专题06 第十章 概率（4考点清单，知识导图+12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

清单06 第十章 概率 （4个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 互斥事件与对立事件 1互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 2对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 清单02 古典概型的概率 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 清单03 概率的基本性质 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有 清单04 事件的独立性 相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 【考点题型一】互斥事件与对立事件（） 【例1】（23-24高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 【变式1-1】.（24-25高三上·山东潍坊·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是（   ） A．至少一个红球和都是红球 B．至少一个黑球和都是红球 C．至少一个黑球和至少一个红球 D．恰有一个红球和恰有一个黑球 【变式1-2】.（24-25高一上·贵州·期末）在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（    ） A．3个小球中至多有1个白球 B．3个小球中至多有1个红球 C．3个小球都是红球 D．3个小球都是白球 【变式1-3】.（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B． 与是互斥事件，也是对立事件 C． 与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 【变式1-4】.（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 【考点题型二】计算古典概型概率（） 【例2】（24-25高一下·江西赣州·期中）近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2027年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249，478. (1)求这6个数据的75%分位数及平均数； (2)从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率. 【变式2-1】.（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球． (1)请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求“第一次取出的是红球”的概率； (3)求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 【变式2-2】.（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）其校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地抽取了40名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分（满分：100分）分成，共六组．根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)从得分低于60分的样本中随机地选取2个样本，求这2个样本的得分在同一组的概率； (2)若在内的样本得分的平均数为86分，方差为10，在内的样本得分的平均数为92分，方差为6，求在内的样本得分的平均数和方差． 【变式2-3】.（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）从高三年级所有女生中，随机抽取个，其体重（单位：公斤）的频率分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 10 50 x 15 已知从个女生中随机抽取一个，抽到体重在的女生的概率为. (1)求出的值； (2)用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在和的的女生中各有1个的概率. 【变式2-4】.（24-25高二上·贵州六盘水·期末）为了解某学校的学生周末对体育频道的观看情况，从观看了体育频道的学生中随机抽取100名进行调查，发现他们的观看时长都在40~100分钟之间，据此绘制出学生观看体育频道所用时长的频率分布直方图如下. (1)求频率分布直方图中x的值； (2)为了解学生对体育频道的喜好程度，用按比例分配的分层抽样方法从观看时长在内的学生中抽取5人作进一步分析，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人的观看时长在内的概率. 【考点题型三】有放回与无放回概率 【例3】（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）一个盒子装有标号的5张标签，则（    ） A．有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为 B．有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 C．无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为 D．无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 【变式3-1】.（24-25高二下·辽宁丹东·期中）袋中装有除颜色外其他完全相同的红、黄球各1个，现从中随机取1个球，记录球的颜色后放回，并且往袋中放入2个与取出的球颜色相同的球，以此规则取球，则第三次取到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（2024·全国·模拟预测）盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）盒中有3个大小质地完全相同的球，其中2个白球、1个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球．则恰好摸出一个白球一个黑球的概率为 ． 【变式3-4】.（2024·四川绵阳·二模）甲、乙二人用7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为 ． 【考点题型四】根据古典概型概率求参数 【例4】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为 ；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为 . 【变式4-1】.（2024·全国·模拟预测）中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（    ） A．25本 B．30本 C．35本 D．40本 【变式4-2】.（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在一个袋子里有大小一样的红球和白球共10个，现无放回地依次摸出2个球，若至少摸出1个白球的概率为. (1)求袋子里红球的个数； (2)求第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率. 【变式4-3】.（23-24高三上·河南·阶段练习）盒子中装了6张外形相同数字不同的卡片，其中写有数字1的卡片有m张和写有数字2的卡片有n张.小明以游戏的方式决定暑期是去北京､上海还是广州旅游.游戏规则为：从盒子中任取2张卡片，若这2张卡片上数字之和小于3则去北京旅游，若这2张卡片上数字之和等于3则去上海旅游，否则就去广州旅游.已知小明去北京旅游的概率为. （1）求常数m，n的值； （2）分别求小明去广州旅游的概率和不去上海旅游的概率. 【变式4-4】.（23-24高三上·河南·阶段练习）某职业培训学校现有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）统计如下表： 专业 机电维修 艺术舞蹈 汽车美容 餐饮 电脑技术 美容美发 招生人数 就业率 （Ⅰ）从该校往年的学生中随机抽取人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率； （Ⅱ）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少，将“机电维修”专业的招生人数增加，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值． 【考点题型五】利用概率的加法公式求古典概型概率 【例5】（24-25高二上·黑龙江·期中）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（多选）（23-24高一下·云南大理·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（23-24高二上·山东青岛·期中）已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 . 【考点题型六】互斥事件的概率 【例6】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）袋中有红球､黑球､黄球､绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黄球的概率是 . 【变式6-1】.（2025高三·全国·专题练习）掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则在一次试验中，事件发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（24-25高二上·广东·期中）已知与是互斥事件，且，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【变式6-3】.（24-25高二下·上海闵行·期中）已知事件A与事件B互斥，如果，，那么 ． 【变式6-4】.（24-25高二上·广西钦州·期末）已知事件与互斥，且，，则 . 【考点题型七】对立事件的概率 【例7】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知事件、互斥，、至少一个发生的概率，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】.（24-25高二上·山东济宁·期中）甲、乙两人比赛下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率的是，则乙不输的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（多选）（23-24高一下·湖南怀化·期末）设A，B是两个随机事件，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】.（24-25高二上·北京平谷·期中）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲在该商区临时停车不超过4小时，若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，则甲停车付费恰好6元的概率为 . 【变式7-4】.（23-24高一下·广东潮州·期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则 . 【考点题型八】相互独立事件，互斥事件，对立事件的辨别 【例8】（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．对立事件一定是互斥事件 B．若A，B为两个随机事件，则 C．若事件A，B，C彼此互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B是对立事件 【变式8-1】.（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【变式8-2】.（23-24高一下·河北衡水·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥 C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【变式8-3】.（多选）（24-25高二上·四川德阳·阶段练习）设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若A和互斥，则A和一定相互独立 B．若事件，则 C．若A和相互独立，则A和一定不互斥 D．不一定成立 【变式8-4】.（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列四个命题中，假命题有（    ） A．对立事件一定是互斥事件 B．若为两个事件，则 C．若事件彼此互斥，则 D．若事件满足，则是对立事件 【考点题型九】独立事件的判断 【例9-1】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异. (1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率； (2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立. 【例9-2】（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知事件满足，则下列说法正确的有（    ） A．若事件独立，则事件独立 B．若事件独立，则事件独立 C．若事件独立，则事件独立 D．若事件独立，则事件独立 【变式9-1】.（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 【变式9-2】.（2026高三·全国·专题练习）设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为（   ） A．若M，N为互斥事件，且，则 B．若，则事件M，N相互独立 C．若，则事件M，N相互独立 D．若，则事件相互独立 【变式9-3】.（24-25高二下·湖南邵阳·期中）数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（    ） A． B．A与相互独立 C．与相互独立 D．A与相互独立 【变式9-4】（多选）（2025·全国·模拟预测）若事件互斥，事件中的事件满足，则（    ） A．事件独立 B．事件独立 C．若事件对立，则事件独立 D．若事件不对立，则事件不独立 【考点题型十】独立事件的乘法公式 【例10】（2025·四川绵阳·三模）在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲､乙､丙3个问题，已知他答对甲､乙､丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对，可获得额外加分，则小张获得额外加分的概率为 . 【变式10-1】.（24-25高二下·福建漳州·期中）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（    ） A．密码被成功破译的概率为 B．恰有一人成功破译的概率为 C．密码被成功破译的概率为 D．密码破译失败的概率为 【变式10-2】.（24-25高二下·河南郑州·期中）甲乙两人向同一目标射击一次，已知甲命中目标的概率0.4，乙命中目标的概率为0.5.假设甲乙两人命中率互不影响，求目标被命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】.（2025高二下·湖南郴州·学业考试）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为，，则恰有一人能成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】独立事件的实际应用 【例11】（23-24高二上·云南玉溪·期中）1.垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为，小亮每轮答对的概率为，且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“明亮队”在一轮活动中一题都没有答对的概率； (2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率． 【变式11-1】.（23-24高三上·河北·阶段练习）某大学强基测试有近千人参加，每人做题最终是否正确相互独立，其中一道选择题有5个选项，假设若会做此题则必能答对.参加考试的同学中有一部分同学会做此题；有一半的同学完全不会，需要在5个选项中随机蒙一个选项；剩余同学可以排除一个选项，在其余四个选项中随机蒙一个选项，最终统计该题的正答率为30%，则真会做此题的学生比例最可能为（    ） A．5% B．10% C．15% D．20% 【变式11-2】.（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． (1)若乙投球2次均未命中的概率为，求； (2)若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 【变式11-3】.（22-23高一下·河南开封·期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.已知在某局双方平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为，求的值； (2)在（1）的条件下，求两人又打了4个球且甲获胜的概率. 【变式11-4】（23-24高一下·全国·课后作业）甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率是.求： （1）甲、乙都解出此问题的概率； （2）甲、乙都未解出此问题的概率； （3）甲、乙恰有一人解出此问题的概率； （4）至少有一人解出此问题的概率. 【考点题型十二】随机模拟 【例12】（24-25高二上·四川·期中）盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 【变式12-1】.（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 【变式12-2】.（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【变式12-3】.（23-24高二上·四川成都·期中）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 . 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（   ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 2．（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的硬币100次，58次出现正面朝上，若再抛一次，则仍然是正面朝上的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·全国·一模）从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海·期中）甲、乙两组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263 乙组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252 则下列说法错误的是（   ） A．甲组数据的第75百分位数是255 B．乙组数据的众数是245 C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在248.5厘米以上的概率为 D．乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低 5．（2026高三·全国·专题练习）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（   ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 6．（24-25高二下·云南·阶段练习）已知甲组共20人，乙组共30人，现按比例采用分层随机抽样的方法从这两组中共抽取5人参加升国旗仪式，在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手，则被抽取的这2人中至少有1人是甲组的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（浙江省G5联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题）盒中有2个黑球，2个白球和1个红球，每次随机抽取一球后放回，同时再放入1个同色球，抽取3次，3次颜色均不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·北京·阶段练习）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（   ） A．密码被成功破译的概率为 B．密码被成功破译的概率为 C．两人都成功破译的概率为 D．两人都成功破译的概率为 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ）    A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 10．（24-25高二上·湖北·期末）甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（   ） A．两人都命中的概率为 B．恰好有一人命中的概率为 C．两人都没有命中的概率为 D．至少有一人命中的概率为 11．（24-25高二下·四川泸州·期中）某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组，，…，制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（   ） A．第一组的频率为0.1 B．该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C．如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量（吨）的最低标准的估计值为2.7 D．在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4 三、填空题 12．（24-25高二下·天津红桥·期中）两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为 ． 13．（24-25高一下·江西景德镇·期中）小王和小明玩一个游戏，只有胜负两种结果，约定谁先胜三局谁就赢得80元奖金，其中二人水平相同（每局任何一人输赢概率均为0.5），现在比赛进行了三局，小王胜了两局，小明胜了一局，但因故需停止比赛．若按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得 元． 14．（2026高三·全国·专题练习）三个元件正常工作的概率分别为，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接人电路，在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是 ． 四、解答题 15．（24-25高二上·湖南·开学考试）小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会，每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词，已知小明每轮猜对的概率为，小王每轮猜对的概率为.在每轮活动中，小明和小王猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率； (2)求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率. 16．（24-25高一上·江西·期末）已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. (1)求救援小组中医生和护士的人数； (2)若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. 17．（24-25高一下·江西景德镇·期中）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位） (2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率． 18．（24-25高二下·上海·期中）半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 19．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 第十章 概率 （4个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 互斥事件与对立事件 1互斥事件 一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥(或互不相容)，符号表示：. 图示： 2对立事件 一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么 称事件与事件互为对立，事件的对立事件记为，符号表示：，且. 图示： 清单02 古典概型的概率 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 清单03 概率的基本性质 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 性质6：设，是一个随机试验中的两个事件，有 清单04 事件的独立性 相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立(mutually independent)，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 【考点题型一】互斥事件与对立事件（） 【例1】（23-24高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 【答案】D 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可. 【详解】从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，可能的结果为：1正1次､2正､2次， 对于A：“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合； 对于B：“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件，不符合题意； 对于C：“至少有1件次品”包括1正1次､2次，“至少有1件正品”包括1次1正､2正，这两个事件不是互斥事件，不符合题意； 对于D：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意； 故选：D 【变式1-1】.（24-25高三上·山东潍坊·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是（   ） A．至少一个红球和都是红球 B．至少一个黑球和都是红球 C．至少一个黑球和至少一个红球 D．恰有一个红球和恰有一个黑球 【答案】D 【知识点】确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断. 【详解】对于A至少一个红球和都是红球不互斥，同时发生的情况是都是红球，A错误； 对于B至少有一个黑球和都是红球互斥并对立，所以B错误； 对于C至少一个黑球和至少一个红球，当一个黑球两个红球是可以同时发生，不互斥，C错误； 对于D，恰有一个红球和恰有一个黑球，互斥但不对立，存在情况都是红球或都是黑球，D正确. 故选:D. 【变式1-2】.（24-25高一上·贵州·期末）在7个除颜色外其他都相同的小球中，有3个红球，4个白球，从中任意取出3个小球，则事件“3个小球中至少有2个白球”的对立事件是（    ） A．3个小球中至多有1个白球 B．3个小球中至多有1个红球 C．3个小球都是红球 D．3个小球都是白球 【答案】A 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据对立事件的概念直接得出结果. 【详解】由题意知，3个小球中至少有2个白球包含的情况为：2白1红、3白， 所以其对立事件包含的情况为：3红、2红1白， 即至多有1个白球. 故选：A 【变式1-3】.（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）在一次随机试验中，彼此互斥的事件发生的概率分别是，则下列说法正确的是（　　） A．与是互斥事件，也是对立事件 B． 与是互斥事件，也是对立事件 C． 与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 【答案】D 【知识点】确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的定义和对立事件的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】A中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与不是对立事件，故A错误； B中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与不是对立事件，故B错误； C中，因为彼此互斥，故与是互斥事件， 而，故与是对立事件，故C错误； D中，因为彼此互斥，故与互斥事件， 而，故与是对立事件，故D正确； 故选：D. 【变式1-4】.（23-24高一下·陕西西安·期末）有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 【答案】A 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，结合互斥、对立事件的定义即可判断. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人， 所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件； 故选：A 【考点题型二】计算古典概型概率（） 【例2】（24-25高一下·江西赣州·期中）近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2027年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249，478. (1)求这6个数据的75%分位数及平均数； (2)从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率. 【答案】(1)75%分位数是249，平均数是151. (2) 【知识点】计算几个数的平均数、总体百分位数的估计、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据百分位数计算公式和平均数计算公式即可得到答案； （2）写出所有样本空间，并列举出满足题意的样本点，最后利用古典概型的公式即可得到答案. 【详解】（1）因为， 所以这6个数据的75%分位数是249， 这6个数据的平均数是. （2）从6个数据中任取2个数据，样本空间 ，共含有15个样本点， 设事件表示“取到的2个数据都小于6个数据的平均数”， 则，共含有6个样本点， 所以. 答：取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率为. 【变式2-1】.（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在一个盒子中有除颜色外完全相同的3个球，蓝球，红球，绿球各1个，从中随机地取出1个球，观察其颜色后放回，然后随机取出1个球． (1)请用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求“第一次取出的是红球”的概率； (3)求“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】写出基本事件、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据题意写出样本空间即可； （2）写出事件A包含的基本事件，利用古典概型求解； （3）写出事件B包含的基本事件，利用古典概型求解. 【详解】（1）样本空间Ω={（蓝球，蓝球），（蓝球，红球），（蓝球，绿球），（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球）（绿球，蓝球）（绿球，红球）（绿球，绿球）}． （2）设“第一次取出的是红球”为事件A． 事件A包含的样本点有（红球，蓝球），（红球，红球），（红球，绿球），共3个， 由（1）知基本事件总数， 所以． （3）设“第一次取出的是红球且两次取出的球颜色不同”为事件B． 事件B包含的样本点有（红球，蓝球），（红球，绿球），共2个， 由（1）知基本事件总数， 所以. 【变式2-2】.（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）其校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地抽取了40名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分（满分：100分）分成，共六组．根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)从得分低于60分的样本中随机地选取2个样本，求这2个样本的得分在同一组的概率； (2)若在内的样本得分的平均数为86分，方差为10，在内的样本得分的平均数为92分，方差为6，求在内的样本得分的平均数和方差． 【答案】(1) (2)平均数分，方差 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算几个数据的极差、方差、标准差、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）先计算频率分布直方图求出得分低于60分的样本在不同组的数列， 再利用古典概型的概率公式计算这2个样本的得分在同一组的概率； （2）根据加权平均数公式和方差的性质计算内的样本得分的平均数和方差. 【详解】（1）由图可知，，解得， 则在内的样本容量为，将这2个样本分别记为， 在内的样本容量为，将这4个样本分别记为． 从中随机地选取2个，可知样本空间 ， 共有15个样本点． 用事件表示“这2个样本的得分在同一组”， 则，有7个样本点， 则，即这2个样本得分在同一组的概率为． （2）由图可知，在内的样本数与在内的样本数之比为， 所以在内的样本得分的平均数分， 方差 【变式2-3】.（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）从高三年级所有女生中，随机抽取个，其体重（单位：公斤）的频率分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 10 50 x 15 已知从个女生中随机抽取一个，抽到体重在的女生的概率为. (1)求出的值； (2)用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个，再从这5个女生中任取2个，求体重在和的的女生中各有1个的概率. 【答案】(1)； (2). 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、根据古典概型的概率求参数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）由题意列方程组求解即可； （2）确定两组里抽取的人数，利用列举法求解古典概型的概率，即可得答案. 【详解】（1）依题意可得，， 解得； （2）若采用分层抽样的方法从体重在和的女生中共抽取5个， 则体重在的个数为，记为， 在的个数为，记为， 从抽出的5个女生中，任取2个共有： 共10种情况. 其中符合体重在和的女生中各有1个的情况共有： 种. 设事件表示“从这5个女生中任取2个，体重在和的女生中各有1个”， 则. 从这5个女生中任取2个，体重在和的女生中各有1个的概率为. 【变式2-4】.（24-25高二上·贵州六盘水·期末）为了解某学校的学生周末对体育频道的观看情况，从观看了体育频道的学生中随机抽取100名进行调查，发现他们的观看时长都在40~100分钟之间，据此绘制出学生观看体育频道所用时长的频率分布直方图如下. (1)求频率分布直方图中x的值； (2)为了解学生对体育频道的喜好程度，用按比例分配的分层抽样方法从观看时长在内的学生中抽取5人作进一步分析，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人的观看时长在内的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算古典概型问题的概率、补全频率分布直方图 【分析】（1）由每个矩形对应频率之和为1可得答案； （2）由列举法可得答案. 【详解】（1）由题 （2）由（1）可知观看时长在内对应频率为，内对应频率为. 则5人中，观看时长在内的有，设为， 在内的有2人，设为. 则从5人中随机抽取2人的情况有：共10种， 其中2人的观看时长在内的情况有3种，则所求概率为. 【考点题型三】有放回与无放回概率 【例3】（多选）（23-24高二上·山东青岛·期中）一个盒子装有标号的5张标签，则（    ） A．有放回的随机选取两张标签，标号相等的概率为 B．有放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 C．无放回的随机选取两张标签，标号之和为5的概率为 D．无放回的随机选取两张标签，第一次标号大于第二次的概率为 【答案】AD 【知识点】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 【分析】根据题意，利用古典摡型的概率计算公式，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，有放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中标号相等的取法有种，所以概率为，所以A正确； 对于B中，有放回的随机选取两张标签，，有种取法， 其中第一次标号大于第二次的取法有种，所以概率为，所以B不正确； 对于C中，无放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中标号之和为5的有种取法，所以概率为，所以C不正确； 对于D中，无放回的随机选取两张标签，有种取法， 其中第一次标号大于第二次有种，所以概率为，所以D正确； 故选：AD. 【变式3-1】.（24-25高二下·辽宁丹东·期中）袋中装有除颜色外其他完全相同的红、黄球各1个，现从中随机取1个球，记录球的颜色后放回，并且往袋中放入2个与取出的球颜色相同的球，以此规则取球，则第三次取到红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】记取到红球为事件，取到黄球为事件，则第三次取到红球的情况有四种情况，分别计算概率求和即可. 【详解】记取到红球为事件，取到黄球为事件，则第三次取到红球的概率 . 故选：B. 【变式3-2】.（2024·全国·模拟预测）盒中装有1，2，3，4四个标号的小球．小明在盒中随机抽取两次（不放回），则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】由古典概率公式求解． 【详解】由于抽取两次是不放回的，且盒子里有2个奇数球，2个偶数球， 则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为：， 故选：D 【变式3-3】.（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）盒中有3个大小质地完全相同的球，其中2个白球、1个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球．则恰好摸出一个白球一个黑球的概率为 ． 【答案】 【知识点】有放回与无放回问题的概率 【分析】利用列举法求出基本事件总数，再求出符合条件的事件数，结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】记1个黑球为，2个白球分别为，，现从中不放回地依次随机摸出2个球， 则可能结果有，共6种情况， 其中恰好摸出一个白球一个黑球的有，共4种情况， 所以恰好摸出一个白球一个黑球的概率. 故答案为：. 【变式3-4】.（2024·四川绵阳·二模）甲、乙二人用7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为 ． 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、有放回与无放回问题的概率 【分析】利用互斥事件与古典概型的概率公式即可得解. 【详解】因为一共有7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张），甲先抽，乙后抽， 所以甲、乙二人抽到花色相同的情况有： ①甲先抽到红桃，乙后抽到红桃，②甲先抽到方片，乙后抽到方片， 所以甲、乙二人抽到花色相同的概率为. 故答案为：. 【考点题型四】根据古典概型概率求参数 【例4】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为 ；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为 . 【答案】 /0.3 10 【知识点】计算古典概型问题的概率、根据古典概型的概率求参数、利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】利用古典概率进行求解，利用互斥事件概率加法公式解决即可. 【详解】当n=5时编号为3的袋中有3个红球，2个白球.则从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，摸到的两个球都是红球的概率为. 现随机从个袋子中任选一个，所以有n种选法； 假设袋子中有个红球，个白球，从袋中无放回依次摸出三个球，有种方法； 若第三次取出的球为白球有四种情况：红红白、红白白，白红白，白白白，取法数为 ； 则若第三次取出的球为白球的概率为， 因为， 所以第三次取出的球为白球的概率为 ， 解得=10. 故答案为：. 【变式4-1】.（2024·全国·模拟预测）中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（    ） A．25本 B．30本 C．35本 D．40本 【答案】C 【知识点】根据古典概型的概率求参数 【分析】设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，由古典概率的计算公式可得答案. 【详解】设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，则购买后 该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共，从中任取1本有种取法. 《牡丹亭》戏曲书籍共，从中任取1本有种取法. 从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为 根据题意可得，解得， 即该戏曲学院图书馆需至少购买《社丹亭》戏曲书籍35本. 故选：C 【变式4-2】.（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在一个袋子里有大小一样的红球和白球共10个，现无放回地依次摸出2个球，若至少摸出1个白球的概率为. (1)求袋子里红球的个数； (2)求第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率. 【答案】(1)6个； (2). 【知识点】有放回与无放回问题的概率、根据古典概型的概率求参数 【分析】(1)可设袋子里红球个数为n，根据“至少摸出1个白球”的对立事件“摸出的球都是红球”的概率即可求出n； (2)根据分步乘法计数原理和古典概型概率计算方法即可计算﹒ 【详解】（1）记事件A为“摸出的2球全为红球”，事件B为“摸出的2球中至少含1个白球”． 设袋中含有n个红球，由题意知事件A与事件B互为对立事件， ∴， 又，即，，∴． ∴袋中红球共6个． （2）记事件C为“第一次摸出红球”，事件D为“第二次摸出白球”， 则． 【变式4-3】.（23-24高三上·河南·阶段练习）盒子中装了6张外形相同数字不同的卡片，其中写有数字1的卡片有m张和写有数字2的卡片有n张.小明以游戏的方式决定暑期是去北京､上海还是广州旅游.游戏规则为：从盒子中任取2张卡片，若这2张卡片上数字之和小于3则去北京旅游，若这2张卡片上数字之和等于3则去上海旅游，否则就去广州旅游.已知小明去北京旅游的概率为. （1）求常数m，n的值； （2）分别求小明去广州旅游的概率和不去上海旅游的概率. 【答案】（1），；（2）. 【知识点】计算古典概型问题的概率、根据古典概型的概率求参数 【分析】（1）依题意，设写有数字1的m张卡片分别为，，，…，，写有数字2的n张卡片分别为，，，…，，利用列举法将从盒子中任取2张卡片的情况列举出来，求出基本事件的总数及2张卡片上数字之和小于3的基本事件的个数，再结合小明去北京旅游的概率为，即可得出答案； （2）根据（1），先求出所求事件包含基本事件的个数，即可得出答案. 【详解】解：（1）依题意， 设写有数字1的m张卡片分别为，，，…，， 写有数字2的n张卡片分别为，，，…，， 从盒子中任取2张卡片的情况是： ，，，…，，，，…，， ，，…，，，，…，，…， ，，，…，， ，，…，， ，，…，， ，，…，，…， ， 共有种情况， 其中，任取2张卡片上数字之和小于3的情况是： ，，…，， ，，…，，…， ， 共有种情况， 所以小明去北京旅游的概率为，有， 解得，所以. （2）任取2张卡片数字之和大于3的情况只有这1种情况， 所以小明去广州旅游的概率，小明不去上海旅游即去北京或广州旅游， 所以小明不去上海旅游的概率为. 【变式4-4】.（23-24高三上·河南·阶段练习）某职业培训学校现有六个专业，往年每年各专业的招生人数和就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）统计如下表： 专业 机电维修 艺术舞蹈 汽车美容 餐饮 电脑技术 美容美发 招生人数 就业率 （Ⅰ）从该校往年的学生中随机抽取人，求该生是“餐饮”专业且直接就业的概率； （Ⅱ）为适应人才市场的需求，该校决定明年将“电脑技术”专业的招生人数减少，将“机电维修”专业的招生人数增加，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高个百分点，求的值． 【答案】（Ⅰ）0.08；（Ⅱ）． 【知识点】计算古典概型问题的概率、根据古典概型的概率求参数 【分析】（Ⅰ）根据题意求得往年每年的招生人数为，进而求得“餐饮”专业直接就业的学生人数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （Ⅱ）由表格中的数据，求得往年全校整体的就业率，根据招生人数调整后全校整体的就业率，列出方程，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题意，该校往年每年的招生人数为， “餐饮”专业直接就业的学生人数为， 所以所求的概率为． （Ⅱ）由表格中的数据，可得往年各专业直接就业的人数分别为，，，，，，往年全校整体的就业率为， 招生人数调整后全校整体的就业率为， 解得． 【考点题型五】利用概率的加法公式求古典概型概率 【例5】（24-25高二上·黑龙江·期中）已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】根据求解即可. 【详解】因为， 即，解得. 故选：B 【变式5-1】.（多选）（23-24高一下·云南大理·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率 【分析】根据对立事件的概率公式判断A，由于无法确定、是否相互独立及，即可判断B、C、D. 【详解】因为，，所以，故A正确； 由于无法确定、是否相互独立，故无法确定的值，但是，故B错误； 又，故C正确，D错误； 故选：AC 【变式5-2】.（23-24高二上·山东青岛·期中）已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、古典概型的特征 【分析】根据古典概型特点，求出，根据得到结果. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 【考点题型六】互斥事件的概率 【例6】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）袋中有红球､黑球､黄球､绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黄球的概率是 . 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】设事件分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”， 根据题意结合互斥事件的概率加法公式，列出方程组，即可求得答案. 【详解】解：设事件分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”， 则事件两两互斥， 根据题意，得，即， 解得，所以得到黄球的概率是. 故答案为：. 【变式6-1】.（2025高三·全国·专题练习）掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则在一次试验中，事件发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用互斥事件及对立事件的概率计算公式求解即可. 【详解】依题意 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件与互斥， 从而． 【变式6-2】.（24-25高二上·广东·期中）已知与是互斥事件，且，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【答案】D 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件、互斥事件的和事件的概率公式求解. 【详解】由，可得. 由于与是互斥事件， 故. 故选：D 【变式6-3】.（24-25高二下·上海闵行·期中）已知事件A与事件B互斥，如果，，那么 ． 【答案】/ 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】根据互斥事件的概率加法公式求解. 【详解】因为事件A与事件B互斥， 所以， 故答案为： 【变式6-4】.（24-25高二上·广西钦州·期末）已知事件与互斥，且，，则 . 【答案】0.5/ 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】运用互斥事件概率加法公式计算即可. 【详解】因为与互斥，所以. 故答案为：0.5. 【考点题型七】对立事件的概率 【例7】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）已知事件、互斥，、至少一个发生的概率，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用互斥事件、对立事件的概率关系即可计算求解. 【详解】由题意可得，， 则有，又，即， 解得，故. 故选：C. 【变式7-1】.（24-25高二上·山东济宁·期中）甲、乙两人比赛下棋，下成和棋的概率是，甲获胜的概率的是，则乙不输的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】分析可得乙不输与甲胜是对立事件，再由对立事件的概率和为1求解即可； 【详解】乙不输与甲胜是对立事件，则乙不输的概率是， 故选：C. 【变式7-2】.（多选）（23-24高一下·湖南怀化·期末）设A，B是两个随机事件，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式、事件的运算及其含义 【分析】根据事件的运算关系以及对立事件的概率，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由，，即， 知，所以C错误. 又，所以A正确. 同理可得，B正确. 又，所以D正确.    故选：ABD. 【变式7-3】.（24-25高二上·北京平谷·期中）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲在该商区临时停车不超过4小时，若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，则甲停车付费恰好6元的概率为 . 【答案】 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据互斥事件和对立事件的概率公式可解答。 【详解】设“甲临时停车付费恰为元”为事件， 则． 所以甲临时停车付费恰为元的概率是． 故答案为：. 【变式7-4】.（23-24高一下·广东潮州·期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则 . 【答案】 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值. 【详解】由与是对立事件，可得 由与是互斥事件，可得 . 故答案为： 【考点题型八】相互独立事件，互斥事件，对立事件的辨别 【例8】（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列命题正确的是（    ） A．对立事件一定是互斥事件 B．若A，B为两个随机事件，则 C．若事件A，B，C彼此互斥，则 D．若事件A，B满足，则A与B是对立事件 【答案】AB 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、概率的基本性质 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案． 【详解】对于A，根据对立事件与互斥事件的关系，可知A显然是正确的； 对于B，当与是互斥事件时，才有，对于任意两个事件A，B，满足，所以B正确； 对于C，事件A，B，C彼此互斥，但不一定是全体样本空间，故不一定等于1，还可能小于1； 对于D，只要等于全体样本空间，必定有，但事件与不一定互斥,故D错误． 故选：AB 【变式8-1】.（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【答案】D 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、相互独立事件与互斥事件 【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项. 【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确； B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确； C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确； D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误. 故选：D 【变式8-2】.（23-24高一下·河北衡水·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个事件，且，则A与B互斥 C．若，，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥可以同时成立 D．若事件A，B满足，则A与B相互对立 【答案】B 【知识点】独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系、相互独立事件与互斥事件、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，当事件A与B互斥时，A与B不一定相互对立，但A与B相互对立时，A与B一定互斥，故“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，故A错误； 对于B，若A，B为两个事件，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，，若事件A，B相互独立，则，故事件A，B不互斥，若事件A，B互斥，则，，故事件A，B不独立，故C错误； 对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，故D错误． 故选：B． 【变式8-3】.（多选）（24-25高二上·四川德阳·阶段练习）设是两个概率大于0的随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若A和互斥，则A和一定相互独立 B．若事件，则 C．若A和相互独立，则A和一定不互斥 D．不一定成立 【答案】BC 【知识点】独立事件的判断、互斥事件的概率加法公式、相互独立事件与互斥事件、概率的基本性质 【分析】对于AC：根据互斥事件和独立事件分析判断即可；对于B：根据事件间关系分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：若A和互斥，则， 显然，所以A和一定不相互独立，故A错误； 对于选项B：若事件，则，故B正确； 对于选项C：若A和相互独立，则， 所以A和一定不互斥，故C正确； 对于选项D：因为， 若A和互斥，则，则，故D错误； 故选：BC. 【变式8-4】.（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列四个命题中，假命题有（    ） A．对立事件一定是互斥事件 B．若为两个事件，则 C．若事件彼此互斥，则 D．若事件满足，则是对立事件 【答案】BCD 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系、事件的运算及其含义 【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A；根据事件的和事件的概率可判断B；举反例可判断C，D, 【详解】对于A，因为对立事件一定是互斥事件，A正确； 对B，当且仅当A与B互斥时才有， 对于任意两个事件，满足，B不正确； 对C，若事件彼此互斥，不妨取分别表示掷骰子试验中的事件“掷出1点”，“掷出2点”，“掷出3点”， 则，所以C不正确； 对于D，例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球， 从袋中任摸一个球，设事件A={摸到红球或黄球}，事件B={摸到黄球或黑球）， 满足， 但事件A与B不互斥，也不对立，D错误， 故选：BCD. 【考点题型九】独立事件的判断 【例9-1】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异. (1)若一次摸出两个球，求摸出两球标号互质的概率； (2)若采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，判断事件与事件是否相互独立. 【答案】(1)； (2)事件与事件不独立. 【知识点】独立事件的判断、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据题意，利用列举法求得样本空间的总数，得出所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，求得样本空间的总数，分别得出事件与事件所包含基本事件的个数，以及，利用古典摡型的概率计算公式，结合，即可得到答案. 【详解】（1）解：记事件：摸出两球标号互质， 由每个样本点出现的可能性相同，样本空间为，共6个样本点， 其中事件，共5个样本点，故， 所以，摸出两球标号互质的概率为. （2）解：采用不放回方式从中任意摸球两次，其中样本空间为： ，共12个样本点， 其中第一次摸出球的标号小于，可得， 第二次摸出球的标号小于，可得， 所以，则，， 所以，所以事件与事件不独立. 【例9-2】（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知事件满足，则下列说法正确的有（    ） A．若事件独立，则事件独立 B．若事件独立，则事件独立 C．若事件独立，则事件独立 D．若事件独立，则事件独立 【答案】AC 【知识点】独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据事件相互独立的概念逐项判断可得正确答案. 【详解】A.由事件独立得， ∴，故事件独立，A正确； B.要使事件独立，则需事件两两独立，且满足， 条件中只给出事件独立，没有说明事件和事件独立，B错误； C.∵事件独立，∴，又， 因，故，即事件独立，故C正确； D.由选项C可知根据事件独立可得事件独立，结合选项B可得选项D错误. 故选：AC. 【变式9-1】.（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的骰子两次，设事件表示“第二次朝上的数字为偶数”，则下列事件中与事件相互独立的是（   ） A．第二次朝上的数字是奇数 B．第二次朝上的数字为2 C．两次朝上的数字之和为9 D．两次朝上的数字之和为10 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】根据题意，由相互独立事件的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】抛掷骰子两次，共有个基本事件数， 则 ，共18个基本事件，则， 设事件为第二次朝上面的数字是奇数，则事件与事件是对立事件，故A错误； 设事件为第二次朝上面的数字是2，则，故B错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是9， 则共4个基本事件，则， 且，则， ，所以事件与事件相互独立，故C正确； 设事件两次朝上面的数字之和是10， 则，则， 且，则， 因为，所以事件与事件不相互独立，故D错误. 故选：C. 【变式9-2】.（2026高三·全国·专题练习）设M，N为两个随机事件，则以下命题是真命题的为（   ） A．若M，N为互斥事件，且，则 B．若，则事件M，N相互独立 C．若，则事件M，N相互独立 D．若，则事件相互独立 【答案】B 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的判断、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】对于A，由互斥事件的概率加法公式可判断真假；对于B，由独立事件的概率公式可判断真假； 对于C、D，由对立事件和独立事件的概率公式可判断真假. 【详解】对于A，由互斥事件的概率加法公式得，故A是假命题； 对于B，因为，所以事件相互独立，故B是真命题； 对于C，由得，， 所以事件不相互独立，故C是假命题； 对于D，由题意得，，若相互独立，则，故D是假命题． 故选：B. 【变式9-3】.（24-25高二下·湖南邵阳·期中）数学课上周媚老师先后两次掷一枚质地均匀的股子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（    ） A． B．A与相互独立 C．与相互独立 D．A与相互独立 【答案】C 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、独立事件的判断 【分析】根据古典概率和相互独立的公式即可求解. 【详解】对于选项A：两次掷出的点数之和是6的情况可为， 由乘法公式可得所以可能情况为种，所以，故选项A错误； 对于选项B：，，，，故选项B错误； 对于选项C：，，， 所以，所以与相互独立，故选项C正确； 对于选项D：，，，故选项D错误. 故选：C. 【变式9-4】（多选）（2025·全国·模拟预测）若事件互斥，事件中的事件满足，则（    ） A．事件独立 B．事件独立 C．若事件对立，则事件独立 D．若事件不对立，则事件不独立 【答案】ACD 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断、判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的乘法公式 【分析】应用对立事件及独立事件概率乘积公式计算判断各个选项即可. 【详解】由，所以，所以独立，A选项正确； 事件互斥，不能判断事件是否独立，B选项错误； 由条件可得，当事件对立时，，所以事件独立，C选项正确； 当事件不对立时，， 所以，，所以事件不独立，D选项正确；. 故选：ACD. 【考点题型十】独立事件的乘法公式 【例10】（2025·四川绵阳·三模）在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲､乙､丙3个问题，已知他答对甲､乙､丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对，可获得额外加分，则小张获得额外加分的概率为 . 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据相互独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意，至少能够连续将2道题都答对， 包含的情况有：甲乙都对，丙正误都可；甲错误，乙丙对， 则小张获得额外加分的概率为. 故答案为：. 【变式10-1】.（24-25高二下·福建漳州·期中）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（    ） A．密码被成功破译的概率为 B．恰有一人成功破译的概率为 C．密码被成功破译的概率为 D．密码破译失败的概率为 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用对立事件和独立事件的概率公式，逐项求解判断. 【详解】对于AC，密码被成功破译的概率为，A错误，C正确； 对于B，恰有一人成功破译的概率为，B错误； 对于D，密码破译失败的概率为，D错误. 故选：C 【变式10-2】.（24-25高二下·河南郑州·期中）甲乙两人向同一目标射击一次，已知甲命中目标的概率0.4，乙命中目标的概率为0.5.假设甲乙两人命中率互不影响，求目标被命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】令事件表示“甲命中目标”，事件表示“乙命中目标”，事件表示“目标被命中”，则. 【详解】令事件表示“甲命中目标”，事件表示“乙命中目标”，事件表示“目标被命中”， 则， 所以 ， 故选：C 【变式10-3】.（2025高二下·湖南郴州·学业考试）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为，，则恰有一人能成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】根据题意，由相互独立事件的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设事件表示甲成功破译密码，事件表示乙成功破译密码， 事件表示恰有一人能成功破译密码， 则. 故选：A 【考点题型十一】独立事件的实际应用 【例11】（23-24高二上·云南玉溪·期中）1.垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益．小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为，小亮每轮答对的概率为，且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“明亮队”在一轮活动中一题都没有答对的概率； (2)求“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】相互独立事件与互斥事件、独立事件的实际应用、利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）合理设出事件，利用独立事件的概率乘法公式进行求解；（2）合理设出事件，“明亮队”在两轮活动中答对3道题的情况有小明答对2道，小亮答对1道，或者小明答对1道，小亮答对2道，根据独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求出概率. 【详解】（1）设 “一轮活动中小明答对一题”，“一轮活动中小亮答对一题”，则，.设““明亮队”在一轮活动中一题都没有答对”，则，由于每轮答题中小明和小亮答对与否不影响，所以与相互独立，从而与相互独立，所以，.所以“明亮队”在一轮活动中一题都没有答对的概率为； （2）设“两轮活动中小明答对了道题”，“两轮活动中小亮答对了道题”，，1，2.由题意得，，，， 设““明亮队”在两轮活动中答对3道题”，则.由于和相互独立，与互斥，所以. 所以，“明亮队”在两轮活动中答对3道题的概率. 【变式11-1】.（23-24高三上·河北·阶段练习）某大学强基测试有近千人参加，每人做题最终是否正确相互独立，其中一道选择题有5个选项，假设若会做此题则必能答对.参加考试的同学中有一部分同学会做此题；有一半的同学完全不会，需要在5个选项中随机蒙一个选项；剩余同学可以排除一个选项，在其余四个选项中随机蒙一个选项，最终统计该题的正答率为30%，则真会做此题的学生比例最可能为（    ） A．5% B．10% C．15% D．20% 【答案】B 【知识点】独立事件的实际应用、计算古典概型问题的概率 【分析】设测试总人数为，真会做此题的学生人数为，再由已知列式计算得解. 【详解】设测试总人数为，真会做此题的学生人数为， 依题意，，解得. 故选：B 【变式11-2】.（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． (1)若乙投球2次均未命中的概率为，求； (2)若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的实际应用 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案； （2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案. 【详解】（1）由题意知，，故； （2）用表示“两人共命中2次”， ． 【变式11-3】.（22-23高一下·河南开封·期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.已知在某局双方平后，甲先发球. (1)若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为，求的值； (2)在（1）的条件下，求两人又打了4个球且甲获胜的概率. 【答案】(1)的值为 (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据题意得到事件的可能情况进而列出方程求解； （2）根据题意分析知所对应的事件为前两球甲乙各得1分、后两球均为甲得分，根据题意的先后手情况，列出式子求解即可. 【详解】（1）由题意可知，甲先发球，两人又打了2个球该局比赛结束， 所对应的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”， 所以， 解得，即的值为 （2）由题意可知，若两人又打了4个球且甲获胜， 所对应的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”， 因为甲发球时甲得分的概率为，乙得分的概率为， 乙发球时甲得分的概率为，乙得分的概率为， 所以 【变式11-4】（23-24高一下·全国·课后作业）甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率是.求： （1）甲、乙都解出此问题的概率； （2）甲、乙都未解出此问题的概率； （3）甲、乙恰有一人解出此问题的概率； （4）至少有一人解出此问题的概率. 【答案】（1）  （2）  （3）  （4） 【知识点】独立事件的实际应用、利用对立事件的概率公式求概率 【解析】（1）根据独立事件概率中,代入即可求解. （2）根据对立事件的概率公式,代入即可求解. （3）甲乙恰有1人解出题目,则甲解出乙未解出,或甲未解出乙解出,即可根据代入求解. （4）至少有一人解出此问题的概率,其对立事件为甲乙两人均未解出题目,由对立事件概率求法代入即可求解. 【详解】记甲独立解出此题为事件A,乙独立解出此题为事件B,则A与B为相互独立事件,且. （1）； （2）； （3）记事件C为甲、乙恰有一人解出此问题,则, ； （4）记事件D为至少有一人解出此问题,则 【点睛】本题考查了独立事件概率的求法,对立事件的性质及简单应用,属于基础题. 【考点题型十二】随机模拟 【例12】（24-25高二上·四川·期中）盒子中有四个大小质地完全相同的小球，分别写有“安”、“宁”、“联”、“盟”四个字，有放回地从中任取一个小球， 将三次抽取后“联”、“盟”两个字都抽取到记为事件.用随机模拟的方法估计事件发生的概率，利用电脑随机产生整数四个随机数，分别代表“安”、“宁”、“联”、“盟”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：233，103，122，320，031，231，133，130，231，001，220，132，021，123，023，230，321，232，由此可以估计，事件发生的概率为 . 【答案】 【知识点】整数值随机模拟问题、计算古典概型问题的概率 【分析】依题意由事件代表的随机数计算出符合题意的随机数组数，由古典概型公式计算可得结果. 【详解】根据题意可知“联”、“盟”两个字都抽取到，代表三个数字中同时出现数字2和3， 观察发现组随机数中有233，320，231，231，132，123，023，230，321，232，共10组， 再由古典概型公式计算可得事件发生的概率为. 故答案为： 【变式12-1】.（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412        451        312        531        224        344        151        254        424        142     435        414        135        432        123        233        314        232        353        442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（   ） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 【答案】C 【知识点】整数值随机模拟问题、计算古典概型问题的概率 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，则由古典概型概率公式计算， 知道估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为 故选：C. 【变式12-2】.（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，用计算机产生之间的随机数，当出现、、时表示一局比赛甲获胜，当出现4、5时表示一局比赛乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，现产生20组随机数，结果如下： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354 则估计在本次比赛中甲获得冠军的概率是（   ） A．0.35 B．0.55 C．0.6 D．0.65 【答案】D 【知识点】利用计算器（机）产生整数值随机数、整数值随机模拟问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据20组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【详解】表示甲获得冠军的数有423，123，423，114，332，152，342，512，125，432， 334，151，314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为. 故选：D 【变式12-3】.（23-24高二上·四川成都·期中）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数： 192  907  966  925  271  932  812  458  569  683 257  393  127  556  488  730  113  537  989  431 据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为 . 【答案】0.75/ 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用计算器（机）产生整数值随机数、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】先求出三只豚鼠都没被感染的随机数的组数求出其概率，再根据对立事件的概率性质即可得出三只豚鼠中至少一只被感染的概率. 【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染， 随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个， 故三只豚鼠都没被感染的概率为， 则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为. 故答案为：. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·江西景德镇·期中）《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（   ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 【答案】A 【知识点】用频率估计概率 【分析】根据抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，可计算出夹谷的频率，从而可解． 【详解】根据题意，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒， 则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石. 故选：A 2．（24-25高一下·江西景德镇·期中）抛一枚质地均匀的硬币100次，58次出现正面朝上，若再抛一次，则仍然是正面朝上的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】利用古典概型概率公式可求得抛一次硬币正面向上的概率. 【详解】抛一枚质地均匀的硬币有两个结果，正面向上或反面向上， 所以抛一次硬币正面向上的概率为，故再抛一次，则仍然是正面朝上的概率为. 故选：D. 3．（2025·全国·一模）从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式，可得答案. 【详解】从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数的情况有： ，共种； 符合题意的有，共种. 所以概率为. 故选：D. 4．（24-25高二下·上海·期中）甲、乙两组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组：244，245，245，246，248，251，251，253，254，255，257，263 乙组：239，241，243，245，245，247，248，249，251，252 则下列说法错误的是（   ） A．甲组数据的第75百分位数是255 B．乙组数据的众数是245 C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在248.5厘米以上的概率为 D．乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低 【答案】A 【知识点】独立事件的乘法公式、总体百分位数的估计、计算几个数的众数、计算几个数的平均数 【分析】利用总体百分位数的估计判断A，利用众数的特征判断B，分别设出事件，表示概率，结合独立事件的概率公式判断C，求出两个组的平均数后判断D即可. 【详解】对于A，由题意得甲组数据共有个数字， 而，则第百分位数是第个数和第个数的平均数， 为，故A错误， 对于B，我们发现出现了次，其它数据只出现了次， 则乙组数据的众数是，故B正确， 对于C，甲组中跳远成绩在厘米以上的有7人，其概率为， 乙组中跳远成绩在厘米以上的有人，其概率为， 而从甲，乙两组各随机选取一个成员，设从甲组抽取为事件， 从乙组抽取为事件，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为， 得到，，而相互独立， 由独立事件概率公式得，故C正确； 对于D，甲组的平均成绩为厘米， 乙组的平均成绩为厘米， 则将乙组中跳远成绩为厘米或厘米或厘米的成员调派到甲组后， 甲，乙两组的跳远平均成绩都有降低，故D正确. 故选：A 5．（2026高三·全国·专题练习）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（   ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 【答案】D 【知识点】写出某事件的对立事件 【分析】直接利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶； ②只有一次中靶；③两次都没有中靶， 所以事件“至少一次中靶”互为对立事件的是两次都没有中靶. 故选：D． 6．（24-25高二下·云南·阶段练习）已知甲组共20人，乙组共30人，现按比例采用分层随机抽样的方法从这两组中共抽取5人参加升国旗仪式，在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手，则被抽取的这2人中至少有1人是甲组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样求出甲组和乙组抽取人数，利用列举法得到这5人中随机抽取2人担任旗手的总情况数和至少有1人是甲组的情况数，得到概率. 【详解】根据题意，按比例采用分层随机抽样的方法从甲组中抽取人，记为A，B； 从乙组中抽取人，记为a，b，c． 在被抽取的这5人中随机抽取2人担任旗手的总情况有，，，， ，，，，，，共10种， 其中被抽取的这2人中至少有1人是甲组的情况有7种， 分别为，，，，，，， 故所求概率为． 故选：B 7．（浙江省G5联盟2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题）盒中有2个黑球，2个白球和1个红球，每次随机抽取一球后放回，同时再放入1个同色球，抽取3次，3次颜色均不相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】先依次考虑每次抽取不同颜色球的概率情况，再根据独立事件概率乘法公式和互斥加法公式求解即可. 【详解】第一次抽取总共有个球，抽取任意一种颜色球的概率都不为0，不妨先抽取黑球，其概率为， 第二次抽取时，因为第一次抽取黑球后放回并放入1个黑球，此时球的总数变为个， 黑球有个，白球还是2个，红球为1个，若第二次抽取白球，其概率为， 第三次抽取时，由于第二次抽取白球后放回并放入1个白球，此时球的总数变为个， 黑球有个，白球有个，红球为1个，若第三次抽取红球，其概率为， 而第一次抽取黑球、第二次抽取白球、第三次抽取红球只是其中一种顺序， 三次抽取不同颜色球的顺序还有：第一次抽取白球、第二次抽取黑球、第三次抽取红球； 第一次抽取黑球、第二次抽取红球、第三次抽取白球； 第一次抽取红球、第二次抽取黑球、第三次抽取白球； 第一次抽取白球、第二次抽取红球、第三次抽取黑球； 第一次抽取红球、第二次抽取白球、第三次抽取黑球这5种情况. 每种情况的概率都是，所以3次颜色均不相同的概率为. 故选：A 8．（24-25高二下·北京·阶段练习）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则（   ） A．密码被成功破译的概率为 B．密码被成功破译的概率为 C．两人都成功破译的概率为 D．两人都成功破译的概率为 【答案】B 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】对于AB，利用对立事件和独立事件的概率公式可求出密码被成功破译的概率，对于CD，利用独立事件的概率公式可求出两人都成功破译的概率. 【详解】对于AB，因为甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，， 所以密码被成功破译的概率为，所以A错误，B正确； 对于CD，因为甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，， 所以两人都成功破译的概率为，所以CD错误. 故选：B 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ）    A．事件B与C互斥 B． C．事件A与C相互独立 D． 【答案】BCD 【知识点】概率的基本性质、判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】确定事件包含的样本点，利用互斥、独立事件的意义，结合古典概率逐项判断. 【详解】事件，事件，事件，， 对于A，事件有相同的样本点2，事件B与C不互斥，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，事件A与C相互独立，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 10．（24-25高二上·湖北·期末）甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为，乙每次命中概率为，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（   ） A．两人都命中的概率为 B．恰好有一人命中的概率为 C．两人都没有命中的概率为 D．至少有一人命中的概率为 【答案】ABD 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】计算各事件的概率判断各选项是否正确. 【详解】设事件：甲投篮一次，命中；事件：乙投篮一次，命中. 则事件，独立. 对A选项：由，故A正确； 对B选项：由，故B正确； 对C选项：由，故C错误； 对D选项：由，故D正确. 故选：ABD 11．（24-25高二下·四川泸州·期中）某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组，，…，制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（   ） A．第一组的频率为0.1 B．该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C．如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量（吨）的最低标准的估计值为2.7 D．在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4 【答案】BCD 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算古典概型问题的概率、总体百分位数的估计、根据频率分布直方图计算众数 【分析】根据给定的频率分布直方图，结合众数、百分位数判断ABC；求出概率判断D. 【详解】对于A，第一组的频率为，A错误； 对于B，样本数据在区间的频率最大，该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25，B正确； 对于C，样本数据小于2.5的频率， 样本数据小于3的频率， ，由，解得吨， 因此月均用水量的标准定为吨，C正确； 对于D，月均用水量在的人数为：人，记为，， 月均用水量在的人数为：人，记为，，，， 从此人中随机抽取两人所有可能的情况有：,,,,,,,,,,,,,,，共种， 其中月均用水量都在的情况有：,,,,,，共种， 因此两人月均用水量都不低于吨的概率：，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（24-25高二下·天津红桥·期中）两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为 ． 【答案】 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式即可求解． 【详解】两个零件中恰好有一个一等品的概率为， 故答案为：． 13．（24-25高一下·江西景德镇·期中）小王和小明玩一个游戏，只有胜负两种结果，约定谁先胜三局谁就赢得80元奖金，其中二人水平相同（每局任何一人输赢概率均为0.5），现在比赛进行了三局，小王胜了两局，小明胜了一局，但因故需停止比赛．若按照两人最终获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得 元． 【答案】60 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】分别求出小王、小明最终获胜的概率，即可求出结论. 【详解】若小王最后获胜的情况为第四局小王赢或第五局小王赢、 故小王赢的概率为， 若小明最后获胜的情况为后两局小明获胜，故小明获胜的概率为， 故两人获胜的比例为，故按获胜的可能性大小的比例来分配奖金，则小王能获得元. 故答案为：. 14．（2026高三·全国·专题练习）三个元件正常工作的概率分别为，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接人电路，在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是 ． 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】记“三个元件正常工作”分别为事件，不发生故障为事件，结合对立事件的概率公式，利用相互独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】记“三个元件正常工作”分别为事件， 则， 不发生故障为事件，则不发生故障的概率为 ． 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二上·湖南·开学考试）小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会，每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词，已知小明每轮猜对的概率为，小王每轮猜对的概率为.在每轮活动中，小明和小王猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率； (2)求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率. 【答案】(1) (2). 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用古典概型的概率公式以及互斥事件的概率和公式即可算出结果. （2）诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词包括小王回答正确2句，小明回答正确1句；和小王回答正确1句，小明回答正确2句，分别计算概率再相加即可. 【详解】（1）设表示小明两轮猜对1句诗词的事件，则. （2）设，分别表示事件“小明两轮猜对1句、2句诗词”，，分别表示事件“小王两轮猜对1句、2句诗词”，则，，         ，.         设事件“两轮活动中诗词挑战杯代表队猜对3句诗词”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，             所以， 即诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率是. 16．（24-25高一上·江西·期末）已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. (1)求救援小组中医生和护士的人数； (2)若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. 【答案】(1)医生人数为2，护士人数为3； (2) 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据分层抽样的特征进行求解，得到答案； （2）2名医生，记为A，B；3名护士，记为a，b，c，利用列举法进行求解 【详解】（1）由题可知救援小组中医生的人数为，护士的人数为. （2）由（1）可知救援小组中有2名医生，记为A，B；有3名护士，记为a，b，c. 从中随机选取2人担任组长，所有的结果为，，，，， ，，，，，共有10种可能的结果. 记事件M为“医生和护士各有1人被选中担任组长”，依题意可知事件M包含的样本点 有，，，，，，共有6种可能的结果. 故. 17．（24-25高一下·江西景德镇·期中）在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位） (2)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率． 【答案】(1)，不低于分 (2) 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可； （2）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可. 【详解】（1）依题意得，， 又 ， 所以第分位数位于，且， 他的物理成绩应不低于分较为合适． （2）依题意甲能参加物理竞赛的概率， 乙能参加物理竞赛的概率， 二人互不影响，所以甲、乙至少有一人能参加物理竞赛的概率为: . 18．（24-25高二下·上海·期中）半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 【答案】(1)32 (2) (3)平均数为38，方差为． 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算古典概型问题的概率、由频率分布直方图估计平均数、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解即可； （2）先根据分层抽样的定义求出从第四组和第五组所抽取的人数，然后利用列举法结合古典概型的概率公式求解； （3）根据平均数和方差的定义结合已知条件求解即可. 【详解】（1）（岁）． （2）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组应抽取人，记为（乙），，对应的样本空间为： ， ， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则， 所以． （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ， 据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38，方差为． 19．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式、由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）先根据矩形面积之和为计算，再利用频率分布直方图均值公式计算； （2）先根据比例得出两个区间内各抽取人数，再列出样本空间以及事件“这人成绩都在内”所包含的样本点，最后按照古典概型计算其概率即可； （3）先计算甲、乙在两轮比赛中答对题，题的概率，再利用互斥事件和独立事件的概率公式计算. 【详解】（1）由题知，解得， 估计本次竞赛的平均成绩为 ． （2）因成绩在、内的学生人数之比为， 则从成绩在内的学生中抽取人，设为， 从成绩在内的学生中抽取人，设为， 设事件“从这人中随机抽取人，这人成绩都在内”， 则样本空间， 则， 事件包含的基本事件有，有， 则， 故从这人中随机抽取人，这人成绩都在内的概率为. （3）设，分别表示事件甲在两轮答题中答对题，题，，分别表示事件乙在两轮答题中答对题，题， 则，， ，， 设“两轮活动甲、乙共答对题”，则， 又与互斥，与，与分别相互独立， 则， 因此，甲、乙在两轮答题比赛中共答对题的概率为． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$