第19章 专项11-12 特殊平行四边形中的图形变换&特珠平行四边形中的动点问题-【勤径学升】2024-2025学年八年级下册数学同步练测（华东师大版）

八年级数学·华师版（下册） ∠DCG=180°-∠BCD=90°， ∴.∠ADC+∠CDP=∠PDE+∠COP. ∴.∠DCG=∠A 即∠ADP=∠CDE. CD=AD. rAD=CD. 在△DCG和△DAE中，∠DCG=∠A, 在△ADP和△CDE中， ∠ADP=∠CDE. CG=AE. DP DE. ,△DCG≌△DAE(S.A.S.), .△ADP≌△CDE(S.A.S.),∴.AP=CE, .DG=DE,∠CDG=∠ADE. .CE-PC=AP-PC=AC=2CD. ∠ADE+∠EDC=90°， (3)由(2)知△ADP≌△CDE, .∠CDG+∠EDC=90°， ∴.∠DCE=∠DAP=45°. ∴∠EDG=90°. .∴.∠ACE=∠ACD+∠DCE=90. DE =DG. .AB=2,..CD=AB=2,..AC=2, 在△DEF和△DGF中，EF=GF, DFDF. .CE=√AE-AC=√/（√29）2-2=5. ∴.△DEF≌△DGF(S.S.S.),∴.∠EDF=∠GDF. .AP=CE=5,..PC=AP-AC=5-2=3, ,∠EDG=90°，∴.∠EDF=∠FDG=45 .PE=CE+PC=√5+3=/34， .DE=DP=、17 如答图，连结BD,交AC于0易知D0=AC=1, Sam=DB·0p=号x(,T)=-号m= 6题答图 7.解：(1)AP=CEAP⊥CE [解析]四边形ABCD是正方形，AD=DC, 173 ∠ACD=∠DAC=45°，∠ADC=90°.：四边形 .S边80m=S&POE+S△m=2 3=10. DPFE是正方形，∴DP=DE,∠PDE=90°.：∠ADP +∠PDC=90°，∠CDE+∠PDC=90°，∴.∠ADP= AD=CD, ∠CDE.在△ADP和△CDE中 ∠ADP=∠CDE, DP =DE. △ADP≌△CDE(S.A.S.),∴.AP=CE,∠DAC= 7题答图 ∠DCE=45°，∴.∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°. 专项11特殊平行四边形中的图形变换 .AP⊥CE. 1.B (2)当点P在线段AC上运动时，PC+CE=2CD:当 2.C[解析]连结BD、AC.:四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,AC平分∠BAD.:∠BAD=120°， 点P在线段AC的延长线上运动时，CE-PC=2CD. ∴，∠BAC=60°，∴.△ABC为等边三角形，AB=AC= 理由如下： 当点P在线段AC上运动时，由(1)可得AP=CE, BCA0=4C=号x2=1.由勾股定理，得B0= .PC+CE=PC+AP=AC=2CD. D0=5,.BD=25.,点A沿EF折叠与点0重 .PC+CE=2CD. 合，.EF⊥AC,EF平分AO.易证四边形AEOF为菱 当点P在线段AC的延长线上运动时， 形，OF∥AB,'AC⊥BD,EF∥BD,四边形 ,四边形ABCD是正方形， ∴，AD=DC,∠ACD=∠DAC=45°，∠ADC=90. EFOB为平行四边形，BF=B0=BD=宁× 四边形DPFE是正方形..DP=DE,∠PDE=90, 23=3.故选C. ·48· 参考答案及解析 3.D[解析]：四边形ABCD是正方形，，CD∥AB, 在正方形ABCD中，O为AC的中点， .∠FEB=∠EFD=60 ∴.B0=C0,B0⊥AC,∠BCA=∠AB0=45 由折叠的性质可知∠FEB'=∠FEB=60°， PF⊥BC,∠BC0=45°， ∴.∠AEB'=I80°-∠FEB-∠FEB'=60°， ∠FPC=45o,.PF=CF ∠AB'E=30°，.B'E=2AE PF⊥BC,PE⊥AB, 设AE=x,则BE=B'E=2x, ∴.AB=AE+BE=3x=3, ∴.∠PEB=∠PFB=90 .x=1,.BE=2x=2.故选D 又·∠ABC=90,∴.四边形PEBF是矩形， 4.(-3,4) ∴BE=PF,∴BE=CF, 5.2.1[解析]过点F作FH⊥CD交CD的延长线于 .△OBE≌△O0CF. 点H,如答图： .OE=OF,∠BOE=∠COF D ∠COF+∠BOF=90°，∠B0OE+∠B0F=90°， .∠E0F=90°，.0E⊥0F 专顶12特殊平行四边形中的动点问题 B 1.解：(1)四边形ABCD是矩形，AD=12,AB=3, 5题答图 .BC=AD=12,∠B=90. :四边形ABCD是菱形，∴.AB∥CD, ∴.∠HDF=∠A=60 在R1△ABE中，BE=√AE-AB=√5-3=4. FH⊥CD,∴.∠HFD=90°-60°=30° BC=12,∴CE=BC-BE=8,故CE的长为8cm 设HD=x,则DF=2x,∴.FH=3x,AF=GF=3-2x ②2 G为D的中点c=0c=1.5 20片 由运动知，AP=21(0≤1≤3)，CQ=41, .HG=x+1.5. ∴.BQ=12-4u. 在Rt△FGH中，(x+1.5)2+(5x)2=(3-2x)2, ①如答图①，：四边形AEQP为平行四边形， 解得x=0.45,AF=3-0.45×2=2.1. 故答案为2.1. AP=02=12-4-41=号 6.(1)OE=OF[解析]由题意，得∠BAC=∠BCA= ②如答图②.四边形ABQP为矩形， 45°，A0=0C,∠AE0=∠CF0=90° ,∠AEO=∠CFO, AP=BQ,.2L=12-4,.1=2. 在△AE0和△CFO中， ∠EAO=∠FCO, A0=C0, EO C B EO ∴.△AE0≌△CF0(A.A.S.),.OE=OF 1题答图① 1题答图② 故答案为OE=OF (3)由运动知，DM=2x(0≤x≤6).BN=4x. (2)解：OE=OF,OE⊥0F :以M,N、C、D为顶点的四边形为平行四边形， 证明：如答图，连结BO, M ∴.DM=CN 当点N在边BC上时，CN=BC-BN=12-4x, .2x=12-4x,∴，x=2: 当点N在BC延长线上时，CN=BN-BC=4x-12. .2x=4x-12,x=6. 综上，当x=2或x=6时，以M、NC、D为顶点的四 6题客图 边形为平行四边形. ·49. 八年级数学·华师版（下册） 2.D[解析]如答图，延长AB至点M,使BM=AP,连4.解：(1)PB=PQ.证明如下： 结QM.四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴.AB= 如答图①，过P作PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别为 AD,.∠APD+∠ADP=120°.：BM=AP,AD= E、F,易知∠DCB=90°， MP.△PDQ为等边三角形，DP=PQ,∠DPQ= 四边形PECF为矩形，∴.∠EPF=90 60°，∴.∠MPQ+∠APD=120°，∴.∠ADP=∠MPQ. ∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°， ∴.∠BPE=∠QPF AD MP, P为正方形对角线AC上的点， 在△ADP和△MPQ中， ∠ADP=∠MPQ, .PC平分∠DCB,∴.PF=PE DP PQ, ,∠PFQ=∠PEB, ∴.△ADP≌△MPQ(S.A.S.),∴.AP=MQ,∠M= 在△PQF和△PBE中. ∠QPF=∠BPE, ∠A=60°，又BM=AP,.△BMQ是等边三角形， PF=PE. :BQ =AP..AP =t,CQ =21,..BC CQ +BQ =31. .△PQF≌△PBE(A.A.S.）.∴.PB=PQ BC=6 cm..'t=2s. 4题答图①) 4题答图2 (2)PB=PQ.证明如下： 2题答图 如答图②，过P作PE⊥BC交BC的延长线于E,PF 3.(1)证明：四边形ABCD为菱形 ⊥CD交DC的延长线于F,易知∠ECF=90°， .CD∥AB, .四边形PECF为矩形，.∠EPF=90 ∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°， ,∴，∠DNE=∠AME ∠BFPE=∠QPF E为AD的中点， :P为正方形对角线AC所在直线上的点， .DE=AE, 易知CP平分∠FCE,PF=PE, 在△NED和△MEA中， ∠PFQ=∠PEB, ∠DNE=∠AME. 在△PQF和△PBE中， ∠QPF=∠BPE, ∠DEN=∠AEM. PF=PE. DE =AE. ∴.△PQF≌△PBE(A.A.S.),∴.PB=PQ ∴.△NED≌△MEA(A.A.S.) 5.(1)证明：在正方形ABCD中，AB=AD, (2)解：当AM=2时，四边形AMDN是矩形. ∠BAD=90 AF⊥AC,.∠EAF=90°， 理由如下： ∠BAF=∠EAD 由(I)知△NED≌△MEA, AD =AB. ∴.NE=ME. 在△ADE和△ABF中， ∠DAE=∠BAF. 又，DE=AE, LAE =AF, ∴.四边形AMDN是平行四边形. ∴，△ADE≌△ABF(S.A.S.),BF=DE. 在菱形ABCD中，AB=AD=4,M为AB的中点， (2)解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE .AE=AM =2. 是正方形 又：∠DAB=60°， 理由：当点E运动到AC的中点时，BE⊥AE且BE= ,△MEA为等边三角形， AE=TAC. ∴，ME=AE=2, ,AF=AE∴.AF=BE. ∴.MN=AD=4, FA⊥AC,∴.∠FAE=∠BEA=90,.AF∥BE, ∴.平行四边形AMDN为矩形 ∴.四边形AFBE是正方形. ·50.第19章矩形、菱形与正方形 专项11特殊平行四边形中的图形变换 [答案P48] 类型①特殊平行四边形中的折叠问题 5如图，已知菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点 1如图，在矩形ABCD中，AD=15,AB=9.点E是 E、F分别在边AB,AD上，若将△AEF沿直线EF 边AB上一点，将△ADE沿DE所在直线折叠，使 折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则 得点A恰好落在CB边上点F处，则EF的长是 AF= E B 5题图 1题图 类型②特殊平行四边形中的平移问题 A.4 B.5 C.25 D.32 6如图，点O是正方形ABCD对角线AC的中点， 2如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱 △MPN为直角三角形，∠MPN=90°.正方形 形的对称中心点O处，折痕为EF,若菱形ABCD ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平 的边长为2，∠A=120°，则EF的长为 移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂 直于直线AB于点E,PN垂直于直线BC于点F (1)如图①，当点P与点0重合时，0E与0F的 数量关系为 2题图 (2)如图②，当P在线段OC上时，猜想OE与 A.23 B.2 C.3 OF有怎样的数量关系与位置关系，并对你 D.4 3(广东中考)如图，在正方形ABCD中，AB=3,点 的猜想结果给予证明， E、F分别在边AB、CD上，∠EFD=60°.若将四 边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上 (点B处)，则BE的长度为 O(P D D 6题图① 6题图② 3题图 A.1 B.万 C.5 D.2 ④将矩形ABCO按如图方式放置在平面直角坐标 系中，AB=4,OA=8,若将其沿着对角线OB对 折后，点A的对应点为A',OA'与BC交于点D, 则点D的坐标为 4题图 见此图标服科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 八年级数学·华师版（下册） 专项12特殊平行四边形中的动点问题 [答案P49] 类型①矩形中的动点问题 类型②姜形中的动点问题 ①（济源期中）如图，在矩形ABCD中，BC边上有 2如图，在菱形ABCD中，AB=6cm,∠A=60°，点 一点E,连结AE,若AD=12cm,AB=3cmAE= P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运 5 cm. 动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿 (1)求CE的长： CB向点B运动，设点P的运动时间为18，当 (2)有一点P从点A出发，以2cm/s的速度沿 △PDQ为等边三角形时，1的值为 () AD向点D运动，有一点Q从点C出发，以 4cm/s的速度沿CB向点B运动，当点Q到 达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的 运动时间为ts B-0 ①t=时，四边形AEQP为平行四边形： 2题图 A.1 C.1.5 ②t= 时，四边形ABQP为矩形； B.1.3 D.2 (3)有一点M从点D出发，以2cm/s的速度沿 3如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠DAB=60°，点 DA向点A运动，有一点N从点B出发，以 E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点 4cm/s的速度沿射线BC运动，当点M到达 (且不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于 点N,连结MD、AW. 点A时，点M、N同时停止运动，设点M的运 (I)求证：△NED≌△MEA: 动时间为xs,问x取何值时，以M、N、C、D (2)当AM为何值时，四边形AMDN是矩形？并 为顶点的四边形为平行四边形？ 说明理由. 1题图 1题备用图 3题图 78 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资稳步提升成绩 第19章矩形、菱形与正方形 类型⑧正方形中的动点问题 5⑤如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF1 4(驻马店期中)正方形ABCD中，AC是对角线， AC,垂足为A,AF=AE. 今有较大的直角三角板，一边始终经过点B,直 (1)求证：BF=DE: 角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q. (2)当点E运动到AC的中点时（其他条件都保 (1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出 持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边 PB与PQ满足的数量关系，并加以证明； 形？说明理由。 (2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜 想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证 明你的猜想 5题图 0 C 4题图① 4题图2 见此图标服井音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 79