第1章 4 角平分线-【勤径学升】2024-2025学年八年级下册数学同步练测（北师大版）

八年级数学·北师版（下册） 3.解：，l1是AB边的垂直平分线， 2.B .DA=DB,OA=OB. 3.D[解析]作DF⊥AC于F,如答图.：AD是△ABC :l2是AC边的垂直平分线， 中∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,,DF=DE .EA EC,OA =OC,..OB =OC=0A, .BC BD +DE EC=DA DE+EA=6 cm. =4:Sm+5m=5a7x4x7+7x4X 0B+0C+BC=16 cm, AC=24,∴.AC=5.故选D. .0B+0C=10cm, .0A =OB=OC=5 cm. 4.解：连接AB,作AB的垂直平分线，以点C为圆心， 以AB长的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于 3题答图 点M,如答图所示，点M即为所求. 4.6cm[解析]如答图，过点P作PN⊥BC,PQ⊥AB, 垂足分别为点N,Q.:BP,CP分别是∠HBC与 ∠BCM的平分线，∴.PQ=PN,PN=PM,∴.PQ= PM.PM=6cm,PQ=6cm,即点P到AB的距 离为6cm.故答案为6cm. 4题答图 5.解：(1)如答图，连接AB,BC,CA,分别作边AB和BC 的垂直平分线，两直线交于点P,则点P即为所求 (2)如答图，连接AP,BP,CP 由(1)可知，AP=BP=CP. 4题答图 .∠BAP=∠ABP,∠CAP=∠ACP 5.解：，BD为∠ABC的平分线， .∠ABP+∠ACP=∠BAP+∠CAP=∠BAC. ∴.∠ABD=∠CBD. 又∠BAC=68°，∴.∠ABP+∠ACP=68°， 在△ABD和△CBD中， ∴.∠PBC+∠PCB=18O°-∠BAC-(∠ABP+ tAB=CB, ∠ACP)=180°-68°-68°=44. ∠ABD=∠CBD, ∴.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°-44 BD BD. =136. △ABD≌△CBD(SAS), .∠ADB=∠CDB,即DB平分∠ADC 点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, .PM=PN. 6.A7.B 8.证明：：在Rt△PFD和Rt△PGE中， 5题答图 [PF=PG, 题型变式 DF =EG, 1.12cm20° .Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),∴.PD=PE. 又P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB, 4角平分线 ∴OC是∠AOB的平分线. 课时1角平分线的性质与判定 【能力提升练】 【基础巩圈练】 1.A[解析]，∠B=90°，∴DB⊥AB.又：AD平分 1.B[解析]在△OPC和△OPD中， ∠BAC,DE⊥AC,∴.DE=BD=3.故选A. r∠POC=∠POD, 2.150°[解析]：BD⊥AE,DC⊥AF,且DB=DC,∴.AD ∠PC0=∠PD0=90°，.△OPC≌△OPD(AAS), 是∠BAC的平分线.：∠BAC=4O°，.∠CAD= LOP=OP, .∴PC=PD,OC=OD,∠CPO=∠DPO,∴.选项A、C 3∠BMC=20°∠DcF=∠CD+LADG=20° D正确.故选B. 130°=150°.故答案为150. ·12· 参考答案及解析 3.(1)解：作PQ⊥BE于Q,如答图. :D0是AB的垂直平分线，∴.OA=OB, BP平分∠ABC,∴.PQ=PH=8cm, ∴.∠AB0=∠BA0=27°， 即点P到直线BC的距离为8cm. .∠0BC=∠ABC-∠AB0=63°-27°=36 (2)证明：CP平分∠ACE,PQ⊥BE,PD⊥AC, :AB=AC,AO为∠BAC的平分线， :PD PO. .AO也是底边BC上的垂直平分线 而PH=PQ,∴.PD=PH. 又，D0是AB的垂直平分线， PD⊥AC,PH⊥BA, ∴，点O是△ABC三边垂直平分线的交点， ∴.点P在∠HAC的平分线上. 0B=0C,,∠0CB=∠0BC=36°. H联 将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合， .OE=CE,∴.∠C0E=∠0CB=36 在△0CE中，∠OEC=180°-∠C0E-∠0CB= 180°-36°-36°=108. 3题答图 题型变式 1.解：：AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于 点E,DF⊥AC于点F, 4题答图 ∴，DE=DF=2cm 课时2三角形内角平分线的性质 Sc=24B:0E+24C~R, 【基础巩置练】 1.C[解析]根据角平分线的性质，集贸市场应建在 ×4x2+24Cx2=7, ∠A,∠B两内角平分线的交点处，故选C 2.C[解析]如答图，过点O分别作OE⊥AB于点E, .AC=3 cm. OF⊥BC于点F,OG⊥AC于点G.,0是△ABC的 2.证明：DE⊥AB,DF⊥AC, 两外角平分线的交点，.OE=OF,OF=OG,.OE= ∴.△BDE和△CDF是直角三角形. OF=OG,.②③④一定成立，只有F是BC的中点 在R△BDE和R△CDF中，BE=CF, 「BD=CD, 时，B0=C0,.①不一定成立.故选C .Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),.DE=DF 又DE⊥AB,DF⊥AC, .AD是△ABC的角平分线. 3.证明：在△ABD和△ACD中， AD=AD, BD=CD,∴.△ABD≌△ACD(SSS), 2题答图 LAB=AC, 3.15[解析]如答图，过点0分别作0E⊥AB于点 ∴.∠BAD=∠CAD, E,OF⊥AC于，点F,连接OA.:B0平分∠ABC,CO .AD是∠BAC的平分线. 平分∠ACB,OD⊥BC,∴OD=OE=OF,.OD=OE 又，DE⊥AB,DF⊥AC,∴.DE=DF =0F=号em,Sae=Sam+Samc+Sec 4.解：如答图，连接0B,0C, ∠BAC=54°，A0平分∠BAC, AR OE+RG OD+AG OF(B+BC 5LBM0=3∠BMC=27 +4G)=子×20=15(cm2)。 又AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB, LABc=2(180-∠B4c) 0 1 =2×(180°-54) 3题客图 =63° ·13· 八年级数学·北师版（下册） 4.证明：过P作PD⊥BA交BA延长线于D,PE⊥AC3.(1)证明：BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC, 交AC于E,PF⊥BC交BC延长线于F .DE=DF,∴.点D在EF的垂直平分线上 ,AP是△ABC的外角平分线，PD⊥BA,PE⊥AC [DE=DF, PD=PE. 在RI△BDE和R△BDF中， BD BD, CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC,PF⊥BC, ∴，RL△BDE≌Rt△BDF(HL),∴.BE=BF, .PE=PF,∴PD=PF ∴点B在EF的垂直平分线上， 又：PD⊥BA,PF⊥BC, ∴.BD所在直线是EF的垂直平分线。 .BP为∠MBN的平分线. (2)解：成立，证明如下： 5.解：(1)相等.理由如下： 同(1)可证GE=GF,BE=BF, ,D是线段BC垂直平分线上的一点， ∴点G,B在EF的垂直平分线上， ∴点D到B,C两点的距离相等 ∴BG所在直线是EF的垂直平分线， (2)相等理由如下： 点D在LBAC的平分线上， 即BD所在直线是EF的垂直平分线. ·点D到∠BAC两边的距离相等 (3)解：成立. (3)BG=CH.证明： 真题检测训练 如答图，连接BD,CD, 1.B[解析]在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°， :D是线段BC垂直平分线上的点，∴BD=CD. .∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=70°，：BD平分 :D是∠BAC平分线上的点，DG⊥AB,DH⊥AC. LABc∠DBC=7LABc=35∠DBC=∠ACB, .DG=DH, ∴.Rt△BDG≌Rt△CDH.∴.BG=CH. BD=CD,,AD+BD=AD+CD=AC=8.故选B. 2.B[解析]DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠ACD =∠A=50°，又，CD平分∠ACB,.∠ACB=2∠ACD =100°，.∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-50°- 100°=30°，故选B. 3.D[解析]图中共有等腰三角形3个.：∠ADB= ∠C+∠DBC,∠ADB=2∠C,.∠DBC=∠C, 5题答图 ·△BCD是等腰三角形，：∠ABD=2∠DBC, 题型变式 ∠ABD=∠ADB,△ABD是等腰三角形， 1.4:5:6 :∠DBC=∠A,∠A=∠C,∴△ABC是等腰三角 专顶4线段垂直平分线与角平分线的应用 形，故选D. 1,C[解析]：DE是线段AB的垂直平分线，FG是线 4.C[解析]如答图，连接CD,则CD=CB,作CHL 段BC的垂直平分线，EB=EA,GB=GC.△BEG 的周长为17，∴.EB+GB+EG=17,∴.EA+GC+EG MB于，DH=BM∠A=30,CH=2AC= =17,∴.GA+EG+EG+EG+EC=17,∴.AC+2EG= 17,又，EG=1,,AC=15. M=5CH=多6在△GBH中，由勾股定 3 2.解：BD=AC.理由如下： 如答图，连接AD,∠CAE=25°，∠ACB=65°， 理得m=vBC-0T√-头- 4 =2,…AB=4 ,∠AED=∠CAE+∠ACB=90°，即AE⊥CD, 又：点E为CD的中点， +Bm=6+=2，A0=A-Dm=2万- ,AE垂直平分CD,∴.AD=AC =√5，故选C. :DM垂直平分AB, ,AD=BD,∴.BD=AC D HB 4题容图 5.D[解析]由题意可得CA=CD,BA=BD,∴.直线 2题答图 CB是AD的垂直平分线，即CE垂直平分AD,故A ·14第一章三角形的证明 4角平分线 课时1 角平分线的性质与判定 [答案PI2] ·基础巩固练 知点角平分线的性质定理 知识点②角平分线的判定定理 1如图，OP 为 ∠AOB 的平分线， ，PC⊥OA，PD⊥OB， 6如图， ，AD⊥OB，BC⊥OA， ，垂足分别为 D，C，AD， 垂足分别为点 C，D， ，则下列结论错误的是() 相交于点 ，若 PA=PB， 则 ∠1 与 ∠2 的大小 A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP 关系是 () C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD A.∠1=∠2 B.∠1>∠2 A A C.∠1<∠2 D.无法确定 A D. C P D C P M D B B C 1题图 2题图 D B A B 2(青海中考)如图，在四边形 ABCD 中， ∠A= 6题图 7 题图 $$9 0 ^ { \circ } ， A D = 3 ， B C = 5 ，$$ ，对角线BD平分 ∠ABC， ，则 7(大庆中考)如图， $$\angle B = \angle C = 9 0 ^ { \circ } ， M$$ 是BC的 △BCD 的面积为 () 中点，DM平分 ∠ADC， ，且 $$\angle A D C = 1 1 0 ^ { \circ } ，$$ 则 A.8 B.7.5 ∠MAB= () C.15 D.无法确定 $$A . 3 0 ^ { \circ }$$ $$B . 3 5 ^ { \circ }$$ $$C . 4 5 ^ { \circ }$$ $$D . 6 0 ^ { \circ }$$ 3(江苏扬州仪证期中)如图，AD是 △ABC 中 8如图，P是 OC 上一点， ，PD⊥OA 1于点 D.PE⊥OB ∠BAC 的平分线， DE⊥AB 于点 $$E ， S _ { \triangle A B C } = 2 4 ，$$ 于点 E，F，G 分别是 OA，OB 上一点，且 PF=PG， DE=4，AB=7， 则AC的长是 () DF=EG. 求证： ：OC 是 ∠AOB 的平分线. A.3 B.4 C.6 D.5 A A D C A E P E B C H M 0 E B D 8题图 3 题图 4题图 4如图， △ABC 的外角 ∠HBC 与 ∠BCM 的平分线 交于 P，PM⊥AC 于 M， 若 PM=6cm， ，则点P到 AB的距离为 5已知，如图，BD是 ∠ABC 的平分线， AB=BC， 点P在BD上， ，PM⊥AD，PN⊥CD， ，垂足分别为 点M，N.试说明： ：PM=PN. A M D P N B C 5题图 见此图标眠抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成 17 八年级数学·北师版（下册） 《能力提升练 [答案P12] ①（湖南怀化中考）如图，在R1△ABC中，∠B=2(题型2变式)如图，在△ABC中，D是BC的中 90°，AD平分∠BAC,交BC于点D,DE⊥AC,垂 点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE= 足为点E,若BD=3,则DE的长为 CF.求证：AD是△ABC的角平分线. A.3 B.3 C.2 D.6 2 D D 2题图 D 1题图 2题图 2(江西新家一中期中)如图，已知BD⊥AE于点 B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°， ∠ADG=130°，则∠DGF= 3(天津南开田家炳中学期中)如图，在△ABC中， ∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点 3(题型3变式)如图，AB=AC,BD=CD,DE⊥ P,PD⊥AC于点D,PH⊥BA于点H. AB,点E为垂足，DF⊥AC,点F为垂足 (1)若PH=8cm,求点P到直线BC的距离： 求证：DE=DF (2)求证：点P在∠HAC的平分线上 H 3题图 3题图 4(题型4变式)如图，已知在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分 ①题型变式 并本川1答案P州3 线相交于点O.将∠C沿EF(点E在BC上，点F 在AC上)折叠，使点C与点O恰好重合，求 T(题型1变式)如图，AD是△ABC中∠BAC的平 ∠OEC的度数. 分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,DE= 2cm,AB=4cm,SAm=7cm2,求AC的长. 4题图 D 1题图 18g 见北困标弱科青/微信扫码额取配套资源稳步提升成绩 第一章三角形的证明 课时2三角形内角平分线的性质 ,《基础巩固练 [警案P43] ①如图，三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三↑ 5(辽宁装山期来)如图，点D是△ABC中∠BAC 角形区域，现要在这个三角形区域内修建一个 的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG 集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相 ⊥AB于点G,DH⊥AC交AC的延长线于点H. 等，则这个集贸市场应建在 (1)点D到B,C两点的距离相等吗？为什么？ A.在AC,BC两边高线的交点处 (2)点D到∠BAC两边的距离相等吗？为什么？ B.在AC,BC两边中线的交点处 (3)猜想BG和CH之间的大小关系，并证明你 C.在∠A,∠B两内角平分线的交点处 的结论. D.在AC,BC两边垂直平分线的交点处 5题图 1题图 2题图 2如图，0是△ABC的两外角平分线的交点，有下 列结论：①OB=OC:②点O到AB,AC的距离相 等：③点O到△ABC的三边（或所在直线）的距 离相等：④点O在∠A的平分线上其中，一定成 立的结论的个数是 ( A.1 B.2 C.3 D.4 3(重庆校级期来)如图，△ABC的周长为20cm, 若∠ABC,∠ACB的平分线 交于点0，且点0到AC边 的距离为}m,则△ABC 的面积为 cm2. 3题图 4(广东港江期中)如图，AP,CP分别是△ABC外 角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P.求 证：BP为∠MBN的平分线. ○题型变式 讲本PI3答案P川4 4题图 (题型5变式)如图，已知△ABC的三边AB,BC, CA的长分别为8,10,12，其三条角平分线交于 点0，则SamS么m:S△cw= 1题图 '见此图标阻科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 19