）两个球队第一场比赛成绩相差（ ）分；第三场相差（ ）分。 （2）两队比赛比分相差最多的是第（ ）场比赛。 （3）两队成绩呈现什么变化趋势？ （4）你能预测下一场两校篮球队比赛结果吗？并说明理由。 专题八数学广角—找次品 【考点一】优化策略分析解决找次品问题 【典例一】有 6盒饼干，其中 5盒质量相同，有 1盒少了几块（轻一些）。如果用天平称，至 少称( )次保证可以找出这盒饼干。 【典例二】10 件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称( )次才能保 证找出次品。 24 / 25 【典例三】在 8个零件中找出一个次品（次品轻），其它零件的质量相同。用天平称，至少称 ( )次就一定能找出。 【考点二】用直观流程图表示找次品的过程 【典例一】福建物产丰富，有很多地方盛产水果，才溪脐橙产自著名革命老区上杭县才溪镇， 被评为“福建省名牌农产品”。王伯伯准备了 12 箱脐橙寄往外地，其中 11 箱质量相同，另外 有 1箱质量稍轻一些，至少称几次能保证找出这箱轻一些的脐橙？（请你试着用图表示称的过 程） 【典例二】1箱糖果有 15 袋，其中有 14 袋质量相同，另有 1袋质量不足，轻一些。至少称几 次能保证找出这袋糖果来？你会用下面的图表示出来吗？ 25 / 25 【典例三】1箱糖果有 12 袋，其中 11 袋质量相同，另有 1袋质量轻一些。假如用天平称，至 少称几次能保证找出这袋糖果？ 2024-2025学年五年级下册数学期末备考总复习 常考知识点典例精讲（八大专题26类典型题） 目录 专题一观察物体（三） 3 【考点一】观察物体 3 专题二因数和倍数 4 【考点一】因数和倍数 4 【考点二】2、5的倍数特征 5 【考点三】3的倍数特征 5 【考点四】质数和合数 6 专题三长方体和正方体 7 【考点一】长方体和正方体的认识 7 【考点二】长方体和正方体的表面积 8 【考点三】体积和体积单位 9 【考点四】体积单位间的进率 9 【考点五】容积和容积单位 10 专题四分数的意义和性质 11 【考点一】分数的意义 11 【考点二】分数与除法 11 【考点三】真分数和假分数、带分数及其互化 12 【考点四】分数的基本性质 13 【考点五】约分及最大公因数 13 【考点六】通分及最小公倍数 14 【考点七】分数和小数的互化 15 专题五图形的运动（三） 16 【考点一】旋转 16 【考点二】平移和旋转的综合 17 专题六分数的加法和减法 18 【考点一】同分母分数加、减法 18 【考点二】异分母分数加、减法 19 【考点三】分数加减混合运算 20 专题七折线统计图 20 【考点一】单式折线统计图 20 【考点二】复式折线统计图 22 专题八数学广角—找次品 23 【考点一】优化策略分析解决找次品问题 23 【考点二】用直观流程图表示找次品的过程 24 专题一观察物体（三） 【考点一】观察物体 【典例一】下面4个几何体中，从上面和前面看到的图形相同的是（    ）。 A． B． C． D． 【典例二】一个由相同的小正方体摆成的几何体，从上面看到的是，数字表示这个位置所用的小正方体个数。这个几何体从左面看到的形状是图( )（填“甲”或“乙”）。 【典例三】下面是用同样的小正方体摆出的一些几何体。 （1）哪些从前面看是？哪些从左面看是？ （2）从前面观察一个几何体，看到的图形和从前面观察⑤所看到的一样。这个几何体是用5个小正方体摆成的，它有多少种不同的摆法？ （3）同桌之间互相提一个问题并解答。 专题二因数和倍数 【考点一】因数和倍数 【典例一】五（1）班6名同学去给小树苗浇水。小树苗不到40棵，他们发现每人浇水棵数相同。这批小树苗最多有（    ）棵。 A．30 B．36 C．39 【典例二】同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长( )cm。 【典例三】端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【考点二】2、5的倍数特征 【典例一】三张卡片上分别写着2、3、5，淘气和笑笑分别从中抽取一张，若两人抽取的卡片的数字之积是奇数，则淘气胜；若是偶数，则笑笑胜，这个游戏（    ）。 A．淘气胜的可能性大 B．笑笑胜的可能性大 C．两人胜的可能性一样大 D．无法判断 【典例二】从0，3，6，8这四个数字中，选出三个数字（数字不能重复选择）组成一个同时是2、5倍数的最小三位数是( )，最大三位数是( )。 【典例三】敏敏打算买一些花送给妈妈，马蹄莲10元1枝，玫瑰7元1枝，郁金季5元1枝。她买了一些马蹄莲和郁金香，付给售货员100元后，售货员找了她13元，请问找回的钱对吗？为什么？ 【考点三】3的倍数特征 【典例一】五年级学生参加舞蹈队队员选拔。演出时需要进行两次队形变换，一次3人一队，一次5人一队，并且不能有剩余。目前已经有24人选上，至少还要再选（    ）人刚好合适。 A．8 B．11 C．16 D．6 【典例二】体育课上，30名学生站成一排，按老师口令从左往右报数：1，2，3，4，5，…30。 （1）老师先让所报数是2的倍数的同学去跑步，去跑步的有（ ）人。 （2）余下学生中所报数是3的倍数的同学去跳绳，去跳绳的有（ ）人。 【典例三】星期天，实验小学组织两个年级的同学去参加研学活动，每个年级都有4个班，在休息的时候，梅老师说：“我为同学们每人买了1瓶3元的饮料，请大家想一想，一共花了多少钱？”过了一会儿，有三名同学算出了不同的结果。梅老师告诉同学们：“有两名同学算错了。”你认为谁算对了，为什么？ 【考点四】质数和合数 【典例一】1742年，德国数学家哥德巴赫提出猜想：每个大于4的偶数都可以写成两个奇质数的和，这就是著名的“哥德巴赫猜想”。下列式子能表达这个猜想的是（    ）。 A．20＝5＋15 B．9＝2＋7 C．12＝7＋5 D．18＝1＋17 【典例二】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 【典例三】妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 专题三长方体和正方体 【考点一】长方体和正方体的认识 【典例一】图中一共有（ ）个小正方体，不改变小正方体的位置，至少再添（ ）个同样的小正方体才可以搭成一个大正方体。 【典例二】用一根长为132厘米的铁丝围成一个正方体的模型，棱长是（ ）厘米，如果围成一个长方体的模型，一条长、宽、高的和是（ ）厘米． 【典例三】心灵手巧的小美要用一根长10m的绳子给礼盒做装饰（方法如图），结头处绳长30cm，这根绳子最多可捆扎几个这样的礼盒？ 【考点二】长方体和正方体的表面积 【典例一】一根钢管，它的横截面面积是20平方厘米，把它截成4段，表面积增加了（ ）。 A． B． C． D． 【典例二】用长6cm、宽3cm、高1cm的两个小长方体拼成一个大长方体。这个大长方体的表面积最小是（ ）cm2，表面积最大是（ ）cm2。 【典例三】如图，小明的卧室是一个长方体，长5米，宽4米，高2.7米，卧室有一扇门与客厅相通，门高2米，宽1米，在另一面墙上距地面1米处有一个长1.5米，高1米的窗子。现在要对卧室进行如下装修。 （1）给地面铺上的地砖，每块地砖的价格是16元，买地砖需多少元？ （2）从地面向上给四周的墙壁贴上1米高的木板，需木板多少平方米？ 【考点三】体积和体积单位 【典例一】一段长为2米的长方体木料，底面是边长3cm的正方形，这段木料的体积是（ ）dm3。 A．600 B．18 C．1.8 D．1800 【典例二】如图：在棱长是1分米的正方体中挖下一个棱长4厘米的小正方体，剩下部分的表面积是（ ）平方分米。剩下部分的体积是（ ）立方分米。 【典例三】游泳池的长为225米，宽为10米，深为1.6米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）如果在游泳池的四周和池底贴上瓷砖，贴瓷砖部分的面积是多少平方米？ （3）游泳池的体积是多少立方米？ 【考点四】体积单位间的进率 【典例一】一根长方体方木，横截面积是40平方厘米，长6.5米，它的体积是（ ） 立方厘米． A．260 B．26000 C．0.26 【典例二】有一个长60厘米，宽50厘米的长方体水缸，把买的西瓜完全浸入在水里，水面上升了3厘米。这个西瓜的体积是多少立方分米？ 【典例三】一个无盖的鱼缸，长1.2m，宽80cm，高6dm，这个鱼缸可以放多少立方分米的水？ 【考点五】容积和容积单位 【典例一】一个鱼缸最多能容纳100升的水，这个鱼缸的体积可能是（ ）。 A．98立方分米 B．99立方分米 C．100立方分米 D．102立方分米 【典例二】一个长方体的无盖铁皮水箱，长0.8米，宽0.65米，高0.6米。做这个水箱至少需要铁皮（ ）平方米。如果每升水重1千克，这个水箱最多能装水（ ）千克。（铁皮厚度不计） 【典例三】要挖一个长9米，宽5米，深3米的蓄水池。 （1）这个蓄水池的占地面积是多少平方米？ （2）如果要给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ （3）这个水池能蓄水多少升？ 专题四分数的意义和性质 【考点一】分数的意义 【典例一】1.把一块蛋糕平均分给3个人，每人分得这块蛋糕的（ ）。 A． B． C． 【典例二】（1）请在下面每个图中表示。 （2） 它们为什么都能表示？ 【典例三】一条水渠长500米，计划14天修完，照这样计算，4天可以修这条路的。 【考点二】分数与除法 【典例一】将6m长的铁丝平均分成9段，每段长（ ）。 A．m B．m C．m 【典例二】修路队修一条公路，已修80千米，还剩下31千米没有修。已修的和没有修的各占这条公路的几分之几？ 【典例三】五（6）班有50人，其中男生31人，而男生中爱好体育的有20人。 （1）五（6）班爱好体育的男生人数占全部男生人数的几分之几？ （2）五（6）班女生人数占全班的几分之几？ 【考点三】真分数和假分数、带分数及其互化 【典例一】下列说法正确的是（ ）。 A．所有的质数都是奇数 B．两个奇数的差一定是偶数 C．整数都比分数大 D．一个数的倍数一定比它的因数大 【典例二】把下面的假分数化成整数或带分数。 ＝ ＝ ＝ ＝ 【典例三】一个带分数，它的分数部分的分子是4，化成假分数后，分子是53，这个带分数可能是多少？ 【考点四】分数的基本性质 【典例一】分数的分母乘2，要使分数的大小不变，分子应该（ ）。 A．加2 B．加10 C．除以2 D．乘2 【典例二】把下面的分数化成分母是24而大小不变的分数，请写出过程。                                  【典例三】甲、乙两位师傅完成同一种零件，甲师傅用了小时，乙师傅用了小时。小丽说：“两位师傅用的时间一样长。”小丽说的对吗？请用计算或画图的方法说明理由。 【考点五】约分及最大公因数 【典例一】把12个梨和36个橘子，平均分给若干个小朋友，都正好分完。小朋友最多有( )人，每人分到( )个梨和( )个橘子。 【典例二】五年级（1）（2）班要参加学校组织的义务劳动，五（1）班来了48人，五（2）班来了42人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？一共有多少个小组？ 【典例三】一个分数，用2约分一次，再用3约分一次，得到，原来这个分数是( )。 【典例四】2021年春茶之际，茶农平均每天可以采摘50千克茶叶，其中龙井茶有20千克，白茶有14千克，其余是乌牛早。 （1）白茶质量是总质量的几分之几？     （2）算式“20÷（50－20－14）”解决的是什么问题？并计算。 【考点六】通分及最小公倍数 【典例一】水仙花每6天浇一次水，兰花每8天浇一次水，花匠今天给两种花同时浇了水，至少( )天后给这两种花同时浇水。 【典例二】乐乐家的空气加湿器，每6天会亮一次灯（提醒清洗），每15天会响一次提醒音（提醒消毒）。9月1日的时候既亮灯又响铃了，下一次既亮灯又响铃是在哪一天？ 【典例三】同走一段路，小华用了小时，小兰用了小时，小明用了小时，( )的速度最快。 【典例四】尚好饮品店进了三种总容量相同的饮品，星期六整天的销售情况如下表，如果你是这家饮品的一名员工，你想对老板提些什么好建议？（要求先比较大小再提出一个好建议） 咖啡奶 椰奶 果汁 售出占 售出占 售出占 【考点七】分数和小数的互化 【典例一】把一根3m长的木条锯成同样长的8段，每段长度是这根木条总长度的，每段长m，也就是（ ）m。（填小数） 【典例二】五年级（l ）班举行折纸比赛，一组7个人共折了23个，二组8个人共折了36个，三组6个人共折了20个，平均每人折的最多的是哪个组呢？ 【典例三】2022年6月5日神舟十四号载人飞船顺利升空，我国航天事业愈发强大。王阿姨和李叔叔打同样一篇有关航天新闻的稿子，王阿姨平均每秒打个字，李叔叔平均每秒打0.9个字，谁打字快一些？ 专题五图形的运动（三） 【考点一】旋转 【典例一】将左下图案绕P点逆时针旋转90度，得到的图案是（ ） A． B． C． 【典例二】根据图，回答问题。 ①号三角形是绕A点按（　　）时针方向旋转了（　　）度。 ②号梯形是绕B点按（　　）时针方向旋转了（　　）度。 ③号三角形是绕C点按（　　）时针方向旋转了（　　）度。 ④号平行四边形是绕D点按（　　）时针方向旋转了（　　）度。 【典例三】实践操作。 （1）三角形ABC绕点C（       ）时针旋转（       ）°，得到图形①。 （2）平行四边形ABCD绕点（       ）顺时针旋转（       ）°，得到图②。 （3）画出梯形ABCD绕点C逆时针旋转90°后的图形。 【考点二】平移和旋转的综合 【典例一】将图形A（　　），可以得到图形B． A．向右平移3格，再绕O点逆时针旋择90° B．向右平移5格，再绕O点顺时针旋择90° C．向右平移3格，再绕O点顺时针旋择90° 【典例二】下面的图②是由图①绕点按顺时针方向旋转( )°，再向( )平移( )格得到的。 【典例三】我是作图高手．将图向上平移一格，绕点顺时针旋转，画出得到的图形． 专题六分数的加法和减法 【考点一】同分母分数加、减法 【典例一】，这239个数中所有不是整数的分数的和是多少？（ ）。 A．2230 B．2140 C．2350 D．2200 【典例二】学校新到一批书，四年级领了这批书的，一年级领了，问，两个年级共领了这批书的几分之几？还剩几分之几？ 【典例三】一条施工路段。第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩全长的几分之几没有修？（先画出线段图，再解答） 【考点二】异分母分数加、减法 【典例一】如图：直观示意图表示（　　）算式的计算过程。 A． B． C． D． 【典例二】妈妈买了2kg面粉，做蛋糕用了kg，做披萨用了kg，做蛋糕和披萨一共用了多少千克面粉？ 【典例三】有红黄蓝三条丝带。红丝带比黄丝带长米，蓝丝带比黄丝带短米。红丝带与蓝丝带相差多少米？ 【考点三】分数加减混合运算 【典例一】一瓶饮料，喝去一半，又往瓶中加入L饮料，这时瓶中的饮料比原来少了L，这瓶饮料原来有( )升。 【典例二】五（1）班学习委员对本班同学进行了调查：全班的同学喜欢数学，的同学喜欢语文，的同学数学、语文两科都不喜欢。这个班既喜欢语文又喜欢数学的学生占全班人数的几分之几？ 【典例三】李阿姨买了两条丝带，第一条长米，第二条比第一条短米。两条丝带一共长多少米？ 专题七折线统计图 【考点一】单式折线统计图 【典例一】下图是王阿姨元旦期间开车从金华回老家C市过年的过程。下面说法错误的是（    ）。 A．开车4小时后休息了1个小时 B．8时~9时，汽车行驶了255千米 C．金华到老家C市相距640千米 D．9时~10时汽车的速度最快 【典例二】某市去年11月1日至8日的日平均气温折线统计图如图所示， 从上图中，我们发现日平均气温连续增长的时间段是从11月（ ）日起到11月（ ）日。 【典例三】如图是某地2022年下半年新能源汽车销售情况统计图。 （1）8月份销售新能源汽车（    ）辆，10月份销售新能源汽车（    ）辆。 （2）7至12月一共销售新能源汽车多少辆？合多少万辆？ （3）该地7至12月平均每月销售新能源汽车多少辆？ 【考点二】复式折线统计图 【典例一】甲、乙两地连续七天住宅成交量（套）如图所示。根据图中信息，下列说法错误的是（    ）。 A．甲地平均每天的成交量低于乙地 B．单日成交量的最高值，甲地低于乙地 C．这七天，乙地比甲地的住宅成交量的波动更大 【典例二】下图是平安装修公司去年收入和支出统计图，认真读图后回答问题。 （1）平安装修公司（ ）月份收入最多，是（ ）万元；（ ）月份支出最少，是（ ）万元。 （2）平安装修公司（ ）～（ ）月份收入下降得最多，降低了（ ）万元。 （3）平安装修公司全年的收入是（ ）万元，全年的月平均支出是（ ）万元。 【典例三】下面是某市第一中学和第二中学篮球队的五场比赛得分情况统计图，请根据统计图回答问题。    （1）两个球队第一场比赛成绩相差（    ）分；第三场相差（    ）分。 （2）两队比赛比分相差最多的是第（    ）场比赛。 （3）两队成绩呈现什么变化趋势？ （4）你能预测下一场两校篮球队比赛结果吗？并说明理由。 专题八数学广角—找次品 【考点一】优化策略分析解决找次品问题 【典例一】有6盒饼干，其中5盒质量相同，有1盒少了几块（轻一些）。如果用天平称，至少称( )次保证可以找出这盒饼干。 【典例二】10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称( )次才能保证找出次品。 【典例三】在8个零件中找出一个次品（次品轻），其它零件的质量相同。用天平称，至少称( )次就一定能找出。 【考点二】用直观流程图表示找次品的过程 【典例一】福建物产丰富，有很多地方盛产水果，才溪脐橙产自著名革命老区上杭县才溪镇，被评为“福建省名牌农产品”。王伯伯准备了12箱脐橙寄往外地，其中11箱质量相同，另外有1箱质量稍轻一些，至少称几次能保证找出这箱轻一些的脐橙？（请你试着用图表示称的过程） 【典例二】1箱糖果有15袋，其中有14袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？你会用下面的图表示出来吗？ 【典例三】1箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有1袋质量轻一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级下册数学期末备考总复习 常考知识点典例精讲（八大专题26类典型题） 目录 专题一观察物体（三） 3 【考点一】观察物体 3 专题二因数和倍数 5 【考点一】因数和倍数 5 【考点二】2、5的倍数特征 6 【考点三】3的倍数特征 7 【考点四】质数和合数 9 专题三长方体和正方体 10 【考点一】长方体和正方体的认识 10 【考点二】长方体和正方体的表面积 11 【考点三】体积和体积单位 13 【考点四】体积单位间的进率 15 【考点五】容积和容积单位 16 专题四分数的意义和性质 18 【考点一】分数的意义 18 【考点二】分数与除法 19 【考点三】真分数和假分数、带分数及其互化 21 【考点四】分数的基本性质 21 【考点五】约分及最大公因数 22 【考点六】通分及最小公倍数 24 【考点七】分数和小数的互化 25 专题五图形的运动（三） 26 【考点一】旋转 26 【考点二】平移和旋转的综合 28 专题六分数的加法和减法 30 【考点一】同分母分数加、减法 30 【考点二】异分母分数加、减法 31 【考点三】分数加减混合运算 32 专题七折线统计图 33 【考点一】单式折线统计图 33 【考点二】复式折线统计图 35 专题八数学广角—找次品 39 【考点一】优化策略分析解决找次品问题 39 【考点二】用直观流程图表示找次品的过程 40 专题一观察物体（三） 【考点一】观察物体 【典例一】下面4个几何体中，从上面和前面看到的图形相同的是（    ）。 A． B． C． D． 【分析】A．从上面看有2行，下边1行3个小正方形，上边1行靠右1个小正方形；从前面看有2行，下边1行3个小正方形，上边1行靠右1个小正方形； B．从上面看有2行，上边1行3个小正方形，下边1行靠右1个小正方形；从前面看有2行，下边1行3个小正方形，上边1行中间1个小正方形； C．从上面看有2行，上边1行3个小正方形，下边1行中间1个小正方形；从前面看有2行，下边1行3个小正方形，上边1行中间1个小正方形； D．从上面看是1行3个小正方形；从前面看有2行，下边1行3个小正方形，上边1行中间1个小正方形。 【解答】 A．从上面看到的图形是，从前面看到的图形是； B．从上面看到的图形是，从前面看到的图形是； C．从上面看到的图形是，从前面看到的图形是； D．从上面看到的图形是，从前面看到的图形是。 从上面和前面看到的图形相同的是，都是。 故答案为：A 【典例二】一个由相同的小正方体摆成的几何体，从上面看到的是，数字表示这个位置所用的小正方体个数。这个几何体从左面看到的形状是图( )（填“甲”或“乙”）。 【分析】从上面看到的平面图形可以确定小正方体的位置，所有数字的和就是小正方体的数量；由上面看到的平面图形可知，从左面可以看到两列，左边一列可以看到2个小正方形，右边一列可以看到3个小正方形，据此解答。 【解答】 一个由相同的小正方体摆成的几何体，从上面看到的是，数字表示这个位置所用的小正方体个数。这个几何体从左面看到的形状是图乙。 【典例三】下面是用同样的小正方体摆出的一些几何体。 （1）哪些从前面看是？哪些从左面看是？ （2）从前面观察一个几何体，看到的图形和从前面观察⑤所看到的一样。这个几何体是用5个小正方体摆成的，它有多少种不同的摆法？ （3）同桌之间互相提一个问题并解答。 【分析】（1）根据观察几何体可知，①③从前面看是，⑤⑩从左面看是。 （2）观察⑤可以看出，从前面看是由两个正方形竖着叠起来的，用5个小正方体来摆，只要把5个小正方体摆成一列两行即可，所以有7种摆法。 （3）哪些从左边看是？ 【解答】 （1）①③从前面看是，⑤⑩从左面看是。 （2）根据对图形的观察，结合空间想象能力可知有7种摆法。 （3）哪些从左边看是？①②④（答案不唯一） 专题二因数和倍数 【考点一】因数和倍数 【典例一】五（1）班6名同学去给小树苗浇水。小树苗不到40棵，他们发现每人浇水棵数相同。这批小树苗最多有（    ）棵。 A．30 B．36 C．39 【分析】根据求一个数的倍数，求出6的倍数，又因为小树苗的棵数不到40棵，结合题意即可求出这批小树苗最多有多少棵。 【解答】6的倍数有6、12、18、24、30、36、42⋯ 其中小于40的最大数是36。 即这批小树苗最多有36棵。 故答案为：B 【点评】本题考查求一个数的倍数，明确小树苗不到40棵是解题的关键。 【典例二】同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长( )cm。 【分析】根据题意可知，两个长方形的周长相同，面积不同；长方形长和宽的数值都是其面积数值的因素，求出42和36的因数对（写成乘法形式）中，找出“长＋宽”相等的组合，一组“长＋宽”就是绳子长度的一半，再乘2，即可解答。 【解答】42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7 36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9 6＋7＝4＋9＝13 13×2＝26（cm） 同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长26cm。 【典例三】端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。 【解答】（1）35 1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。 答：一共有2种放法。 （2）5个一放时放：（次） 7个一放时放：（次） 答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。 【考点二】2、5的倍数特征 【典例一】三张卡片上分别写着2、3、5，淘气和笑笑分别从中抽取一张，若两人抽取的卡片的数字之积是奇数，则淘气胜；若是偶数，则笑笑胜，这个游戏（    ）。 A．淘气胜的可能性大 B．笑笑胜的可能性大 C．两人胜的可能性一样大 D．无法判断 【分析】两人从三张卡片中抽取两张，卡片的数字之积可能是：2×3＝6，2×5＝10，3×5＝15。其中6和10是偶数，15是奇数。偶数的数量多，则两人抽取的卡片的数字之积是偶数的可能性大。据此解答。 【解答】通过分析可得：两人抽取的卡片的数字之积是偶数的可能性大，则这个游戏笑笑胜的可能性大。 故答案为：B 【典例二】从0，3，6，8这四个数字中，选出三个数字（数字不能重复选择）组成一个同时是2、5倍数的最小三位数是( )，最大三位数是( )。 【分析】同时是2和5的倍数的三位数要满足个位是0，当这个数是最小三位数时，百位上和十位上的数从小到大排列；当这个数是最大三位数时，百位上和十位上的数从大到小排列。据此解答。 【解答】由分析可知： 0＜3＜6＜8 所以，从0，3，6，8这四个数字中，选出三个数字（数字不能重复选择）组成一个同时是2、5倍数的最小三位数是360，最大三位数是860。 【点评】本题考查2和5的倍数的特征以及千以内的数比较大小。 【典例三】敏敏打算买一些花送给妈妈，马蹄莲10元1枝，玫瑰7元1枝，郁金季5元1枝。她买了一些马蹄莲和郁金香，付给售货员100元后，售货员找了她13元，请问找回的钱对吗？为什么？ 【分析】观察发现，马蹄莲和郁金香的单价，以及100元都是5的倍数，所以找回的钱数也应是5的倍数。但是，题中找回的13元不是5的倍数。据此解题。 【解答】答：找回13元不对；因为马蹄莲和郁金香的单价分别是10元、5元，都是5的倍数，所以不论买几枝，总钱数也应是5的倍数，付了100元，找回的钱数也应是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回13元不对。 【点评】本题考查了5的倍数特征，个位是0或5的数是5的倍数。 【考点三】3的倍数特征 【典例一】五年级学生参加舞蹈队队员选拔。演出时需要进行两次队形变换，一次3人一队，一次5人一队，并且不能有剩余。目前已经有24人选上，至少还要再选（    ）人刚好合适。 A．8 B．11 C．16 D．6 【分析】只要舞蹈队的人数既是3的倍数，也是5的倍数即可。既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数，据此找到比24大，又同时是3和5的倍数中的最小的数，减去已选上人数即可。 【解答】比24大，又是3和5的倍数，最小的是30。 30－24＝6（人） 因此至少还要再选6人刚好合适。 故答案为：D 【典例二】体育课上，30名学生站成一排，按老师口令从左往右报数：1，2，3，4，5，…30。 （1）老师先让所报数是2的倍数的同学去跑步，去跑步的有（ ）人。 （2）余下学生中所报数是3的倍数的同学去跳绳，去跳绳的有（ ）人。 【分析】（1）个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数，据此找出去跑步的人数； （2）如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，据此找出跳绳的人数。 【解答】（1）在1，2，3，4，5，…30中，2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30，共15个，所以去跑步的有15人。 （2）在1，2，3，4，5，…30中，3的倍数不是2的倍数的有3、9、15、21、27，共5个，所以去跳绳的有5人。 【典例三】星期天，实验小学组织两个年级的同学去参加研学活动，每个年级都有4个班，在休息的时候，梅老师说：“我为同学们每人买了1瓶3元的饮料，请大家想一想，一共花了多少钱？”过了一会儿，有三名同学算出了不同的结果。梅老师告诉同学们：“有两名同学算错了。”你认为谁算对了，为什么？ 【分析】已知1瓶3元，根据单价×数量＝总价，可知，总价是3的倍数， 3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此判断每个数据即可。 【解答】1＋2＋0＋8＝11 11不是3的倍数，所以1208不是3的倍数。 9＋5＋3＝17 17不是3的倍数，所以953不是3的倍数。 1＋0＋8＋9＝18 18是3的倍数，所以1089是3的倍数。 答：小琛算的对，因为1089是3的倍数，总价也是3的倍数。 【考点四】质数和合数 【典例一】1742年，德国数学家哥德巴赫提出猜想：每个大于4的偶数都可以写成两个奇质数的和，这就是著名的“哥德巴赫猜想”。下列式子能表达这个猜想的是（    ）。 A．20＝5＋15 B．9＝2＋7 C．12＝7＋5 D．18＝1＋17 【分析】自然数中，个位上是0、2、4、6、8的数是偶数；个位上是1、3、5、7、9的数是奇数；非零自然数中只有1和它本身两个因数的数是质数，有两个以上因数的数是合数，据此逐项分析。 【解答】A．20＝5＋15，15不是质数，原题干说法错误； B．9＝2＋7，9不是偶数，原题干说法错误； C．12＝7＋5，12是偶数，7和5都是质奇数，原题干说法正确； D．18＝1＋17，1既不是质数，也不是合数，原题干说法错误。 故答案为：C 【典例二】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 【分析】最小的合数是4，最小的质数是2，既不是质数也不是合数的数是1，比最小的质数小2的数是0，10以内最大的合数是9，因数只有1和5的数是5，一位数中最大的偶数是8，所以平平家的电话号码是4210958。 【解答】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是4210958。 【典例三】妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数既是5的倍数，又是5的因数；第三位数既是2的倍数，又是3的倍数；第四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的合数。妈妈银行卡密码是多少？ 【分析】根据偶数的意义：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数； 一个数既是它的因数，也是它的倍数； 2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数； 一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；据此分析解答。 【解答】第一个数字：不含数字0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是2； 第二位数既是5的倍数，又是5的因数；这个数字是5； 第三位数既是2的倍数，又是3的倍数，在1~9中，只有6既是2的倍数，又是3的倍数，这个数字是6； 第四位数既不是质数，也不是合数；1既不是质数，也不是合数，这个数字是1； 第五位数既是奇数，又是合数，在1~9中，9既是奇数，也是合数，这个数字是9； 第六位数是一位数中最大的合数，在1~9中，最大的合数是9，这个数字是9。 妈妈银行卡的密码是256199。 答：妈妈银行卡密码是256199。 专题三长方体和正方体 【考点一】长方体和正方体的认识 【典例一】图中一共有（ ）个小正方体，不改变小正方体的位置，至少再添（ ）个同样的小正方体才可以搭成一个大正方体。 【分析】 第一层有1个小正方体，第二层有5个小正方体，把每层的小正方体个数加起来，可知图中一共有6个小正方体。题中的组合体一共由3列小正方体搭成，不改变小正方体的位置，要想搭成一个大正方体，至少需要27个小正方体。已有6个小正方体，所以至少还需要再添（个）。 【解答】 图中一共有6个小正方体，不改变小正方体的位置，至少再添21个同样的小正方体才可以搭成一个大正方体。 【点评】 数小正方形个数时，注意不要忘记隐藏的小正方体。一个正方体的一条棱上有3个小正方形，则这个正方形应是由3×3×3个小正方体组成的。 【典例二】用一根长为132厘米的铁丝围成一个正方体的模型，棱长是（ ）厘米，如果围成一个长方体的模型，一条长、宽、高的和是（ ）厘米． 【分析】由题意可知长方体和正方体的棱长总和都是132厘米，根据正方体的特征，12条棱的长度都相等，正方体的棱长总和=棱长×12，棱长=棱长总和÷12；长方体的特征是：12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，由此解答． 【解答】132×12=11（厘米）； 132÷4=33（厘米）； 答：正方体的棱长是11厘米，长方体的长、宽、高的和是33厘米． 故答案为11，33． 【典例三】心灵手巧的小美要用一根长10m的绳子给礼盒做装饰（方法如图），结头处绳长30cm，这根绳子最多可捆扎几个这样的礼盒？ 【分析】先求出一个礼盒需要的长度＝长方体的两条长＋两条宽＋四条高＋结头处长度，再用总长度除以一个礼盒需要的长度即可计算出结果。 【解答】10米＝1000厘米 15×2＋2×10＋4×6＋30 ＝30＋20＋24＋30 ＝104（厘米） 1000÷104＝9（个）……64（厘米） 答：这根绳子最多可捆扎9个这样的礼盒。 【点评】主要利用长方体棱长解决实际问题，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。 【考点二】长方体和正方体的表面积 【典例一】一根钢管，它的横截面面积是20平方厘米，把它截成4段，表面积增加了（ ）。 A． B． C． D． 【分析】 钢管截成4段，增加了6个横截面，用横截面积×6即可。 【解答】 20×6＝120（平方厘米） 故答案为：C 【点评】 关键是理解截成4段只需要截3次，每截一次增加两个横截面。 【典例二】用长6cm、宽3cm、高1cm的两个小长方体拼成一个大长方体。这个大长方体的表面积最小是（ ）cm2，表面积最大是（ ）cm2。 【分析】 要使拼成的长方体的表面积最小，那就要把最大面拼在一起，即把长方体最大的两个面对着合起来，减少了2个最大的面，此时的长方体显然是最小的表面积；同理，要使拼成的长方体的表面积最大，就要把最小面拼在一起，据此即可解答。 【解答】 最小表面积：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×6×2 ＝27×4－36 ＝108－36 ＝72（平方厘米） 最大表面积：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×1×2 ＝27×4－6 ＝108－6 ＝102（平方厘米） 【点评】 掌握将两个长方体最大的两个面相粘合在一起，才能保证拼成的新长方体的表面积最小；将两个最小面相粘合，新长方体的表面积最大。这是解决此题的关键。 【典例三】如图，小明的卧室是一个长方体，长5米，宽4米，高2.7米，卧室有一扇门与客厅相通，门高2米，宽1米，在另一面墙上距地面1米处有一个长1.5米，高1米的窗子。现在要对卧室进行如下装修。 （1）给地面铺上的地砖，每块地砖的价格是16元，买地砖需多少元？ （2）从地面向上给四周的墙壁贴上1米高的木板，需木板多少平方米？ 【分析】 （1）先求出长方体底面积，用底面积÷一块地砖面积，求出地砖块数，用块数×每块价格即可； （2）将木板展开是一个长方形，求出底面周长，减去门的宽度，再乘木板高度即可； 【解答】 （1）5×4＝20（平方米）＝200000（平方厘米） 200000÷（50×50） ＝200000÷2500 ＝80（块） 80×16＝1280（元） 答：买地砖需1280元。 （2）（5＋4）×2－1 ＝9×2－1 ＝18－1 ＝17（米） 17×1＝17（平方米） 答：需木板17平方米。 【点评】本题考查了长方体表面积，关键是想清楚需要求的是哪些部分的面积，完整的长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【考点三】体积和体积单位 【典例一】一段长为2米的长方体木料，底面是边长3cm的正方形，这段木料的体积是（ ）dm3。 A．600 B．18 C．1.8 D．1800 【分析】 木料的体积＝底面积×高（木料的长度），据此解答。 【解答】 2米＝20分米，3厘米＝0.3分米 0.3×0.3×20 ＝0.09×20 ＝1.8（立方分米） 故选择：C 【点评】 此题考查长方体的体积计算，牢记公式，找准对应的底面积和高是解题关键。注意换算单位。 【典例二】如图：在棱长是1分米的正方体中挖下一个棱长4厘米的小正方体，剩下部分的表面积是（ ）平方分米。剩下部分的体积是（ ）立方分米。 【分析】 挖下一个棱长4厘米的小正方体，表面积增加了两个小正方形；剩下部分的体积用大正方体的体积减去小正方体的体积即可。 【解答】 4厘米＝0.4分米 （平方分米） （立方分米） 【点评】 在大正方体的顶点处挖去一个小正方体，表面积不变；在棱上挖去一个小正方体，表面积增加两个小正方形；在面上去一个小正方体，表面积增加四个小正方形。 【典例三】游泳池的长为225米，宽为10米，深为1.6米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）如果在游泳池的四周和池底贴上瓷砖，贴瓷砖部分的面积是多少平方米？ （3）游泳池的体积是多少立方米？ 【分析】 （1）求游泳池的占地面积即是求泳池的底面积； （2）贴瓷砖的面积为泳池的四个侧面的面积加1个底面积； （3）泳池的体积＝225×10×1.6＝3600（立方米）；据此解答。 【解答】（1）225×10＝2250（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是2250平方米。 （2）225×1.6×2＋10×1.6×2＋2250 ＝360×2＋16×2＋2250 ＝720＋32＋2250 ＝3002（平方米） 答：贴瓷砖部分的面积是3002平方米。 （3）225×10×1.6 ＝2250×1.6 ＝3600（立方米） 答：游泳池的体积是3600立方米。 【点评】本题考查了长方体的表面积以及体积的应用，关键是要掌握长方体的表面积与体积公式，并灵活运用。 【考点四】体积单位间的进率 【典例一】一根长方体方木，横截面积是40平方厘米，长6.5米，它的体积是（ ） 立方厘米． A．260 B．26000 C．0.26 【分析】 长方体的体积＝长×宽×高＝横截面积×长，题目中给的长是6.5米，单位是米，最后体积是多少，单位是立方厘米，所以先需要把6.5米转化成650厘米，再计算。 【解答】 6.5米＝650（厘米） 40×650＝26000（立方厘米） 故选择：B 【点评】 此题考查了长方体体积的计算，牢记公式并能灵活运用。 【典例二】有一个长60厘米，宽50厘米的长方体水缸，把买的西瓜完全浸入在水里，水面上升了3厘米。这个西瓜的体积是多少立方分米？ 【分析】 把买的西瓜完全浸入在水里，西瓜占据了水缸内水的一部分空间，因此水面上升，已知水面上升了3厘米，西瓜的体积就是水面上升3厘米的水的体积，根据长方体的体积公式V=abh列式解答即可。 【解答】 60×50×3＝9000（立方厘米） 9000立方厘米＝9立方分米 答：这个西瓜的体积是9立方分米。 【点评】 此题属于长方体体积的实际应用，直接根据长方体的体积公式解决问题，解答时要注意题干单位。 【典例三】一个无盖的鱼缸，长1.2m，宽80cm，高6dm，这个鱼缸可以放多少立方分米的水？ 【答案】1.2m=12dm 80cm=8dm V=abh =12×8×6 =576（dm3） 答：这个鱼缸可以放576dm3的水。 【考点五】容积和容积单位 【典例一】一个鱼缸最多能容纳100升的水，这个鱼缸的体积可能是（ ）。 A．98立方分米 B．99立方分米 C．100立方分米 D．102立方分米 【分析】 体积指物体所占空间的大小，而容积指容器所能容纳物体体积的大小，据此解答。 【解答】 一个鱼缸最多能容纳100升的水，100升指鱼缸的容积，鱼缸的体积要大于它的容积，故大于100升，也就是大于100立方分米。只有D符合题意。 故选择：D。 【点评】 掌握物体的体积和容积概念是解题关键，一般情况下物体的体积大于它的容积。 【典例二】一个长方体的无盖铁皮水箱，长0.8米，宽0.65米，高0.6米。做这个水箱至少需要铁皮（ ）平方米。如果每升水重1千克，这个水箱最多能装水（ ）千克。（铁皮厚度不计） 【分析】 已知长方体的长、宽、高，求无盖长方体的表面积，用公式：无盖长方体的表面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽；要求长方体的体积，用公式：长方体的体积＝长×宽×高，据此求出体积，然后用体积乘每升水的质量即可求出总质量。 【解答】 （0.8×0.6＋0.65×0.6）×2＋0.8×0.65 ＝（0.48＋0.39）×2＋0.8×0.65 ＝0.87×2＋0.8×0.65 ＝1.74＋0.52 ＝2.26（平方米）； 0.8×0.65×0.6 ＝0.52×0.6 ＝0.312（立方米） ＝312（升）； 312×1＝312（千克）； 【点评】 熟练掌握长方体的表面积和体积计算公式是解答本题的关键。 【典例三】要挖一个长9米，宽5米，深3米的蓄水池。 （1）这个蓄水池的占地面积是多少平方米？ （2）如果要给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ （3）这个水池能蓄水多少升？ 【分析】 （1）求蓄水池的占地面积面积就是求底面积，用长乘宽即可； （2）根据题意可知，就是给前后面、左右面和底面抹上水泥，求出它们的面积再相加即可； （3）长方体的容积＝长×宽×高，据此解答即可。 【解答】 （1）5×9＝45（平方米）； 答：这个蓄水池的占地面积是45平方米； （2）5×9＋2×（9×3＋5×3） ＝45＋84 ＝129（平方米）； 答：抹水泥部分的面积是129平方米； （3）5×9×3 ＝45×3 ＝135（立方米）； 135立方米＝135000升； 答：这个水池能蓄水135000升。 【点评】 熟记长方体表面积和容积的计算公式是解答本题的关键。 专题四分数的意义和性质 【考点一】分数的意义 【典例一】1.把一块蛋糕平均分给3个人，每人分得这块蛋糕的（ ）。 A． B． C． 【答案】A 【典例二】（1）请在下面每个图中表示。 （2） 它们为什么都能表示？ 【答案】（1）第一个图形中和共有12个苹果，将它平均分为4份，每份有3个，占其中的三份，就是9个； （红色部分表示）； 第二个图形中一条线段将它平均分成4份，取其中的三份，就表示； （红色部分表示）； 第三个图形是一个长方形，将它平均分成4份，取其中三份。 （红色部分表示）。 （2）它们都是将图形平均分成4份，再取其中的三份，故能表示为。 【典例三】一条水渠长500米，计划14天修完，照这样计算，4天可以修这条路的。 【分析】由题意可知，总长度为单位“1”，将其平均分成14份，取其中的4份，即4天可以修这条路的，由此解答即可。 【解答】一条水渠长500米，计划14天修完，照这样计算，4天可以修这条路的。 【点评】明确分数的意义是解答本题的关键。 【考点二】分数与除法 【典例一】将6m长的铁丝平均分成9段，每段长（ ）。 A．m B．m C．m 【答案】C 【典例二】修路队修一条公路，已修80千米，还剩下31千米没有修。已修的和没有修的各占这条公路的几分之几？ 【答案】； 80÷（80＋31） ＝80÷111 ＝； 31÷（80＋31） ＝31÷111 ＝； 答：已修的长度占这条公路的，没有修的长度占这条公路的。 【典例三】五（6）班有50人，其中男生31人，而男生中爱好体育的有20人。 （1）五（6）班爱好体育的男生人数占全部男生人数的几分之几？ （2）五（6）班女生人数占全班的几分之几？ 【分析】（1）爱好体育的男生人数占全部男生人数的分率＝爱好体育的男生人数÷全部男生人数，结果用分数表示； （2）女生人数＝全班人数－男生人数，女生人数占全班人数的分率＝女生人数÷全班人数，结果用分数表示，据此解答。 【解答】（1）20÷31＝ 答：五（6）班爱好体育的男生人数占全部男生人数的。 （2）（50－31）÷50 ＝19÷50 ＝ 答：五（6）班女生人数占全班的。 【点评】掌握一个数占另一个数几分之几的计算方法是解答题目的关键。 【考点三】真分数和假分数、带分数及其互化 【典例一】下列说法正确的是（ ）。 A．所有的质数都是奇数 B．两个奇数的差一定是偶数 C．整数都比分数大 D．一个数的倍数一定比它的因数大 【答案】B 【典例二】把下面的假分数化成整数或带分数。 ＝ ＝ ＝ ＝ 【答案】 【典例三】一个带分数，它的分数部分的分子是4，化成假分数后，分子是53，这个带分数可能是多少？ 【解答】（1） （2）找出乘积是49的两个因数，也就是这个带分数的整数部分和分母。因为49=7×7，所以这个带分数的整数部分和分母都是7，这个带分数是7 。 【考点四】分数的基本性质 【典例一】分数的分母乘2，要使分数的大小不变，分子应该（ ）。 A．加2 B．加10 C．除以2 D．乘2 【答案】D 【典例二】把下面的分数化成分母是24而大小不变的分数，请写出过程。                                  【分析】分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；据此解答。 【解答】＝＝ ＝＝ ＝＝ 【典例三】甲、乙两位师傅完成同一种零件，甲师傅用了小时，乙师傅用了小时。小丽说：“两位师傅用的时间一样长。”小丽说的对吗？请用计算或画图的方法说明理由。 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变，的分子和分母同时乘2，则＝；据此解答。 【解答】＝＝ 所以两位师傅用的时间一样长。 答：小丽说的对。 【点评】掌握分数的基本性质是解题的关键。 【考点五】约分及最大公因数 【典例一】把12个梨和36个橘子，平均分给若干个小朋友，都正好分完。小朋友最多有( )人，每人分到( )个梨和( )个橘子。 【分析】求小朋友最多有多少人，就是求12和36的最大公因数，求出最大公因数后分别除12和36，即可求出每人分到多少个梨和多少个橘子，据此解答即可。 【解答】12＝2×2×3 36＝2×2×3×3 12和36的最大公因数是： 2×2×3 ＝4×3 ＝12 即小朋友最多有12人； 12÷12＝1（个） 36÷12＝3（个） 【点评】此题考查最大公因数在实际生活中的应用，关键理解求小朋友最多人数就是求最大公因数。 【典例二】五年级（1）（2）班要参加学校组织的义务劳动，五（1）班来了48人，五（2）班来了42人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？一共有多少个小组？ 【答案】6人；15个小组 48＝2×2×2×2×3 42＝2×3×7 2×3＝6（人） （48＋42）÷6 ＝90÷6 ＝15（个） 答：每组最多有6人，一共有15个小组。 【典例三】一个分数，用2约分一次，再用3约分一次，得到，原来这个分数是( )。 【分析】根据约分的方法，分别用的分子和分母乘3再乘2，求出原来的分子和分母，写出原分数即可。 【解答】2×3×2＝12、3×3×2＝18，原来这个分数是。 【点评】关键是掌握并灵活运用约分的方法。 【典例四】2021年春茶之际，茶农平均每天可以采摘50千克茶叶，其中龙井茶有20千克，白茶有14千克，其余是乌牛早。 （1）白茶质量是总质量的几分之几？     （2）算式“20÷（50－20－14）”解决的是什么问题？并计算。 【分析】（1）用白茶的质量除以茶叶的总质量即可； （2）由题意可知，20千克表示龙井茶的重量，（50－20－14）表示乌牛早的重量，则20÷（50－20－14）解决的是龙井茶的重量是乌牛早的重量的几倍，据此进行计算即可。 【解答】（1）14÷50＝ 答：白茶质量是总质量的。 （2）20÷（50－20－14）解决的是龙井茶的重量是乌牛早的重量的几倍； 20÷（50－20－14） ＝20÷16 ＝ 答：龙井茶的重量是乌牛早的倍。 【点评】本题考查求一个数占另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。 【考点六】通分及最小公倍数 【典例一】水仙花每6天浇一次水，兰花每8天浇一次水，花匠今天给两种花同时浇了水，至少( )天后给这两种花同时浇水。 【答案】24 【典例二】乐乐家的空气加湿器，每6天会亮一次灯（提醒清洗），每15天会响一次提醒音（提醒消毒）。9月1日的时候既亮灯又响铃了，下一次既亮灯又响铃是在哪一天？ 【分析】由题意可知，先求出6和15的最小公倍数，再用9月1日加上它们的最小公倍数即可。 【解答】6＝2×3 15＝3×5 则6和15的最小公倍数是2×3×5＝30 9月1日＋30＝10月1日 答：下一次既亮灯又响铃是在10月1日。 【点评】本题考查最小公倍数，明确求最小公倍数的方法是解题的关键。 【典例三】同走一段路，小华用了小时，小兰用了小时，小明用了小时，( )的速度最快。 【分析】同一段路程，如果速度越快，说明用的时间越少。所以只需要比较三个人用去的时间的大小，按照异分母分数比较大小的方法，找出用时最短的那个人，即可求出那个人的速度最快。 【解答】 因为，所以。 说明小华用时最短，意味着小华的速度最快。 【点评】此题的解题关键是相同的路程，只需要比较用的时间的大小，按照异分母分数比较大小的方法，解决问题。 【典例四】尚好饮品店进了三种总容量相同的饮品，星期六整天的销售情况如下表，如果你是这家饮品的一名员工，你想对老板提些什么好建议？（要求先比较大小再提出一个好建议） 咖啡奶 椰奶 果汁 售出占 售出占 售出占 【分析】咖啡奶的销售量占总销售量的，椰奶的销售量占总销售量的，果汁的销售量占总销售量的，它们所对应的单位“1”相同，都是总销售量，所以只需要比较分率的大小，即可说明哪种饮品的销售量更多；因此利用分数的基本性质，将三个分数化成同分母分数，即可比较大小，如果哪种饮品售出的多，就应该多进货，问题即可得解。 【解答】＝＝ ＝＝ ＝＝ ＜＜ 说明果汁的销售量最多。 答：通过比较大小，可知果汁售出的更多，对老板提的建议是：多进一些果汁，加强广告宣传。 【点评】此题的解题关键是掌握异分母异分子分数的大小比较的方法。 【考点七】分数和小数的互化 【典例一】把一根3m长的木条锯成同样长的8段，每段长度是这根木条总长度的，每段长m，也就是（ ）m。（填小数） 【答案】；；0.375 【典例二】五年级（l ）班举行折纸比赛，一组7个人共折了23个，二组8个人共折了36个，三组6个人共折了20个，平均每人折的最多的是哪个组呢？ 【分析】分别算出每组平均每人折的个数，作比较即可。 【解答】第一组平均每人折的个数：23÷7＝3（个） ≈3.286（个） 第二组平均每人折的个数：36÷8＝4.5（个）； 第三组平均每人折的个数：20÷6＝3（个）≈3.333（个）； 因为4.5＞3.333＞3.286，所以第二组平均每人折的个数多。 答：平均每人折的个数最多的是二组。 【点评】求出三个小组平均每人折的个数是解题关键，比较分数大小，把分数化成小数是其中方法之一，也可以通过通分的方法比较。 【典例三】2022年6月5日神舟十四号载人飞船顺利升空，我国航天事业愈发强大。王阿姨和李叔叔打同样一篇有关航天新闻的稿子，王阿姨平均每秒打个字，李叔叔平均每秒打0.9个字，谁打字快一些？ 【分析】把化成小数，用分子除以分母即可；然后按照小数大小比较的方法进行比较，谁每秒打的字多，谁就打字快一些。 【解答】＝5÷6≈0.83 因为0.83＜0.9，所以＜0.9。 答：李叔叔打字快一些。 【点评】本题考查分数与小数的互化以及小数大小的比较，也可以将0.9化成分数，再按照分数大小比较的方法进行比较。 专题五图形的运动（三） 【考点一】旋转 【典例一】将左下图案绕P点逆时针旋转90度，得到的图案是（ ） A． B． C． 【分析】根据图形旋转的方法，旋转中心是点P，旋转方向是逆时针，旋转角度是90度，据此即可得出旋转后的图形，由此选择即可。 【解答】根据题干分析可得，绕P点逆时针旋转90度旋转后的图形是 ； 故选B。 【点评】此题主要考查利用旋转进行图形变换的方法的灵活应用，要注意确定旋转中心、方向、角度。 【典例二】根据图，回答问题。 ①号三角形是绕A点按（　　）时针方向旋转了（　　）度。 ②号梯形是绕B点按（　　）时针方向旋转了（　　）度。 ③号三角形是绕C点按（　　）时针方向旋转了（　　）度。 ④号平行四边形是绕D点按（　　）时针方向旋转了（　　）度。 【答案】逆 90 逆 90 顺 90 顺 90 【典例三】实践操作。 （1）三角形ABC绕点C（       ）时针旋转（       ）°，得到图形①。 （2）平行四边形ABCD绕点（       ）顺时针旋转（       ）°，得到图②。 （3）画出梯形ABCD绕点C逆时针旋转90°后的图形。 【分析】（1）根据与C点相连的两条边可以确定是逆时针旋转90°得到图形①； （2）平行四边形点B的位置没有发生变化，说明是绕点B旋转的，根据与B点相连的两条边可以确定是顺时针旋转90°得到图②； （3）根据旋转的方法，将梯形与点C相连的两条边绕点C逆时针旋转90度，再将其它边连起来即可。 【详解】（1）三角形ABC绕点C逆时针旋转90°，得到图形①； （2）平行四边形ABCD绕点B顺时针旋转90°，得到图②； （3）如图： 【点睛】熟练掌握旋转的方法并能灵活利用是解答本题的关键。 【考点二】平移和旋转的综合 【典例一】将图形A（　　），可以得到图形B． A．向右平移3格，再绕O点逆时针旋择90° B．向右平移5格，再绕O点顺时针旋择90° C．向右平移3格，再绕O点顺时针旋择90° 【分析】观察图形，根据图形旋转和平移的方法可得：图形A先向右平移3格，再绕点O顺时针旋转90度，即可得出图形B，据此即可选择． 【答案】C 【典例二】下面的图②是由图①绕点按顺时针方向旋转( )°，再向( )平移( )格得到的。 【分析】旋转是指围绕某个点或线做圆周运动。图①绕点按顺时针方向旋转，角度只有达到90°，才能向右移动，达到重合的目的。向右移动时，观察点的移动格子数，即是图②移动的格子数。 【详解】图②是由图①绕点按顺时针方向旋转90°，再向右平移4格得到的。 【点睛】此题主要掌握旋转和平移的特点。 【典例三】我是作图高手．将图向上平移一格，绕点顺时针旋转，画出得到的图形． 【分析】先把图形的各个顶点分别向上平移1格，再以点为旋转中心，把其它各个顶点分别绕点顺时针旋转90度，再依次连接起来即可． 【解答】解：根据题干分析可得： 【点评】此题考查了利用平移与旋转进行图形变换的灵活应用． 专题六分数的加法和减法 【考点一】同分母分数加、减法 【典例一】，这239个数中所有不是整数的分数的和是多少？（ ）。 A．2230 B．2140 C．2350 D．2200 【答案】D 【典例二】学校新到一批书，四年级领了这批书的，一年级领了，问，两个年级共领了这批书的几分之几？还剩几分之几？ 【答案】＋＝＝ 剩下的部分占整个：1－＝ 答：两个年级共领了这批数的，还剩。 【典例三】一条施工路段。第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩全长的几分之几没有修？（先画出线段图，再解答） 【解题思路】把这段路的长度看作单位“1”，用1减去两天修的分率即可解答。 【详细解答】如图： 1－－ ＝－ ＝ 答：还剩全长的没有修。 【考点点评】本题考查同分母分数减法，明确单位“1”是解题的关键。 【考点二】异分母分数加、减法 【典例一】如图：直观示意图表示（　　）算式的计算过程。 A． B． C． D． 【答案】B 【典例二】妈妈买了2kg面粉，做蛋糕用了kg，做披萨用了kg，做蛋糕和披萨一共用了多少千克面粉？ 【答案】＋（千克） 答：做蛋糕和披萨一共用了千克面粉。 【典例三】有红黄蓝三条丝带。红丝带比黄丝带长米，蓝丝带比黄丝带短米。红丝带与蓝丝带相差多少米？ 【解题思路】以黄丝带为中间量，蓝丝带比它短米，红丝带比它长米，则用加上即可求出红丝带与蓝丝带相差多少米。 【详细解答】＋＝（米） 答：红丝带与蓝丝带相差米。 【考点点评】本题分数加法，明确异分母分数加法的计算方法是解题的关键。 【考点三】分数加减混合运算 【典例一】一瓶饮料，喝去一半，又往瓶中加入L饮料，这时瓶中的饮料比原来少了L，这瓶饮料原来有( )升。 【答案】 【典例二】五（1）班学习委员对本班同学进行了调查：全班的同学喜欢数学，的同学喜欢语文，的同学数学、语文两科都不喜欢。这个班既喜欢语文又喜欢数学的学生占全班人数的几分之几？ 【答案】 答：这个班既喜欢语文又喜欢数学的学生占全班人数的。 【典例三】李阿姨买了两条丝带，第一条长米，第二条比第一条短米。两条丝带一共长多少米？ 【解题思路】根据题目中的数量关系：第一条丝带的长度－米＝第二条丝带的长度，代入数量，求出第二条丝带的长度，再加上第一条丝带的长度，即是两条丝带的长度和。 【详细解答】－＋ ＝－＋ ＝＋ ＝3（米） 答：两条丝带一共长3米。 【考点点评】此题的解题关键是理解题中的分数代表是具体的数量还是分率，再通过数量关系，利用分数的加减混合运算，求出丝带的长度，即可解决问题。 专题七折线统计图 【考点一】单式折线统计图 【典例一】下图是王阿姨元旦期间开车从金华回老家C市过年的过程。下面说法错误的是（    ）。 A．开车4小时后休息了1个小时 B．8时~9时，汽车行驶了255千米 C．金华到老家C市相距640千米 D．9时~10时汽车的速度最快 【分析】由折线统计图可知，横轴表示时间，纵轴表示路程，单位长度表示100千米，折线越陡汽车速度越快，折线越缓汽车速度越慢； （1）当折线平行于横轴时，汽车行驶路程不变，此时间段为休息时间； （2）9时汽车行驶了180千米，8时汽车行驶了75千米，8时~9时，汽车一共行驶了（180－75）千米； （3）15时汽车行驶的路程就是金华到老家C市的总路程； （4）根据“速度＝路程÷时间”分别求出汽车每小时行驶的路程，最后比较大小，据此解答。 【解答】A．11时－7时＝4（小时） 12时－11时＝1（小时） 所以，7时~11时汽车行驶了4小时，11时~12时休息了1个小时。 B．180－75＝105（千米） 所以，8时~9时，汽车行驶了105千米。 C．由折线统计图可知，7时出发，15时到达目的地，一共行驶了640千米，所以金华到老家C市相距640千米。 D．7时~8时：（75－0）÷1＝75（千米/时） 8时~9时：（180－75）÷1＝105（千米/时） 9时~10时：（300－180）÷1＝120（千米/时） 10时~11时：（410－300）÷1＝110（千米/时） 11时~12时：（410－410）÷1＝0（千米/时） 12时~13时：（500－410）÷1＝90（千米/时） 13时~14时：（580－500）÷1＝80（千米/时） 14时~15时：（640－580）÷1＝60（千米/时） 因为120＞110＞105＞90＞80＞75＞60＞0，所以9时~10时汽车的速度最快。 故答案为：B 【点评】理解并掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息解决有关实际问题是解答题目的关键。 【典例二】某市去年11月1日至8日的日平均气温折线统计图如图所示， 从上图中，我们发现日平均气温连续增长的时间段是从11月（ ）日起到11月（ ）日。 【分析】观察统计图可知，横轴代表日期，纵轴代表气温，然后根据统计表进行解答即可。 【解答】从上图中，我们发现日平均气温连续增长的时间段是从11月2日起到11月5日。 【点评】本题考查折线统计图，通过统计图分析出相应数据是解题的关键。 【典例三】如图是某地2022年下半年新能源汽车销售情况统计图。 （1）8月份销售新能源汽车（    ）辆，10月份销售新能源汽车（    ）辆。 （2）7至12月一共销售新能源汽车多少辆？合多少万辆？ （3）该地7至12月平均每月销售新能源汽车多少辆？ 【分析】（1）根据图上1格代表200辆，8月对应点的纵轴数据是1800辆，10月对应点的纵轴数据是2000辆填表。 （2）观察图：7月销售1600辆，8月销售1800辆，9月销售1700辆，10月销售2000辆，11月销售2140辆，12月销售2400辆，相加后再改写成用万作单位的数，就在万位后面点上小数点，化简小数后，在数字后面添上“万”字即可。 （3）用这几个月总量除以6个月即可解答。 【解答】 （1）8月份销售新能源汽车（ 1800  ）辆，10月份销售新能源汽车（  2000  ）辆。 （2）1600＋1800＋1700＋2000＋2140＋2400＝11640（辆） 11640＝1.164万 答：7至12月一共销售新能源汽车11640辆。合1.164万辆。 （3）11640÷6＝1940（辆） 答：该地7至12月平均每月销售新能源汽车1940辆。 【考点二】复式折线统计图 【典例一】甲、乙两地连续七天住宅成交量（套）如图所示。根据图中信息，下列说法错误的是（    ）。 A．甲地平均每天的成交量低于乙地 B．单日成交量的最高值，甲地低于乙地 C．这七天，乙地比甲地的住宅成交量的波动更大 【答案】C 【分析】总数量÷份数＝平均数，据此分别用它们七天的成交量之和除以7，即可求出它们平均每天的成交量。根据统计图中的数据，逐项进行分析。 【解答】A．甲地：（28＋28＋24＋27＋11＋9＋13）÷7 ＝140÷7 ＝20（套） 乙地：（19＋26＋24＋29＋18＋17＋23）÷7 ＝156÷7 ≈22（套） 20＜22，则甲地平均每天的成交量低于乙地，此选项说法正确； B．甲地单日成交量的最高值是28套，乙地单日成交量的最高值是29套，28＜29，则单日成交量的最高值，甲地低于乙地，此选项说法正确； C．观察统计图可知，甲地比乙地的住宅成交量的波动更大，此选项说法错误。 故答案为：C 【典例二】下图是平安装修公司去年收入和支出统计图，认真读图后回答问题。 （1）平安装修公司（ ）月份收入最多，是（ ）万元；（ ）月份支出最少，是（ ）万元。 （2）平安装修公司（ ）～（ ）月份收入下降得最多，降低了（ ）万元。 （3）平安装修公司全年的收入是（ ）万元，全年的月平均支出是（ ）万元。 【答案】（1）11 90 3 10（2）2 3 30（3）740 30 【分析】（1）观察折线统计图，实线表示收入，看图能够清晰的看出每个月的收入，实线位置越高，表示这个月收入越多，实线位置越低，表示这个月收入越少； 虚线表示支出，看图能够清晰的看出每个月的支出，虚线位置越高，表示这个月支出越多，虚线位置越低，表示这个月支出越少； （2）通过对图中实线的观察，找出每个月收入的具体数值，进行分析，得出哪个月下降最多，用多的月份的收入数值减去少的月份的收入数值，即为降低的数值； （3）通过图找出每个月收入的具体数值，将所有收入数值相加，即为全年收入； 通过图找出每个月支出的具体数值，将所有支出数值相加，再用总数除以12个月，即为全年的月平均支出数值。 【解答】（1）通过观察，11月收入最多，是90万元；3月份支出最少，是10万元。 （2）通过观察，每个月收入情况如下： 1月40万元，2月60万元，3月30万元，4月30万元，5月50万元，6月60万元，7月80万元，8月70万元，9月70万元，10月80万元，11月90万元，12月80万元； 2月－3月收入下降最多， 60－30＝30（万元） 所以平安装修公司2～3月份收入下降得最多，降低了30万元。 （3）40＋60＋30＋30＋50＋60＋80＋70＋70＋80＋90＋80＝740（万元） 通过观察，每个月支出情况如下： 1月20万元，2月30万元，3月10万元，4月20万元，5月20万元，6月30万元，7月20万元，8月30万元，9月40万元，10月50万元，11月40万元，12月50万元； （20＋30＋10＋20＋20＋30＋20＋30＋40＋50＋40＋50）÷12 ＝360÷12 ＝30（万元） 综上所述：平安装修公司全年的收入是740万元，全年的月平均支出是30万元。 【典例三】下面是某市第一中学和第二中学篮球队的五场比赛得分情况统计图，请根据统计图回答问题。    （1）两个球队第一场比赛成绩相差（    ）分；第三场相差（    ）分。 （2）两队比赛比分相差最多的是第（    ）场比赛。 （3）两队成绩呈现什么变化趋势？ （4）你能预测下一场两校篮球队比赛结果吗？并说明理由。 【答案】（1）4；2（2）四 （3）一中呈上升趋势，二中呈先上升再下降又上升的趋势（4）见详解 【分析】（1）观察复式折线统计图，实线表示一中得分，虚线表示二中得分，分别找到两个球队第一场和第三场得分，分别求差即可； （2）观察复式折线统计图，两数据点相距越远表示比分相差越多，据此分析； （3）折线往上表示上升趋势，折线往下表示下降趋势，据此分析； （4）根据折线统计图的变化，下一场比赛两队成绩可能都有所上升，据此估出合理的分数即可，答案不唯一。 【解答】（1）50－46＝4（分） 50－48＝2（分） 两个球队第一场比赛成绩相差4分；第三场相差2分。 （2）两队比赛比分相差最多的是第四场比赛。 （3）一中成绩呈稳定上升趋势，二中成绩呈先上升有下降最后又上升的趋势。 （4）下一场两校篮球队比赛一中可能60分，二中可能55分，因为随着比赛的进行，两队逐渐熟悉对方打法，比分都有可能提高，但是根据折线统计图的变化，一中成绩较为稳定，因此下一场可能一中获胜。 专题八数学广角—找次品 【考点一】优化策略分析解决找次品问题 【典例一】有6盒饼干，其中5盒质量相同，有1盒少了几块（轻一些）。如果用天平称，至少称( )次保证可以找出这盒饼干。 【答案】2 【分析】第一次，把6盒饼干平均分成3份，2盒、2盒和2盒，将其中的2份放在天平的两边称，如果一样重，那么另外的1份中有次品；如果一重一轻，那么轻的那份内有次品； 第二次，把有次品的2盒饼干分成1盒和1盒，一重一轻，那么轻的那盒内为次品。 【解答】根据分析得，要找出6盒饼干中那盒次品，如果用天平称，至少称2次可以保证找出这盒饼干。 【典例二】10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称( )次才能保证找出次品。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成2份或3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【解答】有10件物品，其中有一件是次品，比其它略重。 第一次称重：先分成两份，天平两边各放5件，次品在较重的5件中； 第二次称重：把5件分成2件，2件和1件，天平两边各放2件，①若天平平衡，则次品就是剩下的1件；②若天平不平衡，次品就在较重的那2件中； 第三次称重：把较重的2件分成两份，天平两边各放1件，次品就是较重的1件。 10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称3次才能保证找出次品。 【典例三】在8个零件中找出一个次品（次品轻），其它零件的质量相同。用天平称，至少称( )次就一定能找出。 【答案】2 【分析】把8个零件分成3份，即（3，3，2），第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3个零件分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品是剩下的那1个。所以至少称2次就一定能找到这个次品。 【解答】 用天平称，至少称2次就一定能找出。 【考点二】用直观流程图表示找次品的过程 【典例一】福建物产丰富，有很多地方盛产水果，才溪脐橙产自著名革命老区上杭县才溪镇，被评为“福建省名牌农产品”。王伯伯准备了12箱脐橙寄往外地，其中11箱质量相同，另外有1箱质量稍轻一些，至少称几次能保证找出这箱轻一些的脐橙？（请你试着用图表示称的过程） 【答案】3次 【分析】分成每6箱一组，用天平称，因有一箱质量不足，所以找出轻的一组，再把轻的一组任意3箱分成一组用天平称，再找出轻的一组，再任取2箱用天平称，若天平平衡，则没称的1箱是次品，若不平衡测轻的是次品，据此解答。 【解答】把12箱分成两组：6箱为1组，进行第一次称量，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中； 由此再把较轻的一端的6箱分成2组：3箱为1组，左右不相等，那么次品就在较轻的那一组中； 由此再把较轻的一端的3箱分成3组：1箱为1组，取两箱称量，如果左右相等，那么说明剩下的1箱就是次品。如果左右不相等，那么次品就是较轻的那一箱； 答：至少称3次就能能保证找出这箱轻一些的脐橙，称量过程如下图所示： 【点评】根据天平的平衡性进行称量，找到质量较轻的物品，合理分组是解题的关键。 【典例二】1箱糖果有15袋，其中有14袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？你会用下面的图表示出来吗？ 【答案】3次；作图见详解 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【解答】 3次； 【点评】在生活中，常常出现这样的情况：在一些看似完全相同的物品中混着轻一点或者重一点的物品，需要我们想办法把它找出来，我们把这类问题叫做找次品。 【典例三】1箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有1袋质量轻一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？ 【答案】3次，过程见详解。 【分析】将这12袋糖果分成4、4、4共3份。 第一次称：将其中两份放在天平两端，若天平平衡，次品在剩下的4袋里。若天平不平衡，次品在天平上升的一端里（4袋）。 第二次称：将次品所在的4袋糖果分成1、1、2共3份。天平两端分别放1袋糖果，若天平平衡，次品就是剩下那两袋糖果中。若天平不平衡，次品在天平上升的一端里（1袋）。 第三次称：将次品所在的2袋糖果分成1、1共2份。天平两端分别放1袋糖果，次品在天平上升的一端里。 【解答】本题一共12袋糖果且已知其中有1袋糖果质量更轻，至少要称3次，过程如下图： 答：至少称3次能保证找出这袋糖果。 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 42 2024-2025 学年五年级下册数学期末备考总复习 常考知识点典例精讲（八大专题 26 类典型题） 2 / 42 目录 专题一观察物体（三） ........................................................... 3 【考点一】观察物体 ..........................................................3 专题二因数和倍数 ............................................................... 5 【考点一】因数和倍数 ........................................................5 【考点二】2、5的倍数特征 ................................................... 6 【考点三】3的倍数特征 ...................................................... 7 【考点四】质数和合数 ........................................................9 专题三长方体和正方体 .......................................................... 10 【考点一】长方体和正方体的认识 .............................................10 【考点二】长方体和正方体的表面积 ...........................................11 【考点三】体积和体积单位 ...................................................13 【考点四】体积单位间的进率 .................................................15 【考点五】容积和容积单位 ...................................................16 专题四分数的意义和性质 ........................................................ 18 【考点一】分数的意义 .......................................................18 【考点二】分数与除法 .......................................................19 【考点三】真分数和假分数、带分数及其互化 ...................................21 【考点四】分数的基本性质 ...................................................21 【考点五】约分及最大公因数 .................................................22 【考点六】通分及最小公倍数 .................................................24 【考点七】分数和小数的互化 .................................................25 专题五图形的运动（三） ........................................................ 26 【考点一】旋转 .............................................................26 【考点二】平移和旋转的综合 .................................................28 专题六分数的加法和减法 ........................................................ 30 【考点一】同分母分数加、减法 ...............................................30 【考点二】异分母分数加、减法 ...............................................31 【考点三】分数加减混合运算 .................................................32 3 / 42 专题七折线统计图 .............................................................. 33 【考点一】单式折线统计图 ...................................................33 【考点二】复式折线统计图 ...................................................35 专题八数学广角—找次品 ........................................................ 39 【考点一】优化策略分析解决找次品问题 .......................................39 【考点二】用直观流程图表示找次品的过程 .....................................40 专题一观察物体（三） 【考点一】观察物体 【典例一】下面 4个几何体中，从上面和前面看到的图形相同的是（ ）。 A． B． C． D． 【分析】A．从上面看有 2行，下边 1行 3个小正方形，上边 1行靠右 1个小正方形；从前面 看有 2行，下边 1行 3个小正方形，上边 1行靠右 1个小正方形； B．从上面看有 2行，上边 1行 3个小正方形，下边 1行靠右 1个小正方形；从前面看有 2行， 下边 1行 3个小正方形，上边 1行中间 1个小正方形； C．从上面看有 2行，上边 1行 3个小正方形，下边 1行中间 1个小正方形；从前面看有 2行， 下边 1行 3个小正方形，上边 1行中间 1个小正方形； D．从上面看是 1行 3个小正方形；从前面看有 2行，下边 1行 3个小正方形，上边 1行中间 1个小正方形。 【解答】 A．从上面看到的图形是 ，从前面看到的图形是 ； 4 / 42 B．从上面看到的图形是 ，从前面看到的图形是 ； C．从上面看到的图形是 ，从前面看到的图形是 ； D．从上面看到的图形是 ，从前面看到的图形是 。 从上面和前面看到的图形相同的是 ，都是 。 故答案为：A 【典例二】一个由相同的小正方体摆成的几何体，从上面看到的是 ，数字表示这个位 置所用的小正方体个数。这个几何体从左面看到的形状是图( )（填“甲”或“乙”）。 【分析】从上面看到的平面图形可以确定小正方体的位置，所有数字的和就是小正方体的数量； 由上面看到的平面图形可知，从左面可以看到两列，左边一列可以看到 2个小正方形，右边一 列可以看到 3个小正方形，据此解答。 【解答】 一个由相同的小正方体摆成的几何体，从上面看到的是 ，数字表示这个位置所用的小 正方体个数。这个几何体从左面看到的形状是图乙。 【典例三】下面是用同样的小正方体摆出的一些几何体。 （1）哪些从前面看是 ？哪些从左面看是 ？ （2）从前面观察一个几何体，看到的图形和从前面观察⑤所看到的一样。这个几何体是用 5 5 / 42 个小正方体摆成的，它有多少种不同的摆法？ （3）同桌之间互相提一个问题并解答。 【分析】（1）根据观察几何体可知，①③从前面看是 ，⑤⑩从左面看是 。 （2）观察⑤可以看出，从前面看是由两个正方形竖着叠起来的，用 5个小正方体来摆，只要 把 5个小正方体摆成一列两行即可，所以有 7种摆法。 （3）哪些从左边看是 ？ 【解答】 （1）①③从前面看是 ，⑤⑩从左面看是 。 （2）根据对图形的观察，结合空间想象能力可知有 7种摆法。 （3）哪些从左边看是 ？①②④（答案不唯一） 专题二因数和倍数 【考点一】因数和倍数 【典例一】五（1）班 6名同学去给小树苗浇水。小树苗不到 40 棵，他们发现每人浇水棵数相 同。这批小树苗最多有（ ）棵。 A．30 B．36 C．39 【分析】根据求一个数的倍数，求出 6的倍数，又因为小树苗的棵数不到 40 棵，结合题意即 可求出这批小树苗最多有多少棵。 【解答】6的倍数有 6、12、18、24、30、36、42⋯ 其中小于 40 的最大数是 36。 即这批小树苗最多有 36 棵。 故答案为：B 【点评】本题考查求一个数的倍数，明确小树苗不到 40 棵是解题的关键。 【典例二】同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是 42cm2的长方形，又可以围出面积是 36cm2 的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长( )cm。 【分析】根据题意可知，两个长方形的周长相同，面积不同；长方形长和宽的数值都是其面积 数值的因素，求出 42 和 36 的因数对（写成乘法形式）中，找出“长＋宽”相等的组合，一组 “长＋宽”就是绳子长度的一半，再乘 2，即可解答。 6 / 42 【解答】42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7 36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9 6＋7＝4＋9＝13 13×2＝26（cm） 同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是 42cm2的长方形，又可以围出面积是 36cm2的长方 形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长 26cm。 【典例三】端午节妈妈买了 35 个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的， 而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数， 据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除 1 和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。 【解答】（1）35 1 35 5 7    1 和 35 排除，所以可以 5个一放，或者 7个一放，共 2种方法。 答：一共有 2种放法。 （2）5个一放时放：35 5 7  （次） 7个一放时放：35 7 5  （次） 答：每次放 5个放 7次全部放完；每次放 7个放 5次全部放完。 【考点二】2、5 的倍数特征 【典例一】三张卡片上分别写着 2、3、5，淘气和笑笑分别从中抽取一张，若两人抽取的卡片 的数字之积是奇数，则淘气胜；若是偶数，则笑笑胜，这个游戏（ ）。 A．淘气胜的可能性大 B．笑笑胜的可能性大 C．两人胜的可能性一样大 D．无法判断 【分析】两人从三张卡片中抽取两张，卡片的数字之积可能是：2×3＝6，2×5＝10，3×5＝ 15。其中 6和 10 是偶数，15 是奇数。偶数的数量多，则两人抽取的卡片的数字之积是偶数的 可能性大。据此解答。 【解答】通过分析可得：两人抽取的卡片的数字之积是偶数的可能性大，则这个游戏笑笑胜的 可能性大。 7 / 42 故答案为：B 【典例二】从 0，3，6，8 这四个数字中，选出三个数字（数字不能重复选择）组成一个同时 是 2、5倍数的最小三位数是( )，最大三位数是( )。 【分析】同时是 2和 5的倍数的三位数要满足个位是 0，当这个数是最小三位数时，百位上和 十位上的数从小到大排列；当这个数是最大三位数时，百位上和十位上的数从大到小排列。据 此解答。 【解答】由分析可知： 0＜3＜6＜8 所以，从 0，3，6，8这四个数字中，选出三个数字（数字不能重复选择）组成一个同时是 2、 5倍数的最小三位数是 360，最大三位数是 860。 【点评】本题考查 2和 5的倍数的特征以及千以内的数比较大小。 【典例三】敏敏打算买一些花送给妈妈，马蹄莲 10 元 1 枝，玫瑰 7元 1枝，郁金季 5元 1枝。 她买了一些马蹄莲和郁金香，付给售货员 100 元后，售货员找了她 13 元，请问找回的钱对吗？ 为什么？ 【分析】观察发现，马蹄莲和郁金香的单价，以及 100 元都是 5的倍数，所以找回的钱数也应 是 5的倍数。但是，题中找回的 13 元不是 5的倍数。据此解题。 【解答】答：找回 13 元不对；因为马蹄莲和郁金香的单价分别是 10 元、5元，都是 5的倍数， 所以不论买几枝，总钱数也应是 5的倍数，付了 100 元，找回的钱数也应是 5的倍数，即个位 数应是 0或 5，所以找回 13 元不对。 【点评】本题考查了 5的倍数特征，个位是 0或 5的数是 5的倍数。 【考点三】3 的倍数特征 【典例一】五年级学生参加舞蹈队队员选拔。演出时需要进行两次队形变换，一次 3人一队， 一次 5人一队，并且不能有剩余。目前已经有 24 人选上，至少还要再选（ ）人刚好合适。 A．8 B．11 C．16 D．6 【分析】只要舞蹈队的人数既是 3的倍数，也是 5的倍数即可。既是 3的倍数又是 5的倍数的 特征：个位上的数字是 0或 5，并且各个数位上的数字的和是 3的倍数的数，据此找到比 24 大，又同时是 3和 5的倍数中的最小的数，减去已选上人数即可。 【解答】比 24 大，又是 3和 5的倍数，最小的是 30。 30－24＝6（人） 8 / 42 因此至少还要再选 6人刚好合适。 故答案为：D 【典例二】体育课上，30 名学生站成一排，按老师口令从左往右报数：1，2，3，4，5，…30。 （1）老师先让所报数是 2的倍数的同学去跑步，去跑步的有（ ）人。 （2）余下学生中所报数是 3的倍数的同学去跳绳，去跳绳的有（ ）人。 【分析】（1）个位上是 0，2，4，6，8的数是 2的倍数，据此找出去跑步的人数； （2）如果一个数的各个数位上的数的和是 3的倍数，那么这个数就是 3的倍数，据此找出跳 绳的人数。 【解答】（1）在 1，2，3，4，5，…30 中，2的倍数有 2、4、6、8、10、12、14、16、18、 20、22、24、26、28、30，共 15 个，所以去跑步的有 15 人。 （2）在 1，2，3，4，5，…30 中，3的倍数不是 2的倍数的有 3、9、15、21、27，共 5个， 所以去跳绳的有 5人。 【典例三】星期天，实验小学组织两个年级的同学去参加研学活动，每个年级都有 4个班，在 休息的时候，梅老师说：“我为同学们每人买了 1瓶 3元的饮料，请大家想一想，一共花了多 少钱？”过了一会儿，有三名同学算出了不同的结果。梅老师告诉同学们：“有两名同学算错 了。”你认为谁算对了，为什么？ 【分析】已知 1瓶 3元，根据单价×数量＝总价，可知，总价是 3的倍数， 3的倍数特征： 各个数位上的数字和是 3的倍数；据此判断每个数据即可。 【解答】1＋2＋0＋8＝11 11 不是 3的倍数，所以 1208 不是 3的倍数。 9＋5＋3＝17 17 不是 3的倍数，所以 953 不是 3的倍数。 1＋0＋8＋9＝18 18 是 3 的倍数，所以 1089 是 3 的倍数。 答：小琛算的对，因为 1089 是 3 的倍数，总价也是 3的倍数。 9 / 42 【考点四】质数和合数 【典例一】1742 年，德国数学家哥德巴赫提出猜想：每个大于 4的偶数都可以写成两个奇质 数的和，这就是著名的“哥德巴赫猜想”。下列式子能表达这个猜想的是（ ）。 A．20＝5＋15 B．9＝2＋7 C．12＝7＋5 D．18＝1＋17 【分析】自然数中，个位上是 0、2、4、6、8的数是偶数；个位上是 1、3、5、7、9的数是奇 数；非零自然数中只有 1和它本身两个因数的数是质数，有两个以上因数的数是合数，据此逐 项分析。 【解答】A．20＝5＋15，15 不是质数，原题干说法错误； B．9＝2＋7，9不是偶数，原题干说法错误； C．12＝7＋5，12 是偶数，7和 5都是质奇数，原题干说法正确； D．18＝1＋17，1 既不是质数，也不是合数，原题干说法错误。 故答案为：C 【典例二】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B 是最 小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小 2的数，E是 10 以内最大的合数， F只有因数 1和 5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 【分析】最小的合数是 4，最小的质数是 2，既不是质数也不是合数的数是 1，比最小的质数 小 2的数是 0，10 以内最大的合数是 9，因数只有 1和 5的数是 5，一位数中最大的偶数是 8， 所以平平家的电话号码是 4210958。 【解答】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小 的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小 2的数，E是 10 以内最大的合数，F 只有因数 1和 5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是 4210958。 【典例三】妈妈的银行卡密码是由六个数字组成的，其中不含数字 0，第一位数既是偶数，又 是质数；第二位数既是 5的倍数，又是 5的因数；第三位数既是 2的倍数，又是 3的倍数；第 四位数既不是质数，也不是合数；第五位数既是奇数，又是合数；第六位数是一位数中最大的 合数。妈妈银行卡密码是多少？ 【分析】根据偶数的意义：能被 2整除的数；奇数：不能被 2整除的数； 一个数既是它的因数，也是它的倍数； 2的倍数特征：个位上的数字是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数；3的倍数的特征：一个数各 个数位上的数字的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 10 / 42 既是 2的倍数又是 3的倍数的特征：个位上的数字是 0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和 是 3的倍数的数； 一个数，只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了 1和它本身两个因数外， 还有其他因数，这样的数叫做合数，1既不是质数，也不是合数；据此分析解答。 【解答】第一个数字：不含数字 0，第一位数既是偶数，又是质数；这个数字是 2； 第二位数既是 5的倍数，又是 5的因数；这个数字是 5； 第三位数既是 2的倍数，又是 3的倍数，在 1~9 中，只有 6既是 2的倍数，又是 3的倍数，这 个数字是 6； 第四位数既不是质数，也不是合数；1既不是质数，也不是合数，这个数字是 1； 第五位数既是奇数，又是合数，在 1~9 中，9既是奇数，也是合数，这个数字是 9； 第六位数是一位数中最大的合数，在 1~9 中，最大的合数是 9，这个数字是 9。 妈妈银行卡的密码是 256199。 答：妈妈银行卡密码是 256199。 专题三长方体和正方体 【考点一】长方体和正方体的认识 【典例一】 图中一共有（ ）个小正方体，不改变小正方体的位置，至少再添 （ ）个同样的小正方体才可以搭成一个大正方体。 【分析】 第一层有 1个小正方体，第二层有 5个小正方体，把每层的小正方体个数加起来，可知图中一 共有 6个小正方体。题中的组合体一共由 3列小正方体搭成，不改变小正方体的位置，要想搭 成一个大正方体，至少需要 27 个小正方体。已有 6个小正方体，所以至少还需要再添27 6 21  （个）。 【解答】 图中一共有 6个小正方体，不改变小正方体的位置，至少再添 21 个同样的小正方体才可以搭 成一个大正方体。 【点评】 数小正方形个数时，注意不要忘记隐藏的小正方体。一个正方体的一条棱上有 3个小正方形， 11 / 42 则这个正方形应是由 3×3×3个小正方体组成的。 【典例二】用一根长为 132 厘米的铁丝围成一个正方体的模型，棱长是（ ）厘米，如果 围成一个长方体的模型，一条长、宽、高的和是（ ）厘米． 【分析】由题意可知长方体和正方体的棱长总和都是 132 厘米，根据正方体的特征，12 条棱 的长度都相等，正方体的棱长总和=棱长×12，棱长=棱长总和÷12；长方体的特征是：12 条 棱分为互相平行（相对）的 3组，每组 4条棱的长度相等，长方体的棱长总和=（长+宽+高） ×4，由此解答． 【解答】132×12=11（厘米）； 132÷4=33（厘米）； 答：正方体的棱长是 11 厘米，长方体的长、宽、高的和是 33 厘米． 故答案为 11，33． 【典例三】心灵手巧的小美要用一根长 10m 的绳子给礼盒做装饰（方法如图），结头处绳长 30cm，这根绳子最多可捆扎几个这样的礼盒？ 【分析】先求出一个礼盒需要的长度＝长方体的两条长＋两条宽＋四条高＋结头处长度，再用 总长度除以一个礼盒需要的长度即可计算出结果。 【解答】10 米＝1000 厘米 15×2＋2×10＋4×6＋30 ＝30＋20＋24＋30 ＝104（厘米） 1000÷104＝9（个）……64（厘米） 答：这根绳子最多可捆扎 9个这样的礼盒。 【点评】主要利用长方体棱长解决实际问题，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。 【考点二】长方体和正方体的表面积 【典例一】一根钢管，它的横截面面积是 20 平方厘米，把它截成 4段，表面积增加了（ ）。 A． 260cm B． 280cm C． 2120cm D． 2160cm 【分析】 12 / 42 钢管截成 4段，增加了 6个横截面，用横截面积×6即可。 【解答】 20×6＝120（平方厘米） 故答案为：C 【点评】 关键是理解截成 4段只需要截 3次，每截一次增加两个横截面。 【典例二】用长 6cm、宽 3cm、高 1cm 的两个小长方体拼成一个大长方体。这个大长方体的表 面积最小是（ ）cm2，表面积最大是（ ）cm2。 【分析】 要使拼成的长方体的表面积最小，那就要把最大面拼在一起，即把长方体最大的两个面对着合 起来，减少了 2个最大的面，此时的长方体显然是最小的表面积；同理，要使拼成的长方体的 表面积最大，就要把最小面拼在一起，据此即可解答。 【解答】 最小表面积：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×6×2 ＝27×4－36 ＝108－36 ＝72（平方厘米） 最大表面积：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×1×2 ＝27×4－6 ＝108－6 ＝102（平方厘米） 【点评】 掌握将两个长方体最大的两个面相粘合在一起，才能保证拼成的新长方体的表面积最小；将两 个最小面相粘合，新长方体的表面积最大。这是解决此题的关键。 【典例三】如图，小明的卧室是一个长方体，长 5米，宽 4米，高 2.7 米，卧室有一扇门与客 厅相通，门高 2米，宽 1米，在另一面墙上距地面 1米处有一个长 1.5 米，高 1米的窗子。现 在要对卧室进行如下装修。 13 / 42 （1）给地面铺上50cm 50cm 的地砖，每块地砖的价格是 16 元，买地砖需多少元？ （2）从地面向上给四周的墙壁贴上 1米高的木板，需木板多少平方米？ 【分析】 （1）先求出长方体底面积，用底面积÷一块地砖面积，求出地砖块数，用块数×每块价格即 可； （2）将木板展开是一个长方形，求出底面周长，减去门的宽度，再乘木板高度即可； 【解答】 （1）5×4＝20（平方米）＝200000（平方厘米） 200000÷（50×50） ＝200000÷2500 ＝80（块） 80×16＝1280（元） 答：买地砖需 1280 元。 （2）（5＋4）×2－1 ＝9×2－1 ＝18－1 ＝17（米） 17×1＝17（平方米） 答：需木板 17 平方米。 【点评】本题考查了长方体表面积，关键是想清楚需要求的是哪些部分的面积，完整的长方体 表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【考点三】体积和体积单位 【典例一】一段长为 2米的长方体木料，底面是边长 3cm 的正方形，这段木料的体积是（ ） dm3。 A．600 B．18 C．1.8 D．1800 14 / 42 【分析】 木料的体积＝底面积×高（木料的长度），据此解答。 【解答】 2米＝20 分米，3厘米＝0.3 分米 0.3×0.3×20 ＝0.09×20 ＝1.8（立方分米） 故选择：C 【点评】 此题考查长方体的体积计算，牢记公式，找准对应的底面积和高是解题关键。注意换算单位。 【典例二】如图：在棱长是 1分米的正方体中挖下一个棱长 4厘米的小正方体，剩下部分的表 面积是（ ）平方分米。剩下部分的体积是（ ）立方分米。 【分析】 挖下一个棱长 4厘米的小正方体，表面积增加了两个小正方形；剩下部分的体积用大正方体的 体积减去小正方体的体积即可。 【解答】 4厘米＝0.4 分米 1 1 6 0.4 0.4 2     6 0.32  6.32 （平方分米） 3 31 0.4 1 0.064  0.936 （立方分米） 【点评】 在大正方体的顶点处挖去一个小正方体，表面积不变；在棱上挖去一个小正方体，表面积增加 两个小正方形；在面上去一个小正方体，表面积增加四个小正方形。 15 / 42 【典例三】游泳池的长为 225 米，宽为 10 米，深为 1.6 米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）如果在游泳池的四周和池底贴上瓷砖，贴瓷砖部分的面积是多少平方米？ （3）游泳池的体积是多少立方米？ 【分析】 （1）求游泳池的占地面积即是求泳池的底面积； （2）贴瓷砖的面积为泳池的四个侧面的面积加 1个底面积； （3）泳池的体积＝225×10×1.6＝3600（立方米）；据此解答。 【解答】（1）225×10＝2250（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是 2250 平方米。 （2）225×1.6×2＋10×1.6×2＋2250 ＝360×2＋16×2＋2250 ＝720＋32＋2250 ＝3002（平方米） 答：贴瓷砖部分的面积是 3002 平方米。 （3）225×10×1.6 ＝2250×1.6 ＝3600（立方米） 答：游泳池的体积是 3600 立方米。 【点评】本题考查了长方体的表面积以及体积的应用，关键是要掌握长方体的表面积与体积公 式，并灵活运用。 【考点四】体积单位间的进率 【典例一】一根长方体方木，横截面积是 40 平方厘米，长 6.5 米，它的体积是（ ） 立方 厘米． A．260 B．26000 C．0.26 【分析】 长方体的体积＝长×宽×高＝横截面积×长，题目中给的长是 6.5 米，单位是米，最后体积是 多少，单位是立方厘米，所以先需要把 6.5 米转化成 650 厘米，再计算。 【解答】 16 / 42 6.5 米＝650（厘米） 40×650＝26000（立方厘米） 故选择：B 【点评】 此题考查了长方体体积的计算，牢记公式并能灵活运用。 【典例二】有一个长 60 厘米，宽 50 厘米的长方体水缸，把买的西瓜完全浸入在水里，水面上 升了 3厘米。这个西瓜的体积是多少立方分米？ 【分析】 把买的西瓜完全浸入在水里，西瓜占据了水缸内水的一部分空间，因此水面上升，已知水面上 升了 3厘米，西瓜的体积就是水面上升 3厘米的水的体积，根据长方体的体积公式 V=abh 列式 解答即可。 【解答】 60×50×3＝9000（立方厘米） 9000 立方厘米＝9立方分米 答：这个西瓜的体积是 9立方分米。 【点评】 此题属于长方体体积的实际应用，直接根据长方体的体积公式解决问题，解答时要注意题干单 位。 【典例三】一个无盖的鱼缸，长 1.2m，宽 80cm，高 6dm，这个鱼缸可以放多少立方分米的水？ 【答案】1.2m=12dm 80cm=8dm V=abh =12×8×6 =576（dm3） 答：这个鱼缸可以放 576dm3的水。 【考点五】容积和容积单位 【典例一】一个鱼缸最多能容纳 100 升的水，这个鱼缸的体积可能是（ ）。 A．98 立方分米 B．99 立方分米 C．100 立方分米 D．102 立方分米 【分析】 17 / 42 体积指物体所占空间的大小，而容积指容器所能容纳物体体积的大小，据此解答。 【解答】 一个鱼缸最多能容纳 100 升的水，100 升指鱼缸的容积，鱼缸的体积要大于它的容积，故大于 100 升，也就是大于 100 立方分米。只有 D符合题意。 故选择：D。 【点评】 掌握物体的体积和容积概念是解题关键，一般情况下物体的体积大于它的容积。 【典例二】一个长方体的无盖铁皮水箱，长 0.8 米，宽 0.65 米，高 0.6 米。做这个水箱至少 需要铁皮（ ）平方米。如果每升水重 1千克，这个水箱最多能装水（ ）千克。（铁 皮厚度不计） 【分析】 已知长方体的长、宽、高，求无盖长方体的表面积，用公式：无盖长方体的表面积＝（长×高 ＋宽×高）×2＋长×宽；要求长方体的体积，用公式：长方体的体积＝长×宽×高，据此求 出体积，然后用体积乘每升水的质量即可求出总质量。 【解答】 （0.8×0.6＋0.65×0.6）×2＋0.8×0.65 ＝（0.48＋0.39）×2＋0.8×0.65 ＝0.87×2＋0.8×0.65 ＝1.74＋0.52 ＝2.26（平方米）； 0.8×0.65×0.6 ＝0.52×0.6 ＝0.312（立方米） ＝312（升）； 312×1＝312（千克）； 【点评】 熟练掌握长方体的表面积和体积计算公式是解答本题的关键。 【典例三】要挖一个长 9米，宽 5米，深 3米的蓄水池。 （1）这个蓄水池的占地面积是多少平方米？ 18 / 42 （2）如果要给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ （3）这个水池能蓄水多少升？ 【分析】 （1）求蓄水池的占地面积面积就是求底面积，用长乘宽即可； （2）根据题意可知，就是给前后面、左右面和底面抹上水泥，求出它们的面积再相加即可； （3）长方体的容积＝长×宽×高，据此解答即可。 【解答】 （1）5×9＝45（平方米）； 答：这个蓄水池的占地面积是 45 平方米； （2）5×9＋2×（9×3＋5×3） ＝45＋84 ＝129（平方米）； 答：抹水泥部分的面积是 129 平方米； （3）5×9×3 ＝45×3 ＝135（立方米）； 135 立方米＝135000 升； 答：这个水池能蓄水 135000 升。 【点评】 熟记长方体表面积和容积的计算公式是解答本题的关键。 专题四分数的意义和性质 【考点一】分数的意义 【典例一】1.把一块蛋糕平均分给 3个人，每人分得这块蛋糕的（ ）。 A． 1 3 B． 3 8 C． 8 11 【答案】A 【典例二】（1）请在下面每个图中表示 3 4 。 19 / 42 （2）它们为什么都能表示 3 4 ？ 【答案】（1）第一个图形中和共有 12 个苹果，将它平均分为 4份，每份有 3个，占其中的三 份，就是 9个； （红色部分表示 3 4 ）； 第二个图形中一条线段将它平均分成 4份，取其中的三份，就表示 3 4 ； （红色部分表示 3 4 ）； 第三个图形是一个长方形，将它平均分成 4份，取其中三份。 （红色部分表示 3 4 ）。 （2）它们都是将图形平均分成 4份，再取其中的三份，故能表示为 3 4 。 【典例三】一条水渠长 500 米，计划 14 天修完，照这样计算，4天可以修这条路的    。 【分析】由题意可知，总长度为单位“1”，将其平均分成 14 份，取其中的 4份，即 4天可以 修这条路的 4 14，由此解答即可。 【解答】一条水渠长 500 米，计划 14 天修完，照这样计算，4天可以修这条路的 4 14。 【点评】明确分数的意义是解答本题的关键。 【考点二】分数与除法 【典例一】将 6m 长的铁丝平均分成 9段，每段长（ ）。 A． 9 6 m B． 1 9 m C． 6 9 m 20 / 42 【答案】C 【典例二】修路队修一条公路，已修 80 千米，还剩下 31 千米没有修。已修的和没有修的各占 这条公路的几分之几？ 【答案】 80 111 ； 31 111 80÷（80＋31） ＝80÷111 ＝ 80 111 ； 31÷（80＋31） ＝31÷111 ＝ 31 111 ； 答：已修的长度占这条公路的 80 111 ，没有修的长度占这条公路的 31 111 。 【典例三】五（6）班有 50 人，其中男生 31 人，而男生中爱好体育的有 20 人。 （1）五（6）班爱好体育的男生人数占全部男生人数的几分之几？ （2）五（6）班女生人数占全班的几分之几？ 【分析】（1）爱好体育的男生人数占全部男生人数的分率＝爱好体育的男生人数÷全部男生 人数，结果用分数表示； （2）女生人数＝全班人数－男生人数，女生人数占全班人数的分率＝女生人数÷全班人数， 结果用分数表示，据此解答。 【解答】（1）20÷31＝ 20 31 答：五（6）班爱好体育的男生人数占全部男生人数的 20 31。 （2）（50－31）÷50 ＝19÷50 ＝ 19 50 答：五（6）班女生人数占全班的 19 50。 【点评】掌握一个数占另一个数几分之几的计算方法是解答题目的关键。 21 / 42 【考点三】真分数和假分数、带分数及其互化 【典例一】下列说法正确的是（ ）。 A．所有的质数都是奇数 B．两个奇数的差一定是偶数 C．整数都比分数大 D．一个数的倍数一定比它的因数大 【答案】B 【典例二】把下面的假分数化成整数或带分数。 4 3＝ 60 12 ＝ 17 4 ＝ 44 5 ＝ 【答案】 4 14 3 1 3 3    60 60 12 5 12    17 117 4 4 4 4    44 444 5 8 5 5    【典例三】一个带分数，它的分数部分的分子是 4，化成假分数后，分子是 53，这个带分数可 能是多少？ 【解答】（1） （2）找出乘积是 49 的两个因数，也就是这个带分数的整数部分和分母。因为 49=7×7，所以 这个带分数的整数部分和分母都是 7，这个带分数是 7 4 7 。 【考点四】分数的基本性质 【典例一】分数 7 10的分母乘 2，要使分数的大小不变，分子应该（ ）。 A．加 2 B．加 10 C．除以 2 D．乘 2 【答案】D 【典例二】把下面的分数化成分母是 24 而大小不变的分数，请写出过程。 22 / 42 3 8 35 120 56 168 【分析】分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小 不变；据此解答。 【解答】 3 8＝ 3 3 8 3   ＝ 9 24 35 120＝ 35 5 120 5   ＝ 7 24 56 168＝ 56 7 168 7   ＝ 8 24 【典例三】甲、乙两位师傅完成同一种零件，甲师傅用了 2 3 小时，乙师傅用了 4 6小时。小丽说： “两位师傅用的时间一样长。”小丽说的对吗？请用计算或画图的方法说明理由。 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大 小不变， 2 3的分子和分母同时乘 2，则 2 3 ＝ 4 6 ；据此解答。 【解答】 2 3＝ 2 2 3 2   ＝ 4 6 所以两位师傅用的时间一样长。 答：小丽说的对。 【点评】掌握分数的基本性质是解题的关键。 【考点五】约分及最大公因数 【典例一】把12个梨和36个橘子，平均分给若干个小朋友，都正好分完。小朋友最多有( ) 人，每人分到( )个梨和( )个橘子。 【分析】求小朋友最多有多少人，就是求 12 和 36 的最大公因数，求出最大公因数后分别除 12 和 36，即可求出每人分到多少个梨和多少个橘子，据此解答即可。 【解答】12＝2×2×3 36＝2×2×3×3 12 和 36 的最大公因数是： 2×2×3 ＝4×3 ＝12 即小朋友最多有 12 人； 23 / 42 12÷12＝1（个） 36÷12＝3（个） 【点评】此题考查最大公因数在实际生活中的应用，关键理解求小朋友最多人数就是求最大公 因数。 【典例二】五年级（1）（2）班要参加学校组织的义务劳动，五（1）班来了 48 人，五（2） 班来了 42 人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每 组最多有多少人？一共有多少个小组？ 【答案】6人；15 个小组 48＝2×2×2×2×3 42＝2×3×7 2×3＝6（人） （48＋42）÷6 ＝90÷6 ＝15（个） 答：每组最多有 6人，一共有 15 个小组。 【典例三】一个分数，用 2约分一次，再用 3约分一次，得到 2 3，原来这个分数是( )。 【分析】根据约分的方法，分别用 2 3的分子和分母乘 3再乘 2，求出原来的分子和分母，写出 原分数即可。 【解答】2×3×2＝12、3×3×2＝18，原来这个分数是 12 18 。 【点评】关键是掌握并灵活运用约分的方法。 【典例四】2021 年春茶之际，茶农平均每天可以采摘 50 千克茶叶，其中龙井茶有 20 千克， 白茶有 14 千克，其余是乌牛早。 （1）白茶质量是总质量的几分之几？ （2）算式“20÷（50－20－14）”解决的是什么问题？并计算。 【分析】（1）用白茶的质量除以茶叶的总质量即可； （2）由题意可知，20 千克表示龙井茶的重量，（50－20－14）表示乌牛早的重量，则 20÷（50 －20－14）解决的是龙井茶的重量是乌牛早的重量的几倍，据此进行计算即可。 【解答】（1）14÷50＝ 7 25 24 / 42 答：白茶质量是总质量的 7 25。 （2）20÷（50－20－14）解决的是龙井茶的重量是乌牛早的重量的几倍； 20÷（50－20－14） ＝20÷16 ＝ 5 4 答：龙井茶的重量是乌牛早的 5 4 倍。 【点评】本题考查求一个数占另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。 【考点六】通分及最小公倍数 【典例一】水仙花每 6天浇一次水，兰花每 8天浇一次水，花匠今天给两种花同时浇了水，至 少( )天后给这两种花同时浇水。 【答案】24 【典例二】乐乐家的空气加湿器，每 6天会亮一次灯（提醒清洗），每 15 天会响一次提醒音 （提醒消毒）。9月 1日的时候既亮灯又响铃了，下一次既亮灯又响铃是在哪一天？ 【分析】由题意可知，先求出 6和 15 的最小公倍数，再用 9月 1日加上它们的最小公倍数即 可。 【解答】6＝2×3 15＝3×5 则 6 和 15 的最小公倍数是 2×3×5＝30 9 月 1 日＋30＝10 月 1 日 答：下一次既亮灯又响铃是在 10 月 1 日。 【点评】本题考查最小公倍数，明确求最小公倍数的方法是解题的关键。 【典例三】同走一段路，小华用了 2 5 小时，小兰用了 7 15小时，小明用了 5 12小时，( ) 的速度最快。 【分析】同一段路程，如果速度越快，说明用的时间越少。所以只需要比较三个人用去的时间 的大小，按照异分母分数比较大小的方法，找出用时最短的那个人，即可求出那个人的速度最 快。 【解答】 2 2 12 24 5 5 12 60     25 / 42 7 7 4 28 15 15 4 60     5 5 5 25 12 12 5 60     因为 25 28 60 60 24 60   ，所以 5 5 12 2 7 5 1   。 说明小华用时最短，意味着小华的速度最快。 【点评】此题的解题关键是相同的路程，只需要比较用的时间的大小，按照异分母分数比较大 小的方法，解决问题。 【典例四】尚好饮品店进了三种总容量相同的饮品，星期六整天的销售情况如下表，如果你是 这家饮品的一名员工，你想对老板提些什么好建议？（要求先比较大小再提出一个好建议） 咖啡奶 椰奶 果汁 售出占 1 4 售出占 2 5 售出占 7 10 【分析】咖啡奶的销售量占总销售量的 1 4，椰奶的销售量占总销售量的 2 5 ，果汁的销售量占总 销售量的 7 10，它们所对应的单位“1”相同，都是总销售量，所以只需要比较分率的大小，即 可说明哪种饮品的销售量更多；因此利用分数的基本性质，将三个分数化成同分母分数，即可 比较大小，如果哪种饮品售出的多，就应该多进货，问题即可得解。 【解答】 1 4＝ 1 5 4 5   ＝ 5 20 2 5 ＝ 2 4 5 4   ＝ 8 20 7 10＝ 7 2 10 2   ＝ 14 20 5 20 ＜ 8 20＜ 14 20 说明果汁的销售量最多。 答：通过比较大小，可知果汁售出的更多，对老板提的建议是：多进一些果汁，加强广告宣传。 【点评】此题的解题关键是掌握异分母异分子分数的大小比较的方法。 【考点七】分数和小数的互化 【典例一】把一根 3m 长的木条锯成同样长的 8段，每段长度是这根木条总长度的    ，每 26 / 42 段长     m，也就是（ ）m。（填小数） 【答案】 1 8； 3 8；0.375 【典例二】五年级（l ）班举行折纸比赛，一组 7 个人共折了 23 个，二组 8 个人共折了 36 个，三组 6个人共折了 20 个，平均每人折的最多的是哪个组呢？ 【分析】分别算出每组平均每人折的个数，作比较即可。 【解答】第一组平均每人折的个数：23÷7＝3 2 7（个） ≈3.286（个） 第二组平均每人折的个数：36÷8＝4.5（个）； 第三组平均每人折的个数：20÷6＝3 1 3（个）≈3.333（个）； 因为 4.5＞3.333＞3.286，所以第二组平均每人折的个数多。 答：平均每人折的个数最多的是二组。 【点评】求出三个小组平均每人折的个数是解题关键，比较分数大小，把分数化成小数是其中 方法之一，也可以通过通分的方法比较。 【典例三】2022 年 6 月 5 日神舟十四号载人飞船顺利升空，我国航天事业愈发强大。王阿姨 和李叔叔打同样一篇有关航天新闻的稿子，王阿姨平均每秒打 5 6个字，李叔叔平均每秒打 0.9 个字，谁打字快一些？ 【分析】把 5 6 化成小数，用分子除以分母即可；然后按照小数大小比较的方法进行比较，谁每 秒打的字多，谁就打字快一些。 【解答】 5 6 ＝5÷6≈0.83 因为 0.83＜0.9，所以 5 6 ＜0.9。 答：李叔叔打字快一些。 【点评】本题考查分数与小数的互化以及小数大小的比较，也可以将 0.9 化成分数，再按照分 数大小比较的方法进行比较。 专题五图形的运动（三） 【考点一】旋转 【典例一】将左下图案绕 P点逆时针旋转 90 度，得到的图案是（ ） 27 / 42 A． B． C． 【分析】根据图形旋转的方法，旋转中心是点 P，旋转方向是逆时针，旋转角度是 90 度，据 此即可得出旋转后的图形，由此选择即可。 【解答】根据题干分析可得，绕 P点逆时针旋转 90 度旋转后的图形是 ； 故选 B。 【点评】此题主要考查利用旋转进行图形变换的方法的灵活应用，要注意确定旋转中心、方向、 角度。 【典例二】根据图，回答问题。 ①号三角形是绕 A点按（ ）时针方向旋转了（ ）度。 ②号梯形是绕 B点按（ ）时针方向旋转了（ ）度。 ③号三角形是绕 C点按（ ）时针方向旋转了（ ）度。 ④号平行四边形是绕 D点按（ ）时针方向旋转了（ ）度。 【答案】逆 90 逆 90 顺 90 顺 90 【典例三】实践操作。 28 / 42 （1）三角形 ABC 绕点 C（ ）时针旋转（ ）°，得到图形①。 （2）平行四边形 ABCD 绕点（ ）顺时针旋转（ ）°，得到图②。 （3）画出梯形 ABCD 绕点 C逆时针旋转 90°后的图形。 【分析】（1）根据与 C点相连的两条边可以确定是逆时针旋转 90°得到图形①； （2）平行四边形点 B的位置没有发生变化，说明是绕点 B旋转的，根据与 B点相连的两条边 可以确定是顺时针旋转 90°得到图②； （3）根据旋转的方法，将梯形与点 C相连的两条边绕点 C逆时针旋转 90 度，再将其它边连起 来即可。 【详解】（1）三角形 ABC 绕点 C逆时针旋转 90°，得到图形①； （2）平行四边形 ABCD 绕点 B顺时针旋转 90°，得到图②； （3）如图： 【点睛】熟练掌握旋转的方法并能灵活利用是解答本题的关键。 【考点二】平移和旋转的综合 【典例一】将图形 A（ ），可以得到图形 B． 29 / 42 A．向右平移 3格，再绕 O点逆时针旋择 90° B．向右平移 5格，再绕 O点顺时针旋择 90° C．向右平移 3格，再绕 O点顺时针旋择 90° 【分析】观察图形，根据图形旋转和平移的方法可得：图形 A先向右平移 3格，再绕点 O 顺时 针旋转 90 度，即可得出图形 B，据此即可选择． 【答案】C 【典例二】下面的图②是由图①绕点O按顺时针方向旋转( )°，再向( )平移 ( )格得到的。 【分析】旋转是指围绕某个点或线做圆周运动。图①绕点O按顺时针方向旋转，角度只有达到 90°，才能向右移动，达到重合的目的。向右移动时，观察点O的移动格子数，即是图②移动 的格子数。 【详解】图②是由图①绕点O按顺时针方向旋转 90°，再向右平移 4格得到的。 【点睛】此题主要掌握旋转和平移的特点。 【典例三】我是作图高手．将图 A 向上平移一格，绕O点顺时针旋转 90，画出得到的图形 B ． 30 / 42 【分析】先把图形 A 的各个顶点分别向上平移 1格，再以点O 为旋转中心，把其它各个顶点分 别绕点O 顺时针旋转 90 度，再依次连接起来即可． 【解答】解：根据题干分析可得： 【点评】此题考查了利用平移与旋转进行图形变换的灵活应用． 专题六分数的加法和减法 【考点一】同分母分数加、减法 【典例一】 1 2 3 4 239 12 12 12 12 12 、 、 、 … ，这 239 个数中所有不是整数的分数的和是多少？（ ）。 A．2230 B．2140 C．2350 D．2200 【答案】D 【典例二】学校新到一批书，四年级领了这批书的 5 12 ，一年级领了 3 12 ，问，两个年级共领了 这批书的几分之几？还剩几分之几？ 【答案】 5 12 ＋ 3 12 ＝ 8 12 ＝ 2 3 剩下的部分占整个：1－ 2 3 ＝ 1 3