（期末易错复习讲义）常考易错知识点专题突破（九大专题102个突破点）-2024-2025学年五年级下册数学期末备考总复习（人教版）

1 / 100 2024-2025 学年五年级下册数学期末备考总复习 常考易错知识点专题突破（九大专题 102 个突破点） 2 / 100 目录 专题一观察物体（三） ........................................................... 6 突破题型一三视图的认识 ......................................................6 突破题型二通过三视图会摆放立体图 ............................................7 突破题型三三视图的认识连线问题 ..............................................8 突破题型四三视图的画法 ......................................................9 突破题型五解决稍复杂的问题 .................................................11 突破题型六通过三视图还原立体图 .............................................12 突破题型七通过数字还原立体图 ...............................................14 专题二因数与倍数 .............................................................. 15 突破题型一因数和倍数的认识 .................................................15 突破题型二找一个数的因数及因数的特征 .......................................16 突破题型三找一个数的倍数及倍数的特征 .......................................16 突破题型四倍数和因数的综合应用 .............................................17 突破题型五 2、5的倍数特征 ..................................................18 突破题型六 3的倍数特征 .....................................................19 突破题型七 2、5、3的倍数特征 ...............................................19 突破题型八奇数和偶数的认识 .................................................20 突破题型九质数和合数的认识 .................................................21 突破题型十质数和合数的综合应用 .............................................22 突破题型十一根据因数的特征解决问题 .........................................23 突破题型十二根据倍数的特征解决问题 .........................................24 突破题型十三运算性质（奇数和偶数） .........................................25 专题三长方体和正方体的认识及表面积 ............................................ 26 突破题型一长方体的认识及特征 ...............................................26 突破题型二长方体有关棱长的应用 .............................................26 突破题型三长方体的展开图 ...................................................27 突破题型四正方体的特征 .....................................................29 突破题型五正方体有关棱长的应用 .............................................30 3 / 100 突破题型六正方体的展开图 ...................................................30 突破题型七补全长方体的展开图 ...............................................31 突破题型八补全正方体的展开图 ...............................................32 突破题型九应用长方体棱长解决实际问题 .......................................33 突破题型十应用正方体棱长解决实际问题 .......................................34 突破题型十一应用长方体和正方体的展开图解决稍复杂的问题 .....................35 突破题型十二长方体表面积的计算 .............................................36 突破题型十三正方体表面积的计算 .............................................36 突破题型十四立体图形的切拼（表面积增加问题） ...............................37 突破题型十五立体图形的切拼（表面积减少问题） ...............................38 突破题型十六组合体的表面积 .................................................38 突破题型十七表面涂色的正方体 ...............................................39 突破题型十八组合体的表面积图形计算 .........................................40 突破题型十九运用长方体的表面积解决问题 .....................................41 突破题型二十运用正方体的表面积解决问题 .....................................42 专题四长方体和正方体的体积 .................................................... 43 突破题型一体积和容积的认识 .................................................43 突破题型二体积单位的认识 ...................................................43 突破题型三容积单位的认识 ...................................................44 突破题型四体积单位间的换算 .................................................45 突破题型五容积单位间的换算 .................................................45 突破题型六体积单位及容积单位的选择 .........................................46 突破题型七体积（容积）大小的比较 ...........................................47 突破题型八长方体的体积计算 .................................................47 突破题型九正方体的体积计算 .................................................48 突破题型十组合体的体积计算 .................................................49 突破题型十一体积的等级变形 .................................................50 突破题型十二立体图形的切拼 .................................................50 突破题型十三体积与容积单位间的换算 .........................................51 4 / 100 突破题型十四长方体或正方体的容积 ...........................................52 突破题型十五测量不规则物体的体积 ...........................................53 突破题型十六解决体积有关的复杂问题 .........................................54 专题五分数的意义和性质 ........................................................ 55 突破题型一分数的意义 .......................................................55 突破题型二单位“1”的认识与确定 ............................................56 突破题型三分数与除法的关系 .................................................57 突破题型四求一个数占另一个数的几分之几 .....................................57 突破题型五真假分数及带分数的认识 ...........................................58 突破题型六根据真假分数及带分数的特征组数 ...................................58 突破题型七分数的基本性质 ...................................................59 突破题型八最简分数的认识 ...................................................60 突破题型九分数化小数 .......................................................60 突破题型十小数化分数 .......................................................61 突破题型十一真假分数及带分数的互化 .........................................61 突破题型十二求最大公因数 ...................................................62 突破题型十三分数的约分计算 .................................................62 突破题型十四求最小公倍数 ...................................................63 突破题型十五分数的通分计算 .................................................64 突破题型十六最大公因数解决问题 .............................................64 突破题型十七最小公倍数解决问题 .............................................65 突破题型十八异分母分数的大小比较 ...........................................65 专题六图形的运动（三） ........................................................ 66 突破题型一旋转的认识 .......................................................66 突破题型二旋转三要素及旋转图形 .............................................67 突破题型三钟面上的旋转问题 .................................................69 突破题型四作旋转后的图形 ...................................................70 突破题型五平移与旋转的综合 .................................................71 突破题型六运用平移、旋转和轴对称设计图案 ...................................73 5 / 100 专题七分数的加法和减法 ........................................................ 74 突破题型一同分母分数加减法 .................................................74 突破题型二同分母分数加减法的简单应用 .......................................75 突破题型三异分母分数加减法 .................................................76 突破题型四异分母分数加减法的简单应用 .......................................76 突破题型五异分母分数加减混合运算 ...........................................77 突破题型六异分母分数加减混合运算的简单应用 .................................78 突破题型七牛奶兑水问题 .....................................................79 突破题型八异分母分数加减法口算 .............................................80 突破题型九异分母分数加减混合运算及简便运算 .................................80 突破题型十解分数加减法方程 .................................................82 专题八折线统计图 .............................................................. 82 突破题型一单式折线统计图的认识及特点 .......................................82 突破题型二复式折线统计图的认识及特点 .......................................84 突破题型三统计图的选择（折线统计图） .......................................86 突破题型四单式折线统计图中提出数据并解决问题 ...............................87 突破题型五复式折线统计图中提出数据并解决问题 ...............................90 突破题型六补全单式折线统计图并解决问题 .....................................92 突破题型七补全复式折线统计图并解决问题 .....................................93 专题九数学广角—找次品 ........................................................ 95 突破题型一求至少称多少次找出次品 ...........................................95 突破题型二最优策略解决问题 .................................................96 突破题型三找出最佳的分组方法 ...............................................97 突破题型四画出或补全流程图 .................................................98 突破题型五根据称的次数反求物体的数量 .......................................99 6 / 100 专题一观察物体（三） 突破题型一三视图的认识 1．下图中，从( )面看到的图形是相同的。 和 2．观察物体 ，从( )面看到的是 ，从( )面看到的是 ，从( )面看到的是 。 3．搭一搭，填一填。 从正面看到的图形是 的有( )。从左面看到的图形是 的有( )。 4．把 17 个小正方体拼摆在一起（如下图）。从不同角度观察，得到下面右面四种不同的图形。 (1)图①是从( )面看到的。 7 / 100 (2)图②是从( )面看到的。 (3)图③是从( )面看到的。 (4)图④是从( )面看到的。 突破题型二通过三视图会摆放立体图 5．一个几何体，从前面看是 ，从左面看是 ，搭成这样的几何体，最少用 ( )个小正方体，最多用( )个小正方体。 6．一个用同样的小正方体搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的如图所示，搭成几何体 用了( )个小正方体。 7．一个几何体从正面和上面都是 从左面是 摆这个几何体需要( )个小正 方体。 8．用同样大小的小正方体搭成一个立体图形，从上面和前面看到的形状都是 ，搭成 这个立体图形，最少需要( )个小正方体。 8 / 100 突破题型三三视图的认识连线问题 9．观察下面的几何体，连一连从不同方向看到的图形。 10．连一连。 11．下图分别是从哪面看到的？连一连。 9 / 100 12．下边的三个图形分别是从什么方向观察得到的，连一连。 突破题型四三视图的画法 13．分别画出从前面、上面、左面看到的图形。 14．我会画。 在方格图中画出从正面和左面看到的图形。 10 / 100 15．画出左下边图形从三个角度分别看到的形状。 16．请在方格纸上画出下面几何体从前面、左面和上面看到的图形。 11 / 100 突破题型五解决稍复杂的问题 17．一个立体图形，从正面看到的形状是 ，从左面看到的形状是 。 （1）它可能是下面哪一个呢？在合适的图形下面画“√”。 （2）按题目的要求搭小正方体，最多能用（ ）个小正方体。 18．用 10 个棱长 1厘米的小正方体拼在一起如下图。 （1）画出从正面和左面看到的图形。 （2）要保证从上面看到的图形不变，最多可以拿走（ ）个小正方体。 19．下面是用小正方体搭建的一些几何体。 12 / 100 （1）从正面看到的是 的有（ ），从侧面看到的是 的有（ ），从上面看到的 是 的有（ ）。 （2）如果从正面看到的和⑥一样，用 4个小正方体摆一摆，有多少种不同的摆法？ 20．曲米在桌子上摆了一个由若干个同样的小正方体组成的几何体，从上面看到的图形是 ，从左面看到的图形是 。曲米摆出的这个几何体最少需要几个小正 方体？最多需要几个小正方体？ 突破题型六通过三视图还原立体图 21．乐乐用 6个同样的小正方体搭了一个几何体，从正面和左面看到的分别是 和 。乐乐搭的几何体可能是（ ）。 A． B． C． 13 / 100 22．用 5个正方体搭成一个几何体，从正面看是 ，从上面看是 ，从右面看 是 ，这个几何体是（ ）。 A． B． C． D． 23．由 8个 搭成的立体图形，从正面看到的形状是 ，从左面看到的形状是 ， 这个立体图形是（ ）。 A． B． C． D． 24．5 个同样的小正方体摆一个立体图形，使它从上面看到的图形如图所示。正确的摆法是（ ）。 A． B． C． 14 / 100 突破题型七通过数字还原立体图 25．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示这 个位置上所用小正方体的个数）。这个几何体从左面看是（ ）。 A． B． C． D． 26．一个几何体从上面看到的形状是 ，小正方形上面的数字表示在这个位置上所摆小 正方体的个数，那么这个几何体从左面看到的是（ ）。 A． B． C． D． 27．由一些大小相同的小正方体组成的几何体，从上面看到的形状如图，（其中正方形中的数 字表示该位置上的小正方体的个数）则从正面看到（ ）号图形，从右面看到（ ）号图形。 A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 15 / 100 28．小明用若干个同样的小正方体搭一个几何体，搭出的几何体从上面看到的形状如下图（每 个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数。）这个几何体，从左面看到的 形状是（ ）。 A． B． C． D． 专题二因数与倍数 突破题型一因数和倍数的认识 1．a、b 都是大于 0的自然数，a＝9b。a 的因数最少有( )，( )，( ) 和( )。 2．《西游记》是我国古典文学四大名著之一，书中唐僧师徒四人经历了“九九八十一难”。 81 的因数有( )，81 的最小倍数是( )。 3．因为 45÷9＝5，所以可以说 9是( )的因数，45 是 9 的( )。 4．一个数的最大因数和最小倍数的和是 32，这个数是( )。 16 / 100 突破题型二找一个数的因数及因数的特征 5．一个数最大的因数是 36，它最小的倍数是( )。写出 36 的全部因数( )。 6．在7的倍数中，最大的两位数是( )；一个数只有a、5、7、35四个因数，这个数是( )。 7．20 的因数有( )，30 的因数有( )，既是 20 的因数，又是 30 的因数的数有 ( )。 8．48 一共有 10 个因数。小明写出了 9个：1，2，3，4，6，8，12，24，48。按照小明的写 法，他漏写了排在( )后面的( )。小静也写出了 9个：1，48，2，24，3，4， 12，6，8。按照小静的写法，他漏写了排在( )后面的( )。 突破题型三找一个数的倍数及倍数的特征 9．一个数的最大的因数与最小的倍数的和是 36，这个数是( )。 10．中国在 2014 年南京青奥会上获得 38 枚金牌，38 的最大因数是( )，它的最小倍数 17 / 100 是( )。 11．把一些袋装糖果平均分装在 14 个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在 50～60 袋之间， 那么每盒装了( )袋糖果。 12．淘宝某店“双十一”前开展整时抢三折优惠券活动。每次发放的优惠券不超过 50 张，且 张数是 9的倍数。店家每次可能发放( )张优惠券。 突破题型四倍数和因数的综合应用 13．一个数的最大因数是 17，它的最小倍数是( )。 14．猜猜我是谁。 我是( ) 我是( ) 我是( ) 18 / 100 15．一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是 40 的因数，又是 5的倍数。这个旅行 团一共有( )人。 16．猜电话号码。 0871－ABCDEFG 提示：A－8的最小倍数；B－最小的自然数；C－5的最大因数；D－既是 4的倍数，又是 4的 因数；E－它的所有因数是 1、2、3、6；F－它的所有因数是 1、3；G－它只有 1个因数。这个 电话号码是 0871－( )。 突破题型五 2、5 的倍数特征 17．个位上是( )或( )的数，是 5的倍数，其中( )是最小的 5的倍数。 18．要使68□既是 2的倍数，又能被 5整除。W 里填( )。 19．1021 至少减去( )就是 2的倍数；1708 至少加上( )就是 5的倍数。 20．56□是 2的倍数，□中可以填数字有( )。 19 / 100 突破题型六 3的倍数特征 21．2和3的倍数中，最小的三位数是( )，2、3、5的倍数中，最大的三位数是( )。 22．学习强国是党中央推出的全国学习平台，陈老师学习强国的积分达到了 58963 分，至少加 上( )分就是 3的倍数；至少去掉( )分就同时是 2和 5的倍数。 23．过春节时，发红包寓意着喜庆、吉祥，亦是长辈向晚辈表达美好祝愿的方式。妈妈对琳琳 说：“我给你发一个 100 元以内的红包，钱数既是 3的倍数，又是 11 的倍数，你猜猜我发的 红包最大是( )元钱。” 24．如果 A28B 这个四位数是 3的倍数，那么，A＋B最小是( )，A＋B 最大是 ( )。 突破题型七 2、5、3 的倍数特征 25．从 0，3，5，7这四个数字中任选 3个数，排成能同时被 2、3、5整除的三位数，这个三 位数可以是( )。 20 / 100 26．从 0、2、4、5四张数字中选出三个，组成一个既是 2和 3的倍数，又有因数 5的数，可 以是( )或( )。 27．亮亮在登录某软件时需要验证码，由于手机屏幕有损坏，其中有两位看不清。已知 5□2 □既是 3的倍数，又含有因数 5，则这个四位数最大可能是( )。 28．选出三个数组成三位数，算一算，分别满足下列条件。 (1)同时是 2和 3的倍数，其中最小的数是( )。 (2)同时是 3和 5的倍数，其中最大的数是( )。 (3)同时是 2、3和 5的倍数，其中最小的数是( )。 突破题型八奇数和偶数的认识 29．聪聪和明明做数学游戏，他们分别从 4张卡片 6，7，8，9中抽出一张，再把两人抽到的 卡片上的数相乘，如果积是单数聪聪赢，积是奇数明明赢。这个游戏公平吗？( ) 30．晚上，小明正开着灯做作业，顽皮的妹妹按了 15 下开关，这时灯是( )着的状态。 （填“开”或“关”） 21 / 100 31．琳琳、思思和乐乐三人的年龄正好是三个连续偶数，他们的年龄和是 24 岁，他们中最小 的是( )岁，最大的是( )岁。 32．邵阳史称“宝庆”，人杰地灵，自然资源丰富。据统计，邵阳市境内高等植物有 245 科， 792 属，2826 种；野生脊椎动物有 397 种，分属 5纲，33 目，102 科。划横线的数中，偶数有 ( )个，是 3的倍数的数有( )个。 突破题型九质数和合数的认识 33．在 1、2、5、15、37、66 中，奇数有( )，质数有( )，偶数有( )， 合数有( )。 34．李叔叔的手机开机密码是一个四位数 abcd，a 是最小的奇数，b是最小的偶数，c是 10 以内最大的质数，d是最小的合数，这个密码是( )。 35．一个三位数，百位上的数是既不是质数也不是合数，十位上的数是最小的质数，个位上的 数是最小的合数，这个三位数是( )。 22 / 100 36．智能快递柜走进阳新各个社区。李阿姨收到一条取件码的信息，根据下面的描述，她的取 件码是( )，这是一个( )。（填“奇数”或“偶数”） 突破题型十质数和合数的综合应用 37．一个质数（两位数）的个位上的数字与十位上的数字交换位置后，变成 7的倍数，这样的 质数有( )。 38．一个长方形的周长是 32 米，它的长和宽是两个不同的质数，这个长方形的面积可能是 ( )、( )。 39．平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质 数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小 2的数，E是 10 以内最大的合数，F只有 因数 1和 5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 40．能同时打开下面 3把锁的万能钥匙的密码是( )。 23 / 100 突破题型十一根据因数的特征解决问题 41．端午节妈妈买了 35 个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是 每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 42．把 36 个苹果分成若干份，要使每份的苹果个数相同（最少分 2份，每份最少 2个），一 共有多少种不同的分法？ 43．今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树 111 棵，已知五（2）班人数多 于 20 且不超过 40，王老师植树的棵数和平均每位同学植树的棵数一样。五（2）班有多少位 同学？平均每位同学植树多少棵？ 44．体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等。五一班有 32 名同学，可以排 几行？共有几种站队的方法？（每行或每列不少于 2人） 24 / 100 突破题型十二根据倍数的特征解决问题 45．水果店运来 250 千克水果，如果每 20 千克装一箱，能正好装完吗？如果每 50 千克装一箱， 能正好装完吗？为什么？ 46．饭店有三种规格的油桶，分别是 5千克装、10 千克装和 3千克装。店长买回 45 千克菜籽 油，用哪一种规格的油桶能正好把菜籽油装完？需要多少个这样的油桶？ 47．小明的妈妈从批发市场买来 90 千克大枣，如果每 15 千克装一包，能正好装完吗？还可以 怎么装？能装多少包？ 48．五（1）班的学生人数在 40－50 人之间，一次大扫除，按 8人一组分组，则少 1人，五（1） 班有多少名学生？ 25 / 100 突破题型十三运算性质（奇数和偶数） 49．实验小学五（1）班有 41 名同学，现在派他们到 4个卫生区去打扫卫生，每个卫生区只能 派奇数名同学。你能完成分配任务吗？请说明做法或原因。 50．下图是一个靶，靶上的 1，3，5，7，9表示射中该靶区的分数，淘气说：“我打了 6枪， 每枪都中靶，得分是 27 分。”笑笑说：“我打了 3枪，每枪都中靶，得分是 27 分。”你知道 他们两人中谁说了假话吗？为什么？ 51．1＋2＋3＋45＋…＋99＋100 的和是奇数还是偶数，请说明理由。 52．周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本 2元，中性笔每支 4元，钢笔每支 12 元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员 100 元，收银员找给妈妈 35 元，找 的钱数对吗？请说明理由。 26 / 100 专题三长方体和正方体的认识及表面积 突破题型一长方体的认识及特征 1．在下图中，和 b平行的棱有（ ）条，和 a相交且垂直的棱有（ ）条。 2．如图所示的长方体，涂色一面是长方体的（ ）面（填“上”“下”“左”或“右”）， 它的面积是（ ）cm2。 3．在探究长方体的特征时，思思发现：如果一个长方体有四个面的面积相等，那么其余两个 面一定是（ ）形。 突破题型二长方体有关棱长的应用 4．下图是用绸带捆扎的长方体礼品盒，打结用去 15cm，共用绸带（ ）cm。 27 / 100 5．李师傅用不同长度的铁丝焊一个长方体框架，他已经焊好了三根（如图）。这三根铁丝的 长度分别是 30cm、10cm、10cm，焊这个长方体框架共需要（ ）根 30cm 长的铁丝， （ ）根 10cm 长的铁丝；这个长方体框架焊好后，它共有（ ）个面，其中有 （ ）个面是正方形。 6．下面是长方体一个顶点处的 3条棱。（单位：cm），要围成这个长方体需要下图中的三种 长方形，分别是（ ）、（ ）、（ ）。 突破题型三长方体的展开图 7．跳跳把一张长 14 厘米、宽 6厘米的纸板沿虚线折起，做出了长方体相邻的两个面（如图所 示），然后再用纸板做出其他 4个面，围成长方体。这个长方体的长、宽、高分别是（ ） 厘米、（ ）厘米、（ ）厘米。 28 / 100 8．在下面的 8个面中找出 6个面，使它们能组成长方体，这 6个面的编号分别是（ ）。 9．下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则（ ）字在下面，“城” 字在前面，（ ）字在后面，“创”字在（ ）面，“市”字在（ ）面。 29 / 100 突破题型四正方体的特征 10．如图，骰子相对的两个面上数字之和为 7，规定 1所在的面为上面，将这个骰子沿 1—2 —3—…—7的方向翻转 7次，最后骰子的上面是数字 。 11．有三块相同的数字积木（每块积木的面上分别标有 1～6六个数字）。摆放如图，相对两 个面上的数字乘积最大是（ ）。 12．用小棒拼搭长方体。 果果：我用 4根 1.5 厘米、4根 2.8 厘米、4根 7厘米的小棒搭成一个长方体。 贝贝：我用 8根 2厘米、4根 6厘米的小棒搭成一个长方体。 天天：我用 12 根长度相同的小棒搭成一个长方体。 果果搭成的长方体是（ ），贝贝搭成的长方体是（ ）。（填序号） 30 / 100 突破题型五正方体有关棱长的应用 13．一根铁丝可焊棱长 8厘米的正方体，如果焊长 10 厘米，宽 7厘米的长方体，则高是 （ ）厘米。（接头忽略不计） 14．用一个棱长为 12cm 的正方体框架改为一个长是 21cm，宽是 10cm 的长方体框架，这个长 方体框架的高应是（ ）cm。 15．一根铁丝可以做成一个棱长为 5cm 的正方体框架，这根铁丝长（ ）cm。如果要把它 改做成一个长 9cm，宽 2cm 的长方体框架，这个长方体框架的高是（ ）cm。 突破题型六正方体的展开图 16．将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是（ ）。 17．端午节是中国四大传统节日之一，幸福小学举办“正方体礼盒”设计比赛。下图是丽丽设 计的一款礼盒展开图，其中“端”字的对面是“（ ）”字。 2024-2025学年五年级下册数学期末备考总复习 常考易错知识点专题突破（九大专题102个突破点） 目录 专题一观察物体（三） 6 突破题型一三视图的认识 6 突破题型二通过三视图会摆放立体图 8 突破题型三三视图的认识连线问题 9 突破题型四三视图的画法 12 突破题型五解决稍复杂的问题 15 突破题型六通过三视图还原立体图 18 突破题型七通过数字还原立体图 22 专题二因数与倍数 24 突破题型一因数和倍数的认识 24 突破题型二找一个数的因数及因数的特征 25 突破题型三找一个数的倍数及倍数的特征 27 突破题型四倍数和因数的综合应用 28 突破题型五2、5的倍数特征 30 突破题型六3的倍数特征 31 突破题型七2、5、3的倍数特征 32 突破题型八奇数和偶数的认识 34 突破题型九质数和合数的认识 35 突破题型十质数和合数的综合应用 37 突破题型十一根据因数的特征解决问题 38 突破题型十二根据倍数的特征解决问题 40 突破题型十三运算性质（奇数和偶数） 42 专题三长方体和正方体的认识及表面积 43 突破题型一长方体的认识及特征 43 突破题型二长方体有关棱长的应用 44 突破题型三长方体的展开图 46 突破题型四正方体的特征 47 突破题型五正方体有关棱长的应用 49 突破题型六正方体的展开图 50 突破题型七补全长方体的展开图 51 突破题型八补全正方体的展开图 53 突破题型九应用长方体棱长解决实际问题 55 突破题型十应用正方体棱长解决实际问题 57 突破题型十一应用长方体和正方体的展开图解决稍复杂的问题 59 突破题型十二长方体表面积的计算 60 突破题型十三正方体表面积的计算 62 突破题型十四立体图形的切拼（表面积增加问题） 63 突破题型十五立体图形的切拼（表面积减少问题） 65 突破题型十六组合体的表面积 66 突破题型十七表面涂色的正方体 68 突破题型十八组合体的表面积图形计算 70 突破题型十九运用长方体的表面积解决问题 72 突破题型二十运用正方体的表面积解决问题 73 专题四长方体和正方体的体积 75 突破题型一体积和容积的认识 75 突破题型二体积单位的认识 76 突破题型三容积单位的认识 77 突破题型四体积单位间的换算 78 突破题型五容积单位间的换算 79 突破题型六体积单位及容积单位的选择 80 突破题型七体积（容积）大小的比较 81 突破题型八长方体的体积计算 82 突破题型九正方体的体积计算 84 突破题型十组合体的体积计算 86 突破题型十一体积的等级变形 88 突破题型十二立体图形的切拼 89 突破题型十三体积与容积单位间的换算 91 突破题型十四长方体或正方体的容积 92 突破题型十五测量不规则物体的体积 94 突破题型十六解决体积有关的复杂问题 95 专题五分数的意义和性质 98 突破题型一分数的意义 98 突破题型二单位“1”的认识与确定 100 突破题型三分数与除法的关系 101 突破题型四求一个数占另一个数的几分之几 102 突破题型五真假分数及带分数的认识 103 突破题型六根据真假分数及带分数的特征组数 104 突破题型七分数的基本性质 105 突破题型八最简分数的认识 106 突破题型九分数化小数 107 突破题型十小数化分数 108 突破题型十一真假分数及带分数的互化 110 突破题型十二求最大公因数 111 突破题型十三分数的约分计算 113 突破题型十四求最小公倍数 114 突破题型十五分数的通分计算 116 突破题型十六最大公因数解决问题 118 突破题型十七最小公倍数解决问题 119 突破题型十八异分母分数的大小比较 120 专题六图形的运动（三） 122 突破题型一旋转的认识 122 突破题型二旋转三要素及旋转图形 125 突破题型三钟面上的旋转问题 127 突破题型四作旋转后的图形 130 突破题型五平移与旋转的综合 132 突破题型六运用平移、旋转和轴对称设计图案 135 专题七分数的加法和减法 137 突破题型一同分母分数加减法 137 突破题型二同分母分数加减法的简单应用 139 突破题型三异分母分数加减法 141 突破题型四异分母分数加减法的简单应用 143 突破题型五异分母分数加减混合运算 145 突破题型六异分母分数加减混合运算的简单应用 147 突破题型七牛奶兑水问题 149 突破题型八异分母分数加减法口算 150 突破题型九异分母分数加减混合运算及简便运算 151 突破题型十解分数加减法方程 157 专题八折线统计图 160 突破题型一单式折线统计图的认识及特点 160 突破题型二复式折线统计图的认识及特点 164 突破题型三统计图的选择（折线统计图） 167 突破题型四单式折线统计图中提出数据并解决问题 169 突破题型五复式折线统计图中提出数据并解决问题 173 突破题型六补全单式折线统计图并解决问题 177 突破题型七补全复式折线统计图并解决问题 181 专题九数学广角—找次品 185 突破题型一求至少称多少次找出次品 185 突破题型二最优策略解决问题 187 突破题型三找出最佳的分组方法 188 突破题型四画出或补全流程图 191 突破题型五根据称的次数反求物体的数量 193 专题一观察物体（三） 突破题型一三视图的认识 1．下图中，从( )面看到的图形是相同的。 和 【答案】上 【分析】从不同方向观察这两个几何体，分别得出从正面、上面、左面看到的图形，找出从哪个面看到的图形是相同的即可。 【解答】 如图： 所以，从上面到的图形是相同的。 2．观察物体，从( )面看到的是，从( )面看到的是，从( )面看到的是。 【答案】前 上 左 【分析】分别画出从上面、前面、后面、左面、右面看到的形状即可解答。 【解答】 从上面看：， 从前面看：，从后面看：， 从左面看：，从右面看：， 所以，从前面看到的是，从上面看到的是，从左面看到的是。 3．搭一搭，填一填。 从正面看到的图形是的有( )。从左面看到的图形是的有( )。 【答案】①④ ② 【分析】 分别从正面和左面看各几何体能看到的图形，找出符合条件的即可。①从正面看到的图形是，从左面看到的图形是；②从正面看到的图形是，从左面看到的图形是；③从正面看到的图形是，从左面看到的图形是；④从正面看到的图形是，从左面看到的图形是。 【解答】 从正面看到的图形是的有：①④。 从左面看到的图形是的有：②。 4．把17个小正方体拼摆在一起（如下图）。从不同角度观察，得到下面右面四种不同的图形。 (1)图①是从( )面看到的。 (2)图②是从( )面看到的。 (3)图③是从( )面看到的。 (4)图④是从( )面看到的。 【答案】(1)右 (2)上 (3)左 (4)正 【分析】观察图形可知，从左面看到的图形有两层，第一层有4个小正方体，第二层有1个小正方体，与左数第2个对齐；从上面看到的图形4行，4列，每行每列都有4个小正方体；从右面看到的图形有两层，第一层有4个小正方体，第二层有1个小正方体，与左数第3个对齐；从正面看到的图形有两层，第一层有4个小正方体，第二层有1个小正方体，与左对齐。据此解答即可。 【解答】（1）图①是从右面看到的。 （2）图②是从上面看到的。 （3）图③是从左面看到的。 （4）图④是从正面看到的。 突破题型二通过三视图会摆放立体图 5．一个几何体，从前面看是，从左面看是，搭成这样的几何体，最少用( )个小正方体，最多用( )个小正方体。 【答案】4 7 【分析】根据从前面和从左面看到形状，可知搭成的几何体有2层，底层最少3个小正方体，最多6个小正方体，上层只有1个小正方体，据此分析，可以画一画示意图。 【解答】 一个几何体，从前面看是，从左面看是，搭成这样的几何体，如图、，最少用4个小正方体，最多用7个小正方体。 6．一个用同样的小正方体搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的如图所示，搭成几何体用了( )个小正方体。 【答案】7 【分析】 从正面看，搭成的几何体有上、下两层；从左面看，该几何体有前、后两列，且上面一层只有一个小正方体；从上面看，搭成该几何体所用的小正方体如图：（数字表示该处放置小正方体的个数）。 【解答】2＋1＋1＋1＋1＋1＝7（个） 因此搭成几何体用了7个小正方体。 7．一个几何体从正面和上面都是从左面是摆这个几何体需要( )个小正方体。 【答案】5 【分析】 从上面看是，说明底下一层有4个小正方体。又因为从前面和左面看分别是和，则说明上面一层只有1个小正方体。利用加法求出一共有几个小正方体即可。 【解答】4＋1＝5（个） 所以，上面都是从左面是摆这个几何体需要5个小正方体。 8．用同样大小的小正方体搭成一个立体图形，从上面和前面看到的形状都是，搭成这个立体图形，最少需要( )个小正方体。 【答案】7 【分析】观察题意可知几何体有两层，根据从上面和前面看到的形状可知，下层有5个小正方体，上层最少有2个，然后根据加法计算出这个立体图形最少有几个小正方体。 【解答】5＋2＝7（个） 要搭成这个立体图形，至少需要7个小正方体。 【点评】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力。 突破题型三三视图的认识连线问题 9．观察下面的几何体，连一连从不同方向看到的图形。 【答案】见详解 【分析】观察几何体可知，从正面可以看到2层4个小正方形，下层3个，上层1个居左；从上面可以看到2层4个小正方形，上层、下层各2个，中间对齐；从右面可以看到2层3个小正方形，下层2个，上层1个且居右。据此连线。 【解答】连线如下： 10．连一连。 【答案】图见详解 【分析】观察图形可知，从前面看，看到的是3层，第1层是2个正方形，第2层是2个正方形，与第1层对齐，第3层是1个正方形，靠右对齐；从上面看，看到的是2行，第1行和第2行都是2个正方形，对齐；从左面看，看到的是3层，第1层是2个正方形，第2层和第3层都是1个正方形，且都靠左对齐；从右边看，看到的是3层，第1层是2个正方形，第2层和第3层都是1个正方形，且都靠右对齐；据此连线。 【解答】连线如下： 11．下图分别是从哪面看到的？连一连。 【答案】见详解 【分析】根据所给物体可知，从前面看有三行，最上面一行有1个正方形，位于左起第2个正方形的位置，中间一行有2个正方形，位于左起第2个和第4个正方形的位置，最下行有4个正方形，也就是题目选项中的第2个图；从左面看有三行，最上面一行和中间一行都只有1个正方形靠左，最下一行2个正方形，也就是题目选项中的第1个图；从上面看有2行，上行3个正方形，位于左起第1个、第2个、第4个正方形的位置，最下面一行有2个正方形，位置居中，也就是题目选项中的第3个图；据此解答即可。 【解答】连线如下： 12．下边的三个图形分别是从什么方向观察得到的，连一连。 【答案】见详解 【分析】从正面看有3层，最下层有3个小正方形，中间和最上层各有1个小正方形，居中； 上面看有2层，上层有3个小正方形，下层有1个小正方形，居中； 从左面看有3层，最下层有2个小正方形，中层和最上层各有1个小正方形，左齐，据此连线解答。 【解答】 【点评】本题考查了从不同的方向观察物体，需要有较强的空间想象和推理能力。 突破题型四三视图的画法 13．分别画出从前面、上面、左面看到的图形。 【答案】见详解 【分析】根据题意得：从前面看图形有上下3排，最下面一排有3个正方形，中间一排有1个正方形且位于中央，最上面一排有1个正方形也位于中央；从上面看图形有前后3排，最前面1排有2个正方形，中间1排有1个正方形与前面1排错位，最后面1排有1个正方形与中间正方形叠加；从左面看有上下3排，最下面一排有3个正方形，中间1排有1个正方形且靠右，最后1排有1个正方形。据此可得出答案。 【解答】作图如下： 14．我会画。 在方格图中画出从正面和左面看到的图形。 【答案】见详解 【分析】这个立体图形从正面看是上下两行，上面1行2个小正方形，下面1行4个小正方形，左对齐；从左面看是上下两行，上面1行1个小正方形，下面1行2个小正方形，左对齐。据此解答。 【解答】根据分析，作图如下： 15．画出左下边图形从三个角度分别看到的形状。 【答案】见详解 【分析】本题考查物体的三视图。在进行观察分析画图时，要注意：物体摆放的位置。针对于本题而言： （1）从正面看时，物体一共有三层高，位于最底下的第一层能看到3个正方体，第二层能看到1个正方体，第三层能看到1个正方，且第二层和第三层是在同一方向上，即第一层的中间。 （2）从上面看时，物体一共有两行，位于最下方的第一行有2个正方体，第二行有2个正方体，且第一行的最后1个正方体和第二行的第1个正方体在同一方向上。 （3）从左面看时，物体一共有两列，左侧有3个正方体，右侧有2个正方体。 结合观察到的图形画图即可。 【解答】如图： 16．请在方格纸上画出下面几何体从前面、左面和上面看到的图形。 【答案】见详解 【分析】观察图形可知，这个几何体是由5个相同的小正方体组成。从前面可以看到2层4个小正方形，下层3个，上层1个且居左；从左面可以看到2层3个小正方形，下层2个，上层1个且居右；从上面可以看到2层4个小正方形，下层3个，上层1个且居右。据此画出从前面、左面、上面看到的图形。 【解答】如图： 突破题型五解决稍复杂的问题 17．一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是。 （1）它可能是下面哪一个呢？在合适的图形下面画“√”。 （2）按题目的要求搭小正方体，最多能用（    ）个小正方体。 【答案】（1）见详解 （2）7 【分析】 （1），从正面看有2层，下层3个小正方形，上层1个小正方形，居中；从左面看，有2层，下层2个小正方形，上层1个小正方形，右齐； ，从正面看有2层，下层3个小正方形，上层1个小正方形，居中；从左面看，有2层，下层2个小正方形，上层1个小正方形，左齐； ，从正面看有2层，下层3个小正方形，上层1个小正方形，右齐；从左面看，有2层，下层2个小正方形，上层1个小正方形，右齐；据此解答。 （2）这个几何体有2层；使小正方体个数最多，前排下层3个小正方体，后排有3个小正方体，前排上层居中1个小正方体，据此解答。 【解答】（1）如图： （2）3＋3＋1 ＝6＋1 ＝7（个） 最多能用7个小正方体。 18．用10个棱长1厘米的小正方体拼在一起如下图。 （1）画出从正面和左面看到的图形。 （2）要保证从上面看到的图形不变，最多可以拿走（    ）个小正方体。 【答案】（1）见详解 （2）4 【分析】（1）从正面看，有3层，最上层有1个正方形，中间层有2个正方形，下层有3个正方形，左齐； 从左面看，有3层，最上层有1个正方形，中间层有2个正方形，下层有3个正方形，左齐；据此画图； （2）把最上层和中间层的正方体都去掉，从上面看到的图形不变，据此解答。 【解答】（1）如图： （2）1＋3＝4（个） 要保证从上面看到的图形不变，最多可以拿走4个小正方体。 19．下面是用小正方体搭建的一些几何体。    （1）从正面看到的是的有（    ），从侧面看到的是的有（ ），从上面看到的是的有（    ）。 （2）如果从正面看到的和⑥一样，用4个小正方体摆一摆，有多少种不同的摆法？ 【答案】（1）④⑤；①③；④ （2）5 【分析】（1）从正面看到的是二行，最下面一行三个小正方形并排，上面一行一个放在中间；从侧面看是一列两个，上下排列；从上面看是二行三列，上下行各两个正方形，呈“Z”型排列。由此分析判断。 （2）几何体⑥从正面看到的形状如右： ，根据此图，展开想象，确定物体的形状。 【解答】 （1）从正面看到的是的有（④⑤），从侧面看到的是的有（①③），从上面看到的是的有（④）。 （2）如果从正面看到的和⑥一样，用4个小正方体摆一摆，可以有如下摆法。    共有5种。 【点评】掌握物体三视体的画法及根据物体三视图确定物体的形状是解答的关键。 20．曲米在桌子上摆了一个由若干个同样的小正方体组成的几何体，从上面看到的图形是，从左面看到的图形是。曲米摆出的这个几何体最少需要几个小正方体？最多需要几个小正方体？ 【答案】最少需要5个小正方体；最多需要7个小正方体 【分析】根据图形从上看和从左看可知，这个图形有2列，前面一行只有1层，只有1个正方体，后面是2层，最多可放6个正方体，最少可放4个正方体，最多就是1＋6＝7个；最少就是1＋4＝5个，即可解答。 【解答】根据题意可知：最少需要：4＋1＝5（个） 最多需要：6＋1＝7（个） 答：曲米摆出的这个几何体最少需要5个正方体；最多需要7个正方体。 【点评】本题考查从不同方向观察物体和几何体，根据从不同的位置看到的图形解答问题。 突破题型六通过三视图还原立体图 21．乐乐用6个同样的小正方体搭了一个几何体，从正面和左面看到的分别是和。乐乐搭的几何体可能是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据正面图和左面图可知该几何体有两层，并且上面一层只有1个小正方体，底下一层有5个小正方体，并且根据左面图可知其中有4个在后面一排，1个在前面一排，所以综合分析可得到答案，依此解答即可。 【解答】根据正面图和左面图，该几何体有两层，上面一层只有1个小正方体，底下有5个小正方体，并且根据左面图可知其中有4个在后面一排，1个在前面一排，只有B选项符合要求。 故答案为：B 【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平面图形。 22．用5个正方体搭成一个几何体，从正面看是，从上面看是，从右面看是，这个几何体是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A．从正面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠左1个小正方形；从上面看有2列，右边1列3个小正方形，左边1列靠上1个小正方形；从右面看有2行，下边1行3个小正方形，上边1行靠右1个小正方形； B．从正面看有2行，下边1行3个小正方形，上边1行靠左1个小正方形；从上面看有2行，下边1行3个小正方形，上边1行中间1个小正方形；从右面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠左1个小正方形； C．从正面看有2行，下边1行3个小正方形，上边1行靠左1个小正方形；从上面看有2行，上边1行3个小正方形，下边1行中间1个小正方形；从右面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠右1个小正方形； D．从正面看有2行，下边1行3个小正方形，上边1行靠左1个小正方形；从上面看有2行，上边1行3个小正方形，下边1行靠左1个小正方形；从右面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠右1个小正方形。 【解答】 A．从正面看是，从上面看是，从右面看是； B．从正面看是，从上面看是，从右面看是； C．从正面看是，从上面看是，从右面看是； D．从正面看是，从上面看是，从右面看是。 用5个正方体搭成一个几何体，从正面看是，从上面看是，从右面看是，这个几何体是。 故答案为：C 23．由8个搭成的立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个立体图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从不同方向观察四个选项中的立体图形，分别得出从正面、左面看到的形状，再与原图形比较，找出符合要求的立体图形。 【解答】从正面、左面看到的形状如下： A． B． C． D． 所以，这个立体图形是。 故答案为：A 24．5个同样的小正方体摆一个立体图形，使它从上面看到的图形如图所示。正确的摆法是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】 从上面看有2层数，上层3个小正方形，下层1个小正方形，左齐；如图：； 从上面看有2层，上层1个小正方形，下层有3个小正方形，居中，如图：； 从上面看有2层，上层1个小正方形，下层3个小正方形，右齐，如图：；据此解答。 【解答】 根据分析可知，用5个同样的小正方体摆一个立体图形，使它从上面看到的图形如图所示。正确的摆法是。 故答案为：B 突破题型七通过数字还原立体图 25．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示这个位置上所用小正方体的个数）。这个几何体从左面看是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据从上面看到的形状和数字，可以确定这个几何体如图，从左面看有3行，下边1行3个小正方形；中间1行2个小正方形，左对齐；上边1行1个小正方形，居中；据此分析。 【解答】 根据分析，这个几何体从左面看是。 故答案为：C 26．一个几何体从上面看到的形状是，小正方形上面的数字表示在这个位置上所摆小正方体的个数，那么这个几何体从左面看到的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，这个几何体由7个小正方体组成；从左面看能看到2列5个小正方体，从左往右，分别是3个、2个，下齐，据此解答。 【解答】 根据分析可知，一个几何体从上面看到的形状是，小正方形上面的数字表示在这个位置上所摆小正方体的个数，那么这个几何体从左面看到的是。 故答案为：B 27．由一些大小相同的小正方体组成的几何体，从上面看到的形状如图，（其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数）则从正面看到（    ）号图形，从右面看到（    ）号图形。 A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据从上面看到的图形以及各个位置上的数字可知，这个图形从正面看时，中间最高，最高有两个小正方形，左右两边比较低，各一个小正方形。这个图形从右面看时，左低右高，左边一个小正方形，右边两个小正方形。据此解题。 【解答】从正面看到③号图形，从右面看到④号图形。 故答案为：D 28．小明用若干个同样的小正方体搭一个几何体，搭出的几何体从上面看到的形状如下图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数。）这个几何体，从左面看到的形状是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确观察物体的方法，先确定有几列或几行，每列或每行有几个，形状是怎样的。观察图形可知，这个几何体，从左面能看到几列，左边一列有几个正方形，右边一列有几个正方形，据此解答。 【解答】观察图形可画出立体图形： 这个几何体，从左面看到两列，左边一列有3个正方形，右边一列有2个正方形。 故答案为：C 专题二因数与倍数 突破题型一因数和倍数的认识 1．a、b都是大于0的自然数，a＝9b。a的因数最少有( )，( )，( )和( )。 【答案】1 a 9 b 【分析】a＝9b，说明9和b都是a的因数，另外一个数的最小公倍数是1，最大因数是它本身，据此填空。 【解答】a、b都是大于0的自然数，a＝9b。根据分析，a的因数最少有1，a，9和b。 2．《西游记》是我国古典文学四大名著之一，书中唐僧师徒四人经历了“九九八十一难”。81的因数有( )，81的最小倍数是( )。 【答案】1、3、9、27、81 81 【分析】找一个数的因数，可以应用列举法、列乘法算式法。一个数的最小倍数是它本身，据此解答。 【解答】，， 所以81的因数有1、3、9、27、81；81的最小倍数是81。 3．因为45÷9＝5，所以可以说9是( )的因数，45是9的( )。 【答案】45 倍数 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就是b的倍数，b就是a的因数；据此解答即可。 【解答】根据分析可得： 因为45÷9＝5，所以可以说9是45的因数，45是9的倍数。 4．一个数的最大因数和最小倍数的和是32，这个数是( )。 【答案】16 【分析】一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身。设这个数是，那么它的最大因数是，最小倍数也是，根据题意列方程为：，求解即可。 【解答】解：设这个数是，那么它的最大因数是，最小倍数也是， 所以，一个数的最大因数和最小倍数的和是32，这个数是16。 突破题型二找一个数的因数及因数的特征 5．一个数最大的因数是36，它最小的倍数是( )。写出36的全部因数( )。 【答案】36 1，2，3，4，6，9，12，18，36 【分析】一个数最大因数是它本身，最小倍数是它本身，据此求出36的最小倍数；再根据求一个数的因数的方法，求出36的全部因数。 【解答】一个数最大的因数是36，它最小的倍数是36。 36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。 一个数最大的因数是36，它最小的倍数是36。36的全部因数1，2，3，4，6，9，12，18，36。 6．在7的倍数中，最大的两位数是( )；一个数只有a、5、7、35四个因数，这个数是( )。 【答案】98 35 【分析】最大的两位数是99，用99除以7求出商和余数，用99减去余数即是所求；一个数的因数最小是1，最大是它本身。据此解答。 【解答】 因此，在7的倍数中，最大的两位数是98； 一个数只有a、5、7、35四个因数，即该数最小的因数是a，最大的因数是35，因此，这个数是35。 7．20的因数有( )，30的因数有( )，既是20的因数，又是30的因数的数有( )。 【答案】1、2、4、5、10、20 1、2、3、5、6、10、15、30 1、2、5、10 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先分别求出20和30的因数，再找到既是20的因数，又是30的因数的数即可。 【解答】20＝1×20＝2×10＝4×5；20的因数有：1，2，4，5，10，20； 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6；30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30； 既是20的因数，又是30的因数有：1，2，5，10。 20的因数有1，2，4，5，10，20，30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30，既是20的因数，又是30的因数的数有1，2，5，10。 8．48一共有10个因数。小明写出了9个：1，2，3，4，6，8，12，24，48。按照小明的写法，他漏写了排在( )后面的( )。小静也写出了9个：1，48，2，24，3，4，12，6，8。按照小静的写法，他漏写了排在( )后面的( )。 【答案】12 16 3 16 【分析】求一个数的因数的方法最简单的就是用除法，用这个数连续除以1，2，3，……，除到它本身为止，能整除的就是它的因数，然后写出一组一组的两个数，据此解答。 【解答】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 小明写法：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 小静写法：1，48，2，24，3，16，4，12，6，8。 48一共有10个因数。小明写出了9个：1，2，3，4，6，8，12，24，48。按照小明的写法，他漏写了排在12后面的16。小静也写出了9个：1，48，2，24，3，4，12，6，8。按照小静的写法，他漏写了排在3后面的16。 突破题型三找一个数的倍数及倍数的特征 9．一个数的最大的因数与最小的倍数的和是36，这个数是( )。 【答案】18 【分析】这个数最大的因数和最小的倍数和是36，根据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”，可以36÷2，即可求出这个数。 【解答】根据分析可得： 36÷2＝18 一个数的最大的因数与最小的倍数的和是36，这个数是18。 10．中国在2014年南京青奥会上获得38枚金牌，38的最大因数是( )，它的最小倍数是( )。 【答案】38 38 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。据此解答。 【解答】38的最大因数是（38），它的最小倍数是（38）。 11．把一些袋装糖果平均分装在14个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在50～60袋之间，那么每盒装了( )袋糖果。 【答案】4 【分析】把这些糖果平均装在14个盒子里，正好装完，则这些糖果的数量刚好是14的倍数，先求出14的倍数，再找出倍数在50～60之间，最后用这些糖果的总数除以14，所得结果即为每盒装了多少袋糖果。 【解答】14的倍数有：14，28，42，56，70…… 其中倍数在50～60之间的是56。 56÷14＝4（袋） 因此每盒装了4袋糖果。 12．淘宝某店“双十一”前开展整时抢三折优惠券活动。每次发放的优惠券不超过50张，且张数是9的倍数。店家每次可能发放( )张优惠券。 【答案】9，18，27，36，45 【分析】根据题意，每次发放的优惠券不超过50张，且张数是9的倍数，列举出50以内9的倍数，即是店家每次可能发放优惠券的张数。 【解答】50以内9的倍数：9，18，27，36，45； 即店家每次可能发放9，18，27，36，45张优惠券。 突破题型四倍数和因数的综合应用 13．一个数的最大因数是17，它的最小倍数是( )。 【答案】17 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【解答】根据分析可知，一个数的最大因数是17，说明这个数是17，最小倍数也是它本身，即17。 14．猜猜我是谁。 我是( )         我是( )         我是( ) 【答案】60 11 28 【分析】根据一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身；据此解答第一空； 根据找一个数因数的方法，先找出33和11的所有因数，再找除1以外共有的因数；据此解答第二空； 根据找一个数倍数的方法，找出7的倍数，再找到其中有因数4的，也就是7的4倍，据此解答第三空。 【解答】我的最大因数和最小倍数都是60，我是60； 33的因数：1、3、11、33， 11的因数：1、11， 所以是33的因数，又是11的因数，但我不是1，我是11； 7×4＝28 我是50以内7的倍数，我的其中一个因数是4，我是28。 如下： 15．一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是40的因数，又是5的倍数。这个旅行团一共有( )人。    【答案】20 【分析】先写出40的所有因数，再从中找出5的倍数的数，最后找出在15～30之间的数，即是这个旅行团的人数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【解答】40的因数：1，2，4，5，8，10，20，40； 其中又是5的倍数的有：5，10，20，40； 15＜20＜30 这个旅行团一共有20人。 【点评】本题考查找一个数的因数以及5的倍数特征的应用。 16．猜电话号码。 0871－ABCDEFG 提示：A－8的最小倍数；B－最小的自然数；C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数；E－它的所有因数是1、2、3、6；F－它的所有因数是1、3；G－它只有1个因数。这个电话号码是0871－( )。 【答案】8054631 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数。 【解答】8的最小倍数是8；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4；6的因数有1、2、3、6；3的因数有1、3；只有1个因数的是1。所以这个电话号码是0871－8054631。 【点评】一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。 突破题型五2、5的倍数特征 17．个位上是( )或( )的数，是5的倍数，其中( )是最小的5的倍数。 【答案】0 5 5 【分析】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 【解答】个位上是0或5的数，是5的倍数，如5、10、15、20等，在研究因数和倍数时，不考虑0，其中5是最小的5的倍数。 18．要使既是2的倍数，又能被5整除。里填( )。 【答案】0 【分析】能被5整除，说明这个数也是5的倍数，是2的倍数，又是5的倍数。根据2的倍数特征和5的倍数特征可知，只有个位上是0的数才既是2的倍数，又是5的倍数，据此解答。 【解答】2的倍数特征是个位上是0，2，4，6，8的数，5的倍数特征是个位上是0或5的数。所以，既是2的倍数，又是5的倍数的数个位只能是0。因此，里填0，即680。 19．1021至少减去( )就是2的倍数；1708至少加上( )就是5的倍数。 【答案】1 2 【分析】本题考查2和5的倍数特征。2的倍数特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征是：个位上的数字是0或者5的数。比1021小的2的倍数中，最大的是1020。比1708大的5的倍数中，最小的是1710。据此解答。 【解答】比1021小的2的倍数中，最大的是1020。1021－1020＝1 比1708大的5的倍数中，最小的是1710。1710－1708＝2 所以，1021至少减去1就是2的倍数；1708至少加上2就是5的倍数。 20．56□是2的倍数，□中可以填数字有( )。 【答案】0，2，4，6，8 【分析】整数的末尾是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。据此解答。 【解答】56□是2的倍数，□中可以填数字有（0，2，4，6，8）。 【点评】掌握2的倍数特征是解答的关键。 突破题型六3的倍数特征 21．2和3的倍数中，最小的三位数是( )，2、3、5的倍数中，最大的三位数是( )。 【答案】102 990 【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数；2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【解答】2和3的倍数中，最小的三位数是102；2、3、5的倍数中，最大的三位数是990。 22．学习强国是党中央推出的全国学习平台，陈老师学习强国的积分达到了58963分，至少加上( )分就是3的倍数；至少去掉( )分就同时是2和5的倍数。 【答案】2 3 【分析】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。据此解答。 【解答】5＋8＋9＋6＋3＝31 31＋2＝33 33是3的倍数，则至少加上2分就是3的倍数。 能被2和5整除的数末尾是0，则 58963－3＝58960 至少去掉3分就同时是2和5的倍数。 23．过春节时，发红包寓意着喜庆、吉祥，亦是长辈向晚辈表达美好祝愿的方式。妈妈对琳琳说：“我给你发一个100元以内的红包，钱数既是3的倍数，又是11的倍数，你猜猜我发的红包最大是( )元钱。” 【答案】99 【分析】先找出100以内11的倍数，根据3的倍数的特征，各数位上数字的和是3的倍数，在其中找出3的倍数，作比较选出最大的即可解答。 【解答】100以内11的倍数有：11、22、33、44、55、66、77、88、99。 其中是3的倍数的是：33、66、99。 所以，100元以内的红包，钱数既是3的倍数，又是11的倍数，最大是99元钱。 24．如果A28B这个四位数是3的倍数，那么，A＋B最小是( )，A＋B最大是( )。 【答案】2 17 【分析】根据题意，这个四位数A28B是3的倍数 ，3的倍数的特征为，这个数各数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数；据此解答。 【解答】因为A＋B＋2＋8是3的倍数，现在要让A＋B尽可能小。 当A＋B＝1时，则A＝1，B＝0，加起来的数为：0＋1＋2＋8＝11，不是3的倍数。 当A＋B＝2时，则A＝1，B＝1，或A＝2，B＝0加起来的数为：1＋1＋2＋8＝12（或2＋0＋2＋8＝12），是3的倍数。 （2）因为A＋B＋2＋8是3的倍数，现在要让A＋B尽可能大。 如果A＋B＝18，则A＝9，B＝9，那么9＋9＋2＋8＝28，不是3的倍数。 如果A＋B＝17，则A＝8，B＝9（或A＝9，B＝8）那么8＋9＋2＋8＝27，是3的倍数 综上分析所述：A＋B最小是2，A＋B最大是17。 突破题型七2、5、3的倍数特征 25．从0，3，5，7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这个三位数可以是( )。 【答案】570/750 【分析】根据2的倍数特征：末尾是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数；5的倍数特征：末尾是0、5的数是5的倍数；由于要同时被2、3、5整除，这个三位数的末尾必须是0，同时另外两位数字之和是3的倍数才行，据此即可填空。 【解答】由分析可知： 3＋5＝8，8不是3的倍数； 3＋7＝10，10不是3的倍数； 5＋7＝12，12是3的倍数； 即这个三位数可以是570或者是750。 26．从0、2、4、5四张数字中选出三个，组成一个既是2和3的倍数，又有因数5的数，可以是( )或( )。 【答案】240 420 【分析】从0、2、4、5四张数字中选出三个组成一个三位数，这个三位数是2和5的倍数，那么这个三位数的个位一定是0；同时又是3的倍数，则这个三位数的各位上的数字之和是3的倍数；据此得出这个三位数。 【解答】从0、2、4、5四张数字中选出三个，组成一个既是2和3的倍数，又有因数5的数，可以是240或420。（答案不唯一） 27．亮亮在登录某软件时需要验证码，由于手机屏幕有损坏，其中有两位看不清。已知5□2□既是3的倍数，又含有因数5，则这个四位数最大可能是( )。 【答案】5925 【分析】已知5□2□既是3的倍数，又含有因数5，那么这个数的个位一定是0或5，且各位数字之和是3的倍数。要求这四位数最大，所以百位上的数字为9，据此解答。 【解答】因为这个四位数最大，所以百位上是9。又因为个位一定是0或5，且各位数字之和是3的倍数。 当个位是0时，数字和为16，不是3的倍数，不满足条件。 当个位是5时，数字和为21，是3的倍数，所以这个最大的四位数是5925。 28．选出三个数组成三位数，算一算，分别满足下列条件。 (1)同时是2和3的倍数，其中最小的数是( )。 (2)同时是3和5的倍数，其中最大的数是( )。 (3)同时是2、3和5的倍数，其中最小的数是( )。 【答案】(1)306 (2)630 (3)360 【分析】（1）2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数； （2）3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数的特征：个位上的数字是0或5；既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 （3）2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【解答】（1）同时是2和3的倍数，其中最小的数是306。 （2）同时是3和5的倍数，其中最大的数是630。 （3）同时是2、3和5的倍数，其中最小的数是360。 突破题型八奇数和偶数的认识 29．聪聪和明明做数学游戏，他们分别从4张卡片6，7，8，9中抽出一张，再把两人抽到的卡片上的数相乘，如果积是单数聪聪赢，积是奇数明明赢。这个游戏公平吗？( ) 【答案】不公平 【分析】6，7，8，9四张数字卡片任意抽出其中的两张，计算出所有的积，统计出单数结果和双数结果各有几种，判断谁赢的可能性大，据此解答即可。 【解答】6×7＝42 6×8＝48 6×9＝54 7×8＝56 7×9＝63 8×9＝72 其中积是单数有：63，共1个；积是双数有：42，48，54，56，72，共5个； 1＜5，聪聪赢的可能性大，明明赢的可能性小，所以游戏不公平。 聪聪和明明做数学游戏，他们分别从4张卡片6，7，8，9中抽出一张，再把两人抽到的卡片上的数相乘，如果积是单数聪聪赢，积是奇数明明赢。这个游戏公平吗？不公平。 30．晚上，小明正开着灯做作业，顽皮的妹妹按了15下开关，这时灯是( )着的状态。（填“开”或“关”） 【答案】关 【分析】根据题意可知，0下开灯，1下关灯，2下开灯，3下关灯，由此可知偶数下开灯，奇数下关灯，据此填空。 【解答】按了15下，15是奇数，这时灯是关着的状态。 晚上，小明正开着灯做作业，顽皮的妹妹按了15下开关，这时灯是关着的状态。 31．琳琳、思思和乐乐三人的年龄正好是三个连续偶数，他们的年龄和是24岁，他们中最小的是( )岁，最大的是( )岁。 【答案】6 10 【分析】因为三个人的年龄为三个连续的偶数，相邻偶数的差是2，知道三个数的和是42，所以中间的偶数也就是三个数的平均数，据此用他们的年龄和除以3，求出中间的偶数，再用中间的偶数分别减去2、加上2即可解答。 【解答】24÷3＝8（岁） 8－2＝6（岁） 8＋2＝10（岁） 所以他们中最小的是6岁，最大的是10岁。 32．邵阳史称“宝庆”，人杰地灵，自然资源丰富。据统计，邵阳市境内高等植物有245科，792属，2826种；野生脊椎动物有397种，分属5纲，33目，102科。划横线的数中，偶数有( )个，是3的倍数的数有( )个。 【答案】3 4 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8；3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数的数；是2的倍数的数是偶数，据此解答即可。 【解答】，11不是3的倍数，所以245不是3的倍数； ，18是3的倍数，所以792是3的倍数； ，18是3的倍数，所以2826是3的倍数； ，19不是3的倍数，所以397不是3的倍数； ，6是3的倍数，所以33是3的倍数； ，3是3的倍数，所以102是3的倍数； 5不是3的倍数， 偶数有：792、2826、102； 所以偶数有3个，3的倍数有4个。 【点评】本题考查偶数、3的倍数，解答本题的关键是掌握偶数、3的倍数的特征。 突破题型九质数和合数的认识 33．在1、2、5、15、37、66中，奇数有( )，质数有( )，偶数有( )，合数有( )。 【答案】1、5、15、37 2、5、37 2、66 15、66 【分析】奇数：不能被2整数的整数。偶数：能被2整除的整数。 质数：一个大于1的自然数，只有1和它本身两个因数的数。合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身还有其他因数的数。 注意：1既不是质数也不是合数。 100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 【解答】结合奇数、偶数、质数、合数的定义可知：在1、2、5、15、37、66中，奇数有（1、5、15、37），质数有（2、5、37），偶数有（2、66），合数有（15、66）。 34．李叔叔的手机开机密码是一个四位数abcd，a是最小的奇数，b是最小的偶数，c是10以内最大的质数，d是最小的合数，这个密码是( )。 【答案】1074 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【解答】李叔叔的手机开机密码是一个四位数abcd，a是最小的奇数，a是1；b是最小的偶数，b是2；c是10以内最大的质数，c是7；d是最小的合数，d是4，这个密码是1074。 35．一个三位数，百位上的数是既不是质数也不是合数，十位上的数是最小的质数，个位上的数是最小的合数，这个三位数是( )。 【答案】124 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数。1既不是质数也不是合数，最小的质数是2，最小的合数是4。据此解答。 【解答】通过分析可得：这个三位数是124。 36．智能快递柜走进阳新各个社区。李阿姨收到一条取件码的信息，根据下面的描述，她的取件码是( )，这是一个( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】4369 奇 【分析】一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数，最小的合数是4；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，最小的质数是2；既是2的倍数也是3的倍数的数的一位数只有6；最大的一位数是9；整数中，是2的倍数的数叫作偶数；不是2的倍数的数叫作奇数；据此解答。 【解答】最小的合数是4，最小的质数是2，比2大1的数是3，是2和3的倍数的一位数是6；最大的一位数是9，所以她的取件码是4369，这是一个奇数。 突破题型十质数和合数的综合应用 37．一个质数（两位数）的个位上的数字与十位上的数字交换位置后，变成7的倍数，这样的质数有( )。 【答案】19、41、53、89 【分析】先找出所有两位数中是7的倍数的数，再交换个位上的数字与十位上的数字，找出质数即可。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 【解答】两位数中是7的倍数有：14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98； 交换个位上的数字与十位上的数字后是质数的有：19、41、53、89。 所以，这样的质数有19、41、53、89。 【点评】本题考查质数的意义及应用。 38．一个长方形的周长是32米，它的长和宽是两个不同的质数，这个长方形的面积可能是( )、( )。 【答案】39平方米/39m2 55平方米/55m2 【分析】根据“长方形的周长＝（长＋宽）×2”可知，用周长除以2可求出长与宽的和；再根据质数的意义，确定长、宽的米数；最后根据“长方形的面积＝长×宽”，把长、宽数据代入面积公式计算即可。 【解答】32÷2＝16（米） 16＝13＋3＝11＋5 13×3＝39（平方米） 11×5＝55（平方米） 所以这个长方形的面积是39平方米或55平方米。 【点评】此题主要考查质数的意义、长方形的周长公式、长方形的面积公式，要熟记公式及100以内的质数。 39．平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 【答案】4210958 【分析】最小的合数是4，最小的质数是2，既不是质数也不是合数的数是1，比最小的质数小2的数是0，10以内最大的合数是9，因数只有1和5的数是5，一位数中最大的偶数是8，所以平平家的电话号码是4210958。 【解答】平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是4210958。 40．能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是( )。 【答案】23 【分析】由左边的锁上的信息可知这是一个两位数；由中间的锁上的信息可知两位数的最高位是2，那么这个两位数是20——30之间的数；再由第三个锁上的信息，20以内连续3个质数相加的和大于20，那么由此可这3个连续的质数是5、7、11。由此解答。 【解答】5＋7＋11＝23 23满足三把锁上的所有条件。 能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是（23）。 【点评】解决此类问题首先把选取最容易筛选的条件，将选取范围缩到最小，然后再依据剩下的条件进一步筛选，最终进行验证确定。 突破题型十一根据因数的特征解决问题 41．端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【答案】（1）2种 （2）每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。 【解答】（1）35 1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。 答：一共有2种放法。 （2）5个一放时放：（次） 7个一放时放：（次） 答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。 42．把36个苹果分成若干份，要使每份的苹果个数相同（最少分2份，每份最少2个），一共有多少种不同的分法？ 【答案】7种 【分析】把36个苹果平均分成若干份，要使每份的苹果个数同样多，那么分成的份数是36的因数；先列举出36的因数，根据题意，至少分2份，每份最少2个，所以要减去分1份和分36份这两种情况，进而得出结论。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【解答】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36 排除其中的1和36，还有7种不同的分法。 答：一共有7种不同的分法。 43．今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树111棵，已知五（2）班人数多于20且不超过40，王老师植树的棵数和平均每位同学植树的棵数一样。五（2）班有多少位同学？平均每位同学植树多少棵？ 【答案】36位；3棵 【分析】根据每人植树棵数×总人数＝植树总棵数（其中总人数包含王老师），可知每人植树棵数和总人数是植树总棵数的因数，结合题中：五（2）班人数多于20且不超过40，据此确定每人植树棵数和总人数，因为王老师也参与了植树，所以总人数－1＝学生人数，据此列式解答。 【解答】111＝1×111＝3×37 学生人数多余20且不超过40，结合实际情况植树的总人数排除1、3、141。 也就是植树总人数为：37人，平均每人植树：111÷37＝3（棵） 学生人数为：37－1＝36（人） 答：五（2）班有36位同学，平均每位同学植树3棵。 44．体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等。五一班有32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每列不少于2人） 【答案】4行或8行；2种 【分析】根据题意可知，每行人数×行数＝32，据此将32拆分成2个因数相乘，已知每行或每列不少于2人，据此判断有几种方法即可。 【解答】32＝1×32＝2×16＝4×8 因为每行或每列不少于2人，所以1×32、2×16不符合题意，所以有两种站队方法：①4行8列，②8行4列。 答：可以排4行或8行，共有2种站队的方法。 突破题型十二根据倍数的特征解决问题 45．水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 【答案】每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱，能正好装完 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；如果20是250的因数，则每20千克装一箱，能正好装完，反之则不能；如果50是250的因数，则每50千克装一箱，能正好装完，反之则不能。据此解答。 【解答】250÷20＝12（箱）……10（千克） 250÷50＝5（箱） 250不是20的倍数，而是50的倍数。 答：每20千克装一箱，不能正好装完；每50千克装一箱能正好装完。 【点评】此题考查了因数、倍数的意义和应用。 46．饭店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和3千克装。店长买回45千克菜籽油，用哪一种规格的油桶能正好把菜籽油装完？需要多少个这样的油桶？ 【答案】5千克装或3千克装；9个5千克装的油桶或15个3千克装的油桶 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；如果刚好把菜籽油装完，那么菜籽油的总质量是油桶可以装菜籽油质量的倍数，需要油桶的数量＝菜籽油的总质量÷每个油桶可以装菜籽油的质量，据此解答。 【解答】45÷5＝9（个） 45÷3＝15（个） 由上可知，45是5和3的倍数，则用5千克装或3千克装的油桶能正好把菜籽油装完，需要5千克装的油桶9个或3千克装的油桶15个。 答：用5千克装或3千克装的油桶能正好把菜籽油装完，需要9个5千克装的油桶或15个3千克装的油桶。 【点评】本题主要考查因数、倍数的应用，掌握因数、倍数的意义是解答题目的关键。 47．小明的妈妈从批发市场买来90千克大枣，如果每15千克装一包，能正好装完吗？还可以怎么装？能装多少包？ 【答案】能正好装完；还可以10千克一包，装9包 【分析】如果90能被15整除，则能正好装完，只要每包的千克数是90合适的因数即可正好分装完，据此解答。 【解答】90÷15＝6（包） 90的因数有1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90。 每包选择合适的千克数即可，可以10千克一包。 90÷10＝9（包） 答：如果每15千克装一包，能正好装完；还可以10千克一包，装9包。 【点评】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 48．五（1）班的学生人数在40－50人之间，一次大扫除，按8人一组分组，则少1人，五（1）班有多少名学生？ 【答案】47名 【分析】根据题意可知，这个班的学生人数在40~50人之间，而这个班的学生比40~50人之间的8的倍数少1，根据求一个数的倍数方法解答。 【解答】在40－50人之间8的倍数是48， 48－1＝47（人） 答：五（1）班有47名学生。 【点评】此题考查的目的是理解倍数的意义，掌握求一个数的倍数的方法及应用。 突破题型十三运算性质（奇数和偶数） 49．实验小学五（1）班有41名同学，现在派他们到4个卫生区去打扫卫生，每个卫生区只能派奇数名同学。你能完成分配任务吗？请说明做法或原因。 【答案】不能；原因见详解 【分析】奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 已知五（1）班有41名同学派到4个卫生区，每个卫生区只能派奇数名同学，根据奇数和偶数的运算性质可知，四个奇数相加的和是偶数，但总人数是奇数，所以不能完成分配任务。 【解答】答：不能完成分配任务。因为奇数＋奇数＝偶数，那么四个奇数相加的和是偶数，但总人数41是奇数，所以不能完成分配任务。 50．下图是一个靶，靶上的1，3，5，7，9表示射中该靶区的分数，淘气说：“我打了6枪，每枪都中靶，得分是27分。”笑笑说：“我打了3枪，每枪都中靶，得分是27分。”你知道他们两人中谁说了假话吗？为什么？ 【答案】淘气；理由见解析 【分析】由图可知，所有靶区的分数都是奇数；结合运算定律：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，打了6枪的分数是偶数，打了3枪的分数是奇数，据此解答。 【解答】淘气打了6枪，每两枪的分数相加是偶数，即奇数＋奇数＝偶数，把这三次相加的偶数再相加，即偶数＋偶数＝偶数，因此淘气打了6枪的分数是偶数，淘气说了假话。 笑笑打了3枪，前两枪的分数相加是偶数，即奇数＋奇数＝偶数，再与第3枪的分数相加是奇数，即偶数＋奇数＝奇数，因此笑笑打了3枪的分数是奇数，笑笑说的是真话。 答：淘气说了假话。理由是：27是奇数，淘气打了6枪的分数是偶数；笑笑打了3枪的分数是奇数。 51．1＋2＋3＋45＋…＋99＋100的和是奇数还是偶数，请说明理由。 【答案】偶数；理由见详解 【分析】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，据此解答即可。 【解答】1＋2＋3＋45＋…＋99＋100的和是偶数，因为1~100中共有50个奇数和50个偶数，50个奇数的和是偶数，50个偶数的和是偶数，则总体的和是偶数。 52．周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。 【答案】不对，理由见详解 【分析】偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，据此解答。 【解答】答：不对。理由：各种商品的单价都是偶数。根据偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，所以不管每种文具买多少，它们各自的花费都是偶数，那么商品的总价就是这些偶数的和，根据偶数＋偶数＝偶数，可知商品总价一定是偶数。100是偶数，那么找零应该是偶数减偶数，结果也一定是偶数， 而35是奇数，所以找的钱数不对。 专题三长方体和正方体的认识及表面积 突破题型一长方体的认识及特征 1．在下图中，和b平行的棱有（ ）条，和a相交且垂直的棱有（ ）条。 【答案】3 4 【分析】长方体中相对的两个棱互相平行，相邻的两个棱互相垂直。长方体的6个面都是长方形，长方形的两组对边分别平行，临边互相垂直，据此解答。 【解答】和b平行的棱有3条（红色棱），和a相交且垂直的棱有4条（黄色棱）。如下图所示。 2．如图所示的长方体，涂色一面是长方体的（ ）面（填“上”“下”“左”或“右”），它的面积是（ ）cm2。 【答案】上 5 【分析】根据长方体有6个面，上下2个面相等，左右2个面相等，前后2个面相等；观察图形，涂色的一面是长方体的上面，它的长是5cm，宽是1cm，据此求出它的面积即可。 【解答】（cm2） 所以，涂色一面是长方体的上面，它的面积是5cm2。 3．在探究长方体的特征时，思思发现：如果一个长方体有四个面的面积相等，那么其余两个面一定是（ ）形。 【答案】正方 【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 【解答】如：一个长方体的长、宽都是5厘米，高是4厘米；这个长方体的上下面是两个“5×5”的正方形，其余四个面即前后面、左右面都是“5×4”的长方形。所以，如果一个长方体有四个面的面积相等，那么其余两个面一定是正方形。 突破题型二长方体有关棱长的应用 4．下图是用绸带捆扎的长方体礼品盒，打结用去15cm，共用绸带（ ）cm。 【答案】125 【分析】从图中可知：所用绸带的长度=长×2＋宽×2＋高×4＋打结长度，代入数据计算即可。 【解答】20×2＋15×2＋10×4＋15 =40＋30＋40＋15 =125（cm） 共用绸带125cm。 5．李师傅用不同长度的铁丝焊一个长方体框架，他已经焊好了三根（如图）。这三根铁丝的长度分别是30cm、10cm、10cm，焊这个长方体框架共需要（ ）根30cm长的铁丝，（ ）根10cm长的铁丝；这个长方体框架焊好后，它共有（ ）个面，其中有（ ）个面是正方形。 【答案】4 8 6 2 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同，长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为3组，每一组有4条棱，长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，3条棱分别叫作长方体的长、宽、高。 【解答】这个长方体框架的长为30cm，宽、高都是10cm，焊这个长方体框架共需要4根30cm长的铁丝，8根10cm的铁丝，这个长方体框架焊好后，它共有6个面，其中有2个面是正方形。 6．下面是长方体一个顶点处的3条棱。（单位：cm），要围成这个长方体需要下图中的三种长方形，分别是（ ）、（ ）、（ ）。 【答案】B C E 【分析】根据题意得：长方体顶点处的三条棱分别为长宽高，即这个长方体的长为9厘米，宽为7厘米，高为4厘米，则围成这个长方体的三种面分别为长和宽，长和高，宽和高组成的长方形。据此可得出答案。 【解答】根据题意得：这个长方体的长、宽、高分别为9厘米、7厘米、4厘米，则围成这个长方体的三种长方形分别为9厘米和7厘米、9厘米4厘米、7厘米和4厘米组成的长方形。题中符合条件的长方形分别为：B、C、E。 突破题型三长方体的展开图 7．跳跳把一张长14厘米、宽6厘米的纸板沿虚线折起，做出了长方体相邻的两个面（如图所示），然后再用纸板做出其他4个面，围成长方体。这个长方体的长、宽、高分别是（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米。 【答案】10 6 4 【分析】已知这种长方形的长是14厘米，宽是6厘米，折成的长方体的长是10厘米，宽就是原来长方形的宽6厘米，那么高是（14－10）厘米。据此解答即可。 【解答】高：14－10＝4（厘米） 所以，这个长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、4厘米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 8．在下面的8个面中找出6个面，使它们能组成长方体，这6个面的编号分别是（ ）。 【答案】①⑥④⑦②⑧ 【分析】长方体中：长4条棱相等，宽4条棱相等，高4条棱相等。长方体的面也是两两相等，由此即可判断。 【解答】由分析可得：在下面的8个面中找出6个面，使它们能组成长方体，这6个面的编号分别是①⑥④⑦②⑧。 【点评】本题考查对长方体展开图的运用，以及对长方体展开图特点的掌握。 9．下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则（ ）字在下面，“城”字在前面，（ ）字在后面，“创”字在（ ）面，“市”字在（ ）面。 【答案】明 文 左 右 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。通过观察长方体的展开图可知，“建”字与“明”字相对，“城”字与“文”字相对，“创”字与“市”字相对。据此解答即可。 【解答】根据分析得，如果“建”字在上面，则“明”字在下面，“城”字在前面，“文”字在后面，“创”字在“左”面，“市”字在右面。 【点评】本题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 突破题型四正方体的特征 10．如图，骰子相对的两个面上数字之和为7，规定1所在的面为上面，将这个骰子沿1—2—3—…—7的方向翻转7次，最后骰子的上面是数字 。 【答案】6 【分析】已知骰子相对的两个面上数字之和为7，则1和6相对，2和5相对，3和4相对，将这个骰子沿1—2—3—…—7的方向翻转7次，7次翻转骰子上面的数字依次是4、6、5、1、3、5、6；据此解答。 【解答】根据分析可知，将这个骰子沿1—2—3—…—7的方向翻转7次，最后骰子的上面是数字6。 11．有三块相同的数字积木（每块积木的面上分别标有1～6六个数字）。摆放如图，相对两个面上的数字乘积最大是（ ）。 【答案】18 【分析】由①和②可知，与1相邻的面是2、3、4、6，所以与1相对的面是5； 由②和③可知，与3相邻的面是1、2、4、5，所以与3相对的面是6； 所以与2相对的面是4。 再分别计算出对面两个数的乘积，再比较大小。 【解答】1对面是5，3对面是6，2对面是4 1×5＝5，3×6＝18，2×4＝8 18＞8＞5，乘积最大的是18。 对两个面上的数字乘积最大是18。 12．用小棒拼搭长方体。 果果：我用4根1.5厘米、4根2.8厘米、4根7厘米的小棒搭成一个长方体。 贝贝：我用8根2厘米、4根6厘米的小棒搭成一个长方体。 天天：我用12根长度相同的小棒搭成一个长方体。 果果搭成的长方体是（ ），贝贝搭成的长方体是（ ）。（填序号） 【答案】① ③ 【分析】长方体一共有12条棱，其中4条长相等，4条宽相等，4条高相等；当有8条棱长相等的长方体，说明有两个相对的面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形。 正方体有12条棱，长度都相等。 根据小棒的长度和数量来判断所搭成长方体的形状，据此解答。 【解答】果果用4根1.5厘米、4根2.8厘米、4根7厘米的小棒，可知搭果果的长方体的长宽高各不相同，因此果果搭成的长方体是①； 贝贝用8根2厘米、4根6厘米的小棒，可知贝贝搭的长方体有相邻的两边长度相等，有两个相对的面是正方形，因此贝贝搭成的长方体是③； 天天用12根长度相同的小棒，可知搭的长方体十二条边长度都相等即是正方体，因此天天搭成的是正方体②。 即果果搭成的长方体是①，贝贝搭成的长方体是③。 突破题型五正方体有关棱长的应用 13．一根铁丝可焊棱长8厘米的正方体，如果焊长10厘米，宽7厘米的长方体，则高是（ ）厘米。（接头忽略不计） 【答案】7 【分析】从题意可知：这根铁丝的长度＝正方体的棱长总和＝长方体的棱长总和，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用8×12求出正方体的棱长总和，即长方体的棱长总和，再根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用棱长总和÷4－长－宽，即可求出高。 【解答】8×12÷4－10－7 ＝24－10－7 ＝7（厘米） 高是7厘米。 14．用一个棱长为12cm的正方体框架改为一个长是21cm，宽是10cm的长方体框架，这个长方体框架的高应是（ ）cm。 【答案】5 【分析】由题意可知，正方体与长方体的棱长总和相等，根据，求出正方体的棱长总和，即长方体的棱长总和，再根据，用长方体的棱长总和除以4再减去长和宽，即可得高。 【解答】 （cm） 这个长方体框架的高应是5cm。 15．一根铁丝可以做成一个棱长为5cm的正方体框架，这根铁丝长（ ）cm。如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，这个长方体框架的高是（ ）cm。 【答案】60 4 【分析】这根铁丝的长就是正方体的棱长总和，正方体有12条棱长，且每条棱长都相等，用棱长乘12即可得解；如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，则根据长方体的特征，长方体的4条长、4条宽、4条高，且每条长相等，每条宽相等，每条高相等，用铁丝的长度除以4，减一条长与一条宽的和，即可得解。 【解答】（cm） （cm） 一根铁丝可以做成一个棱长为5cm的正方体框架，这根铁丝长60cm。如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，这个长方体框架的高是4cm。 突破题型六正方体的展开图 16．将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是（ ）。 【答案】5 【分析】根据正方体展开图的特征可知，“1”的对面是“5”；“2”的对面是“4”；“3”的对面是“6”；据此解答即可。 【解答】由分析可知：将所示展开图围成正方体后，“1”对面的是5。 17．端午节是中国四大传统节日之一，幸福小学举办“正方体礼盒”设计比赛。下图是丽丽设计的一款礼盒展开图，其中“端”字的对面是“（ ）”字。 【答案】龙 【分析】2－2－2型正方体展开图，假如“午”在上面，则“端”在后面，“迎”在左面，“赛”在右面，“龙”在前面，“舟”在上面，正方体上面和下面相对，左面和右面相对，前面和后面相对，据此填空。 【解答】由分析可得：丽丽设计的一款礼盒展开图，其中“端”字的对面是“龙”字。 18．下列展开图中，能折成正方体的画“√”，能折成长方体的画“○”。 【答案】见详解 【分析】图①中展开图是1－4－1形式，且六个面都是一样的正方形，可以折成一个正方体； 图②中展开图是1－1－4形式，无法折成正方体或长方体； 图③中展开是1－4－1形式，且六个面中有两两相同的三组长方形，相对应位置的棱长也相等，可以折成长方体； 图④中展开图是2－4形式，无法折成正方体或长方体； 图⑤中展开是1－4－1形式，且六个面中有两两相同的三组长方形，相对应位置的棱长也相等，可以折成长方体。 【解答】图①能折成正方体，画“√”；图②都不行；图③能折成长方体，画“○”；图④都不行；图⑤能折成长方体，画“○”。 突破题型七补全长方体的展开图 19．下面是一个长方体的前面、左面和下面的展开图，在点子图上画出展开图的另外三个面，并标出每个面是长方体的什么面。 【答案】见详解 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的完全相同。由此补全长方体的展开图即可。 【解答】如图所示： 20．请你在如图的方格纸中画出这个长方体展开图的另外4个面。（每个小方格的边长代表1厘米） 【答案】见详解 【分析】由所给图形可知，这个长方体的长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米，根据长方体的展开图的特征，相对面的面积相等，画出这个长方体展开图的另外4个面。 【解答】作图如下： （答案不唯一） 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 21．将下面的长方体纸盒展开，请将长方体纸盒的展开图补充完整。（每个小方格的边长表示1dm） 【答案】见详解 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，展成1－4－1型即可。 【解答】 【点评】关键是熟悉长方体特征，具有一定的空间想象能力。 突破题型八补全正方体的展开图 22．如图，在一个正方体的上面涂满了颜色，前、后、左、右面涂了颜色，底面不涂颜色，在下面方格纸里画出正方体展开图的涂色部分。 【答案】见详解 【分析】由正方体的展开图可知，涂满了颜色的为上面，则中间一行左起第一个为底面，不涂色，最下面一个正方形是前面、要涂色，中间左起第二个是右面，要涂色，最右一列下面的小正方形是左面，要涂色，最右一列上面是后面，要涂色，（前、后、左、右面涂了颜色，但没说图多少，只要涂色就对）。所以本题画法不唯一。 【解答】作图如下： 23．妙想要用长5cm、宽3cm的长方形硬纸板，制作一个棱长为1cm的正方体纸盒，她应该怎么样剪？请你用阴影表示，在下面方格纸中设计出2种不同的方案。 （每个小方格的边长是1cm） 【答案】见详解 【分析】根据正方体11种展开图，1－4－1型，2－3－1型，3－3型都可以，据此作图。 【解答】 （答案不唯一） 【点评】关键是掌握正方体11种展开图，或具有一定的空间想象能力。 24．在学习正方体的表面积时，我们观察过正方体的展开图。现在请画出一种正方体展开图，并标明6个面的序号。 【答案】见详解 【分析】画法不唯一。根据正方体展开图的11种特征，即可画出一种正方体展开图，并标明6个面的序号，标注序号时1和2相对，3和4相对，5和6相对。 【解答】 （答案不唯一） 【点评】此题是考查正方体展开图的认识。正方体展开图分四种类型，11种情况，要掌握每种情况的特征。每种情况，哪些面相对是有规律的，也要掌握。 突破题型九应用长方体棱长解决实际问题 25．某健身馆建了一个长80米、宽40米、深2米的游泳池，为确保游泳者的人身安全，工人师傅沿游泳池的内壁高1.5米处用红漆划了一条水位线，水位一般不得超过此线。 （1）这条线的长度是多少米？ （2）游泳池占地多少平方米？ 【答案】（1）240米 （2）3200平方米 【分析】（1）把这个游泳池看作是一个长方体，求这条线的长度也就是长方体两条长和两条宽的长度之和； （2）游泳池占地多少平方米，也就是求这个长方体的底面面积，根据长方形的面积＝长×宽，代入相应数值计算，据此解答。 【解答】（1）（80＋40）×2 ＝120×2 ＝240（米） 答：这条线的长度是240米。 （2）80×40＝3200（平方米） 答：游泳池占地3200平方米。 26．某超市要做一个长1.5米、宽0.8米、高1.2米的玻璃展台。需要先用角铁做一个长方体框架再安装玻璃，至少需要多少米的角铁？（接口处忽略不计） 【答案】14米 【分析】根据题意，用角铁做一个长方体框架，求至少需要角铁的长度，就是求长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算求解。 【解答】（1.5＋0.8＋1.2）×4 ＝3.5×4 ＝14（米） 答：至少需要14米的角铁。 27．下图是长方体一个顶点处的3条棱。（单位：厘米）从以下图形中选择6个面（可重复选择），围出这个长方体。 （1）你选择的6个面是哪几个？（请写出序号，并注明有几个这样的面。） （2）请你计算一下围出的这个长方体的棱长总和是多少厘米？ 【答案】（1）4个⑤、2个⑥ （2）72厘米 【分析】（1）由题可知，长方体的长是7厘米，宽是7厘米，高是4厘米，由此可知长方体的上下底面是一个边长是7厘米的正方形，四个侧面都是长为7厘米，宽为4厘米的长方形，据此解答。 （2）根据棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可求出这个长方体的棱长总和。 【解答】（1）我选择的6个面分别是： 4个⑤、2个⑥。 （2）（7＋7＋4）×4 ＝18×4 ＝72（厘米） 答：这个长方体的棱长总和是72厘米。 突破题型十应用正方体棱长解决实际问题 28．李浩和王乐各从家里拿来一根长48厘米的铁丝、胶带、剪刀等材料，准备制作一个长方体学具框架和一个正方体学具框架。如果铁丝不剩余，接头处忽略不计，请你和李浩、王乐一起解决以下数学问题： （1）李浩准备制作长方体框架，他先确定长方体的长是8厘米，那么长方体的宽和高可以是多少厘米？（取整厘米数） （2）王乐准备制作一个正方体框架，正方体的棱长是多少厘米？ 【答案】（1）宽是3厘米，高是1厘米；或者宽是1厘米，高是3厘米；或者宽和高都是2厘米。 （2）4厘米 【分析】（1）由长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4可知，长＋宽＋高＝长方体的棱长和÷4，48厘米是长方体的棱长和，先用48÷4求出长、宽、高的和是12厘米；再用12厘米减去8厘米求出宽、高的和是4厘米；最后把4厘米拆为两个整数的和，可求出宽、高的长度。 （2）由正方体的棱长和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长和÷12，48厘米是正方体的棱长和，用48÷12可求出正方体的棱长。 【解答】（1）48÷4＝12（厘米） 12－8＝4（厘米） 4＝3＋1 4＝2＋2 答：长方体的宽是3厘米，高是1厘米；或者宽是1厘米，高是3厘米；或者长方体的宽和高都是2厘米。 （2）48÷12＝4（厘米） 答：正方体的棱长是4厘米。 【点评】此题考查了长方体和正方体的棱长和公式。明确长方体和正方体的特征是解决此题的关键。 29．王爷爷有一根铁丝，恰好可以做成一个长1.2米、宽0.8米、高0.4米的长方体框架，如果要做成一个正方体框架，那么棱长是多少米？ 【答案】0.8米 【分析】先根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝的总长度，再根据正方体的棱长和＝棱长×12，用铁丝总长度÷12求出正方体框架的棱长。 【解答】（1.2＋0.8＋0.4）×4 ＝2.4×4 ＝9.6（米） 9.6÷12＝0.8（米） 答：正方体框架的棱长是0.8米。 【点评】此题要重点掌握长方体和正方体的棱长特征，长方体相对的棱长度相等，正方体的12条棱长度都相等。 30．一根铁丝可以焊接成一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体框架，如果用它焊接成一个正方体框架，那么这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可计算出这根铁丝的长度；再根据正方体棱长总和＝棱长×12，据此可得出正方体的棱长。进而得出答案。 【解答】正方体框架棱长为： （厘米） 答：这个正方体框架的棱长是4厘米。 突破题型十一应用长方体和正方体的展开图解决稍复杂的问题 31．如图，有三个完全相同的正方体数字积木，每个面上分别标有数字1至6，问：相对两个面上的数字之积最大是多少？ 【答案】12 【分析】观察上图可知，5与1、3、4、6相邻，所以5与2相对，同时也得出2与4相邻，又因为4与1、5、6相邻，所以4与3相对，剩下的就是1与6相对，然后分别计算出相对的两个数的积即可解答。 【解答】5与1、3、4、6相邻，所以5与2相对，同时也得出2与4相邻，又因为4与1、5、6相邻，所以4与3相对，剩下的就是1与6相对； 2×5＝10 4×3＝12 1×6＝6 12＞10＞6 答：相对两个面上的数字之积最大是12。 32．奇思上课时用相同的正方体剪开得到不同形状的展开图，惊奇地发现所有展开图的周长都是70厘米。奇思剪开的正方体展开图的面积是多少？（请画出任意一种正方体展开图，再计算） 【答案】150平方厘米 【分析】 正方体展开图如图所示，根据正方体每条棱长都相等的特征可知，用展开图的周长除以14计算出正方体的棱长；该展开图的面积可以看作是2个正方形的面积加上一个长方形的面积，据此解答。 【解答】正方体的展开图如下： 70÷14＝5（厘米） 5×5×2＋（5＋5＋5＋5）×5 ＝25×2＋20×5 ＝50＋100 ＝150（平方厘米） 答：奇思剪开的正方体展开图的面积是150平方厘米。 33．如图，从一张长方形纸上剪下部分（图中阴影部分）后，正好折叠成一个长方体。已知长方体的长、宽、高分别是5厘米，2厘米，3厘米。你能求出原来长方形纸的面积是多少平方厘米吗？请尝试算一算。 【答案】98平方厘米 【分析】根据图示可知，原来长方形纸的长是2＋5＋2＋5＝14（厘米），宽是2＋3＋2＝7（厘米），根据长方形面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【解答】2＋5＋2＋5＝14（厘米） 2＋3＋2＝7（厘米） 14×7＝98（平方厘米） 答：原来长方形纸的面积是98平方厘米。 突破题型十二长方体表面积的计算 34．一个长方体的长是25cm，宽是20cm，高是18cm，最大面的长是（ ）cm，宽是（ ）cm，面积是（ ）cm2；最小面的长是20cm，宽是（ ）cm，面积是（ ）cm2；这个长方体的表面积是（ ）cm2。 【答案】25 20 500 18 360 2620 【分析】根据长方体的特征可知，长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形。根据长方形的面积公式S＝ab，即可求出各个面的面积，再比较大小，找出最大面的面积和最小面的面积。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据求出长方体的表面积。 【解答】25×20＝500（cm2） 25×18＝450（cm2） 20×18＝360（cm2） 500＞450＞360 （500＋450＋360）×2 ＝（950＋360）×2 ＝1310×2 ＝2620（cm2） 一个长方体的长是25cm，宽是20cm，高是18cm，最大面的长是25cm，宽是20cm，面积是500cm2；最小面的长是20cm，宽是18cm，面积是360cm2；这个长方体的表面积是2620cm2。 35．一个长方体木箱的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的棱长和是（ ）分米，占地面积是（ ）平方分米，表面积是（ ）平方分米。 【答案】60 30 148 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算； 占地面积就是算长方体的底面积，根据长方形的面积公式计算即可； 最后根据，代入数据计算。 【解答】 （分米） （平方分米） （平方分米） 一个长方体木箱的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的棱长和是60分米，占地面积是30平方分米，表面积是148平方分米。 36．有一块长9厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体木料，它的表面积是（ ）平方厘米，将它切割成棱长2厘米的小正方体，最多可以切割（ ）个。 【答案】314 32 【分析】根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出这 木料的表面积。对于切割小正方体，先用除法计算，求出长方体的长、宽、高分别包含多少个小正方体的棱长，再用乘法计算出最多可以切割多少块，据此解答。 【解答】（9×8＋9×5＋8×5）×2 ＝（72＋45＋40）×2 ＝157×2 ＝314（平方厘米） 即它的表面积是314平方厘米。 9÷2＝4（个）……1（厘米） 8÷2＝4（个） 5÷2＝2（个）……1（厘米） 4×4×2＝32（个） 即最多可以切割32个。 突破题型十三正方体表面积的计算 37．用24个棱长是1cm的正方体拼成一个几何体（如图）。它的表面积是（ ）。 【答案】52 【分析】假设正好拼成了一个大正方体，这个大正方体的棱长是（1×3）cm。根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”求出大正方体的表面积。目前的几何体相比大正方体而言，增加了6个小正方形的面积，又减少了8个小正方形的面积，那么它的表面积比大正方体减少了2个小正方形的面积。将大正方体的表面积减去2个小正方形的面积，即可求出这个几何体的表面积。 【解答】1×3＝3（cm） 8－6＝2（个） 3×3×6－1×1×2 ＝54－2 ＝52（cm2） 所以，它的表面积是52cm2。 38．用120厘米长的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的棱长是（ ）厘米，如果要在它的外面糊一层厚纸，至少需要需要（ ）平方厘米纸。 【答案】10 600 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式计算即可。 【解答】120÷12＝10（厘米） 10×10×6＝600（平方厘米） 这个正方体的棱长是10厘米，如果要在它的外面糊一层厚纸，至少需要600平方厘米纸。 39．聪聪用纸板做了一个棱长5厘米的正方体，正方体的棱长总和是（ ）厘米，它的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】60 150 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，把数据代入公式解答。 【解答】5×12＝60（厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 正方体的棱长总和是60厘米，表面积是150平方厘米。 突破题型十四立体图形的切拼（表面积增加问题） 40．一块长方体木块，长6厘米、宽7厘米、高8厘米，如果将它切成两块小长方体，表面积最多增加（ ）平方厘米。 【答案】112 【分析】由长方体的特征可知，这块长方体最大的两个面是宽乘高，沿着这两个面平行的方向切，得到两块小长方体，表面积就会增加两个宽乘高的面积。 【解答】 （平方厘米） 表面积最多增加112平方厘米。 41．一块长方体木块刚好截成两个一样的小正方体，表面积之和增加了18平方分米，原来长方体的表面积是（ ）平方分米。 【答案】90 【分析】根据题意可知，一刀增加2个面，已知表面积之和增加了18平方分米，说明2个正方形面的面积是18平方分米，用18÷2即可求出1个正方形面的面积，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出1个小正方体的表面积，进而求出2个小正方体的表面积，然后减去18平方分米即可。 【解答】18÷2＝9（平方分米） 9×6×2 ＝54×2 ＝108（平方分米） 108－18＝90（平方分米） 原来长方体的表面积是90平方分米。 42．一根长方体木料，长5米，宽和高都是2分米，把它锯成5段，表面积最少增加（ ）平方分米。 【答案】32 【分析】平行于最小的面锯开表面积增加的最少，锯成5段需要锯（5－1）次，每锯一次增加2个面，据此用宽×高×（锯的次数×2）＝最少增加的表面积。 【解答】2×2×[（5－1）×2] ＝4×[4×2] ＝4×8 ＝32（平方分米） 表面积最少增加32平方分米。 突破题型十五立体图形的切拼（表面积减少问题） 43．如图，用两个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了8平方厘米，原来每个正方体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】24 【分析】用两个完全一样的正方体拼成一个长方体，会有两个面重合，表面积减少了的面积就是这两个面的面积和，先用减少的面积除以2，即可求出正方体一个面的面积，正方体有6个面，再用正方体一个面的面积乘6，即可求出每个正方体的表面积，据此解答。 【解答】8÷2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 即原来每个正方体的表面积是24平方厘米。 44．将三个棱长是5厘米的正方体拼成一个长方体，其棱长总和减少（ ）厘米，表面积之和减少（ ）平方厘米。 【答案】80 100 【分析】根据题意，将三个棱长是5厘米的正方体拼成一个长方体，则棱长总和比原来减少了4×4＝16条正方体的棱长，用正方体的棱长乘16，即是减少的棱长总和； 拼成的长方体的表面积比原来减少了4个正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘4，即是减少的表面积。 据此解答。 【解答】5×（4×4） ＝5×16 ＝80（厘米） 5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 其棱长总和减少80厘米，表面积之和减少100平方厘米。 45．在修复一处古代宫殿时，将一块长方体木料沿高截去2cm，就变成一个正方体，表面积比原来减少了48cm2，原来长方体的表面积是（ ）cm2。 【答案】264 【分析】根据题意，高截去2cm，表面积就减少了48cm2，表面积减少的只是4个侧面的面积，又知剩下部分成为一个正方体，说明原来长方体的长和宽相等，由此可知，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出减少的一个面的面积，面积除以宽（2cm），即可求出原来长方体的长和宽，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入解答即可。 【解答】48÷4÷2 ＝12÷2 ＝6（cm） 6＋2＝8（cm） （6×6＋6×8＋6×8）×2 ＝（36＋48＋48）×2 ＝（84＋48）×2 ＝132×2 ＝264（cm2） 原来长方体的表面积是264cm2。 突破题型十六组合体的表面积 46．如图是由同样大小的小方块堆积起来的，每个小方块的棱长是1分米，这堆小方块露在外面的面积是（ ）。 【答案】13平方分米/13dm2 【分析】从上面看，露出的小正方体的面有5个，从前面看，露出的小正方体的面有4个，从右面看，露出的小正方体的面有4个，露出的小正方体的面共有：5＋4＋4＝13（个），根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算，求出小正方体的1个面的面积，再乘13，即可求出这堆小方块露在外面的面积，据此解答。 【解答】5＋4＋4＝13（个） 1×1×13＝13（平方分米） 即这堆小方块露在外面的面积是13平方分米。 47．下图是用1立方厘米的小木块摆成的图形，这个图形的表面积是（ ）平方厘米。（表面积包含底面） 【答案】34 【分析】因为用1立方厘米的小木块摆成的图形，所以每个小正方形的面积都为1平方厘米；先分别计算每个面的面积，加上中间空出一个小木块多出的2个面的面积，即可求出这个由小木块组成的图形的表面积。 从前面看，可以看到6个小正方形，因为前面和后面看到的小正方形个数相同，所以后面也可以看到6个小正方形； 从右面看，可以看到3个小正方形，因为右面和左面看到的小正方形个数相同，所以左面也可以看到3个小正方形； 从上面看，可以看到7个小正方形，因为上面和下面看到的小正方形个数相同，所以下面也可以看到7个小正方形； 除此之外，还有加上中间空出一个小木块多出的2个小正方形的面积。 【解答】（6×2＋3×2＋7×2＋2）×1 ＝（12＋6＋14＋2）×1 ＝（18＋14＋2）×1 ＝（32＋2）×1 ＝34×1 ＝34（平方厘米） 即这个图形的表面积是34平方厘米。 48．库房管理员将一些棱长为的正方体纸箱放在墙角（如下图），这些纸箱共有（ ）个，露在外面的面积是（ ）dm2。 【答案】10 72 【分析】观察图形可知，这个组合体有3层，上层有2个正方体纸箱，中间层有3个正方体纸箱，下层有5个正方体纸箱，一共有（2＋3＋5）个正方体纸箱； 从正面看有7个面露在外面，从上面看有5个面露在外面，从右边面有6个面露在外面，一共有（7＋5＋6）个面露在外面；再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体纸盒一个面的面积，再乘露在外面面的个数，即可解答。 【解答】2＋3＋5 ＝5＋5 ＝10（个） 2×2×（7＋5＋6） ＝4×（12＋6） ＝4×18 ＝72（dm2） 库房管理员将一些棱长为的正方体纸箱放在墙角（如下图），这些纸箱共有10个，露在外面的面积是72dm2。 突破题型十七表面涂色的正方体 49．把一个正方体木块的表面全涂成红色，然后平均切成27个大小相等的正方体（如图）。那么，三面是红色的小正方体有（ ）个，两个面是红色的小正方体有（ ）个，一个面是红色的小正方体有（ ）个。 【答案】8 12 6 【分析】六个面都没有涂色的小正方体处在大正方体的中心，一面涂色的处在每个面的中间、两面涂色处在棱的中间、三面涂色的在顶点上；一面涂色的块数＝（棱上小正方体的个数－2）2×6，两面涂色的块数＝（棱上小正方体的个数－2）×12，三面涂色的块数＝顶点数，没有涂色的块数＝（棱上小正方体的个数－2）3，据此进行求解。。 【解答】（1）三面是红色的在每个顶点处，共有8个； （2）两面是红色的在每条棱长上（除去顶点处的小正方体），有（3－2）×12＝1×12＝12（个）； （3）一面是红色的都在每个面上（除去棱长上的小正方体），有（3－2）×（3－2）×6＝1×6＝6（个）。 【点评】解决此类问题的关键是抓住：三面涂色的在顶点处；两面涂色的在每条棱长的中间上；一面涂色的在每个面的中心上；没有涂色的在内部。 50．如图，11个棱长为1分米的小正方体木块摆放在地面上，组成一个“2”字，现要在“2”字的表面（与地面接触的面除外）涂上油漆，需涂油漆的面共 平方分米。 【答案】35 【分析】通过观察，与上面平行的小正方形面有11个，与正面平行的小正方形面有（7×2）个，与侧面平行的小正方形面有（5×2）个，将所有小正方形面相加，即可求出总共需要喷漆的面，再乘每个小正方形面的面积即可。 【解答】与上面平行：11个； 与正面平行：7×2＝14（个） 与侧面平行：5×2＝10（个） 需喷油漆的面共： （11＋14＋10）×（1×1） ＝35×1 ＝35（平方分米） 需涂油漆的面共35平方分米。 【点评】解答本题的关键是计算出小正方形面的总个数，注意总个数不包括底面。 51．如图是由7个相同的小正方体组成的一个几何体，如果把这个几何体表面都涂成蓝色（底面不涂），只有3个面涂色的小正方体有（ ）个。 【答案】3 【分析】 每个正方体有6个面，观察判定它的每个面是否与其他正方体或底面接触，如果与其他物体接触，则无法涂色，据此进行判断。 【解答】根据分析，标记出只涂3个面的小正方体。    所以，只有3个面涂色的小正方体有3个。 突破题型十八组合体的表面积图形计算 52．计算如图图形的表面积。（单位：cm） 【答案】306cm2 【分析】由于正方体与长方体有重合面，相当于少了2个正方形的面积，所以上面的正方体只求4个侧面的面积，下面的长方体求出表面积，然后相加即可求出组合图形的表面积。 正方体表面积＝棱长×棱长×6；长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【解答】4×4×4＋（10×7＋10×3＋7×3）×2 ＝16×4＋（70＋30＋21）×2 ＝64＋121×2 ＝64＋242 ＝306（cm2） 它的表面积是306cm2。 53．计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】248平方分米 【分析】表面积是指物体外表面积，通常是指物体表面的总面积。上面的两个小长方形和凹进去的长方形合在一起恰好就是一个长方体的表面积。则表面积＝长方体的表面积＋4个长方形的面积＋4个小正方形的面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方形的长是6分米，宽是2分米，面积＝长×宽。正方形的边长是2分米，面积＝边长×边长。 【解答】 ＝ ＝ ＝（平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 则图形的表面积是248平方分米。 54．求下面图形的表面积。 【答案】852dm2 【分析】长方体和正方体叠加后，会减少了两个面的面积，即2个边长为6dm的正方形的面积；利用长方体的表面积公式和正方体的表面积公式，分别求出长方体和正方体的表面积，用长方体的表面积加上正方体的表面积，再减去2个正方形的面积，即可求出组合图形的表面积。 【解答】（9×6×2＋9×20×2＋6×20×2）＋6×6×6－6×6×2 ＝（108＋360＋240）＋216－72 ＝708＋216－72 ＝852（dm2） 突破题型十九运用长方体的表面积解决问题 55．2024年巴黎奥运会将于7月26日晚上7：30开幕，届时中国队将派出四百多名运动员参赛，为了保证中国运动员的营养供给，中国体协决定由某公司赞助牛奶。该公司250毫升牛奶盒长6厘米，宽4厘米，高10.5厘米。做500个这样的纸盒至少需要多少平方米的硬纸板？ 【答案】12.9平方米 【分析】已知牛奶盒长6厘米、宽4厘米、高10.5厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出1个牛奶盒的表面积，再乘500，即是做500个这样的纸盒至少需要硬纸板的面积。注意单位的换算：1平方米＝10000平方厘米。 【解答】（6×4＋6×10.5＋4×10.5）×2 ＝（24＋63＋42）×2 ＝129×2 ＝258（平方厘米） 258×500＝129000（平方厘米） 129000平方厘米＝12.9平方米 答：做500个这样的纸盒至少需要12.9平方米的硬纸板。 56．为了保护书籍，王老师打算用硬纸板为某套图书做一个封套（如下图），至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度及接缝处忽略不计。） 【答案】850平方厘米 【分析】根据题意，王老师制作这套图书的封套包裹了书的上下面、左右面和后面共5个面，根据“长×宽×2＋宽×高×2＋长×高”求出这5个面的面积之和，即是至少需要硬纸板的面积。 【解答】5×15×2＋15×20×2＋5×20 ＝150＋600＋100 ＝850（平方厘米） 答：至少需要850平方厘米的硬纸板。 57．博物馆里有许多保护文物的透明展示罩（无底），下图所示：这是其中一个，长是2米，宽0.6米，高0.8米，制作一个这样透明展示罩需要多少平方米的材料？ 【答案】5.36平方米 【分析】求展示罩的面积相当于求长方体表面积，因为无底，展示罩的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答。 【解答】 （平方米） 答：制作一个这样透明展示罩需要5.36平方米的材料。 突破题型二十运用正方体的表面积解决问题 58．做一个正方体玻璃水槽（无盖），棱长0.5米。制作这个水槽至少需要玻璃多少平方米？ 【答案】1.25平方米 【分析】无盖正方体玻璃水槽只有5个面，用棱长×棱长×5计算玻璃面积即可。 【解答】0.5×0.5×5 ＝0.25×5 ＝1.25（平方米） 答：制作这个水槽至少需要玻璃1.25平方米。 59．用一根长96厘米的铁丝制成一个正方体框架，并将6个面都糊上彩色纸。请问最少需要彩色纸多少平方厘米？（接口处忽略不计） 【答案】384平方厘米 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式解答。 【解答】96÷12＝8（厘米） 8×8×6＝384（平方厘米） 答：最少需要彩色纸384平方厘米。 60．如图所示，一个正方体的礼盒，包装盒上的彩带总长是209厘米，其中打结处的蝴蝶结用了17厘米。做这个正方体礼盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 【答案】3456平方厘米 【分析】用彩带的长度减去打结处用的长度，求出剩下彩带的长度，也就是8条棱的长度，再除以8，求出每条棱多少厘米，再根据正方体表面积公式＝棱长×棱长×6，代入数值即可解答。 【解答】（209－17）÷8 ＝192÷8 ＝24（厘米） 24×24×6 ＝576×6 ＝3456（平方厘米） 答：至少需要3456平方厘米的硬纸板。 专题四长方体和正方体的体积 突破题型一体积和容积的认识 1．物体都占据一定的空间，物体大的占据的空间（ ），物体小的占据的空间（ ），物体占据空间的大小叫做物体的（ ）。 【答案】大 小 体积 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积。如：一台冰箱比一个电饭煲大，所以冰箱占据的空间大，电饭煲占据的空间小。 【解答】物体都占据一定的空间，物体大的占据的空间大，物体小的占据的空间小，物体占据空间的大小叫做物体的体积。 2．如下图所示，小球的体积是（ ）立方厘米，大球的体积是（ ）立方厘米。 【答案】2 5 【分析】先看第2个图可知，放入1个大球和1个小球后水溢出了7立方厘米，因为溢出水的体积就是放入球的体积，所以1个大球和1个小球的体积和是7立方厘米；再看第3个图可知，放入了1个大球和4个小球后水溢出了13立方厘米，因为溢出水的体积就是放入球的体积，所以1个大球和4个小球的体积和是13立方厘米，那么3个小球的体积就是（13－7）立方厘米，再用除法求出1个小球的体积，最后用7立方厘米减去1个小球的体积求出1个大球的体积。 【解答】13－7＝6（立方厘米） 6÷（4－1） ＝6÷3 ＝2（立方厘米） 7－2＝5（立方厘米） 小球的体积是2立方厘米，大球的体积是5立方厘米。 【点评】解题的关键是分析出溢出水的体积就是放入球的体积。 3．容器所能容纳的（ ），通常叫做它们的容积。例如：一个瓶子所能装的（ ）就是瓶子的容积。 【答案】物体的体积 水的体积 【解答】由容积的意义可知，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。例如：一个瓶子所能装水的体积就是瓶子的容积。 突破题型二体积单位的认识 4．常用的体积单位有立方米、（ ）、立方厘米；（ ）的体积大约就是1立方米。 【答案】立方分米 一个讲桌 【分析】物体所占空间的大小就是体积，常用的体积单位有：立方米、立方分米、立方厘米；一粒花生米的体积约1立方厘米，一个粉笔盒的体积约1立方分米，一个讲桌的体积约1立方米；据此解答即可。 【解答】由分析可知： 常用的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米；一个讲桌的体积大约就是1立方米。 5．下面是用棱长1cm的小正方体拼成的几何体，请将它们的体积填在（    ）里。 （ ）             （ ）           （ ）            （ ） 【答案】5cm3 4cm3 3cm3 6cm3 【分析】棱长1cm正方体，体积是1cm3，分别数出小正方体的个数，有几个小正方体，体积就是几立方厘米，据此填空。 【解答】1×1×1＝1（cm3） 如图所示，正方体的个数分别是：5个、4个、3个、6个，所以体积依次是：5cm3、4cm3、3cm3、6cm3。 5cm3                 4cm3               3cm3              6cm3 6．下面物体中体积比1cm3小的有（ ），比1cm3大的有（ ）。 【答案】①④ ②③ 【分析】1cm3相当于棱长为1cm的正方体体积大小，根据实际生活中判断得出答案。 【解答】下面物体中体积比1cm3小的有①黄豆、④大米，比1cm3大的有②草莓、③乒乓球。 【点评】本题主要考查的是体积单位的应用，解题的关键是熟练掌握体积单位的大小，进而得出答案。 突破题型三容积单位的认识 7．一瓶儿童止咳糖浆的规格和用法用量如下： 【规格】每瓶120毫升； 【用法用量】口服，每日2次。 7岁以上儿童：每次15毫升；3～7岁儿童：每次10毫升。 这瓶止咳糖浆能让一个8岁儿童服用（ ）天。 【答案】4 【分析】根据题意可知，一个8岁儿童每次服用15毫升，每日2次，用每次服用的量乘每日服用的次数，求出8岁儿童每日服用止咳糖浆的量；再用这瓶儿童止咳糖浆的总量除以8岁儿童每日的服用量，即可求出这瓶止咳糖浆能让一个8岁儿童服用的天数。 【解答】120÷（15×2） ＝120÷30 ＝4（天） 这瓶止咳糖浆能让一个8岁儿童服用4天。 8．在括号里填上合适的容积单位。                            一个电饭煲的容积            一瓶橙汁的容积              一个集装箱的容积 约是10（ ）。      约是450（ ）。     约是40（ ）。 【答案】升/L 毫升/mL 立方米/m3 【分析】根据生活经验、数据大小及对单位的认识可知：计量一个电饭煲的容积用“升”作单位，计量一瓶橙汁的容积用“毫升”作单位，计量一个集装箱的容积用“立方米”作单位；据此解答。 【解答】 9．饺子取“更岁交子”的意思，我国北方有过春节吃饺子的习俗。一般煮一锅饺子大约需要4（ ）水，吃饺子需用醋调料约10（ ）。（填合适的容积单位） 【答案】升/L 毫升/mL 【分析】容积单位有升和毫升，其中升是较大的容积单位，一瓶洗发水的容积大约是1升，毫升是较小的容积单位，1毫升水只有十几滴。根据生活经验以及对容积单位和数据大小的认识可知，一般煮一锅饺子大约需要4升水，吃饺子需用醋调料约10毫升。 【解答】根据实际情况可知，一般煮一锅饺子大约需要4升水，吃饺子需用醋调料约10毫升。 突破题型四体积单位间的换算 10．把一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）立方分米。 【答案】0.729 【分析】根据题意，将一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个体积最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的宽，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出正方体的体积，最后把结果根据1立方分米＝1000立方厘米换算成立方分米为单位即可。 【解答】9×9×9 ＝81×9 ＝729（立方厘米） 729立方厘米＝0.729立方分米 这个正方体的体积是0.729立方分米。 11．8立方米＝（ ）立方分米      2800立方厘米＝（ ）立方分米 【答案】8000 2.8 【分析】①1立方米＝1000立方分米，高级单位换算成低级单位，乘进率； ②1立方分米＝1000立方厘米，低级单位换算成高级单位，除以进率。 【解答】①8×1000＝8000（立方分米） ②2800÷1000＝2.8（立方分米） 【点评】本题主要考查单位之间的换算，低级单位变高级单位除以进率，高级单位变低级单位乘进率。 12．某品牌的空调外机可近似看成长方体，长约90cm，宽约40cm，高约70cm，这款空调外机占据的空间约为（ ）。 【答案】252 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出这款空调外机的体积，也就是外机占据的空间，即可解答，注意单位名数的换算。 【解答】90×40×70 ＝3600×70 ＝252000（cm3） 252000cm3＝252dm3 某品牌的空调外机可近似看成长方体，长约90cm，宽约40cm，高约70cm，这款空调外机占据的空间约为252dm3。 突破题型五容积单位间的换算 13．6小时15分＝（ ）时；6升50毫升＝（ ）升。 【答案】6.25 6.05 【分析】根据进率：1时＝60分，1升＝1000毫升；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【解答】（1）15÷60＝0.25（时） 6＋0.25＝6.25（时） 6小时15分＝6.25时 （2）50÷1000＝0.05（升） 6＋0.05＝6.05（升） 6升50毫升＝6.05升 14．将500mL水倒入一个容器里，大约占容器的一半，这个容器的容量大约是（ ）L。 【答案】1 【分析】将500mL水倒入一个容器里，大约占容器的一半，那么这个容器的容量大约是500mL的2倍，用乘法计算，即（mL）。再根据1L＝1000 mL，把1000 mL换算成以“L”为单位的数即可。 【解答】（mL） 1000mL＝1L 将500mL水倒入一个容器里，大约占容器的一半，这个容器的容量大约是1L。 15．把1升水倒入容量为500毫升的瓶子里，可以倒满（ ）瓶；如果倒入容量为250毫升的杯子中，可以倒满（ ）杯。 【答案】2 4 【分析】根据题意，先把1升换算成毫升作单位的数，再用1000毫升除以500毫升，即可求出可以倒满几瓶；用1000毫升除以250毫升，即可求出可以倒满几杯。据此列式解答即可。 【解答】1升＝1000毫升 1000÷500＝2（瓶） 1000÷250＝4（杯） 把1升水倒入容量为500毫升的瓶子里，可以倒满（  2  ）瓶；如果倒入容量为250毫升的杯子中，可以倒满（  4  ）杯。 突破题型六体积单位及容积单位的选择 16．填上合适的单位。 一块橡皮体积大约是5（ ）；一个雪碧瓶的容积大约是1.5（ ）。 【答案】立方厘米/cm3 升/L 【分析】棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米，大约是1个手指头的大小；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小，1立方分米＝1升。据此根据体积和容积单位的认识，以及生活经验进行填空。 【解答】一块橡皮体积大约是5立方厘米；一个雪碧瓶的容积大约是1.5升。 17．填上合适的单位：教室中黑板的面积约是4（ ），一台电冰箱的容积是540（ ）。 【答案】平方米/m2 升/L 【分析】边长1米的正方形，面积是1平方米，大约是1个家庭餐桌面的大小；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米，大约是2个拳头的大小，1立方分米＝1升，据此根据面积和容积单位的认识，以及生活经验进行填空。 【解答】教室中黑板的面积约是4平方米，一台电冰箱的容积是540升。 18．在下面的括号里填上合适的单位名称。 小红一家三人去某大型野生动物园游玩，野生动物园的占地而积约300（ ），他们买门票共花了600（ ）钱，动物园里的长颈鹿高约6（ ），大象重约5（ ），游玩结束后，小红买了一瓶净含量（容积）约550（ ）的矿泉水。 【答案】公顷/h 元 米/m 吨/t 毫升/mL 【分析】计算较大的土地面积比如省市、海洋、国家面积用平方千米作单位，计算土地面积常用平方米（教室大小）和公顷（公园、广场大小）作单位；表示货币的单位有元、角、分，购买很便宜的物品用分作单位，其次用角作单位，一般的物品用元作单位；表示长度的单位一般有千米、米，分米、厘米、毫米，表述很长的长度用千米作单位，一般用米作单位，描述长颈鹿的高用米作单位；表示很重的重量用吨作单位，一般用千克作单位，表示大象的重量用吨作单位；表示容积的单位一般有升和毫升，1升＝1000毫升，矿泉水的容积一般用毫升作单位。 【解答】小红一家三人去某大型野生动物园游玩，野生动物园的占地而积约300公顷，他们买门票共花了600元钱，动物园里的长颈鹿高约6米，大象重约5吨；游玩结束后，小红买了一瓶净含量（容积）约550毫升的矿泉水。 突破题型七体积（容积）大小的比较 19．把你的拳头伸进盛满水的盆中，溢出来的水的体积（    ）。 A．小于10毫升 B．小于1升 C．等于1升 D．大于1升 【答案】B 【分析】根据题意，溢出来的水的体积等于拳头的体积；根据实际情况，小朋友的拳头的体积小于1立方分米，1立方分米＝1升，据此解答即可。 【解答】由分析可知，拳头伸进盛满水的盆中，溢出来的水的体积小于1立方分米，即小于1升。 故答案为：B 【点评】知道溢出来的水的体积等于拳头的体积是解答本题的关键。 20．观察下图。小球和珊瑚的体积相比，（    ）。    A．小球大 B．珊瑚大 C．一样大 D．无法确定 【答案】B 【分析】水面升高的体积就是浸入水中物体的体积，容器相同，比较水面升高的高度即可。 【解答】放入小球水面升高：9.5－8＝1.5 放入珊瑚水面升高：12－9.5＝2.5 2.5＞1.5，珊瑚大。 故答案为：B 【点评】关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为长方体进行分析。 21．一个最多能装40升汽油的油箱，它的体积（    ）40升。 A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 【答案】A 【分析】容积是从油箱的里面进行测量的，体积是从油箱的外面进行测量的，油箱是有厚度的，所以油箱的体积大于容积。据此选择即可。 【解答】由分析可知： 一个最多能装40升汽油的油箱，它的体积大于40升。 故答案为：A 【点评】本题考查体积和容积，明确体积和容积的定义是解题的关键。 突破题型八长方体的体积计算 22．计算如图长方体的表面积和体积。 【答案】118dm2；84dm3 【分析】已知长方体的长是6dm、宽是4dm、高是3.5dm，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出它的表面积和体积。 【解答】（6×4＋6×3.5＋4×3.5）×2 ＝（24＋21＋14）×2 ＝59×2 ＝118（dm2） 6×4×3.5 ＝24×3.5 ＝84（dm3） 长方体的表面积是118dm2，体积是84dm3。 23．计算下面长方体的体积。 【答案】320m3 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【解答】16×4×5＝320（m3） 长方体的体积是320m3。 24．计算长方体的表面积和体积。（单位：分米） 【答案】98平方分米；60立方分米 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【解答】（6×2.5＋6×4＋2.5×4）×2 ＝（15＋24＋10）×2 ＝49×2 ＝98（平方分米） 6×2.5×4＝60（立方分米） 长方体的表面积和体积分别是98平方分米、60立方分米。 突破题型九正方体的体积计算 25．求下面正方体、长方体表面积和体积。 【答案】正方体：表面积：96平方分米；体积：64立方分米 长方体：表面积：368平方米；体积：64立方厘米 【分析】第一个图形：根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可求出正方体表面积、体积。 第二个图形：根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】正方体表面积： 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方分米） 正方体体积： 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 长方体表面积： （6×4＋6×16＋4×16）×2 ＝（24＋96＋64）×2 ＝（120＋64）×2 ＝184×2 ＝368（平方厘米） 长方体体积： 6×4×16 ＝24×16 ＝384（平方厘米） 正方体表面积是96平方分米，体积是64立方分米；长方体表面积：368平方厘米，体积384立方厘米。 26．计算下面图形的体积。 【答案】60cm3；64cm3 【分析】（1）根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算，求出长方体的体积； （2）根据正方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算，求出正方体的体积。 【解答】（1）5×3×4 ＝15×4 ＝60（cm3） 长方体的体积是60cm3。 （2）16×4＝64（cm3） 正方体的体积是64cm3。 27．计算下面图形的表面积和体积。 【答案】294cm2；343cm3 【分析】正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【解答】7×7×6＝294（cm2） 7×7×7＝343（cm3） 这个正方体的表面积是294cm2，体积是343cm3。 突破题型十组合体的体积计算 28．求下列组合图形的体积。（单位：cm） 【答案】27cm3；232cm3 【分析】左边：组合图形的体积＝两个长方体体积之和，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可； 右边：组合图形的体积＝长方体的体积－正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可。 【解答】5×3×1＋2×2×3 ＝15＋4×3 ＝15＋12 ＝27（cm3） 8×6×5－2×2×2 ＝48×5－4×2 ＝240－8 ＝232（cm3） 左边组合图形的体积为27cm3，右边组合图形的体积为232cm3。 29．计算下列图形的体积。              【答案】100cm3；848dm3 【分析】左图根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据解答即可； 右图＝长方体的体积＋正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可。 【解答】25×4＝100（cm3） 15×8×7＋23 ＝120×7＋8 ＝840＋8 ＝848（dm3） 左图的体积是100cm3，右图的体积是848dm3。 30．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】3750cm2；13500cm3 【分析】根据对图的观察，该组合图形的表面积为上面长方体的表面积加上下面长方体的表面积，再减去它们的接触面，即两个长方形的面积，该长方形长为20cm，宽为15cm； 该组合图形的体积为上面长方体的体积加上下面长方体的体积； 根据长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体体积公式：V＝abh，长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，据此将数据代入计算即可。 【解答】由分析可得： （20×15＋20×15＋15×15）×2＋（30×20＋30×15＋15×20）×2－15×20×2 ＝（300＋300＋225）×2＋（600＋450＋300）×2－300×2 ＝825×2＋1350×2－600 ＝1650＋2700－600 ＝4350－600 ＝3750（cm2） 15×15×20＋30×20×15 ＝225×20＋600×15 ＝4500＋9000 ＝13500（cm3） 所以该组合图形表面积为3750cm2；体积为13500cm3。 突破题型十一体积的等级变形 31．美术课上王老师准备教同学们捏橡皮泥。他们把一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥捏成了一个底面积是32平方厘米的长方体。这个长方体的高是多少？ 【答案】16厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求出正方体的体积；再根据长方体的体积＝底面积×高，用橡皮泥的体积除以底面积，即可求出长方体的高。 【解答】8×8×8÷32 ＝512÷32 ＝16（厘米） 答：这个长方体的高是16厘米。 32．有两个水池，甲水池长8分米、宽5分米、水深4分米，乙水池空着，它长5分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？ 【答案】大约2.66分米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用8×5×4即可求出水的体积，现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高，且水的总体积不变，根据长方体的体积＝底面积×高，可得水的体积＝（甲水池的底面积＋乙水池的底面积）×现在的高度，先根据底面积＝长×宽，分别求出两个水池的底面积，进而用除法求出现在的高度。 【解答】8×5×4＝160（立方分米） 8×5＝40（平方分米） 5×4＝20（平方分米） 160÷（40＋20） ＝160÷60 ≈2.66（分米） 答：水面高大约2.66分米。 【点评】本题考查了长方体体积公式的灵活应用，明确水的体积不变是解答本题的关键。 33．有一块棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个长16厘米，宽20厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】1600厘米 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此先算出铁块的体积，把它熔铸成一个长方体，铁块的体积不变，根据长方体的体积公式可知，长方体的高＝体积÷（长×宽），据此解答。 【解答】（立方厘米） 512000÷（16×20） =512000÷320 =1600（厘米） 答：这个长方体的高是1600厘米。 突破题型十二立体图形的切拼 34．有一块长方体木料，锯成相等的3段，可以得到3个完全一样的正方体。已知原木料的表面积是350平方厘米，那么原木料的体积是多少立方厘米？ 【答案】375立方厘米 【分析】根据题意，锯成相等的3段，表面积增加了4个小正方形面，现在一共有（6×3）个小正方形面，据此可知原来有几个小正方形面，进而用除法求出小正方体一个面的面积，再推断出小正方体的棱长，然后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出1个小正方体的体积，再求出3个小正方体的体积，也就是原来木料的体积。 【解答】小正方体一个面的面积是： （平方厘米） 小正方体的棱长： 因为，所以小正方体的棱长是5厘米； 长方体体积为： （立方厘米） 答：原木料的体积是375立方厘米。 【点评】此题解答的关键是先求出小正方体一个面的面积，进而求出小正方体的棱长，从而解决问题。 35．把一块长3米的长方体木材，锯成完全相同的两块小长方体。（如下图）表面积增加了40平方分米。这根木材原来的体积是多少立方米？ 【答案】0.6立方米 【分析】将左右侧面看作长方体的上下底面，则长3米，即为长方体的高是3米。长方体的体积＝底面积×高＝截面面积×高。锯开后增加的表面积是2个截面的面积。代入数据即可求出长方体体积。 【解答】截面面积为40÷2＝20（平方分米） 3米＝30分米 其体积为30×20＝600（立方分米） 600立方分米＝0.6立方米 答：这根木材原来的体积是0.6立方米。 36．一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？ 【答案】158平方分米 【分析】首先根据题意可知，如果长增加4分米，宽和高都不变，它的体积增加60立方分米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，用原来的宽乘原来的高再乘增加部分的长就是增加部分的体积，可以求出：宽×高＝60÷4＝15（平方分米） 如果宽减小3分米，长和高都不变，它的体积减少72立方分米，可以求出：长×高＝72÷3＝24（平方分米）﹔ 如果高增加2分米，长和宽都不变，它的体积增加80立方分米，可以求出长×宽＝80÷2＝40（平方分米）； 然后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据进行计算即可解决问题。 【解答】由分析可知： 宽×高：60÷4＝15（平方分米） 长×高：72÷3＝24（平方分米） 长×宽：80÷2＝40（平方分米） （15＋24＋40）×2 ＝（39＋40）×2 ＝79×2 ＝158（平方分米） 答：原来长方体的表面积是158平方分米。 突破题型十三体积与容积单位间的换算 37．一个长方体玻璃水缸，长8分米，宽5分米，高5分米，水深4分米。如果竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？ 【答案】24升 【分析】求缸里的水会溢出多少，就是求正方体铁块的体积比长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积多多少，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，分别求出正方体铁块的体积和长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积，再用正方体铁块的体积减去长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积，求出缸里的水溢出多少立方分米，再根据1立方分米＝1升，把立方分米化为升即可解答。 【解答】4×4×4－8×5×（5－4） ＝16×4－40×1 ＝64－40 ＝24（立方分米） 24立方分米＝24升 答：缸里的水会溢出24升。 38．暑假期间玲玲一家准备到西藏自驾游，西昌到西藏拉萨全程两千多千米。玲玲家的越野车油箱从里面量长1米，宽0.4米，高0.2米，油价为7.86元/升，加满一箱油要用多少钱？ 【答案】628.8元 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出油箱的容积，进而根据1立方米＝1000升换算成升，再根据单价×数量＝总价，用油箱的升数乘7.86即可求出加满这箱油要多少钱。 【解答】1×0.4×0.2＝0.08（立方米） 0.08立方米＝80升 80×7.86＝628.8（元） 答：加满一箱油要用628.8元。 39．一辆小汽车的油箱从里面量是一个棱长为5分米的正方体，这个油箱最多可以装多少千克汽油？（每升汽油重0.75千克） 【答案】93.75千克 【分析】根据正方体容积公式：容积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出小汽车的油箱的容积，再用油箱的容积×0.75，即可解答，注意单位名数的换算。 【解答】5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 125立方分米＝125升 125×0.75＝93.75（千克） 答：这个油箱最多可以装93.75千克汽油。 突破题型十四长方体或正方体的容积 40．殷墟博物馆新馆主体南侧有两个长90米、宽24米，深20厘米的水池。要往这两个水池中注满水，需要注入多少立方米的水？ 【答案】864立方米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出一个水池的容积，再乘2即可，注意统一单位。 【解答】20厘米＝0.2米 90×24×0.2×2 ＝432×2 ＝864（立方米） 答：需要注入864立方米的水。 41．一个长方体包装盒，从里面量长25厘米，宽18厘米，体积为8550立方厘米。爸爸想用它包装一件长22厘米、宽14厘米、高16厘米的玻璃器皿，是否可以装得下？ 【答案】可以 【分析】根据长方体体积（容积）＝长×宽×高，已知体积和长、宽，可计算求出长方体包装盒的高，再将玻璃器皿的长与包装盒的长、宽和宽、高和高相比较，可得出答案。 【解答】长方体包装盒的高为：8550÷25÷18＝19（厘米）。 已知玻璃器皿长22厘米、宽14厘米、高16厘米，长方体包装盒的长25厘米、宽18厘米、高19厘米；则22＜25，14＜18，16＜19，玻璃器皿的三边都比包装盒短，则可以装得下。 答：长方体包装盒可以装下这个玻璃器皿。 42．一个长方体的游泳池，长为26米，宽为21米，深为1.6米。它的占地面积是多少平方米？如果在它的四周及底部贴瓷砖，需要多少平方米的瓷砖？这个游泳池最多能蓄水多少升？ 【答案】546平方米；696.4平方米；873600升 【分析】根据题意可知，游泳池的占地面积＝长×宽，贴瓷砖的面积相当于无盖的长方体的表面积，无盖的长方体表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，游泳池的体积（容积）＝长×宽×高，据此代入数据解答；根据1立方米＝1000升，要将结果换算成升。 【解答】26×21＝546（平方米） 26×21＋26×1.6×2＋21×1.6×2 ＝546＋83.2＋67.2 ＝696.4（平方米） 26×21×1.6＝873.6（立方米） 873.6立方米＝873600升 答：游泳池的占地面积是546平方米；如果在它的四周及底部贴瓷砖，需要696.4平方米的瓷砖；这个游泳池最多能蓄水873600升。 突破题型十五测量不规则物体的体积 43．做一个长5分米、宽3分米、6分米的玻璃鱼缸（无盖）。 （1）制作这个鱼缸至少需要多少平方米的玻璃？ （2）如果在这个鱼缸里放一块假山石，水面上升了2厘米，这块假山石的体积是多少立方分米？（水未溢出） 【答案】（1）1.11平方米 （2）3立方分米 【分析】（1）求做这个鱼缸至少需要多少平方米玻璃就是求除上底面之外的其他5个面的面积，用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2解答即可； （2）根据“不规则物体的体积＝鱼缸底面积×水面上升的高度”解答即可。 【解答】（1）5×3＋3×6×2＋5×6×2 ＝15＋18×2＋30×2 ＝15＋36＋60 ＝111（平方分米） 111平方分米＝1.11平方米 答：制作这个鱼缸至少需要1.11平方米的玻璃。 （2）2厘米＝0.2分米 5×3×0.2 ＝15×0.2 ＝3（立方分米） 答：这块假山石的体积是3立方分米。 44．明明买了一个亚当牛尊的工艺品，想知道它的体积是多少。明明把它放入一个长65厘米，宽40厘米，水深12厘米的容器中，结果水面升高到15厘米（水没有溢出）。你知道亚当牛尊工艺品的体积是多少立方厘米吗？ 【答案】7800立方厘米 【分析】这个亚当牛尊工艺品的体积等于上升的这部分水的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，用长方体容器的底面积乘水上升的高度，计算出上升这部分水的体积，也就是这个亚当牛尊工艺品的体积。 【解答】65×40×（15－12） ＝2600×3 ＝7800（立方厘米） 答：亚当牛尊工艺品的体积是7800立方厘米。 45．笑笑、乐乐、洛洛和阳阳四人学习了有趣的测量后，张老师让他们尝试测量一个不规则物体的体积，他们进行的实验步骤如下： ①笑笑准备了一个长和宽都是8厘米，高是15厘米的长方体玻璃缸； ②乐乐往缸里倒入一些水，此时水面距离玻璃缸口5厘米； ③洛洛把一个红薯完全浸没入水中，此时水面高度是14立方厘米； ④阳阳把红薯取出，这时水面高度是10厘米。 你能根据以上信息，计算这个红薯的体积是多少吗？ 【答案】256立方厘米 【分析】红薯的体积等于红薯取出前后水变化的体积，水的体积相当于长8厘米、宽为8厘米，高为（14－10）厘米的长方体的体积，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【解答】8×8×（14－10） ＝64×4 ＝256（立方厘米） 答：红薯的体积是256立方厘米。 突破题型十六解决体积有关的复杂问题 46．在一个棱长为3cm的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞。洞口是边长为1cm的正方形（如图）。挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？ 【答案】20立方厘米 【分析】所剩木块的体积是原正方体的体积减去挖去的三个洞的体积。三个洞在正方体的正中心相交成一个棱长1cm的正方体，在减去三个洞的体积时多减了两个相交的正方体的体积。 【解答】3×3×3－1×1×3×3＋1×1×1×2 ＝27－9＋2 ＝20（立方厘米） 答：挖洞后正方体木块的体积是20立方厘米。 【点评】在一个长方体或正方体上切（或挖）长方体或正方体，体积会减少，外表面减少，里面即多出了表面积，计算过程要防止重复减的情况。 47．小明学习了体积这个单元，他想做这样一个实验一个长方体的玻璃缸，长5分米，宽3分米，高3分米，水深2分米，如果投入一块棱长为3分米的正方体铁块（如下图）他在想：缸里的水会溢出来吗？请你帮他找到答案。 （1）铁块的体积是多少？ （2）缸里的水会溢出来吗？请你说明理由（可列式说明）。 【答案】（1）27立方分米 （2）会；理由见详解 【分析】（1）正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出铁块的体积即可； （2）根据题意，要想知道把正方体铁块放入玻璃缸中，水会不会溢出， 也就是把玻璃缸无水部分的体积与正方体铁块的体积进行比较，如果铁块的体积小于或等于玻璃缸无水部分的体积，说明水不会溢出，如果铁块的体积大于玻璃缸无水部分的体积，说明水会溢出，据此解答即可。 【解答】（1）3×3×3＝27（立方分米）； 答：铁块的体积是27立方分米； （2）5×3×（3－2） ＝15×1 ＝15（立方分米）； 15＜27； 玻璃缸无水部分的体积小于正方体铁块的体积，所以缸里的水会溢出来。 【点评】明确“水会不会溢出，就是比较玻璃缸无水部分的体积与正方体铁块的体积”是解答本题的关键。 48．把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面积增加了144cm2。 （1）画出示意图并标注条件中的数据。 （2）小长方体的长、宽、高分别是多少cm？ （3）原大正方体的体积是多少cm3？ 【答案】（1）见详解 （2）长2cm，宽6cm，高6cm （3）216cm3 【分析】（1）画出把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体的示意图，并标注数据；（答案不唯一） （2）根据题意，把一个大正方体切成三个小长方体，要切2次；切一次增加2个截面；切2次增加4个截面，表面积增加4个截面的面积；先用增加的表面积除以4，求出一个截面的面积；这个截面是正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方体的棱长；用正方体的棱长除以3，就是小长方体的长；小长方体的宽和高都等于正方体的棱长； （3）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【解答】（1）如图： （答案不唯一） （2）144÷4＝36（cm2） 36＝6×6 所以大正方体的棱长是6cm。 小长方体的长是：6÷3＝2（cm） 小长方体的宽和高都是6cm。 答：小长方体的长是2cm、宽是6cm、高是6cm。 （3）6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 答：原大正方体的体积是216cm3。 【点评】掌握正方体切割的特点，明确增加的表面积是哪些面的面积，熟记正方体的体积公式是解题的关键。 专题五分数的意义和性质 突破题型一分数的意义 1．用分数表示图中的涂色部分。 （ ）         （ ）   （ ）   （ ） 【答案】 【分析】图一，把整个图形看作单位“1”，平均分成8份，涂色部分占3份，用分数表示为； 图二，把整个图形看作单位“1”，平均分成9份，涂色部分占5份，用分数表示为； 图三，把整个图形看作单位“1”，平均分成6份，涂色部分占5份，用分数表示为； 图四，把整个图形看作单位“1”，平均分成5份，涂色部分占3份，用分数表示为。 【解答】 2．用分数分别表示下面各图中的阴影部分。 【答案】见详解 【分析】分数的意义：把一个整体平均分为若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，在分数中分母表示分的份数，分子表示取的份数，由此解答即可。 【解答】 被平均分成6份，其中3份为阴影部分，则阴影部分占这个图形的； 被平均分成5份，其中2份为阴影部分，则阴影部分占这个图形的； 被平均分成4份，其中1份为阴影部分，则阴影部分占这个图形的； 被平均分成9份，其中4份为阴影部分，则阴影部分占这个图形的； 被平均分成8份，其中2份为阴影部分，则阴影部分占这个图形的。 3．在直线上面的括号里填上适当的分数，在直线下面的括号里填上适当的小数。 【答案】见详解 【分析】把“1”平均分成10份，取一份就表示十分之一（或0.1），取几份就表示十分之几（或零点几），注意能约分的要约分。据此解答即可。 【解答】 突破题型二单位“1”的认识与确定 4．“12个苹果的”，这里把（ ）看作单位“1”。“”表示把单位“1”平均分成（ ）份，取其中的（ ）份，“12个苹果的”是（ ）个苹果。 【答案】12个苹果 3 2 8 【分析】把整体（即单位“1”）平均分为若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数，苹果个数÷分母＝一份数，一份数×分子＝苹果个数，据此分析。 【解答】12÷3×2＝8（个） “12个苹果的”，这里把12个苹果看作单位“1”。“”表示把单位“1”平均分成3份，取其中的2份，“12个苹果的”是8个苹果。 5．一项工程，完成了，单位“1”是（ ）；一本故事书，未看的相当于已看的，这里又是把（ ）看作单位“1”。 【答案】这项工程总量 已看页数 【分析】两个量之间单位“1”的确定：找含有分率的这句话中的关键词，如：比、相当于、等于、是、占……，这些关键词后面的量一般是单位“1”。据此解答。 【解答】通过分析可得： 一项工程，完成了，完成的是这项工程总量的，则单位“1”是这项工程总量；一本故事书，未看的相当于已看的，这里又是把已看的页数看作单位“1”。 6．下图中露出的圆片是单位“1”的（ ），被遮住的部分是单位“1”的（ ），一共有（ ）个圆片。 【答案】 6 【分析】把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。分子在上，分母在下，把单位“1”平均分成3份，露出的圆片占1份，用分数表示为，被遮住的部分占2，用分数表示为，露出的圆片有2个，遮住的有4个，一共有2＋4＝6个圆片。 【解答】露出的圆片是单位“1”的，被遮住的部分是单位“1”的，一共有6个圆片。 突破题型三分数与除法的关系 7．一根7米长的绳子，平均分成8份，每份是它的（ ），每份是（ ）米。 【答案】 【分析】将这根绳子看作单位“1”，平均分成8份，其中一份就是；每一份的米数＝总长度7米÷份数8份，将结果化为分数得出答案。 【解答】每份是它的，每份是：（米） 8．把3千克糖平均分成5份，每份是（ ）千克。 【答案】/0.6 【分析】根据把一个数平均分成几份，求每份是多少，用除法计算。据此解答。 【解答】（千克）或0.6（千克） 把3千克糖平均分成5份，每份是（或0.6）千克。 9．去年重阳节那天，李宇涵用自己的压岁钱买了50kg桃，跟爸爸一起送到了敬老院，把这些桃平均分给10位老人，每位老人得到这些桃的，每位老人分到（    ）kg桃。 【答案】；5 【分析】把桃的总质量看作单位“1”，把这些桃平均分给10位老人，相当于平均分成10份，用1除以10，即是每位老人得到这些桃的几分之几； 把50kg的桃平均分给10位老人，用桃的总质量除以10，即是每位老人分到桃的质量。 【解答】1÷10＝ 50÷10＝5（kg） 每位老人得到这些桃的（），每位老人分到（5）kg桃。 突破题型四求一个数占另一个数的几分之几 10．萌萌看一本80页的书，已经看了51页，还剩全书的（ ）没看。 【答案】 【分析】将全书总页数减去已经看的，求出还剩下全书的多少页没有看。再将剩下的页数除以总页数，求出还剩下全书的几分之几没有看。分数和除法的关系：被除数相当于分子，除数相当于分母。 【解答】（80－51）÷80 ＝29÷80 ＝ 所以还剩全书的没看。 11．粮油店老板将8千克香油平均装进5个瓶子中，那么2瓶香油占这些香油的（ ）。 【答案】 【分析】求一个数占另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数即可解答。 【解答】2÷5＝ 所以，2瓶香油占这些香油的。 12．81个月球和1个地球的质量相等。月球质量是地球质量的（ ）。 【答案】 【分析】81个月球和1个地球的质量相等，即地球的质量是月球质量的81倍，如果月球质量是1，则地球质量是81，将地球质量看作单位“1”，月球质量÷地球质量＝月球质量是地球质量的几分之几。 【解答】1÷81＝ 月球质量是地球质量的。 突破题型五真假分数及带分数的认识 13．读出下面的分数，再把它们分一分。                                                          真分数（ ）        假分数（ ） 【答案】，，， ，，， 【分析】分数的读法：先读分母的数，再读分数线读作：分之，最后读出分子的数，据此读出各分数；真分数：分子小于分母的分数；假分数：分子大于或等于分母的分数，据此确定是真分数还是假分数。 【解答】读作：四分之三；        读作：五分之四；        读作：八分之九；        读作：十一分之七；       读作：十五分之二十；        读作：二十一分之二十四；       读作：九分之九；       读作：一百分之九十九； 真分数：，，，；假分数：，，，。 14．分数单位是的最大真分数是（ ），最小假分数是（ ），最小带分数是（ ），这个带分数读作（ ）。 【答案】 一又十七分之一 【分析】真分数的分子小于分母；假分数的分子大于或等于分母；一个自然数和一个真分数合成的数叫做带分数；当真分数的分子和分母相差1时，真分数最大；当分子和分母相等时，假分数最小；整数部分最小是1，真分数部分最小是，组成的带分数最小；带分数的读法：先读整数部分，再读分数部分，中间加“又”字。据此解答 【解答】分数单位是的最大真分数是，最小假分数是，最小带分数是，这个带分数读作一又十七分之一。 15．对于分数，当a等于（ ）时，它是最大真分数；当a大于或等于（ ）时，它是假分数；当a等于（ ）时，它的分数值是最小的质数。 【答案】7 8 16 【分析】真分数：分子比分母小的分数；假分数：分子和分母相等或分子比分母大的分数；用分子除以分母，当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数；在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数是质数，最小的质数是2，据此解答。 【解答】对于分数，当a等于7时，它是最大真分数；当a大于或等于8时，它是假分数； 2×8＝16 当a等于16时，它的分数值是最小的质数。 突破题型六根据真假分数及带分数的特征组数 16．（x是非零自然数）中，如果它是一个真分数，那么x有（ ）种填法；如果它是一个假分数，那么x最小是（ ）。 【答案】7/七 8 【分析】根据真分数的意义：分子小于分母的分数叫做真分数；是真分数，x小于8；假分数的意义：分子大于或等于分母的分数叫做假分数，x大于或等于8；据此解答。 【解答】是真分数，x可能是1，2，3，4，5，6，7，一共有七种填法； 是假分数，x最小，分子等于分母，x是8。 （x是非零自然数）中，如果它是一个真分数，那么x有7种填法；如果它是一个假分数，那么x最小是8。 17．分数，当（ ）时，它是这个分数的分数单位；当（ ）时，它是最大的真分数；当（ ）时，它是最小的假分数；当（ ）时，它的分数值是0。 【答案】1 6 7 0 【分析】根据分数单位的意义，把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数叫分数单位。分子小于分母的分数是真分数，分子大于或等于分母的分数是假分数。根据分数和除法的关系，如果分子为0，则分数值为0；据此解答。 【解答】分数，当时，它是这个分数的分数单位；当时，它是最大的真分数；当时，它是最小的假分数；当时，它的分数值是0。 【点评】本题主要考查了分数单位、假分数、真分数的认识以及分数和除法的关系。 18．a＝（ ）时，是最小的假分数；如果能化成整数，b是（ ）（填出所有可能）。 【答案】8 1、2、4、8 【分析】分子等于或大于分母的分数就是假分数；若能化成整数，则b是8的因数，据此解答即可。 【解答】由分析可知： a＝8时，是最小的假分数；如果能化成整数，b是1、2、4、8。 【点评】本题考查假分数和假分数化整数，明确假分数和假分数化整数的方法是解题的关键。 突破题型七分数的基本性质 19．把的分母乘3，要使分数的大小不变，分子应加上（ ）。 【答案】10 【分析】分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，据此可知的分母乘3，要使分数的大小不变，分子也要乘3，据此算出新的分子是多少，再减去原来的分子5即可得到分子应该加几。 【解答】5×3＝15 15－5＝10 把的分母乘3，要使分数的大小不变，分子应加上10。 20．一个最简分数，把它的分子扩大到原来的3倍，分母缩小到原来的，得，原分数是（ ）。 【答案】 【分析】倒推即可，新分数的分子除以3，新分数的分母乘2，即可得到原分数的分子和分母，写出这个分数即可。 【解答】9÷3＝3 5×2＝10 原分数是。 21．把的分子扩大到原来的4倍，要使分数的大小不变，则分母要加上（ ）。 【答案】15 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变；根据分数的基本性质，把的分子扩大到原来的4倍，要使分数的大小不变，则分母也要扩大到原来的4倍，也就是将分母乘5，结果分母变为20，分母比原来增加了（20－5）。 【解答】5×4－5 ＝20－5 ＝15 把的分子扩大到原来的4倍，要使分数的大小不变，则分母要加上15。 突破题型八最简分数的认识 22．的分子、分母的最大公因数是（ ），用最大公因数把这个数约分成最简分数是（ ）。 【答案】4 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。约分根据分数的基本性质，即分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【解答】12＝2×2×3 20＝2×2×5 2×2＝4 的分子、分母的最大公因数是4，用最大公因数把这个数约分成最简分数是。 23．用最小的质数作分母的最简真分数有（ ）。 【答案】 【分析】最简真分数是指分子和分母只有公因数1的真分数。 最小的质数是2，列举出用2作分母的最简真分数即可。 【解答】用最小的质数作分母的最简真分数有（）。 24．有一本故事书，已经读了160页，还剩140页没读，已经读了这本书的 （填最简分数）。 【答案】 【分析】先用已读的页数加没读的页数，求出这本书的总页数，再用已读的页数除以这本书的总页数，可求出已经读了这本书的几分之几，再根据等式基本性质将分数化简得出答案。 【解答】160÷（160＋140） ＝160÷300 ＝ ＝ 即已经读了这本书的。 突破题型九分数化小数 25．。（填小数） 【答案】6；20；9；0.6 【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变； 分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号； 分数化成小数，用分子除以分母即可。 【解答】 ， 即。 26． 【答案】8；30；17.5；14 【分析】分数和除法的关系是：分数中的分子相当于除法中的被除数；分数中的分母相当于除法中的除数；分数中的分数线相当于除法中的除号；分数值相当于除法的商。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数值不变。分数化小数时用分子除以分母即可，据此解答。 【解答】因为所以； ； ； ； 故。 27．（    ）（填小数）。 【答案】20；15；36；0.8 【分析】根据分数的基本性质，的分子和分母都乘3就是，的分子和分母都乘5就是；根据分数与除法的关系，＝4÷5；根据商不变的规律，4÷5＝36÷45；把化成小数是0.8；据此解答。 【解答】＝＝＝36÷45＝0.8 突破题型十小数化分数 28．0.375＝＝＝＝。 【答案】8；9；40；18 【分析】小数化成分数，三位小数先化成分母为1000的分数，再化简成最简分数； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【解答】0.375＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ 即0.375＝＝＝＝。 29．     【答案】8；15；20；20 【分析】小数化成分数：小数表示的是十分之几、百分之几、千分之几……的数，可以直接写成分母是10，100，1000，……的分数；分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【解答】1.6＝＝＝ ＝＝ 所以＝＝1.6； 0.8＝＝＝ ＝＝ ＝＝ 所以＝＝0.8。 30．。 【答案】4；9；27；60 【分析】小数化成分数，两位小数先化成分母为100的分数，再化简成最简分数； 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 【解答】0.75＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ 即0.75＝＝＝＝。 突破题型十一真假分数及带分数的互化 31．把下面的假分数化成带分数或整数。 ＝         ＝          ＝         ＝ 【答案】5；；；4 【分析】将假分数化为带分数：分母不变，分子除以分母所得整数为带分数左边整数部分，余数作分子； 假分数化成整数，用假分数的分子除以分母，如果没有余数，商就是所要化成的整数。据此计算。 【解答】由分析可得： ＝80÷16＝5 ＝7÷3＝2……1，＝ ＝69÷13＝5……4，＝ ＝24÷6＝4 32．把下面的假分数化成整数或带分数。                                【答案】3；；； 【分析】把假分数化成带分数的方法：用分子除以分母，得到的商和余数；商是带分数的整数部分，余数是带分数的分子，分母不变。当假分数的分子为分母的倍数时，能化成整数。 【解答】＝12÷4＝3 ＝8÷3＝ ＝13÷5＝ ＝39÷10＝ 33．把下面的假分数化成整数或带分数。 ＝             ＝           ＝            ＝ 【答案】；3；； 【分析】把假分数化成带分数的方法：用分子除以分母，得到的商和余数；商是带分数的整数部分，余数是带分数的分子，分母不变。当假分数的分子为分母的倍数时，能化成整数。 【解答】＝29÷25＝1……4，所以＝。 ＝21÷7＝3，所以＝3。 ＝56÷18＝3……2，所以＝。 ＝23÷9＝2……5，所以＝。 突破题型十二求最大公因数 34．找出下面每组数的最大公因数。 15和75    18和42    17和18 【答案】15；6；1 【分析】①如果两个数中大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数；②当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1；③用短除法求最大公因数，先用这几个数的最小质因数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 【解答】（1），所以15和75的最大公因数是15； （2） 18和42的最大公因数是：； （3） 17和18是互质数，所以 17和18的最大公因数是1。 35．求出每组数的最大公因数。 14和35               54和45              51和17 【答案】7；9；17 【分析】求两个数的最大公因数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，据此解答。 【解答】14＝2×7 35＝5×7 14和35的最大公因数是7； 54＝2×3×3×3 45＝3×3×5 3×3＝9 54和45的最大公因数是9； 51÷17＝3 51和17是倍数关系，所以51和17的最大公因数是17。 36．找出下列每组数的最大公因数。 8和18                  12和36           42和56             45和81 【答案】2；12；14；9 【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。两数互质，最大公因数是1；两数成倍数关系，最大公因数是较小数。据此分析。 【解答】8和18 因为8＝2×2×2、 18＝2×3×3， 所以8和18的最大公因数是2。 12和36 因为36÷12＝3，36是12的倍数，12是36的因数， 所以12和36的最大公因数是12。 42和56   因为42＝2×3×7、 56＝2×2×2×7，  2×7＝14， 所以42和56的最大公因数是14。 45和81 因为45＝3×3×5、 81＝3×3×3×3， 3×3＝9， 所以45和81的最大公因数是9。 突破题型十三分数的约分计算 37．先约分，再把结果是假分数的化成带分数。              【答案】＝；＝；；＝ 【分析】将分子和分母同时除以二者的最大公因数，即可将分数约分为最简分数。假分数化带分数：将分子除以分母，求出商和余数。商是带分数的整数部分，余数是带分数的分数部分的分子，分母不变。 ①45和25的最大公因数是5； ②51和34的最大公因数是17； ③26和65的最大公因数是13； ④36和8的最大公因数是4。 【解答】＝＝ 9÷5＝1……4，所以＝。 ＝＝ 3÷2＝1……1，所以＝； ＝＝ ＝＝ 9÷2＝4……1，所以＝。 38．约分，是假分数的化成带分数。          【答案】；； 【分析】把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分，假分数化成整数或带分数时，假分数的分子除以分母，能整除的，所得的商就是整数；不能整除时，所得的商就是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子，分母不变；据此解答。 【解答】 39．把下面的分数化成最简分数。                      【答案】；；；；； 【分析】将分子和分母同时除以二者的最大公因数，即可将分数化成最简分数。8和10的最大公因数是2；12和15的最大公因数是3；9和18的最大公因数是9；15和20的最大公因数是5；14和28的最大公因数是14；30和50的最大公因数是10。据此解题。 【解答】 突破题型十四求最小公倍数 40．写出下列每组数的最小公倍数。 5和9        12和30 【答案】45；60 【分析】求两个数的最小公倍数，如果两个数互质，那么它们的最小公倍数就是它们的乘积；如果不互质，就先分解质因数，然后把公有的质因数和各自独有的质因数相乘就是它们的最小公倍数。据此解答。 【解答】因为5和9互质，所以5和9的最小公倍数是5×9＝45。 因为12＝2×2×3，30＝2×3×5，所以12和30的最小公倍数是2×2×3×5＝60。 41．按要求做题。 求最下列每组数的最大公因数与最小公倍数。 10和9          14和42 【答案】最大公因数是1，最小公倍数是90；最大公因数是14，最小公倍数42 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积；如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。只有公因数1的两个非零自然数叫做互质数。 【解答】10和9是互质数，所以它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积：10×9＝90； 42和14是倍数关系，14是较小数，42是较大数，所以它们的最大公因数是14，最小公倍数是42； 所以10和9的最大公因数是1，最小公倍数是90； 14和42的最大公因数是14，最小公倍数是42。 42．分别求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 11和7             18和6            8 和12           9和21 【答案】11和7的最大公因数是1；最小公倍数是77； 18和6的最大公因数是6；最小公倍数是18； 8和12的最大公因数是4；最小公倍数是24； 9和21的最大公因数是3；最小公倍数是63 【分析】当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数； 分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。 【解答】（1）11和7是互质数； 11和7的最大公因数是1； 11和7的最小公倍数是11×7＝77； （2）18和6是倍数关系； 18和6的最大公因数是6； 18和6的最小公倍数是18； （3）8＝2×2×2 12＝2×2×3 8和12的最大公因数是2×2＝4； 8和12的最小公倍数是2×2×2×3＝24； （4）9＝3×3 21＝3×7 9和21的最大公因数是3； 9和21的最小公倍数是3×3×7＝63。 突破题型十五分数的通分计算 43．把下面每组中的两个数通分。 和    和    和    和 【答案】，；，；，；， 【分析】通分的方法：先求出这两个分数的分母的最小公倍数，把它作为这两个分数的公分母，然后依据分数的基本性质，把原分数分别化成以公分母为分母的分数。据此解答即可。 【解答】，； ，； ，； ，。 44．通分。 和                              和                        和 【答案】＝；＝；＝；＝；＝；＝ 【分析】把异分母分数化成大小和原来相等的同分母分数叫做通分；根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变，据此解答。 【解答】和 ＝＝ ＝＝ 和 ＝＝ ＝＝ 和 ＝＝ ＝＝ 45．把下面各组分数通分。                       【答案】和；和；、和 【分析】根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的同分母的分数的过程叫通分；通分时，用每组两个分数的分母的最小公倍数作公分母，把每组的两个分数化成同分母分数。 【解答】 ＝，＝ ＝，＝ ＝，＝，＝ 突破题型十六最大公因数解决问题 46．一张长方形纸长45厘米，宽30厘米，要裁成大小一样且面积尽可能大的小正方形，裁完后纸没有剩余，可如何裁？ 【答案】6个 【分析】根据正方形的面积＝边长×边长，要使裁成的小正方形的面积尽可能大且没有剩余，也就是要使裁成的小正方形的边长尽可能大，所以求出45和30的最大公因数，也就求出了每个小正方形的边长的最大值，然后分别求出长可以裁出几排，宽可以裁出几列，并求出可以裁几个这样的小正方形即可。 【解答】（45，30）＝15（厘米） 45÷15＝3（排） 30÷15＝2（列） 3×2＝6（个） 答：裁成6个边长是15厘米的小正方形。 47．“节分端午自谁言，万古传闻为屈原”端午节是我国的传统节日。端午节前夕学校开展包粽子活动，手工社团的同学包了24个三角粽和32个四角粽，把这些粽子扎成捆，不能混扎且每捆的粽子数量要相等，每捆最多能扎几个粽子？ 【答案】8个 【分析】由题意可知：把这些粽子扎成捆，不能混扎且每捆的粽子数量要相等，要求每捆最多能扎几个粽子，就是求24和32的最大公因数。先分别求出24和32的质因数，全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数，据此解答即可。 【解答】24＝2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 24和32的最大公因数是： 2×2×2 ＝4×2 ＝8 答：每捆最多能扎8个粽子。 48．大年初一，乐乐的妈妈准备了一些糖果和巧克力分给前来拜年的小朋友们。她拿出了18颗糖果和12块巧克力。为了公平起见，她希望每个小朋友得到相同数量的糖果和巧克力，而且不能有剩余。最多能分给几位小朋友？ 【答案】6位 【分析】由题意可知，最多能分给几位小朋友，就是要找18和12的最大公因数，用短除法计算即可。 【解答】 18和12的最大公因数是： 答：最多能分给6位小朋友。 突破题型十七最小公倍数解决问题 49．学校艺术节开幕式上有40多名同学进行体操表演，他们12人排成一排或者8人排成一排都正好排完，一共有多少名学生参加体操表演？ 【答案】48名 【分析】12人排成一排或者8人排成一排都正好排完，说明总人数是12和8的公倍数，求出12和8的最小公倍数，再通过最小公倍数找到40至50之间的公倍数即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【解答】12＝2×2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（人） 24×2＝48（人） 40＜48＜50 答：一共有48名学生参加体操表演。 50．某学校暑假期间安排王老师每4天值一次班，李老师每6天值一次班，张老师每8天值一次班，如果7月1日他们三人同一天值班，下一次他们三人同一天值班是几月几日？ 【答案】7月25日 【分析】根据题意，王老师每4天值一次班，李老师每6天值一次班，张老师每8天值一次班，那么他们三人同一天值班的间隔天数就是4、6和8的公倍数；先求出4、6和8的最小公倍数，再加上第一次三人同时值班的日期，即是下一次他们三人同一天值班的日期。 【解答】4＝2×2 6＝2×3 8＝2×2×2 4、6和8的最小公倍数：2×2×2×3＝24 即每24天三人同一天值班。 7月1日＋24天＝7月25日 答：下一次他们三人同一天值班是7月25日。 51．五（3）班同学上体育课时，每行站3人，最后一行少2人；每行站6人，最后一行少5人；每行站5人，结果最后一行只有1人。五（3）班最少有多少人？ 【答案】31人 【分析】每行站3人，最后一行少2人，说明这种情况下最后一行只有1人。每行站6人，最后一行少5人，说明这种情况下最后一行也只有1人。又由于每行站5人，结果最后一行只有1人。那么将多的这1人先不考虑，其他的人数就是3、5、6的最小公倍数。5和6互质，这两个数的乘积就是它们的最小公倍数，由于6是3的倍数，所以5和6的最小公倍数也会是3、5、6的最小公倍数。将最小公倍数加1，求出五（3）班最少有多少人。 【解答】5×6＋1 ＝30＋1 ＝31（人） 答：五（3）班最少有31人。 突破题型十八异分母分数的大小比较 52．五（1）班的同学去学校图书馆借书。的同学借阅了《数学迷宫》，的同学借阅了《生物王国》。借阅哪种刊物的人数多？ 【答案】一样多 【分析】根据题意，把把学生总人数看作单位“1”，运用分数的基本性质，将两个分数通分为同分母分数，再比较两个分率，分率大的人数多。 【解答】 答：借阅《生物王国》和《数学迷宫》的人数一样多。 53．有甲、乙、丙三杯糖水，糖和水的质量各不相同。其中甲杯中有糖30克，水70克，乙杯中有糖10克，水30g，丙杯中有糖40克，水160克。 （1）上面每杯糖水中的糖占糖水的几分之几？哪一杯糖水最甜？ （2）如果要让甲杯中的糖占水的，应该加入多少克水？ 【答案】（1）甲杯；乙杯；丙杯；甲杯 （2）5克 【分析】（1）先用糖的质量加上水的质量，求出每杯糖水的质量；然后用每杯糖水中糖的质量除以糖水的质量，即是每杯糖水中的糖占糖水的几分之几。 比较每杯糖水中的糖占糖水的分率大小，先通分成同分母的分数，再根据“分母相同时，分子越大，分数值就越大”比较大小，分数值最大的，这杯糖水最甜。 （2）如果加入水，让甲杯中的糖占水的，即糖的质量占2份，水的质量占5份；糖的质量不变，用糖的质量除以糖的份数，求出一份数，再用一份数乘水的份数，求出现在水的质量；再用现在水的质量减去原来水的质量，即是应该加入水的质量。 【解答】（1）甲杯： 30÷（30＋70） ＝30÷100 ＝ 乙杯： 10÷（10＋30） ＝10÷40 ＝ 丙杯： 40÷（40＋160） ＝40÷200 ＝ ＝，＝，＝ ＞＞，即＞＞。 答：甲杯糖水中的糖占糖水的，乙杯糖水中的糖占糖水的，丙杯糖水中的糖占糖水的。甲杯糖水最甜。 （2）30÷2×5 ＝15×5 ＝75（克） 75－70＝5（克） 答：应该加入5克水。 54．某学校征订学生奶，可供学生选择的学生奶有牛奶、羊奶和椰奶，通过对全校的学生进行问卷调查，喜欢牛奶的学生占总人数的，喜欢羊奶的学生占总人数的，喜欢椰奶的学生占总人数的。如果由你负责征订学生奶，你对学校征订学生奶有什么好的建议？ 【答案】建议学校多征订牛奶，因为牛奶最多人喜欢 【分析】喜欢牛奶的学生占总人数的，喜欢羊奶的学生占总人数的，喜欢椰奶的学生占总人数的，它们所对应的单位“1”相同，都是总人数的量，所以只需要比较分率的大小，即可说明哪种学生奶的最受欢迎；因此利用分数的基本性质，将三个分数化成同分母分数，即可比较大小，如果哪种学生奶越多人喜欢，就应该多进货，问题即可得解。 【解答】 答：建议学校多征订牛奶，因为牛奶最多人喜欢。 专题六图形的运动（三） 突破题型一旋转的认识 1．如图经过旋转，可以得到图（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】图形旋转是指图形绕着一个固定点按照一定的方向和角度进行转动。判断题干图经过旋转后得到的图形，需要观察图形中元素（这里是黑色圆点和箭头）的位置变化规律，通过对比各选项来确定正确答案。 【解答】题干图中黑色圆点在左下角，有一个向左的箭头和一个向右的箭头； A黑色圆点在左上角，整体图形相对于题干图顺时针旋转了90°，此时原本向右的箭头旋转后向下，原本向左的箭头旋转后向下，该选项原图不符合图形旋转的规律。 B黑色圆点在右下角，整体图形相对于题干图逆时针旋转了90°，此时原本向右的箭头旋转后向上，原本向左的箭头旋转后向下，该选项原图不符合图形旋转的规律。 C黑色圆点在右下角，整体图形相对于题干图逆时针旋转了90°，此时原本向右的箭头旋转后向上，原本向左的箭头旋转后向下，该选项原图不符合图形旋转的规律。 D黑色圆点在左下角，整体图形相对于题干图顺时针旋转了360°，此时原本向右的箭头旋转后向右，原本向左的箭头旋转后向左，该选项原图符合图形旋转的规律。 所以经过旋转，可以得到图。 故答案为：D 2．下面的图案，（    ）既可以通过平移得到，又可以通过旋转得到。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，平移不改变图形的形状和大小，只是改变位置；把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转，旋转时图形位置发生变化，大小不变，形状不变，据此解答。 【解答】 A．既可以通过平移得到，又可以通过旋转得到； B．可以通过平移得到，不可以通过旋转得到； C．不可以通过平移得到，也不可以通过旋转得到； D．可以通过平移得到，不可以通过旋转得到。 故答案为：A 3．下面的图，（    ）可以通过平移得到，也可以通过旋转得到。 A． B． C． 【答案】B 【分析】在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定距离的过程，称为平移；平移前后，物体的大小、形状和方向均不会改变，只是位置发生变化；在平面内，把一个图形围绕某一固定点或某一条线按某个方向转动一定的角度的过程，称为旋转。旋转前后，物体的大小、形状均不会改变，只是方向和位置发生变化。据此分析。 【解答】A．由图可知，该图形可以通过平移得到，但无法通过旋转得到。 B．由图可知，该图形可以通过平移得到，也可以通过旋转得到。 C．由图可知，该图形可以通过旋转得到，但无法通过平移得到。 故答案为：B 4．下列现象既不是平移，也不是旋转的是（    ）。 A．开关冰箱门 B．照镜子 C．火箭升空 【答案】B 【分析】将一个物体按照某个方向移动，这样的图形运动叫作图形的平移现象；把一个物体绕着某一点转动做旋转现象；据此解答即可。 【解答】A．开关冰箱门时，冰箱门绕门柱转动，是旋转现象； B．照镜子时，没有运动，既不是平移也不是旋转； C．火箭升空时，火箭沿直线上升，是平移现象。 故答案为：B 突破题型二旋转三要素及旋转图形 5．有一个电话号码是七位数，逆时针旋转180°以后，号码变成1606199，原来的电话号码是（    ）。 A．9916061 B．6616061 C．6619091 D．6619061 【答案】C 【分析】当数字逆时针旋转180°时，部分数字会发生转换：0、1、8 旋转后不变，6 和 9 互相转换。 题目给出的旋转后的号码为 1606199，需要将其倒序排列（因旋转后顺序颠倒），再将每个数字转换回原来的数字：倒序排列：1606199 → 9961061 逐个转换： 9 → 6 9 → 6 1 → 1 6 → 9 0 → 0 6 → 9 1 → 1 组合结果：6619091 【解答】原来的电话号码是6619091 故答案为：C 6．下图，托盘上放（    ）kg的物品指针顺时针旋转180°。 A．3 B．6 C．12 【答案】B 【分析】从图中可知，当前指针指向“0”，指针顺时针旋转180°后指向“6”，说明这个物体重6kg。 【解答】托盘上放6kg的物品指针顺时针旋转180°。 故答案为：B 7．下列图形中，顺时针旋转90°后，与原来的图形重合的是（    ）。 A．   B．     C．   D．     【答案】C 【分析】在平面内，将一个图形绕一点或轴按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，画出各图形顺时针旋转90°后的图形即可解答。 【解答】 A．  顺时针旋转90°后的图形是  ，不能与原图形重合。        B．  顺时针旋转90°后的图形是  ，不能与原图形重合。 C．  顺时针旋转90°后的图形是  ，能与原图形重合。     D．  顺时针旋转90°后的图形是  ，不能与原图形重合。 故答案为：C 8．利用图形的平移、旋转和对称可以设计出很多美丽的图案。下面的图形②就是图形①经过运动得到的，图形①正确的运动方式是（    ）。 A．以M点为中心，顺时针旋转90° B．以M点为中心，逆时针旋转90° C．以M点为中心，顺时针旋转90°，然后再向下平移2格 D．以M点为中心，逆时针旋转90°，然后再向右平移2格 【答案】C 【分析】决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。 【解答】图形②是图形①经过运动得到的，图形①正确的运动方式是以M点为中心，顺时针旋转90°，然后再向下平移2格。 故答案为：C 突破题型三钟面上的旋转问题 9．如图：指针从“12”绕点O顺时针旋转( )到“5”。指针从“2”绕点O顺时针旋转180°到( )。指针从“10”绕点O顺时针旋转90°到( )。 【答案】150°/150度 8 1 【分析】决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。钟面指针的转动方向是顺时针方向，钟面1个大格是30°，据此通过转动的大格数确定旋转度数，旋转度数÷30°＝转动的大格数，据此分析。 【解答】30°×5＝150°，指针从“12”绕点O顺时针旋转150°到“5”。 180°÷30°＝6（格），2＋6＝8（格），指针从“2”绕点O顺时针旋转180°到8。 90°÷30°＝3（格），从10开始顺时针方向数3大格子，即指针从“10”绕点O顺时针旋转90°到1。 10．从“12”到“1”，指针绕点O按( )时针旋转了( )°；从“3”到“( )”，指针绕点O按顺时针旋转了90°；从“6”到“12”，指针绕点O按( )时针旋转了( )°；从“9”到“( )”，指针绕点O按逆时针旋转了60°。 【答案】顺 30 6 顺 180 7 【分析】钟面指针转动的方向是顺时针方向。时钟面上有12个大格，指针转一周是360°，那么指针转动一大格旋转的角度是360°÷12＝30°，即两个相邻数字之间的夹角是30°。 从“12”到“1”，指针顺时针旋转了1格，所以旋转角度是30°； 旋转角度是90°，指针顺时针旋转了90°÷30°＝3格，则3＋3＝6，所以从“3”到“6”，指针绕点O按顺时针旋转了90°； 从“6”到“12”，指针旋转了12－6＝6格，旋转角度是30°×6＝180°； 旋转角度是60°，指针逆时针旋转了60°÷30°＝2格，则9－2＝7，所以从“9”到“7”，指针绕点O按逆时针旋转了60°。 【解答】从“12”到“1”，指针绕点O按（顺）时针旋转了（30）°； 从“3”到“（6）”，指针绕点O按顺时针旋转了90°； 从“6”到“12”，指针绕点O按（顺）时针旋转了（180）°； 从“9”到“（7）”，指针绕点O按逆时针旋转了60°。 11．如图，钟表上4时，时针与分针的夹角是( )度。从这个时刻走到5时，分针要顺时针旋转( )度。 【答案】120 360 【分析】时针或者分针绕钟面旋转一周是360度，360度被平均分成12大格，每大格是360÷12＝30度，钟表上4时，时针与分针之间有4大格，一共120度；从4时到5时，一个小时分针绕钟面旋转一周，刚好是360度，据此解答。 【解答】360÷12＝30（度） 30×4＝120（度） 分析可知，钟表上4时，时针与分针的夹角是120度，从这个时刻走到5时，分针要顺时针旋转360度。 12．下图是花花开始做作业的时间，她1小时完成作业。在这个时间段，时针绕点O( )时针旋转了( )°。 【答案】顺 30 【分析】在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。 时钟面上有12个大格，时针转一周12小时是360°，那么时针一小时旋转的角度是360°÷12＝30°，即两个相邻数字之间的夹角是30°，据此解答。 【解答】根据分析可知，花花开始做作业的时间，她1小时完成作业。在这个时间段，时针绕点O顺时针旋转了30°。 突破题型四作旋转后的图形 13．在如图的方格图中画出长方形ABCD绕C点逆时针旋转90°后的图形。 【答案】图见详解 【分析】根据旋转的意义，找出图中长方形4个关键点，C点不动，按照与时针旋转相反的方向，图形的各个部分逆时针旋转90°，画出长方形ABCD绕C点逆时针旋转90°后的图形即可。 【解答】作图如下： 14．请将下面的图形绕点O旋转，设计一幅美丽的图案。 【答案】见详解 【分析】根据旋转的特征，可以将图形绕点O分别顺时针旋转90°、180°，逆时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出一幅美丽的图案。 【解答】如图： （答案不唯一） 15．画出三角形绕点逆时针旋转90°后得到的图形。 【答案】图见详解 【分析】根据图形旋转的方法，以图形下面的顶点O为旋转中心，先找出另外两个顶点绕点O逆时针旋转90度后的对应点，再把这两个顶点依次连接起来，即可得出旋转后的图形。 【解答】 16．画出图①绕点O顺时针旋转90°后的图形。 【答案】见详解 【分析】作旋转一定角度后的图形步骤：①根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角。②分析所作图形，找出构成图形的关键点。③找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点。④作出新图形，顺次连接作出的各点即可。据此解答。 【解答】 突破题型五平移与旋转的综合 17．按要求完成下面各题。 先画出将三角形AOB绕点O顺时针旋转90°得到的图形，再把旋转后的图形向右平移7格。(请用虚线作图) 【答案】见详解 【分析】根据旋转的特征，三角形AOB绕点O顺时针方向旋转90°，点O的位置不动，这个三角形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，即可画出旋转后的图形。根据平移的特征，把旋转后的图形各顶点分别先向右平移7格，再依次连接各顶点，即可得到平移后的图形。 【解答】根据分析，作图如下： 。 18．画出图A绕点O顺时针旋转90°，再向左平移5格后的图形。 【答案】见详解 【分析】根据旋转的特征，图形A绕点O顺时针旋转90°，则点O的位置不动，这个图形的各部分均绕点O按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形；再根据平移的特征，平移过程中图形的大小和形状不变，把旋转后的图形的所有点分别向左平移5格，依次连接即可得到平移后的图形。 【解答】根据题意画图如下： 19．画出图形①向右平移12格后的图形，标上“②”；再画出图形②绕自己的直角顶点逆时针旋转90°后的图形，标上“③”。 【答案】见详解 【分析】作平移后的图形步骤：找出构成图形的关键点，确定平移方向和平移距离，过关键点沿平移方向画出平行线。由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，连接对应点。 作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 【解答】作图如下： 【点评】决定平移后图形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距离。决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。 20．画出三角形先向右平移7格，再绕C点顺时针旋转90°后的图形。 【答案】见详解 【分析】根据图形平移的特征，把三角形的各点均向右平移7格，再首尾连接各点即可得到向右平移7格后的三角形；根据旋转图形的特征，把平移后的三角形绕C′点顺时针旋转90°，C′点的位置不动，三角形的各边均绕C′点顺时针旋转90°。据此画图。 【解答】作图如下： 【点评】本题主要考查了图形的平移、旋转，注意作图要认真。 突破题型六运用平移、旋转和轴对称设计图案 21．如图是七巧板，通过平移、旋转或轴对称的方法设计你喜欢的图形。 【答案】见详解 【分析】确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要知道平移的方向、平移的距离。决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。图形的设计就是指运用以上三种基本的变换图形的方法，或是综合运用其中的两种，对图形进行变换，设计出美丽的图案。 【解答】 （画法不唯一） 22．利用旋转设计一幅美丽图案。 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】设计方案不唯一。根据旋转的特征，这个图案绕它的正面一个角的顶点旋转，再旋转，再旋转，与原来的图形要组成一个美丽的图形。 【解答】（设计方案不唯一）。 【点评】此题的解题关键是掌握旋转的特性，发挥空间想象力，创作出美丽的图形。 23．按要求画图。 （1）画出将原图绕点O逆时针旋转 90°后的图形。 （2）发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变的更加美丽。 【答案】作图见详解 【分析】（1）根据旋转的方法，将三角形与点O相连的两条边绕点O逆时针旋转90°，再将其它边连起来即可。 （2）答案不唯一，自由设计即可。 【解答】（1）如图： （2）如图 【点评】画旋转后的图形时，要注意旋转的方向和角度，图形的形状和大小不变。 24．按要求画一画。 （1）把下面的三角形绕点O依次旋转变换，制作一幅美丽的图案。 （2）把下面的平行四边形依次向右平移变换，制作一幅美丽的图案。 【答案】见详解 【分析】图案的设计就是指运用三种基本的变换图形的方法，或是综合运用其中的两种，对图形进行变换，设计出美丽的图案。 【解答】（画法不唯一） 【点评】决定平移后图形的位置的要素：一是平移的方向，二是平移的距离。决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三是旋转角度。 专题七分数的加法和减法 突破题型一同分母分数加减法 1．里面有( )个；4个是( )，再添上( )个这样的分数单位就等于2；里面有( )个，去掉( )个这样的分数单位就等于1。 【答案】7 10 9 4 【分析】把单位“1”平均分成若干份取一份的数，叫做分数单位； 将化成假分数，分子是几，就有几个分数单位； 4个是，用2减去，将结果用假分数表示，分子是几，就有几个分数单位； 将用假分数表示，分子是几，就有几个分数单位； 减去1，差如果是真分数，那么分子是几，就有几个分数单位，减去几个分数单位即可； 【解答】的分数单位是，＝，所以，里面有7个分数单位，即里面有7个。 4个也就是4个分数单位即，2－＝，所以，4个是，再添上10个这样的分数单位就等于2； 的分数单位是，＝，里面有9个分数单位；－1＝，里面有4个分数单位。所以，里面有9个，去掉4个这样的分数单位就等于1。 2．的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再添上( )个这样的分数单位就等于1。 【答案】 7 3 【分析】把单位“ 1” 平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。在分数里，表示把单位“ 1” 平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示取了多少份的数，叫做分数的分子；分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的叫分数单位。 用单位“ 1”减去，结果的分子是几，即要添上几个这样的分数单位。 据此解答。 【解答】1－＝ 的分数单位是，它有7个这样的分数单位，再添上3个这样的分数单位就等于1。 3．＋表示( )个加上( )个，结果是( )。 【答案】7 9 【分析】分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数；根据分数的意义，可知表示7个；表示9个；同分母分数相加减的计算方法：分母不变，分子相加减，结果能约分的要约分；据此解答。 【解答】＋＝＝ ＋表示7个加上9个，结果是。 4．比米多米的数是( )米；千克比( )千克少千克；( )元比0.5元多元。 【答案】 / 1.7// 【分析】求比一个数多几的数是多少，用加法计算； 已知一个数比另一个数少几，求另一个数，用加法计算； 已知一个数比另一个数多几，求这个数，用加法计算，小数与分数相加，可把分数转化为小数再相加，或把小数转化为分数再相加。 据此解答。 【解答】（米） （千克）（或千克） （元）（或元或元） 比米多米的数是1米；千克比（或或）千克少千克；1.7（或或）元比0.5元多元。 突破题型二同分母分数加减法的简单应用 5．用一根5米长的红绳编织中国结，如果用去这根红绳的，还剩下这根红绳的；如果用去米，那么还剩下（    ）米。 【答案】； 【分析】把红绳的长度看作单位“1”，用去这根红绳的，求还剩下这根红绳的几分之几，用1－解答；如果用去m，求还剩下的长度，用绳子的长度－用去的长度，即用5－解答。 【解答】1－＝ 5－＝（米） 用一根5米长的红绳编织中国结，如果用去这根红绳的，还剩下这根红绳的；如果用去米，那么还剩下米。 6．一根木头长米，截去了米，还剩下( )米，如果用去这段木头的，那么还剩下它的( )。 【答案】 【分析】木头长度－截去的长度＝还剩下的长度；将木头长度看作单位“1”，1－用去这段木头的几分之几＝还剩下它的几分之几，据此列式计算。 【解答】－＝＝（米） 1－＝ 一根木头长米，截去了米，还剩下米，如果用去这段木头的，那么还剩下它的。 7．五年级二班进行计算竞赛，满分的同学人数占全班人数的，其中男生满分人数占全班人数的，女生满分人数占全班人数的( )。 【答案】 【分析】女生满分人数占全班人数的分率＝满分的同学人数占全班人数的分率－男生满分人数占全班人数的分率，同分母分数相加减时，分母不变，分子相加减，最后把结果化为最简分数，据此解答。 【解答】－ ＝ ＝ ＝ 所以，女生满分人数占全班人数的。 【点评】本题主要考查分数减法的应用，掌握同分母分数减法的计算方法是解答题目的关键。 8．工人修一条路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第一天比第二天多修了，还剩没修。 【答案】； 【分析】求第一天比第二天多修了全长的几分之几，用第一天修的分率减去第二修的分率即可； 把这条路的全长看作单位“1”，根据减法的意义，用“1”分别减去第一天、第二天修的分率，即是还剩几分之几没修。 【解答】－＝ 1－－ ＝－ ＝ 第一天比第二天多修了，还剩没修。 【点评】本题考查分数加减法的应用，掌握同分母分数加减法的计算法则是解题的关键，注意计算结果能约分的要约成最简分数。 突破题型三异分母分数加减法 9．姐姐每天早上洗漱用时，比弟弟每天早上的洗漱时间多时，弟弟每天早上的洗漱时间是( )时。 【答案】/0.25 【分析】由题意可知，姐姐每天早上洗漱用时，比弟弟每天早上的洗漱时间多时，用－即可求出弟弟每天早上的洗漱时间，据此解答即可。 【解答】－ ＝－ ＝ ＝（时） 所以，弟弟每天早上的洗漱时间是时。 10．一瓶水L，喝了它的，还剩它的( )。一瓶水L，喝了L，还剩( )L。 【答案】 【分析】把这瓶水看作单位“1”，已知喝了它的，求剩下的占几分之几用减法，即用单位“1”减去喝掉的分率＝剩下的分率；又知喝了L，求剩下的量用减法，即：这瓶水的总量－喝去的量＝剩下的量。 【解答】1－＝ －＝－＝（L） 所以，一瓶水L，喝了它的，还剩它的。一瓶水L，喝了L，还剩L。 11．在括号里填上适当的运算符号。 ( )      ( )       ( ) 【答案】＋ － － 【分析】根据分数的基本性质通分，＝，分子2＝1＋1，第一空即填上＋； 分子5－1＝4，第二空即填上－； 根据分数的基本性质通分，＝，分子3＝7－4，第三空即填上－；据此解答。 【解答】＋ － － 12．在括号里填上合适的数。 ( )         ( )         ( ) 【答案】 /0.25 【分析】和－加数＝另一个加数，被减数－差＝减数，据此根据异分母分数的加减法计算法则代入数据进行解答即可。 【解答】1－＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 突破题型四异分母分数加减法的简单应用 13．工程队修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天一共修了全长的( )，还剩下全长的( )没有修。 【答案】 【分析】把这条公路的全长看作单位“1”，用第一天修的分率加上第二天修的分率，即是两天一共修了全长的几分之几；再用全长“1”减去两天一共修的分率之和，即是还剩下全长的几分之几没有修。 【解答】＋ ＝＋ ＝ 1－＝ 两天一共修了全长的（），还剩下全长的（）没有修。 14．志愿小分队积极参加“打造水乡园林精致之城”活动。在活动中，第一小队清运垃圾t，比第二小队多清运t，第三小队比第一小队多清运t。提出一个用算式“－”解决的数学问题：( )。 【答案】第二小队共清运多少吨垃圾 【分析】第一小队比第二小队多清运t，那么用第一小队清运的减去t，可求出第二小队清运的垃圾重量。第三小队比第一小队多清运t，那么用第一小队清运的加上t，可求出第三小队清运的垃圾重量。据此解题。 【解答】提出一个用算式“－”解决的数学问题：第二小队共清运多少吨垃圾。 15．一个等腰三角形框架的其中两条边的长度分别为米和米，它的周长是( )米。 【答案】//4.1 【分析】已知一个等腰三角形两条边的长度分别为米和米，根据等腰三角形的特征可知，有两种情况：（1）等腰三角形的腰长是米；（2）等腰三角形的腰长是米； 然后根据三角形的三边关系判断这两种情况是否能组成三角形；能组成三角形的，再把三角形的三条边相加，求出它的周长。 等腰三角形的特征：等腰三角形的两条腰长相等。 三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。 【解答】（1）假设等腰三角形的腰长是米； ＋＝1（米） 1＜ 不符合三角形的三边关系，所以米、米、米不能组成三角形。 （2）假设等腰三角形的腰长是米； ＋＞ 符合三角形的三边关系，所以米、米、米能组成三角形。 周长： ＋＋ ＝＋ ＝＋ ＝（米） 它的周长是米。 16．《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。意思是说：一根一尺（尺，中国古代长度单位）长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下的一半，第三天再取剩下的一半……这样取下去，永远也取不尽。第五天取的长度是这根木棒的。 【答案】 【分析】把这根木棒的长度看作单位“1”，第一天取它的一半，即；第二天取剩下的一半，此时剩下，的一半是；第三天再取剩下的一半，此时剩下，的一半是……；据此找出规律，得出第五天取的长度是这根木棒的几分之几。 【解答】第一天取它的一半，即； 第二天取剩下的一半，此时剩下1－＝；的一半是； 第三天再取剩下的一半，此时剩下－＝－＝；的一半是； 第四天再取剩下的一半，此时剩下－＝－＝；的一半是； 第五天再取剩下的一半，此时剩下－＝－＝；的一半是； 所以，第五天取的长度是这根木棒的。 突破题型五异分母分数加减混合运算 17．一条彩带长m，比另一条短m，两条彩带共( )m。 【答案】 【分析】分析题目，先用一条彩带的长度加求出另一条彩带的长度，再用一条彩带的长度加上另一条彩带的长度即可。 【解答】＋＋ ＝＋＋ ＝＋ ＝（米） 一条彩带长m，比另一条短m，两条彩带共m。 18．在计算时，要先算( )法，再算( )法。 【答案】减 加 【分析】分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序相同。在没有括号的情况下，按照从左到右的顺序依次计算；如果有括号，则先算括号内的内容，再算括号外的。这种规则适用于所有整数和分数的加减混合运算。 【解答】根据分析可知，在计算＋（－）时，要先算减法，再算加法。 19．观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 【答案】/0.9 【分析】观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解。 【解答】 20．把、、、、、填入下图中的六个圆圈内，使每条线上三个数的和都相等。 【答案】见详解 【分析】要求将给出的六个分数填入图中的六个圆圈内，使每条线上三个数的和都相等；根据异分母分数加法的计算法则算出和相等的三组分数，即可填入图中。 【解答】 填空如下： （答案不唯一） 突破题型六异分母分数加减混合运算的简单应用 21．《庄子•天下篇》中有述：“一尺之棰，日取其半，万世不竭！”意思是，一尺长的棍棒，今日截取它的一半，即，明日截取它一半的一半……永远也截取不完。按照这样的方法，第三日截取的长度占总长度的( )，这三日截取的长度占总长度的( )。 【答案】 【分析】把这根木棒的长度看作单位“1”，第一天取它的一半，即；第二天取剩下的一半，此时剩下，的一半是……按照这样的方法，得出第三日截取的长度占总长度的几分之几； 再把第一天、第二天、第三天分别截取的长度占总长度的几分之几相加，即是这三日截取的长度占总长度的几分之几。 【解答】第一天取它的一半，即； 第二天取剩下的一半，此时剩下1－＝；的一半是； 第三天再取剩下的一半，此时剩下－＝－＝；的一半是； 一共取了： ＋＋ ＝＋＋ ＝ 按照这样的方法，第三日截取的长度占总长度的（），这三日截取的长度占总长度的（）。 22．洛宁上戈苹果多汁爽口，果肉松脆。果农小李分三次给水果市场运送一批上戈苹果，第一次运送了这批苹果的，第二次运送了这批苹果的，第三次运送了这批苹果的( )。 【答案】 【分析】将这批苹果看作单位“1”，1－第一次运送了这批苹果的几分之几－第二次运送了这批苹果的几分之几＝第三次运送了这批苹果的几分之几，据此列式计算。 【解答】1－－ ＝－ ＝－ ＝ 第三次运送了这批苹果的。 23．小明看一本书，第一天看了总页数的，第二天看了总页数的，还剩下总页数的( )没有看。 【答案】 【分析】将总页数看作单位“1”，1－第一天看了总页数的几分之几－第二天看了总页数的几分之几＝还剩总页数的几分之几没有看，据此列式计算。 【解答】1－－ ＝－ ＝－ ＝ 还剩下总页数的没有看。 突破题型七牛奶兑水问题 24．一杯纯果汁，王林喝了杯后觉得有点甜，就兑满了水，又喝了半杯，就出去玩了。王林一共喝了( )杯纯果汁和( )杯水。 【答案】 【分析】1杯纯果汁，王林喝了杯后，还剩（1－）杯，加满水后有喝了半杯，即喝了纯果汁的（1－）的一半，再加上第一次喝了的杯，即是喝了的果汁杯数；求喝了多少水，喝的水就是喝了杯的一半，杯的一半是杯，据此解答。 【解答】第一次喝了杯后，还剩1－＝（杯） 杯的一半是杯； 一共喝了：＋＝（杯） 喝的水就是喝了杯的一半，杯的一半是杯。 一杯纯果汁，王林喝了杯后觉得有点甜，就兑满了水，又喝了半杯，就出去玩了。王林一共喝了杯纯果汁和杯水。 25．一杯牛奶，文文喝了杯后，加满水，又喝了杯，再加满水，最后全部喝完，文文一共喝了( )杯水。 【答案】1 【分析】把这杯牛奶看作单位“1”，先喝了杯后，加满水，则加了杯的水；又喝了杯，再加满水，则又加了杯的水；最后全部喝完，一共喝了（＋）杯水；据此解答。 【解答】＋＝1（杯） 文文一共喝了1杯水。 26．一杯纯果汁，小花喝了半杯后，觉得有点甜，就兑满了水。接着她又喝了半杯，小花一共喝了( )杯纯果汁。 【答案】 【分析】把这杯果汁的量看作单位“1”，喝了半杯，即喝了杯纯果汁；兑满水，接着又喝了半杯，这时喝了纯果汁的杯的，即相当于把一杯果汁平均分成4份，喝了其中的1份，也就是杯，把两次喝的纯果汁杯数相加即可解答。 【解答】＋ ＝＋ ＝（杯） 所以小花一共喝了杯纯果汁。 27．一杯纯牛奶，小壮喝了杯后，兑满水又喝了一半。小壮一共喝了( )杯纯牛奶，( )杯水。 【答案】 【分析】将一杯纯牛奶看作单位“1”，小壮喝了杯后，喝了杯纯牛奶，还剩杯纯牛奶，兑满水，此时杯子里有杯纯牛奶和杯水，又喝了一半，杯的一半是杯，则又喝了杯纯牛奶和杯水，将两次喝的纯牛奶相加即可。 【解答】＋＝＋＝（杯） 小壮一共喝了杯纯牛奶，杯水。 突破题型八异分母分数加减法口算 28．直接写出得数。                           【答案】 29．直接写出得数。                                         【答案】；； ；； 30．直接写出得数。                                                  【答案】；；1； ；；； 31．直接写出下面各题的得数。                           【答案】 突破题型九异分母分数加减混合运算及简便运算 32．脱式计算，能简算的要写出简便过程。              【答案】；；； 【分析】，先算小括号里的加法，再算括号外的加法； ，利用加法交换律进行简算； ，去括号，括号里的加号变减号，交换两个减数的位置，再计算； ，交换中间加数和减数的位置，将分母相同的分数结合到一块再计算。 【解答】 33．计算下面各题，能简算的要简算。                   【答案】；； ；14 【分析】（1）分数加减法简便计算就是将同分母分数先相加减，即可以利用交换律，调换和的位置，再利用减法的性质减去两个数相当于减去两个数的和，再计算。 （2）就先算括号里面的减法，再算括号外面的减法，异分母分数的加减法通分转化为同分母分数加减法。 （3）分数加减法简便计算就是将同分母分数先相加减，利用加法的交换律和结合律， （4）利用减法的性质，减去两个数，相当于减这两个数的和。 【解答】 ＝14 34．用简便方法计算。                   【答案】0；； 0；0；2 【分析】根据减法的性质，减去两个数相当于减去这两个数的和； 分数的简便计算，先将同分母分数相加减，即可以利用交换律，将换到前面，注意再在交换位置时，要将数字前面的运算符号一起换位置； 先将括号去掉，由于括号前面是减号，去掉括号时，要将括号里面的减号变成加号； 根据减法的性质，减去两个数相当于减去这两个数的和； 将利用交换律和结合律将同分母分数先相加，即可简便计算； 连加时，利用加法的交换律和结合律将同分母分数先相加即可简便计算。 【解答】 35．计算下面各题（能简算的要用简便方法计算）。                                             【答案】；；0 ；； 【分析】（1）按照从左往右的顺序计算； （2）根据“带符号搬家”将式子进行变形，进行简便计算； （3）根据减法的性质进行简便计算； （4）按照从左往右的顺序计算； （5）先计算括号里的减法，再算括号外的减法； （6）先计算括号里的减法，再算括号外的加法。 【解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝0 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ ＝ （6） ＝ ＝ ＝ ＝ 突破题型十解分数加减法方程 36．解方程。                  【答案】；； 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时加上，求出方程的解； （2）方程两边同时减去，求出方程的解； （3）方程两边先同时加上，再同时减去，求出方程的解。 【解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 37．解方程。 ＋x＝       －x＝     2x－97＝34.2 【答案】x＝；x＝；x＝65.6 【分析】（1）根据等式的基本性质，方程两边同时减去即可； （2）根据减数＝被减数－差可知x＝－，进一步解方程即可； （3）根据等式的基本性质，方程两边先同时加上97，再同时除以2即可。 【解答】＋x＝ 解：x＝－ x＝－ x＝ －x＝ 解：x＝－ x＝－ x＝ 2x－97＝34.2 解：2x＝34.2＋97 2x＝131.2 x＝131.2÷2 x＝65.6 38．解方程。 x＋＝          －x＝         4x－＝0.4 【答案】x＝；x＝；x＝0.225 【分析】x＋＝，根据等式的性质1，方程两边同时减去即可。 －x＝，根据等式的性质1，方程两边同时加上x，再同时减去即可。 4x－＝0.4，把分数化成小数，＝0.5，方程化为：4x－0.5＝0.4，再根据等式的性质1，方程两边同时加上0.5，再根据等式的性质2，方程两边同时除以4即可。 【解答】x＋＝ 解：x＋－＝－ x＝－ x＝ －x＝ 解：－x＋x－＝－＋x x＝－ x＝－ x＝ 4x－＝0.4 解：4x－0.5＝0.4 4x－0.5＋0.5＝0.4＋0.5 4x＝0.9 4x÷4＝0.9÷4 x＝0.225 39．求未知数x。                        【答案】；； 【分析】（1）根据等式的性质1，方程两边同时加上，即可求解。 （2）根据等式的性质1，方程两边同时减去，即可求解。 （3）根据等式的性质1，方程两边同时减去0.1，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2，即可求解。 【解答】 解： 解： 解： 专题八折线统计图 突破题型一单式折线统计图的认识及特点 1．如图三幅图分别描述三个故事，这三幅图对应的故事正确的是（    ）。 A．龟兔赛跑、司马光砸缸、乌鸦喝水 B．乌鸦喝水、司马光磁缸、龟兔赛跑 C．司马光砸缸、龟兔赛跑、乌鸦喝水 D．乌鸦喝水、龟兔赛跑、司马光砸缸 【答案】A 【分析】根据龟兔赛跑的成语故事，司马光砸缸，乌鸦喝水的故事分析哪幅图符合故事，进行解答。 【解答】第一幅图有两条线，说明是两种事物，根据龟兔赛跑的故事，兔子中途休息，符合龟兔赛跑的图； 第二幅图从线条可以看出，表示的事物越来越少。司马光砸缸说明缸里的水是越来越少，符合司马光砸缸的图； 第三幅图从线条可以看出，表示事物先上升，后下降，乌鸦喝水是先让水升高，喝完水后水面下降，符合乌鸦喝水的图。 故答案为：A 2．星期天，张丽从家出发去超市购物后再返回。下图表示在这段时间里她离家距离的变化情况。下面说法错误的是（    ）。 A．张丽家距离超市1200米 B．张丽从家到超市用时15分钟 C．张丽在超市购物用时25分钟 D．张丽从超市到家用时50分钟 【答案】D 【分析】根据统计图，纵轴表示离家距离，横轴表示时间，那么当离家距离最远的时候，说明达到超市，离家距离不变的时候，则是在超市购物，刚开始的时候离家距离逐渐增加，说明是去超市的路上，后面离家距离逐渐减少，说明是回家得路上，据此分别求出张丽家与超市的距离，张丽家到超市的用的时间；张丽在超市购物用的时间，以及张丽从超市到家用的时间，进而解答。 【解答】A．张丽家距离超市1200米，原题干说法正确。 B．张丽从家到超市用时15分钟，原题干说法正确。 C．40－15＝25（分钟） 张丽在超市购物用时25分钟，原题干说法正确。 D．50－40＝10（分钟） 张丽从超市到家用时10分钟，原题干说法错误。 星期天，张丽从家出发去超市购物后再返回。下图表示在这段时间里她离家距离的变化情况。说法错误的是张丽从超市到家用时50分钟。 故答案为：D 3．下图是小明一次生病期间体温情况统计图。 下面表述错误的是（    ）。 A．5月8日6时，小明的体温是三天中最高的。 B．小明每隔6小时量一次体温。 C．5月8日6时到5月9日6时，小明的体温较高。 D．5月10日18时后，小明的体温不会超过37℃。 【答案】D 【分析】根据折线统计图的走势，5月8日6时体温是最高的，5月8日6时到5月9日6时，小明的体温较高。再根据折线统计图横轴上的测量时间可知，小明每隔6小时量一次体温。小明5月10日的体温时而超过37℃，时而低于37℃，那么不能准确推断5月10日18时后小明的体温。 【解答】A．5月8日6时，小明的体温是39.5℃，是三天中最高的。原说法正确； B．小明每隔6小时量一次体温。原说法正确； C．5月8日6时到5月9日6时，小明体温都在38℃以上，体温较高。原说法正确； D．5月10日18时后，不能保证小明的体温不会超过37℃。原说法错误。 故答案为：D 4．“早穿棉袄午穿纱，抱着火炉吃西瓜”是对我国大西北沙漠地区气候特点的形象化写照，主要指新疆地区一天中昼夜温差大。这句话对应的早、午、晚三个时刻的气温变化情况统计图是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从折线统计图中可知：横轴表示时间，纵轴表示气温,记录了从8时（早上）到14时（中午）再到20时（晚上）气温变化的过程。从题意可知：新疆地区一天的气温很冷（早上）、很热（中午）、很冷（晚上），昼夜温差很大。通常气温低于10摄氏度才需要穿棉袄，高于20摄氏度才适合穿纱。因此可判断A、C、D都不符合题意，只有B符合题意。据此解答。 【解答】 A．晚上气温最高，该选项不符合题意。 B．早晚气温都很低，中午气温很高，该选项符合题意。 C．一天的气温都很高，都是可以穿纱吃西瓜，该选项不符合题意。 D．一天的气温都很底，都是需要穿棉袄，该选项不符合题意。 故答案为：B 突破题型二复式折线统计图的认识及特点 5．《中国居民膳食指南》建议成年人每天进行累计相当于6000步以上的身体活动。如图是甲、乙两人某周的微信步数统计图，下列描述正确的是（    ）。 A．甲坚持运动，是运动达人。 B．乙从不运动，喜欢宅在家。 C．乙偶尔锻炼，三天打鱼两天晒网。 D．甲偶尔锻炼，三天打鱼两天晒网。 【答案】D 【分析】观察复式折线统计图，虚线表示甲某周的微信步数，实线表示乙某周的微信步数；实线一直在虚线的上方，且数据比较稳定，说明乙坚持锻炼；虚线起伏较大，即甲每天的步数变化比较大，说明甲偶尔锻炼。 【解答】A．乙坚持运动，是运动达人，原描述错误； B．甲偶尔运动，喜欢宅在家，原描述错误； C．乙坚持锻炼，甲偶尔锻炼，原描述错误； D．甲偶尔锻炼，三天打鱼两天晒网，原描述正确。 故答案为：D 6．甲、乙两人参加某体育项目训练，为了便于成绩分析，把最近五次训练的成绩分别用实线和虚线连接（如图），下面结论错误的是（    ）。 A．乙的第二次成绩与第五次成绩相同 B．第四次测试甲的成绩比乙的成绩多2分 C．五次测试甲的总成绩比乙的总成绩高 【答案】C 【分析】A．观察折线统计图，虚线表示乙的成绩，找到乙的第二次和第五次成绩，比较即可； B．在统计图中，找到第四次甲和乙的测试成绩，用甲的成绩－乙的成绩即可； C．分别将甲和乙五次测试成绩相加，求出甲和乙的总成绩，比较即可。 【解答】A．乙的第二次成绩是14分，第五次成绩是14分，14＝14，乙的第二次成绩与第五次成绩相同，说法正确； B．14－12＝2（分），第四次测试甲的成绩比乙的成绩多2分，说法正确； C．甲的总成绩：10＋13＋12＋14＋16＝65（分） 乙的总成绩：13＋14＋12＋12＋14＝65（分） 65＝65 五次测试甲的总成绩和乙的总成绩相同，选项说法错误。 结论错误的是五次测试甲的总成绩比乙的总成绩高。 故答案为：C 7．下图是“某市连续七天的日夜平均气温统计图”，从图中可知，日夜平均气温相差最小的是（    ）日。 A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】C 【分析】观察统计图，同一日期，两个数据点相距越近表示气温相差越小，据此分析。 【解答】从图中可知，日夜平均气温相差最小的是22日。 故答案为：C 【点评】折线统计图不仅能看清数量的多少，还能通过折线的上升和下降表示数量的增减变化情况。复式折线统计图表示2个及以上的量的增减变化情况。 8．在A、B、C、D、E五个地点，分别测量了同一天上午9时到下午5时每小时的气温。为将A地的气温与其他四地的气温比较。制作了4张折线统计图。观察下面四幅图，同时满足下面两个条件的是（    ）。 ①A地和另一地在上午9时到下午2时气温都持续上升，在下午2时到下午5时都持续下降； ②从上午9时到下午5时，A地的气温有时比另一地高，有时比另一地低。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题目给出的两个条件，逐项分析，找到同时满足两个条件的统计图。 【解答】A．从上午9时到下午5时，A地的气温都比B地的气温高，不满足条件②，不符合题意； B．同时满足条件①②，符合题意； C．从下午2时到下午5时，D地的气温还在持续上升，不满足条件①，不符合题意； D．不满足条件①②，不符合题意。 故答案为：B 【点评】本题考查复式折线统计图的认识，以及学会从统计图中获取信息，并根据所获取的信息解决有关实际问题。 突破题型三统计图的选择（折线统计图） 9．下面适合用折线统计图表示的是（    ）。 A．小林0~18岁身高变化情况 B．阳光小学五年级各班人数情况 C．学校图书馆各类图书数量情况 D．甲、乙、丙、丁四个城市三月份平均气温情况 【答案】A 【分析】条形统计图以直条长短清晰表示各数据大小，无需复杂转换或计算，一眼就能判断数量多少；折线统计图能通过折线的上升或下降，清晰直观地展现数据是增加还是减少，通过折线统计图可一目了然看出走势。 【解答】A．小林0~18岁身高变化，需体现随时间推移身高的增减变化趋势，折线统计图通过连接数据点形成折线，能直观清晰地展示这种变化，所以该情况适合用折线统计图； B．阳光小学五年级各班人数，重点在于直观呈现各班人数具体数值的多少，条形统计图以直条长短表示数量，在比较数量多少方面更具优势，因此该情况适合条形统计图而非折线统计图。 C．学校图书馆各类图书数量，主要是对比不同类别图书数量的多少，条形统计图能清晰展示数量差异，更契合此需求，不适合用折线统计图。 D．四个城市三月份平均气温，是要对同一时间不同城市的气温数值进行比较，条形统计图在呈现数量多少对比上更清晰明了，所以该情况更适合条形统计图 。 故答案为：A 10．要在一幅统计图中反映甲城市和乙城市2020年7～12月降水量的变化情况，应选择（    ）。 A．条形统计图 B．折线统计图 C．统计表 D．无法确定 【答案】B 【分析】条形统计图可以清楚地看出数量的多少。 折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 【解答】要在一幅统计图中反映甲城市和乙城市2020年7～12月降水量的变化情况，应选择折线统计图。 故答案为：B 11．2024年巴黎奥运会开幕在即，需统计各项信息，下面适合用折线统计图表示的是（    ）。 ①参加田赛、径赛、游泳比赛的运动员人数。    ②历届奥运会中国金牌数。 ③短跑运动苏炳添最近10次训练成绩。    ④上一届运动会中国、美国等国金牌数。 A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①② 【答案】B 【分析】折线统计图主要反映数据的变化趋势，条形统计图反映数据的大小，扇形统计图不仅能反映数据的大小，还能反映部分数量与总数量之间的关系。据此逐项分析即可。 【解答】①参加田赛、径赛、游泳比赛的运动员人数用条形统计图； ②历届奥运会中国金牌数用折线统计图； ③短跑运动苏炳添最近10次训练成绩用折线统计图； ④上一届运动会中国、美国等国金牌数用条形统计图。 因此②③适合用折线统计图表示 故答案为：B 12．下面的信息不适合用折线统计图表示的是（    ）。 A．漳平市2015－2022年生活用水量变化情况 B．某校6－14岁男生、女生平均身高变化情况 C．漳平市2015－2022年国民生产总值变化情况 D．某学校五年级学生“五一”访友、旅游、休息、其他度假方式 【答案】D 【分析】条形统计图可以清楚地看出数量的多少。 折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 【解答】A．漳平市2015－2022年生活用水量变化情况，适合用折线统计图表示； B．某校6－14岁男生、女生平均身高变化情况，适合用折线统计图表示； C．漳平市2015－2022年国民生产总值变化情况，适合用折线统计图表示； D．某学校五年级学生“五一”访友、旅游、休息、其他度假方式，适合用条形统计图表示，不适合用折线统计图表示。 故答案为：D 突破题型四单式折线统计图中提出数据并解决问题 13．下面是某旅游景区接待游客情况统计图    （1）该景区全年有两次旅游高峰，一次在（ ）月，另一次在（ ）月。这两个月该景区共接待游客（ ）万人。 （2）该景区全年接待游客的月平均人数是（ ）万，比月平均人数少的月份有（ ），比平均人数多的月份有（ ）。 （3）游客数量最多的月份比游客数量最少的月份多（ ）万人。 【答案】（1）5 10 19 （2）5 1月、2月、7月、8月、11月、12月 4月、5月、6月、10月 （3）9 【分析】（1）观察统计图中，折线的最高点表示接待游客人数最多的月份，比最高点位置稍微低一点的位置即是接待游客人数第二多的月份，这两个月即是全年的两次旅游高峰；将这两个月该景区接待游客人数相加即可得解。 （2）用该景区全年接待游客的人数除以12，即可求出该景区全年接待游客的月平均人数是5万人；再观察统计图，找到比月平均人数少的月份和比平均人数多的月份即可得解。 （3）观察统计图，游客数量最多的月份是10月，数量是10万人，游客数量最少的月份是12月，数量是1万人，用游客数量最多的月份的人数减去游客数量最少的月份的人数即可得解。 【解答】（1）9＋10＝19（万人） 即该景区全年有两次旅游高峰，一次在5月，另一次在10月。这两个月该景区共接待游客19万人。 （2）3＋2＋5＋8＋9＋6＋4＋4＋5＋10＋3＋1＝60（万人） 60÷12＝5（万人） 即该景区全年接待游客的月平均人数是5万，比月平均人数少的月份有1月、2月、7月、8月、11月、12月，比月平均人数多的月份有4月、5月、6月、10月。 （3）10－1＝9（万人） 即游客数量最多的月份比游客数量最少的月份多9万人。 【点评】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 14．下面是护士为一位病人测量体温的统计图。    （1）这是一幅（ ）统计图，护士每隔（ ）小时给该病人量一次体温。 （2）这位病人的最高体温是（ ），最低体温是（ ）。 （3）病人的体温在哪一段时间里下降最快？（ ） （4）病人在哪一段时间体温比较稳定？（ ） （5）从体温上观察，这位病人的病情是好转还是恶化？（ ） 【答案】（1）折线 6 （2）39.5℃ 36.8℃ （3）5月8日0时—6时 （4）5月8日6时—5月9日12时 （5）好转 【分析】（1）该图不但能表示出数量的多少，而且能清楚的表示出数量增减变化的情况，所以这是一幅折线统计图。观察折线统计图横轴所表示的时间，两个时间之间相隔都是6小时，据此可得出护士给病人测量一次体温的间隔时间。 （2）折线最高点的位置即是这位病人的最高体温，折线最低点的位置即是这位病人的最低体温。 （3）哪一段的折线下降的斜度最大就代表下降的最快。 （4）折线比较平稳就表示体温比较稳定。 （5）人的正常体温是37℃，若病人的体温在37℃左右则说明病情好转，据此解答即可。 【解答】（1）这是一幅折线统计图，护士每隔6小时给该病人量一次体温。 （2）这位病人的最高体温是39.5℃，最低体温是36.8℃。 （3）病人的体温在5月8日0时—6时这段时间里下降最快。 （4）病人在5月8日6时—5月9日12时这段时间里体温比较稳定 （5）人的正常体温是37℃，从体温上观察，病人后来的体温稳定在这一水平线上，说明这位病人的病情是在好转。 【点评】本题考查折线统计图，通过统计图分析出相应的数据是解题的关键。 15．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路畅通或拥堵的概念。其指数在100 以内为畅通，200以上为严重拥堵，从某市交通指挥中心选取了6月1日至14日的交通状況，依据交通指数数据绘制的折线统计图如下。 （1）这14天中交通畅通和严重拥堵的各是哪几天？ （2）6月1日至14日中交通严重拥堵的天数占总天数的（    ）。 （3）看了上面的统计图，你有什么想法？ 【答案】（1）交通畅通：6月1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日；严重拥堵：6月5日、8日 （2） （3）见详解 【分析】（1）分别找出指数在100 以内和200以上的日期即可； （2）将总天数看作单位“1”，严重拥堵的天数÷总天数＝交通严重拥堵的天数占总天数的几分之几； （3）答案不唯一，可以从缓解交通压力的角度提出合理的想法。 【解答】（1）这14天中交通畅通的是：6月1日、6月2日、6月3日、6月7日、6月12日、6月13日、6月14日；严重拥堵的是：6月5日、6月8日。 （2）2÷14＝＝ 6月1日至14日中交通严重拥堵的天数占总天数的。 （3）交通拥堵时应增加交警警力指挥。（答案不唯一） 16．下面是我国某地区20年来污水处理厂的数量统计图。 看统计图表回答问题： （1）1984年该地区有污水处理厂（ ）个，2004年有污水处理厂（ ）个，这20年来新建了（ ）个污水处理厂。 （2）该地区从（ ）年到（ ）年，新建污水处理厂最多。 （3）从2000年到2004年，平均每年新建（ ）个污水处理厂。 【答案】（1）1 95 94 （2）1996 2000 （3）5 【分析】（1）根据图示，1984年对应污水处理厂1个，2004年有污水处理厂95个。新建的数量就是2004年的数量减去1984年的数量，即95－1＝94（个） （2）根据图示，1984—1988年新建污水处理厂8－1＝7（个）； 1988年—1992年新建污水处理厂19－8＝11（个）； 1992—1996年新建污水处理厂36－19＝17（个）； 1996—2000年新建污水处理厂75－36＝39（个）； 2000—2004年新建污水处理厂95－75＝20（个）； 综上区间数据1996年—2000年新建污水处理厂最多。 （3）根据图示2000—2004年新建污水处理厂20个，求平均数，即用污水处理厂总数÷（2004－2000），据此解答。 【解答】（1）1984年该地区有污水处理厂1个，2004年有污水处理厂95个，这20年来新建了94个污水处理厂。 （2）该地区从1996年到2000年，新建污水处理厂最多。 （3）20÷（2004－2000） ＝20÷4 ＝5（个） 从2000年到2004年，平均每年新建5个污水处理厂。 突破题型五复式折线统计图中提出数据并解决问题 17．下面是某小学2018－2024年体检患龋齿人数情况统计图，根据统计图回答问题。 （1）（ ）年男生患龋齿的人数最少，（ ）年女生患龋齿的人数最少。 （2）男、女生患龋齿人数最多的是（ ）年，一共（ ）人。 （3）从总体上看，男、女生患龋齿的人数呈（ ）趋势。女生从（ ）年到（ ）年患龋齿的人数出现了回升。男生患龋齿的人数出现了（ ）次回升。 【答案】（1）2023 2024 （2）2018 157 （3）下降 2020 2022 2 【分析】（1）先找出实线的最低点，就是男生患龋齿的人数最少的年份，再找出虚线的最低点，就是女生患龋齿的人数最少的年份，； （2）找出这两条线的最高点，就是这一年男生、女生患龋齿的人数最多的年份，再把它们的人数相加即可； （3）根据折线的总体变化趋势，从总体上看，男、女生患龋齿的人数呈下降趋势；女生患龋齿的人数从2020到2022年出现了回升，男生患龋齿的人数在2020到2021年、2023年到2024年分别出现了回升，据此解答。 【解答】（1）2023年男生患龋齿的人数最少，2024年女生患龋齿的人数最少。 （2）76＋81＝157（人） 男、女生患龋齿人数最多的是2018年，一共157人。 （3）从总体上看，男、女生患龋齿的人数呈下降趋势。女生从2020年到2022年患龋齿的人数出现了回升。男生患龋齿的人数出现了2次回升。 18．随着短视频的兴起，王阿姨也跟随潮流制作了一条短视频，并发布在某视频平台，吸引了很多人观看。她根据后台数据，统计了视频发布后一段时间内每日的浏览量与点赞量的变化情况，如下图。 （1）王阿姨的这条视频（ ）日的浏览量最多，（ ）日的点赞量与浏览量相差最多，（ ）日的点赞量与浏览量相差最小。 （2）这条视频的点赞量（ ）日至（ ）日呈上升趋势，（ ）日至（ ）日呈下降趋势。 【答案】（1）11 9 14 （2）5 10 10 15 【分析】折现统计图既可以表示数量的多少，又可以表示数量的变化情况。横轴代表日期，纵轴代表次数。 （1）图中虚线代表点赞量，实线代表浏览量，根据对应点的高低可以知道点赞量/浏览量的多与少，点赞量与浏览量两组数据的对应点距离越远，差值越大，距离越近，差值越小； （2）根据折线的走向判断数据的变化情况，折线向上弯折则呈上升趋势，折线向下弯折则呈下降趋势。 【解答】（1）观察实线，11日对应浏览量的最高点191次，9日浏览量和点赞量对应点相距最远，14日浏览量和点赞量对应点重合。 所以，王阿姨的这条视频11日的浏览量最多，9日的点赞量与浏览量相差最多，14日的点赞量与浏览量相差最小。 （2）观察虚线，从5日到10日折线走向向上弯折，10日到15日折线走向向下弯折。 所以，这条视频的点赞量5日至10日呈上升趋势，10日至15日呈下降趋势。 19．如图是中国和日本在第 28－33届奥运会中获金牌数情况。 （1）中国和日本第（    ）届奥运会金牌数最接近，相差（    ）枚。 （2）中国和日本第（    ）届奥运会金牌数相差最多，相差（    ）枚。 （3）从统计图中，你还获得了哪些信息？ 【答案】（1）32；11 （2）29；39 （3）见详解 【分析】（1）观察复式折线统计图，两数据点相距越近，表示金牌数越接近，求差即可； （2）观察复式折线统计图，两数据点相距越远，表示金牌数相差越多，求差即可； （3）答案不唯一，可以根据统计图中的数据，叙述合理正确即可。 【解答】（1）38－27＝11（枚） 中国和日本第32届奥运会金牌数最接近，相差11枚。 （2）48－9＝39（枚） 中国和日本第29届奥运会金牌数相差最多，相差39枚。 （3）答：第33届奥运会，中国和日本获得金牌数相差20枚。（答案不唯一） 20．下面是两个服装店2023年的销售情况统计图。 （1）从图上看，（    ）月是销售服装的淡季。 （2）下半年，销售增长较稳定的是（    ）服装店。 （3）9—10月份，红星服装店的销售量比红光服装店多几分之几？ 【答案】（1）5—6 （2）红星 （3） 【分析】（1）要找出销售服装的淡季月份，就需要从图表中找到销量最低的月份即可； （2）下半年是指7—12月份，从图中可知，红星服装店7—8月份销售250件， 9—10月份销售400件， 11—12月份销售510件；红光服装店7—8月份销售300件， 9—10月份销售250件， 11—12月份销售580件；从数据可知，红星服装店的销售量逐步增长，而红光服装店在9—10月份销量比7—8月份少，因此，可判断销售增长较稳定的是红星服装店； （3）9—10月红星服装店销售400件，红光服装店销售250件，用减法求出多出的件数。要求红星服装店的销售量比红光服装店多几分之几，就用多的件数除以红光服装店销售的件数；据此解答即可。 【解答】（1）由图可知： 在5～6月，红星服装店销售了100件，红光服装店销售了200件，都是全年中销量最低的月份。 因此，从图上看，5～6月是销售服装的淡季。 （2）由分析可知： 下半年，销售增长较稳定的是红星服装店。 （3）（400－250）÷250 ＝150÷250 ＝ 答：9—10月份，红星服装店的销售量比红光服装店多。 突破题型六补全单式折线统计图并解决问题 21．某超市2023年第二季度第一周平均营业额统计表如下。（单位/万元） 星期 一 二 三 四 五 六 日 营业额 15 13 14 15 18 26 28 （1）根据上表中的数据，完成下面的折线统计图。 某超市2023年第二季度第一周平均营业额统计图 （2）如果将连续4周的每日营业额画成折线统计图，你估计折线的起伏会是怎样的？ （3）如果你是超市经理，这张折线统计图对你有什么帮助？ 【答案】（1）见详解 （2）起伏会很大 （3）见详解 【分析】（1）结合统计表中的数据，先在图中描出各点，再把各点用线段顺次连接起来，完成折线统计图的绘制。 （2）观察这一周平均营业额的变化，推导出连续4周的每日营业额的折线统计图的折线起伏变化。 （3）结合折线统计图，得出这张折线统计图对自己的帮助，合理即可。 【解答】（1）如下图： （2）如果将连续4周的每日营业额画成折线统计图，数据变化大，估计折线的起伏会很大。 （3）如果我是超市经理，我会根据这张折线统计图在星期五～星期日多进货，因为这三天的营业额高。（答案不唯一） 22．某汽车销售店2021年至2024年销售情况如下表。 年份 2021 2022 2023 2024 数量（辆） 550 750 1500 1800 （1）根据上表的数据，把下面的折线统计图补充完整。 （2）在相邻年份中，销量增长最多的是（______年到______年）。   （3）这四年的平均销量有（    ）辆。 （4）整体上看，其销售情况的趋势怎样？ 【答案】（1）见详解 （2）2022；2023 （3）1150 （4）上升趋势 【分析】（1）根据统计表的数据，绘制完整的折线统计图。 （2）分别求出相邻年份销量差，即可解答。 （3）根据平均数＝总数÷数据个数，代入数据计算即可。 （4）根据折线统计图的销售走向进行解答。 【解答】（1） （2）750－550＝200（辆） 1500－750＝750（辆） 1800－1500＝300（辆） 销量增长最多是2022年到2023年。 在相邻年份中，销量增长最多的是2022年到2023年。 （3）（550＋750＋1500＋1800）÷4 ＝（1300＋1500＋1800）÷4 ＝（2800＋1800）÷4 ＝4600÷4 ＝1150（辆） 这四年的平均销量有1150辆。 （4）观察统计图可知，整体上看，其销量是呈上升趋势。 23．下面是某小学五年级学生2019年到2023年近视情况统计表。 某小学五年级学生2019年到2023年近视情况统计表 年份 2019 2020 2021 2022 2023 近视学生数（人） 61 70 85 92 80 （1）要反映从2019年到2023年近视学生人数变化情况，用哪种统计图合适？请你绘制出来。 （2）请描述该校五年级学生近五年近视学生人数的变化情况。 （3）请你预测一下，2024年该校五年级近视学生人数，并分析原因。 【答案】（1）折线统计图；画图见详解 （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；据此可知描述该校五年级学生近五年近视学生人数的变化情况选择折线统计图；根据统计表完成折线统计图。 （2）依据折线统计图的变化趋势去解答； （3）依据折线统计图的变化趋势去解答。（答案不唯一） 【解答】（1）描述该校五年级学生近五年近视学生人数的变化情况选择折线统计图； 如图： （2）该校五年级学生近五年近视学生人数2019年到2022年呈上升趋势，2022年到2023年呈下降趋势。 （3）2024年该校五年级近视学生人数可能是75人，因为从2022年开始呈下降趋势。（答案不唯一） 突破题型七补全复式折线统计图并解决问题 24．如表分别是小红和小英两位同学5次跳绳（每次1分钟）情况的统计表和统计图。 小红5次跳绳情况统计表 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下数（下） 120 113 130 120 135 （1）根据统计表的数据，请在如图的统计图中画出表示小红跳绳情况的折线。 （2）看图解答下面的问题：小英平均每次跳绳多少下？ 【答案】（1）见详解 （2）121下 【分析】（1）根据统计表中小红跳绳的情况多少，先在图中描出各点，然后用线段顺次把各点连接起来即可。 （2）用小英5次跳的下数之和除以5即可解答。 【解答】（1）如下图所示： （2）（115＋113＋120＋127＋130）÷5 ＝605÷5 ＝121（下） 答：小英平均每次跳绳121下。 25．某地2022年上半年每月降水量和2023年上半年每月降水量情况如下表。 （1）根据上表中的数据制成复式折线统计图。 （2）看图回答问题。 ①2022年几月份的降水量最多？几月份的降水量最少？2023年呢？ ②2023年6月份的降水量是2022年同期的几分之几？ ③2023年上半年月平均降水量比2022年上半年月平均降水量增加了多少毫米？ 【答案】（1）图见详解 （2）①6月；1月；3月；1月；②；③8.5毫米 【分析】（1）根据统计表中的数据，分别描出两组数据的各点，并根据图例把各点用线段顺次连接起来，完成复式折线统计图的绘制。 （2）①观察复式折线统计图中两条折线的变化，实线的最高点表示2022年这个月的降水量最多，实线的最低点表示2022年这个月的降水量最少；同理，虚线的最高点表示2023年这个月的降水量最多，虚线的最低点表示2023年这个月的降水量最少。 ②用2023年6月份的降水量除以2022年6月份的降水量，即是2023年6月份的降水量是2022年同期的几分之几。 ③先用加法分别求出2023年、2022年上半年的降水总量，再除以6，即是2023年、2022年月平均降水量，然后用减法求出2023年比2022年上半年月平均降水量增加的量。 【解答】（1）如下图： （2）①答：2022年6月份的降水量最多，1月份的降水量最少。2023年3月份的降水量最多，1月份的降水量最少。 ②34÷40＝ 答：2023年6月份的降水量是2022年同期的。 ③（17＋23＋50＋48＋32＋34）÷6 ＝204÷6 ＝34（毫米） （10＋12＋23＋30＋38＋40）÷6 ＝153÷6 ＝25.5（毫米） 34－25.5＝8.5（毫米） 答：2023年上半年月平均降水量比2022年上半年月平均降水量增加了8.5毫米。 26．为了参加学校组织的一分钟跳绳比赛，张军和李明每天都进行跳绳训练。他们俩把自己一周以来的每天测试成绩都记录下来，如下表。 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 张军1分钟跳绳个数 115 100 140 120 200 95 185 李明1分钟跳绳个数 100 125 130 130 145 160 185 （1）根据统计表中的数据，绘制下面的复式折线统计图。 （2）张军和李明两人成绩差距最大的是星期（    ），相差（    ）个。 （3）如果在张军和李明之间挑选一人代表班级参加学校跳绳比赛，你会选（    ），你选择的理由是：（    ）。 【答案】（1）见详解；（2）六；65；（3）李明；李明的成绩逐渐上升，张军的成绩不稳定 【分析】（1）实线表示张军跳绳的情况，虚线表示李明表示跳绳的情况，据此根据表格描点，再依次连线即可。 （2）观察哪一天的两个描点相差最大，则对应的一天成绩相差最大，用减法求出相差的个数，据此解答。 （3）李明的成绩逐渐上升，张军的成绩不稳定，所以选择李明参加比赛比较合适。 【解答】（1）如图： （2）通过观察可知，星期六两人的成绩相差最大， 160－95＝65（个） 张军和李明两人成绩差距最大的是星期六，相差65个。 （3）选择李明参加比赛比较合适，因为李明的成绩逐渐上升，张军的成绩不稳定。 专题九数学广角—找次品 突破题型一求至少称多少次找出次品 1．有9瓶口香糖，其中1瓶少了几片，另外8瓶质量相同。如果用天平称，至少称（ ）次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 【答案】2 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【解答】将9瓶口香糖分成（3、3、3），称其中的（3、3），无论平衡不平衡都可确定较轻的在其中3瓶中；将3瓶分成（1、1、1），称其中的（1、1），无论平衡不平衡都可确定较轻的1瓶，共2次。 至少称2次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 2．小黄买了10盒牛奶片，其中1盒少了4片。至少要称（ ）次才能保证找出这盒质量不足的牛奶片。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【解答】将10盒牛奶片分为三组，分别为3盒、3盒和4盒。 第一次称重：选择两组各3盒的牛奶片进行称重。 情况A：如果两边平衡，则说明其中的6盒牛奶片都是正常的，少了4片的那盒牛奶片一定在未被称重的那组4盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少了4片的那盒牛奶片一定在较轻的那组3盒里。 第二次称重： ①对于情况A，从未称重的4盒牛奶片中分为两组各2盒，然后进行称重。较轻的那组2盒里就有少了4片的那盒牛奶片。 ②对于情况B，从已经确定包含次品的那组3盒牛奶片中取出2盒进行称重。如果两边平衡，说明未被称重的那1盒是少了4片的；如果不平衡，较轻的那1盒就是少了4片的。 第三次称重： ①对于情况A中确定的那组2盒牛奶片，再次将这两盒放在天平的两端，较轻的那一盒就是少了4片的。 因此，至少称3次才能保证找出这盒质量不足的牛奶片。 3．端午节，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称（ ）次才能保证找到这个轻一些的粽子。 【答案】3 【分析】称第一次：把15个分成（5，5，5），天平两边各放5个，出现两种情况：平衡，轻一点的粽子在未称的5个里面；不平衡，轻一些的粽子在天平翘的高的那一端； 称第二次：把5个分成（2，2，1），天平两边各放2个，出现的情况：平衡，轻一些的粽子就是未称的粽子；不平衡，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端； 称第三次：把2个分成（1，1）天平两边各放一个，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端。 【解答】由分析可知：端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称3次才能保证找到这个轻一些的粽子。 4．茶文化是中国文化的代表之一，源远流长。某茶馆新购进茶叶20盒，其中一盒是次品，质量比其他盒稍轻，如果用天平称量找出这盒茶叶，至少需要（ ）次才能保证找出次品。 【答案】3 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】经分析得： 将20盒分成3份：6，7，7；第一次称重，在天平两边各放7盒，手里留6盒； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的6盒分为2，2，2，在天平两边各放2盒，手里留2盒， ①如果天平平衡，则次品在手里2盒中，接下来，将这2盒分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2盒中，接下来，将这2盒分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的7盒中，将这7盒分成三份：2，2，3，在天平两边各放2盒，手里留3盒， ①如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的2盒中，接下来，将这2盒分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 ②如果天平平衡，则次品在手中的3盒中，则将3盒平均分成3份：1，1，1，在天平各放1盒，手里留1盒，如果天平平衡，则次品在手里的1盒，如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的1盒中。 至少需要3次才能保证找出次品。 【点评】本题考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 突破题型二最优策略解决问题 5．现有12个乒乓球特征相同，其中只有一个比其他乒乓球略重，现在要求用一架没有砝码的天平去称，至少称（ ）次才能将这个质量异常的球找出来。 【答案】3 【分析】利用天平称重的方式，通过合理分组，逐步缩小范围，找出较重的那个乒乓球，关键在于每次分组后利用天平平衡与否确定次品所在组，从而确定最少的称重次数。 【解答】12分成（4，4，4），把任意两组的放在天平上称，可找出有次品的一组；再把有次品的一组4分成（2，2）放在天平上称，可找出有次品的一组；再把2分成（1，1），放在天平上称，可找出次品；共需3次。 所以至少称3次才能将这个质量异常的球找出来。 6．有一堆玻璃球，共有70个，其中有1个质量较轻是次品，其余的质量相等。如果用一架无砝码的天平称，至少称（ ）次就一定能找出次品。 【答案】4 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【解答】把70个玻璃小球分成3份，一份24个，其余两份23个，即（23，23，24），第一次称，天平两边各放23个，如果天平不平衡，次品就在较轻的23个中。把有次品的23个玻璃小球分成（7，8，8），第二次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那8个中。最后把有次品的8个玻璃小球分成（3，3，2），第三次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的那3个中。把这3个玻璃小球分成（1，1，1），第四次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，次品在剩下的1个中，如果天平不平衡，次品就是轻的那一个。 所以至少要称4次。 7．一箱牛奶有20瓶，其中19瓶质量相同，另外一瓶质量稍微轻一些，用没有砝码的天平至少称（ ）次就一定能找出轻的这一瓶。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【解答】将20瓶牛奶分成（7、7、6），称（7、7），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在7瓶中；将7瓶分成（2、2、3），称（2、2），平衡，次品在3瓶中；将3瓶分成（1、1、1），称其中（1、1），无论平衡不平衡都可确定次品，共3次。 用没有砝码的天平至少称3次就一定能找出轻的这一瓶。 8．有20个跳跳球，其中有一个是次品，较轻。明明把它们分成（6，6，5）三份，用无砝码天平去称，最少称（ ）次能找到这个次品。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【解答】将20个跳跳球分成（6，6，5），称（6、6），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在6个中；将6分成（2、2、2），称（2、2），无论平衡不平衡，都可确定次品在2个中；将2分成（1、1），再称一次即可确定次品，共3次。即最少称3次能找到这个次品。 突破题型三找出最佳的分组方法 9．26盒饼干，其中25盒质量相同，另有一盒少了几块。要保证用天平称3次能找到少了几块饼干的那一盒，最合理的分组方法是（ ）。 【答案】将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】经分析得： 将26盒分成3份：9，9，8；第一次称重，在天平两边各放9盒，手里留8盒； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的8盒分为3，3，2，在天平两边各放3盒，手里留2盒， ①如果天平平衡，则次品在手里2盒中，接下来，将这2盒分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中。 接下来，将这3盒分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的9盒中，将这9盒分成三份：3，3，3，在天平两边各放3盒，手里留3盒$$ 2024-2025学年五年级下册数学期末备考总复习 常考易错知识点专题突破（九大专题102个突破点） 目录 专题一观察物体（三） 6 突破题型一三视图的认识 6 突破题型二通过三视图会摆放立体图 7 突破题型三三视图的认识连线问题 8 突破题型四三视图的画法 9 突破题型五解决稍复杂的问题 11 突破题型六通过三视图还原立体图 12 突破题型七通过数字还原立体图 14 专题二因数与倍数 15 突破题型一因数和倍数的认识 15 突破题型二找一个数的因数及因数的特征 16 突破题型三找一个数的倍数及倍数的特征 16 突破题型四倍数和因数的综合应用 17 突破题型五2、5的倍数特征 18 突破题型六3的倍数特征 19 突破题型七2、5、3的倍数特征 19 突破题型八奇数和偶数的认识 20 突破题型九质数和合数的认识 21 突破题型十质数和合数的综合应用 22 突破题型十一根据因数的特征解决问题 23 突破题型十二根据倍数的特征解决问题 24 突破题型十三运算性质（奇数和偶数） 25 专题三长方体和正方体的认识及表面积 26 突破题型一长方体的认识及特征 26 突破题型二长方体有关棱长的应用 26 突破题型三长方体的展开图 27 突破题型四正方体的特征 29 突破题型五正方体有关棱长的应用 30 突破题型六正方体的展开图 30 突破题型七补全长方体的展开图 31 突破题型八补全正方体的展开图 32 突破题型九应用长方体棱长解决实际问题 33 突破题型十应用正方体棱长解决实际问题 34 突破题型十一应用长方体和正方体的展开图解决稍复杂的问题 35 突破题型十二长方体表面积的计算 36 突破题型十三正方体表面积的计算 36 突破题型十四立体图形的切拼（表面积增加问题） 37 突破题型十五立体图形的切拼（表面积减少问题） 38 突破题型十六组合体的表面积 38 突破题型十七表面涂色的正方体 39 突破题型十八组合体的表面积图形计算 40 突破题型十九运用长方体的表面积解决问题 41 突破题型二十运用正方体的表面积解决问题 42 专题四长方体和正方体的体积 43 突破题型一体积和容积的认识 43 突破题型二体积单位的认识 43 突破题型三容积单位的认识 44 突破题型四体积单位间的换算 45 突破题型五容积单位间的换算 45 突破题型六体积单位及容积单位的选择 46 突破题型七体积（容积）大小的比较 47 突破题型八长方体的体积计算 47 突破题型九正方体的体积计算 48 突破题型十组合体的体积计算 49 突破题型十一体积的等级变形 50 突破题型十二立体图形的切拼 50 突破题型十三体积与容积单位间的换算 51 突破题型十四长方体或正方体的容积 52 突破题型十五测量不规则物体的体积 53 突破题型十六解决体积有关的复杂问题 54 专题五分数的意义和性质 55 突破题型一分数的意义 55 突破题型二单位“1”的认识与确定 56 突破题型三分数与除法的关系 57 突破题型四求一个数占另一个数的几分之几 57 突破题型五真假分数及带分数的认识 58 突破题型六根据真假分数及带分数的特征组数 58 突破题型七分数的基本性质 59 突破题型八最简分数的认识 60 突破题型九分数化小数 60 突破题型十小数化分数 61 突破题型十一真假分数及带分数的互化 61 突破题型十二求最大公因数 62 突破题型十三分数的约分计算 62 突破题型十四求最小公倍数 63 突破题型十五分数的通分计算 64 突破题型十六最大公因数解决问题 64 突破题型十七最小公倍数解决问题 65 突破题型十八异分母分数的大小比较 65 专题六图形的运动（三） 66 突破题型一旋转的认识 66 突破题型二旋转三要素及旋转图形 67 突破题型三钟面上的旋转问题 69 突破题型四作旋转后的图形 70 突破题型五平移与旋转的综合 71 突破题型六运用平移、旋转和轴对称设计图案 73 专题七分数的加法和减法 74 突破题型一同分母分数加减法 74 突破题型二同分母分数加减法的简单应用 75 突破题型三异分母分数加减法 76 突破题型四异分母分数加减法的简单应用 76 突破题型五异分母分数加减混合运算 77 突破题型六异分母分数加减混合运算的简单应用 78 突破题型七牛奶兑水问题 79 突破题型八异分母分数加减法口算 80 突破题型九异分母分数加减混合运算及简便运算 80 突破题型十解分数加减法方程 82 专题八折线统计图 82 突破题型一单式折线统计图的认识及特点 82 突破题型二复式折线统计图的认识及特点 84 突破题型三统计图的选择（折线统计图） 86 突破题型四单式折线统计图中提出数据并解决问题 87 突破题型五复式折线统计图中提出数据并解决问题 90 突破题型六补全单式折线统计图并解决问题 92 突破题型七补全复式折线统计图并解决问题 93 专题九数学广角—找次品 95 突破题型一求至少称多少次找出次品 95 突破题型二最优策略解决问题 96 突破题型三找出最佳的分组方法 97 突破题型四画出或补全流程图 98 突破题型五根据称的次数反求物体的数量 99 专题一观察物体（三） 突破题型一三视图的认识 1．下图中，从( )面看到的图形是相同的。 和 2．观察物体，从( )面看到的是，从( )面看到的是，从( )面看到的是。 3．搭一搭，填一填。 从正面看到的图形是的有( )。从左面看到的图形是的有( )。 4．把17个小正方体拼摆在一起（如下图）。从不同角度观察，得到下面右面四种不同的图形。 (1)图①是从( )面看到的。 (2)图②是从( )面看到的。 (3)图③是从( )面看到的。 (4)图④是从( )面看到的。 突破题型二通过三视图会摆放立体图 5．一个几何体，从前面看是，从左面看是，搭成这样的几何体，最少用( )个小正方体，最多用( )个小正方体。 6．一个用同样的小正方体搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的如图所示，搭成几何体用了( )个小正方体。 7．一个几何体从正面和上面都是从左面是摆这个几何体需要( )个小正方体。 8．用同样大小的小正方体搭成一个立体图形，从上面和前面看到的形状都是，搭成这个立体图形，最少需要( )个小正方体。 突破题型三三视图的认识连线问题 9．观察下面的几何体，连一连从不同方向看到的图形。 10．连一连。 11．下图分别是从哪面看到的？连一连。 12．下边的三个图形分别是从什么方向观察得到的，连一连。 突破题型四三视图的画法 13．分别画出从前面、上面、左面看到的图形。 14．我会画。 在方格图中画出从正面和左面看到的图形。 15．画出左下边图形从三个角度分别看到的形状。 16．请在方格纸上画出下面几何体从前面、左面和上面看到的图形。 突破题型五解决稍复杂的问题 17．一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是。 （1）它可能是下面哪一个呢？在合适的图形下面画“√”。 （2）按题目的要求搭小正方体，最多能用（    ）个小正方体。 18．用10个棱长1厘米的小正方体拼在一起如下图。 （1）画出从正面和左面看到的图形。 （2）要保证从上面看到的图形不变，最多可以拿走（    ）个小正方体。 19．下面是用小正方体搭建的一些几何体。    （1）从正面看到的是的有（    ），从侧面看到的是的有（ ），从上面看到的是的有（    ）。 （2）如果从正面看到的和⑥一样，用4个小正方体摆一摆，有多少种不同的摆法？ 20．曲米在桌子上摆了一个由若干个同样的小正方体组成的几何体，从上面看到的图形是，从左面看到的图形是。曲米摆出的这个几何体最少需要几个小正方体？最多需要几个小正方体？ 突破题型六通过三视图还原立体图 21．乐乐用6个同样的小正方体搭了一个几何体，从正面和左面看到的分别是和。乐乐搭的几何体可能是（    ）。 A． B． C． 22．用5个正方体搭成一个几何体，从正面看是，从上面看是，从右面看是，这个几何体是（    ）。 A． B． C． D． 23．由8个搭成的立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个立体图形是（    ）。 A． B． C． D． 24．5个同样的小正方体摆一个立体图形，使它从上面看到的图形如图所示。正确的摆法是（    ）。 A． B． C． 突破题型七通过数字还原立体图 25．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示这个位置上所用小正方体的个数）。这个几何体从左面看是（    ）。 A． B． C． D． 26．一个几何体从上面看到的形状是，小正方形上面的数字表示在这个位置上所摆小正方体的个数，那么这个几何体从左面看到的是（    ）。 A． B． C． D． 27．由一些大小相同的小正方体组成的几何体，从上面看到的形状如图，（其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数）则从正面看到（    ）号图形，从右面看到（    ）号图形。 A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 28．小明用若干个同样的小正方体搭一个几何体，搭出的几何体从上面看到的形状如下图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数。）这个几何体，从左面看到的形状是（    ）。 A． B． C． D． 专题二因数与倍数 突破题型一因数和倍数的认识 1．a、b都是大于0的自然数，a＝9b。a的因数最少有( )，( )，( )和( )。 2．《西游记》是我国古典文学四大名著之一，书中唐僧师徒四人经历了“九九八十一难”。81的因数有( )，81的最小倍数是( )。 3．因为45÷9＝5，所以可以说9是( )的因数，45是9的( )。 4．一个数的最大因数和最小倍数的和是32，这个数是( )。 突破题型二找一个数的因数及因数的特征 5．一个数最大的因数是36，它最小的倍数是( )。写出36的全部因数( )。 6．在7的倍数中，最大的两位数是( )；一个数只有a、5、7、35四个因数，这个数是( )。 7．20的因数有( )，30的因数有( )，既是20的因数，又是30的因数的数有( )。 8．48一共有10个因数。小明写出了9个：1，2，3，4，6，8，12，24，48。按照小明的写法，他漏写了排在( )后面的( )。小静也写出了9个：1，48，2，24，3，4，12，6，8。按照小静的写法，他漏写了排在( )后面的( )。 突破题型三找一个数的倍数及倍数的特征 9．一个数的最大的因数与最小的倍数的和是36，这个数是( )。 10．中国在2014年南京青奥会上获得38枚金牌，38的最大因数是( )，它的最小倍数是( )。 11．把一些袋装糖果平均分装在14个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在50～60袋之间，那么每盒装了( )袋糖果。 12．淘宝某店“双十一”前开展整时抢三折优惠券活动。每次发放的优惠券不超过50张，且张数是9的倍数。店家每次可能发放( )张优惠券。 突破题型四倍数和因数的综合应用 13．一个数的最大因数是17，它的最小倍数是( )。 14．猜猜我是谁。 我是( )         我是( )         我是( ) 15．一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是40的因数，又是5的倍数。这个旅行团一共有( )人。    16．猜电话号码。 0871－ABCDEFG 提示：A－8的最小倍数；B－最小的自然数；C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数；E－它的所有因数是1、2、3、6；F－它的所有因数是1、3；G－它只有1个因数。这个电话号码是0871－( )。 突破题型五2、5的倍数特征 17．个位上是( )或( )的数，是5的倍数，其中( )是最小的5的倍数。 18．要使既是2的倍数，又能被5整除。里填( )。 19．1021至少减去( )就是2的倍数；1708至少加上( )就是5的倍数。 20．56□是2的倍数，□中可以填数字有( )。 突破题型六3的倍数特征 21．2和3的倍数中，最小的三位数是( )，2、3、5的倍数中，最大的三位数是( )。 22．学习强国是党中央推出的全国学习平台，陈老师学习强国的积分达到了58963分，至少加上( )分就是3的倍数；至少去掉( )分就同时是2和5的倍数。 23．过春节时，发红包寓意着喜庆、吉祥，亦是长辈向晚辈表达美好祝愿的方式。妈妈对琳琳说：“我给你发一个100元以内的红包，钱数既是3的倍数，又是11的倍数，你猜猜我发的红包最大是( )元钱。” 24．如果A28B这个四位数是3的倍数，那么，A＋B最小是( )，A＋B最大是( )。 突破题型七2、5、3的倍数特征 25．从0，3，5，7这四个数字中任选3个数，排成能同时被2、3、5整除的三位数，这个三位数可以是( )。 26．从0、2、4、5四张数字中选出三个，组成一个既是2和3的倍数，又有因数5的数，可以是( )或( )。 27．亮亮在登录某软件时需要验证码，由于手机屏幕有损坏，其中有两位看不清。已知5□2□既是3的倍数，又含有因数5，则这个四位数最大可能是( )。 28．选出三个数组成三位数，算一算，分别满足下列条件。 (1)同时是2和3的倍数，其中最小的数是( )。 (2)同时是3和5的倍数，其中最大的数是( )。 (3)同时是2、3和5的倍数，其中最小的数是( )。 突破题型八奇数和偶数的认识 29．聪聪和明明做数学游戏，他们分别从4张卡片6，7，8，9中抽出一张，再把两人抽到的卡片上的数相乘，如果积是单数聪聪赢，积是奇数明明赢。这个游戏公平吗？( ) 30．晚上，小明正开着灯做作业，顽皮的妹妹按了15下开关，这时灯是( )着的状态。（填“开”或“关”） 31．琳琳、思思和乐乐三人的年龄正好是三个连续偶数，他们的年龄和是24岁，他们中最小的是( )岁，最大的是( )岁。 32．邵阳史称“宝庆”，人杰地灵，自然资源丰富。据统计，邵阳市境内高等植物有245科，792属，2826种；野生脊椎动物有397种，分属5纲，33目，102科。划横线的数中，偶数有( )个，是3的倍数的数有( )个。 突破题型九质数和合数的认识 33．在1、2、5、15、37、66中，奇数有( )，质数有( )，偶数有( )，合数有( )。 34．李叔叔的手机开机密码是一个四位数abcd，a是最小的奇数，b是最小的偶数，c是10以内最大的质数，d是最小的合数，这个密码是( )。 35．一个三位数，百位上的数是既不是质数也不是合数，十位上的数是最小的质数，个位上的数是最小的合数，这个三位数是( )。 36．智能快递柜走进阳新各个社区。李阿姨收到一条取件码的信息，根据下面的描述，她的取件码是( )，这是一个( )。（填“奇数”或“偶数”） 突破题型十质数和合数的综合应用 37．一个质数（两位数）的个位上的数字与十位上的数字交换位置后，变成7的倍数，这样的质数有( )。 38．一个长方形的周长是32米，它的长和宽是两个不同的质数，这个长方形的面积可能是( )、( )。 39．平平家的电话号码是一个七位数，记为：ABCDEFG。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是一位数中最大的偶数，平平家的电话号码是( )。 40．能同时打开下面3把锁的万能钥匙的密码是( )。 突破题型十一根据因数的特征解决问题 41．端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 42．把36个苹果分成若干份，要使每份的苹果个数相同（最少分2份，每份最少2个），一共有多少种不同的分法？ 43．今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树111棵，已知五（2）班人数多于20且不超过40，王老师植树的棵数和平均每位同学植树的棵数一样。五（2）班有多少位同学？平均每位同学植树多少棵？ 44．体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等。五一班有32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每列不少于2人） 突破题型十二根据倍数的特征解决问题 45．水果店运来250千克水果，如果每20千克装一箱，能正好装完吗？如果每50千克装一箱，能正好装完吗？为什么？ 46．饭店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和3千克装。店长买回45千克菜籽油，用哪一种规格的油桶能正好把菜籽油装完？需要多少个这样的油桶？ 47．小明的妈妈从批发市场买来90千克大枣，如果每15千克装一包，能正好装完吗？还可以怎么装？能装多少包？ 48．五（1）班的学生人数在40－50人之间，一次大扫除，按8人一组分组，则少1人，五（1）班有多少名学生？ 突破题型十三运算性质（奇数和偶数） 49．实验小学五（1）班有41名同学，现在派他们到4个卫生区去打扫卫生，每个卫生区只能派奇数名同学。你能完成分配任务吗？请说明做法或原因。 50．下图是一个靶，靶上的1，3，5，7，9表示射中该靶区的分数，淘气说：“我打了6枪，每枪都中靶，得分是27分。”笑笑说：“我打了3枪，每枪都中靶，得分是27分。”你知道他们两人中谁说了假话吗？为什么？ 51．1＋2＋3＋45＋…＋99＋100的和是奇数还是偶数，请说明理由。 52．周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。 专题三长方体和正方体的认识及表面积 突破题型一长方体的认识及特征 1．在下图中，和b平行的棱有（ ）条，和a相交且垂直的棱有（ ）条。 2．如图所示的长方体，涂色一面是长方体的（ ）面（填“上”“下”“左”或“右”），它的面积是（ ）cm2。 3．在探究长方体的特征时，思思发现：如果一个长方体有四个面的面积相等，那么其余两个面一定是（ ）形。 突破题型二长方体有关棱长的应用 4．下图是用绸带捆扎的长方体礼品盒，打结用去15cm，共用绸带（ ）cm。 5．李师傅用不同长度的铁丝焊一个长方体框架，他已经焊好了三根（如图）。这三根铁丝的长度分别是30cm、10cm、10cm，焊这个长方体框架共需要（ ）根30cm长的铁丝，（ ）根10cm长的铁丝；这个长方体框架焊好后，它共有（ ）个面，其中有（ ）个面是正方形。 6．下面是长方体一个顶点处的3条棱。（单位：cm），要围成这个长方体需要下图中的三种长方形，分别是（ ）、（ ）、（ ）。 突破题型三长方体的展开图 7．跳跳把一张长14厘米、宽6厘米的纸板沿虚线折起，做出了长方体相邻的两个面（如图所示），然后再用纸板做出其他4个面，围成长方体。这个长方体的长、宽、高分别是（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米。 8．在下面的8个面中找出6个面，使它们能组成长方体，这6个面的编号分别是（ ）。 9．下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则（ ）字在下面，“城”字在前面，（ ）字在后面，“创”字在（ ）面，“市”字在（ ）面。 突破题型四正方体的特征 10．如图，骰子相对的两个面上数字之和为7，规定1所在的面为上面，将这个骰子沿1—2—3—…—7的方向翻转7次，最后骰子的上面是数字 。 11．有三块相同的数字积木（每块积木的面上分别标有1～6六个数字）。摆放如图，相对两个面上的数字乘积最大是（ ）。 12．用小棒拼搭长方体。 果果：我用4根1.5厘米、4根2.8厘米、4根7厘米的小棒搭成一个长方体。 贝贝：我用8根2厘米、4根6厘米的小棒搭成一个长方体。 天天：我用12根长度相同的小棒搭成一个长方体。 果果搭成的长方体是（ ），贝贝搭成的长方体是（ ）。（填序号） 突破题型五正方体有关棱长的应用 13．一根铁丝可焊棱长8厘米的正方体，如果焊长10厘米，宽7厘米的长方体，则高是（ ）厘米。（接头忽略不计） 14．用一个棱长为12cm的正方体框架改为一个长是21cm，宽是10cm的长方体框架，这个长方体框架的高应是（ ）cm。 15．一根铁丝可以做成一个棱长为5cm的正方体框架，这根铁丝长（ ）cm。如果要把它改做成一个长9cm，宽2cm的长方体框架，这个长方体框架的高是（ ）cm。 突破题型六正方体的展开图 16．将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是（ ）。 17．端午节是中国四大传统节日之一，幸福小学举办“正方体礼盒”设计比赛。下图是丽丽设计的一款礼盒展开图，其中“端”字的对面是“（ ）”字。 18．下列展开图中，能折成正方体的画“√”，能折成长方体的画“○”。 突破题型七补全长方体的展开图 19．下面是一个长方体的前面、左面和下面的展开图，在点子图上画出展开图的另外三个面，并标出每个面是长方体的什么面。 20．请你在如图的方格纸中画出这个长方体展开图的另外4个面。（每个小方格的边长代表1厘米） 21．将下面的长方体纸盒展开，请将长方体纸盒的展开图补充完整。（每个小方格的边长表示1dm） 突破题型八补全正方体的展开图 22．如图，在一个正方体的上面涂满了颜色，前、后、左、右面涂了颜色，底面不涂颜色，在下面方格纸里画出正方体展开图的涂色部分。 23．妙想要用长5cm、宽3cm的长方形硬纸板，制作一个棱长为1cm的正方体纸盒，她应该怎么样剪？请你用阴影表示，在下面方格纸中设计出2种不同的方案。 （每个小方格的边长是1cm） 24．在学习正方体的表面积时，我们观察过正方体的展开图。现在请画出一种正方体展开图，并标明6个面的序号。 突破题型九应用长方体棱长解决实际问题 25．某健身馆建了一个长80米、宽40米、深2米的游泳池，为确保游泳者的人身安全，工人师傅沿游泳池的内壁高1.5米处用红漆划了一条水位线，水位一般不得超过此线。 （1）这条线的长度是多少米？ （2）游泳池占地多少平方米？ 26．某超市要做一个长1.5米、宽0.8米、高1.2米的玻璃展台。需要先用角铁做一个长方体框架再安装玻璃，至少需要多少米的角铁？（接口处忽略不计） 27．下图是长方体一个顶点处的3条棱。（单位：厘米）从以下图形中选择6个面（可重复选择），围出这个长方体。 （1）你选择的6个面是哪几个？（请写出序号，并注明有几个这样的面。） （2）请你计算一下围出的这个长方体的棱长总和是多少厘米？ 突破题型十应用正方体棱长解决实际问题 28．李浩和王乐各从家里拿来一根长48厘米的铁丝、胶带、剪刀等材料，准备制作一个长方体学具框架和一个正方体学具框架。如果铁丝不剩余，接头处忽略不计，请你和李浩、王乐一起解决以下数学问题： （1）李浩准备制作长方体框架，他先确定长方体的长是8厘米，那么长方体的宽和高可以是多少厘米？（取整厘米数） （2）王乐准备制作一个正方体框架，正方体的棱长是多少厘米？ 29．王爷爷有一根铁丝，恰好可以做成一个长1.2米、宽0.8米、高0.4米的长方体框架，如果要做成一个正方体框架，那么棱长是多少米？ 30．一根铁丝可以焊接成一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体框架，如果用它焊接成一个正方体框架，那么这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 突破题型十一应用长方体和正方体的展开图解决稍复杂的问题 31．如图，有三个完全相同的正方体数字积木，每个面上分别标有数字1至6，问：相对两个面上的数字之积最大是多少？ 32．奇思上课时用相同的正方体剪开得到不同形状的展开图，惊奇地发现所有展开图的周长都是70厘米。奇思剪开的正方体展开图的面积是多少？（请画出任意一种正方体展开图，再计算） 33．如图，从一张长方形纸上剪下部分（图中阴影部分）后，正好折叠成一个长方体。已知长方体的长、宽、高分别是5厘米，2厘米，3厘米。你能求出原来长方形纸的面积是多少平方厘米吗？请尝试算一算。 突破题型十二长方体表面积的计算 34．一个长方体的长是25cm，宽是20cm，高是18cm，最大面的长是（ ）cm，宽是（ ）cm，面积是（ ）cm2；最小面的长是20cm，宽是（ ）cm，面积是（ ）cm2；这个长方体的表面积是（ ）cm2。 35．一个长方体木箱的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的棱长和是（ ）分米，占地面积是（ ）平方分米，表面积是（ ）平方分米。 36．有一块长9厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体木料，它的表面积是（ ）平方厘米，将它切割成棱长2厘米的小正方体，最多可以切割（ ）个。 突破题型十三正方体表面积的计算 37．用24个棱长是1cm的正方体拼成一个几何体（如图）。它的表面积是（ ）。 38．用120厘米长的铁丝做一个正方体框架，这个正方体的棱长是（ ）厘米，如果要在它的外面糊一层厚纸，至少需要需要（ ）平方厘米纸。 39．聪聪用纸板做了一个棱长5厘米的正方体，正方体的棱长总和是（ ）厘米，它的表面积是（ ）平方厘米。 突破题型十四立体图形的切拼（表面积增加问题） 40．一块长方体木块，长6厘米、宽7厘米、高8厘米，如果将它切成两块小长方体，表面积最多增加（ ）平方厘米。 41．一块长方体木块刚好截成两个一样的小正方体，表面积之和增加了18平方分米，原来长方体的表面积是（ ）平方分米。 42．一根长方体木料，长5米，宽和高都是2分米，把它锯成5段，表面积最少增加（ ）平方分米。 突破题型十五立体图形的切拼（表面积减少问题） 43．如图，用两个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了8平方厘米，原来每个正方体的表面积是（ ）平方厘米。 44．将三个棱长是5厘米的正方体拼成一个长方体，其棱长总和减少（ ）厘米，表面积之和减少（ ）平方厘米。 45．在修复一处古代宫殿时，将一块长方体木料沿高截去2cm，就变成一个正方体，表面积比原来减少了48cm2，原来长方体的表面积是（ ）cm2。 突破题型十六组合体的表面积 46．如图是由同样大小的小方块堆积起来的，每个小方块的棱长是1分米，这堆小方块露在外面的面积是（ ）。 47．下图是用1立方厘米的小木块摆成的图形，这个图形的表面积是（ ）平方厘米。（表面积包含底面） 48．库房管理员将一些棱长为的正方体纸箱放在墙角（如下图），这些纸箱共有（ ）个，露在外面的面积是（ ）dm2。 突破题型十七表面涂色的正方体 49．把一个正方体木块的表面全涂成红色，然后平均切成27个大小相等的正方体（如图）。那么，三面是红色的小正方体有（ ）个，两个面是红色的小正方体有（ ）个，一个面是红色的小正方体有（ ）个。 50．如图，11个棱长为1分米的小正方体木块摆放在地面上，组成一个“2”字，现要在“2”字的表面（与地面接触的面除外）涂上油漆，需涂油漆的面共 平方分米。 51．如图是由7个相同的小正方体组成的一个几何体，如果把这个几何体表面都涂成蓝色（底面不涂），只有3个面涂色的小正方体有（ ）个。 突破题型十八组合体的表面积图形计算 52．计算如图图形的表面积。（单位：cm） 53．计算下图的表面积。（单位：分米） 54．求下面图形的表面积。 突破题型十九运用长方体的表面积解决问题 55．2024年巴黎奥运会将于7月26日晚上7：30开幕，届时中国队将派出四百多名运动员参赛，为了保证中国运动员的营养供给，中国体协决定由某公司赞助牛奶。该公司250毫升牛奶盒长6厘米，宽4厘米，高10.5厘米。做500个这样的纸盒至少需要多少平方米的硬纸板？ 56．为了保护书籍，王老师打算用硬纸板为某套图书做一个封套（如下图），至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度及接缝处忽略不计。） 57．博物馆里有许多保护文物的透明展示罩（无底），下图所示：这是其中一个，长是2米，宽0.6米，高0.8米，制作一个这样透明展示罩需要多少平方米的材料？ 突破题型二十运用正方体的表面积解决问题 58．做一个正方体玻璃水槽（无盖），棱长0.5米。制作这个水槽至少需要玻璃多少平方米？ 59．用一根长96厘米的铁丝制成一个正方体框架，并将6个面都糊上彩色纸。请问最少需要彩色纸多少平方厘米？（接口处忽略不计） 60．如图所示，一个正方体的礼盒，包装盒上的彩带总长是209厘米，其中打结处的蝴蝶结用了17厘米。做这个正方体礼盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？ 专题四长方体和正方体的体积 突破题型一体积和容积的认识 1．物体都占据一定的空间，物体大的占据的空间（ ），物体小的占据的空间（ ），物体占据空间的大小叫做物体的（ ）。 2．如下图所示，小球的体积是（ ）立方厘米，大球的体积是（ ）立方厘米。 3．容器所能容纳的（ ），通常叫做它们的容积。例如：一个瓶子所能装的（ ）就是瓶子的容积。 突破题型二体积单位的认识 4．常用的体积单位有立方米、（ ）、立方厘米；（ ）的体积大约就是1立方米。 5．下面是用棱长1cm的小正方体拼成的几何体，请将它们的体积填在（    ）里。 （ ）             （ ）           （ ）            （ ） 6．下面物体中体积比1cm3小的有（ ），比1cm3大的有（ ）。 突破题型三容积单位的认识 7．一瓶儿童止咳糖浆的规格和用法用量如下： 【规格】每瓶120毫升； 【用法用量】口服，每日2次。 7岁以上儿童：每次15毫升；3～7岁儿童：每次10毫升。 这瓶止咳糖浆能让一个8岁儿童服用（ ）天。 8．在括号里填上合适的容积单位。                            一个电饭煲的容积            一瓶橙汁的容积              一个集装箱的容积 约是10（ ）。      约是450（ ）。     约是40（ ）。 9．饺子取“更岁交子”的意思，我国北方有过春节吃饺子的习俗。一般煮一锅饺子大约需要4（ ）水，吃饺子需用醋调料约10（ ）。（填合适的容积单位） 突破题型四体积单位间的换算 10．把一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）立方分米。 11．8立方米＝（ ）立方分米      2800立方厘米＝（ ）立方分米 12．某品牌的空调外机可近似看成长方体，长约90cm，宽约40cm，高约70cm，这款空调外机占据的空间约为（ ）。 突破题型五容积单位间的换算 13．6小时15分＝（ ）时；6升50毫升＝（ ）升。 14．将500mL水倒入一个容器里，大约占容器的一半，这个容器的容量大约是（ ）L。 15．把1升水倒入容量为500毫升的瓶子里，可以倒满（ ）瓶；如果倒入容量为250毫升的杯子中，可以倒满（ ）杯。 突破题型六体积单位及容积单位的选择 16．填上合适的单位。 一块橡皮体积大约是5（ ）；一个雪碧瓶的容积大约是1.5（ ）。 17．填上合适的单位：教室中黑板的面积约是4（ ），一台电冰箱的容积是540（ ）。 18．在下面的括号里填上合适的单位名称。 小红一家三人去某大型野生动物园游玩，野生动物园的占地而积约300（ ），他们买门票共花了600（ ）钱，动物园里的长颈鹿高约6（ ），大象重约5（ ），游玩结束后，小红买了一瓶净含量（容积）约550（ ）的矿泉水。 突破题型七体积（容积）大小的比较 19．把你的拳头伸进盛满水的盆中，溢出来的水的体积（    ）。 A．小于10毫升 B．小于1升 C．等于1升 D．大于1升 20．观察下图。小球和珊瑚的体积相比，（    ）。    A．小球大 B．珊瑚大 C．一样大 D．无法确定 21．一个最多能装40升汽油的油箱，它的体积（    ）40升。 A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 突破题型八长方体的体积计算 22．计算如图长方体的表面积和体积。 23．计算下面长方体的体积。 24．计算长方体的表面积和体积。（单位：分米） 突破题型九正方体的体积计算 25．求下面正方体、长方体表面积和体积。 26．计算下面图形的体积。 27．计算下面图形的表面积和体积。 突破题型十组合体的体积计算 28．求下列组合图形的体积。（单位：cm） 29．计算下列图形的体积。              30．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 突破题型十一体积的等级变形 31．美术课上王老师准备教同学们捏橡皮泥。他们把一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥捏成了一个底面积是32平方厘米的长方体。这个长方体的高是多少？ 32．有两个水池，甲水池长8分米、宽5分米、水深4分米，乙水池空着，它长5分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？ 33．有一块棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个长16厘米，宽20厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 突破题型十二立体图形的切拼 34．有一块长方体木料，锯成相等的3段，可以得到3个完全一样的正方体。已知原木料的表面积是350平方厘米，那么原木料的体积是多少立方厘米？ 35．把一块长3米的长方体木材，锯成完全相同的两块小长方体。（如下图）表面积增加了40平方分米。这根木材原来的体积是多少立方米？ 36．一个长方体，若长增加4分米，宽和高都不变，则体积增加60立方分米；若宽减少3分米，长和高都不变，则体积减少72立方分米；若高增加2分米，长和宽都不变，则体积增加80立方分米。原来长方体的表面积是多少平方分米？ 突破题型十三体积与容积单位间的换算 37．一个长方体玻璃水缸，长8分米，宽5分米，高5分米，水深4分米。如果竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？ 38．暑假期间玲玲一家准备到西藏自驾游，西昌到西藏拉萨全程两千多千米。玲玲家的越野车油箱从里面量长1米，宽0.4米，高0.2米，油价为7.86元/升，加满一箱油要用多少钱？ 39．一辆小汽车的油箱从里面量是一个棱长为5分米的正方体，这个油箱最多可以装多少千克汽油？（每升汽油重0.75千克） 突破题型十四长方体或正方体的容积 40．殷墟博物馆新馆主体南侧有两个长90米、宽24米，深20厘米的水池。要往这两个水池中注满水，需要注入多少立方米的水？ 41．一个长方体包装盒，从里面量长25厘米，宽18厘米，体积为8550立方厘米。爸爸想用它包装一件长22厘米、宽14厘米、高16厘米的玻璃器皿，是否可以装得下？ 42．一个长方体的游泳池，长为26米，宽为21米，深为1.6米。它的占地面积是多少平方米？如果在它的四周及底部贴瓷砖，需要多少平方米的瓷砖？这个游泳池最多能蓄水多少升？ 突破题型十五测量不规则物体的体积 43．做一个长5分米、宽3分米、6分米的玻璃鱼缸（无盖）。 （1）制作这个鱼缸至少需要多少平方米的玻璃？ （2）如果在这个鱼缸里放一块假山石，水面上升了2厘米，这块假山石的体积是多少立方分米？（水未溢出） 44．明明买了一个亚当牛尊的工艺品，想知道它的体积是多少。明明把它放入一个长65厘米，宽40厘米，水深12厘米的容器中，结果水面升高到15厘米（水没有溢出）。你知道亚当牛尊工艺品的体积是多少立方厘米吗？ 45．笑笑、乐乐、洛洛和阳阳四人学习了有趣的测量后，张老师让他们尝试测量一个不规则物体的体积，他们进行的实验步骤如下： ①笑笑准备了一个长和宽都是8厘米，高是15厘米的长方体玻璃缸； ②乐乐往缸里倒入一些水，此时水面距离玻璃缸口5厘米； ③洛洛把一个红薯完全浸没入水中，此时水面高度是14立方厘米； ④阳阳把红薯取出，这时水面高度是10厘米。 你能根据以上信息，计算这个红薯的体积是多少吗？ 突破题型十六解决体积有关的复杂问题 46．在一个棱长为3cm的正方体木块的每面中心挖一个相通的洞。洞口是边长为1cm的正方形（如图）。挖洞后正方体木块的体积是多少立方厘米？ 47．小明学习了体积这个单元，他想做这样一个实验一个长方体的玻璃缸，长5分米，宽3分米，高3分米，水深2分米，如果投入一块棱长为3分米的正方体铁块（如下图）他在想：缸里的水会溢出来吗？请你帮他找到答案。 （1）铁块的体积是多少？ （2）缸里的水会溢出来吗？请你说明理由（可列式说明）。 48．把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面积增加了144cm2。 （1）画出示意图并标注条件中的数据。 （2）小长方体的长、宽、高分别是多少cm？ （3）原大正方体的体积是多少cm3？ 专题五分数的意义和性质 突破题型一分数的意义 1．用分数表示图中的涂色部分。 （ ）         （ ）   （ ）   （ ） 2．用分数分别表示下面各图中的阴影部分。 3．在直线上面的括号里填上适当的分数，在直线下面的括号里填上适当的小数。 突破题型二单位“1”的认识与确定 4．“12个苹果的”，这里把（ ）看作单位“1”。“”表示把单位“1”平均分成（ ）份，取其中的（ ）份，“12个苹果的”是（ ）个苹果。 5．一项工程，完成了，单位“1”是（ ）；一本故事书，未看的相当于已看的，这里又是把（ ）看作单位“1”。 6．下图中露出的圆片是单位“1”的（ ），被遮住的部分是单位“1”的（ ），一共有（ ）个圆片。 突破题型三分数与除法的关系 7．一根7米长的绳子，平均分成8份，每份是它的（ ），每份是（ ）米。 8．把3千克糖平均分成5份，每份是（ ）千克。 9．去年重阳节那天，李宇涵用自己的压岁钱买了50kg桃，跟爸爸一起送到了敬老院，把这些桃平均分给10位老人，每位老人得到这些桃的，每位老人分到（    ）kg桃。 突破题型四求一个数占另一个数的几分之几 10．萌萌看一本80页的书，已经看了51页，还剩全书的（ ）没看。 11．粮油店老板将8千克香油平均装进5个瓶子中，那么2瓶香油占这些香油的（ ）。 12．81个月球和1个地球的质量相等。月球质量是地球质量的（ ）。 突破题型五真假分数及带分数的认识 13．读出下面的分数，再把它们分一分。                                                          真分数（ ）        假分数（ ） 14．分数单位是的最大真分数是（ ），最小假分数是（ ），最小带分数是（ ），这个带分数读作（ ）。 15．对于分数，当a等于（ ）时，它是最大真分数；当a大于或等于（ ）时，它是假分数；当a等于（ ）时，它的分数值是最小的质数。 突破题型六根据真假分数及带分数的特征组数 16．（x是非零自然数）中，如果它是一个真分数，那么x有（ ）种填法；如果它是一个假分数，那么x最小是（ ）。 17．分数，当（ ）时，它是这个分数的分数单位；当（ ）时，它是最大的真分数；当（ ）时，它是最小的假分数；当（ ）时，它的分数值是0。 18．a＝（ ）时，是最小的假分数；如果能化成整数，b是（ ）（填出所有可能）。 突破题型七分数的基本性质 19．把的分母乘3，要使分数的大小不变，分子应加上（ ）。 20．一个最简分数，把它的分子扩大到原来的3倍，分母缩小到原来的，得，原分数是（ ）。 21．把的分子扩大到原来的4倍，要使分数的大小不变，则分母要加上（ ）。 突破题型八最简分数的认识 22．的分子、分母的最大公因数是（ ），用最大公因数把这个数约分成最简分数是（ ）。 23．用最小的质数作分母的最简真分数有（ ）。 24．有一本故事书，已经读了160页，还剩140页没读，已经读了这本书的 （填最简分数）。 突破题型九分数化小数 25．。（填小数） 26． 27．（    ）（填小数）。 突破题型十小数化分数 28．0.375＝＝＝＝。 29．     30．。 突破题型十一真假分数及带分数的互化 31．把下面的假分数化成带分数或整数。 ＝         ＝          ＝         ＝ 32．把下面的假分数化成整数或带分数。                                33．把下面的假分数化成整数或带分数。 ＝             ＝           ＝            ＝ 突破题型十二求最大公因数 34．找出下面每组数的最大公因数。 15和75    18和42    17和18 35．求出每组数的最大公因数。 14和35               54和45              51和17 36．找出下列每组数的最大公因数。 8和18                  12和36           42和56             45和81 突破题型十三分数的约分计算 37．先约分，再把结果是假分数的化成带分数。              38．约分，是假分数的化成带分数。          39．把下面的分数化成最简分数。                      突破题型十四求最小公倍数 40．写出下列每组数的最小公倍数。 5和9        12和30 41．按要求做题。 求最下列每组数的最大公因数与最小公倍数。 10和9          14和42 42．分别求出下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 11和7             18和6            8 和12           9和21 突破题型十五分数的通分计算 43．把下面每组中的两个数通分。 和    和    和    和 44．通分。 和                              和                        和 45．把下面各组分数通分。                       突破题型十六最大公因数解决问题 46．一张长方形纸长45厘米，宽30厘米，要裁成大小一样且面积尽可能大的小正方形，裁完后纸没有剩余，可如何裁？ 47．“节分端午自谁言，万古传闻为屈原”端午节是我国的传统节日。端午节前夕学校开展包粽子活动，手工社团的同学包了24个三角粽和32个四角粽，把这些粽子扎成捆，不能混扎且每捆的粽子数量要相等，每捆最多能扎几个粽子？ 48．大年初一，乐乐的妈妈准备了一些糖果和巧克力分给前来拜年的小朋友们。她拿出了18颗糖果和12块巧克力。为了公平起见，她希望每个小朋友得到相同数量的糖果和巧克力，而且不能有剩余。最多能分给几位小朋友？ 突破题型十七最小公倍数解决问题 49．学校艺术节开幕式上有40多名同学进行体操表演，他们12人排成一排或者8人排成一排都正好排完，一共有多少名学生参加体操表演？ 50．某学校暑假期间安排王老师每4天值一次班，李老师每6天值一次班，张老师每8天值一次班，如果7月1日他们三人同一天值班，下一次他们三人同一天值班是几月几日？ 51．五（3）班同学上体育课时，每行站3人，最后一行少2人；每行站6人，最后一行少5人；每行站5人，结果最后一行只有1人。五（3）班最少有多少人？ 突破题型十八异分母分数的大小比较 52．五（1）班的同学去学校图书馆借书。的同学借阅了《数学迷宫》，的同学借阅了《生物王国》。借阅哪种刊物的人数多？ 53．有甲、乙、丙三杯糖水，糖和水的质量各不相同。其中甲杯中有糖30克，水70克，乙杯中有糖10克，水30g，丙杯中有糖40克，水160克。 （1）上面每杯糖水中的糖占糖水的几分之几？哪一杯糖水最甜？ （2）如果要让甲杯中的糖占水的，应该加入多少克水？ 54．某学校征订学生奶，可供学生选择的学生奶有牛奶、羊奶和椰奶，通过对全校的学生进行问卷调查，喜欢牛奶的学生占总人数的，喜欢羊奶的学生占总人数的，喜欢椰奶的学生占总人数的。如果由你负责征订学生奶，你对学校征订学生奶有什么好的建议？ 专题六图形的运动（三） 突破题型一旋转的认识 1．如图经过旋转，可以得到图（    ）。 A． B． C． D． 2．下面的图案，（    ）既可以通过平移得到，又可以通过旋转得到。 A． B． C． D． 3．下面的图，（    ）可以通过平移得到，也可以通过旋转得到。 A． B． C． 4．下列现象既不是平移，也不是旋转的是（    ）。 A．开关冰箱门 B．照镜子 C．火箭升空 突破题型二旋转三要素及旋转图形 5．有一个电话号码是七位数，逆时针旋转180°以后，号码变成1606199，原来的电话号码是（    ）。 A．9916061 B．6616061 C．6619091 D．6619061 6．下图，托盘上放（    ）kg的物品指针顺时针旋转180°。 A．3 B．6 C．12 7．下列图形中，顺时针旋转90°后，与原来的图形重合的是（    ）。 A．   B．     C．   D．     8．利用图形的平移、旋转和对称可以设计出很多美丽的图案。下面的图形②就是图形①经过运动得到的，图形①正确的运动方式是（    ）。 A．以M点为中心，顺时针旋转90° B．以M点为中心，逆时针旋转90° C．以M点为中心，顺时针旋转90°，然后再向下平移2格 D．以M点为中心，逆时针旋转90°，然后再向右平移2格 突破题型三钟面上的旋转问题 9．如图：指针从“12”绕点O顺时针旋转( )到“5”。指针从“2”绕点O顺时针旋转180°到( )。指针从“10”绕点O顺时针旋转90°到( )。 10．从“12”到“1”，指针绕点O按( )时针旋转了( )°；从“3”到“( )”，指针绕点O按顺时针旋转了90°；从“6”到“12”，指针绕点O按( )时针旋转了( )°；从“9”到“( )”，指针绕点O按逆时针旋转了60°。 11．如图，钟表上4时，时针与分针的夹角是( )度。从这个时刻走到5时，分针要顺时针旋转( )度。 12．下图是花花开始做作业的时间，她1小时完成作业。在这个时间段，时针绕点O( )时针旋转了( )°。 突破题型四作旋转后的图形 13．在如图的方格图中画出长方形ABCD绕C点逆时针旋转90°后的图形。 14．请将下面的图形绕点O旋转，设计一幅美丽的图案。 15．画出三角形绕点逆时针旋转90°后得到的图形。 16．画出图①绕点O顺时针旋转90°后的图形。 突破题型五平移与旋转的综合 17．按要求完成下面各题。 先画出将三角形AOB绕点O顺时针旋转90°得到的图形，再把旋转后的图形向右平移7格。(请用虚线作图) 18．画出图A绕点O顺时针旋转90°，再向左平移5格后的图形。 19．画出图形①向右平移12格后的图形，标上“②”；再画出图形②绕自己的直角顶点逆时针旋转90°后的图形，标上“③”。 20．画出三角形先向右平移7格，再绕C点顺时针旋转90°后的图形。 突破题型六运用平移、旋转和轴对称设计图案 21．如图是七巧板，通过平移、旋转或轴对称的方法设计你喜欢的图形。 22．利用旋转设计一幅美丽图案。 23．按要求画图。 （1）画出将原图绕点O逆时针旋转 90°后的图形。 （2）发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变的更加美丽。 24．按要求画一画。 （1）把下面的三角形绕点O依次旋转变换，制作一幅美丽的图案。 （2）把下面的平行四边形依次向右平移变换，制作一幅美丽的图案。 专题七分数的加法和减法 突破题型一同分母分数加减法 1．里面有( )个；4个是( )，再添上( )个这样的分数单位就等于2；里面有( )个，去掉( )个这样的分数单位就等于1。 2．的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再添上( )个这样的分数单位就等于1。 3．＋表示( )个加上( )个，结果是( )。 4．比米多米的数是( )米；千克比( )千克少千克；( )元比0.5元多元。 突破题型二同分母分数加减法的简单应用 5．用一根5米长的红绳编织中国结，如果用去这根红绳的，还剩下这根红绳的；如果用去米，那么还剩下（    ）米。 6．一根木头长米，截去了米，还剩下( )米，如果用去这段木头的，那么还剩下它的( )。 7．五年级二班进行计算竞赛，满分的同学人数占全班人数的，其中男生满分人数占全班人数的，女生满分人数占全班人数的( )。 8．工人修一条路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第一天比第二天多修了，还剩没修。 突破题型三异分母分数加减法 9．姐姐每天早上洗漱用时，比弟弟每天早上的洗漱时间多时，弟弟每天早上的洗漱时间是( )时。 10．一瓶水L，喝了它的，还剩它的( )。一瓶水L，喝了L，还剩( )L。 11．在括号里填上适当的运算符号。 ( )      ( )       ( ) 12．在括号里填上合适的数。 ( )         ( )         ( ) 突破题型四异分母分数加减法的简单应用 13．工程队修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，两天一共修了全长的( )，还剩下全长的( )没有修。 14．志愿小分队积极参加“打造水乡园林精致之城”活动。在活动中，第一小队清运垃圾t，比第二小队多清运t，第三小队比第一小队多清运t。提出一个用算式“－”解决的数学问题：( )。 15．一个等腰三角形框架的其中两条边的长度分别为米和米，它的周长是( )米。 16．《庄子·天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。意思是说：一根一尺（尺，中国古代长度单位）长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下的一半，第三天再取剩下的一半……这样取下去，永远也取不尽。第五天取的长度是这根木棒的。 突破题型五异分母分数加减混合运算 17．一条彩带长m，比另一条短m，两条彩带共( )m。 18．在计算时，要先算( )法，再算( )法。 19．观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 20．把、、、、、填入下图中的六个圆圈内，使每条线上三个数的和都相等。 突破题型六异分母分数加减混合运算的简单应用 21．《庄子•天下篇》中有述：“一尺之棰，日取其半，万世不竭！”意思是，一尺长的棍棒，今日截取它的一半，即，明日截取它一半的一半……永远也截取不完。按照这样的方法，第三日截取的长度占总长度的( )，这三日截取的长度占总长度的( )。 22．洛宁上戈苹果多汁爽口，果肉松脆。果农小李分三次给水果市场运送一批上戈苹果，第一次运送了这批苹果的，第二次运送了这批苹果的，第三次运送了这批苹果的( )。 23．小明看一本书，第一天看了总页数的，第二天看了总页数的，还剩下总页数的( )没有看。 突破题型七牛奶兑水问题 24．一杯纯果汁，王林喝了杯后觉得有点甜，就兑满了水，又喝了半杯，就出去玩了。王林一共喝了( )杯纯果汁和( )杯水。 25．一杯牛奶，文文喝了杯后，加满水，又喝了杯，再加满水，最后全部喝完，文文一共喝了( )杯水。 26．一杯纯果汁，小花喝了半杯后，觉得有点甜，就兑满了水。接着她又喝了半杯，小花一共喝了( )杯纯果汁。 27．一杯纯牛奶，小壮喝了杯后，兑满水又喝了一半。小壮一共喝了( )杯纯牛奶，( )杯水。 突破题型八异分母分数加减法口算 28．直接写出得数。                           29．直接写出得数。                                         30．直接写出得数。                                                  31．直接写出下面各题的得数。                           突破题型九异分母分数加减混合运算及简便运算 32．脱式计算，能简算的要写出简便过程。              33．计算下面各题，能简算的要简算。                   34．用简便方法计算。                   35．计算下面各题（能简算的要用简便方法计算）。                                             突破题型十解分数加减法方程 36．解方程。                  37．解方程。 ＋x＝       －x＝     2x－97＝34.2 38．解方程。 x＋＝          －x＝         4x－＝0.4 39．求未知数x。                        专题八折线统计图 突破题型一单式折线统计图的认识及特点 1．如图三幅图分别描述三个故事，这三幅图对应的故事正确的是（    ）。 A．龟兔赛跑、司马光砸缸、乌鸦喝水 B．乌鸦喝水、司马光磁缸、龟兔赛跑 C．司马光砸缸、龟兔赛跑、乌鸦喝水 D．乌鸦喝水、龟兔赛跑、司马光砸缸 2．星期天，张丽从家出发去超市购物后再返回。下图表示在这段时间里她离家距离的变化情况。下面说法错误的是（    ）。 A．张丽家距离超市1200米 B．张丽从家到超市用时15分钟 C．张丽在超市购物用时25分钟 D．张丽从超市到家用时50分钟 3．下图是小明一次生病期间体温情况统计图。 下面表述错误的是（    ）。 A．5月8日6时，小明的体温是三天中最高的。 B．小明每隔6小时量一次体温。 C．5月8日6时到5月9日6时，小明的体温较高。 D．5月10日18时后，小明的体温不会超过37℃。 4．“早穿棉袄午穿纱，抱着火炉吃西瓜”是对我国大西北沙漠地区气候特点的形象化写照，主要指新疆地区一天中昼夜温差大。这句话对应的早、午、晚三个时刻的气温变化情况统计图是（    ）。 A． B． C． D． 突破题型二复式折线统计图的认识及特点 5．《中国居民膳食指南》建议成年人每天进行累计相当于6000步以上的身体活动。如图是甲、乙两人某周的微信步数统计图，下列描述正确的是（    ）。 A．甲坚持运动，是运动达人。 B．乙从不运动，喜欢宅在家。 C．乙偶尔锻炼，三天打鱼两天晒网。 D．甲偶尔锻炼，三天打鱼两天晒网。 6．甲、乙两人参加某体育项目训练，为了便于成绩分析，把最近五次训练的成绩分别用实线和虚线连接（如图），下面结论错误的是（    ）。 A．乙的第二次成绩与第五次成绩相同 B．第四次测试甲的成绩比乙的成绩多2分 C．五次测试甲的总成绩比乙的总成绩高 7．下图是“某市连续七天的日夜平均气温统计图”，从图中可知，日夜平均气温相差最小的是（    ）日。 A．20 B．21 C．22 D．23 8．在A、B、C、D、E五个地点，分别测量了同一天上午9时到下午5时每小时的气温。为将A地的气温与其他四地的气温比较。制作了4张折线统计图。观察下面四幅图，同时满足下面两个条件的是（    ）。 ①A地和另一地在上午9时到下午2时气温都持续上升，在下午2时到下午5时都持续下降； ②从上午9时到下午5时，A地的气温有时比另一地高，有时比另一地低。 A．B．C．D． 突破题型三统计图的选择（折线统计图） 9．下面适合用折线统计图表示的是（    ）。 A．小林0~18岁身高变化情况 B．阳光小学五年级各班人数情况 C．学校图书馆各类图书数量情况 D．甲、乙、丙、丁四个城市三月份平均气温情况 10．要在一幅统计图中反映甲城市和乙城市2020年7～12月降水量的变化情况，应选择（    ）。 A．条形统计图 B．折线统计图 C．统计表 D．无法确定 11．2024年巴黎奥运会开幕在即，需统计各项信息，下面适合用折线统计图表示的是（    ）。 ①参加田赛、径赛、游泳比赛的运动员人数。    ②历届奥运会中国金牌数。 ③短跑运动苏炳添最近10次训练成绩。    ④上一届运动会中国、美国等国金牌数。 A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①② 12．下面的信息不适合用折线统计图表示的是（    ）。 A．漳平市2015－2022年生活用水量变化情况 B．某校6－14岁男生、女生平均身高变化情况 C．漳平市2015－2022年国民生产总值变化情况 D．某学校五年级学生“五一”访友、旅游、休息、其他度假方式 突破题型四单式折线统计图中提出数据并解决问题 13．下面是某旅游景区接待游客情况统计图    （1）该景区全年有两次旅游高峰，一次在（ ）月，另一次在（ ）月。这两个月该景区共接待游客（ ）万人。 （2）该景区全年接待游客的月平均人数是（ ）万，比月平均人数少的月份有（ ），比平均人数多的月份有（ ）。 （3）游客数量最多的月份比游客数量最少的月份多（ ）万人。 14．下面是护士为一位病人测量体温的统计图。    （1）这是一幅（ ）统计图，护士每隔（ ）小时给该病人量一次体温。 （2）这位病人的最高体温是（ ），最低体温是（ ）。 （3）病人的体温在哪一段时间里下降最快？（ ） （4）病人在哪一段时间体温比较稳定？（ ） （5）从体温上观察，这位病人的病情是好转还是恶化？（ ） 15．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路畅通或拥堵的概念。其指数在100 以内为畅通，200以上为严重拥堵，从某市交通指挥中心选取了6月1日至14日的交通状況，依据交通指数数据绘制的折线统计图如下。 （1）这14天中交通畅通和严重拥堵的各是哪几天？ （2）6月1日至14日中交通严重拥堵的天数占总天数的（    ）。 （3）看了上面的统计图，你有什么想法？ 16．下面是我国某地区20年来污水处理厂的数量统计图。 看统计图表回答问题： （1）1984年该地区有污水处理厂（ ）个，2004年有污水处理厂（ ）个，这20年来新建了（ ）个污水处理厂。 （2）该地区从（ ）年到（ ）年，新建污水处理厂最多。 （3）从2000年到2004年，平均每年新建（ ）个污水处理厂。 突破题型五复式折线统计图中提出数据并解决问题 17．下面是某小学2018－2024年体检患龋齿人数情况统计图，根据统计图回答问题。 （1）（ ）年男生患龋齿的人数最少，（ ）年女生患龋齿的人数最少。 （2）男、女生患龋齿人数最多的是（ ）年，一共（ ）人。 （3）从总体上看，男、女生患龋齿的人数呈（ ）趋势。女生从（ ）年到（ ）年患龋齿的人数出现了回升。男生患龋齿的人数出现了（ ）次回升。 18．随着短视频的兴起，王阿姨也跟随潮流制作了一条短视频，并发布在某视频平台，吸引了很多人观看。她根据后台数据，统计了视频发布后一段时间内每日的浏览量与点赞量的变化情况，如下图。 （1）王阿姨的这条视频（ ）日的浏览量最多，（ ）日的点赞量与浏览量相差最多，（ ）日的点赞量与浏览量相差最小。 （2）这条视频的点赞量（ ）日至（ ）日呈上升趋势，（ ）日至（ ）日呈下降趋势。 19．如图是中国和日本在第 28－33届奥运会中获金牌数情况。 （1）中国和日本第（    ）届奥运会金牌数最接近，相差（    ）枚。 （2）中国和日本第（    ）届奥运会金牌数相差最多，相差（    ）枚。 （3）从统计图中，你还获得了哪些信息？ 20．下面是两个服装店2023年的销售情况统计图。 （1）从图上看，（    ）月是销售服装的淡季。 （2）下半年，销售增长较稳定的是（    ）服装店。 （3）9—10月份，红星服装店的销售量比红光服装店多几分之几？ 突破题型六补全单式折线统计图并解决问题 21．某超市2023年第二季度第一周平均营业额统计表如下。（单位/万元） 星期 一 二 三 四 五 六 日 营业额 15 13 14 15 18 26 28 （1）根据上表中的数据，完成下面的折线统计图。 某超市2023年第二季度第一周平均营业额统计图 （2）如果将连续4周的每日营业额画成折线统计图，你估计折线的起伏会是怎样的？ （3）如果你是超市经理，这张折线统计图对你有什么帮助？ 22．某汽车销售店2021年至2024年销售情况如下表。 年份 2021 2022 2023 2024 数量（辆） 550 750 1500 1800 （1）根据上表的数据，把下面的折线统计图补充完整。 （2）在相邻年份中，销量增长最多的是（______年到______年）。   （3）这四年的平均销量有（    ）辆。 （4）整体上看，其销售情况的趋势怎样？ 23．下面是某小学五年级学生2019年到2023年近视情况统计表。 某小学五年级学生2019年到2023年近视情况统计表 年份 2019 2020 2021 2022 2023 近视学生数（人） 61 70 85 92 80 （1）要反映从2019年到2023年近视学生人数变化情况，用哪种统计图合适？请你绘制出来。 （2）请描述该校五年级学生近五年近视学生人数的变化情况。 （3）请你预测一下，2024年该校五年级近视学生人数，并分析原因。 突破题型七补全复式折线统计图并解决问题 24．如表分别是小红和小英两位同学5次跳绳（每次1分钟）情况的统计表和统计图。 小红5次跳绳情况统计表 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下数（下） 120 113 130 120 135 （1）根据统计表的数据，请在如图的统计图中画出表示小红跳绳情况的折线。 （2）看图解答下面的问题：小英平均每次跳绳多少下？ 25．某地2022年上半年每月降水量和2023年上半年每月降水量情况如下表。 （1）根据上表中的数据制成复式折线统计图。 （2）看图回答问题。 ①2022年几月份的降水量最多？几月份的降水量最少？2023年呢？ ②2023年6月份的降水量是2022年同期的几分之几？ ③2023年上半年月平均降水量比2022年上半年月平均降水量增加了多少毫米？ 26．为了参加学校组织的一分钟跳绳比赛，张军和李明每天都进行跳绳训练。他们俩把自己一周以来的每天测试成绩都记录下来，如下表。 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 张军1分钟跳绳个数 115 100 140 120 200 95 185 李明1分钟跳绳个数 100 125 130 130 145 160 185 （1）根据统计表中的数据，绘制下面的复式折线统计图。 （2）张军和李明两人成绩差距最大的是星期（    ），相差（    ）个。 （3）如果在张军和李明之间挑选一人代表班级参加学校跳绳比赛，你会选（    ），你选择的理由是：（    ）。 专题九数学广角—找次品 突破题型一求至少称多少次找出次品 1．有9瓶口香糖，其中1瓶少了几片，另外8瓶质量相同。如果用天平称，至少称（ ）次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 2．小黄买了10盒牛奶片，其中1盒少了4片。至少要称（ ）次才能保证找出这盒质量不足的牛奶片。 3．端午节，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称（ ）次才能保证找到这个轻一些的粽子。 4．茶文化是中国文化的代表之一，源远流长。某茶馆新购进茶叶20盒，其中一盒是次品，质量比其他盒稍轻，如果用天平称量找出这盒茶叶，至少需要（ ）次才能保证找出次品。 突破题型二最优策略解决问题 5．现有12个乒乓球特征相同，其中只有一个比其他乒乓球略重，现在要求用一架没有砝码的天平去称，至少称（ ）次才能将这个质量异常的球找出来。 6．有一堆玻璃球，共有70个，其中有1个质量较轻是次品，其余的质量相等。如果用一架无砝码的天平称，至少称（ ）次就一定能找出次品。 7．一箱牛奶有20瓶，其中19瓶质量相同，另外一瓶质量稍微轻一些，用没有砝码的天平至少称（ ）次就一定能找出轻的这一瓶。 8．有20个跳跳球，其中有一个是次品，较轻。明明把它们分成（6，6，5）三份，用无砝码天平去称，最少称（ ）次能找到这个次品。 突破题型三找出最佳的分组方法 9．26盒饼干，其中25盒质量相同，另有一盒少了几块。要保证用天平称3次能找到少了几块饼干的那一盒，最合理的分组方法是（ ）。 10．有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 11．有9袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程用示意图表示出来） 12．有10盒饼干，其中9盒的质量相同，另有1盒少了几块。如果能用天平称，至少称几次可以保证找出这盒饼干？请表示出找的过程。 突破题型四画出或补全流程图 13．1箱糖果有15袋，其中有14袋质量相同，另有1袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋糖果来？你会用下面的图表示出来吗？ 14．中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买中药8副，每副共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。用天平至少称几次，能保证找到这副中药。 （1）最好的方法是先把这8副中药分成（    ），然后再称。 （2）请说明这样来分的理由。 （3）请画出称量的流程图。 15．有①号、②号、③号3袋白糖，其中2袋每袋500g，另1袋是（次品）不是500g，但不知道比500g重还是轻，至少秤（    ）次保证能找出次品，请你接着图示把用天平找出来的过程表示出来。    16．1箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有1袋质量轻一些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？ 突破题型五根据称的次数反求物体的数量 17．用天平找次品，称了三次，至少可以从多少个零件中找出次品？最多可以从多少个零件中找出次品？写出你的方案。 18．已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，那么这堆物品最少有多少个？最多有多少个？ 19．有几瓶糖果，其中1瓶被吃了几颗，其余的质量相等。如果用天平称4次就能保证找到那瓶被吃了几颗的，那么这些糖果最多有几瓶？ 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 194 2024-2025 学年五年级下册数学期末备考总复习 常考易错知识点专题突破（九大专题 102 个突破点） 2 / 194 目录 专题一观察物体（三） ........................................................... 6 突破题型一三视图的认识 ......................................................6 突破题型二通过三视图会摆放立体图 ............................................8 突破题型三三视图的认识连线问题 ..............................................9 突破题型四三视图的画法 .....................................................12 突破题型五解决稍复杂的问题 .................................................15 突破题型六通过三视图还原立体图 .............................................18 突破题型七通过数字还原立体图 ...............................................22 专题二因数与倍数 .............................................................. 24 突破题型一因数和倍数的认识 .................................................24 突破题型二找一个数的因数及因数的特征 .......................................25 突破题型三找一个数的倍数及倍数的特征 .......................................27 突破题型四倍数和因数的综合应用 .............................................28 突破题型五 2、5的倍数特征 ..................................................30 突破题型六 3的倍数特征 .....................................................31 突破题型七 2、5、3的倍数特征 ...............................................32 突破题型八奇数和偶数的认识 .................................................34 突破题型九质数和合数的认识 .................................................35 突破题型十质数和合数的综合应用 .............................................37 突破题型十一根据因数的特征解决问题 .........................................38 突破题型十二根据倍数的特征解决问题 .........................................40 突破题型十三运算性质（奇数和偶数） .........................................42 专题三长方体和正方体的认识及表面积 ............................................ 43 突破题型一长方体的认识及特征 ...............................................43 突破题型二长方体有关棱长的应用 .............................................44 突破题型三长方体的展开图 ...................................................46 突破题型四正方体的特征 .....................................................47 突破题型五正方体有关棱长的应用 .............................................49 3 / 194 突破题型六正方体的展开图 ...................................................50 突破题型七补全长方体的展开图 ...............................................51 突破题型八补全正方体的展开图 ...............................................53 突破题型九应用长方体棱长解决实际问题 .......................................55 突破题型十应用正方体棱长解决实际问题 .......................................57 突破题型十一应用长方体和正方体的展开图解决稍复杂的问题 .....................59 突破题型十二长方体表面积的计算 .............................................60 突破题型十三正方体表面积的计算 .............................................62 突破题型十四立体图形的切拼（表面积增加问题） ...............................63 突破题型十五立体图形的切拼（表面积减少问题） ...............................65 突破题型十六组合体的表面积 .................................................66 突破题型十七表面涂色的正方体 ...............................................68 突破题型十八组合体的表面积图形计算 .........................................70 突破题型十九运用长方体的表面积解决问题 .....................................72 突破题型二十运用正方体的表面积解决问题 .....................................73 专题四长方体和正方体的体积 .................................................... 75 突破题型一体积和容积的认识 .................................................75 突破题型二体积单位的认识 ...................................................76 突破题型三容积单位的认识 ...................................................77 突破题型四体积单位间的换算 .................................................78 突破题型五容积单位间的换算 .................................................79 突破题型六体积单位及容积单位的选择 .........................................80 突破题型七体积（容积）大小的比较 ...........................................81 突破题型八长方体的体积计算 .................................................82 突破题型九正方体的体积计算 .................................................84 突破题型十组合体的体积计算 .................................................86 突破题型十一体积的等级变形 .................................................88 突破题型十二立体图形的切拼 .................................................89 突破题型十三体积与容积单位间的换算 .........................................91 4 / 194 突破题型十四长方体或正方体的容积 ...........................................92 突破题型十五测量不规则物体的体积 ...........................................94 突破题型十六解决体积有关的复杂问题 .........................................95 专题五分数的意义和性质 ........................................................ 98 突破题型一分数的意义 .......................................................98 突破题型二单位“1”的认识与确定 ...........................................100 突破题型三分数与除法的关系 ................................................101 突破题型四求一个数占另一个数的几分之几 ....................................102 突破题型五真假分数及带分数的认识 ..........................................103 突破题型六根据真假分数及带分数的特征组数 ..................................104 突破题型七分数的基本性质 ..................................................105 突破题型八最简分数的认识 ..................................................106 突破题型九分数化小数 ......................................................107 突破题型十小数化分数 ......................................................108 突破题型十一真假分数及带分数的互化 ........................................110 突破题型十二求最大公因数 ..................................................111 突破题型十三分数的约分计算 ................................................113 突破题型十四求最小公倍数 ..................................................114 突破题型十五分数的通分计算 ................................................116 突破题型十六最大公因数解决问题 ............................................118 突破题型十七最小公倍数解决问题 ............................................119 突破题型十八异分母分数的大小比较 ..........................................120 专题六图形的运动（三） ....................................................... 122 突破题型一旋转的认识 ......................................................122 突破题型二旋转三要素及旋转图形 ............................................125 突破题型三钟面上的旋转问题 ................................................127 突破题型四作旋转后的图形 ..................................................130 突破题型五平移与旋转的综合 ................................................132 突破题型六运用平移、旋转和轴对称设计图案 ..................................135 5 / 194 专题七分数的加法和减法 ....................................................... 137 突破题型一同分母分数加减法 ................................................137 突破题型二同分母分数加减法的简单应用 ......................................139 突破题型三异分母分数加减法 ................................................141 突破题型四异分母分数加减法的简单应用 ......................................143 突破题型五异分母分数加减混合运算 ..........................................145 突破题型六异分母分数加减混合运算的简单应用 ................................147 突破题型七牛奶兑水问题 ....................................................149 突破题型八异分母分数加减法口算 ............................................150 突破题型九异分母分数加减混合运算及简便运算 ................................151 突破题型十解分数加减法方程 ................................................157 专题八折线统计图 ............................................................. 160 突破题型一单式折线统计图的认识及特点 ......................................160 突破题型二复式折线统计图的认识及特点 ......................................164 突破题型三统计图的选择（折线统计图） ......................................167 突破题型四单式折线统计图中提出数据并解决问题 ..............................169 突破题型五复式折线统计图中提出数据并解决问题 ..............................173 突破题型六补全单式折线统计图并解决问题 ....................................177 突破题型七补全复式折线统计图并解决问题 ....................................181 专题九数学广角—找次品 ....................................................... 185 突破题型一求至少称多少次找出次品 ..........................................185 突破题型二最优策略解决问题 ................................................187 突破题型三找出最佳的分组方法 ..............................................188 突破题型四画出或补全流程图 ................................................191 突破题型五根据称的次数反求物体的数量 ......................................193 6 / 194 专题一观察物体（三） 突破题型一三视图的认识 1．下图中，从( )面看到的图形是相同的。 和 【答案】上 【分析】从不同方向观察这两个几何体，分别得出从正面、上面、左面看到的图形，找出从哪 个面看到的图形是相同的即可。 【解答】 如图： 所以，从上面到的图形是相同的。 2．观察物体 ，从( )面看到的是 ，从( )面看到的是 ，从( )面看到的是 。 【答案】前 上 左 【分析】分别画出从上面、前面、后面、左面、右面看到的形状即可解答。 【解答】 从上面看： ， 从前面看： ，从后面看： ， 7 / 194 从左面看： ，从右面看： ， 所以，从前面看到的是 ，从上面看到的是 ，从左面看到的是 。 3．搭一搭，填一填。 从正面看到的图形是 的有( )。从左面看到的图形是 的有( )。 【答案】①④ ② 【分析】 分别从正面和左面看各几何体能看到的图形，找出符合条件的即可。①从正面看到的图形是 ，从左面看到的图形是 ；②从正面看到的图形是 ，从左面看到的图形 是 ；③从正面看到的图形是 ，从左面看到的图形是 ；④从正面看到的 图形是 ，从左面看到的图形是 。 【解答】 从正面看到的图形是 的有：①④。 从左面看到的图形是 的有：②。 4．把 17 个小正方体拼摆在一起（如下图）。从不同角度观察，得到下面右面四种不同的图形。 (1)图①是从( )面看到的。 (2)图②是从( )面看到的。 8 / 194 (3)图③是从( )面看到的。 (4)图④是从( )面看到的。 【答案】(1)右 (2)上 (3)左 (4)正 【分析】观察图形可知，从左面看到的图形有两层，第一层有 4个小正方体，第二层有 1 个小 正方体，与左数第 2个对齐；从上面看到的图形 4行，4列，每行每列都有 4个小正方体；从 右面看到的图形有两层，第一层有 4个小正方体，第二层有 1个小正方体，与左数第 3个对齐； 从正面看到的图形有两层，第一层有 4个小正方体，第二层有 1个小正方体，与左对齐。据此 解答即可。 【解答】（1）图①是从右面看到的。 （2）图②是从上面看到的。 （3）图③是从左面看到的。 （4）图④是从正面看到的。 突破题型二通过三视图会摆放立体图 5．一个几何体，从前面看是 ，从左面看是 ，搭成这样的几何体，最少用 ( )个小正方体，最多用( )个小正方体。 【答案】4 7 【分析】根据从前面和从左面看到形状，可知搭成的几何体有 2层，底层最少 3个小正方体， 最多 6个小正方体，上层只有 1个小正方体，据此分析，可以画一画示意图。 【解答】 一个几何体，从前面看是 ，从左面看是 ，搭成这样的几何体，如图 、 ，最少用 4个小正方体，最多用 7个小正方体。 6．一个用同样的小正方体搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的如图所示，搭成几何体 用了( )个小正方体。 9 / 194 【答案】7 【分析】 从正面看，搭成的几何体有上、下两层；从左面看，该几何体有前、后两列，且上面一层只有 一个小正方体；从上面看，搭成该几何体所用的小正方体如图： （数字表示该处放 置小正方体的个数）。 【解答】2＋1＋1＋1＋1＋1＝7（个） 因此搭成几何体用了 7个小正方体。 7．一个几何体从正面和上面都是 从左面是 摆这个几何体需要( )个小正 方体。 【答案】5 【分析】 从上面看是 ，说明底下一层有 4个小正方体。又因为从前面和左面看分别是 和 ，则说明上面一层只有 1个小正方体。利用加法求出一共有几个小正方体即可。 【解答】4＋1＝5（个） 所以，上面都是 从左面是 摆这个几何体需要 5个小正方体。 8．用同样大小的小正方体搭成一个立体图形，从上面和前面看到的形状都是 ，搭成 这个立体图形，最少需要( )个小正方体。 【答案】7 【分析】观察题意可知几何体有两层，根据从上面和前面看到的形状可知，下层有 5个小正方 体，上层最少有 2个，然后根据加法计算出这个立体图形最少有几个小正方体。 【解答】5＋2＝7（个） 要搭成这个立体图形，至少需要 7个小正方体。 【点评】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力。 突破题型三三视图的认识连线问题 9．观察下面的几何体，连一连从不同方向看到的图形。 10 / 194 【答案】见详解 【分析】观察几何体可知，从正面可以看到 2层 4个小正方形，下层 3个，上层 1个居左；从 上面可以看到 2层 4个小正方形，上层、下层各 2个，中间对齐；从右面可以看到 2层 3 个小 正方形，下层 2个，上层 1个且居右。据此连线。 【解答】连线如下： 10．连一连。 【答案】图见详解 【分析】观察图形可知，从前面看，看到的是 3层，第 1层是 2个正方形，第 2层是 2个正方 形，与第 1层对齐，第 3层是 1个正方形，靠右对齐；从上面看，看到的是 2行，第 1行和第 2行都是 2个正方形，对齐；从左面看，看到的是 3层，第 1层是 2个正方形，第 2层和第 3 层都是 1个正方形，且都靠左对齐；从右边看，看到的是 3层，第 1层是 2个正方形，第 2 层和第 3层都是 1个正方形，且都靠右对齐；据此连线。 【解答】连线如下： 11 / 194 11．下图分别是从哪面看到的？连一连。 【答案】见详解 【分析】根据所给物体可知，从前面看有三行，最上面一行有 1个正方形，位于左起第 2 个正 方形的位置，中间一行有 2个正方形，位于左起第 2个和第 4个正方形的位置，最下行有 4 个正方形，也就是题目选项中的第 2个图；从左面看有三行，最上面一行和中间一行都只有 1 个正方形靠左，最下一行 2个正方形，也就是题目选项中的第 1个图；从上面看有 2行，上行 3个正方形，位于左起第 1个、第 2个、第 4个正方形的位置，最下面一行有 2个正方形，位 置居中，也就是题目选项中的第 3个图；据此解答即可。 【解答】连线如下： 12．下边的三个图形分别是从什么方向观察得到的，连一连。 【答案】见详解 12 / 194 【分析】从正面看有 3层，最下层有 3个小正方形，中间和最上层各有 1个小正方形，居中； 上面看有 2层，上层有 3个小正方形，下层有 1个小正方形，居中； 从左面看有 3层，最下层有 2个小正方形，中层和最上层各有 1个小正方形，左齐，据此连线 解答。 【解答】 【点评】本题考查了从不同的方向观察物体，需要有较强的空间想象和推理能力。 突破题型四三视图的画法 13．分别画出从前面、上面、左面看到的图形。 【答案】见详解 【分析】根据题意得：从前面看图形有上下 3排，最下面一排有 3个正方形，中间一排有 1 个正方形且位于中央，最上面一排有 1个正方形也位于中央；从上面看图形有前后 3排，最前 面 1排有 2个正方形，中间 1排有 1个正方形与前面 1排错位，最后面 1排有 1个正方形与中 间正方形叠加；从左面看有上下 3排，最下面一排有 3个正方形，中间 1排有 1个正方形且靠 右，最后 1排有 1个正方形。据此可得出答案。 【解答】作图如下： 13 / 194 14．我会画。 在方格图中画出从正面和左面看到的图形。 【答案】见详解 【分析】这个立体图形从正面看是上下两行，上面 1行 2个小正方形，下面 1行 4个小正方形， 左对齐；从左面看是上下两行，上面 1行 1个小正方形，下面 1行 2个小正方形，左对齐。据 此解答。 【解答】根据分析，作图如下： 15．画出左下边图形从三个角度分别看到的形状。 【答案】见详解 【分析】本题考查物体的三视图。在进行观察分析画图时，要注意：物体摆放的位置。针对于 本题而言： 14 / 194 （1）从正面看时，物体一共有三层高，位于最底下的第一层能看到 3个正方体，第二层能看 到 1个正方体，第三层能看到 1个正方，且第二层和第三层是在同一方向上，即第一层的中间。 （2）从上面看时，物体一共有两行，位于最下方的第一行有 2个正方体，第二行有 2个正方 体，且第一行的最后 1个正方体和第二行的第 1个正方体在同一方向上。 （3）从左面看时，物体一共有两列，左侧有 3个正方体，右侧有 2个正方体。 结合观察到的图形画图即可。 【解答】如图： 16．请在方格纸上画出下面几何体从前面、左面和上面看到的图形。 【答案】见详解 【分析】观察图形可知，这个几何体是由 5个相同的小正方体组成。从前面可以看到 2层 4 个小正方形，下层 3个，上层 1个且居左；从左面可以看到 2层 3个小正方形，下层 2个，上 层 1个且居右；从上面可以看到 2层 4个小正方形，下层 3个，上层 1个且居右。据此画出从 前面、左面、上面看到的图形。 【解答】如图： 15 / 194 突破题型五解决稍复杂的问题 17．一个立体图形，从正面看到的形状是 ，从左面看到的形状是 。 （1）它可能是下面哪一个呢？在合适的图形下面画“√”。 （2）按题目的要求搭小正方体，最多能用（ ）个小正方体。 【答案】（1）见详解 （2）7 【分析】 （1） ，从正面看有 2层，下层 3个小正方形，上层 1个小正方形，居中；从左面 看，有 2层，下层 2个小正方形，上层 1个小正方形，右齐； ，从正面看有 2层，下层 3个小正方形，上层 1个小正方形，居中；从左面看， 有 2层，下层 2个小正方形，上层 1个小正方形，左齐； ，从正面看有 2层，下层 3 个小正方形，上层 1 个小正方形，右齐；从左面看， 有 2层，下层 2个小正方形，上层 1个小正方形，右齐；据此解答。 （2）这个几何体有 2层；使小正方体个数最多，前排下层 3个小正方体，后排有 3个小正方 体，前排上层居中 1个小正方体，据此解答。 【解答】（1）如图： 16 / 194 （2）3＋3＋1 ＝6＋1 ＝7（个） 最多能用 7个小正方体。 18．用 10 个棱长 1厘米的小正方体拼在一起如下图。 （1）画出从正面和左面看到的图形。 （2）要保证从上面看到的图形不变，最多可以拿走（ ）个小正方体。 【答案】（1）见详解 （2）4 【分析】（1）从正面看，有 3层，最上层有 1个正方形，中间层有 2个正方形，下层有 3个 正方形，左齐； 从左面看，有 3层，最上层有 1个正方形，中间层有 2个正方形，下层有 3个正方形，左齐； 据此画图； （2）把最上层和中间层的正方体都去掉，从上面看到的图形不变，据此解答。 【解答】（1）如图： 17 / 194 （2）1＋3＝4（个） 要保证从上面看到的图形不变，最多可以拿走 4个小正方体。 19．下面是用小正方体搭建的一些几何体。 （1）从正面看到的是 的有（ ），从侧面看到的是 的有（ ），从上面看到的 是 的有（ ）。 （2）如果从正面看到的和⑥一样，用 4个小正方体摆一摆，有多少种不同的摆法？ 【答案】（1）④⑤；①③；④ （2）5 【分析】（1）从正面看到的是二行，最下面一行三个小正方形并排，上面一行一个放在中间； 从侧面看是一列两个，上下排列；从上面看是二行三列，上下行各两个正方形，呈“Z”型排 列。由此分析判断。 （2）几何体⑥从正面看到的形状如右： ，根据此图，展开想象，确定物体的形状。 【解答】 （1）从正面看到的是 的有（④⑤），从侧面看到的是 的有（①③），从上面 看到的是 的有（④）。 （2）如果从正面看到的和⑥一样，用 4个小正方体摆一摆，可以有如下摆法。 共有 5种。 【点评】掌握物体三视体的画法及根据物体三视图确定物体的形状是解答的关键。 18 / 194 20．曲米在桌子上摆了一个由若干个同样的小正方体组成的几何体，从上面看到的图形是 ，从左面看到的图形是 。曲米摆出的这个几何体最少需要几个小正 方体？最多需要几个小正方体？ 【答案】最少需要 5个小正方体；最多需要 7个小正方体 【分析】根据图形从上看和从左看可知，这个图形有 2列，前面一行只有 1层，只有 1个正方 体，后面是 2层，最多可放 6个正方体，最少可放 4个正方体，最多就是 1＋6＝7个；最少就 是 1＋4＝5个，即可解答。 【解答】根据题意可知：最少需要：4＋1＝5（个） 最多需要：6＋1＝7（个） 答：曲米摆出的这个几何体最少需要 5个正方体；最多需要 7个正方体。 【点评】本题考查从不同方向观察物体和几何体，根据从不同的位置看到的图形解答问题。 突破题型六通过三视图还原立体图 21．乐乐用 6个同样的小正方体搭了一个几何体，从正面和左面看到的分别是 和 。乐乐搭的几何体可能是（ ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据正面图和左面图可知该几何体有两层，并且上面一层只有 1个小正方体，底下一 层有 5个小正方体，并且根据左面图可知其中有 4个在后面一排，1个在前面一排，所以综合 分析可得到答案，依此解答即可。 【解答】根据正面图和左面图，该几何体有两层，上面一层只有 1个小正方体，底下有 5 个小 正方体，并且根据左面图可知其中有 4个在后面一排，1个在前面一排，只有 B选项符合要求。 故答案为：B 【点评】本题是考查作简单图形的三视图，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到 19 / 194 的简单几何体的平面图形。 22．用 5个正方体搭成一个几何体，从正面看是 ，从上面看是 ，从右面看 是 ，这个几何体是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A．从正面看有 2行，下边 1行 2个小正方形，上边 1行靠左 1个小正方形；从上面 看有 2列，右边 1列 3个小正方形，左边 1列靠上 1个小正方形；从右面看有 2行，下边 1 行 3个小正方形，上边 1行靠右 1个小正方形； B．从正面看有 2行，下边 1行 3个小正方形，上边 1行靠左 1个小正方形；从上面看有 2行， 下边 1行 3个小正方形，上边 1行中间 1个小正方形；从右面看有 2行，下边 1行 2个小正方 形，上边 1行靠左 1个小正方形； C．从正面看有 2行，下边 1行 3个小正方形，上边 1行靠左 1个小正方形；从上面看有 2行， 上边 1行 3个小正方形，下边 1行中间 1个小正方形；从右面看有 2行，下边 1行 2个小正方 形，上边 1行靠右 1个小正方形； D．从正面看有 2行，下边 1行 3个小正方形，上边 1行靠左 1个小正方形；从上面看有 2行， 上边 1行 3个小正方形，下边 1行靠左 1个小正方形；从右面看有 2行，下边 1行 2个小正方 形，上边 1行靠右 1个小正方形。 【解答】 A．从正面看是 ，从上面看是 ，从右面看是 ； B．从正面看是 ，从上面看是 ，从右面看是 ； C．从正面看是 ，从上面看是 ，从右面看是 ； D．从正面看是 ，从上面看是 ，从右面看是 。 用 5个正方体搭成一个几何体，从正面看是 ，从上面看是 ，从右面看是 ， 20 / 194 这个几何体是 。 故答案为：C 23．由 8个 搭成的立体图形，从正面看到的形状是 ，从左面看到的形状是 ， 这个立体图形是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从不同方向观察四个选项中的立体图形，分别得出从正面、左面看到的形状，再与原 图形比较，找出符合要求的立体图形。 【解答】从正面、左面看到的形状如下： A． B． C． D． 21 / 194 所以，这个立体图形是 。 故答案为：A 24．5 个同样的小正方体摆一个立体图形，使它从上面看到的图形如图所示。正确的摆法是（ ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】 从上面看有 2层数，上层 3个小正方形，下层 1个小正方形，左齐；如图： ； 从上面看有 2 层，上层 1 个小正方形，下层有 3 个小正方形，居中，如图： ； 从上面看有 2 层，上层 1 个小正方形，下层 3 个小正方形，右齐，如图： ；据此解答。 【解答】 根据分析可知，用 5个同样的小正方体摆一个立体图形，使它从上面看到的图形如图所示。正 22 / 194 确的摆法是 。 故答案为：B 突破题型七通过数字还原立体图 25．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示这 个位置上所用小正方体的个数）。这个几何体从左面看是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据从上面看到的形状和数字，可以确定这个几何体如图 ，从左面看有 3行，下边 1 行 3个小正方形；中间 1行 2个小正方形，左对齐；上边 1行 1个小正方形，居中；据此分析。 【解答】 根据分析，这个几何体从左面看是 。 故答案为：C 26．一个几何体从上面看到的形状是 ，小正方形上面的数字表示在这个位置上所摆小 正方体的个数，那么这个几何体从左面看到的是（ ）。 23 / 194 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，这个几何体由 7个小正方体组成；从左面看能看到 2列 5个小正方体， 从左往右，分别是 3个、2个，下齐，据此解答。 【解答】 根据分析可知，一个几何体从上面看到的形状是 ，小正方形上面的数字表示在这个位 置上所摆小正方体的个数，那么这个几何体从左面看到的是 。 故答案为：B 27．由一些大小相同的小正方体组成的几何体，从上面看到的形状如图，（其中正方形中的数 字表示该位置上的小正方体的个数）则从正面看到（ ）号图形，从右面看到（ ）号图形。 A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据从上面看到的图形以及各个位置上的数字可知，这个图形从正面看时，中间最高， 最高有两个小正方形，左右两边比较低，各一个小正方形。这个图形从右面看时，左低右高， 左边一个小正方形，右边两个小正方形。据此解题。 【解答】从正面看到③号图形，从右面看到④号图形。 故答案为：D 28．小明用若干个同样的小正方体搭一个几何体，搭出的几何体从上面看到的形状如下图（每 个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数。）这个几何体，从左面看到的 形状是（ ）。 24 / 194 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确观察物体的方法，先确定有几列或几行，每列或每行有几个，形状是怎样的。观 察图形可知，这个几何体，从左面能看到几列，左边一列有几个正方形，右边一列有几个正方 形，据此解答。 【解答】观察图形可画出立体图形： 这个几何体，从左面看到两列，左边一列有 3个正方形，右边一列有 2个正方形。 故答案为：C 专题二因数与倍数 突破题型一因数和倍数的认识 1．a、b 都是大于 0的自然数，a＝9b。a 的因数最少有( )，( )，( ) 和( )。 【答案】1 a 9 b 【分析】a＝9b，说明 9和 b都是 a的因数，另外一个数的最小公倍数是 1，最大因数是它本 身，据此填空。 【解答】a、b都是大于 0的自然数，a＝9b。根据分析，a的因数最少有 1，a，9和 b。 2．《西游记》是我国古典文学四大名著之一，书中唐僧师徒四人经历了“九九八十一难”。 81 的因数有( )，81 的最小倍数是( )。 【答案】1、3、9、27、81 81 【分析】找一个数的因数，可以应用列举法、列乘法算式法。一个数的最小倍数是它本身，据 此解答。 25 / 194 【解答】81 3 27  ，81 9 9  ，81 1 81  所以 81 的因数有 1、3、9、27、81；81 的最小倍数是 81。 3．因为 45÷9＝5，所以可以说 9是( )的因数，45 是 9 的( )。 【答案】45 倍数 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数 a能被数 b整除（b≠0），a就是 b的倍数，b就是 a的因数；据此解答即可。 【解答】根据分析可得： 因为 45÷9＝5，所以可以说 9是 45 的因数，45 是 9 的倍数。 4．一个数的最大因数和最小倍数的和是 32，这个数是( )。 【答案】16 【分析】一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身。设这个数是 x，那么它的最大 因数是 x，最小倍数也是 x，根据题意列方程为： 32x x  ，求解即可。 【解答】解：设这个数是 x，那么它的最大因数是 x，最小倍数也是 x， 32x x  2 32x  32 2x   16x  所以，一个数的最大因数和最小倍数的和是 32，这个数是 16。 突破题型二找一个数的因数及因数的特征 5．一个数最大的因数是 36，它最小的倍数是( )。写出 36 的全部因数( )。 【答案】36 1，2，3，4，6，9，12，18，36 【分析】一个数最大因数是它本身，最小倍数是它本身，据此求出 36 的最小倍数；再根据求 一个数的因数的方法，求出 36 的全部因数。 【解答】一个数最大的因数是 36，它最小的倍数是 36。 36 的因数有 1，2，3，4，6，9，12，18，36。 一个数最大的因数是 36，它最小的倍数是 36。36 的全部因数 1，2，3，4，6，9，12，18，36。 6．在7的倍数中，最大的两位数是( )；一个数只有a、5、7、35四个因数，这个数是( )。 【答案】98 35 【分析】最大的两位数是 99，用 99 除以 7求出商和余数，用 99 减去余数即是所求；一个数 26 / 194 的因数最小是 1，最大是它本身。据此解答。 【解答】99 7 14 1   99 1 98  因此，在 7的倍数中，最大的两位数是 98； 一个数只有 a、5、7、35 四个因数，即该数最小的因数是 a，最大的因数是 35，因此，这个数 是 35。 7．20 的因数有( )，30 的因数有( )，既是 20 的因数，又是 30 的因数的数有 ( )。 【答案】1、2、4、5、10、20 1、2、3、5、6、10、15、30 1、2、5、10 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算 式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先分别求出 20 和 30 的因数，再找到既是 20 的因数，又是 30 的因数的数即可。 【解答】20＝1×20＝2×10＝4×5；20 的因数有：1，2，4，5，10，20； 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6；30 的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30； 既是 20 的因数，又是 30 的因数有：1，2，5，10。 20 的因数有 1，2，4，5，10，20，30 的因数有 1，2，3，5，6，10，15，30，既是 20 的因数， 又是 30 的因数的数有 1，2，5，10。 8．48 一共有 10 个因数。小明写出了 9个：1，2，3，4，6，8，12，24，48。按照小明的写 法，他漏写了排在( )后面的( )。小静也写出了 9个：1，48，2，24，3，4， 12，6，8。按照小静的写法，他漏写了排在( )后面的( )。 【答案】12 16 3 16 【分析】求一个数的因数的方法最简单的就是用除法，用这个数连续除以 1，2，3，……，除 到它本身为止，能整除的就是它的因数，然后写出一组一组的两个数，据此解答。 【解答】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 小明写法：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 小静写法：1，48，2，24，3，16，4，12，6，8。 48 一共有 10 个因数。小明写出了 9个：1，2，3，4，6，8，12，24，48。按照小明的写法， 他漏写了排在 12 后面的 16。小静也写出了 9个：1，48，2，24，3，4，12，6，8。按照小静 的写法，他漏写了排在 3后面的 16。 27 / 194 突破题型三找一个数的倍数及倍数的特征 9．一个数的最大的因数与最小的倍数的和是 36，这个数是( )。 【答案】18 【分析】这个数最大的因数和最小的倍数和是 36，根据“一个数的最大因数和最小倍数都是 它本身”，可以 36÷2，即可求出这个数。 【解答】根据分析可得： 36÷2＝18 一个数的最大的因数与最小的倍数的和是 36，这个数是 18。 10．中国在 2014 年南京青奥会上获得 38 枚金牌，38 的最大因数是( )，它的最小倍数 是( )。 【答案】38 38 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身。一个数的倍 数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。据此解答。 【解答】38 的最大因数是（38），它的最小倍数是（38）。 11．把一些袋装糖果平均分装在 14 个盒子里，结果正好装完。已知这些糖果在 50～60 袋之间， 那么每盒装了( )袋糖果。 【答案】4 【分析】把这些糖果平均装在 14 个盒子里，正好装完，则这些糖果的数量刚好是 14 的倍数， 先求出 14 的倍数，再找出倍数在 50～60 之间，最后用这些糖果的总数除以 14，所得结果即 为每盒装了多少袋糖果。 【解答】14 的倍数有：14，28，42，56，70…… 其中倍数在 50～60 之间的是 56。 56÷14＝4（袋） 因此每盒装了 4袋糖果。 12．淘宝某店“双十一”前开展整时抢三折优惠券活动。每次发放的优惠券不超过 50 张，且 张数是 9的倍数。店家每次可能发放( )张优惠券。 【答案】9，18，27，36，45 【分析】根据题意，每次发放的优惠券不超过 50 张，且张数是 9的倍数，列举出 50 以内 9 的倍数，即是店家每次可能发放优惠券的张数。 28 / 194 【解答】50 以内 9的倍数：9，18，27，36，45； 即店家每次可能发放 9，18，27，36，45 张优惠券。 突破题型四倍数和因数的综合应用 13．一个数的最大因数是 17，它的最小倍数是( )。 【答案】17 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身，一个数 的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【解答】根据分析可知，一个数的最大因数是 17，说明这个数是 17，最小倍数也是它本身， 即 17。 14．猜猜我是谁。 我是( ) 我是( ) 我是( ) 【答案】60 11 28 【分析】根据一个数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身；据此解答第一空； 根据找一个数因数的方法，先找出 33 和 11 的所有因数，再找除 1以外共有的因数；据此解答 第二空； 根据找一个数倍数的方法，找出 7的倍数，再找到其中有因数 4的，也就是 7的 4倍，据此解 答第三空。 【解答】我的最大因数和最小倍数都是 60，我是 60； 33 的因数：1、3、11、33， 11 的因数：1、11， 所以是 33 的因数，又是 11 的因数，但我不是 1，我是 11； 7×4＝28 我是 50 以内 7的倍数，我的其中一个因数是 4，我是 28。 如下： 29 / 194 15．一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是 40 的因数，又是 5的倍数。这个旅行 团一共有( )人。 【答案】20 【分析】先写出 40 的所有因数，再从中找出 5的倍数的数，最后找出在 15～30 之间的数，即 是这个旅行团的人数。 5的倍数特征：个位上是 0或 5的数。 【解答】40 的因数：1，2，4，5，8，10，20，40； 其中又是 5的倍数的有：5，10，20，40； 15＜20＜30 这个旅行团一共有 20 人。 【点评】本题考查找一个数的因数以及 5的倍数特征的应用。 16．猜电话号码。 0871－ABCDEFG 提示：A－8的最小倍数；B－最小的自然数；C－5的最大因数；D－既是 4的倍数，又是 4的 因数；E－它的所有因数是 1、2、3、6；F－它的所有因数是 1、3；G－它只有 1个因数。这个 电话号码是 0871－( )。 【答案】8054631 【分析】在乘法算式 a×b＝c（a、b、c均为非 0的自然数）中，a、b就是 c的因数，c就是 a、b的倍数。用来表示物体个数的 0，1，2，3，4……都叫自然数。 【解答】8的最小倍数是 8；最小的自然数是 0；5的最大因数是 5；既是 4的倍数，又是 4的 因数，这个数是 4；6的因数有 1、2、3、6；3的因数有 1、3；只有 1个因数的是 1。所以这 个电话号码是 0871－8054631。 30 / 194 【点评】一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。 突破题型五 2、5 的倍数特征 17．个位上是( )或( )的数，是 5的倍数，其中( )是最小的 5的倍数。 【答案】0 5 5 【分析】5的倍数特征：个位上的数字是 0或 5的数是 5的倍数。一个数的倍数的个数是无限 的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 【解答】个位上是 0或 5的数，是 5的倍数，如 5、10、15、20 等，在研究因数和倍数时，不 考虑 0，其中 5是最小的 5的倍数。 18．要使68□既是 2的倍数，又能被 5整除。W 里填( )。 【答案】0 【分析】能被 5整除，说明这个数也是 5的倍数，是 2的倍数，又是 5的倍数。根据 2的倍数 特征和 5的倍数特征可知，只有个位上是 0的数才既是 2的倍数，又是 5的倍数，据此解答。 【解答】2的倍数特征是个位上是 0，2，4，6，8的数，5的倍数特征是个位上是 0或 5的数。 所以，既是 2的倍数，又是 5的倍数的数个位只能是 0。因此，W 里填 0，即 680。 19．1021 至少减去( )就是 2的倍数；1708 至少加上( )就是 5的倍数。 【答案】1 2 【分析】本题考查 2和 5的倍数特征。2的倍数特征是：个位上是 0、2、4、6、8的数；5的 倍数特征是：个位上的数字是 0或者 5的数。比 1021 小的 2的倍数中，最大的是 1020。比 1708 大的 5的倍数中，最小的是 1710。据此解答。 【解答】比 1021 小的 2的倍数中，最大的是 1020。1021－1020＝1 比 1708 大的 5的倍数中，最小的是 1710。1710－1708＝2 所以，1021 至少减去 1就是 2的倍数；1708 至少加上 2就是 5的倍数。 20．56□是 2的倍数，□中可以填数字有( )。 【答案】0，2，4，6，8 【分析】整数的末尾是 0、2、4、6、8的数，都是 2的倍数。据此解答。 【解答】56□是 2的倍数，□中可以填数字有（0，2，4，6，8）。 【点评】掌握 2的倍数特征是解答的关键。