专题03 第七章 复数（6考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

清单03 第七章 复数 （6个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 复数的有关概念 知识点01：复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 清单02 复数的分类 知识点01：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 清单03 复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 清单04 复数的模 知识点01：复数的模 （1）向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). （2）()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 清单05 复数的四则运算 知识点01：复数代数形式的乘，除法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 清单06 共轭复数 知识点01：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点02：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 【考点题型一】复数的有关概念（） 【例1-1】（24-25高一下·重庆·阶段练习）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（2024高一·全国·专题练习）若为实数，复数，则 ． 【变式1-1】.（23-24高二下·浙江·期末）复数（为虚数单位）的虚部是（    ） A．1 B． C．2024 D． 【变式1-2】.（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-3】.（多选）（24-25高一下·湖南长沙·期中）关于复数z，下面是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【变式1-4】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则 【考点题型二】复数的分类（） 【例2】（23-24高一下·海南儋州·期中）已知复数. (1)若z为实数，求m值： (2)若z为虚数，求m值； (3)若z为纯虚数，求m值； (4)若复数z为实数0，求m值 【变式2-1】.（23-24高一下·全国·课后作业）“且”是“复数是纯虚数”的 条件. 【变式2-2】.（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【变式2-3】.（24-25高一下·江苏盐城·期中）实数取何值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)0? 【变式2-4】.（23-24高一下·吉林辽源·阶段练习）当实数x取何值时，复数是 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? 【考点题型三】复数的几何意义（） 【例3】（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 【变式3-1】.（24-25高一下·山西·期中）复数z满足，则复数z的模的最大值是 ． 【变式3-2】.（24-25高一下·重庆万州·期中）已知复数，复数满足在复平面内对应的点的集合为图形，则图形的面积为 . 【变式3-3】.（24-25高一下·广东广州·期中）请写出一个模为5，虚部为的复数 . 【变式3-4】.（24-25高一下·河南·期中）已知为实数，复数，复数在复平面内所对应的点位于第一象限. (1)求的值； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小. 【考点题型四】复数的模（） 【例4】（河南省青桐鸣2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题）若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】.（2025·青海西宁·二模）若与均为实数，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式4-2】.（2025·福建厦门·三模）若，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式4-3】.（24-25高一下·全国·课后作业）复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】.（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【考点题型五】复数的四则运算（） 【例5】（2025·甘肃陇南·模拟预测）已知，则z=（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（安徽省淮北、淮南市2025届高三下学期第二次质量检测数学试题）若，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式5-2】.（广东省揭阳市2025届高三高考模拟测试（二）数学试题）复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-3】.（24-25高一下·安徽·期中）若复数，则（   ） A．1 B．2 C． D．5 【变式5-4】.（24-25高二下·云南丽江·阶段练习）若，则（   ） A．2 B． C．1 D．4 【考点题型六】共轭复数（） 【例6】（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．直线上 B．直线上 C．实轴上 D．虚轴上 【变式6-1】.（2025·江西·二模）已知复数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式6-2】.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）复数z满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】.（24-25高三下·广西·阶段练习）已知（为虚数单位），则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【变式6-4】.（24-25高一下·天津·期中）复数的共轭复数是 . 【考点题型七】新定义题（） 【例7】（24-25高一下·全国·课后作业）在英语中，实数是Real Number，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Number，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：，；，．已知复数z是方程的解． (1)若，且（a，，i是虚数单位），求； (2)若，复数，，且，，求实数t的取值范围． 【变式7-1】.（多选）（2025·山东·模拟预测）定义，.其中复数（，是虚数单位），，，则下列命题中，真命题有（    ） A．对任意，都有 B．若是复数的共轭复数，则恒成立 C．若，则 D．对任意，结论恒成立 【变式7-2】.（多选）（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【变式7-3】.（24-25高一下·湖北孝感·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”． (1)若复数，求：； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求． 【变式7-4】.（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值. . 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知p，，复数是关于x的方程的一个根，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）欧拉公式（其中i为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，的共轭复数为（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25高三下·安徽阜阳·阶段练习）已知z为纯虚数，且，则（    ） A． B．1或-7 C．或 D．i或 4．（安徽省芜湖市2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷）设复数满足，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高一下·河南·期中）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（多选）（23-24高一下·广东江门·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．， B． C．若，则， D．若是关于x的方程的根，则 7．（24-25高二下·湖南·期中）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，为虚数单位，则对于，的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知，为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为实数 C． D．若，则 10．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知是复数且对应的点分别为，则以下结论错误的是（）． A．若，则，且 B．若，则，且 C．若，则向量和相等或相反向量 D．若，则 11．（24-25高一下·河南·期中）已知复数均不为0，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位，则 ． 13．（24-25高一下·河北·期中）已知复数，则 ． 14．（24-25高一下·广东潮州·期中）已知为虚数单位，，若，则 . 四、解答题 15．（24-25高一下·河南许昌·期中）设，已知复数，且为纯虚数． (1)求m的值和； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围． 16．（24-25高一下·山西·期中）（1）计算：； （2）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足求的值． 17．（24-25高一下·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 18．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知是一元二次方程的一个复数根． (1)求的值； (2)若为纯虚数，求． 19．（河南省青桐鸣2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题）已知是一元二次方程的一个复数根，且复数，i为虚数单位，. (1)求m，n的值； (2)求； (3)求的实部和虚部，并说明其在复平面内对应的点位于第几象限 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 第七章 复数 （6个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 复数的有关概念 知识点01：复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 清单02 复数的分类 知识点01：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 清单03 复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 清单04 复数的模 知识点01：复数的模 （1）向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). （2）()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 清单05 复数的四则运算 知识点01：复数代数形式的乘，除法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 清单06 共轭复数 知识点01：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点02：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 【考点题型一】复数的有关概念（） 【例1-1】（24-25高一下·重庆·阶段练习）若为实数，是纯虚数，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据复数的概念得出的值即可. 【详解】为实数，则， 是纯虚数，则， 则 故选：D 【例1-2】（2024高一·全国·专题练习）若为实数，复数，则 ． 【答案】2 【知识点】复数的基本概念、已知复数的类型求参数 【分析】根据给定条件，可得该复数是实数，再列式计算即得. 【详解】由只能是实数才能比较大小，得为实数，因此，解得， 所以. 故答案为：2 【变式1-1】.（23-24高二下·浙江·期末）复数（为虚数单位）的虚部是（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的基本概念 【分析】利用复数的概念及虚部的定义可得结果. 【详解】由复数的概念可得的虚部是. 故选：B 【变式1-2】.（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】复数的基本概念、虚数单位i及其性质、求复数的实部与虚部 【分析】利用复数的概念逐一判断各个命题即得. 【详解】对于复数（R），当且时为纯虚数， 在①中，若，则不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误； 在④中，i的平方等于，④正确. 故选：D 【变式1-3】.（多选）（24-25高一下·湖南长沙·期中）关于复数z，下面是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BD 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数的基本概念 【分析】对于AC，通过举特特例可判断选项正误；对于BD，设，由题意结合复数模计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A， 当 时，，故A错误； 对于B，设，由题可得，则.故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，设，则 ，故D正确. 故选：BD 【变式1-4】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知i是虚数单位，则 【答案】0 【知识点】虚数单位i及其性质 【分析】根据的运算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为：0 【考点题型二】复数的分类（） 【例2】（23-24高一下·海南儋州·期中）已知复数. (1)若z为实数，求m值： (2)若z为虚数，求m值； (3)若z为纯虚数，求m值； (4)若复数z为实数0，求m值 【答案】(1)或； (2)且 (3) (4) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的特征，列出关于实部和虚部的取值，即可求解. 【详解】（1）若为实数，则，解得：或； （2）若z为虚数，则，得：且； （3）若为纯虚数，则，解得：； （4）若复数为实数0，则，解得：. 【变式2-1】.（23-24高一下·全国·课后作业）“且”是“复数是纯虚数”的 条件. 【答案】充分不必要 【知识点】判断命题的充分不必要条件、复数的分类及辨析 【分析】根据复数的相关概念结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若且，则复数是纯虚数，即充分性成立； 若复数是纯虚数，则且，即不一定成立， 利用，即必要性不成立； 综上所述：“且”是“复数是纯虚数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 【变式2-2】.（24-25高一下·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【答案】(1)实部为2，虚部为3，是虚数 (2)实部为，虚部为，是虚数 (3)实部为，虚部为1，是虚数 (4)实部为，虚部为0，是实数 (5)实部为0，虚部为，是纯虚数 (6)实部为0，虚部为0，是实数 【知识点】复数的分类及辨析、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数得出实部及虚部，进而根据复数类型定义判断复数是实数还是虚数或纯虚数即可. 【详解】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数； 【变式2-3】.（24-25高一下·江苏盐城·期中）实数取何值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)0? 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【知识点】复数的相等、已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可； （2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可； （3）根据复数相等列式求解即可. 【详解】（1）当，即或时，复数是实数； （2）当，即且时，复数是虚数； （3）当即时，复数是0. 【变式2-4】.（23-24高一下·吉林辽源·阶段练习）当实数x取何值时，复数是 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）（2）（3）根据复数的分类条件列等式或不等式求解即得. 【详解】（1）若复数是实数等价于，解得或， 所以或时，是实数； （2）若是虚数，等价于，解得且， 所以且时，是虚数； （3）是纯虚数，等价于，解得， 所以时，是纯虚数. 【考点题型三】复数的几何意义（） 【例3】（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】首先根据复数的几何意义求复数对应的点的轨迹，再利用数形结合求模的最小值. 【详解】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心， 半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，    如图，最小值为. 故选：A 【变式3-1】.（24-25高一下·山西·期中）复数z满足，则复数z的模的最大值是 ． 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】利用复数的几何意义得对应的点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，将题意转化为圆上的点到原点的距离，进而可得结果. 【详解】表示对应的点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 故复数的模即圆上的点到原点的距离，则. 故答案为：. 【变式3-2】.（24-25高一下·重庆万州·期中）已知复数，复数满足在复平面内对应的点的集合为图形，则图形的面积为 . 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， 则在复平面内对应的点的集合是以点为圆心，5为半径的圆，图形的面积为. 故答案为： 【变式3-3】.（24-25高一下·广东广州·期中）请写出一个模为5，虚部为的复数 . 【答案】（或）答案不唯一，写出一个即可 【知识点】求复数的实部与虚部、由复数模求参数 【分析】根据题意，设复数，由，求得的值，即可得到答案. 【详解】根据题意，设复数，可得，解得， 所以或. 故答案为：（或）答案不唯一，写出一个即可 【变式3-4】.（24-25高一下·河南·期中）已知为实数，复数，复数在复平面内所对应的点位于第一象限. (1)求的值； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小. 【答案】(1)1 (2) 【知识点】由复数模求参数、向量夹角的坐标表示、复数的坐标表示、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据题意，由，列出方程求得，再由在复平面内所对应的点位于第一象限，得到的值； （2）由（1）得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：由复数且， 可得，即，解得， 又由在复平面内所对应的点位于第一象限，所以，故有. （2）解：由复数对应的向量分别是，可得， 则且， 因为为与的夹角，可得， 又因为，所以. 【考点题型四】复数的模（） 【例4】（河南省青桐鸣2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题）若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】设，利用复数相等建立方程求出即可得解. 【详解】设， 则， 即，解得， 所以，， 故选：A 【变式4-1】.（2025·青海西宁·二模）若与均为实数，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】根据复数相等的条件，求得，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】因为，所以，所以, 则． 故选：C． 【变式4-2】.（2025·福建厦门·三模）若，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【知识点】求复数的模 【分析】根据计算可得. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 【变式4-3】.（24-25高一下·全国·课后作业）复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的相等、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】设（），由条件等式，应用复数相等求，得到复数. 【详解】设（），则，， 因为，所以， 所以解得 即． 故选：D. 【变式4-4】.（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求复数的模 【分析】设（），代入已知等式，再根据复数模的计算公式求出的值. 【详解】设（），已知，则. 根据复数模的性质，对两边取模可得，即. 因为，所以，又，则. 由，且，可得，即. 故选：B. 【考点题型五】复数的四则运算（） 【例5】（2025·甘肃陇南·模拟预测）已知，则z=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可． 【详解】因为，则． 故选：B． 【变式5-1】.（安徽省淮北、淮南市2025届高三下学期第二次质量检测数学试题）若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】复数的相等、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】设，代入化简，由复数相等即可得出答案. 【详解】设，则， 所以， 由，所以，故， 所以， 故选：A. 【变式5-2】.（广东省揭阳市2025届高三高考模拟测试（二）数学试题）复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 【变式5-3】.（24-25高一下·安徽·期中）若复数，则（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的除法运算化简得出，进而求解，计算即可得出答案. 【详解】由已知可得， 所以， 则. 故选：A． 【变式5-4】.（24-25高二下·云南丽江·阶段练习）若，则（   ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数的乘法运算、共轭复数的概念及模长公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B 【考点题型六】共轭复数（） 【例6】（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（   ） A．直线上 B．直线上 C．实轴上 D．虚轴上 【答案】B 【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的运算化简复数，结合共轭复数的定义与复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，则， 所以，复数在复平面内对应的点的坐标为. 因此，的共轭复数在复平面内对应的点位于直线上. 故选：B. 【变式6-1】.（2025·江西·二模）已知复数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数的乘除运算及共轭复数概念即可求解. 【详解】由， 所以， 所以， 故选：B 【变式6-2】.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）复数z满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘除运算化简得出复数，再应用共轭复数定义得出虚部. 【详解】，则，故的虚部为. 故选：D. 【变式6-3】.（24-25高三下·广西·阶段练习）已知（为虚数单位），则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数代数形式的运算性质、共轭复数模的定义等即可解出. 【详解】依题意，， 所以． 故选：A． 【变式6-4】.（24-25高一下·天津·期中）复数的共轭复数是 . 【答案】 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的模 【分析】利用复数的模、除法及共轭复数求解. 【详解】依题意，， 所以所求共轭复数为. 故答案为： 【考点题型七】新定义题（） 【例7】（24-25高一下·全国·课后作业）在英语中，实数是Real Number，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Number，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：，；，．已知复数z是方程的解． (1)若，且（a，，i是虚数单位），求； (2)若，复数，，且，，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】复数的相等、求复数的实部与虚部、复数范围内方程的根、复数的除法运算 【分析】（1）先求解方程得到复数，再结合条件根据复数相等求解； （2）根据复数的运算，结合条件列出不等式组的求解. 【详解】（1）由z是方程的根，， 解得． 因为，所以，所以， 则， 所以解得 所以． （2）因为，所以． 又， 所以． 因为，， 所以解得， 所以实数t的取值范围为． 【变式7-1】.（多选）（2025·山东·模拟预测）定义，.其中复数（，是虚数单位），，，则下列命题中，真命题有（    ） A．对任意，都有 B．若是复数的共轭复数，则恒成立 C．若，则 D．对任意，结论恒成立 【答案】BD 【知识点】复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据题中所给定义，结合复数的运算法则，逐一分析判断，即可得答案. 【详解】对于A，根据定义，当时，，故A错误； 对于B，由题意得，所以，故B正确； 对于C，若，则两个复数实部、虚部可以相等，也可以相反，无法得到，故C错误； 对于D，设，，，则， ， ， 又，， 所以， 即，故D正确. 故选：BD. 【变式7-2】.（多选）（24-25高一下·云南玉溪·阶段练习）欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（    ） A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【答案】BCD 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限、复数的三角表示 【分析】求出，即可判断A；根据的范围求出的符号，再根据复数的几何意义即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据共轭复数的定义即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，，故A错误； 对于B，，而，则、， 故位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以， 又因为，所以，故D正确． 故选：BCD． 【变式7-3】.（24-25高一下·湖北孝感·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中有非常重要的地位，被推举为“数学中的天桥”． (1)若复数，求：； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，设与所成的角为，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】（1）利用给定公式，结合复数的乘方及除法运算求解. （2）利用欧拉公式求出的坐标，进而求出夹角的余弦. 【详解】（1）依题意，，， ，因此， 所以． （2），则， 于是，， 所以. 【变式7-4】.（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】已知三角函数值求角、诱导公式一、复数的相等、复数的乘方 【分析】（1）根据“维形态复数”的概念，分别把时的“2维形态复数”和“1维形态复数”表示出来，再根据复数的计算法则进行计算，即可证明； （2）由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，根据复数相等的条件可求得，结合三角函数的诱导公式，可求解. 【详解】（1）当时，， 设“1维形态复数”为，则， “2维形态复数”为，则， 因为， 故“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方. （2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等， 所以， 因此， 解，得或， 解，得或， 由于两个方程同时成立，故只能有，即. 所以. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知p，，复数是关于x的方程的一个根，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】根据一元二次方程的复数根互为共轭复数，再利用韦达定理即可得解. 【详解】因为复数是关于x的方程的一个根， 所以复数也是关于x的方程的一个根， 则，所以， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）欧拉公式（其中i为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，的共轭复数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】共轭复数的概念及计算 【分析】根据欧拉公式及共轭复数的定义即可求解. 【详解】， 所以的共轭复数为. 故选：. 3．（24-25高三下·安徽阜阳·阶段练习）已知z为纯虚数，且，则（    ） A． B．1或-7 C．或 D．i或 【答案】D 【知识点】已知复数的类型求参数、由复数模求参数 【分析】根据给定条件，设出复数的代数形式，再利用复数模的意义列式求解. 【详解】设，由，得，整理得， 解得或， 所以或. 故选：D 4．（安徽省芜湖市2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷）设复数满足，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】由复数的除法结合复数的虚部计算可得. 【详解】由，得的虚部为. 故选：B 5．（24-25高一下·河南·期中）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，所以复数在复平面内对应的点为位于第四象限. 故选：D. 6．（多选）（23-24高一下·广东江门·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．， B． C．若，则， D．若是关于x的方程的根，则 【答案】ACD 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、复数的乘方 【分析】设复数，代入计算可求得结论判断A；利用利用复数的乘方运算求解判断B，利用复数的四则运算法解求得判断C；将代入方程利用复数相等的条件可求解判断D. 【详解】对于A，，设复数，则，， 故，A正确； 对于B，由于，故，B错误； 对于C，由，可得，所以， 所以，所以，故C正确； 对于D，是关于x的方程的根， 故，即， 故，D正确. 故选：ACD. 7．（24-25高二下·湖南·期中）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简求得答案. 【详解】因为，所以，所以， 故选：A. 8．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，为虚数单位，则对于，的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】求二次函数的值域或最值、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】根据得，进而得到，结合模的计算公式求出，进而得到答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以当时，有最小值，最小值为， 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知，为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为实数 C． D．若，则 【答案】BC 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】举例说明判断AD；设出复数的代数形式，结合共轭复数的意义及复数模的运算求解判断BC. 【详解】对于A，取，满足，而不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误； 对于B，设，由，得， 则，，B正确； 对于C，设，则，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：BC 10．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）已知是复数且对应的点分别为，则以下结论错误的是（）． A．若，则，且 B．若，则，且 C．若，则向量和相等或相反向量 D．若，则 【答案】AC 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、复数的向量表示 【分析】举反例即可说明A，C错误；对于B，只有，才有；对于D，只有，才有，由比判断D. 【详解】对于A，若，，则满足，但此时，故A错误； 对于B，，若，则故B正确； 对于C，若，则满足，此时， 同理，此时和即不是相等何量，也不是相反向量，故C错洖； 对于D，故，此时，故，故D正确. 故选：AC． 11．（24-25高一下·河南·期中）已知复数均不为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】复数的除法运算、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的乘法和除法运算可得答案. 【详解】对于A，，，显然，A不正确； 对于B，设，，则，， ，所以，B正确； 对于C，设，， ，， ， 所以，C正确； 对于D， ， ，D正确； 故选：BCD 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位，则 ． 【答案】1 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根 【分析】确定方程的另外一根，根据韦达定理即可求得答案. 【详解】由题意知是关于的方程的一个根， 则是该方程的另一个根，则， 即，则， 故答案为：1 13．（24-25高一下·河北·期中）已知复数，则 ． 【答案】 【知识点】复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【分析】根据虚数的性质，求得，结合，得到，再由共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由虚数乘方的性质，可得，其中，可得， 所以，所以. 故答案为：. 14．（24-25高一下·广东潮州·期中）已知为虚数单位，，若，则 . 【答案】 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】应用复数乘法及复数相等得，即可得. 【详解】由题设，则，可得. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·河南许昌·期中）设，已知复数，且为纯虚数． (1)求m的值和； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据复数的乘法运算和纯虚数的定义求出，再根据复数的模的计算公式求出即可； （2）先根据复数的乘法运算求出，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】（1）, 因为为纯虚数， 所以，解得， 所以， 所以； （2）， 因为复数在复平面内对应的点位于第三象限， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 16．（24-25高一下·山西·期中）（1）计算：； （2）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）利用复数除法运算和乘方运算，结合的幂运算的周期性可求得结果； （2）设，根据共轭复数，复数乘法运算，复数相等的知识求出，进而求得结果. 【详解】（1） . （2）令且，则， 所以，则，可得， 所以，则. 17．（24-25高一下·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)0 (2). 【知识点】求复数的模、已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据纯虚数的概念解方程组可得结果； （2）由复数的模长公式以及二次函数性质计算可得其最小值. 【详解】（1）由复数为纯虚数可得，所以； （2）易知， 则可知时，的最小值为. 18．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）已知是一元二次方程的一个复数根． (1)求的值； (2)若为纯虚数，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数范围内方程的根 【分析】（1）代入，转化为复数为0的形式，即可列式求解； （2）根据复数的特征，即可列式求解. 【详解】（1）由条件可知，， 则，得， 则，得，， 所以； （2）由题意可知，，得， 所以，则. 19．（河南省青桐鸣2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题）已知是一元二次方程的一个复数根，且复数，i为虚数单位，. (1)求m，n的值； (2)求； (3)求的实部和虚部，并说明其在复平面内对应的点位于第几象限 【答案】(1) (2)5 (3)实部为，虚部为，复数对应点在第二象限. 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部、判断复数对应的点所在的象限 【分析】（1）根据根与系数的关系求解即可； （2）根据复数的乘法及模的运算求解； （3）根据复数的加法及概念、几何意义求解. 【详解】（1）因为是一元二次方程的一个根， 所以是方程的另一个根， 所以，， 即，解得. （2）由（1）知，， 所以， 所以 （3）， 所以实部为，虚部为，复数对应点在第二象限. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$