专题01 第六章 平面向量（9考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

清单01 第六章 平面向量 （9个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 平面向量基本概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 清单02 平面向量线性运算 知识点01：向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法法则 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 清单03 平面向量共线定理 知识点01：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 知识点02：三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 清单04 平面向量平行垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 清单05平面向量数量积 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 清单06 极化恒等式法求数量积最值（范围） 知识点01：极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 清单07 向量的模 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 清单08 向量的夹角 已知非零向量，是与的夹角，则． 清单09向量投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 【考点题型一】平面向量基本概念（） 【例1】（24-25高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量的模相等 【变式1-1】.（24-25高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C．共线的单位向量必相等 D．若与不共线，则与都是非零向量 【变式1-2】.（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 【变式1-3】.（多选）（24-25高二下·甘肃甘南·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足， 则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，则 D．空间中，，则 【变式1-4】（多选）（24-25高一下·江西上饶·期中）给出下列命题，不正确的有（   ） A．若为非零向量，则与同向 B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 C．若，则 D．已知，为实数，若，则与共线 【考点题型二】平面向量线性运算（） 【例2】．（24-25高一下·重庆·阶段练习）设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 【变式2-1】.（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【变式2-2】.（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）在平行四边形中，点，满足，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（24-25高一下·江西赣州·期中）已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2-4】.（湖北省武汉市七校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知是两个不共线的向量，向量.若，则 . 【考点题型三】平面向量共线定理（） 【例3】（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【变式3-1】.（24-25高一下·江苏扬州·期中）设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ． 【变式3-3】.（23-24高一下·重庆巫山）设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 【变式3-4】.（2025·广东茂名·二模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示（） 【例4】（24-25高一下·天津河北·期中）已知向量，，，其中． (1)求及向量，夹角的余弦值； (2)若向量与向量垂直，求实数k的值； (3)若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 【变式4-1】.（河南省九师联盟2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）已知向量，． (1)求； (2)若向量，且，求m的值； (3)求与垂直的单位向量的坐标． 【变式4-2】.（24-25高一下·山东济南·阶段练习）已知，，当为何值时： (1)与垂直？ (2)与平行？ 【变式4-3】.（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知，. (1)若，且A、B、C三点共线，求m的值. (2)当实数k为何值时，与垂直？ 【变式4-4】.（24-25高一下·江西·期中）已知向量，． (1)若，且与垂直，求； (2)若与平行，求实数的值． 【考点题型五】平面向量数量积（） 【例5】（河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）已知在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（23-24高一下·河北唐山·期中）在中，角为，角的平分线交与点．已知，且，则（   ） A．1 B．9 C． D．6 【变式5-2】.（24-25高一下·河南·期中）已知等边三角形的外接圆的周长为，点是 外接圆上的一动点，则的取值范围是 . 【变式5-3】.（天津市河东区2024-2025学年高三下学期质量检测（二）数学试题）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动.如图，正八边形，边长为，，点在线段上且，则的值为 ；若点为线段上的动点，则的最小值为 .    【变式5-4】.（24-25高一下·河南·期中）如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. (1)当时，求向量和的夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围）（） 【例6-1】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. (1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 【例6-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【变式6-1】.（安徽省智学大联考�皖中名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（   ）    A． B． C．1 D．2 【变式6-2】.（2025·辽宁·一模）已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】.（2025高一下·宁夏内蒙古·专题练习）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ． 【变式6-4】.（24-25高一下·天津武清·阶段练习）如图，在四边形中，M为的中点，且，．若点N在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是 ． 【考点题型七】向量的模（） 【例7】（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知平面向量与的夹角为，且，. (1)求向量的模； (2)若，求实数的值； (3)设为实数，求的最小值. 【变式7-1】.（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式7-2】.（河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）已知向量满足，则 ． 【变式7-3】.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，满足，，，则的值为 . 【变式7-4】.（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量，， (1)若与夹角为，求； (2)若，求的坐标； (3)若与夹角为，求取最小值时的值． 【考点题型八】向量的夹角（） 【例8】（2025·山东济南·二模）在正方形中，，为的中点，为边上靠近的四等分点，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】.（23-24高一下·云南玉溪·期中）已知平面向量满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】.（2025高三·全国·专题练习）在中，，，为中点，为上一点且，则与夹角的余弦值为 . 【变式8-3】.（24-25高一下·重庆·阶段练习）设，，. (1)若，求. (2)若与共线，求与夹角的余弦值. 【变式8-4】.（24-25高一下·广东广州·期中）已知点. (1)若，其中是实数，且，求的值； (2)求与的夹角. 【考点题型九】根据两个向量成锐角或钝角，求参数（） 【例9】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知平面向量，其中是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【变式9-1】.（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】.（2025·陕西·三模）若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 . 【变式9-3】.（24-25高一下·河南·期中）已知，，. (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式9-4】（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点． (1)是线段上靠近A的三等分点，求点的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【考点题型十】投影向量（） 【例10】（24-25高一下·山东淄博·期中）已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影向量的大小是 ． 【变式10-1】.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】.（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】.（安徽省智学大联考�皖中名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷）已知向量，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式10-4】（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）设与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【考点题型十一】新定义题（） 【例11】（24-25高一下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 【变式11-1】.（多选）（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）一位博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（    ） A．若，则存在实数使得 B． C． D． 【变式11-2】.（24-25高一下·山东济南·阶段练习）我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定为：，现已知，则 . 【变式11-3】.（24-25高一下·福建·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.对于平面内任意一点，若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.定义为在坐标系中的“绝对距离”.已知平面内点，若，则 ；若，则的最大值为 .    【变式11-4】（24-25高一下·江苏南京·期中）设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为 ． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南京·期中），若，则实数为（   ） A． B． C． D． 3．（河南省九师联盟2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．， C． D． 4．（河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）已知在边长为的正方形中，点满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏徐州·期中）下列关于向量，说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则与夹角为钝角 D． 6．（河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，则两点的余弦距离为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·陕西西安·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，且与的夹角为钝角，则 C．若平面向量两两的夹角相等，且，则 D．若，且，则四边形为菱形 8．（24-25高二下·福建漳州·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若空间向量，，则在的投影向量为 二、多选题 9．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（） A． B． C．的夹角为 D．在上的投影向量为 10．（24-25高一下·云南昭通·期中）定义平面内两个非零向量的一种运算：，则以下说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 11．（24-25高一下·山西·期中）在△ABC中，，，，点在线段上（不包括端点），下列结论正确的是（    ） A．若是高，则 B．若是中线，则 C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点 三、填空题 12．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知向量，，，若A，C，D三点共线，则 . 13．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的 . 14．（24-25高一下·湖南·期中）如图，已知是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G．若，则的值是 ；若，则的值是 ． 四、解答题 15．（河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）已知平面向量满足，且． (1)求与的夹角； (2)若向量，且，求及． 16．（24-25高一下·天津·期中）已知向量满足. (1)若的夹角为，求； (2)若，求与的夹角. 17．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在中，，分别为边上的点，且． (1)若，用向量方法求证：； (2)延长到，若（为常数），，求的长度． 18．（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.在仿射坐标系中，向量的加减法、数乘运算的坐标运算规律和直角坐标系一致.已知在仿射坐标系下，. (1)当时，求； (2)当时，求； (3)如图，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，的中点，求. 19．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线于不同的两点M，N．    (1)设，试用表示； (2)求的值； (3)设，求的最小值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 第六章 平面向量 （9个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 平面向量基本概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 清单02 平面向量线性运算 知识点01：向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法法则 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 清单03 平面向量共线定理 知识点01：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 知识点02：三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 清单04 平面向量平行垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 清单05平面向量数量积 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 清单06 极化恒等式法求数量积最值（范围） 知识点01：极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 清单07 向量的模 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 清单08 向量的夹角 已知非零向量，是与的夹角，则． 清单09向量投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 【考点题型一】平面向量基本概念（） 【例1】（24-25高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量的模相等 【答案】D 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】由相等向量，共线向量，相反向量，模长的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，故A错误； 对于B，当时，因为零向量与任意向量平行，所以对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行，故B错误； 对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，即，不能得出，故C错误； 对于D，对于向量与向量，它们的大小是相等的，只是方向相反． 根据向量模的定义，向量的模与向量的模是相等的，所以D正确， 故选：D． 【变式1-1】.（24-25高一下·天津河北·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C．共线的单位向量必相等 D．若与不共线，则与都是非零向量 【答案】D 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据单位向量的定义，向量相等，向量共线的概念分析各个选项即可得到答案. 【详解】对选项A，根据单位向量的定义，单位向量的方向不确定，故A选项错误；对选项B，两个向量相等只需要长度相等，方向相同，但起点不一定相同，故B错误；对选项C，共线的单位向量可能方向相反，此时两向量不相等，故C错误；对选项D，因为零向量与任意向量都共线，故若与不共线，则与都是非零向量，D正确. 故选：D 【变式1-2】.（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 【答案】C 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量的模 【分析】由向量的模长，共线，相等的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错； 对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错； 对于C，若，由向量相等的条件可得，故C正确； 对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错. 故选：C． 【变式1-3】.（多选）（24-25高二下·甘肃甘南·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足， 则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，则 D．空间中，，则 【答案】BC 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用相等向量的概念和共线向量的概念来进行判断即可. 【详解】对于A，若空间向量满足，则，这显然是错误的，因为向量相等要满足大小相等，方向相同； 对于B，在正方体中，必有，这显然是正确的，因为他们的长度相等，两直线平行，并且方向相同； 对于C，若空间向量满足，则，这显然是正确的，因为向量的相有传递性； 对于D，在空间中，，则，当时，因为任何向量与都是共线向量，所以是不一定成立的，故D错误； 故选：BC. 【变式1-4】（多选）（24-25高一下·江西上饶·期中）给出下列命题，不正确的有（   ） A．若为非零向量，则与同向 B．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 C．若，则 D．已知，为实数，若，则与共线 【答案】BCD 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】由共线向量可判断A，由相等向量的定义可判断B，由的方向是任意的和平行向量可判断C和D. 【详解】是与同方向的单位向量，故A正确； 两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等， 但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故B错误； 若，则不一定共线，故C错误； 当时，与可以为任意向量，满足， 但与不一定共线，故D错误. 故选：BCD. 【考点题型二】平面向量线性运算（） 【例2】．（24-25高一下·重庆·阶段练习）设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)实数的值为9. 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由平面向量的线性表示与共线定理，证明、共线，得出A，B，D三点共线； （2）由平面向量的共线定理列方程求出的值. 【详解】（1）由，，， 所以， 所以， 所以、共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2）由，且， 所以， 即， 所以，所以， 所以实数的值为9. 【变式2-1】.（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推理及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，，则，又， 于是，，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最小值. 故选：C    【变式2-2】.（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）在平行四边形中，点，满足，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可 【详解】平行四边形中， 由，，得， 所以.    故选：D 【变式2-3】.（24-25高一下·江西赣州·期中）已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】利用平面向量的共线性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，为不共线向量，且，为共线向量， 所以，而，， 则， 故，解得，故D正确. 故选：D. 【变式2-4】.（湖北省武汉市七校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知是两个不共线的向量，向量.若，则 . 【答案】-2 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行，设，从而得到方程组，求出答案. 【详解】因为，所以设， 故，解得. 故答案为：-2 【考点题型三】平面向量共线定理（） 【例3】（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】先求出，再由三点共线，可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：. 故选：B. 【变式3-1】.（24-25高一下·江苏扬州·期中）设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线定理列方程，解方程即可. 【详解】由已知，， 则， 又，，三点共线， 则与共线，， 即，解得， 故选：D. 【变式3-2】.（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ． 【答案】3 【知识点】平面向量共线定理的推论、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】利用重心性质可得，再根据三点共线利用共线定理可得,且，即. 【详解】因为是的重心，所以可得， 易知，所以可得； 又因为三点共线，可知存在实数满足,且； 又，，所以， 可得，即； 所以. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据平面向量共线定理，再结合重心性质得出对应系数之间的关系，即可得出结果. 【变式3-3】.（23-24高一下·重庆巫山）设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据，即可得证； （2）利用共线向量定理即可求解. 【详解】（1）由已知，得， 因为， 所以，又与有公共点， 所以三点共线． （2）由（1），知，若，且， 可设， 所以， 即． 又是两个不共线的向量，所以， 解得． 【变式3-4】.（2025·广东茂名·二模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可． 【详解】因为向量不共线，且， 设，即， 所以，解得． 故选：D． 【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示（） 【例4】（24-25高一下·天津河北·期中）已知向量，，，其中． (1)求及向量，夹角的余弦值； (2)若向量与向量垂直，求实数k的值； (3)若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 【答案】(1)， (2) (3)． 【知识点】向量夹角的计算、由向量共线（平行）求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）利用数量积的坐标公式及夹角公式可求答案； （2）利用数量积为0可求参数； （3）利用向量平行的坐标表示可求答案. 【详解】（1）由已知，得，，． 所以向量，夹角的余弦值为． （2）由已知，得， ， 又向量与向量垂直，所以， 即，解得． （3）由已知，得， 又向量与向量平行，， 所以， 整理可得，解得． 【变式4-1】.（河南省九师联盟2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）已知向量，． (1)求； (2)若向量，且，求m的值； (3)求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求出，再利用坐标求出向量的模. （2）利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示求出值. （3）求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求出一个向量，结合单位向量的意义求得答案. 【详解】（1）由向量，，得， 所以. （2）向量，则， 由，得，解得， 所以m的值为. （3），设与垂直的向量， 则，取，得，则， 与向量共线的单位向量为， 所以与垂直的单位向量的坐标或. 【变式4-2】.（24-25高一下·山东济南·阶段练习）已知，，当为何值时： (1)与垂直？ (2)与平行？ 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、垂直关系的向量表示 【分析】（1）根据平面垂直向量的坐标表示建立方程，解之即可求解； （2）根据平面平行向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】（1），， 得，， 由题意可得， 即，解得， 则，与垂直； （2）与平行， 得，解得， 则，与平行. 【变式4-3】.（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知，. (1)若，且A、B、C三点共线，求m的值. (2)当实数k为何值时，与垂直？ 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示，根据共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案； （2）根据题意，求出与的坐标，利用向量垂直的坐标表示求得. 【详解】（1）因为，， 所以， . 因为A、B、C三点共线， 所以，得. （2）因为，， 所以. 因为与垂直，所以， 解得. 【变式4-4】.（24-25高一下·江西·期中）已知向量，． (1)若，且与垂直，求； (2)若与平行，求实数的值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）设，根据平面向量垂直的坐标表示和平面向量的模长公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标； （2）求出向量与的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】（1）因为向量，，所以， 设，因为与垂直，则①， 因为②，联立①②可得或， 综上所述，或. （2）由已知可得，， 因为与平行，则，解得. 【考点题型五】平面向量数量积（） 【例5】（河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）已知在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，求得和的坐标，利用向量的数量积的坐标运算公式，得到，进而求得的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 可得， 则， 所以， 所以当且仅当时，取得最小值. 故选：C. 【变式5-1】.（23-24高一下·河北唐山·期中）在中，角为，角的平分线交与点．已知，且，则（   ） A．1 B．9 C． D．6 【答案】D 【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的坐标表示 【分析】先由向量共线的基本定理求出，再建立如图坐标系，利用坐标表示求出，最后再由坐标计算向量的数量积可得. 【详解】由可得， 因为三点共线，所以， 以为原点，为轴建立如图所示坐标系，    因为，，则， 设， 由可得，解得， 所以. 故选：D 【变式5-2】.（24-25高一下·河南·期中）已知等边三角形的外接圆的周长为，点是 外接圆上的一动点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】平面向量的混合运算、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】设等边三角形的外接圆半径为，根据题意，求得，且，由向量的线性运算法则，化简得到，设的中点为， 且与的夹角为，得到，进而求得的取值范围. 【详解】设等边三角形的外接圆半径为，圆心为， 因为外接圆的周长为，可得，解得，且， 所以 ， 设的中点为，则，且， 再设与的夹角为， 则. 又由，可得，所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式5-3】.（天津市河东区2024-2025学年高三下学期质量检测（二）数学试题）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动.如图，正八边形，边长为，，点在线段上且，则的值为 ；若点为线段上的动点，则的最小值为 .    【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，求向量，，，的坐标，根据数量积的坐标运算公式求，，再求的最小值可得结论. 【详解】因为多边形为正八边形， 所以，，，，， ， 由正八边形性质可得， 由已知， 过点作，垂足为， 则，又，，故， 如图，以点为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 因为， 所以， 又点在线段上，所以，所以， 所以， 所以， 因为点为线段上的动点，故可设点的坐标为， 则，，， 所以，且， 因为二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以当或时，取最小值，最小值为， 即当点为线段的端点或端点时，取最小值，最小值为， 故答案为：，.    【变式5-4】.（24-25高一下·河南·期中）如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. (1)当时，求向量和的夹角的余弦值； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】（1）当时，求得，，进而求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据向量的线性运算法则，得到，结合向量数量积的运算律，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得，同理可得， 因为，所以， 则， 而， 所以， 即向量和的夹角的余弦值为. （2）解：由， 可得 ， 因为，可，即， 所以的取值范围为. 【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围）（） 【例6-1】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. (1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数量积的运算律、向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）连接，根据三角形模式可得，即可求解； （3）由题意可得是等边三角形，所以，再根据向量极化恒等式即可求解. 【详解】（1）. 由极化恒等式可得：. （2）如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是. （3）令（其中）， 则三点共线（如图）， 从而的几何意义表示点到直线的距离为， 这说明是等边三角形，为边上的高，故. 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离. 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值. 【例6-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【知识点】向量加法的法则、向量与几何最值、数量积的运算律 【分析】（1）根据向量线性运算可得，，再根据向量数量积的分配律运算证明； （2）根据题意，点O在以为直径的圆上，数形结合可得，结合（1）可得解. 【详解】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 【变式6-1】.（安徽省智学大联考�皖中名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点．若，，则的值为（   ）    A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、向量加法的法则 【分析】设，根据已知条件结合平面向量基本定理得出关于的方程组，求解得出的值，进而表示出，即可得出答案. 【详解】设，则由已知可得. 又 ， ， 所以联立得. 所以 ． 故选：D. 【变式6-2】.（2025·辽宁·一模）已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理的推论、数量积的运算律 【分析】延长至，使，依题意可得共线，则是等边三角形，取的中点，求出，再由数量积的运算律计算可得. 【详解】延长至，使，则， 所以共线，又的最小值为，且， 所以为等腰三角形，当且仅当时取得最小值，则，    所以是等边三角形，取的中点，则，当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为. 故选：C 【变式6-3】.（2025高一下·宁夏内蒙古·专题练习）如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律 【分析】根据向量数量积的运算律及正方形的性质得解. 【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 故答案为： 【变式6-4】.（24-25高一下·天津武清·阶段练习）如图，在四边形中，M为的中点，且，．若点N在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、平面向量基本定理的应用 【分析】作出辅助线，由极化恒等式得到，数形结合得到当为中点时，取得最小值，此时，结合若与或重合，此时取得最大值，，从而得到的取值范围. 【详解】连接， 因为M为的中点，且，所以， 则，， 两式平方相加得， 故， 因为，所以为等边三角形， 当为中点时，取得最小值，最小值为， 故， 若与或重合，此时取得最大值，最大值为1， 此时， 又点N在线段（端点除外）上运动，故的取值范围为. 故答案为： 【考点题型七】向量的模（） 【例7】（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知平面向量与的夹角为，且，. (1)求向量的模； (2)若，求实数的值； (3)设为实数，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用定义求向量的数量积、垂直关系的向量表示、已知数量积求模 【分析】（1）根据模长公式即可求解， （2）根据向量垂直，得数量积为0，即可求解， （3）根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1），且，，. ，. （2）， ， ，，，，解得 （3）， 当时，取得最小值为. 【变式7-1】.（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】已知数量积求模、求投影向量、向量模的坐标表示 【分析】根据题意，由投影向量的定义可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，即， 所以，又，则， 又，则， 所以. 故选：C 【变式7-2】.（河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）已知向量满足，则 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】由，平方化简得到和，联立方程组，即可求解. 【详解】由，可得，即， 又由，可得，即， 整理得，即，即， 联立方程组，可得，所以. 故答案为：. 【变式7-3】.（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量，满足，，，则的值为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律 【分析】根据数量积的运算性质和模的性质证明，代入已知条件可得结论. 【详解】因为， ， 所以， 又，，， 所以， 所以，故. 故答案为：. 【变式7-4】.（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量，， (1)若与夹角为，求； (2)若，求的坐标； (3)若与夹角为，求取最小值时的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、向量模的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】（1）首先求出，，再根据及数量积的运算律计算可得； （2）设，则且，解得即可； （3）首先求出，再由数量积的运算律得到，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以． （2）设，则， 由得，即，解得或， 所以或． （3）因为，， 所以 ， 所以当时，取得最小值． 【考点题型八】向量的夹角（） 【例8】（2025·山东济南·二模）在正方形中，，为的中点，为边上靠近的四等分点，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据题设得为的夹角，而，应用向量数量积的运算律及夹角公式求夹角余弦值. 【详解】由题意，为的夹角，而， 所以， ， ， 综上，. 故选：A    【变式8-1】.（23-24高一下·云南玉溪·期中）已知平面向量满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据数量积的运算律求出，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为， 所以，所以， 所以，而，所以， 即向量与的夹角为. 故选：C. 【变式8-2】.（2025高三·全国·专题练习）在中，，，为中点，为上一点且，则与夹角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】由，而，求得，再通过平方求得，，即可求解. 【详解】因为为中点，所以，又， 则，而， 所以 9， 又 ， 所以， 又 所以， 所以， 故答案为：. 【变式8-3】.（24-25高一下·重庆·阶段练习）设，，. (1)若，求. (2)若与共线，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据向量加法和模长的坐标运算直接求解即可； （2）根据向量共线可构造方程求得，由向量夹角公式可求得结果. 【详解】（1）当时，，，. （2），又与共线， ，解得：，， ， 即与夹角的余弦值为. 【变式8-4】.（24-25高一下·广东广州·期中）已知点. (1)若，其中是实数，且，求的值； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用向量垂直求参数、向量夹角的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据题意，得到和，结合，列出方程，即可求解； （2）由（1）得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 可得，所以， 又因为，可得，解得. （2）解：由（1）知：， 可得， 所以， 又因为，所以，即与的夹角为. 【考点题型九】根据两个向量成锐角或钝角，求参数（） 【例9】（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知平面向量，其中是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、由向量共线（平行）求参数、用定义求向量的数量积 【分析】（1）根据向量夹角公式即可求得答案； （2）若与的夹角为钝角，则且不共线，即可解得的取值范围． 【详解】（1）由已知，是夹角为的单位向量， 所以， 又，则， 所以， 又， 所以． （2）若与的夹角为钝角，则且不共线， 所以，且， 所以，且， 所以且． 【变式9-1】.（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算求解，再根据向量的夹角是锐角与数量积与向量共线的关系列式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为向量，的夹角是锐角，所以 解得且，所以的取值范围是. 故选：C. 【变式9-2】.（2025·陕西·三模）若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】由题设条件，可得且 ，解之即得. 【详解】设为与的夹角，则， 因为为锐角，所以，解得，且， 所以的取值范围是． 故答案为：. 【变式9-3】.（24-25高一下·河南·期中）已知，，. (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】（1）在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算性质可得出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可得出的值； （2）分析可知以及与方向不相同，结合平面向量数量积的运算性质和平面向量共线的基本定理可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，，，所以， 即，即， 所以. （2）因为与的夹角为锐角，所以， 即，即，解得， 若与同向，设，其中， 因为、不共线，所以，解得， 由题意可知，与方向不相同，则， 所以的取值范围为. 【变式9-4】（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点． (1)是线段上靠近A的三等分点，求点的坐标； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2). 【知识点】由坐标解决三点共线问题、向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由题可得，然后结合向量线性运算坐标表示可得答案； （2）由题可得且与不共线，据此可得答案. 【详解】（1）设，则，由题可得，. 则，得，． （2）由题意， 又因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则解得， 则的取值范围为. 【考点题型十】投影向量（） 【例10】（24-25高一下·山东淄博·期中）已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影向量的大小是 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】利用平面向量数量积的定义可得，利用向量模的计算公式可得，结合投影向量的定义即可求解. 【详解】依题意得，， 所以， 所以向量在向量方向上的投影是. 故答案为：. 【变式10-1】.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知模求数量积、求投影向量 【分析】根据向量的运算可得，再根据向量的投影向量公式即可求解. 【详解】由题意得， 所以， 所以 所以在上的投影向量为. 故选：. 【变式10-2】.（24-25高一下·广东·阶段练习）已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量、用定义求向量的数量积 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解. 【详解】由，的夹角为，得， 所以在上的投影向量是. 故选：B 【变式10-3】.（安徽省智学大联考�皖中名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷）已知向量，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【分析】利用向量模长得出向量，的数量积，再根据投影向量的定义计算可得结果. 【详解】由，得， 由，得， 则， 因此在上的投影向量为． 故选：A． 【变式10-4】（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）设与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为. 故选：C 【考点题型十一】新定义题（） 【例11】（24-25高一下·云南昭通·期中）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【知识点】向量夹角的计算、向量新定义、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）（ⅰ）由题意可得，再由同角的平方关系即可得证； （ⅱ）将已知条件代入可求得与的夹角为，再由（ⅰ）的结论即可得答案. 【详解】（1）因为， 可得：． （2）（ⅰ）证明：因为 ， 且，则， 所以． （ⅱ）已知，则． 因为， 所以， 则可得：． 又因为， 所以，即． ， 将代入上式可得：． 设与的夹角为，， 根据向量的夹角公式． 因为， 所以． 因为，且，所以． 与的夹角为， 则． 【变式11-1】.（多选）（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）一位博主曾经讲过一个已知三角形三点求三角形面积的公式，即若，则，这个公式的本质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积，现在我们来定义向量的叉乘运算，设是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量，规定这个新向量的方向与的方向都垂直，新向量的大小满足，现在设，则下列说法正确的是（    ） A．若，则存在实数使得 B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】数量积的坐标表示、向量新定义 【分析】利用平面向量基本定理判断A；利用向量数量积的坐标运算判断B；利用新定义运算计算判断C；根据新定义以及数量积的坐标运算求解判断D. 【详解】对于A，依题意，不共面，因此不存在实数使得，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，， 因此，D正确． 故选：BCD 【变式11-2】.（24-25高一下·山东济南·阶段练习）我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定为：，现已知，则 . 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、向量新定义 【分析】由向量数量积求得，再结合新定义即可求解. 【详解】设，则由 可得，即， 因为，所以 由新定义可知. 故答案为： 【变式11-3】.（24-25高一下·福建·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.对于平面内任意一点，若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.定义为在坐标系中的“绝对距离”.已知平面内点，若，则 ；若，则的最大值为 .    【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量新定义、已知数量积求模、基本不等式求积的最大值 【分析】根据题设定义及模长的计算公式，即可求解；根据条件得到，再分同号、异号和三种情况，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以，又是单位向量，且， 则， 由，得到. 当同号时，不妨设同正，则， 所以，当且仅当时取等号， 当异号时，不妨设，令，则， 所以，当且仅当时，等号成立. 又当时，易知， 综上，的最大值为. 故答案为：，. 【变式11-4】（24-25高一下·江苏南京·期中）设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、向量新定义、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】法一：由的几何意义借助三角形面积公式即可求解；法二：设，由正弦定理求得，再结合新定义即可求解. 【详解】    设，则，因为与的夹角为 如图由向量减法法则可知，已知一边长，其对角为， 设，则由余弦定理得， 由基本不等式得，所以，即，当且仅当时取等号， 因为，即的几何意义即为三角形面积的两倍， 所以 所以的最大值为； 【法二】    设，，则，因为与的夹角为 则 由正弦定理可知 ． 当时，取得最大值，所以的最大值为， 故答案为： 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量加法、减法及数乘的几何意义求解即可. 【详解】由图可得：，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·江苏南京·期中），若，则实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为， 由，可得，解得. 故选：B． 3．（河南省九师联盟2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．， C． D． 【答案】D 【知识点】坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解. 【详解】由，得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D 4．（河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）已知在边长为的正方形中，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量线性运算与数量积的定义直接求解即可. 【详解】 . 故选：B. 5．（24-25高一下·江苏徐州·期中）下列关于向量，说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则与夹角为钝角 D． 【答案】D 【知识点】平行向量（共线向量）、数量积的运算律、相等向量 【分析】对于，当时与不一定共线；对于，当时不一定等于；对于，当时，满足；对于，根据向量的运算性质即可判断. 【详解】对于，当时，满足，但与不一定共线，故错误； 对于，当时，，但不一定等于，故错误； 对于，当时，满足，此时与夹角不是钝角，故错误； 对于，根据向量的运算性质可知，故正确. 故选：D. 6．（河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，则两点的余弦距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算、向量夹角的坐标表示 【分析】利用向量数量积的定义求出夹角，根据题意计算即可. 【详解】根据题意，， 则， 所以两点的余弦距离为. 故选：C. 7．（24-25高一下·陕西西安·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，且与的夹角为钝角，则 C．若平面向量两两的夹角相等，且，则 D．若，且，则四边形为菱形 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数、已知数量积求模、向量加法法则的几何应用 【分析】当时，命题不成立判断A；当时，两向量反向，判断B；平面向量两两的夹角相等，则夹角为或，分别求解判断C；根据向量线性运算的几何表示判断D. 【详解】若，虽然有，，但不一定有，A错； 若与的夹角为钝角，则，得， 但当时，，两向量反向，夹角为不是钝角，B错； 若平面向量两两的夹角相等，则夹角为或， 当夹角为时，， 当夹角为时， 即，C错误； 若，即， 则，所以是平行四边形， 则， 又，即， 所以， 所以，所以是菱形，D正确． 故选：D． 8．（24-25高二下·福建漳州·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则 D．若空间向量，，则在的投影向量为 【答案】D 【知识点】空间位置关系的向量证明、求投影向量、数量积的坐标表示 【分析】对于A由即可判断，对于B当，同向共线时即可判断，对于C由即可判断，对于D，在上的投影向量为即可判断. 【详解】对于A：在中，故P，A，B，C四点不共面，故A错误； 对于B：当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误； 对于C：由，即，故，故C错误； 对于D：在上的投影向量为，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（） A． B． C．的夹角为 D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【知识点】数量积的运算律、求投影向量、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】对A：借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量的定义计算即可得. 【详解】是夹角为的单位向量，， 对于，，同理可得，故错误； 对于，，故正确； 对于，因 又，，故C正确； 对于， 所以在上的投影向量为，故正确. 故选：． 10．（24-25高一下·云南昭通·期中）定义平面内两个非零向量的一种运算：，则以下说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ACD 【知识点】向量新定义 【分析】由的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A，B选项，两个非零向量， 所以，即， 所以得到同向或反向，故A正确，B错误； 对于C，由定义知，，故C正确； 对于D，由定义知，又， 故，当且仅当时，等号成立，故D正确， 故选：ACD． 11．（24-25高一下·山西·期中）在△ABC中，，，，点在线段上（不包括端点），下列结论正确的是（    ） A．若是高，则 B．若是中线，则 C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点 【答案】BC 【知识点】余弦定理解三角形、用向量解决线段的长度问题 【分析】利用三角形高线，中线，角平分线的性质求解即可. 【详解】对于A，因为，，，所以， 所以， 若是高，则，A不正确； 对于B，，，, ，所以，B正确； 对于C，由B可得，因为， 所以, 整理可得，即，C正确. 对于D，设，, , 因为，，，所以， 解得或（舍），所以不是线段的三等分点，D不正确. 故选：BC 三、填空题 12．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知向量，，，若A，C，D三点共线，则 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量线性运算的坐标表示得，根据三点共线有且，即可求m值. 【详解】由，又A，C，D三点共线， 所以且，则，可得. 故答案为： 13．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的 . 【答案】充分不必要条件 【知识点】判断命题的充分不必要条件、向量夹角的计算、由向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量的夹角公式，及共线向量的坐标表示求出范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】向量，，由与的夹角为钝角，得且不共线， 则，解得且， 所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 14．（24-25高一下·湖南·期中）如图，已知是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G．若，则的值是 ；若，则的值是 ． 【答案】 /0.4 【知识点】数量积的运算律、向量加法法则的几何应用 【分析】根据向量的线性运算表示出，结合数量积的运算求解，即可得第一空答案；过点作交于点，设，表示出，结合求出，即得，继而推得，即可得第二空答案. 【详解】因为， 所以， 所以 ． 过点作交于点，设， 则 ， ， 解得，所以， 又，而， 所以，解得， 所以， 所以，即得． 故答案为：； 四、解答题 15．（河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）已知平面向量满足，且． (1)求与的夹角； (2)若向量，且，求及． 【答案】(1) (2)，． 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】（1）根据向量数量积运算律运算即可求解； （2）由化简计算得，再根据向量模长计算公式计算即可得. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又，所以． （2）因为， 所以， 解得， 所以， 因为， 所以． 16．（24-25高一下·天津·期中）已知向量满足. (1)若的夹角为，求； (2)若，求与的夹角. 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、向量模的坐标表示 【分析】（1）由数量积的定义以及向量的模长公式代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，再由数量积的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得， 则， . （2）由可得，即， 即， 所以，且，所以， 即与的夹角为. 17．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知在中，，分别为边上的点，且． (1)若，用向量方法求证：； (2)延长到，若（为常数），，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【知识点】垂直关系的向量表示、平面向量共线定理的推论、用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】（1）利用为基底表示，根据数量积的运算律计算即可证明； （2）由三点共线，设，结合条件及三点共线的推论计算参数即可得出. 【详解】（1）证明：因为，所以． 又因为，所以． 因为，所以． 所以， 即，得证． （2）因为三点共线， 设， 又因为， 所以，可得． 由在边上，可得，即． 又，则． 18．（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.在仿射坐标系中，向量的加减法、数乘运算的坐标运算规律和直角坐标系一致.已知在仿射坐标系下，. (1)当时，求； (2)当时，求； (3)如图，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，的中点，求. 【答案】(1)1 (2) (3). 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的计算、用定义求向量的数量积 【分析】（1）当时，平面坐标系为仿射坐标系，也就是平面直角坐标系，由，计算即可； （2）当时，，又，，由两个向量夹角的余弦值的计算公式求解即可； （3）依题意将表示为基向量利用数量积求解即可. 【详解】（1）当时，平面坐标系为仿射坐标系，也就是平面直角坐标系， . ，即. （2）当时，，又，， ， ， . （3）依题意，，，. ，， ，， ， 又由（2）知，当时，，. 19．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线于不同的两点M，N．    (1)设，试用表示； (2)求的值； (3)设，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)4 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. 故 （3）由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 由于 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$