专题04 第二章 平面向量（9考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高一数学下学期北师大版

清单04 第二章 平面向量 （9个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 平面向量基本概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 清单02 平面向量线性运算 知识点01：向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法法则 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 清单03 平面向量共线定理 知识点01：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 知识点02：三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 清单04 平面向量平行垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 清单05平面向量数量积 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 清单06 极化恒等式法求数量积最值（范围） 知识点01：极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 清单07 向量的模 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 清单08 向量的夹角 已知非零向量，是与的夹角，则． 清单09向量投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 【考点题型一】平面向量基本概念（） 【例1-1】（23-24高一下·江西上饶·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．在正方形中, B．已知向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上 C．零向量可以与任一向量共线 D．零向量可以与任一向量垂直 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）、平面向量的概念与表示、相等向量 【分析】根据向量相等和向量共线的条件逐个分析即可. 【详解】对于A:与模长相等,方向不同,故不成立. 对于B:向量共线指的是其方向相同或相反,不一定在同一条直线上,例如平行四边形中,但四点不共线; 对于C、D:零向量与任意向量共线,但不能说零向量与任意向量垂直.向量垂直指的是两个非零向量成°. 综上,应选C. 故答案为:C. 【变式1-1】（24-25高三下·江西赣州·期中）已知，则“向量共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【知识点】必要条件的判定及性质、向量的模、平行向量（共线向量） 【分析】根据讨论同向、反向共线两种情况，结合充分、必要性定义确定条件间的关系. 【详解】若向量共线且，同向共线时有，反向共线时有，充分性不成立； 若，而，则向量同向共线，必要性成立； 所以“向量共线”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式1-2】.（24-25高一下·湖北黄冈·期中）下列命题中正确的是（   ） A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．模相等的两个平行向量是相等向量 C．零向量没有方向 D．若，是两个平行向量，则，也是共线向量 【答案】D 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、零向量与单位向量 【分析】由相等向量、零向量及共线向量的概念逐个判断即可. 【详解】对于AB，两个向量大小相等，方向相同即为相等向量，故AB错误； 对于C，零向量的方向是任意，故C错， 对于D，平行向量又称共线向量，正确， 故选：D 【变式1-3】.（24-25高一下·甘肃嘉峪关·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．在菱形中一定有 D．共线向量一定是在同一条直线上的向量 【答案】C 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则与大小相等，方向不确定，故A错误； 对于B，若时，则与方向不确定， 故与可能共线也可能不共线，故B错误； 对于C，由菱形，可且， 所以，一定有，故C正确； 对于D，两个非零向量的方向相同或方向相反时我们两向量为平行向量， 规定零向量与任一向量为平行向量，平行向量又称共线向量， 故共线向量不一定是在同一条直线上的向量，也可在相互平行的直线上，故D错误. 故选：C. 【变式1-4】.（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列命题正确的有（   ） A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上 C．的充要条件是且 D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 【答案】BD 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据相等向量的概念判断A，根据共线向量基本定理判断B，结合充要条件的概念利用相等向量、共线向量的概念判断C，根据结合充要条件的概念利用相等向量、平行四边形的概念判断D. 【详解】A选项，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等， 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以A错误； B选项，因为与共线，且有公共点B，所以A，B，C三点在同一条直线上，所以B正确； C选项，当且方向相反时，即使，也不能得到， 所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件，所以C错误； D选项，A，B，C，D是不共线的点，，即模相等且方向相同， 即四边形对边平行且相等，反之也成立，所以D正确． 故选：BD 【考点题型二】平面向量线性运算（） 【例2-1】（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列各式中能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】由平面向量的加法与减法运算求解即可. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD 【例2-2】（23-24高一下·江西抚州·期中）化简下列各式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量加法的法则、平面向量的混合运算 【分析】（1）由向量的线性运算法则直接计算即可求解； （2）由向量的线性运算法则直接计算即可求解； 【详解】（1）原式. （2）原式． 【变式2-1】.（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、向量加法的法则 【分析】运用平行四边形法则和三角形法则，结合线性运算法则解题即可. 【详解】如图，由题意,可知是的中点， 所以． 故选：C． 【变式2-2】.（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法的法则 【分析】根据重心的性质及向量的线性运算可得解. 【详解】 如图所示， 设为中点， 又为的重心， 则， 故选：B. 【变式2-3】（24-25高一下·江西南昌·期中）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】向量加法的运算律、向量减法的法则、向量加法的法则、向量减法的运算律 【分析】根据向量的线性运算法则和向量的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由向量的线性运算法则， 可得. （2）解：由向量的运算法则，可得. 【考点题型三】平面向量共线定理（） 【例3-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【详解】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取等号， 即的最小值为4. 故选：B 【例3-2】（多选）（23-24高一下·江西·阶段练习）如图，在中，边上的点满足，边上的点满足，线段上的点满足，点为线段上任意一点（不包括端点），连接并延长交直线于点，若，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】根据向量的线性运算可得，由三点共线可得的关系，再由不等式的性质求范围即可得解. 【详解】由题意得，，， 设， ，时，，不合题意，. 则 ， ，，三点共线， ，， 或， 或，或， 或， 或. 故选：AD. 【变式3-1】.（23-24高一下·江西萍乡·期中）点是的重心，点，分别在边和上，且满足，其中.若，与的面积之比是，则 . 【答案】或. 【知识点】用基底表示向量、三角形面积公式及其应用、平面向量共线定理的推论 【分析】由题意得，然后分别用表示，再由三点共线（已知可得）列方程求解． 【详解】因为且，所以三点共线， 是的重心，则， ， 由得，所以，， ， 所以，解得或． 故答案为：或. 【变式3-2】.（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据题意，得到，由三点共线，得到，结合基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】因为点G为重心，可得， 又因为三点共线，所以， 所以， 当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 【变式3-3】.（24-25高一下·北京·阶段练习）设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ． 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平行向量（共线向量） 【分析】由向量共线定理即可求出，但要注意是反向共线，要舍去同向共线的值. 【详解】用向量共线定理可知存在唯一一个实数，使得， 因为向量，的方向相反，所以， 又因为，， 则， 所以，解得或（舍去）， 故. 故答案为：. 【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示（） 【例4-1】（2025·江西·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】首先求出、的坐标，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，所以，， 又，所以，解得. 故选：B 【例4-2】（2025·江西赣州·一模）已知向量，，且，则= ． 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】先根据坐标线性运算得出坐标，再应用垂直的坐标运算计算求参，最后应用坐标求模长即可. 【详解】因为向量，， 则， 因为，则，所以， 所以． 故答案为： 【变式4-1】.（24-25高一下·北京石景山·阶段练习）已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量线性运算与平行的坐标表示即可求解. 【详解】由，， 可得：， 又，. 所以，解得：， 故选：C 【变式4-2】.（23-24高一下·江西抚州·期中）已知向量，若，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的坐标表示，列式计算即得. 【详解】依题意，，由，得，所以. 故选：B 【变式4-3】.（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知向量，若，则 . 【答案】 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】利用向量的线性运算并由向量垂直的坐标表示列式即可求解. 【详解】依题意，，故，解得. 故答案为： 【考点题型五】平面向量数量积（） 【例5-1】（2025·江西鹰潭·二模）若非零向量满足，且向量与向量的夹角，则的值为（    ） A． B．0 C． D．6 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】由求出，进而得的值. 【详解】由有，所以 ， 所以， 故选：B. 【例5-2】.（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知中，为上一点，且，垂足为，则 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，根据条件求出的坐标，即可求出结果. 【详解】 如图，以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系， 因为，，所以，则， 又，过作于，易知，所以, 得到，设， 则，所以， 故答案为：. 【变式5-1】.（24-25高一下·江西赣州·期中）如图，不共线且不垂直的单位向量，的夹角为，以点为原点， ，的正方向分别为轴、轴建立坐标系，该坐标系称为斜坐标系.若，则称为在斜坐标系中的坐标，若，向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量线性运算的坐标表示、数量积的运算律 【分析】根据题意可得以，，结合平面向量数量积的运算即可求解. 【详解】由题意知，，，所以， 又向量，在斜坐标系中的坐标分别为，， 所以，， 所以. 故选：A. 【变式5-2】.（24-25高三下·江西·阶段练习）设为的重心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、向量的线性运算的几何应用 【分析】设为的中点，将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】如图，设为的中点，连接，则点在上，且， 故， 所以. 故选：A. 【变式5-3】.（24-25高一下·江西上饶·期中）如图，在平行四边形中，，，设，． (1)用，表示，． (2)证明：，，三点共线． (3)若，，，求． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的运算律、用基底表示向量 【分析】（1）由平面向量基本定理结合向量的线性运算，即可得到结果； （2）由即可证明； （3）由数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意得． ． （2）证明：由题意得， ． 因为，所以，，三点共线． （3） ． 【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围）（） 【例6】（24-25高一下·湖北·期中）在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是 ． 【答案】． 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据为相反向量，将表示成，然后分析点的位置即可得解. 【详解】如图： 记的外接圆半径为， ， 由图可知的最大值为时，取最大值0； 因为中，所以当为中点时，最小， 此时，所以取最小值， 故答案为：． 【变式6-1】.（24-25高一下·四川成都·期中）在中，，，且，，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、根据向量关系判断三角形的心 【分析】根据题意可得为的中点，为的重心，再根据结合数量积的运算律即可得解. 【详解】由，得， 即，即，所以， 又为公共点，所以三点共线，且为的中点， 由，得， 所以， 又为公共点，所以三点共线，且， 由，，得，， 则 . 故选：D. 【变式6-2】.（24-25高一下·湖北黄冈·期中）如图，半径为2的圆上的点到直线的最小距离恰好也是2，是圆的任意一直径，是上动点，则的最小值为 . 【答案】12 【知识点】向量加法法则的几何应用、数量积的运算律 【分析】由题意可推得，根据已知条件得出，，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 由已知可知，，， 所以，. 故答案为：. 【变式6-3】.（2026高三·全国·专题练习）在中，为钝角，M，N是边上的两个动点，且，若的最小值为，则 ． 【答案】 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】取的中点P得，，，再将、用向量表示并结合的最小值为得，即C到直线的距离为，再根据几何关系即可求得. 【详解】取的中点为P，连接，则，, 由极化恒等式得． 因为的最小值为，所以． 由平面几何知识知，当时，最小． 如图，作为垂足，则． 又，所以在中，． 故答案为：. 【考点题型七】向量的模（） 【例7-1】（24-25高三下·江西·阶段练习）已知向量，，若，则（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】坐标计算向量的模、数量积的坐标表示 【分析】由，可得，由数量积的坐标运算公式可得的值，即可得向量的坐标，计算可得答案. 【详解】因为，所以，展开得， 化简得，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 【例7-2】（2025·江西南昌·二模）已知向量，，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、数量积的坐标表示 【分析】设，由平面向量数量积的运算可出，再利用平面向量的模长公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，则，可得， 故， 当且仅当时，取最小值. 故答案为：. 【变式7-1】（2025·江西萍乡·一模）已知向量，，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】由与垂直求出，再求出的坐标，利用坐标的模长公式可得答案. 【详解】由已知得，；由与垂直得，， 即，可得. 因为，所以. 故选：A. 【变式7-2】.（2025·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案. 【详解】由， 所以，即， 即，整理得， 解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 【变式7-3】.（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知向量的夹角为，则 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、坐标计算向量的模 【分析】利用向量的数量积的定义，求得，再根据，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 【考点题型八】向量的夹角（） 【例8-1】（2023·江西新余·二模）已知，，则与的夹角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】因为，，则， 所以，， 因为，故. 故选：C. 【例8-2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知向量. (1)若向量与平行，求； (2)若向量，且与的夹角相等，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）根据题意，结合向量共线的坐标运算，列出方程，求得，再由模的计算公式，即可求解； （2）由向量，且与的夹角相等，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，可得， 因为与平行，可得，解得， 可得，则. （2）解：向量， 可得，且， 因为向量，且与的夹角相等，则，可得， 解得. 【变式8-1】.（2022·江西南昌·三模）已知，，则向量与的夹角为 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】利用平面向量的夹角公式求解. 【详解】解：因为，， 所以， 则， 因为， 所以， 故答案为： 【变式8-2】.（2024·江西赣州·二模）已知向量，，则向量与的夹角为 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】首先求出，再根据夹角公式求出，即可得解； 【详解】解：因为，，所以， 所以，，，所以， 因为，所以； 故答案为： 【考点题型九】根据两个向量成锐角或钝角，求参数（） 【例9-1】（多选）（22-23高一下·湖南岳阳·期末）已知向量，，若两个向量的夹角为钝角，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】两个向量的夹角为钝角，则且与不反向，结合向量的数量积公式及共线的坐标表示求得结果. 【详解】已知向量，的夹角为钝角， 则且与不反向， 即且， 解得且. 故选：BC. 【例9-2】（23-24高一下·江西新余·期末）已知向量． (1)若向量的夹角为锐角，求x的取值范围； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）根据向量的夹角为锐角，得到，且与不共线，进而列式求解即可； （2）根据向量坐标运算法则得到，再结合向量垂直的相关知识得到，进而求解向量的模. 【详解】（1）因为向量的夹角为锐角， 所以，且与不同向共线， 则，解得且， 故x的取值范围为 （2）由，得， 若，则，即，解得， 所以， 所以 【变式9-1】.（23-24高一下·江西上饶·期末）已知 (1)若，求实数的值. (2)已知向量的夹角为钝角，求实数的范围. 【答案】(1) (2)且. 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）对两边平方化简可得，然后将坐标代入可求出实数的值； （2）由题意可得且不共线，从而可求出实数的范围. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以， 因为， 所以，解得； （2）根据题意，向量与的夹角为钝角，则有. 解得：且， 即的取值范围为且. 【变式9-2】.（24-25高一下·山西·阶段练习）已知向量． (1)若，求实数k的值； (2)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的坐标表示、已知向量垂直求参数、平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）求出向量的坐标，由求解即可； （2）由题意可得，且与不共线，据此求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为，则， 所以，解得． （2）解：由（1）知， 所以． 因为与的夹角为钝角， 所以，且与不共线． 即，解得且， 所以实数k的取值范围是． 【变式9-3】.（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，． (1)是线段上靠近的三等分点，求点的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的坐标表示、数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）利用向量的坐标表示共线计算即可； （2）结合坐标计算数量积利用坐标表示向量的夹角计算即可. 【详解】（1）设，则， 故， 得 ∴∴． （2）由题意， 又因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则 解得 则的取值范围为． 【考点题型十】投影向量（） 【例10-1】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】先由数量积的运算求出，再由投影向量的定义求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 【例10-2】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量 【分析】利用投影向量的定义计算即可求得在方向上的投影向量． 【详解】因为， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 故选：C． 【变式10-1】.（2025·江西·模拟预测）已知向量在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【分析】由投影向量的定义先求出，再整体代入计算即得． 【详解】依题意，在方向上的投影向量为：，得， 则在方向上的投影向量为. 故选：A 【变式10-2】.（2025·江西九江·一模）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量 【分析】计算出，从而得到，得到答案. 【详解】由题意得， 在上的投影向量为. 故选：B． 【变式10-3】.（24-25高一下·江西·期中）已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】先化简，再计算，最后利用投影向量的公式计算即可. 【详解】由题意可得，， 则，， 则在方向上的投影向量坐标为 故答案为： 【考点题型十一】新定义题（） 【例11-1】（多选）（山东省临沂市部分县区2024-2025学年高一下学期学科素养水平（期中）监测数学试卷）设是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的“仿射坐标”为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、垂直关系的向量表示、向量新定义 【分析】，根据向量运算求出，继而可判断故；根据向量的加法运算可判断；根据垂直的向量表示及数量积运算可判断；根据平面向量的共线定理可判断. 【详解】， 对于：，则， 所以，故正确； 对于：若，则， 所以的“仿射坐标”为，故正确； 对于：， 则， 解得，故错误； 对于：， 若，则，解得，故错误； 故选：AB. 【例11-2】（24-25高一下·河北邢台·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．即．试求解下列问题． (1)已知向量，满足，，，求的值． (2)向量，，，求的最小值． 【答案】(1)2 (2)16 【知识点】基本不等式求和的最小值、向量新定义 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得． 【详解】（1）由已知，得， 设，的夹角为，由， 可得，即，又，所以， 所以； （2）， ，当且仅当， 即时等号成立． 所以的最小值是16． 【变式11-1】.（24-25高一下·江苏常州·期中）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】已知数量积求模、向量新定义 【分析】结合所给定义计算出后，结合数量积公式计算即可得． 【详解】由题可知，， 所以，所以， 故选：A． 【变式11-2】.（多选）（24-25高一下·江苏·期中）设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B． C．若，则 D． 【答案】AC 【知识点】平行向量（共线向量）、数量积的坐标表示、向量新定义 【分析】根据的定义即可判断A；根据即可判断B；根据，可得，即可判断C；举出反例即可判断D. 【详解】对于A，，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，若，则，所以或， 所以，故C正确； 对于D，若，则， ，故D错误. 故选：AC. 【变式11-3】.（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）定义两个平面向量的一种运算，则下列关于平面向量上述运算的结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若且，则 【答案】ACD 【知识点】平行向量（共线向量）、向量新定义 【分析】通过新定义直接判断A；通过定义分别写和，当时不成立判断B；由已知用定义判断C；先通过已知写出和，判断D即可. 【详解】对于A．恒成立，故正确； 对于B．，， 当时，不成立，故错误； 对于C．，则，故恒成立，故正确； 对于D．，且， 则，， ， 故恒成立，故正确． 故选：ACD． 提升训练 1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基底的概念及辨析 【分析】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【详解】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 2．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由， 则， 由， 所以， 解得：， 故选：A 3．（24-25高一下·江西南昌·期中）在中，点在边上，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、平面向量的混合运算 【分析】根据，点在边上，可得，由向量加法法则可得，再结合关系化简即可. 【详解】因为点在边上，， 所以， 所以. 故选：B. 4．（2025·贵州铜仁·三模）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量、坐标计算向量的模 【分析】利用投影向量的公式计算出答案. 【详解】向量在上的投影向量为．， ，则. 故选：A． 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）对于二维形式的柯西不等式，我们证明它的最直接的一种方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式证明，例如取，并结合向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】方法一：利用基本不等式即可求得结果；方法二：根据柯西不等式即可求出. 【详解】方法一：， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为． 方法二：， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 故选：B 6．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】向量数乘的有关计算、利用平面向量基本定理求参数、已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线定理结合向量的数乘运算、平面向量基本定理求解. 【详解】由题意，，设，即， 则，解得. 故选：A. 7．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知非零向量，的夹角为，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、解余弦不等式 【分析】根据题意，由条件可得，然后令表示上式，根据题意列出不等式组计算即可. 【详解】由，得，得， 即．令， 则关于的方程在上有解， 得，得．因为，所以． 故选：D. 8．（2025·江西·模拟预测）若平面向量、、满足，则有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】C 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】设，，求出的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算以及基本不等式可求得的最值，即可得出合适的选项. 【详解】因为，不妨设，， 则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故有最大值. 故选：C. 9．（2025·江西上饶·一模）在平行四边形中，，，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积 【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积的概念和运算律可求的值. 【详解】如图： 以为基底，则，，. 且，， 所以. 故选：D 10．（2025·江西·一模）已知平面内不共线的三个向量、、两两夹角相等，且为单位向量，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】分析可知三个向量、、两两的夹角为，利用平面向量数量积的定义和运算性质可求得的值. 【详解】由题意可知，三个向量、、两两的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 同理可得，, 所以， . 故选：B. 二、多选题 11．（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知平面向量，（   ） A．若，则 B．若⊥，则在方向上的投影向量的坐标是 C．与的夹角为锐角，则的取值范围 D．若，的夹角为，则 【答案】AB 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量、平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】A选项，根据平行得到方程，求出；B选项，根据垂直得到方程，求出，进而得到，利用投影向量计算公式得到B正确；C选项，且与不同向共线，得到不等式，求出且，C错误；D选项，根据向量夹角公式得到方程，求出. 【详解】A选项，，故，解得，A正确； B选项，⊥，故，解得， 故， 故在方向上的投影向量为，B正确； C选项，与的夹角为锐角，故且与不同向共线， ， ，解得， 与共线，需满足，解得， 此时，，与同向共线， 故，的取值范围为且，C错误； D选项，若，的夹角为，则， 所以， 整理得，显然不是其解，D错误. 故选：AB 12．（24-25高一下·江西南昌·期中）已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为钝角，则 【答案】AC 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】根据给定条件，求出，的坐标，再逐项计算判断各个选项即得. 【详解】由点，，，得，， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得，解得，故B错误； 对于C，由，得，解得，故C正确； 对于D，由，的夹角为钝角，得且与不共线， 即且，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 13．（24-25高一下·江西上饶·期中）若向量，，且，则 ． 【答案】5 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数、垂直关系的向量表示 【分析】根据条件，利用向量的坐标运算及垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，，则， 又，所以，解得， 故答案为：. 14．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知向量，，若在上的投影向量，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量求出，再求向量与的夹角. 【详解】设向量与的夹角为， 因为在上的投影向量，，， 所以，， 则在上的投影向量为， 所以，所以， 所以 因为，所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（19-20高一上·安徽六安·期末）已知，，或是平面上两个不共线的向量，且， ，． (1)若，方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】平行向量（共线向量）、已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量 【分析】（1）由，方向相反，则存在负数使得，再根据向量相等即可求出k的值； （2）由A，C，D三点共线，则存在使得，再根据向量相等即可求出k的值． 【详解】（1）由，方向相反，则存在负数使得， 所以， 所以，解得或(舍去)， 故k的值为． （2）由A，C，D三点共线，则存在使得， 又， 所以， 所以，解得或， 故k的值为或． 16．（22-23高一下·江西抚州·期末）已知，，如图，在中，点，满足，，是线段上靠近的三等分点，点为的中点，且，，三点共线．    (1)用，来表示； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用基底表示向量、基本不等式“1”的妙用求最值、向量减法的法则、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）根据向量的线性运算法则即可得； （2）由，结合结论可得，再利用基本不等式求的最小值． 【详解】（1）∵    ∴ ∴ （2）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴当且仅当，时，的最小值为． 17．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，在梯形中，，，. (1)用，表示，； (2)若，，，求； (3)若与交于点，，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】（1）结合图形，运用向量的加法、减法和数乘运算即可； （2）利用（1）的结论，运用数量积的运算律和定义即可求得； （3）（方法一），利用三角形相似，将用表示出来，再由（1）即可求得；（方法二），利用向量共线，将用两种形式表示出来，列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由图， ； . （2） . （3） （方法一）延长，交的延长线于. 易证，则，得， 易证，则， 设，则，，得， 得， 所以. 故. （方法二）设，则 ， 设，则， 则解得 所以. 故. 18．（23-24高一上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，已知，. (1)若，求实数k的值； (2)若，求实数t的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用向量垂直求参数、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）先由向量的坐标运算公式得与坐标，再利用向量共线的坐标公式求解即可； （2）先由向量的坐标运算公式求，再利用向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为， 所以，解得. （2）， 因为，所以， 解得. 19．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知向量，. (1)若与垂直，求的值； (2)若与共线，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数、平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】（1）先根据平面向量线性运算的坐标表示得出与的坐标；再根据平面向量垂直的坐标运算即可求解. （2）先根据平面向量共线的坐标表示得出，进而得出的坐标；再根据平面向量模的坐标运算即可解答. 【详解】（1） ，， ； . 又与垂直， ，解得：. （2）由（1）知：；. 与共线， ，解得：. . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 第二章 平面向量 （9个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 平面向量基本概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 清单02 平面向量线性运算 知识点01：向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法法则 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 清单03 平面向量共线定理 知识点01：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 知识点02：三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 清单04 平面向量平行垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 清单05平面向量数量积 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 清单06 极化恒等式法求数量积最值（范围） 知识点01：极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 清单07 向量的模 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 清单08 向量的夹角 已知非零向量，是与的夹角，则． 清单09向量投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 【考点题型一】平面向量基本概念（） 【例1-1】（23-24高一下·江西上饶·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．在正方形中, B．已知向量,则A,B,C,D四点必在同一条直线上 C．零向量可以与任一向量共线 D．零向量可以与任一向量垂直 【变式1-1】（24-25高三下·江西赣州·期中）已知，则“向量共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【变式1-2】.（24-25高一下·湖北黄冈·期中）下列命题中正确的是（   ） A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．模相等的两个平行向量是相等向量 C．零向量没有方向 D．若，是两个平行向量，则，也是共线向量 【变式1-3】.（24-25高一下·甘肃嘉峪关·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．在菱形中一定有 D．共线向量一定是在同一条直线上的向量 【变式1-4】.（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列命题正确的有（   ） A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B．若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上 C．的充要条件是且 D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 【考点题型二】平面向量线性运算（） 【例2-1】（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列各式中能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24高一下·江西抚州·期中）化简下列各式： (1)． (2)． 【变式2-1】.（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·江西南昌·期中）化简： (1)； (2). 【考点题型三】平面向量共线定理（） 【例3-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例3-2】（多选）（23-24高一下·江西·阶段练习）如图，在中，边上的点满足，边上的点满足，线段上的点满足，点为线段上任意一点（不包括端点），连接并延长交直线于点，若，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D．1 【变式3-1】.（23-24高一下·江西萍乡·期中）点是的重心，点，分别在边和上，且满足，其中.若，与的面积之比是，则 . 【变式3-2】.（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与两边交于两点，设，则的最小值为 ． 【变式3-3】.（24-25高一下·北京·阶段练习）设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数 ． 【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示（） 【例4-1】（2025·江西·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D．2 【例4-2】（2025·江西赣州·一模）已知向量，，且，则= ． 【变式4-1】.（24-25高一下·北京石景山·阶段练习）已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（23-24高一下·江西抚州·期中）已知向量，若，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【变式4-3】.（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知向量，若，则 . 【考点题型五】平面向量数量积（） 【例5-1】（2025·江西鹰潭·二模）若非零向量满足，且向量与向量的夹角，则的值为（    ） A． B．0 C． D．6 【例5-2】.（23-24高一下·山西大同·阶段练习）已知中，为上一点，且，垂足为，则 ． 【变式5-1】.（24-25高一下·江西赣州·期中）如图，不共线且不垂直的单位向量，的夹角为，以点为原点， ，的正方向分别为轴、轴建立坐标系，该坐标系称为斜坐标系.若，则称为在斜坐标系中的坐标，若，向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（24-25高三下·江西·阶段练习）设为的重心，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】.（24-25高一下·江西上饶·期中）如图，在平行四边形中，，，设，． (1)用，表示，． (2)证明：，，三点共线． (3)若，，，求． 【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围）（） 【例6】（24-25高一下·湖北·期中）在中，，点为三边上的动点，是外接圆的直径，则的取值范围是 ． 【变式6-1】.（24-25高一下·四川成都·期中）在中，，，且，，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式6-2】.（24-25高一下·湖北黄冈·期中）如图，半径为2的圆上的点到直线的最小距离恰好也是2，是圆的任意一直径，是上动点，则的最小值为 . 【变式6-3】.（2026高三·全国·专题练习）在中，为钝角，M，N是边上的两个动点，且，若的最小值为，则 ． 【考点题型七】向量的模（） 【例7-1】（24-25高三下·江西·阶段练习）已知向量，，若，则（    ） A．5 B．3 C． D． 【例7-2】（2025·江西南昌·二模）已知向量，，则的最小值是 . 【变式7-1】（2025·江西萍乡·一模）已知向量，，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．2 【变式7-2】.（2025·广东·一模）已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【变式7-3】.（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知向量的夹角为，则 . 【考点题型八】向量的夹角（） 【例8-1】（2023·江西新余·二模）已知，，则与的夹角（    ） A． B． C． D． 【例8-2】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知向量. (1)若向量与平行，求； (2)若向量，且与的夹角相等，求的值. 【变式8-1】.（2022·江西南昌·三模）已知，，则向量与的夹角为 . 【变式8-2】.（2024·江西赣州·二模）已知向量，，则向量与的夹角为 ． 【考点题型九】根据两个向量成锐角或钝角，求参数（） 【例9-1】（多选）（22-23高一下·湖南岳阳·期末）已知向量，，若两个向量的夹角为钝角，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【例9-2】（23-24高一下·江西新余·期末）已知向量． (1)若向量的夹角为锐角，求x的取值范围； (2)若，求． 【变式9-1】.（23-24高一下·江西上饶·期末）已知 (1)若，求实数的值. (2)已知向量的夹角为钝角，求实数的范围. 【变式9-2】.（24-25高一下·山西·阶段练习）已知向量． (1)若，求实数k的值； (2)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围． 【变式9-3】.（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，． (1)是线段上靠近的三等分点，求点的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【考点题型十】投影向量（） 【例10-1】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【例10-2】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】.（2025·江西·模拟预测）已知向量在方向上的投影向量为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】.（2025·江西九江·一模）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】.（24-25高一下·江西·期中）已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【考点题型十一】新定义题（） 【例11-1】（多选）（山东省临沂市部分县区2024-2025学年高一下学期学科素养水平（期中）监测数学试卷）设是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的“仿射坐标”为 C．若，则 D．若，则 【例11-2】（24-25高一下·河北邢台·期中）设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．即．试求解下列问题． (1)已知向量，满足，，，求的值． (2)向量，，，求的最小值． 【变式11-1】.（24-25高一下·江苏常州·期中）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【变式11-2】.（多选）（24-25高一下·江苏·期中）设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B． C．若，则 D． 【变式11-3】.（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）定义两个平面向量的一种运算，则下列关于平面向量上述运算的结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若且，则 提升训练 1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西南昌·期中）在中，点在边上，.则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州铜仁·三模）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）对于二维形式的柯西不等式，我们证明它的最直接的一种方法就是作差法，事实上也可以根据向量不等式证明，例如取，并结合向量不等式即可证明，根据以上提示，请问函数的最大值是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（    ） A． B． C．2 D． 7．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知非零向量，的夹角为，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江西·模拟预测）若平面向量、、满足，则有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 9．（2025·江西上饶·一模）在平行四边形中，，，，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 10．（2025·江西·一模）已知平面内不共线的三个向量、、两两夹角相等，且为单位向量，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高一下·江西景德镇·期中）已知平面向量，（   ） A．若，则 B．若⊥，则在方向上的投影向量的坐标是 C．与的夹角为锐角，则的取值范围 D．若，的夹角为，则 12．（24-25高一下·江西南昌·期中）已知点，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，的夹角为钝角，则 三、填空题 13．（24-25高一下·江西上饶·期中）若向量，，且，则 ． 14．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知向量，，若在上的投影向量，则向量与的夹角为 ． 四、解答题 15．（19-20高一上·安徽六安·期末）已知，，或是平面上两个不共线的向量，且， ，． (1)若，方向相反，求k的值； (2)若A，C，D三点共线，求k的值． 16．（22-23高一下·江西抚州·期末）已知，，如图，在中，点，满足，，是线段上靠近的三等分点，点为的中点，且，，三点共线．    (1)用，来表示； (2)求的最小值． 17．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，在梯形中，，，. (1)用，表示，； (2)若，，，求； (3)若与交于点，，求. 18．（23-24高一上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，已知，. (1)若，求实数k的值； (2)若，求实数t的值. 19．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知向量，. (1)若与垂直，求的值； (2)若与共线，求的值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$