专题02 第六章 解三角形及其应用（4考点清单，知识导图+12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

清单02 第六章 解三角形及其应用 （4个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01解三角形 （1）在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； （3）在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 清单02 三角形面积 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 清单03 三角形中线 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， （1）中线向量化（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 清单04 三角形角平分线 （1）等面积法 核心技巧 （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 【考点题型一】解三角形（） 【例1】（24-25高一下·天津南开·期中）在中，，则最大角余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（24-25高一下·河南信阳·阶段练习）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（24-25高一下·山东济南·阶段练习）在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（山西省青桐鸣2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知的内角所对的边分别是，且，，则 ． 【变式1-4】.（24-25高一下·广东潮州·期中）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， (1)若，求角A； (2)若，，，求边c． 【考点题型二】判断三角形的形状（） 【例2】（24-25高一下·浙江·期中）在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2-1】.（24-25高一下·江苏常州·期中）在中，已知，则△ABC的形状是（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2-2】.（24-25高一下·江苏常州·期中）设中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【变式2-3】.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式2-4】.（24-25高一下·山西·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．针角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【考点题型三】边角互化的应用（） 【例3】（24-25高一下·江苏·期中）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若，则a的取值范围是 . 【变式3-1】.（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式3-2】.（2025·江西宜春·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（24-25高一下·上海·期中）（1）在中，已知，求证：； （2）在中，已知，求证：． 【变式3-4】.（24-25高一下·江西上饶·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)若的面积为，，求a、b的值. 【考点题型四】判断三角形的个数（） 【例4】（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知的内角所对的边分别为，若满足条件的有两个，则的值可能为（    ） A．7 B． C．9 D．10 【变式4-1】.（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（   ） A．10 B．8 C．5 D．4 【变式4-3】.（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（   ） A．无解 B．恰有一解 C．恰有两解 D．不能确定 【变式4-4】.（多选）（24-25高一下·河南·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件中，使得有唯一解的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【考点题型五】三角形周长（定值）（） 【例5】（安徽省智学大联考�皖中名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷）在中，分别为角的对边，向量，，且. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，，，求的周长． 【变式5-1】.（24-25高二下·云南丽江·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，且三角形的面积为，求的周长l． 【变式5-2】.（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，的面积为．求的周长． 【变式5-3】.（24-25高一下·海南·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【变式5-4】.（广东省大湾区2025届普通高中毕业年级联合模拟考试（二）数学试题）在中，角的对边分别为的面积为，满足. (1)求的值； (2)若，求的周长. 【考点题型六】三角形面积（定值）（） 【例6】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若． (1)求的大小； (2)若，，求的面积． 【变式6-1】.（2025届辽宁省部分重点中学协作体高三高考模拟考试数学试题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求A； (2)若，求的面积. 【变式6-2】.（24-25高二下·云南昆明·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 【变式6-3】.（2025·江苏淮安·模拟预测）已知在中，，. (1)求角的大小及的值； (2)设，求三角形的面积. 【变式6-4】.（24-25高二下·上海·期中）已知. (1)求函数在区间上的最小值； (2)在等腰中，，若的周长为6，求的面积. 【考点题型七】正余弦定理的应用（） 【例7】（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在两点进行测量，途中在点测得，在点测得，测得． (1)求点和点之间的距离； (2)求两山顶间的距离． 【变式7-1】.（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某商船在处，此时测得，5分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则该船行驶的距离（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】.（24-25高一下·河南·阶段练习）如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向．在相距的，两地各放置一个地动仪，在的南偏西方向，若地地动仪正东方位的龙珠落下，地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离地（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】.（24-25高一下·山西·期中）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 m（用参考数据进行计算）； 如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当 m时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，，. 【变式7-4】.（24-25高一下·福建·期中）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10海里的C处的乙船.乙船立即沿着方向前往救援.则 .    【考点题型八】三角形中线（） 【例8-1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，的周长为9，点是边的中点，求线段的长． 【例8-2】（24-25高一下·云南临沧·期中）在中，角所对的边分别为，． (1)当，时， （i）若线段是角的内角平分线，点在边上，求的长； （ii）若点是的外心（即各边垂直平分线的交点），求的值； (2)当，边上的中线时，求的大小． 【变式8-1】.（24-25高一下·河南·阶段练习）已知中，，，分别为角，，的对边，且． (1)求； (2)若，是的中点，且，求的面积． 【变式8-2】.（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求，； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 【变式8-3】.（24-25高三下·河北·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，且. (1)求的大小； (2)若边上的中线，求的周长. 【考点题型九】三角形角平分线（） 【例9】（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角的对边分别为，若． (1)求角的大小； (2)若为上一点，且为角的平分线，，求的最大值． 【变式9-1】.（24-25高一下·山东淄博·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求边上的中线长度的最小值； (3)若，，若为角平分线，求的长度． 【变式9-2】.（河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）已知的内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若，求周长的取值范围； (3)若是边上的点，且平分，求的最大值． 【变式9-3】.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）在中，，，分别是角，，的对边，若且． (1)求； (2)设角的平分线交边于点，求长度最大值． 【变式9-4】（24-25高一下·湖南·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. (1)求； (2)若的角平分线长为，且，求的值. 【考点题型十】三角形周长问题（最值范围）（） 【例10】（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围． 【变式10-1】.（24-25高一下·广西河池·阶段练习）已知锐角△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A的值； (2)若，求△ABC周长的取值范围． 【变式10-2】.（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 【变式10-3】.（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知：的角A， B， C的对边分别为a， b， c． (1)求角A： (2)若  求周长的取值范围． 【变式10-4】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边. (1)若，求； (2)若，，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，，，求周长的取值范围. 【考点题型十一】三角形面积问题（最值，范围）（） 【例11】（24-25高一下·山东·阶段练习）已知三角形的内角的对边分别是，且满足． (1)求角A的大小； (2)若三角形的面积为10，内切圆的半径为1，求； (3)若的角平分线交于，且，求三角形面积的最小值． 【变式11-1】.（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，点D在AC上，且，． (1)求角B； (2)求面积的最大值． 【变式11-2】.（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知在中，角的对边分别为，. (1)若，求. (2)若，求面积的最大值. 【变式11-3】.（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若，求△ABC面积的最大值. 【变式11-4】（2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)如图，点是所在平面上一点，若，且，，求面积的最大值. 【考点题型十二】新定义题（） 【例12】（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）如图，设、是平面内相交成的两条射线，，分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．    (1)在－仿射坐标系中，若，求； (2)如图所示，在－仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【变式12-1】.（24-25高一下·河南郑州·期中）我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即（其中为三角形面积， ，，为三角形的三边）.在非直角中， ，，为内角，，所对应的三边，若且，则当面积的最大值时外接圆的半径为 . 【变式12-2】.（24-25高一下·河北邯郸·期中）四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论： （1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． （2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为 ，并求出此时四边形的面积为 ． 【变式12-3】.（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）材料1：在三角形中有一个非常重要的定理，其探究的情景基于角所对的边分别为的锐角，作的外接圆，连接并延长与交于点D，连接，则为直角三角形，且可推出对任意都有． 材料2：法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上材料解决下面的问题： (1)根据材料1的情景，当锐角中角所对的边分别为时，求证：； (2)已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值； (3)已知点P为的费马点，且，若，求实数的最小值． 【变式12-4】（24-25高一下·广西南宁·期中）当的三个内角均小于120°时，在内，使得的点M为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”．已知中，角的对边分别为，，，点P是的“费马点”． (1)求角A； (2)若，求的周长； (3)若，，求实数的值． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）在三角形中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高二下·浙江衢州·期中）在中，的平分线交AB于点，且，则为（   ） A． B． C． D． 4．（湖南省多校联考2024-2025学年高三下学期4月大联考数学试题）在中，角所对的边分别为，若，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 5．（2025高三·全国·专题练习）在中，若，，过点作边的垂线，若的内心在直线上，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·山东淄博·期中）下列命题中不正确的是（   ）． A．在中，，则 B．在锐角中，恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 7．（河南省青桐鸣2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·天津南开·期中）设锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列命题正确的个数为（   ） ①；        ②的外接圆的面积是； ③的面积的最大值是；    ④的取值范围是． A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 9．（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．是锐角三角形 B． C．的面积为 D．若为中点，则 10．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的面积为 D． 11．（24-25高一下·河南信阳·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则满足条件的三角形有两个 B．若，则 C．若，，则的最大值为 D．若，且，则为等边三角形 三、填空题 12．（24-25高一下·河南·期中）在中，，设边长为，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是 . 13．（24-25高一下·天津南开·期中）一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了2km到达地，然后由地向南偏东方向骑行了2km到达地，再从地向北偏东方向骑行了8km到达地，则A，D两地的距离为 km． 14．（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知的内角的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围是 . 四、解答题 15．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围． 16．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，且边边上的中线长，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围. 17．（河南省青桐鸣2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)若D为的中点，且，求的最大值. 18．（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 19．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求A； (2)若，周长为6，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 第六章 解三角形及其应用 （4个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01解三角形 （1）在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； （3）在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 清单02 三角形面积 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 清单03 三角形中线 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， （1）中线向量化（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 清单04 三角形角平分线 （1）等面积法 核心技巧 （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 【考点题型一】解三角形（） 【例1】（24-25高一下·天津南开·期中）在中，，则最大角余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由题意，利用正弦定理边角的转化，将正弦值之比转化为边长之比，然后利用余弦定理即可求解. 【详解】在中，， ∴角A即为的最大角. 由正弦定理可得， 不妨设， 由余弦定理可得. 故选：A. 【变式1-1】.（24-25高一下·河南信阳·阶段练习）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】直接利用正弦定理即可得到答案. 【详解】由正弦定理，得. 故选：A. 【变式1-2】.（24-25高一下·山东济南·阶段练习）在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】在中利用正弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， 由正弦定理可得. 故选：A. 【变式1-3】.（山西省青桐鸣2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知的内角所对的边分别是，且，，则 ． 【答案】/ 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解. 【详解】依据正弦定理，由，得， 两边同乘，得，解得， 又因为，所以． 故答案为：. 【变式1-4】.（24-25高一下·广东潮州·期中）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， (1)若，求角A； (2)若，，，求边c． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理和余弦定理解三角形. 【详解】（1）在△ABC中，由，可得，可得， 又由正弦定理，得，可得， 所以或. （2）在△ABC中，由余弦定理得 【考点题型二】判断三角形的形状（） 【例2】（24-25高一下·浙江·期中）在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由余弦定理化简题设条件即可得解. 【详解】因为， 所以由余弦定理，整理化简得. 所以即，或即， 所以三角形ABC的形状为等腰或直角三角形. 故选：D 【变式2-1】.（24-25高一下·江苏常州·期中）在中，已知，则△ABC的形状是（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据题意，由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到，即可得到答案. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得 又因为，所以， 即，所以， 因为，可得，所以， 又因为，所以，所以为直角三角形. 故选：B. 【变式2-2】.（24-25高一下·江苏常州·期中）设中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用判断出三角形为直角三角形． 【详解】由， 利用正弦定理：， 整理得， 因为，所以，故， 故． 所以为直角三角形. 故选：D． 【变式2-3】.（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理解三角形 【分析】根据三角形三边的大小关系，可以判定角为最大角，结合余弦定理，求得，即得所求. 【详解】在中，因为，，，则，所以， 由余弦定理可知：， 所以角为钝角，则是钝角三角形. 故选：C. 【变式2-4】.（24-25高一下·山西·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．针角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据题意，由余弦定理代入计算即可得到边，从而得到结果. 【详解】设，由余弦定理， 得，整理得，所以， 所以为等腰三角形． 故选：D 【考点题型三】边角互化的应用（） 【例3】（24-25高一下·江苏·期中）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若，则a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、基本不等式求积的最大值、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】利用正弦定理化简已知条件，再借助基本不等式即可求解. 【详解】， 由正弦定理得，，化简得，， 即， 当且仅当时等号成立， ，又，， 的取值范围是. 故答案为：. 【变式3-1】.（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据题意，由正弦定理化简得到，进而得到，再由正弦定理，得到，即可求得的值. 【详解】因为， 由正弦定理，可得，所以， 又因为，所以，所以， 又由正弦定理，可得，即 因为，所以. 故选：A. 【变式3-2】.（2025·江西宜春·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据正、余弦定理和三角的恒等变换的化简计算即可求解. 【详解】由题意知，， 由余弦定理得， 由正弦定理得， 即， .又， 所以，得，所以， 所以. 故选：A 【变式3-3】.（24-25高一下·上海·期中）（1）在中，已知，求证：； （2）在中，已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【知识点】三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理化简即得证； （2）利用正弦定理化边为角，根据和角的正弦公式代入化简，利用同角的基本关系式化弦为切即可得证. 【详解】（1）由和余弦定理，可得，化简得：，即得； （2）由和正弦定理，可得， 因， 代入上式并整理得：(*)， 因是的内角，故，， 将（*）两边同除以，可得. 【变式3-4】.（24-25高一下·江西上饶·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)若的面积为，，求a、b的值. 【答案】(1) (2)，或，. 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由正余弦定理化简可得结果； （2）由三角形面积公式及余弦定理化简可得结果. 【详解】（1）由正弦定理得，，化简为， ，， ，. （2）由题意有，可得， 由余弦定理得：， 将，代入可得：，可得， 所以，所以， 由，解得或. 故，或，. 【考点题型四】判断三角形的个数（） 【例4】（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知的内角所对的边分别为，若满足条件的有两个，则的值可能为（    ） A．7 B． C．9 D．10 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由题意结合正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理，得， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且，即， 于是得，解得，显然9适合题意， 故选：C. 【变式4-1】.（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由正弦定理可得，再由三角形有两解可得角的范围，从而得到结果. 【详解】由正弦定理可得，则， 因为，且满足条件的有两个， 所以，且（当时，三角形只有一解）， 此时，则. 故选：B 【变式4-2】.（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（   ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据得到答案. 【详解】有两组解，需满足，即，， 所以a的值可以为8，B正确，ACD错误. 故选：B 【变式4-3】.（24-25高一下·重庆·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（   ） A．无解 B．恰有一解 C．恰有两解 D．不能确定 【答案】C 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由三角形内角的性质得，结合的大小关系，即可判断三角形个数. 【详解】中，则，而，， 所以，显然满足的三角形恰有两个. 故选：C 【变式4-4】.（多选）（24-25高一下·河南·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件中，使得有唯一解的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理来判断角的取值的个数决定三角形的解的个数，也可利用大边对大角来确定角的情况，也可利用余弦定理来判断解的个数. 【详解】对于选项A，由， 因为，所以只能为锐角，故有唯一解； 对于选项B，由， 所以或，所以有两解； 对于选项C，因为，所以，显然不符合三角形内角和为，所以无解； 对于选项D，，，，符合边长的关系，且有唯一解. 故选：AD. 【考点题型五】三角形周长（定值）（） 【例5】（安徽省智学大联考�皖中名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷）在中，分别为角的对边，向量，，且. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合两角和差的正弦公式化简可得出.结合角的范围，即可得出答案； （2）根据已知可设，则.根据余弦定理化简即可得出.然后根据等面积，代入化简求解得出的值，即可得出各边长，求出周长. 【详解】（1）因为， 所以． 因为， 所以， 整理可得． 因为， 所以， 从而，即有. 又，所以. （2）在，角A的平分线交于点，， 由三角形内角平分线定理可知：. 设，则. 由（1）知，， 由余弦定理可得：， 整理可得. 又，，， 即， 解得， 所以周长为. 【变式5-1】.（24-25高二下·云南丽江·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，且三角形的面积为，求的周长l． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由所给等式结合余弦定理进行求解； （2）联立面积公式及可求出b、c，再利用余弦定理求出a，即可求得周长. 【详解】（1）∵， 又，所以． （2），即， 由余弦定理得：．解得： 所以的周长 【变式5-2】.（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，的面积为．求的周长． 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）应用和差角正弦公式得，由三角形内角的性质即可求角的大小； （2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理可得，即可得周长. 【详解】（1）在， 由已知，得，而，则， 又，所以． （2）由，得，即， 又，则，整理得， 因此，解得，所以的周长为． 【变式5-3】.（24-25高一下·海南·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，且. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解； （2）利用余弦定理及面积公式求出、，进而求得，即可求得周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 因为，所以，则， 则，又，所以． （2）由（1）知，又因为， 由余弦定理，得①， 由题意知，即②， 联立①②得，所以，故， 则的周长为. 【变式5-4】.（广东省大湾区2025届普通高中毕业年级联合模拟考试（二）数学试题）在中，角的对边分别为的面积为，满足. (1)求的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由面积公式和余弦定理，即可求答案； （2）由已知两角一边，先用正弦定理求另一边，再利用三角形内角和第三个角，再由正弦定理求第三边，从而可求得周长. 【详解】（1），再利用面积公式， ，即 又由余弦定理，得， . ， . （2）设的外接圆半径为， ， 由正弦定理，得. ， . ， 由正弦定理，得， 所以，的周长为. 【考点题型六】三角形面积（定值）（） 【例6】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若． (1)求的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）运用正弦定理，结合特殊角的三角函数值，即可得到； （2）运用余弦定理，结合完全平方公式求出，再运用三角形的面积公式即可得所求． 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即， 所以，即 因为 所以， 因为，所以. （2）由（1）知，， 由余弦定理，得， ∵，， ∴，得， 所以的面积. 【变式6-1】.（2025届辽宁省部分重点中学协作体高三高考模拟考试数学试题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求A； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）整理可得，结合余弦定理运算求解即可； （2）利用正弦定理可得，即可得，进而可得面积. 【详解】（1）因为，则即为， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由正弦定理可得，则， 可得，即， 由（1）可得，则， 即，可得， 所以的面积. 【变式6-2】.（24-25高二下·云南昆明·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由三角恒等变换和正弦定理得到，求出； （2）根据，由余弦定理得到方程，求出，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】（1）由，得， 即， 由正弦定理可得， 即， 因为，，所以得， 即，又因为，所以； （2）由（1）知，，又， 由余弦定理得，得， 解得或（舍）， 所以的面积． 【变式6-3】.（2025·江苏淮安·模拟预测）已知在中，，. (1)求角的大小及的值； (2)设，求三角形的面积. 【答案】(1)，. (2)15 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据正弦定理结合三角形的内角和、两角和与差的三角函数公式，进行计算即可. （2）利用三角形的内角和公式结合两角和的正弦可求，再用正弦定理求边，结合三角形的面积公式可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理： 所以. 因为为三角形内角，所以，所以， . 因为，所以，，所以. 由 所以，结合，可得. 所以为锐角，且. （2）因为为锐角，，所以. 所以. 由正弦定理：. 所以的面积为： 【变式6-4】.（24-25高二下·上海·期中）已知. (1)求函数在区间上的最小值； (2)在等腰中，，若的周长为6，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、辅助角公式、三角形面积公式及其应用 【分析】(1)先根据降幂公式辅助角公式化简函数然后结合正弦函数的性质可求出函数的最小值. (2)根据函数解析式求出角结合等腰的周长为6求出其它边长再计算面积. 【详解】（1）， 由于，所以， 由正弦函数性质可知，当即时， 函数在区间上取到最小值. （2）， 所以或， 即或， 而B为三角形内角，所以或. 当时，等腰是等边三角形，周长为6， 所以边长为2，面积为； 时，等腰是等腰直角三角形，周长为6， 设直角边，所以， 所以，面积为. 综上，的面积为或. 【考点题型七】正余弦定理的应用（） 【例7】（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在两点进行测量，途中在点测得，在点测得，测得． (1)求点和点之间的距离； (2)求两山顶间的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据题中在两点观测到的俯角，得出相关角，利用正弦定理，可得长度； （2）先在中利用正弦定理得到，再在中利用余弦定理得到. 【详解】（1）由题意可得，，，， 在中，根据正弦定理，， 所以，则. （2）在中，， 由正弦定理可得：，， 中，， 由余弦定理得： ， . 所以两山顶间的距离为. 【变式7-1】.（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某商船在处，此时测得，5分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则该船行驶的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】在中可得，在中由正弦定理可得，再在中，由余弦定理可得. 【详解】, ， 在中，，，则， 又因为，所以km. 在中，，，则. 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 即. 故选：A. 【变式7-2】.（24-25高一下·河南·阶段练习）如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向．在相距的，两地各放置一个地动仪，在的南偏西方向，若地地动仪正东方位的龙珠落下，地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离地（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】距离测量问题 【分析】根据正弦定理解三角形即可得到答案. 【详解】如图： 由题意：中，，，. 由正弦定理可得：. 故选：B 【变式7-3】.（24-25高一下·山西·期中）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 m（用参考数据进行计算）； 如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当 m时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，，. 【答案】 151.5 100 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、正弦定理解三角形、高度测量问题、基本不等式求和的最小值 【分析】利用正弦定理及直角三角形边角关系求解；利用直角三角形边角关系及差角垢正切公式，结合基本不等式求出取得最大值，借助正切函数单调性求解. 【详解】依题意，， 在中，，则， 在中，， 所以山高； 依题意，且，， 在中，，在中，， 则 ， 当且仅当，即时取等号，正切函数在上单调递增， 而，则当且仅当取得最大值时，最大， 所以当时，观测基站的视角最大. 故答案为：； 【变式7-4】.（24-25高一下·福建·期中）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10海里的C处的乙船.乙船立即沿着方向前往救援.则 .    【答案】/ 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据方位角得，由余弦定理求得，再利用正弦定理求得即可. 【详解】由题可知， 在中，由余弦定理可得 海里， 由正弦定理可得即，解得. 故答案为：. 【考点题型八】三角形中线（） 【例8-1】（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，的周长为9，点是边的中点，求线段的长． 【答案】(1)． (2)． 【知识点】正弦定理边角互化的应用、数量积的运算律、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦定理可得，即可求出答案； （2）由点是的中点可得，对其两边平方则，再由余弦定理可得，两式联立结合的周长，即可求出，进而求出线段的长． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得 所以，即， 又因为，所以． （2）因为点是的中点，所以， 所以 在中， 由余弦定理得， 所以， 所以 又因为的周长为，所以 所以，所以，所以， 所以，所以． 【例8-2】（24-25高一下·云南临沧·期中）在中，角所对的边分别为，． (1)当，时， （i）若线段是角的内角平分线，点在边上，求的长； （ii）若点是的外心（即各边垂直平分线的交点），求的值； (2)当，边上的中线时，求的大小． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）（i）根据三角形的面积公式可得，再结合等面积法求解即可； （ii）根据平面向量的线性运算及数量积的运算律求解即可； （2）设，根据余弦定理可得，，进而解得，，可得，再利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）（i）由题意知：，所以， 由， 解得；    （ii）设点是的中点，连接，则，， 则 .    （2）设， 由， 则根据余弦定理得，， 化简得：，① 在中，根据余弦定理得，，② 由①②得：，解得或（舍去）， 从而，即，由正弦定理可得，解得， 因为是三角形的内角，所以，则．    【变式8-1】.（24-25高一下·河南·阶段练习）已知中，，，分别为角，，的对边，且． (1)求； (2)若，是的中点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）由余弦定理，结合题意，可得答案； （2）由向量的线性运算，结合向量数量积的运算律，建立方程，利用三角形面积公式，可得答案. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 因为，所以． 因为，所以． （2） 因为是的中点，所以，即， 故． 又，，所以． 因为，所以，可得， 则，． 所以的面积为． 【变式8-2】.（24-25高一下·河南郑州·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边， (1)求角； (2)若，的面积为，求，； (3)若，且为锐角三角形，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】(1) (2)，. (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的运算律 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和差的正弦公式化简计算可得； （2）利用余弦定理及面积公式得到方程组，解得即可； （3）依题意可得将两边平方，结合余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，结合三角恒等变换公式及三角函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理知可得， 而， ， 即，又，     ，即， 又，则 ，则. （2）由（1）及题设可得，即，     将代入，整理得，则， 即（负值舍去），故. （3）因为为的中点，所以， 两边平方得，     在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以且，解得，     所以，所以，则， 所以， 所以中线的取值范围是. 【变式8-3】.（24-25高三下·河北·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，且. (1)求的大小； (2)若边上的中线，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、辅助角公式 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，再根据三角恒等变化可得解； （2）结合（1）可得该三角形为等腰三角形，再根据余弦定理可得解. 【详解】（1）由可得：， 由正弦定理可得：， 又， 则， 又，， ，， ； （2）由（1）得，则是以为顶角的等腰三角形， 设，则， 在中，由余弦定理可得：， 解得， 即， 由正弦定理可得， 即， . 【考点题型九】三角形角平分线（） 【例9】（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角的对边分别为，若． (1)求角的大小； (2)若为上一点，且为角的平分线，，求的最大值． 【答案】(1)； (2)3. 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）先由正弦定理角化边，再由余弦定理即可求解； （2）先由求出，再将代入，并设得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题和正弦定理得，整理得， 所以由余弦定理得， 又，所以. （2）因为，所以由题， 所以由得， 即， 又，设，则， 所以， 又，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为3. 【变式9-1】.（24-25高一下·山东淄博·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求边上的中线长度的最小值； (3)若，，若为角平分线，求的长度． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解. （2）利用余弦定理、中点向量公式，结合基本不等式求出最小值. （3）利用三角形面积公式列式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得， 即，而，则，又， 所以. （2）由（1）知，由余弦定理得， ，当且仅当取等号，则，又， 因此， 所以当时，边上的中线取得最小值. （3）依题意，，，， 由，得， 则，解得， 所以的长度为. 【变式9-2】.（河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）已知的内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若，求周长的取值范围； (3)若是边上的点，且平分，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)． 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、垂直关系的向量表示、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）由得，再利用余弦定理求解； （2）利用余弦定理和基本不等式求范围； （3）由，结合三角形面积公式得，再利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为，所以， 即，即， 由余弦定理得， 化简得，所以， 又，所以． （2）由余弦定理可知，即， 整理得，当且仅当时等号成立，即， 于是，当且仅当时等号成立， 又，所以， 所以， 即周长的取值范围为． （3）因为， 所以，可得， 因为，当且仅当时等号成立， 又由（2）可知，， 所以，当且仅当时等号成立． 所以的最大值为． 【变式9-3】.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）在中，，，分别是角，，的对边，若且． (1)求； (2)设角的平分线交边于点，求长度最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）化简等式，结合正弦定理即可求出； （2）利用角平分线得出面积关系，结合余弦定理求出的表达式，利用基本不等式即可求出长度最大值. 【详解】（1）由题意， ∵， ∴ 整理得：， ∵， ∴ ∴，又， ∴， 由正弦定理得：, ∴，即， ∵， ∴ （2）由题意及（1）得， 由几何知识得，, ∵， ， ∴，解得：， 由余弦定理得：， 即，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴（当且仅当时取等号） ∴， ∴的最大值是． 【变式9-4】（24-25高一下·湖南·期中）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，. (1)求； (2)若的角平分线长为，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，然后利用三角形内角和定理及两角和的正弦公式、辅助角公式即可求解； （2）由（1）知.根据是角的角平分线、三角形面积公式及可得.在中，由余弦定理可求，最后利用正弦定理角化边即可求解. 【详解】（1）在中，∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即. 又，∴，即， 即，即. ∵，∴， ∴，∴. （2）由（1）知. ∵是角的角平分线，且，∴， ∴，即， ∴. 在中，由余弦定理可知， . 由正弦定理可知，， ∴. 【考点题型十】三角形周长问题（最值范围）（） 【例10】（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，整理成余弦定理的推论，求出的值即可求解； （2）利用正弦定理表示出，再利用辅助角公式结合正弦型三角函数的性质求范围即可． 【详解】（1）在锐角三角形中，因为， 所以由正弦定理得， 故，即，即，即， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以． （2）因为，由正弦定理， 所以，， 设的周长为， 则 ， 因为在锐角三角形中，所以，， 所以，解得， 所以，所以， 故，则，即， 故周长的取值范围为． 【变式10-1】.（24-25高一下·广西河池·阶段练习）已知锐角△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A的值； (2)若，求△ABC周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）证明，证明即可求解； （2）证明，，证明，证明，证明即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理得， 整理得， 在中，， ，即， ，即； （2）由正弦定理得， ∴，， ∴， ， ∴， 在锐角中 ， ∴，， ∴， ∴周长的取值范围为． 【变式10-2】.（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求角； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角的性质及辅助角公式得，即可得角的大小； （2）由正弦定理得，应用三角恒等变换化为，且即可求范围. 【详解】（1）由正弦定理知，而， ∴， 即，又， ∴，即，又， ∴，则. （2）由正弦定理知， 所以， 因为，从而，所以， 从而的取值范围为. 【变式10-3】.（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知：的角A， B， C的对边分别为a， b， c． (1)求角A： (2)若  求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简即可求解，进而可求； （2）利用正弦定理、两角和差角正弦公式及辅助角公式进行化简后，再根据正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理有，即， 所以， 因为，所以． （2）因为，所以由正弦定理得， 所以的周长 ， 因为，所以， 所以周长的取值范围是． 【变式10-4】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边. (1)若，求； (2)若，，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、辅助角公式、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， ,故 ， 则； （2）因为的面积为，即， . 由余弦定理得. 解得. 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ,故， 所以，则， 故, 故周长的取值范围为. 【考点题型十一】三角形面积问题（最值，范围）（） 【例11】（24-25高一下·山东·阶段练习）已知三角形的内角的对边分别是，且满足． (1)求角A的大小； (2)若三角形的面积为10，内切圆的半径为1，求； (3)若的角平分线交于，且，求三角形面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合三角函数和差角公式可得答案； （2）由三角形面积及内切圆的半径可得，由三角形面积及（1）可得，最后结合余弦定理可得答案； （3）如图由几何知识可设，则，据此可得面积表达式，然后由两角和的正切公式结合基本不等式取等条件可得答案. 【详解】（1）由正弦定理边角互化可得： 又，则， 从而，结合， 则或（舍去）. 故. （2）因三角形的面积为10，内切圆的半径为. 则，则. 又由（1），. 则由余弦定理：. 化简后可得：； （3）如图，过D点做AB，AC垂线，垂足为E，F. 由（1）可得，则， 又由角平分线性质可得， 又注意到，， 则，设，则. 又，则.其中. 故三角形面积为： . 注意到. 则.要使最小，则需使最大. 注意到，则由基本不等式取等条件可得， 要使最大，需满足. 则，此时，即三角形为等边三角形. 【变式11-1】.（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，点D在AC上，且，． (1)求角B； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）向量化结合基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得， 整理得， 所以， 又，所以； （2）因为， 所以， 故， 即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以面积的最大值为．    【变式11-2】.（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知在中，角的对边分别为，. (1)若，求. (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）结合正弦定理和三角形的性质，得到，进而求得的值； （2）由余弦定理得到，结合基本不等式，求得，进而求得面积的最大值. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以， 所以， 可得，所以. （2）解：由余弦定理得，即 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即 所以，即面积的最大值为. 【变式11-3】.（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若，求△ABC面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）因为，根据正弦定理“边化角”，结合正弦两角和公式，即可求得角； （2）根据余弦定理求得关系式，结合均值不等式和三角形面积公式，即可求得的面积的最大值. 【详解】（1）由，根据正弦定理得： ，    又，代入上式得：， ，    又，所以，    又，所以 . （2）由余弦定理得： ，代入得：，    根据基本不等式，得：，当且仅当时，等号成立，    的面积为：，    故面积的最大值为. 【变式11-4】（2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)如图，点是所在平面上一点，若，且，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据两角和差的余弦公式化简，结合三角形内角和定理即可得解. （2）解法一：由知四点共圆，结合圆的性质及正弦定理用角表示出，结合三角形面积公式用角表示出三角形的面积，并求得其最值及对应条件. 解法二：借助余弦定理及基本不等式求得的最值，然后结合三角形面积公式确定面积的最值. 解法三：利用三角形的外接圆确定取最值时的条件，然后在中，利用中位线定理求得中边上高的最大值，从而求得面积的最大值. 【详解】（1）由题可得，， 根据正弦定理可知，， 在中，，所以，则， 所以， 所以，则， 因为，所以，所以， 因为，所以； （2）解法一：由，可知四点共圆，如图所示， 在中，由（1）可知，，又，所以， 设，则， 所以，，， 在中，，根据正弦定理可知， ， 所以，， 故 ， 根据二倍角公式，得， 因为，所以， 当，即时，面积的最大值为. 解法二：在中，已知，， 所以， 即，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即面积的最大值为. 解法三：由，可知四点共圆，设这个圆的圆心为，如图， 因为，，所以， 则的外接圆直径为，且， 是圆上动点，所以面积取最大值时边上的高最大， 即点到的距离最大， 此时最大距离为圆心到的距离加半径2. 在中，圆心到的距离为， 所以中边上高的最大值， 所以面积的最大值为. 【考点题型十二】新定义题（） 【例12】（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）如图，设、是平面内相交成的两条射线，，分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．    (1)在－仿射坐标系中，若，求； (2)如图所示，在－仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、余弦定理解三角形、已知数量积求模 【分析】（1）由坐标系新定义和向量的数量积以及模长的计算求解即可； （2）由坐标系新定义和中点坐标公式以及向量的数量积求出，再由余弦定理和正弦定理边化角以及降幂公式，辅助角公式化简可得. 【详解】（1）由题意知，，， ，， ，．    （2）设，且，， ， 为的中点，， 为中点，同理得， ， ，， ， 中，，， 代入上式得， 中，由正弦定理得， 设，则，，， ， 其中且，，， 当时，，． 【变式12-1】.（24-25高一下·河南郑州·期中）我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即（其中为三角形面积， ，，为三角形的三边）.在非直角中， ，，为内角，，所对应的三边，若且，则当面积的最大值时外接圆的半径为 . 【答案】3 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得 ，分类讨论可求 ，由题意可求得 的面积 ，利用二次函数的性质即可求解c值，再利用正弦定理求解半径即可． 【详解】因为 ， 由正弦定理可得 ， 又 ， 所以 ， 即 ， 可得 ，或 ，即 ， 当 时，由 ，可得 ， 由于在非直角 中 不为直角， 矛盾，舍去， 所以 ， 又 ，由余弦定理可得： 化简可得 ， 可得 的面积， 可得当 ，即 时， 取得最大值 ． 此时 ，则 ， 由 ，解得 , 设 外接圆的半径为 ， 则由 ，可得 ，可得 ． 故答案为：3． 【变式12-2】.（24-25高一下·河北邯郸·期中）四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论： （1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． （2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，如图，在凸四边形中，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小为 ，并求出此时四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、几何图形中的计算 【分析】先分析出当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，然后分别在，中，根据余弦定理表示出，再由圆的内接四边形对角互补，即可求出角A；再根据三角形的面积公式分别求出，的面积，相加即可得到四边形的面积. 【详解】由题设当 A、B、C、D四点共圆时，四边形的面积达到最大，如图， 连接，在中，由余弦定理得： ，① 在中，由余弦定理得： ，② 因为A、B、C、D四点共圆，所以， 从而，③ 由①②③解得 ，因为，所以 ． 从而， ， 所以 ． 故答案为：；. 【变式12-3】.（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）材料1：在三角形中有一个非常重要的定理，其探究的情景基于角所对的边分别为的锐角，作的外接圆，连接并延长与交于点D，连接，则为直角三角形，且可推出对任意都有． 材料2：法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上材料解决下面的问题： (1)根据材料1的情景，当锐角中角所对的边分别为时，求证：； (2)已知是平面内的任意一个向量，向量满足，且，则的最小值； (3)已知点P为的费马点，且，若，求实数的最小值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【知识点】正弦定理及辨析、余弦定理解三角形、数量积的坐标表示、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）作出辅助线，根据直角三角形中三角函数关系得到，证明出结论； （2）设出向量，转化为点到，，的距离之和最小问题，找到为的费马点，求出最小值； （3），设，，由得，在中，由余弦定理和勾股定理得到，由基本不等式求出最小值. 【详解】（1）因为为直径，所以， 在中，， 又，所以， 连接，同理在中，， 又，所以， 连接并延长，交圆于点，连接，则， 在中，， 又，所以， 又，所以， 即； （2）不妨设，， 则， 上式可以看成点到，，的距离之和， 显然为锐角三角形，要想距离之和最小，只需找到费马点， 在上取点，此时，故， 同理，故，所以， 点即为的费马点， 所以， 则的最小值为； （3）由于为直角三角形，故， 设，， 由得， 在中，由余弦定理得 ， 同理，在中，由余弦定理得， 在中，， 因为， 所以， 即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 所以，解得或（舍去）， 所以的最小值为 【变式12-4】（24-25高一下·广西南宁·期中）当的三个内角均小于120°时，在内，使得的点M为的“费马点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为的“费马点”．已知中，角的对边分别为，，，点P是的“费马点”． (1)求角A； (2)若，求的周长； (3)若，，求实数的值． 【答案】(1)； (2)； (3)6. 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、用定义求向量的数量积 【分析】（1）利用正弦边角关系、三角恒等变换、三角形内角的性质化简条件，即可得； （2）设，由向量的数量积可得，由三角形的面积可得，结合余弦定理可求，可求周长； （3）不妨设，则，由余弦定理解方程组即可得解. 【详解】（1）由，则， 所以，整理得， 又，则，即，， 所以； （2）设， 又，所以， 由，则，可得， 由，即，故， 所以的周长为； （3）设，则， ， ， ， 由，则， 所以，即， 由上，而（）， 所以，而， 所以，则或（舍），故， 综上，. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·山东济南·阶段练习）在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、利用三角恒等变换判断三角形的形状 【分析】根据正弦定理及两角和的余弦公式即可求解. 【详解】在中，由正弦定理及可得：. 又，， ∴，即，即. 又∵，∴，∴，∴是直角三角形. 故选：A. 2．（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）在三角形中，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理求得或，再结合三角形内角和及，即可求解． 【详解】由正弦定理得，，解得， 因为，所以或， 又因为，所以， 故选：A． 3．（24-25高二下·浙江衢州·期中）在中，的平分线交AB于点，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】先利用证得，在中利用余弦定理可得，最后再在中利用余弦定理可得. 【详解】因为的角平分线，，则， 因，则，即， 设，则， 则在中利用余弦定理可得，， 得， 在中利用余弦定理可得，. 故选：B    4．（湖南省多校联考2024-2025学年高三下学期4月大联考数学试题）在中，角所对的边分别为，若，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】先根据余弦定理可得，然后计算周长即可. 【详解】由余弦定理，可得， 解得或， 因为，所以， 所以的周长为. 故选：. 5．（2025高三·全国·专题练习）在中，若，，过点作边的垂线，若的内心在直线上，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、余弦定理解三角形 【分析】设，根据内心的定义，结合三角形性质与余弦定理可得，进而可得解. 【详解】因为，，则， 设内切圆与边，分别切于点，， 由题意可知：内切圆与边切于点， 则，，， 可得， 设，则， 由三角形性质可知：，解得， 由余弦定理可得， 因为，则， 可得， 可知角为锐角， 则， 故选：C. 6．（24-25高一下·山东淄博·期中）下列命题中不正确的是（   ）． A．在中，，则 B．在锐角中，恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】C 【知识点】二倍角的正弦公式、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A，在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：C 7．（河南省青桐鸣2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理角化边结合余弦定理可得. 【详解】根据正弦定理，由可得， 两边同乘可得，由余弦定理， 又，所以. 故选：C 8．（24-25高一下·天津南开·期中）设锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列命题正确的个数为（   ） ①；        ②的外接圆的面积是； ③的面积的最大值是；    ④的取值范围是． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】由正弦定理及和正弦角公式可判断①；由正弦定理及圆的面积公式可判断②；由余弦定理及重要不等式可求得的最大值，结合三角形面积公式求解可判断③；由正弦定理可得，求此函数的值域可判断④. 【详解】对于①，因为， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以，，又因为，，故①正确； 对于②，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 解得，则的外接圆的面积是，故②正确； 对于③，由余弦定理得，整理得， 即，当且仅当时等号成立， 所以的面积为，当且仅当时等号成立， 即的面积的最大值是，故③正确； 对于④，由正弦定理得， 则， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以， 可得，，所以， 所以，即的取值范围是，故④错误. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．是锐角三角形 B． C．的面积为 D．若为中点，则 【答案】BCD 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】对于A：可得，利用余弦定理可知为钝角，即可判断；对于B：利用余弦定理运算求解即可；对于C：利用面积公式运算求解；对于D：可得，根据数量积的运算律结合余弦定理运算求解. 【详解】对于选项A：因为，则， 且，可知为钝角， 所以是钝角三角形，故A错误； 对于选项B：因为， 且，所以，故B正确； 对于选项C：的面积为，故C正确； 对于选项D：若为中点，则， 可得 ， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且，在边上，且平分，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】BCD 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】A利用正弦定理化简即可；B在和中利用正弦定理即可；C在中利用余弦定理求得长度即可；D利用即可. 【详解】对于A，由及正弦定理可得，， 则， 所以，又，所以，所以， 解得，又因为，所以，故A错误； 对于B，由选项A可知，，在边上，且平分， 所以，又，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 两式左右两边分别相除可得，化简得，故B正确； 对于C，由选项B可知，设，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 则，故C正确； 对于D，由，得，解得，所以，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一下·河南信阳·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则满足条件的三角形有两个 B．若，则 C．若，，则的最大值为 D．若，且，则为等边三角形 【答案】ACD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】计算，比较，，的大小，根据所得结果判断A，举反例判断B，由条件结合三角形面积公式可得，结合余弦定理，基本不等式可得，结合平方关系可求的最大值，判断C，由条件可得的角平分线与垂直，由条件可求，由此判断D. 【详解】A选项，若，，， 则，所以， 所以满足条件的三角形有两个，所以A选项正确. B选项，若，如，，，， 则，，故，所以B选项错误. C选项，，， 余弦定理得，故 ， 即，当且仅当时等号成立， 由于三角形中，，所以， 则，又， 即，整理得， 记得，所以的最大值为，所以C选项正确. D选项，表示方向的单位向量；表示方向的单位向量， 根据平面向量加法的几何意义可知与的角平分线共线， 由可知的角平分线与垂直， 所以三角形是等腰三角形. 而，所以为锐角，且， 所以是等边三角形. 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高一下·河南·期中）在中，，设边长为，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】几何图形中的计算 【分析】根据题意，求得边上的高为，由满足条件的有且只有两个，得到，即可求解. 【详解】因为，可得边上的高为， 若满足条件的有且只有两个，则满足， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高一下·天津南开·期中）一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了2km到达地，然后由地向南偏东方向骑行了2km到达地，再从地向北偏东方向骑行了8km到达地，则A，D两地的距离为 km． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】在中，利用余弦定理求得，通过已知求出，然后由勾股定理可得. 【详解】由题可知，， 所以，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 即两地的距离为. 故答案为： 14．（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知的内角的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理和三角形的性质即可求解. 【详解】由正弦定理有：，所以， 又有两解，所以,即， 综上有， 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、求正切（型）函数的值域及最值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）利用边化角及辅助角公式即可求解； （2）利用正弦定理、和差公式、辅助角公式计算可得，根据题意求出角的范围，利用正切函数的性质求出的范围，再根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1），即， 因为， 所以， 所以，即， 因为为三角形的内角， 所以，所以. （2）已知，， 所以 ， 因为，即， 解得， 所以， 所以，所以， . 16．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，且边边上的中线长，求的面积； (3)若是锐角三角形，求的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理将已知化边为角，然后利用两角和的正弦公式化简得，又，所以，即可求解角. （2）结合利用余弦定理求得，然后三角形中线的向量形式得，平方化简求得，最后代入面积公式即可得解. （3）先根据锐角三角形的性质求得，然后利用正弦定理化边为角，再利用两角差的正弦公式及二倍角公式化简得，利用正切函数的单调性求得，再利用不等式性质即可求解. 【详解】（1）在中，因为， 所以根据正弦定理得， 又，得， 所以， 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. （2）由，由余弦定理得，解得. 又是边边上的中线，所以由向量加法平行四边形法则知， 等式两边平方得，解得（负值舍）， 所以的面积. （3）因为是锐角三角形，且由（1）知. 所以，即，解得. 由正弦定理得： . 因为，所以，所以， 所以， 所以的范围为. 17．（河南省青桐鸣2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)若D为的中点，且，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、正弦定理边角互化的应用、数量积的运算律 【分析】（1）利用余弦定理得到，再由基本不等式得到，利用正弦定理将边化角，即可得证； （2）依题意可得，将两边平方，结合数量积的运算律得到，最后由基本不等式计算可得. 【详解】（1）由余弦定理， 所以，又，当且仅当时取等号， 所以，即， 由正弦定理可得，又，所以，， 所以. （2）因为D为的中点， 所以，所以， 又，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 18．（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可； （2）由余弦定理结合重要不等式求解面积的最大值即可. 【详解】（1），， ， ，又，，即， 又，. （2），，，， ，当且仅当时等号成立， . 面积的最大值为. 19．（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. (1)求A； (2)若，周长为6，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理及辅助角公式求解. （2）由余弦定理得，结合的周长，求得,再求出三角形的面积． （3）由正弦定理得，结合锐角三角形的条件及三角函数性质求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 整理得，即， 而，即，于是, 所以. （2）由余弦定理，得， 由周长为6，得，解得， 所以的面积. （3）在锐角中，由，得，，则， ，则，， 由正弦定理得 ， 所以的范围是. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$