专题01 第四章 等差数列与等比数列（11考点清单，知识导图+12个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单01 第四章 等差数列与等比数列 （11个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 清单02 等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 清单03 等差数列判断（证明）方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 清单04 等差数列性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 清单05 等差数列前N项和 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 清单06 等差数列前n项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 清单07 等比数列概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 清单08 等比数列判断与证明 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 清单09 等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 清单10 等比数列前n项和 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 清单11 等比数列前n项和性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列（） 【例1-1】（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若等差数列的公差为，前项和为，记，则（    ） A．数列是公差也为的等差数列 B．数列是公差为的等差数列 C．数列是公差为的等差数列 D．数列是公差为的等差数列 【例1-2】（多选）（24-25高二下·广东珠海·期中）以下关于数列的结论正确的是（    ） A．若数列的前项的和，则数列为等差数列 B．若数列的前项的和，则数列为等比数列 C．若数列满足，则数列为等差数列 D．若数列满足，则数列为等比数列 【变式1-1】.（多选）（24-25高二上·云南楚雄·期末）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列（） 【例2-1】（24-25高二上·天津·阶段练习）若数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)证明是等差数列. 【例2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，证明：数列为等比数列． 【变式2-1】.（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 【变式2-2】.（2024·青海海南·一模）记等差数列的前项和为，是正项等比数列，且． (1)求和的通项公式； (2)证明是等比数列． 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性（） 【例3】（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是（    ） A．若，则单调递增 B．若，则单调递增 C．可能为等差数列 D．可能为等比数列 【变式3-2】.（多选）（24-25高二上·云南昭通·期末）数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列的前项和最大 B．若等比数列是单调递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 【变式3-3】.（24-25高二下·广东·期中）已知数列满足， (1)探究数列的单调性； 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项（） 【例4】（24-25高二下·北京大兴·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值； (3)若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由. 【变式4-1】.（多选）（24-25高二上·吉林·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．和是中的最小项 C．是数列中的最小项 D．满足的的最大值为25 【变式4-2】.（多选）（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）等差数列的前项和为，已知，则（    ） A． B．的前项和中最小 C．使时的最大值为9 D．的最大值为0 【变式4-3】.（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期末）各项均为正数的等比数列的前n项积为，若，公比，则下列说法正确的是（    ） A．若，则必有 B．若，则必有 C．若，则必有 D．若，则必有 【考点题型五】等差数列角标和性质（） 【例5】（河南省豫西名校2025届高三下学期模拟测试数学试题）在等差数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】.（辽宁省丹东市2025届高三总复习质量测试（二）数学试题）记为等差数列的前项和，若，则（   ） A．70 B．49 C． D． 【变式5-2】.（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【变式5-3】.（24-25高二下·辽宁·期中）在等差数列中，若，，则公差d= ． 【变式5-4】.（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，，则 . 【考点题型六】等比数列角标和性质（） 【例6】（24-25高二下·湖北·期中）等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】.（24-25高二下·四川·期中）等比数列{ an }满足a5 = 2，，则（   ） A．22 B．20 C．12 D．10 【变式6-2】.（24-25高二下·山西大同·阶段练习）在等比数列中，，，则 ． 【变式6-3】.（24-25高二下·广东江门·期中）已知数列满足，则 . 【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算（） 【例7】（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列为等差数列，该数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】.（24-25高二下·山东日照·期中）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．31 B．45 C．57 D．63 【变式7-2】.（24-25高二下·四川绵阳·期中）等比数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】.（24-25高二下·浙江·期中）已知为等差数列，其前项和为，若，，则等于 . 【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质）（） 【例8】（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知是等差数列的前项和，若，则 ． 【变式8-1】.（24-25高二下·河南南阳·期中）在等差数列中，已知，则（    ） A． B． C．-10 D． 【变式8-2】.（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】.（24-25高二下·湖北·期中）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．25 【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值）（） 【例9】（2026高三·全国·专题练习）两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于 ． 【变式9-1】.（24-25高二下·河南·期中）已知等差数列和的前n项和分别为、，若则（ ） A． B． C． D． 【变式9-2】.（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知为等差数列的前n项和，且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式9-3】.（24-25高二下·山东德州·期中）已知等差数列的前n项和分别为，且，则 . 【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质）（） 【例10】（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，则 . 【变式10-1】.（24-25高二下·北京·期中）各项均为正数的等比数列的前n项和为，若 ，则（    ） A．10 B．8 C．12 D．14 【变式10-2】.（24-25高二下·山西·期中）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高二上·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B．81 C．50 D．61 【考点题型十一】等差（比）数列前项和性质（奇偶项和性质）（） 【例11】（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【变式11-1】.（24-25高二下·四川南充·阶段练习）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【变式11-2】.（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【变式11-3】.（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【考点题型十二】已知与（）的关系，求（） 【例12】（24-25高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列的前n项和为. (1)求的值； (2)求的通项公式； 【变式12-1】.（2024·宁夏银川·三模）设数列的前n项和为，已知， (1)求的通项公式； 【变式12-2】.（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； 【变式12-3】.（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·云南·期中）已知数列中，且且，则（    ） A． B． C． D．9 2．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知数列是各项均不为的等差数列，前项和为，设甲：为等差数列；乙：为常数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．（安徽省合肥市示范中学2025届高三下学期5月教学质量检测数学试题）已知数列是等比数列，若，，则（   ） A．4 B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则的第5项为（   ） A．1 B． C．或1 D．或1 5．（北京市延庆区2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷）设是公比为的无穷等比数列，前项和为.若，则“”是“存在最小值”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高二下·四川资阳·期中）朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·四川绵阳·期中）设等差数列的前项和为，若，则（   ） A．40 B．42 C．44 D．46 8．（24-25高二下·四川资阳·期中）我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前8项和为（    ） A．120 B．220 C．240 D．256 二、多选题 9．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知是等差数列，是其前项和，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若为递增数列，则为递增数列 10．（24-25高二下·云南·期中）已知正项等比数列的公比为，若，且，则（    ） A． B． C．是数列中的项 D．，，成等差数列 三、填空题 11．（24-25高三下·重庆·阶段练习）在等比数列中，，则 . 12．（河北省N20名校联合体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）记为数列的前项和，且，当取最大值时， . 四、解答题 13．（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 14．（24-25高二下·四川凉山·期中）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的n的最小值． 15．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 第四章 等差数列与等比数列 （11个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 清单02 等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 清单03 等差数列判断（证明）方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 清单04 等差数列性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 清单05 等差数列前N项和 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 清单06 等差数列前n项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 清单07 等比数列概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 清单08 等比数列判断与证明 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 清单09 等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 清单10 等比数列前n项和 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 清单11 等比数列前n项和性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列（） 【例1-1】（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若等差数列的公差为，前项和为，记，则（    ） A．数列是公差也为的等差数列 B．数列是公差为的等差数列 C．数列是公差为的等差数列 D．数列是公差为的等差数列 【答案】C 【知识点】判断等差数列 【分析】根据已知写出等差数列的通项公式与求和公式，从而可得，，的表达式，进而由等差数列的函数特性即可对选项进行逐一判断． 【详解】根据题意，，， 故是关于的一次函数， ∴数列是公差为的等差数列，故A、B错误； 由是关于的一次函数，得数列是公差为的等差数列， C正确； 又是关于的一次函数，则数列是公差为的等差数列，故D错误． 故选：C． 【例1-2】（多选）（24-25高二下·广东珠海·期中）以下关于数列的结论正确的是（    ） A．若数列的前项的和，则数列为等差数列 B．若数列的前项的和，则数列为等比数列 C．若数列满足，则数列为等差数列 D．若数列满足，则数列为等比数列 【答案】AC 【知识点】等差中项的应用、利用an与sn关系求通项或项、判断等差数列、由定义判定等比数列 【分析】对于A，B，根据数列的前项的和与通项的关系求得数列通项，即可判断；对于C，D，利用等差中项与等比中项的概念，结合数列的项的特征即可判断. 【详解】对于A，由可得， 当时，， 因时满足上式，且，故数列为等差数列，A正确； 对于B，由可得， 当时，， 因时，，故数列不是等比数列，故B错误； 对于C，由可知，是和的等差中项，故数列为等差数列，故C正确； 对于D，由可知，当都不为0时，是的等比中项，此时数列为等比数列； 但当，且中至少一个为0时，等式成立，但数列不构成等比数列，故D错误. 故选：AC. 【变式1-1】.（多选）（24-25高二上·云南楚雄·期末）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】判断等差数列、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的定义，逐项判断，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d. 对于A，，所以是以为公差的等差数列； 对于B，，因为不一定为常数，所以不一定是等差数列； 对于C，因为，所以为等差数列； 对于D，因为，所以为等差数列. 故选：ACD. 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列（） 【例2-1】（24-25高二上·天津·阶段练习）若数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)证明是等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】判断等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据与的关系求解即可； （2）由（1），结合等差数列的定义即可证明. 【详解】（1）， 当时，； 当时，， 又符合上式，所以. （2）由（1）知，则， 所以，又， 所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列. 【例2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，证明：数列为等比数列． 【答案】证明见解析 【知识点】由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式、由定义判定等比数列 【分析】根据数列递推式可得当时，，结合等比数列定义知是等比数列，得，进而证得为等差数列并求得的表达式，从而得的表达式，利用等比数列定义即可证明结论. 【详解】证明  由可得时，， ，则； 当时，， 即，故， 又因为， 所以，故是等比数列； 所以， 所以，即为等差数列，首项为，公差为， 所以，即， 所以，则， 又， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列． 【变式2-1】.（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 【答案】(1) (2)或,证明见解析 【知识点】判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【分析】（1）根据已知条件求出和，从而得到的通项公式. （2）求出后代入表达式，再根据，，成等差数列求出，最后通过计算是否为常数来证明为等差数列. 【详解】（1）已知，根据等差数列通项公式可得. 又因为，根据等差数列前项和公式， 可得，即. 联立方程组，可得，即. 将代入，可得. 所以数列的通项公式为. （2）由，， 可得. 所以. 因为，，成等差数列，则. . . . 故：.解得或； 当时，. ，为常数； 当时，，为常数； 所以或，为等差数列. 【变式2-2】.（2024·青海海南·一模）记等差数列的前项和为，是正项等比数列，且． (1)求和的通项公式； (2)证明是等比数列． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【知识点】由定义判定等比数列、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）先设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，然后根据已知条件列出关于公差和公比的方程组，解出公差和公比的值，即可计算出数列和的通项公式； （2）利用等比数列定义证明即可. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为， 则，解得， 则； 设正项等比数列的公比为，则，， 由题意，可得，解得或（舍去）， 故. （2）令，则， 故是以为首项,公比为的等比数列. 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性（） 【例3】（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等差数列的单调性、求等差数列前n项和 【分析】根据条件可得数列为递减数列，且，，，根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质可得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ∵，， ∴数列为递减数列， ∴，，， 由得，即， ∴， ∴使的最小的的值为. 故选：D． 【变式3-1】.（多选）（24-25高二上·陕西西安·期末）已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是（    ） A．若，则单调递增 B．若，则单调递增 C．可能为等差数列 D．可能为等比数列 【答案】AD 【知识点】判断等差数列、等差数列的单调性、由定义判定等比数列、等比数列的单调性 【分析】根据等差等比数列的性质分析单调性判断A、B；由等差、等比数列的定义及通项公式分析判断C、D. 【详解】等差数列的单调性只与公差有关，与首项无关， 若，则单调递减，若，则单调递增，故A正确. 在等比数列中，若时单调递减，故B不正确. 设，则， 所以， 因为，所以不为常数，故C不正确. 若，则仍为等比数列，所以D正确. 故选：AD 【变式3-2】.（多选）（24-25高二上·云南昭通·期末）数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列的前项和最大 B．若等比数列是单调递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】ACD 【知识点】利用等差数列的性质计算、前n项和与n的比所组成的等差数列、等比数列的单调性、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】解不等式，可判断A选项；利用等比数列的单调性可判断B选项；利用等差数列的求和公式可判断C选项；利用等差数列的求和公式以及等差数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，由，可得， 又因为，故数列前项的和最大，A对； 对于B选项，当，时，则对任意的，， 则，所以，，此时等比数列也是递减数列，B错； 对于C选项，，则，C对； 对于D选项，若为等差数列，则，， 则（为常数），所以，数列也是等差数列，D对， 故选：ACD. 【变式3-3】.（24-25高二下·广东·期中）已知数列满足， (1)探究数列的单调性； 【答案】(1)当时，单调递增；当时，单调递减 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列的单调性、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据等比数列的定义写出通项公式，再应用作差法判断数列的单调性； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求 【详解】（1）因为，且， 所以数列是首项为、公比为的等比数列， 故，即，且， 易得时，，即，数列单调递增， 时，，即，数列单调递减. 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项（） 【例4】（24-25高二下·北京大兴·期中）已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值； (3)若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由. 【答案】(1) (2)25 (3)存在，理由见解析 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列中的最大（小）项 【分析】（1）由等差数列的通项公式可求得，，从而得到结果； （2）利用等差数列前项和公式得到，由二次函数单调性易得的最大值； （3）先求出等比数列的通项公式，然后分奇偶项讨论单调性即得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意知 解得，.所以的通项公式为. （2）的前n项和. 所以当时，取得最大值. （3）由（1）知，，， 因为等比数列满足，，所以，. 所以等比数列的公比为，.所以. 所以，. 故当时，取得最小值.当时，取得最大值. 【变式4-1】.（多选）（24-25高二上·吉林·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，，若，则下列命题正确的是（   ） A．数列是递增数列 B．和是中的最小项 C．是数列中的最小项 D．满足的的最大值为25 【答案】AB 【知识点】求等差数列中的最大（小）项、求等差数列前n项和、等差数列的单调性 【分析】根据等差数列下标和性质可计算出，结合可判断ABC，写出的表达式可判断D. 【详解】对于选项A：因为即，所以，即， 所以，所以，数列是递增数列，所以选项A正确； 对于选项B：因为，，所以当或时，取最小值，所以选项B正确； 对于选项C：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，所以选项C错误； 对于选项D：由不等式，可得，又因为， 所以满足的的最大值为24，所以选项D错误． 故选：AB 【变式4-2】.（多选）（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）等差数列的前项和为，已知，则（    ） A． B．的前项和中最小 C．使时的最大值为9 D．的最大值为0 【答案】BC 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列中的最大（小）项、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列前和基本量的计算求出通项公式和前和公式，代入计算判断A，结合二次函数求解的最小值判断B，解不等式判断C，求出的通项公式，利用数列的单调性求解最值判断D. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，因为，所以， 所以，. 对于A，，错误； 对于B，因为，所以当时，有最小值，正确； 对于C，若，则，又，所以的最大值为9，正确； 对于D，因为，所以数列为关于的单调递增数列，所以没有最大值，错误. 故选：BC. 【变式4-3】.（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期末）各项均为正数的等比数列的前n项积为，若，公比，则下列说法正确的是（    ） A．若，则必有 B．若，则必有 C．若，则必有 D．若，则必有 【答案】ACD 【知识点】等比数列下标和性质及应用、求等比数列中的最大（小）项、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列的单调性 【分析】AC选项，由得到，由等比数列性质得到，A正确，若，矛盾，不合题意，若，满足要求，则，C正确；BD选项，，推出数列单调递减，若，则，若，则，B错误，则必有，所以，D正确. 【详解】A选项，若，则， 的各项均为正数，由等比数列性质得， 则有， 故，A正确； B选项，若，则，而，所以数列单调递减， 若，则，所以，若，则，所以，B错误； C选项，若，由A知，， 若，则，又，显然矛盾，不合题意， 若，则，满足要求，则为中最大项，，C正确； D选项，若，则，而，所以数列单调递减， 则必有，所以，D正确. 故选：ACD 【考点题型五】等差数列角标和性质（） 【例5】（河南省豫西名校2025届高三下学期模拟测试数学试题）在等差数列中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据，可求得，进而利用等差数列的性质即可求解. 【详解】等差数列中，， 设的公差为，. 故选：D. 【变式5-1】.（辽宁省丹东市2025届高三总复习质量测试（二）数学试题）记为等差数列的前项和，若，则（   ） A．70 B．49 C． D． 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列的性质得到，故，所以. 【详解】由等差数列性质可得，解得， 又，故， 所以. 故选：A 【变式5-2】.（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知等差数列的前项和为，，则（   ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】结合等差数列的性质，根据等差数列求和公式即可得到答案. 【详解】. 故选：A 【变式5-3】.（24-25高二下·辽宁·期中）在等差数列中，若，，则公差d= ． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质结合基本量运算求解. 【详解】由等差数列的性质，可得， 则，解得， 又，所以，得. 故答案为：. 【变式5-4】.（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，，则 . 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列求和公式和等差数列的性质可求得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，，， 故. 故答案为：. 【考点题型六】等比数列角标和性质（） 【例6】（24-25高二下·湖北·期中）等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算性质的应用 【分析】由等比数列的基本性质得出，再结合对数的运算性质可求得结果. 【详解】因为等比数列的各项均为正数，且， 由等比数列的性质得， 因此，. 故选：B. 【变式6-1】.（24-25高二下·四川·期中）等比数列{ an }满足a5 = 2，，则（   ） A．22 B．20 C．12 D．10 【答案】A 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】等比数列{ an }满足a5 = 2，所以， 则 ， 所以. 故选：A 【变式6-2】.（24-25高二下·山西大同·阶段练习）在等比数列中，，，则 ． 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质求解即可． 【详解】在等比数列中，，则， 设， 设等比数列的公比为，则， 所以，，同号，又， 所以． 故答案为：. 【变式6-3】.（24-25高二下·广东江门·期中）已知数列满足，则 . 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据题意，得到数列是公比为的等比数列，再由等比数列的性质，求得，结合，即可求得的值，得到答案. 【详解】由数列满足，可得，所以数列是公比为的等比数列， 根据等比数列的性质，可得， 因为，可得，所以. 故答案为：. 【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算（） 【例7】（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列为等差数列，该数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】求出等差数列的公差，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】因为数列为等差数列，且，，则该数列的公差为， 因此，. 故选：A. 【变式7-1】.（24-25高二下·山东日照·期中）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．31 B．45 C．57 D．63 【答案】C 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、由递推关系式求通项公式 【分析】根据构造法可得为等比数列，即可求解. 【详解】由可得，故是以2为公比，首项为2的等比数列， 所以， 故选：C 【变式7-2】.（24-25高二下·四川绵阳·期中）等比数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，可得出的值，由此可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 故， 因此，. 故选：C. 【变式7-3】.（24-25高二下·浙江·期中）已知为等差数列，其前项和为，若，，则等于 . 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】求出等差数列的公差，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】因为为等差数列，其前项和为，，， 则数列的公差为， 因此，. 故答案为：. 【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质）（） 【例8】（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知是等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】应用等差数列片段和的性质有，结合已知即可得. 【详解】由等差数列片段和的性质知：成等差数列， 所以， 则. 故答案为： 【变式8-1】.（24-25高二下·河南南阳·期中）在等差数列中，已知，则（    ） A． B． C．-10 D． 【答案】D 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据等差数列的性质，得到成等差数列，代入已知条件，列式计算，即可求解. 【详解】根据等差数列前项和性质，可得成等差数列， 所以，即，解得． 故选：D. 【变式8-2】.（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差数列的定义即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，所以也为等差数列， 因为，，所以，且， 所以，所以，所以， 所以. 故选：D. 【变式8-3】.（24-25高二下·湖北·期中）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．25 【答案】B 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列前项和的性质，易知，，成等差数列，即可求解. 【详解】因为为等差数列的前项和，所以，，成等差数列，所以，解得. 故选：B. 【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值）（） 【例9】（2026高三·全国·专题练习）两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于 ． 【答案】/4.75 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】根据题意，分别设出的表达式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，可设， 则． 故答案为： 【变式9-1】.（24-25高二下·河南·期中）已知等差数列和的前n项和分别为、，若则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列前n项和性质计算即可求得，代入计算可得结果. 【详解】根据等差数列性质可得； 所以. 故选：B 【变式9-2】.（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）已知为等差数列的前n项和，且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】等差中项的应用、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差数列中及等差中项的性质计算即可得. 【详解】，所以． 故选：B. 【变式9-3】.（24-25高二下·山东德州·期中）已知等差数列的前n项和分别为，且，则 . 【答案】/ 【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差数列的前项和公式以及等差数列的性质可得. 【详解】由题意可得，， 则. 故答案为： 【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质）（） 【例10】（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，则 . 【答案】21 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列片段和的性质可求的值. 【详解】因为为等比数列，其前项和为， 所以为等比数列，故为等比数列， 故，故， 故答案为：21 【变式10-1】.（24-25高二下·北京·期中）各项均为正数的等比数列的前n项和为，若 ，则（    ） A．10 B．8 C．12 D．14 【答案】D 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据给定条件，利用等比数列片段和的性质列式求解. 【详解】正数的等比数列的前n项和为，则成等比数列， 则，于是， 所以. 故选：D 【变式10-2】.（24-25高二下·山西·期中）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】因为为等比数列，所以也为等比数列， 则有， 设，则，所以，故. 故选：D. 【变式10-3】（24-25高二上·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B．81 C．50 D．61 【答案】D 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列前项和性质，即可求解. 【详解】由题可知，，成等比数列， 所以，即，得， 则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ， 所以. 故选：D 【考点题型十一】等差（比）数列前项和性质（奇偶项和性质）（） 【例11】（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 【变式11-1】.（24-25高二下·四川南充·阶段练习）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质求解. 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 【变式11-2】.（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ． 【答案】2 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据已知有，结合等比数列的性质得，再应用等比数列的通项公式求首项. 【详解】由题设，可得， 若的公比为，则， 所以，则. 故答案为：2 【变式11-3】.（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 【考点题型十二】已知与（）的关系，求（） 【例12】（24-25高二下·陕西渭南·阶段练习）已知数列的前n项和为. (1)求的值； (2)求的通项公式； 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、由Sn求通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）由，分别令求解； （2）当时，由求解； 【详解】（1）因为数列的前n项和为， 所以； （2）当时，， 又适合上式，所以； 【变式12-1】.（2024·宁夏银川·三模）设数列的前n项和为，已知， (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】前n项和与通项关系、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用数列的通项与前n项和的关系求解； 【详解】（1）解：当时，； 当时，由， 得， 两式相减得，即， 又，且， 所以是等比数列， 所以； 【变式12-2】.（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； 【答案】(1)证明见解析，； 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式、由Sn求通项公式 【分析】（1）利用化简即可证明数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式求即可求得； （2）先求出，再分类求出的正负性，再利用数列的前项和，分两类即可求出. 【详解】（1）因，则， 即， 又因数列为正项数列，则，则， 又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， 【变式12-3】.（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、前n项和与通项关系、等比数列的定义 【分析】（1）由的关系，求数列的通项公式； 【详解】（1）由题可知，①， ②， ①-②得， 即. 当时，由①知， 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·云南·期中）已知数列中，且且，则（    ） A． B． C． D．9 【答案】C 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】可知数列是以首项，公差的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】因为，可知数列是以首项，公差的等差数列， 则，所以. 故选：C. 2．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知数列是各项均不为的等差数列，前项和为，设甲：为等差数列；乙：为常数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断等差数列 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，取，即可得到为等差数列推不出为常数列，令，得到，即可得为常数列可以推出为等差数列，即可求解. 【详解】因为数列是各项均不为的等差数列， 取，则，则，满足数列为等差数列，此时不为常列， 即为等差数列推不出为常数列， 若为常数列，则（其中为常数），则，， 所以，又为常数，所以为等差数列， 即为常数列可以推出为等差数列，所以甲是乙的必要条件但不是充分条件， 故选：B. 3．（安徽省合肥市示范中学2025届高三下学期5月教学质量检测数学试题）已知数列是等比数列，若，，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】应用等比数列项的性质计算求解. 【详解】因为数列是等比数列，设公比为， 且，，则， 又因为，所以. 故选：C. 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则的第5项为（   ） A．1 B． C．或1 D．或1 【答案】A 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用 【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出方程，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 又，所以，解得， 所以. 故选：A. 5．（北京市延庆区2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷）设是公比为的无穷等比数列，前项和为.若，则“”是“存在最小值”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、无穷等比数列各项的和、求等比数列前n项和、数列的极限 【分析】分析得到前提下，，，和四种情况下的的相关结论，从而求出答案. 【详解】若，，则，此时随着的增大，减小，不存在最小值， 若，，则，当为奇数时，为偶数，， 当为偶数时，为奇数，，且，即， ，， 所以，， 故存在最小值，最小值即为， 若，，则，当为奇数时，为偶数，， 当为偶数时，为奇数，， 故当为奇数时，，当为奇数时，，所以存在最小值，最小值为； 若，，则， 当为奇数且随着的增大，减小，故不存在最小值； 显然“”推不出“存在最小值”，但“存在最小值”可以推出“”， 则“”是“存在最小值”的必要而不充分条件. 故选：B 6．（24-25高二下·四川资阳·期中）朱载堉（1536～1611），是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列的简单应用 【分析】根据题意，将每个音的频率看作等比数列，且数列共13项，且，结合等比数列的通项公式和求和公式，即可求解. 【详解】由题意知，一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等， 设第一个音的频率为，相邻的两个音之间的频率之比为， 则将每个音的频率看作等比数列，共13项，且， 因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍，可得，可得， 所以，， 所以. 故选：B 7．（24-25高二下·四川绵阳·期中）设等差数列的前项和为，若，则（   ） A．40 B．42 C．44 D．46 【答案】B 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】根据，利用等差数列的求和公式求出首项,公差,再代入求和公式求解即可. 【详解】设等差数列的首项为,公差为， 则， 所以， 故选：B. 8．（24-25高二下·四川资阳·期中）我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前8项和为（    ） A．120 B．220 C．240 D．256 【答案】A 【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和、数列的概念及辨析 【分析】根据题意可知数列的前4项，再由可求出，，由数列为等差数列，可求出的通项公式，代入中再利用累加法可求出的通项公式，从而可求出结果． 【详解】由题意可知数列的前4项为1，3，6，10，即，，，， 因为，所以，， 所以等差数列的公差为， 所以， 所以， 所以，，，， 所以上面个式子相加得 ， 所以， 所以， 故选：A 二、多选题 9．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知是等差数列，是其前项和，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若为递增数列，则为递增数列 【答案】AC 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式，性质及求和公式可得答案. 【详解】对于A，因为，所以，即，A正确； 对于B，因为，所以， 设公差为，又，所以只有时，才有，B错误； 对于C，因为，，两式相减可得， 所以，C正确； 对于D，，因为为递增数列，所以， 所以当时，为递增数列，当时，为递减数列，D错误. 故选：AC 10．（24-25高二下·云南·期中）已知正项等比数列的公比为，若，且，则（    ） A． B． C．是数列中的项 D．，，成等差数列 【答案】ABD 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项、等差中项的应用 【分析】由，求得公比，进而确定通项公式，再逐项判断即可. 【详解】对于选项A：由，可得， 且，所以，故A正确； 对于选项B：所以，故B正确； 对于选项C：可得， 令，即， 显然该方程无整数解，所以不是数列中的项，故C错误； 对于选项D：因为，，， 且，即 所以，，成等差数列，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 11．（24-25高三下·重庆·阶段练习）在等比数列中，，则 . 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和 【分析】先倒序相加，再利用等比数列的性质分组通分运算可求解. 【详解】设， 则. ，所以. 故答案为：-26. 12．（河北省N20名校联合体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）记为数列的前项和，且，当取最大值时， . 【答案】9 【知识点】二次函数法求等差数列前n项和的最值、利用an与sn关系求通项或项、判断等差数列、利用等差数列的性质计算 【分析】方法一：根据求出数列通项，利用等差数列的定义证其为等差数列，再由等差数列的前项和的公式，利用二次函数的最值即得；方法二：同法证明数列为等差数列，由条件判断公差为负，结合推出，得到即可判断. 【详解】方法一：（利用二次函数的最值） 由，当时，； 当时，， 显然时满足上式，故， ， 可知数列为等差数列，其首项为17，公差为. 又由可得，解得， 故，即当时，取得最大值. 方法二：（利用等差数列的性质） 仿照方法一，由证明数列为等差数列， 由首项为17和可得数列公差为负数，且，即， 因，故数列的前9项和最大，即当时，取得最大值. 故答案为：9. 四、解答题 13．（24-25高二下·上海·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 【答案】(1) (2)最小值； 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组，再利用等差数列的通项公式即可； （2）根据的正负性可判断的最小值 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由题意可得，解得， 则， 故数列的通项公式为. （2）当时，；当时，， 则当时，取最小值，最小值为. 14．（24-25高二下·四川凉山·期中）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的n的最小值． 【答案】(1) (2)5 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，根据已知列出方程组求解，再根据等差数列通项公式即可求解； （2）由等差数列的求和公式求得，由得，求解即可． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d， 由得：，∴， 由得：， 解得（舍）或， ∴， 数列的通项公式为：． （2）由等差数列的前n通项公式可得：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又n为正整数，故n的最小值为5． 15．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】累加法求数列通项、分组（并项）法求和 【分析】（1）由题结合累加法可得通项公式； （2）由（1）结合分组求和法可得答案. 【详解】（1）由题意，当时，， 相加得 所以 时，符合上式，所以 （2） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$