专题02 实数（12种经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（人教版2024，吉林专用）

专题02 实数 题型概览 题型01求一个数的算术平方根 题型02利用算术平方根的非负性解题 题型03与算术平方根有关的规律探索题 题型04已知一个数的平方根，求这个数 题型05求一个数的立方根 题型06算术平方根和立方根的综合应用 题型07无理数 题型08实数的大小比较 题型09无理数的大小估算 题型10无理数整数部分的有关计算 题型11实数的混合运算 题型12新定义下的实数运算 ( 题型01 ) 求一个数的算术平方根 1．（20-21七年级下·吉林四平·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（22-23七年级下·吉林·期末）的算术平方根是 ． 3.（21-22七年级下·吉林白山·期末）求：的值 ( 题型0 2 ) 利用算术平方根的非负性解题 1.（20-21七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，若点A(m，n)满足+|n﹣2020|＝0，则点A在第 象限． 2．（23-24七年级下·吉林白城·期末）已知：实数满足关系式求的值． 3．（21-22七年级下·吉林白城·期末）如图，长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，点和点分别在轴和轴的正半轴上，点的坐标为，且． (1)求点的坐标； (2)点是线段的中点，求的面积； ( 题型0 3 ) 与算术平方根有关的规律探索题 1．（22-23七年级下·吉林长春·期末）观察表格回答下列问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中　 　，　 　． (2)从表格中探究a与数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题： ①已知，则　 　． ②已知，若，则a＝　 　． 2．（21-22七年级下·吉林白城·期末）先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3) 试比较与a的大小． ( 题型0 4 ) 已知一个数的平方根，求这个数 1．（20-21七年级下·吉林延边·期末）已知是正数的两个平方根，且，求值，及的值． 2．（20-21七年级下·吉林四平·期末）已知正实数的平方根分别是和，若，求的平方根． 3．（21-22七年级下·吉林白城·期末）阅读下面的对话并帮助小明回答李老师提出的这个问题． 李老师：“一个正数的平方根有什么性质？” 小明：“一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．” 李老师：“如果一个正数的平方根是与， 请你求出和的值．” ( 题型0 5 ) 求一个数的立方根 1.（23-24七年级下·吉林松原·期末）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21七年级下·吉林延边·期末）如果，那么＝ ． 3.（22-23七年级下·吉林延边·期末）的平方根是 ，的立方根是 ，的绝对值是 ． 4.（23-24七年级下·吉林松原·期末）已知正数的两个不同的平方根分别为和．求的立方根． 5.（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知，是64的立方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． ( 题型0 6 ) 算术平方根和立方根的综合应用 1.（20-21七年级下·吉林白城·期末）下列结论正确的是（　　） A．64的立方根是±4 B．1的平方根是1 C．算术平方根等于它本身的数只有0 D．＝﹣ 2.（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． ( 题型0 7 ) 无理数 1.（23-24七年级下·吉林白城·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 2.（21-22七年级下·吉林松原·期末）在实数①﹣，②，③0.3，④，⑤，⑥，⑦0.373737773…（每相邻两个3之间依次多一个7）中，属于无理数的有 ． ( 题型 8 ) 实数的大小比较 1.（20-21七年级下·吉林四平·期末）在实数，，，0中，最小的实数为（    ） A． B． C． D．0 2.（20-21七年级下·吉林松原·期末）比较下列实数的大小（填上＞、＜或=）：－ － ( 题型 9 ) 无理数的大小估算 1.（22-23七年级下·吉林·期末）下面4个数中，最大的数是（　　） A． B．0 C．3 D． 2.（23-24七年级下·吉林长春·期末）、是连续的两个整数，若，则的值为 ． 3.（20-21七年级下·吉林长春·期末）已知a-1的立方根是2，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分． （1）求a、b、c的值． （2）求a-3b-c的平方根． ( 题型 10 ) 无理数整数部分的有关计算 1.（22-23七年级下·吉林·期末）已知实数，m在两个相邻整数之间，则这两个相邻整数的和为 ． 2.（23-24七年级下·吉林·期末）已知的算术平方根是的平方根是是的整数部分，求的平方根． 3．（22-23七年级下·吉林四平·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根为2，是的整数部分， (1)求a、b、c的值． (2)求的立方根． ( 题型 11 ) 实数的混合运算 1.（23-24七年级下·吉林松原·期末）计算：． 2．（23-24七年级下·吉林·期末）计算：． 3．（23-24七年级下·吉林松原·期末）阅读下列材料： ，即的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是____________，小数部分是____________； (2)如果的小数部分为的整数部分为n，求的值； (3)已知：，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值． ( 题型 12 ) 新定义下的实数运算 1.（23-24七年级上·吉林辽源·期末）定义新运算， 若，则 ． 2.（23-24七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，已知任意两点，，规定，若，且，求点Q的坐标． 一、单选题 1．（20-21七年级下·吉林延边·期末）在下列实数中：无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23七年级下·吉林·期末）对于，下列说法错误的是（    ） A．是有理数 B．是无理数 C．是实数 D．是无限小数 3．（23-24七年级下·吉林·期末）下列各数为无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 4．（23-24七年级下·吉林·期末）在实数，，，，中，无理数的个数为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（22-23七年级下·吉林长春·期末）是连续的两个整数，若，则的值为 ． 6．（21-22七年级下·吉林四平·期末）在，3，π，-4这四个实数中，最大的数是 ． 7．（20-21七年级上·吉林长春·期末）若表示大于x的最小整数，如，，则下列结论中正确的有 （填写所有正确结论的序号）． ①；②；③；④；⑤存在有理数x使成立． 三、解答题 8．（23-24七年级下·吉林白城·期末）计算： 9．（20-21七年级下·吉林松原·期末）计算：（1） （2）+|－2|＋+（－1）2021． 10．（23-24七年级下·吉林白城·期末）已知的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 11．（23-24七年级下·吉林·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． 12．（22-23七年级下·吉林长春·期末）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值． (2)求的平方根． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实数 题型概览 题型01求一个数的算术平方根 题型02利用算术平方根的非负性解题 题型03与算术平方根有关的规律探索题 题型04已知一个数的平方根，求这个数 题型05求一个数的立方根 题型06算术平方根和立方根的综合应用 题型07无理数 题型08实数的大小比较 题型09无理数的大小估算 题型10无理数整数部分的有关计算 题型11实数的混合运算 题型12新定义下的实数运算 ( 题型01 ) 求一个数的算术平方根 1．（20-21七年级下·吉林四平·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的运算法则和绝对值的性质对各选项进行逐一解答即可． 【详解】解：A、∵，∴，故本选项符合题意； B、与不能合并，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、-4没有算术平方根，故本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查的是算术平方根和绝对值的运算，熟知相关运算法则是解答此题的关键． 2.（22-23七年级下·吉林·期末）的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】利用算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根的定义和有理数的乘方．一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义． 3.（21-22七年级下·吉林白山·期末）求：的值 【答案】 【分析】根据被开方数≥0和平方是非负数，得出x的值，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了代数式求值此，被开方数的非负性质，平方的非负性质，理解被开方数的非负性质，平方的非负性质求出x的值是解关键． ( 题型0 2 ) 利用算术平方根的非负性解题 1.（20-21七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，若点A(m，n)满足+|n﹣2020|＝0，则点A在第 象限． 【答案】二 【分析】根据非负数的意义可求出m、n的值，再根据点A坐标的特征判定所在的象限． 【详解】解：∵ ∴m+2021＝0，n﹣2020＝0， 即m＝﹣2021，n＝2020， ∴点A（﹣2021，2020）， ∴点A在第二象限， 故答案为：二． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性，以及根据点的坐标判断其所在的象限，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性. 2．（23-24七年级下·吉林白城·期末）已知：实数满足关系式求的值． 【答案】2027 【分析】本题主要考查算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，代数式求值，求解，，的值是解题的关键．根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解，，的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得，，， ． 3．（21-22七年级下·吉林白城·期末）如图，长方形的顶点为平面直角坐标系的原点，点和点分别在轴和轴的正半轴上，点的坐标为，且． (1)求点的坐标； (2)点是线段的中点，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性质得，即可得出结论； （2）由矩形的性质得到， ， 再求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴  解得 ， ∴； （2）解：，四边形是矩形， ，，， ∵点是线段的中点， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，绝对值和算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． ( 题型0 3 ) 与算术平方根有关的规律探索题 1．（22-23七年级下·吉林长春·期末）观察表格回答下列问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … x 1 y 100 … (1)表格中　 　，　 　． (2)从表格中探究a与数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题： ①已知，则　 　． ②已知，若，则a＝　 　． 【答案】(1)；10 (2)①；②25600 【分析】（1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：；10． （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 已知，则， 故答案为：； ②由①可得被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 已知，则， ∵， ∴． 故答案为：25600． 【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． 2．（21-22七年级下·吉林白城·期末）先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)见解析 【分析】本题考查了求算术平方根及算术平方根的规律： （1）根据算术平方根定义直接求解即可得到答案； （2）①根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案；②根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案； （3）分，，，四类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得， ，， 故答案为：，； （2）解：由表格及（1）得， 被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍， ①∵， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， ， 当时， ， 当，时， ． ( 题型0 4 ) 已知一个数的平方根，求这个数 1．（20-21七年级下·吉林延边·期末）已知是正数的两个平方根，且，求值，及的值． 【答案】， ，． 【分析】根据正数的平方根有2个，且互为相反数，以及求出与的值即可． 【详解】解：因为，是正数的两个平方根，可得：， 把代入，，解得：， 所以， 所以． 【点睛】此题考查了平方根，明确一个正数的两个平方根互为相反数,和为0是解题的关键． 2．（20-21七年级下·吉林四平·期末）已知正实数的平方根分别是和，若，求的平方根． 【答案】． 【分析】根据平方根的定义，先求出，然后求出，即可得到答案． 【详解】解：∵正实数的平方根是和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 3．（21-22七年级下·吉林白城·期末）阅读下面的对话并帮助小明回答李老师提出的这个问题． 李老师：“一个正数的平方根有什么性质？” 小明：“一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．” 李老师：“如果一个正数的平方根是与， 请你求出和的值．” 【答案】； 【分析】一个正数的两个平方根2a−3与5−a互为相反数，和为0列式可求a，再求x． 【详解】根据题意，得   解得   ∴ ∵－7是的平方根   所以 【点睛】此题考查了平方根的性质，解题的关键是一个正数的两个平方根互为相反数，和为零． ( 题型0 5 ) 求一个数的立方根 1.（23-24七年级下·吉林松原·期末）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的定义，解题的关键在掌握算术平方根和平方根的区别和联系． 【详解】解：A. ，计算正确，不符合题意； B. ，计算正确，不符合题意； C. ，计算错误，符合题意； D. ，计算正确，不符合题意； 故选C． 2．（20-21七年级下·吉林延边·期末）如果，那么＝ ． 【答案】 【分析】本题可利用立方根的定义直接求解． 【详解】∵， ∴． 故填：． 【点睛】本题考查立方根的定义：如果一个数的立方等于a，则这个数称为a的立方根使用时和平方根定义对比记忆． 3.（22-23七年级下·吉林延边·期末）的平方根是 ，的立方根是 ，的绝对值是 ． 【答案】 / 【分析】根据平方根，立方根，绝对值的意义进行计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴的平方根是， 故答案为：； ∵， ∴的立方根是， 故答案为：； ∵， ∴， ∴的绝对值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根，立方根，绝对值，解题的关键是掌握平方根与立方根的意义． 4.（23-24七年级下·吉林松原·期末）已知正数的两个不同的平方根分别为和．求的立方根． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于a的方程，解方程求出a的值，再求出m，得出答案即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ， ． 5.（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知，是64的立方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了算术平方根的非负性、立方根、平方根等知识，熟练掌握算术平方根的非负性、平方根的意义是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性得到，代入即可求出的值，再利用立方根的意义求出的值； （2）把字母的值代入求出代数式的值，根据平方根的意义求出答案即可． 【详解】（1）由题意，得解得， ∴， ． （2）∵． ∴16的平方根是． ( 题型0 6 ) 算术平方根和立方根的综合应用 1.（20-21七年级下·吉林白城·期末）下列结论正确的是（　　） A．64的立方根是±4 B．1的平方根是1 C．算术平方根等于它本身的数只有0 D．＝﹣ 【答案】D 【分析】根据立方根，平方根和算术平方根的定义逐项分析即可． 【详解】A. 64的立方根是4，故A选项，不正确，不符合题意； B. 1的平方根是，故B选项，不正确，不符合题意； C. 算术平方根等于它本身的数有0和1，故C选项，不正确，不符合题意； D. ，﹣，＝﹣，正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查立方根的定义，掌握立方根的概念及求一个数的立方根的方法是本题的解题关键．一个正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根． 2.（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由算术平方根的定义得出，即可得出的值，由立方根的概念得出，即可得出的值； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， 解得， 的立方根为4， ， ， 解得， ，． （2）解：，， ， 的平方根是． ( 题型0 7 ) 无理数 1.（23-24七年级下·吉林白城·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是负整数，不是无理数，故此选项不符合题意； B、0是整数，不是无理数，故此选项不符合题意； C、是分数，不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项符合题意； 故选：D． 2.（21-22七年级下·吉林松原·期末）在实数①﹣，②，③0.3，④，⑤，⑥，⑦0.373737773…（每相邻两个3之间依次多一个7）中，属于无理数的有 ． 【答案】②④⑦ 【分析】根据无理数的三种形式，①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合题意判断即可． 【详解】解：①﹣，②，③0.3，④，⑤，⑥，⑦0.373737773…（每相邻两个3之间依次多一个7）中， 属于无理数的有②，④，⑦0.373737773…（每相邻两个3之间依次多一个7）， 故答案为：②④⑦ 【点睛】本题考查了无理数的概念，求算术平方根，求一个数的立方根，解答本题的关键是掌握无理数的定义． ( 题型 8 ) 实数的大小比较 1.（20-21七年级下·吉林四平·期末）在实数，，，0中，最小的实数为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据正数大于0，0大于一切负数，两个负实数绝对值大的反而小，比较选择即可． 【详解】解：∵正数大于0和一切负数， ∴只需比较和的大小， ∵，，且， ∴ ∴最小的实数是． 故选C． 【点睛】本题主要考查实数比较大小，掌握任意两个实数比较大小的方法是解答本题的关键． 2.（20-21七年级下·吉林松原·期末）比较下列实数的大小（填上＞、＜或=）：－ － 【答案】< 【分析】通过取绝对值的方法判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查实数的大小比较，掌握常用的实数比较方法是解题关键 ( 题型 9 ) 无理数的大小估算 1.（22-23七年级下·吉林·期末）下面4个数中，最大的数是（　　） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解． 【详解】解： 最大的数是 故答案为：D． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数比较大小的方法是解题的关键． 2.（23-24七年级下·吉林长春·期末）、是连续的两个整数，若，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算的大小，确定出a和b的值，然后计算的值即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵、是连续的两个整数， ∴，， ∴， 故答案为：7． 3.（20-21七年级下·吉林长春·期末）已知a-1的立方根是2，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分． （1）求a、b、c的值． （2）求a-3b-c的平方根． 【答案】（1）a=9，b=-10，c=3；（2）±6 【分析】（1）根据乘方，可得a，b的值，根据无理数的估算确定3＜＜4，可得答案c． （2）根据代数式求值，可得a-3b-c的值，根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：（1）由题意，得a-1=8，3a+b-1=16， 解得a=9，b=-10， ∵3＜＜4， ∴c=3． （2）a-3b-c=9-3×（-10）-3=36， ∴36的平方根是±6． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，平方根和立方根的定义，利用平方根和立方根的定义确定a，b，c的值是解题关键． ( 题型 10 ) 无理数整数部分的有关计算 1.（22-23七年级下·吉林·期末）已知实数，m在两个相邻整数之间，则这两个相邻整数的和为 ． 【答案】13 【分析】根据算术平方根的定义由得出，确定这两个相邻整数即可得出答案． 【详解】 即 这两个相邻整数的和为 故答案为：． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用算术平方根对无理数的大小进行估算． 2.（23-24七年级下·吉林·期末）已知的算术平方根是的平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 3．（22-23七年级下·吉林四平·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，的算术平方根为2，是的整数部分， (1)求a、b、c的值． (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)的立方根是 【分析】（1）先根据平方根的定义求出a的值，再根据算术平方根的定义求出b的值，估算出的取值范围即可得出c的值； （2）代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴； ∵的算术平方根为2， ∴， ∴； ∵， ∴的整数部分， ∴． （2）解：， ∴的立方根是． 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及平方根，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． ( 题型 11 ) 实数的混合运算 1.（23-24七年级下·吉林松原·期末）计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算开方和乘方，再算加减． 【详解】解：原式． 2．（23-24七年级下·吉林·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解题的关键．先计算开方，并去绝对值符号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 3．（23-24七年级下·吉林松原·期末）阅读下列材料： ，即的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是____________，小数部分是____________； (2)如果的小数部分为的整数部分为n，求的值； (3)已知：，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值． 【答案】(1)3， (2) (3) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算： （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意求出m、n的值即可得到答案； （3）先估算出，进而得到，据此求出a、b的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分为2，的整数部分为4， ∴的小数部分为， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中a是整数，且， ∴， ∴． ( 题型 12 ) 新定义下的实数运算 1.（23-24七年级上·吉林辽源·期末）定义新运算， 若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用已知的新定义计算即可求出值． 【详解】解： 根据题中的新定义得： 原式 . 故答案为：. 2.（23-24七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，已知任意两点，，规定，若，且，求点Q的坐标． 【答案】点Q的坐标为 【分析】题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用题中的新定义计算求出与的值，即可确定出点坐标． 【详解】设点Q的坐标为，依题意得： ， 可得：，， 解得：，， ∴点Q的坐标为． 一、单选题 1．（20-21七年级下·吉林延边·期末）在下列实数中：无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，根据定义判断即可． 【详解】解：无理数有，共4个， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯⋯． 2．（22-23七年级下·吉林·期末）对于，下列说法错误的是（    ） A．是有理数 B．是无理数 C．是实数 D．是无限小数 【答案】A 【分析】根据实数的分类进行判断即可． 【详解】解：是无限不循环小数，是无理数，是实数，不是有理数． 故选A． 【点睛】本题考查实数的分类．熟练掌握实数的分类是解题的关键． 3．（23-24七年级下·吉林·期末）下列各数为无理数的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的知识；解题的关键是熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数是无理数．根据无理数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】A、0是有理数，故选项A不符合题意， B、是无理数，故选项B符合题意， C、3.14为有理数，故选项C不符合题意， D、是有理数，故选项D符合题意， 故选：B． 4．（23-24七年级下·吉林·期末）在实数，，，，中，无理数的个数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是正确理解无理数的几种形式． 【详解】解：是有理数，不符合题意； 是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 共个无理数， 故选：． 二、填空题 5．（22-23七年级下·吉林长春·期末）是连续的两个整数，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据无理数的估算即求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是连续的两个整数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数估算的方法是解题的关键． 6．（21-22七年级下·吉林四平·期末）在，3，π，-4这四个实数中，最大的数是 ． 【答案】π 【分析】根据实数大小的比较方法进行解答即可． 【详解】解：∵2<<3， ∴-4<<3<π， ∴最大的数为π． 故答案为：π． 【点睛】本题考查实数大小的比较，解题关键是正确地估算出无理数的大小． 7．（20-21七年级上·吉林长春·期末）若表示大于x的最小整数，如，，则下列结论中正确的有 （填写所有正确结论的序号）． ①；②；③；④；⑤存在有理数x使成立． 【答案】①④⑤ 【分析】根据题意表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案． 【详解】解：①，根据表示大于x的最小整数，故正确； ②，应该等于，故错误； ③，当x=0.5时，，故错误； ④，根据定义可知，但不会超过x+1，所以成立，故正确； ⑤当x=0.8时，，故正确． 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题主要考查了对题意的理解，准确的理解题意是解决本题的关键． 三、解答题 8．（23-24七年级下·吉林白城·期末）计算： 【答案】2 【分析】本题考查的是实数的运算，掌握算术平方根的性质、乘方、立方根的概念是解题的关键．根据乘方、立方根、算术平方根计算． 【详解】解：原式 9．（20-21七年级下·吉林松原·期末）计算：（1） （2）+|－2|＋+（－1）2021． 【答案】（1）-1-2；（2）7 【分析】（1）根据绝对值的性质及去括号法则、求一个数的立方根分别化简各项，再合并同类项即可； （2）分别化简算术平方根及立方根、绝对值、计算乘方，再合并同类项． 【详解】解：（1） = =-1-2； （2）+|－2|＋+（－1）2021 =3+2+3-1 =7． 【点睛】此题考查实数的混合运算，正确掌握实数运算的法则，掌握合并同类项法则、去括号法则是解题的关键． 10．（23-24七年级下·吉林白城·期末）已知的平方根是，的算术平方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，根据平方根和算术平方根的定义求出的值，进而可得代数式的值，最后根据立方根的定义即可求解，掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的算术平方根是， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的立方根为． 11．（23-24七年级下·吉林·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解：的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得：， 是的整数部分， ， ， 的平方根是． 【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 12．（22-23七年级下·吉林长春·期末）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根，立方根的运算即可求解； （2）代入求值，再根据求一个数的平方根的运算即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴，解得，， ∵的立方根是， ∴，且， ∴，解得，， ∴，． （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∴的平方根为， ∴的平方根为． 【点睛】本题主要考查平方根，立方根的运算，掌握以上知识及其运算是解题的关键． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$