专题02 第四章 数列求通项与求和（6考点清单，知识导图+15个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单02 第四章 数列求通项与求和 （6个考点梳理+15题型解读+提升训练） 清单01 累加法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 清单02 累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 清单03 数列求通项（法） 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 清单04 构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 清单05 倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 清单06 裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 【考点题型一】累加法求通项（） 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由递推关系式求通项公式、累加法求数列通项 【分析】根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得. 【详解】因为，所以， 所以当时，，，…，， 累加可得， 因为，所以，当时，，满足上式， 所以， 故选：B． 【变式1-1】.（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）若数列满足（，且），，则 . 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】结合累加法，由裂项相消法化简求解即可. 【详解】因为（，且），， 所以； 经验证，时，，符合条件. 故答案为：. 【变式1-2】.（24-25高二下·广东·期中）数列满足，且对任意的都有，则 ． 【答案】21 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】运用累加法计算得到通项公式，再赋值即得. 【详解】因为，所以， 当时， ， 其中满足， 故对任意的，所以数列的通项公式为， 所以． 故答案为：21. 【考点题型二】累乘法求通项（） 【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】将递推关系变形为除法形式后采用累乘法，再结合等差数列的求和公式求解即可. 【详解】当时，有，故， 则有，． 上述个式子累乘得． 因为，所以， 而当时，，也满足上式， 故数列的通项公式为． 故答案为：. 【变式2-1】.（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【答案】D 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】根据已知递推公式得出相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式，最后根据通项公式判断数列类型，进而求出前100项的和． 【详解】因为，所以， 当时，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即， 又，所以， 所以． 故选：D. 【变式2-2】.（2026高三·全国·专题练习）在数列中，已知，记为数列的前n项和，则 ． 【答案】 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、累乘法求数列通项 【分析】由，利用得，令得，由累乘法得即得，又，最后由裂项相消法即可求解. 【详解】由，得， 所以，所以． 令，则， 所以． 由累乘法有，得，又， 所以，所以，所以，所以， 所以． 答案  . 【考点题型三】已知与的关系；或与的关系（） 【例3】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知数列的各项均为正，为数列的前项和，. (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据题意求出首项，再由，求得该数列为等差数列即可求得通项公式； 【详解】（1）因为，则，即， 解得：或（舍）， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得， 整理可得， 又因为数列的各项均为正，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式. 【变式3-1】.（2025·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，， (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）由的关系求解即可； 【详解】（1）因为， 所以，解得， 又， 所以，即， 所以，即， 因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． 【变式3-2】.（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设是数列的前n项和，若，，． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】错位相减法求和、数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）当时，由题可得，两式相减得，据此可得通项公式； 【详解】（1）当时，，两式相减可得： . 中令，得，注意到 符合上式，所以数列是以为首项，为公比得等比数列． 所以 【变式3-3】.（2025·河北·二模）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）由与的关系可得递推公式，根据等比数列的定义，可得答案； 【详解】（1）证明：因为， 所以当时，，解得； 当时，， 所以，即， 所以，又． 所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列． 【考点题型四】已知等式中左侧含有：（） 【例4】（24-25高二上·云南大理·期末）若数列{bn}满足：则数列{bn}的前n项和Sn为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式 【分析】由数列的通项与求和公式的关系，根据等比数列的定义与通项，可得答案. 【详解】数列满足， 可得， 可得，可得， 当时，，适合上式. 所以数列的通项公式为. 所以数列是等比数列，首项为4，公比为2. 数列的前项和. 故选：D. 【变式4-1】.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 【变式4-2】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列满足，若，则的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】根据通项与前n项和之间的关系可得，即可得，利用裂项相消法分析求解. 【详解】因为， 当时，； 当时，， 两式相减可得，即； 且符合上式，所以. 又因为， 所以的前2025项和为. 故选：C. 【考点题型五】数列求通项之构造法（形如）（） 【例5】（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）数列的首项，，令，则 ． 【答案】/ 【知识点】构造法求数列通项、写出等比数列的通项公式、求等差数列前n项和、由递推关系式求通项公式 【分析】构造数列，并求得数列的通项公式；再代入对数中求得数列的通项公式，进而利用等差数列的求和公式即可求得数列的前项和． 【详解】因为， 所以，又， 所以， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 代入得， 设数列的前项和为， 则， 则. 故答案为： 【变式5-1】.（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ． 【答案】 【知识点】构造法求数列通项、写出等比数列的通项公式、由递推关系式求通项公式 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则， 所以. 故答案为： 【变式5-2】.（23-24高二上·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】构造法求数列通项、由定义判定等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】变形得到，故为公比为2的等比数列，从而得到通项公式. 【详解】， 又，故为公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 【考点题型六】数列求通项之构造法（形如）（） 【例6】（24-25高二下·广东广州·期中）数列满足，首项为，则数列的通项公式 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】因为，所以， 则数列是以为首项，以1为公差的等差数列， 所以，则. 故答案为：. 【变式6-1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】先对式子两边同时除以，得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求得结果. 【详解】将两边同时除以，得， ∴，又，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，∴． 故答案为： 【变式6-2】（2025高三·全国·专题练习）数列满足，，则数列的通项公式为 ，前n项和 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和 【分析】根据递推关系变形后，构造等比数列求出数列的通项公式，再由分组求和的方法求出数列的和. 【详解】数列中，由， 两边同时除以，得，变形得． 而，， 故数列是首项为3、公比为的等比数列， 因此，即，所以． 由于， 所以 ． 故答案为：； 【考点题型七】数列求通项之倒数法（形如）（） 【例7】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解. 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 【变式7-1】.（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知数列中，，且满足，则 . 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】取倒数即可得为等差数列，即可根据等差数列的通项求解. 【详解】由可得， 故为等差数列，且公差为2，首项为2， 故，故， 故答案为： 【变式7-2】.（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，，则通项公式 ． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系式求通项公式 【分析】利用构造法求通项公式，如构造为，再由等比数列通项公式求解即可. 【详解】对递推式的两边同时取倒数，得，即， 因此，，故是以2为首项，2为公比的等比数列， 于是，可得． 故答案为：. 【考点题型八】数列求和之倒序相加法（） 【例8】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【知识点】倒序相加法求和、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足， 则对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加可得，解得. 故选：C. 【变式8-1】（24-25高二下·安徽滁州·期中）已知数列满足，则数列的前2025项和 . 【答案】 【知识点】倒序相加法求和 【分析】利用倒序相加法求和即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以， 所以，则. 故答案为： 【变式8-2】.（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且，设函数，则 . 【答案】 【知识点】由Sn求通项公式、利用an与sn关系求通项或项、倒序相加法求和 【分析】当时，求出的值，当且时，由可得，两式作差可得出的表达式，进而由与的关系可求出数列的通项公式，求出的值，再利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列的前项和为，且， 当时，则，所以， 当且时，由可得， 上述两个等式作差得， 所以，满足， 故对任意的，， 当且时，，也满足， 故对任意的，， 因为， 记， 则， 所以， ， 故. 故答案为：. 【考点题型九】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例9】（24-25高二下·北京顺义·期中）已知等差数列的前项和为，，．等比数列满足是和的等差中项，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列求和公式求出，即可求出，从而求出公差，再由等差数列通项公式计算可得； （2）首先求出、，即可求出通项公式，从而得到，再由分组求和法计算可得. 【详解】（1），即， 又，，所以等差数列的公差， 等差数列的首项， . （2）因为是和的等差中项， ，即， 又，，， 所以等比数列的公比， 所以，则， 所以 【变式9-1】.（2025高三下·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）应用等比数列的通项公式及已知有求公比，进而写出等比数列的通项公式； （2）应用的关系求通项公式； （3）应用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求和. 【详解】（1）设正项等比数列的公比为，则，又，， 所以，即，解得， 所以. （2）当时，. 当时，，也符合上式， 所以. （3）设的前项和为，且， 所以. 【变式9-2】.（24-25高二下·广东江门·期中）两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据条件，直接求出数列公比，即可求出数列通项公式；再利用与间的关系，即可求出的通项公式； （2）利用（1）中结果，再利用等差、等比数列的前项和公式，分组求和，即可求解. 【详解】（1）因为数列为等比数列，设数列的公比为， 又，，所以，解得，所以， 又数列的前项和为①， 当时，②，由①②得到， 又，，所以，则，满足， 所以. （2）由（1）知， 所以. 【变式9-3】.（2025·吉林·三模）已知等差数列的公差，且满足，，记是数列的前项和，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程，解方程即可； （2）利用退一相减法可得，再利用分组求和的方法可得. 【详解】（1）由题意得， 解得或（舍）， ， 即数列的通项公式是； （2）①， 当时，，得， 当时，②， 由①②得，， 化简得，，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ， ． 【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例10】（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据题意先求出，然后由求经过验证后可得通项公式. （2）根据（1）代入可得，当为偶数时，可看为两两一组，先求出，再利用错位相减求和求得.当为奇数时，因为为偶数项和，所以可利用代入求得. 【详解】（1）当时，. 当时，由，得， 则. 因为，所以. （2）由（1）可得 当为偶数时，， 则， 则， 则 ， 则. 当为奇数时，. 故 【变式10-1】.（2025·山西临汾·三模）已知正项数列中，，满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）将化简可得，由此可求得答案； （2）法一：由（1）可得的通项公式，采用分组求和的方法，结合等比数列的前n项和公式及裂项相消求和；.法二：分奇偶项，由等比数列求和公式及裂项相消法求和. 【详解】（1）由，得， 因为，所以，则， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以． （2）方法一： 由（1）知 方法二： 由（1）知 设，则可得， 所以是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以的前n项和， 设 所以的前n项和 所以． 【变式10-2】.（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)且，求数列的前2n项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）是等比数列，由已知条件求出，进而可求得的通项公式； （2）由（1）知，然后利用分组求和法求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，因为， 所以，所以，所以，所以， 所以. （2）n是奇数时，；n是偶数时， ∴， 所以 【变式10-3】.（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）等差数列的前和为，若，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前的和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等差数列的通项公式、求和公式求，即可. （2）利用分组求和法和并项求和法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由得， 又，所以， ，因此数列的通项公式. （2）由得 所以数列的前的和． 【变式10-4】（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用等比数列公式，结合列出的方程组即可求解； （2）利用分组求和，奇数项的和用错位相减法，偶数项的和用裂项相消法即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可得，则 因为数列是递减的等比数列，解得， 所以，， 因为，所以，， 因为，则，所以，， 故. （2）当为奇数时，，令， 则，所以，， 两个等式作差可得 ，化简得； 当为偶数时， 令， 故. 【考点题型十一】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例11】（2025·贵州黔南·模拟预测）已知数列为等差数列，为等比数列，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，证明：． 【答案】(1)，. (2)证明见解析 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）利用基本量法可求公差与公比，故可求两个数列的通项； （2）利用裂项相消法可求的前项和，从而可证题设中的不等式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题设有，因，故解得， 故，. （2）, 故 . 【变式11-1】.（24-25高二下·广东汕头·期中）已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）利用等差数列等比数列公式即可求解两个数列的通项； （2）利用裂项相消法和等比数列求和公式即可求和. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 则，解得：， 所以数列的通项公式为； 数列的通项公式. （2）， 数列的前项和． . 【变式11-2】.（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知是正项等差数列，是的前项和.若且. (1)求的值和通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为且>，由已知求得，，可求的通项公式； （2）利用裂项相消法可求得的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为且>， 由题意得且， 解得，，所以； （2）由（1）可得 ， 所以， =. 【变式11-3】.（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、构造法求数列通项 【分析】（1）将两边取倒数得到为等差数列，求出的通项公式，即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 故， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故. （2）由（1）得， 所以 . 【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例12】（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知递增数列满足，点在函数的图象上. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）将点代入到函数式得递推公式，根据等差数列的定义结合对数的运算即可得结果； （2）结合（1）中的结论得到数列的通项公式，通过裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为， 所以当时， 又因为点在函数的图象上， 所以， 所以 ， 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列 （2）由（1）可知，， 所以， 所以 所以 所以 ， 即 【变式12-1】.（24-25高二下·河南南阳·期中）拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础．其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得．已知函数，数列满足，且． (1)求； (2)证明：数列为等比数列； (3)若数列，记为数列的前项和，证明：． 【答案】(1)． (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、导数的运算法则、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】（1）求得，根据题意，得到，化简得到，进而求得的值； （2）由（1）中，得到，结合等比数列的定义，即可得证；又由，所以数列为首项为3，公比为2的等比数列． （3）由（2）求得，得到，结合裂项法求和，求得，进而证得. 【详解】（1）解：由函数，则， 则，可得， 即， 又由，所以； （2）解：由（1）知：，可得，即， 又由，所以数列为首项为3，公比为2的等比数列． （3）证明：由（2）可得，则， 所以， 则. 因为，可得，所以， 所以. 【变式12-2】.（24-25高二下·湖北·期中）已知数列满足，（）. (1)证明：数列是等比数列. (2)设，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）对取倒数，整理得，然后利用等比数列定义即可证明； （2）先利用等比数列通项公式求得，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）数列满足，（）， 则， ∴， 又∵， ∴数列是以1为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，则（）， ∴ ， ∴ . 【变式12-3】.（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、由定义判定等比数列、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】（1）由题中和的关系仿写后作差再变形，再由等比数列的基本量法可得； （2）由（1）得到等比数列的通项，再两边同除后运用累加法求出数列的通项，再采用列项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意，， 又，解得， ，① ，② ②减①得， 所以，即， 所以数列为以为首项，以3为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以， 当时，， 所以，即， 经检验，当时，满足上式， 所以， 因为， 所以 . 【考点题型十三】数列求和之错位相减法（） 【例13】（广东省部分学校2024-2025学年高二下学期4月月考数学试卷）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，． (1)求，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2). 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据题意列方程组，解出和即可求得，从而得出和求得； （2）写出数列的通项公式，利用错位相减法求和. 【详解】（1）由题意知，解得或（舍去）， 所以， 则，所以. （2）由（1）知． 因为， 所以， 两式相减得 ， 故． 【变式13-1】.（海南省2024-2025学年高三学业水平诊断（五）数学试题）记数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）当可求出的值，当时，由可得，两式作差可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为，当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，即， 所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，故. （2）由（1）可得， 所以， 则， 上述两个等式作差得 ， 因此，. 【变式13-2】.（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）数列的前n项和，满足：，，（），数列满足，． (1)求，的通项公式； (2)设，求的前2n和． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、求等比数列前n项和 【分析】（1）对于，由与的关系，通过作差即可求解，对于，通过的奇偶，分别确定递推公式即可求解； （2）由等比数列的求和公式及错位相减法，分别计算奇数项、偶数项的和，即可. 【详解】（1）由，当，可得，当，解得， 所以，所以， 即，而，所以从第二项起为等比数列，∴ 因为数列满足 因为所以， 当，时，， 当，时，， 所以，所以n为奇数时， 当，时，， 所以，所以，所以n为偶数时，， 所以 （2） ∴ ∴ ∴， ∴ 【变式13-3】.（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知数列的各项均为正，为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)2 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据题意求出首项，再由，求得该数列为等差数列即可求得通项公式； （2）利用错位相减法进行数列求和. 【详解】（1）因为，则，即， 解得：或（舍）， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得， 整理可得， 又因为数列的各项均为正，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以数列的通项公式. （2）可知，记数列的前项和为， 则， 所以， 上述两个等式作差可得 ，故. 【考点题型十四】数列求和之通项含绝对值求和（） 【例14】（24-25高二下·辽宁·期中）已知是数列的前项和，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）由，当时，可得，两式相减得到，再求得，结合等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）得到，求得则，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）解：由数列满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，即， 当时，，即，解得， 所以数列是首项为，公比的等比数列. （2）解：由（1）可得数列的通项公式为， 则， 令，可得数列的前项和为， 当时，可得； 当时，可得 ， 所以数列的前项和. 【变式14-1】.（24-25高二上·四川凉山·期末）设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求中的最大值和最小值； (3)求的前项和． 【答案】(1) (2)最大值为1，最小值为， (3) 【知识点】确定数列中的最大（小）项、含绝对值的等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可根据等差通项的公式求解， （2）根据单调性即可求解， （3）根据的正负，即可分类求解. 【详解】（1）由可得，故，设公差为d，， 由可得，， 故， 由于，所以，因此，因此， 故， （2）， 当且时，，且此时单调递减， 故为最大值，为最小值， 当且时，，且此时单调递减， 故为最大值1，此时无最小值， 综上可得的最大值为1，最小值为， （3）由可得当且时，， 当且时，， 所以当且时，， 当且时， ， 故 【变式14-2】.（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）结合已知条件，由等差数列通项公式求得公差即可求解； （2）结合（1）得到，再分和两种情况即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为，所以． 又因为，则， 所以数列的通项公式． （2）由（1）知，． 当时，， ； 当时，， ． 综上，. 【变式14-3】.（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用基本量运算列出方程组，解之即得，从而得到结果； （2）根据题意，分与讨论，然后结合等差数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ， 解得， 则； （2）因为，则． 当时， 数列的前项和为； 当时，数列的前项和为 ． 故. 【考点题型十五】数列中新定义题（） 【例15】（24-25高二下·辽宁·期中）设和是两个等差数列，记，其中表示这s个数中最大的数． (1)若， （ⅰ）求，，的值； （ⅱ）证明：是等差数列 (2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当时，；或者存在正整数m，使得是等差数列． 【答案】(1)（ⅰ）0，；（ⅱ）证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】判断等差数列、数列新定义 【分析】（1）（ⅰ）根据数列新定义直接求解即可； （ⅱ）先通过作差法判断关于单调递减，然后求出，再利用等差数列定义证明即可. （2）设数列和的公差分别为，，则，分、和三种情况分类讨论，即可证明. 【详解】（1）（ⅰ）， ， ． （ⅱ）当时，， 所以关于单调递减． 所以，又，， 所以对任意，，于是， 所以是等差数列． （2）设数列和的公差分别为，， 则， 所以， ①当时，取正整数，则当时，，因此． 此时，是等差数列． ②当时，对任意，． 此时，是等差数列． ③当时，当时，有． 所以． 对任意正数M，取正整数， 故当时，． 【变式15-1】.（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）对于数列，若存在实数m，使得数列为递减数列，则称数列为“m接近数列”．例如，设一个只有4项的数列的项分别是，那么就是一个“0接近数列”，但这个数列却不是“接近数列”． (1)若数列满足，其中为的前n项和．求，并判断数列是否为“m接近数列”，若是请写出m的一个可能取值； (2)若数列满足，试回答下列问题： （ⅰ）求证：时，不是“m接近数列”； （ⅱ）当时，判断是否为“m接近数列”．若是，写出m的一个可能取值（用k表示）；若不是，说明理由． 【答案】(1)，数列是“m接近数列”， 的一个可能值为3； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）是，的一个可能值为. 【知识点】求等比数列前n项和、构造法求数列通项、判断数列的增减性、数列新定义 【分析】（1）根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系求出，进而求出，再利用给定定义及等比数列单调性判断即可. （2）（ⅰ）把代入，利用构造法求出，再取其奇数项构成的子列，结合给定定义推理得证；（ⅱ）利用构造法求出，再利用给定定义及等比数列单调性判断得解. 【详解】（1）数列是“m接近数列”，理由如下： 数列中，， 当时，， 两式相减得，整理得， 则，而，因此数列是首项、公比都为的等比数列，， ，，而数列是递减数列， 所以数列是“m接近数列”，的一个可能值为3. （2）（ⅰ）当时，数列中，， 则，而，即数列是首项为，公比为的等比数列， 于是，， 当为正奇数时，，数列递增，且随着正奇数的无限增大，趋近于正无穷大， 故存在正整数，对任意，当时，是递增的， 所以不是“m接近数列”. （ⅱ）是否为“m接近数列”，理由如下： 当时，，则， 又，因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，即，而， 数列是递减数列， 所以是“m接近数列”， 的一个可能值为. 【变式15-2】.（24-25高二下·江西南昌·期中）对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”． (1)若，求的值． (2)设． ①求的通项公式； ②若数列满足，且的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见详解 【知识点】裂项相消法求和、数列新定义 【分析】（1）设，可得，进而可得的通项公式； （2）①结合（1）可得，进而可得的通项公式；②可得，利用放缩法可得，再结合裂项相消法分析证明. 【详解】（1）由题意可设：，则， 若，则， 且，可得， 所以. （2）①由（1）可得， 若，则， 且，可得， 所以的通项公式； ②因为，即， 则， 可得， 所以. 【变式15-3】.（24-25高二下·广东·期中）若一个数列由两个变量和共同控制，则称这样的数列为“双数列”，当时，可记为，在研究这样的数列问题时，一般将一个变量视为固定值，已知数列中，，，给定双数列 (1)求数列的通项公式； (2)现固定的值且，求； (3)设双数列，固定的值且满足，，则当取何值时，取得最大值.（结果用含的表达式表达） 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】确定数列中的最大（小）项、数列新定义、二项式定理与数列求和、累乘法求数列通项 【分析】（1）由题意得，结合累乘法可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，结合二项式定理可求得； （3）求出的表达式，因为值被固定，故其可视为常数，记作，计算出、，当时，设最大，可得出，求出的范围，然后分析的单调性，可得出结果. 【详解】（1）由题意得， ，，， 故当时，， 也满足，故对任意的，. （2）因为，由题意可得， 故， 又因为，故. （3）因为，，可得， 由题意得， 因为值被固定，故其可视为常数，记作， 当时，，当时，， 当时，要有取得最大值，则有，即，， ， ， 当时，由于，不存在， 故分母不可能为，即， 有，分析可得当时，， 而， 故在此之前数列一直递增，时，，而 ， 故在此之后数列一直递减，即， 又题干中满足，，故， 因此，当或时，取得最大值 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（   ） A． B． C．12 D．21 【答案】A 【知识点】判断或写出数列中的项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据条件得出数列为等差数列，即可求出其通项公式，进而求出即可代入求值. 【详解】由得，， 因，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：A 2．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】构造法求数列通项 【分析】由已知等式变形得出，可知数列为常数列，即可求得的值. 【详解】因为，所以，即， 所以，故数列为常数列，故， 因此，. 故选：C. 3．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】累加法求数列通项、写出等比数列的通项公式 【分析】先根据等比数列的定义求出数列的通项，再利用累加法求出数列的通项，代值即得. 【详解】因数列是公比为3的等比数列，且， 则数列的首项为，， ， 故. 故选：D. 4．（24-25高二下·四川凉山·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】由，得到，再利用等比数列的定义求解. 【详解】因为，所以． 因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，所以， 故． 故选：C 5．（24-25高二下·四川南充·期中）已知等差数列的前项和为，若，则的前2025项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】根据等差数列基本量的计算可得，进而求解，利用求和公式以及裂项可得，即可利用裂项相消法求解. 【详解】由可得，解得，故， 故， 因此的前2025项和为， 故选：C 6．（24-25高二上·云南文山·期末）若数列的通项公式为，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】利用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【详解】由题意知数列的前项和为 . 故选：C. 二、填空题 7．（24-25高二下·四川资阳·期中）知数列的前项和为，，，当时，总有，则数列的通项公式 ． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据与的关系代入计算，再由等比数列的通项公式，即可得到结果. 【详解】当时，有， 则当时，有， 两式相减可得， 即， 又，，所以， 所以时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以. 故答案为： 8．（24-25高二下·云南玉溪·期中）大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列满足，，数列满足，则 ，数列的前项和与数列的前 项和相等. 【答案】 【知识点】判断或写出数列中的项、累加法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】分别由和的关系式可推导得到，利用累加法可求得为奇数时的通项公式，进而得到，结合等差数列前项和公式可构造方程求得结果. 【详解】当时，①； 当时，②； 由①②得：， ，，，， 累加得：； 令，则当且为奇数时，； 当时，满足；当为奇数时，； 此时，当为偶数时，； ，，， 的前项和为； 的前项和为， 令，解得：（舍）或，. 故答案为：；. 9．（24-25高二下·广东广州·期中）任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数：则无限循环小数 （写成的形式，m与n为互质的具体正整数）；若1.5，1.55，1.555，……构成了数列，设数列，则数列的前n项和 ． 【答案】 【知识点】根据规律填写数列中的某项、由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】利用无限循环小数的性质设，然后建立等式求解即可；利用题中给出的规律先求出的通项公式，然后得到的通项公式，然后列项相消求解即可. 【详解】令，则，解得，所以； 易知， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：； 10．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列满足：（为正整数），，当时，使得的最小n为 ；设为数列的前n项和，若，则所有可能的取值为 . 【答案】 13 235，257，284 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、分组（并项）法求和、数列周期性的应用 【分析】利用给定的递推公式依次计算得解；求出，再借助周期性质求出. 【详解】依题意，， ， 所以当时，使得的最小n为13； 由，得，则或， 若，则；若，则或， 当时，；当时，； 当时，， 由，得，因此数列从第6项起成周期性，周期为3， 于是，当时，； 当时，；当时，， 所以所有可能的取值为235，257，284. 故答案为：13；235，257，284 三、解答题 11．（24-25高二下·辽宁·期中）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前n项和； (3)令，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据和关系求得，即可求出公比，再利用条件求出，即可求解通项公式. （2）利用错位相减法求和即可. （3）通过变形得，结合等比数列求和公式及数列的有界性证明即可. 【详解】（1）由，得， 两式相减，得， 即，又是等比数列，故公比， 由，知，则． （2）由题， 则， ， 两式相减，得， 即． （3），由， 得： 则. 12．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）已知数列的前n项和为，，当时， (1)求； (2)设，求数列的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用与的关系及等差数列的定义，结合等差数列的通项公式可得，再计算得到； （2）利用（1）的结论及错位相减法求前n项和. 【详解】（1）当时，，即， 整理得：，即， 当时，， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，即. 当时，， 当时，不符合上式，故. （2）由（1）知，所以， 所以，① ，② 由得，. 所以. 13．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设数列满足，；正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设是数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)证明见解析 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】（1）由递推公式通过构造得到，即可求证； （2）由（1）可求，由，通过因式分解得到，即可求解； （3）通过裂项相消法求和，进而可求证. 【详解】（1）证明：由得 进而 又 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列 （2）由（1）得 所以 由得， 因为，所以 又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． 所以 （3） 所以 因为，所以 易知是关于的增函数，所以 综上 14．（24-25高二下·山东日照·期中）记首项为1的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用消去，得到等差数列，并通过求出其通项，进而得到的通项，并对时验证； （2）先求，将数列的前项和转化为数列的前项和. 【详解】（1）∵， ∴， 两式相减得：， 即， ∴，∴， ∴数列是以1为首项，以0为公差的等差数列， ∴，∴. 当时，满足上式，∴. （2）由（1）知， ∴， ∴， 又 即数列是以为首项，为公差的等差数列. ∴. 15．（24-25高二下·广东广州·期中）已知数列满足，且；数列的前n项和为，满足． (1)求与的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用等差数列的定义求出数列的通项公式；利用求出数列的通项公式； （2）利用错位相减求和求出，转化为恒成立，设，判断出的单调性可得答案. 【详解】（1）因为，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； 由知，当时，由得， 由得， 当时，， 可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）由（1）， ， ， 两式相减得 ， 所以， 则即恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，，当时，， 所以的最大值为， 所以. 16．（24-25高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析；； (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据化简结合等比数列定义证明，再结合等比数列前n项和公式分组求和计算求解； （2）先应用对数运算律化简，再应用错位相减法计算求解. 【详解】（1）数列的前项和为，，， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 所以，所以， 所以数列是首项为3，以3为公比的等比数列， 所以，所以， ， 所以； （2）因为， 所以， 设数列的前项和为， ， ， ， ， ， ， 所以. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 第四章 数列求通项与求和 （6个考点梳理+15题型解读+提升训练） 清单01 累加法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 清单02 累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 清单03 数列求通项（法） 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 清单04 构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 清单05 倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 清单06 裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 【考点题型一】累加法求通项（） 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）若数列满足（，且），，则 . 【变式1-2】.（24-25高二下·广东·期中）数列满足，且对任意的都有，则 ． 【考点题型二】累乘法求通项（） 【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【变式2-1】.（24-25高二下·河南南阳·期中）在数列中，，则（    ） A． B． C．2025 D．5050 【变式2-2】.（2026高三·全国·专题练习）在数列中，已知，记为数列的前n项和，则 ． 【考点题型三】已知与的关系；或与的关系（） 【例3】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知数列的各项均为正，为数列的前项和，. (1)求的通项公式； 【变式3-1】.（2025·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，， (1)求数列的通项公式； 【变式3-2】.（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设是数列的前n项和，若，，． (1)求数列的通项公式； 【变式3-3】.（2025·河北·二模）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列； 【考点题型四】已知等式中左侧含有：（） 【例4】（24-25高二上·云南大理·期末）若数列{bn}满足：则数列{bn}的前n项和Sn为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列满足，若，则的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【考点题型五】数列求通项之构造法（形如）（） 【例5】（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）数列的首项，，令，则 ． 【变式5-1】.（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ． 【变式5-2】.（23-24高二上·天津·期末）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 . 【考点题型六】数列求通项之构造法（形如）（） 【例6】（24-25高二下·广东广州·期中）数列满足，首项为，则数列的通项公式 ． 【变式6-1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，，，则数列的通项公式为 ． 【变式6-2】（2025高三·全国·专题练习）数列满足，，则数列的通项公式为 ，前n项和 ． 【考点题型七】数列求通项之倒数法（形如）（） 【例7】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【变式7-1】.（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）已知数列中，，且满足，则 . 【变式7-2】.（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，，则通项公式 ． 【考点题型八】数列求和之倒序相加法（） 【例8】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二下·安徽滁州·期中）已知数列满足，则数列的前2025项和 . 【变式8-2】.（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且，设函数，则 . 【考点题型九】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例9】（24-25高二下·北京顺义·期中）已知等差数列的前项和为，，．等比数列满足是和的等差中项，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式9-1】.（2025高三下·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 【变式9-2】.（24-25高二下·广东江门·期中）两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【变式9-3】.（2025·吉林·三模）已知等差数列的公差，且满足，，记是数列的前项和，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例10】（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【变式10-1】.（2025·山西临汾·三模）已知正项数列中，，满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足求数列的前项和． 【变式10-2】.（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列，，其中是各项均为正数的等比数列，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)且，求数列的前2n项和. 【变式10-3】.（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）等差数列的前和为，若，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前的和． 【变式10-4】（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【考点题型十一】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例11】（2025·贵州黔南·模拟预测）已知数列为等差数列，为等比数列，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，证明：． 【变式11-1】.（24-25高二下·广东汕头·期中）已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【变式11-2】.（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知是正项等差数列，是的前项和.若且. (1)求的值和通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式11-3】.（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例12】（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知递增数列满足，点在函数的图象上. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【变式12-1】.（24-25高二下·河南南阳·期中）拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础．其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得．已知函数，数列满足，且． (1)求； (2)证明：数列为等比数列； (3)若数列，记为数列的前项和，证明：． 【变式12-2】.（24-25高二下·湖北·期中）已知数列满足，（）. (1)证明：数列是等比数列. (2)设，求. 【变式12-3】.（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）已知数列的前n项和为，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和. 【考点题型十三】数列求和之错位相减法（） 【例13】（广东省部分学校2024-2025学年高二下学期4月月考数学试卷）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，． (1)求，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【变式13-1】.（海南省2024-2025学年高三学业水平诊断（五）数学试题）记数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式13-2】.（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）数列的前n项和，满足：，，（），数列满足，． (1)求，的通项公式； (2)设，求的前2n和． 【变式13-3】.（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知数列的各项均为正，为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【考点题型十四】数列求和之通项含绝对值求和（） 【例14】（24-25高二下·辽宁·期中）已知是数列的前项和，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【变式14-1】.（24-25高二上·四川凉山·期末）设是公差不为零的等差数列，是的前项和，，． (1)求的通项公式； (2)求中的最大值和最小值； (3)求的前项和． 【变式14-2】.（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 【变式14-3】.（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【考点题型十五】数列中新定义题（） 【例15】（24-25高二下·辽宁·期中）设和是两个等差数列，记，其中表示这s个数中最大的数． (1)若， （ⅰ）求，，的值； （ⅱ）证明：是等差数列 (2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当时，；或者存在正整数m，使得是等差数列． 【变式15-1】.（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）对于数列，若存在实数m，使得数列为递减数列，则称数列为“m接近数列”．例如，设一个只有4项的数列的项分别是，那么就是一个“0接近数列”，但这个数列却不是“接近数列”． (1)若数列满足，其中为的前n项和．求，并判断数列是否为“m接近数列”，若是请写出m的一个可能取值； (2)若数列满足，试回答下列问题： （ⅰ）求证：时，不是“m接近数列”； （ⅱ）当时，判断是否为“m接近数列”．若是，写出m的一个可能取值（用k表示）；若不是，说明理由． 【变式15-2】.（24-25高二下·江西南昌·期中）对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”． (1)若，求的值． (2)设． ①求的通项公式； ②若数列满足，且的前n项和为，证明：． 【变式15-3】.（24-25高二下·广东·期中）若一个数列由两个变量和共同控制，则称这样的数列为“双数列”，当时，可记为，在研究这样的数列问题时，一般将一个变量视为固定值，已知数列中，，，给定双数列 (1)求数列的通项公式； (2)现固定的值且，求； (3)设双数列，固定的值且满足，，则当取何值时，取得最大值.（结果用含的表达式表达） 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（   ） A． B． C．12 D．21 2．（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川凉山·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川南充·期中）已知等差数列的前项和为，若，则的前2025项和（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·云南文山·期末）若数列的通项公式为，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高二下·四川资阳·期中）知数列的前项和为，，，当时，总有，则数列的通项公式 ． 8．（24-25高二下·云南玉溪·期中）大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列满足，，数列满足，则 ，数列的前项和与数列的前 项和相等. 9．（24-25高二下·广东广州·期中）任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数：则无限循环小数 （写成的形式，m与n为互质的具体正整数）；若1.5，1.55，1.555，……构成了数列，设数列，则数列的前n项和 ． 10．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列满足：（为正整数），，当时，使得的最小n为 ；设为数列的前n项和，若，则所有可能的取值为 . 三、解答题 11．（24-25高二下·辽宁·期中）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前n项和； (3)令，证明：． 12．（24-25高二下·贵州贵阳·期中）已知数列的前n项和为，，当时， (1)求； (2)设，求数列的前n项和为． 13．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设数列满足，；正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设是数列的前n项和，证明：． 14．（24-25高二下·山东日照·期中）记首项为1的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 15．（24-25高二下·广东广州·期中）已知数列满足，且；数列的前n项和为，满足． (1)求与的通项公式； (2)设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立．求实数的取值范围． 16．（24-25高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$