专题05 第五章 导数与函数的零点（2考点清单，知识导图+6个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单05 第五章 导数与函数的零点 （2个考点梳理+6题型解读+提升训练） 清单01 函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 清单02 函数零点判断 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【考点题型一】判断（讨论）函数零点（方程的根）的个数（） 【例1】（2025高三·全国·专题练习）若函数，讨论函数零点的个数. 【变式1-1】.（2025·湖南郴州·三模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，讨论的零点个数. 【变式1-2】.（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的极值点个数． 【变式1-3】.（24-25高二下·北京丰台·期中）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)当时，判断函数的零点个数.（只需写出结论，不要求证明） 【变式1-4】.（2025高二·全国·专题练习）设，讨论关于的方程的根的个数． 【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性（） 【例2】（2025·安徽淮北·二模）已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)求证：当时，有且仅有一个零点. 【变式2-1】.（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数， (1)当时，求的对称中心； (2)证明：有唯一零点 【变式2-3】.（24-25高二下·陕西榆林·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：函数至多有一个零点． 【考点题型三】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）（） 【例3】（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数 ． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【变式3-1】.（2025·江西·模拟预测）已知． (1)当时，讨论的单调性； (2)已知方程恰有3个实根，求的值． 【变式3-2】.（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有三个零点，求实数a的取值范围． 【变式3-3】.（24-25高二下·天津·期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为. (1)求实数的值； (2)求的零点个数. 【变式3-4】.（2025·甘肃白银·三模）已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)讨论的单调性； (3)若在上有个零点，求的取值范围. 【考点题型四】数形结合法研究函数的零点（方程的根）（） 【例4】（24-25高二下·重庆·期中）已知． (1)讨论的单调性； (2)若，且函数有三个零点，求的取值范围． 【变式4-1】.（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间及最小值； (2)令，求的零点个数． 【变式4-2】.（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）已知 (1)当，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. (3)若只有一个零点，求的取值范围. 【变式4-3】.（24-25高二上·广西柳州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，设，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围． 【考点题型五】利用同构函数法研究函数的零点（方程的根）（） 【例5】（24-25高二下·重庆·阶段练习）若实数是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．e D． 【变式5-1】.（24-25高二下·山东·期中）函数有两个零点，则m的取值范围是 . 【变式5-2】.（23-24高二下·山西长治·阶段练习）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【变式5-3】.（24-25高二下·福建三明·期中）已知函数，. (1)当时，求的单调区间； (2)若，求的取值范围； (3)若有两个实数解，，证明：. 【考点题型六】】导数中新定义题（） 【例6】（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.    关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题： (1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明； (2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【变式6-1】.（24-25高三上·山西·阶段练习）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【变式6-2】.（2024·河南·三模）设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点. (1)判断曲线是否有拐点，并说明理由； (2)已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值. 【变式6-3】.（23-24高二下·四川达州·阶段练习）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明：； (2)设，证明：； 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）若曲线与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江·期中）函数的零点个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023高三上·全国·专题练习）设函数，则函数（    ） A．在区间，内均有一个零点 B．在区间，内均无零点 C．在区间内有一个零点，在区间内无零点 D．在区间内无零点，在区间内有一个零点 4．（23-24高二下·湖北十堰·期末）已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高二下·重庆江北·阶段练习）已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·福建漳州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，有两个零点 C．若有一个零点，则或 D．当时，有三个零点 三、填空题 8．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 9．（23-24高二下·河南洛阳·期末）若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 10．（24-25高二下·北京·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)在区间上有两个零点，求m的范围. 11．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知函数，其中． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数在区间上存在极值，求的取值范围． 12．（24-25高二下·浙江·期中）已知定义在上的函数. (1)若，判断的单调性； (2)若存在两个零点，求m的取值范围. 13．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数. (1)若为上的单调函数，求k的取值范围； (2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 14．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数 (1)若，求的最小值 (2)讨论的单调性； (3)若有两个不同的零点，求的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 第五章 导数与函数的零点 （2个考点梳理+6题型解读+提升训练） 清单01 函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 清单02 函数零点判断 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【考点题型一】判断（讨论）函数零点（方程的根）的个数（） 【例1】（2025高三·全国·专题练习）若函数，讨论函数零点的个数. 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】令，则，即，则函数的零点个数即为方程实数根的个数，令，则题目转化为求关于的方程实数根的个数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间及极值即可得解. 【详解】令， 则，即， 则函数的零点个数即为方程实数根的个数， 令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在单调增，所以， 则关于的方程实数根的个数， 即为关于的方程实数根的个数， 即为关于的方程， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，无零点； 当时，有一个零点； 当时，有两个零点. 【变式1-1】.（2025·湖南郴州·三模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，讨论的零点个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2). (3)答案见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】 （1）对求导，即可判断函数的增减性；（2）先对求导，令，再对求导，即可得到在上单调递增，从而求解； （3）令，得. 再换元令，则，根据零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 当时，，当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，， 令，则， 所以在上单调递增， 所以当时，， 所以在上单调递减，所以当时，. （3）令，得，即， 所以. 令，则，即①， 当时，由，得在上恒成立， 所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数. 令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， ，当时，，且当时，. 因为，所以. 当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2； 当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为 ，即时，方程①无解，的零点个数为0. 综上，当时，的零点个数为2； 当或时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为0. 【变式1-2】.（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的极值点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）代入可得，再利用导数的意义求出切线的斜率，由点斜式得到直线方程即可； （2）求导后令，问题转化为与的交点个数，设，再求导分析单调性和最值可得. 【详解】（1）当时，， 代入可得， 又，代入可得， 所以切线方程为，即. （2） ， 令，可得， 设，则， 令，所以当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数， 所以，当时，；当，， 所以当时，与无交点或有一个交点，但不是变号零点，此时无极值点； 当时，与有两个交点，此时有两个极值点； 当时，与有一个交点，此时有一个极值点. 【变式1-3】.（24-25高二下·北京丰台·期中）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)当时，判断函数的零点个数.（只需写出结论，不要求证明） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）当时，对求导，求出，再由导数的几何意义即可得出答案； （2）对求导，分，和求出的单调性，结合最值的定义即可得出答案； （3）分，，和，讨论的单调性和值域，即可得出答案. 【详解】（1）当时，，，所以切点， ，， 所以函数在点处的切线方程为. （2），，     当时，在区间上恒成立，函数单调递增， 函数的最小值为， 当时，在区间上恒成立，函数单调递减， 函数的最小值为， 当时，列表如下： 单调递减 单调递增 函数的最小值为. 综上可得：当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为. （3）由（2）知，当时，， ①当时，令可得或，令可得， 所以函数在上单调递减，在，上单调递增， 又因为，而趋近正无穷时，趋近正无穷， 故在上只有一个零点； ②当时，， 在上单调递增，且连续不间断， 且，故在上只有一个零点. ③当时，令解得， 即在上只有一个零点， ④当时，令可得，令可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当趋近正无穷时，趋近正无穷，当趋近时，趋近正无穷， 若，即时，在上无零点. 若，即时，在上只有一个零点， 若，即时，在上有两个零点， 综上:当时，函数无零点，   当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2. 【变式1-4】.（2025高二·全国·专题练习）设，讨论关于的方程的根的个数． 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】分离可得，构建函数，，利用导数判断的单调性和最值，结合图象分析方程根的个数. 【详解】注意到，则方程可变为， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在区间上为增函数，在上为减函数． 所以当时，． 函数，在同一坐标系内的大致图象如图所示． 由图象可知，①当，即时，方程无实数根； ②当，即时，方程有一个实数根； ③当，即时，方程有两个实数根． 【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性（） 【例2】（2025·安徽淮北·二模）已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)求证：当时，有且仅有一个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）先把代入函数和导函数，再求处的导数值和函数值，是切线斜率，是切点纵坐标，最后用点斜式得出切线方程. （2）先确定定义域，求出.分情况讨论：时，化简，令求零点. 时，判断，函数递增，再根据与异号，用零点存在定理确定零点. 时，令得两个极值点，分析函数单调性，结合时，以及，用零点存在定理确定零点.最后总结时零点情况. 【详解】（1）若，则， 所以，函数在处的切线方程为； （2）的定义域为， 当时有且仅有一个零点4： 当时，，函数递增，由，知存在唯一零点； 当时，令得， 当时，函数递增： 当时，函数递减； 当时，函数递增： 当时，，所以，函数无零点； 因为当时递减，当时递增， 且，所以存在唯一零点. 综上所述，当时，有且仅有一个零点. 【变式2-1】.（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知函数， (1)当时，求的对称中心； (2)证明：有唯一零点 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】判断或证明函数的对称性、利用导数研究函数的零点、零点存在性定理的应用 【分析】（1）设对称中心为，利用中心对称则公式即可求对称中心； （2）由得到，设，求出的单调性，结合零点存在定理即可判断. 【详解】（1）当时，， 设的对称中心为， 则， 所以， 整理得， 所以，解得， 所以的对称中心为 （2）由于，所以等价于， 设，则， 仅当时，因此在单调递增， 即至多有一个零点，从而至多有一个零点 又因为，， 故在内存在零点， 综上所述，可知有唯一零点 【变式2-3】.（24-25高二下·陕西榆林·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，证明：函数至多有一个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，得函数的单调性，即可根据单调性求解函数的极小值，根据极小值大于0，即可求解. 【详解】（1）当时，， 则，故， 又， 故在点处的切线方程为，即 （2）的定义域为， ， 由于，故， 当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 故在处取极小值，， 因此函数至多有一个零点 【考点题型三】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）（） 【例3】（24-25高二下·四川南充·期中）已知函数 ． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）先求出切点坐标和切线斜率；再根据直线方程的点斜式即可求解. （2）先求出函数的导函数；再根据和分类讨论，利用导函数的符号即可求解. （3）先结合（2）和有两个零点，得出的最小值，；再根据函数为上的增函数，且，即可求解出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则，， 所以曲线在点处的切线斜率为， 切线方程为：，即. （2）由可得：. 因为， 所以当时，，此时函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 此时函数在区间上单调递减；在区间上单调递增. 综上可得：当时，函数的单调减区间为，无单调增区间； 当时，函数的单调减区间为，单调增区间为. （3）由（2）可得：当时，根据零点存在性定理可得函数在上不会有两个零点，不符合题意； 当时， 函数的最小值为， 且当时，，当时，， 因为有两个零点， 所以，. 因为函数为上的增函数，且， 所以的解为. 故当有两个零点， 的取值范围为. 【变式3-1】.（2025·江西·模拟预测）已知． (1)当时，讨论的单调性； (2)已知方程恰有3个实根，求的值． 【答案】(1)在上递减，递增 (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用求导思想，结合证明来判断导数的正负，从而来确定单调性； （2）利用分类思想，可得到单调性判断，根据三个实根，先确定，然后再借助导数确定单调性，并证明两个极小值相等，从而可得出结论. 【详解】（1）当时，求导得， 构造，求导得， 则当时，，所以在时单调递增； 则当时，，所以在时单调递减； 即，则， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）同理，由（1）得， 所以当时，有 则当时，， 当时，， 则在上单调递减，在上单调递增． 此时方程最多只有两根，不满足题意； 则讨论的情形： 由，存在三个零点，分别为和1， 其中的零点由数形结合可得： 可知， 由此可得：当时，，则， 所以在区间上单调递减； 当时，，则， 所以在区间上单调递增； 当时，，则， 所以在区间上单调递减； 当时，，则， 所以在区间上单调递增； 此时依次有2个极小值点和一个极大值点1， 因为，所以 则， ， 所以有，即两个极小值相等， 所以方程有3个实根，必然， 即． 【变式3-2】.（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有三个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)的单调递减区间是，单调递增区间是 (3) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据题意，列出方程组求得， （2）求得，进而求得函数的单调区间； （3）由题意得到，利用导数研究函数的极值，结合条件列出不等式组，求解即可. 【详解】（1）点在切线上，则， ，则， 由题意得，解得， 所以； （2）由（1）得， 由得或；由得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）因为， 由（2）知，的单调递减区间是，单调递增区间是， 在处取得极大值，在处取得极小值， 依题意，要使有三个零点，则， 即，解得， 经检验，， 根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点， 所以的取值范围为． 【变式3-3】.（24-25高二下·天津·期中）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的图象的对称中心为. (1)求实数的值； (2)求的零点个数. 【答案】(1)， (2)个 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、导数新定义 【分析】（1）依题意，即可求出、的值； （2）由（1）可得，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极值，即可判断. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 又因为的图象的对称中心为， 所以，解得； （2）由（1）知，， ∴， 令，得或， 所以当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以，，且当时，；当时，， 所以有个零点. 【变式3-4】.（2025·甘肃白银·三模）已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)讨论的单调性； (3)若在上有个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）由在上单调递增，可得对恒成立，转化为对恒成立，即可直接求出的取值范围； （2）利用导数直接分类讨论，分析导函数的正负，即可得到含参函数的单调性； （3）由（2）中单调性，首先排除，故，要使得在上有个零点，需满足且，构造函数，结合导数求出恒成立，所以只需满足，求出结果即可. 【详解】（1）依题意得对恒成立， 即对恒成立， 所以，即的取值范围是. （2）由题知，的定义域为， 又， 当时，在上单调递增. 当时，令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，在上单调递增， 则在上至多有个零点，则不符合题意. 当时，要使得在上有个零点， 则，即， 且， 设函数， 则， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以. 由，得. 即的取值范围为. 【考点题型四】数形结合法研究函数的零点（方程的根）（） 【例4】（24-25高二下·重庆·期中）已知． (1)讨论的单调性； (2)若，且函数有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对函数求导后，分，，三种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）求导，利用导数研究的单调性，结合函数值的符号画出示意图，将零点问题转化为函数与直线有三个交点，数形结合即可求解. 【详解】（1）因为的定义域为，且， 当时，恒成立， 当且仅当时等号成立，所以在上单调递减； 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. （2）若，由（1）得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 且当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0，且， 当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于正穷大， 因为函数有三个零点，则方程有三个根， 所以函数与直线有三个交点， 又，由图可知：，即的取值范围为. 【变式4-1】.（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数． (1)求的单调区间及最小值； (2)令，求的零点个数． 【答案】(1)单调区间见解析； (2)答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）将函数求导，利用导函数的符号判断函数单调性，求得函数最小值； （2）根据函数与方程的思想，将函数的零点问题转化成直线与函数的图象的交点问题，借助于函数的图象分类讨论即可. 【详解】（1）由求导得：， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增. 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，； （2）由可得， 则的零点个数即函数与直线的交点个数. 由（1）已得在上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 又时，，当时，， 作出函数的图象. 由图知，当时，直线与函数的图象没有交点，此时函数无零点； 当时，直线与函数的图象有2个交点，此时函数有2个零点； 当或时，直线与函数的图象有1个交点，此时函数有1个零点. 【变式4-2】.（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）已知 (1)当，求在处的切线方程. (2)讨论的单调性. (3)若只有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数求切线斜率即可得切线方程； （2）利用导数结合分类讨论思想即可求出单调区间； （3）利用分离参变量思想，构造函数通过数形结合即可求解. 【详解】（1）当时，,则， 把代入，得， 则其切线方程为， 整理得： （2）， 当时，， 则在上单调递增 当时，令， 解得， 在，由， 所以在区间上单调递增， 在，由，所以在区间上单调递减； （3）由，可得， 因为，则有， 令，则由，可得， 当在，由， 所以在区间上单调递增， 在，由，所以在区间上单调递减； 则是得极大值，， 再根据，当时，，结合单调性可画出函数图象， 或时，满足方程有一个解，所以的取值范围是. 【变式4-3】.（24-25高二上·广西柳州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，设，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)单调递增区间，单调递减区间； (3). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）把代入，求出，利用导数求出其单调区间. （3）由函数零点的意义分离参数并构造函数，利用导数探讨函数性质，数形结合求出范围. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. （2）当时，，求导得， 当时，，单调递增；当时， ，单调递减， 函数函数单调递增区间为，单调递减区间为. （3）当时，由，得，令，， 依题意，直线与函数在上的图象有两个交点， 求导得，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 函数的最大值为，且，，如图： 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是. 【考点题型五】利用同构函数法研究函数的零点（方程的根）（） 【例5】（24-25高二下·重庆·阶段练习）若实数是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．e D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】根据指对运算讲方程化简为，构造函数，可得，求导确定单调性即可得所求. 【详解】由题可得， 所以， 设函数，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 由得，即，故. 故选：A. 【变式5-1】.（24-25高二下·山东·期中）函数有两个零点，则m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点、求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式 【分析】整理可得，换元令，原题意等价于与有2个交点，根据导数的几何意义结合图象分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为， 且， 令，可知在内单调递增， 原题意等价于在定义域为有2个零点， 令，可得， 可知与（过原点的直线）有2个交点， 对于，则， 设切点坐标为，则切线斜率，可得切线方程为， 代入点，得，解得，即切线斜率， 结合图象可知：若与有2个交点，则，即， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-2】.（23-24高二下·山西长治·阶段练习）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】条件可转化为方程有两个根，令，可得函数的图象 与直线有两个交点，利用导数研究函数的性质及图象可得结论. 【详解】令， 所以. 令，，求导可得， 所以函数在上单调递增，且，所以， 令，则有两个零点等价于函数的图象与直线有两个交点. 因为， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，， 则，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-3】.（24-25高二下·福建三明·期中）已知函数，. (1)当时，求的单调区间； (2)若，求的取值范围； (3)若有两个实数解，，证明：. 【答案】(1)单调减区间为，单调增区间在为. (2) (3)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的正负求解原函数的单调区间； （2）等价变形为，构造函数求最值即可； （3）由（2）知方程要有两实数解，则，即，欲证，转化为证明即可，通过构造函数，利用函数的单调性来证明. 【详解】（1）（1）当时，，则 令， 当时,在上单调递减， 当时,在上单调递增， 所以单调减区间为，单调增区间在为. （2）由可知，，， 即在上恒成立，                         设，，                      当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以时，取得最小值，最小值为，                 由题意知，即，故的取值范围为； （3）方程有两实数解，， 即有两实数解，不妨设， 由（2）知方程要有两实数解，则，即， 同时，，，                              ，则，在单调递减， 欲证，即证，，                            等价于，即，                            等价于， 整理得①，                               令，①式为，又在单调递增， 故①式等价于，即， 令，，                                当时，，在单调递增， 又，，即， 所以，则. 【考点题型六】】导数中新定义题（） 【例6】（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.    关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题： (1)试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明； (2)已知函数，求的凹的区间和凸的区间； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)图象是凸的，证明见解析； (2)的凹的区间为，的凸的区间为. (3). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、导数新定义、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求以及，判断的正负可证明； （2）求以及的解，即可求出函数的凹凸区间； （3）将恒成立变形为恒成立，分别求两个函数的单调区间，可判断两个函数的最值，从而求出的范围. 【详解】（1）的图象是凸的. 因为，， 又，所以，所以图象是凸的. （2）因为函数，所以的定义域为， ，， 令，则，令，则， 故的凹的区间为，的凸的区间为. （3）由题意可知，定义域为， 且等价于， 令，，，， 则，， ，当时，，当时，， 时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 则，， 若恒成立，则，解得：. 【变式6-1】.（24-25高三上·山西·阶段练习）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】已知函数最值求参数、导数新定义 【分析】（1）根据题设新定义即可证结论； （2）令，并对其求导，讨论参数的范围，结合函数区间最值确定参数范围. 【详解】（1）因为，且在上连续，在内可导， 所以，由罗尔中值定理得，. （2）设，则. 当，即时，， 当，得，则在上单调递减， 当，得，则在上单调递增， 从而，故符合题意. 当时，即时，令，得或. 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减. 因为在上的最小值为，且，则，得； 当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意； 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减， 从而，故，不合题意； 综上，a的取值范围为. 【变式6-2】.（2024·河南·三模）设函数的导函数为的导函数为的导函数为.若，且，则为曲线的拐点. (1)判断曲线是否有拐点，并说明理由； (2)已知函数，若为曲线的一个拐点，求的单调区间与极值. 【答案】(1)没有拐点，理由见解析 (2)单调递增区间为；单调递减区间为，极大值为2，极小值为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、导数的运算法则、导数新定义 【分析】（1）根据题意，求得，结合新定义，即可得到答案； （2）求得，得到，列出方程求得，得到，求得的单调性，进而求得函数的极值. 【详解】（1）解：由函数，可得， 由，得，又由，得，所以曲线没有拐点. （2）解：由函数， 可得， 因为为曲线的一个拐点，所以， 所以，解得，经检验，当时，， 所以. 当或时，，则的单调递增区间为； 当时，，且不恒成立，则的单调递减区间为， 故当时，取得极大值，且极大值为； 当时，取得极小值，且极小值为. 【变式6-3】.（23-24高二下·四川达州·阶段练习）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题. (1)证明：； (2)设，证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、导数新定义、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）首先设，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题； （2）首先由泰勒公式表示出和，再求得和的解析式，即可证明； 【详解】（1）设，则， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此，即. （2）由泰勒公式知，① 于是，② 由①②得， 由①②得， 所以 ， 即. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）若曲线与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值 【分析】曲线与直线有3个不同的交点，等价于有3个零点，根据的极大值大于0极小值小于0列不等式组求解即可. 【详解】曲线与直线有3个不同的交点，则有3个不同的解， 令，则有3个零点，可得， 若，，则是单调递增函数，不可能有3个零点， 时，由得，则， 当时，，当，， 所以在上递增，在上递减，在上递增. 要使有3个零点，则的极大值大于0，极小值小于0 即，解得. 即实数的取值范围是 故选：C. 2．（23-24高二下·浙江·期中）函数的零点个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】先确定函数定义域，然后令可分解因式得，通过求导研究函数的单调性，确定最小值符号，即可得出结论. 【详解】解：由题可得，故令， 即，令， 则， 由， 所以在单调递增，在递减， 又，， 在与分别有一个零点， 所以有两个零点，故有两个零点， 故选：B. 3．（2023高三上·全国·专题练习）设函数，则函数（    ） A．在区间，内均有一个零点 B．在区间，内均无零点 C．在区间内有一个零点，在区间内无零点 D．在区间内无零点，在区间内有一个零点 【答案】D 【知识点】零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先确定函数单调性，然后利用零点存在定理判断零点位置. 【详解】当时，函数图象连续不断，且， 所以函数在上单调递减. 又 所以函数有唯一的零点在区间内. 故选：D 4．（23-24高二下·湖北十堰·期末）已知直线与函数的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数研究方程的根、已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求得曲线斜率为的切线方程可得结论. 【详解】因为，所以在上单调递减，在上单调递增． 令，得，所以直线与的图象相切时的切点为，此时， 所以当时，直线与的图象有两个不同的交点． 故选：A. 5．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究方程的根、导数的运算法则 【分析】已知方程有三个不同的实数解可转化为的图象与的图象有三个点,根据导数的几何意义，数形结合可得参数范围. 【详解】 由已知方程有三个不同的实数解可转化为的图象与的图象有三个点， 设直线的图象与相切于点， 因为， 所以，解得：， 又函数在单调递减，且， 函数在增，且， 所以函数与在所有且只有一个交点， 要使的图象与的图象有三个交点， 则需， 即实数的取值范围是， 故选：D． 二、多选题 6．（23-24高二下·重庆江北·阶段练习）已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根 【分析】由题意，可以将问题转化为方程在区间内有唯一实数根，构造函数，，利用导数得在区间内单调递增，可得，进而确定答案. 【详解】由题意有方程在区间内有唯一实数根， 即方程在区间内有唯一实数根，令， ，所以在区间内单调递增， 所以，所以， 因为，， 故选：ABC 7．（23-24高二下·福建漳州·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，有两个零点 C．若有一个零点，则或 D．当时，有三个零点 【答案】BD 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】函数的零点个数问题，可转化为与图象的交点个数问题．作出与的图象，利用导数和数形结合思想分析判断各个选项； 【详解】函数的零点个数问题，可转化为与图象的交点个数问题．作出与的图象，如图所示．    当直线与相切时．设切点坐标为，因为，所以切线的斜率，所以切线方程为，即， 所以，解得，所以． 对于A,当时，有一个零点，A错误； 对于D,当时，有三个零点，D正确； 当直线与相切时，设切点坐标为．因为， 所以切线的斜率，所以切线方程为， 即，所以， 所以，所以． 对于C,数形结合，得或时，有两个零点，B正确； 对于D,若有一个零点，数形结合，得或或，C错误. 故选:BD． 三、填空题 8．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究方程的根 【分析】先利用导数判断函数的单调性，结合公共点个数可得答案. 【详解】令，，当时，，函数此时单调递减； 当时，，函数此时单调递增，所以函数最小值为. 当趋近于时，趋近于0，当趋近于时，趋近于； 当时，，当时，， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 9．（23-24高二下·河南洛阳·期末）若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数求解极值点个数情况. 【详解】令即又函数有两个极值点，故方程有两个零点，即有两个零点，令则则当时，单调递减，当时，单调递增，故时，取极小值，也为最小值， 又时， 则有两个零点时，a的取值范围是 故答案为： 四、解答题 10．（24-25高二下·北京·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)在区间上有两个零点，求m的范围. 【答案】(1) (2)单调递增区间，，单调递减区间. (3) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程. （2）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间. （3）结合（2）的结论，转化为与在上有两个交点，数形结合，可求m的范围. 【详解】（1）因为，所以. 又，所以. 所以在处的切线方程为：即. （2）因为. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. （3）由（2）可知，函数在上单调递减，在上单调递增. 且，，. 所以在区间上有两个零点，即在上有两个解， 可得. 即的取值范围为： 11．（24-25高三下·河南周口·开学考试）已知函数，其中． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)若函数在区间上存在极值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求定义域，求导，得到，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求导，得到在上必存在变号零点，即在上必存在零点，由于，只需，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以，，， 所以的图象在处的切线方程为， 即， 化为一般式为． （2）函数，定义域为， 所以， 因为函数在区间上存在极值， 所以在上必存在变号零点， 即在上必存在零点， 由于，由二次函数性质可知只需， 解得，即的取值范围是． 12．（24-25高二下·浙江·期中）已知定义在上的函数. (1)若，判断的单调性； (2)若存在两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增. (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后令，再对函数求导，即可判断单调性； （2）参变分离得到，问题转换成与恰有两个交点，对求导确定单调性，极值，即可求解； 【详解】（1）若，则，则，， 令，则， 因为，则，所以，即函数在上单调递增， 则， 即在上恒成立， 所以在上单调递增. （2）令，可得， 所以与恰有两个交点， 设，则， 令可得， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 当时，；当时，，的取值范围是. 13．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数. (1)若为上的单调函数，求k的取值范围； (2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】由函数的单调区间求参数、利用导数研究函数的零点、零点存在性定理的应用、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据函数的单调性可得或，继而即可求解； （2）是奇函数，所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点.利用二次求导分析的单调性，结合零点存在定理即可证明. 【详解】（1）， 因为为上的单调函数， 所以对任意，有；或对任意，有， 即恒成立，或恒成立， 所以的取值范围是. （2），且， 所以是奇函数， 所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点. ，令， 由（1）知，时，在上是减函数. 所以，在上是减函数. ，故存在. 当变化时，的变化情况如下表： 0 2 + 0 0 极大值 故时，. 故存在唯一的. 于是时，在上存在唯一的零点. 于是存在无数个取值使得恰有三个不同的零点. 14．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数 (1)若，求的最小值 (2)讨论的单调性； (3)若有两个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出导数，判断单调性，可求最小值； （2）求导，分类讨论，结合导数符号可判断单调性； （3）化简函数解析式，分离参数，研究函数性质，结合公共点的个数可得答案. 【详解】（1）时，，， 令得或（舍）， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以的最小值为. （2）， 当时，时，，单调递减；时，，单调递增； 当时，时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； 当时，，且不恒为0，在定义域内单调递增； 当时，时，，单调递增； 时，，单调递减；时，，单调递增； 综上，时，时，单调递减，时，单调递增； 时，时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增； 时，在定义域内单调递增； 时，时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增. （3）， 令可得，，令，， 时，，为增函数，时，，为减函数，有最大值. 又，无限趋近时，趋近于0，简图如下， 所以，解得，即的取值范围为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$