专题07 第五章 复数（6考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高一数学下学期北师大版

清单07 第五章 复数 （6个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 复数的有关概念 知识点01：复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 清单02 复数的分类 知识点01：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 清单03 复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 清单04 复数的模 知识点01：复数的模 （1）向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). （2）()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 清单05 复数的四则运算 知识点01：复数代数形式的乘，除法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 清单06 共轭复数 知识点01：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点02：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 【考点题型一】复数的有关概念（） 【例1-1】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，且为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例1-2】（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知复数，.若，则的取值范围是 . 【变式1-1】.（福建省福州八县（市）协作校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷）已知，若（为虚数单位）是实数，则（    ） A． B．2 C． D．3 【变式1-2】.（2026高三·全国·专题练习）若，且，则实数 ． 【变式1-3】.（24-25高一下·四川凉山·期中）设是实数，其中是虚数单位，则 . 【考点题型二】复数的分类（） 【例2】（2025·江西鹰潭·二模）复数，若为纯虚数，则（    ） A．4 B． C．1 D． 【变式2-1】.（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】.（2025·江西上饶·二模）已知复数，若为实数，则（   ） A．2 B．5 C．4 D．1 【变式2-3】.（23-24高一下·江西·阶段练习）已知复数，若为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【变式2-4】.（23-24高三上·江西·阶段练习）已知，若为纯虚数，则a的值为（    ）． A．1 B．3 C． D． 【考点题型三】复数的几何意义（） 【例3】（2025·江西·一模）设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式3-1】（24-25高三下·江西·开学考试）已知复数，则在复平面内对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式3-2】.（24-25高三上·江西·阶段练习）在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-3】.（2024·江西鹰潭·三模）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上 【考点题型四】复数的模（） 【例4】（2025·江西萍乡·二模）若复数满足：，其中为虚数单位，则 ． 【变式4-1】（2025·江西南昌·二模）已知复数满足，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【变式4-2】.（2025·江西九江·一模）若复数，则（   ） A．2 B．4 C．5 D． 【变式4-3】.（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）复数满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．1 【变式4-4】.（2025·江西新余·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则：（     ）. A．2 B． C． D． 【考点题型五】复数的四则运算（） 【例5】（2025·江西·二模）若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（2025·江西·二模）已知，则（    ） A． B． C．3 D．5 【变式5-2】.（24-25高三下·江西赣州·期中）若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-3】.（2025·江西宜春·二模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】.（2025·江西宜春·模拟预测）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】共轭复数（） 【例6】（2025·江西上饶·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】.（24-25高三下·江西·阶段练习）若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（2025·江西九江·二模）已知复数满足，则的虚部为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式6-3】.（2025·江西·一模）若，则（    ） A．5 B． C． D． 【变式6-4】.（2025·江西南昌·一模）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】新定义题（） 【例7】（多选）（23-24高一下·江西赣州·期末）欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士若名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D．在复平面内对应的点位于第三象限 【变式7-1】.（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式7-2】.（23-24高三上·江西赣州·期末）若复数（a，，为其共轭复数），定义：.则对任意的复数，有下列命题：：；：；：；：若，则为纯虚数.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-3】.（23-24高二下·江西赣州·期末）已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共轭复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-4】.（多选）（23-24高三上·山东临沂·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ） A． B．为纯虚数 C． D．复数对应的点位于第三象限 提升训练 一、单选题 1．（2025·江西宜春·一模）复数的虚部为（   ） A．1 B．5 C． D． 2．（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）设复数，则的虚部是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·江西景德镇·二模）已知复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·江西·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江西·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江西赣州·开学考试）下列关于复数（i为虚数单位）的说法错误的是（    ） A．z的共轭复数为 B． C．z的虚部为 D． 7．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 8．（2023·江西赣州·二模）已知复数满足（为虚数单位），则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（2024·江西新余·模拟预测）若复数满足：，则的取值可以是：（     ）. A． B． C． D． 10．（2024高三下·江西新余·专题练习）设为虚数单位，则关于的方程：的复数根为：（    ）. A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一下·江西宜春·开学考试）已知复数z与复平面内的点对应，则 . 12．（2024·江西·模拟预测）设复数z满足：，则的最大值为 . 四、解答题 13．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知复数，为虚数单位. (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值. 14．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知复数，． (1)若，求的值； (2)z在复平面内对应的点能否位于直线上，若能，求此时的值；若不能，请说明理由． 15．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知复数满足（是虚数单位）. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 第五章 复数 （6个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 复数的有关概念 知识点01：复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 清单02 复数的分类 知识点01：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 清单03 复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 清单04 复数的模 知识点01：复数的模 （1）向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). （2）()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 清单05 复数的四则运算 知识点01：复数代数形式的乘，除法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 清单06 共轭复数 知识点01：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点02：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 【考点题型一】复数的有关概念（） 【例1-1】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，且为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数的分类及辨析、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用为纯虚数，可求，可得在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为，所以为纯虚数， 所以，解得，所以复数， 所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 【例1-2】（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知复数，.若，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】复数的相等、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】由复数相等列出方程，得到的表达式，结合换元法，由二次函数的值域，即可得到结果. 【详解】由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中， 当时，取得最小值，， 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式1-1】.（福建省福州八县（市）协作校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷）已知，若（为虚数单位）是实数，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】虚部为0，得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，故. 故选：D 【变式1-2】.（2026高三·全国·专题练习）若，且，则实数 ． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】利用推出是实数，进而建立方程，求解参数即可. 【详解】为实数，故， 此时解得，又． 故答案为： 【变式1-3】.（24-25高一下·四川凉山·期中）设是实数，其中是虚数单位，则 . 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据条件，利用复数的分类，得到，即可求解. 【详解】因为是实数，则，解得， 故答案为：. 【考点题型二】复数的分类（） 【例2】（2025·江西鹰潭·二模）复数，若为纯虚数，则（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算 【分析】由共轭复数的概念和纯虚数的概念结合复数的乘法运算可得. 【详解】由题意可得， 因为为纯虚数，即为纯虚数， 所以，解得. 故选：D 【变式2-1】.（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数概念得到求解即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以， 解得. 故选：A. 【变式2-2】.（2025·江西上饶·二模）已知复数，若为实数，则（   ） A．2 B．5 C．4 D．1 【答案】C 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模 【分析】根据给定条件求出复数，进而求出其模. 【详解】由复数为实数，得，即，则， 所以. 故选：C 【变式2-3】.（23-24高一下·江西·阶段练习）已知复数，若为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，利用共轭复数的概念与复数的乘法运算，结合纯虚数的概念建立方程组，解之即可求解. 【详解】因为复数， 所以， 因为为纯虚数，所以，解得． 故选：D． 【变式2-4】.（23-24高三上·江西·阶段练习）已知，若为纯虚数，则a的值为（    ）． A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的概念列方程即可得所求. 【详解】因为，所以， 所以， 因为为纯虚数，所以，所以. 故选：B． 【考点题型三】复数的几何意义（） 【例3】（2025·江西·一模）设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】由复数的运算性质化简得，则，即答案可求. 【详解】由题意得， 所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 【变式3-1】（24-25高三下·江西·开学考试）已知复数，则在复平面内对应的点在第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，则， 因此，在复平面内对应的点在第四象限. 故选：D. 【变式3-2】.（24-25高三上·江西·阶段练习）在复平面内，对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数乘法运算，结合复数的几何意义判断即得. 【详解】依题意，， 所以在复平面内，对应的点位于第三象限. 故选：C 【变式3-3】.（2024·江西鹰潭·三模）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、复数的坐标表示 【分析】利用复数的乘方运算以及除法法则可得，求得其对应点坐标可得结论. 【详解】易知， 所以， 可得复数在复平面内对应的点的坐标为，位于直线上. 故选：B 【考点题型四】复数的模（） 【例4】（2025·江西萍乡·二模）若复数满足：，其中为虚数单位，则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为： 【变式4-1】（2025·江西南昌·二模）已知复数满足，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据已知条件求出复数，再根据复数的模的计算公式求出． 【详解】已知，即．则． 可得． 故选：C． 【变式4-2】.（2025·江西九江·一模）若复数，则（   ） A．2 B．4 C．5 D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】应用复数除法求复数，再求共轭复数，进而求复数的模. 【详解】， ，. 故选：A 【变式4-3】.（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）复数满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】通过复数的除法求得复数，然后计算出. 【详解】，∴， ∴. 故选：A. 【变式4-4】.（2025·江西新余·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则：（     ）. A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数的四则运算、共轭概念、模长公式代入计算即可. 【详解】， 所以 则，其模为， 故选：C. 【考点题型五】复数的四则运算（） 【例5】（2025·江西·二模）若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可得到，再由复数的乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 则， 所以. 故选：C 【变式5-1】.（2025·江西·二模）已知，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算求出，再求模长. 【详解】因为，所以 所以 故选：B. 【变式5-2】.（24-25高三下·江西赣州·期中）若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的除法运算可得，再根据复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可得：， 所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 【变式5-3】.（2025·江西宜春·二模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】由条件，结合复数运算法则求，再根据共轭复数定义求. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 【变式5-4】.（2025·江西宜春·模拟预测）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据条件，利用复数的运算及复数的定义，即可求解. 【详解】因为，所以复数的虚部为， 故选：C. 【考点题型六】共轭复数（） 【例6】（2025·江西上饶·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先根据虚数单位的运算性质化简分母，再对进行化简，最后根据共轭复数的定义求出. 【详解】，其共轭复数. 故选：A. 【变式6-1】.（24-25高三下·江西·阶段练习）若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】本题可先将复数z化简，再根据共轭复数的定义求出，最后确定的虚部. 【详解】， 所以，故的虚部为. 故选:B. 【变式6-2】.（2025·江西九江·二模）已知复数满足，则的虚部为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法及共轭复数概念和虚部的概念得到答案. 【详解】的虚部为， 故选：C. 【变式6-3】.（2025·江西·一模）若，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算化简复数，再结合共轭复数的性质求解即可. 【详解】因为， ， 所以结合复数模的性质得，故A正确. 故选：A. 【变式6-4】.（2025·江西南昌·一模）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数加减法的代数运算、复数的相等 【分析】根据复数及共轭复数的定义结合复数的加法，应用复数相等得出参数. 【详解】设复数， 满足， 所以，则. 故选：B. 【考点题型七】新定义题（） 【例7】（多选）（23-24高一下·江西赣州·期末）欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士若名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，下面结论中正确的是（    ） A． B． C． D．在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】BC 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求复数的模、判断复数对应的点所在的象限 【分析】A. ，所以该选项错误；B. ，所以该选项正确；C. , , 两式相加得 该选项正确；D. 在复平面内对应的点位于第二象限，所以该选项错误. 【详解】解：A. ，所以该选项错误； B. ，所以该选项正确； C. , , 两式相加得，所以该选项正确； D. 在复平面内对应的为，因为， 所以在复平面内对应的点位于第二象限，所以该选项错误. 故选：BC 【变式7-1】.（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案. 【详解】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 【变式7-2】.（23-24高三上·江西赣州·期末）若复数（a，，为其共轭复数），定义：.则对任意的复数，有下列命题：：；：；：；：若，则为纯虚数.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】A选项，利用复数模长公式计算出； B选项，利用复数加法法则计算得到； C选项，利用复数乘法法则计算得到； D选项，利用复数除法法则计算得到，当，此时不一定是纯虚数. 【详解】，，， 则，，， 故，正确； ，正确； ， ， 则，错误； ， 若，且，此时为实数， 故错误； 故选：B 【变式7-3】.（23-24高二下·江西赣州·期末）已知复数可以写成，这种形式称为复数的三角式，其中叫复数z的辐角，．若复数，其共轭复数为，则下列说法①复数z的虚部为；②；③z与在复平面上对应点关于实轴对称；④复数z的辐角为；其中正确的命题个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的坐标表示、求复数的模、复数的三角表示 【分析】对于①，的实部为1，虚部为；对于②，直接计算判断即可；对于③，由点的对称关系判断即可；对于④，由辐角的定义求解即可 【详解】解：对于①，复数的虚部为，所以①错误； 对于②，因为，所以，所以，，所以，所以②错误； 对于③，和在复平面对应的点分别为，两点关于实轴对称，所以③正确； 对于④，，所以复数z的辐角为，所以④正确， 故选：B 【变式7-4】.（多选）（23-24高三上·山东临沂·期中）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ） A． B．为纯虚数 C． D．复数对应的点位于第三象限 【答案】BC 【知识点】求复数的模、判断复数对应的点所在的象限、复数的三角表示 【分析】根据所给定义及特殊角的三角函数值判断A、B，根据复数模的性质计算判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】解：对于A：，故A错误； 对于B：，所以为纯虚数，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：，则复数在复平面内对应的点为， 因为，所以，，所以点位于第二象限， 即复数对应的点位于第二象限，故D错误； 故选：BC 提升训练 一、单选题 1．（2025·江西宜春·一模）复数的虚部为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据题意，由复数的乘法运算，将复数化简，即可得到结果. 【详解】，所以复数义的虚部为. 故选：C 2．（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）设复数，则的虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】由对式子化简，然后根据复数的除法运算求解即可. 【详解】因为， 所以的虚部是. 故选：. 3．（2025·江西景德镇·二模）已知复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数的乘方 【分析】根据复数的模及乘方求出，再根据复数的虚部的定义即可得解. 【详解】，， 则，∴，则复数的虚部为. 故选：B． 4．（24-25高三下·江西·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】应用复数的乘，除法运算法则计算即可. 【详解】因为，所以，即，则. 故选：C. 5．（2025·江西·一模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】应用复数的乘除法运算即可. 【详解】因为，所以． 故选：D. 6．（24-25高二上·江西赣州·开学考试）下列关于复数（i为虚数单位）的说法错误的是（    ） A．z的共轭复数为 B． C．z的虚部为 D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】A选项，根据复数的除法运算法则计算；B选项，根据复数乘方运算法则计算；C选项，根据虚部的定义判断；D选项，根据模的公式计算. 【详解】，故A错； ，故B正确； 的虚部为，故C正确； ，故D正确. 故选：A. 7．（23-24高一下·江西·阶段练习）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算及复数的模求解. 【详解】， . 故选：D. 8．（2023·江西赣州·二模）已知复数满足（为虚数单位），则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的几何意义结合圆的性质分析求解. 【详解】设复数在复平面中对应的点为， 由题意可得：，表示复平面中点到定点的距离为1， 所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆， 因为表示表示复平面中点到定点的距离， 所以，即的最大值为3. 故选：C. 二、多选题 9．（2024·江西新余·模拟预测）若复数满足：，则的取值可以是：（     ）. A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设复数在复平面内对应的点为，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合复数的几何意义求的取值范围即可判断. 【详解】设复数在复平面内对应的点为， 因为复数满足：，即点到点的距离为2， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 则，即，可知的取值范围为， 且，可知的取值范围为， 结合选项可知：ABC正确，D错误. 故选：ABC. 10．（2024高三下·江西新余·专题练习）设为虚数单位，则关于的方程：的复数根为：（    ）. A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】根据立方差公式分析可得或，运算求解即可. 【详解】因为，可得或， 解得或或， 结合选项可知A错误，BCD正确. 故选：BCD. 三、填空题 11．（24-25高一下·江西宜春·开学考试）已知复数z与复平面内的点对应，则 . 【答案】 【知识点】复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】由点坐标写出复数，再由复数的除法化简即可. 【详解】由题设，则. 故答案为： 12．（2024·江西·模拟预测）设复数z满足：，则的最大值为 . 【答案】2 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的代数形式表示，根据给定的模求出最大值. 【详解】设复数，由，得，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最大值为2. 故答案为：2 四、解答题 13．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知复数，为虚数单位. (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求复数的模、复数范围内方程的根、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）利用复数运算法则，化简复数z，即可求得复数z，用模长公式计算即可求解 （2）复数z是方程的一个根，另一个根则是z的共轭复数，然后利用韦达定理即可求得m,n的值 【详解】（1）因为 所以 所以 （2）复数的共轭复数 复数是关于的方程的一个根，所以也是方程的一个根， 所以由韦达定理可得， 14．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知复数，． (1)若，求的值； (2)z在复平面内对应的点能否位于直线上，若能，求此时的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)能， 【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据复数是实数得到方程求解参数再计算模即可； （2）化简求出复数对应点再根据点在线上计算即可 【详解】（1）∵，∴，且， 解得（舍去）或， 此时，故． （2）z在复平面内对应的点为， 若该点位于直线上，则，解得， 故能在直线上，此时． 15．（23-24高三上·河北张家口·阶段练习）已知复数满足（是虚数单位）. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据复数的除法计算法则和模的运算公式求解即可； （2）根据复数乘法计算法则和在复平面对应点的特征求解即可. 【详解】（1）由， 得，所以 （2）因为， 所以 ， 因为该复数在复平面内对应的点在第三象限， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$