第1章 2 直角三角形-【勤径学升】2024-2025学年八年级下册数学同步练测（北师大版）

第一章三角形的证明 2直角三角形 课时1直角三角形的性质与判定 《基础巩固练。 [答案8] 知银点①直角三角形的性质 5如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2, 们（湖北孝感孝南区调研）如图，从旗杆AB的顶端 求AB和BC的长 A处向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面P 处，若旗杆的高度为9.8米，则绳子AP的长度 不可能是 ( A.9米B.10米 C.11米 D.20米 5题图 E409 D 知暝息④勾股定理的逆定理 1题图 2题图 6如图，在△ABC中，CD是△ABC的高，AC=20, 2(湖南岳阳中考)如图，已知1∥AB,CD⊥l于点 BC=15,BD=9.判定△ABC是不是直角三角 D,若∠C=40°，则∠1的度数是 ( 形，并说明理由. A.30°B.40° C.50° D.60° 知圆息②直角三角形的判定 3如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，且CD =24B,求证：LACB=90 6题图 ☑（西安期来）如图，已知四边形ABCD中，∠B= 3题图 90°，AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形 ABCD的面积. 如腰点③勾股定理 4如图，在△ABC中，CD是△ABC的高，AC=20, 7题图 BC=15,BD=9.求AD和CD的长 D 4题图 知？点⑤互逆命题与互逆定理 8(江苏苏州校级模拟)下列命题：①同旁内角互 补，两直线平行：②若1a=1b1,则a=b:③直角 都相等；④相等的角是对顶角.其中逆命题是真 命题的有 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 见此图标眼抖音/最信扫码领取配套资源隐步提升成绩 八年级数学·北师版（下册） 《能力提升练> [答案9] 如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD,DE分 ○题型变式 讲本6答案9 别是△ABC和△ACD的高，∠B=2∠CDE,则 ∠A的度数是 ( ①（题型1变式）如图，在△ABC A.20° B.25° C.30 D.35 中，CE,BF分别是AB,AC边 上的高，若∠A=70°，∠BCE =30°，则∠EBF的度数是 ,∠FBC的度数是 1题图 2(题型2变式)如图，在△ABC中，AD是BC边上 1题图 2题图 2一架长5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时 的高，E是AB边上一点，CE交AD于点M,且 梯足距墙脚3m.若梯子的顶端下滑1m,则梯 ∠DCM=∠MAE.求证：△AEM是直角三角形. 足将滑动 A.1m B.2 m C.3 m D.3.5m 3满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的 是 ( 2题图 A.三内角之比为1：2：3 B.三边长分别为5,12,14 C.三边长之比为3：4：5 D.三边长分别为1,2,3 ④下列说法正确的是 A.每个命题都有逆命题 B.每个定理都有逆定理 3(题型3·典倒3变式)如图，三个 C.真命题的逆命题是真命题 正方形中的两个的面积S,=25, D.假命题的逆命题是假命题 S2=144,则第三个的面积S是 下列定理中，没有逆定理的是 3题图 A.等腰三角形的两个底角相等 4(题型3·典例4变式)现有一长方形纸片ABCD, B.对顶角相等 在剪纸过程中需要折叠.如图，将△ADE沿AE C.三边对应相等的两个三角形全等 折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处.已知 D.直角三角形两个锐角的和等于90° AB=8,BC=10,求EC的长. 6如图，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角 形，∠ACB=∠ECD=90°，D是AB边上的一点， 求证： (1)△ACE≌△BCD: (2)2CD2=AD2+DB2 4题图 6题图 12g 见此图标明科音微信扫码领取配套资源隐步提升成绩 第一章三角形的证明 课时2直角三角形全等的判定 <《基础巩固练一 [答案9] 知踢息○“斜边、直角边”定理 ⑤如图，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P ①（山东潍坊期*）如图，BE=CF,AE⊥BC于E, 在AB上，AD⊥CP,BE⊥CP,垂足分别为D,E, DF⊥BC于F,要根据“HL”证明RL△ABE≌ 已知DC=2,求BE的长. Rt△DCF,则还要添加一个条件是 A.AB=DC B.∠A=∠D C.∠B=∠C D.AE =DF D 5题图 1题图 2题图 2如图，在△ABC中，∠C-90°，D是AC上一点，DE ⊥AB于点E,BE=BC,连接BD,若AC=8cm,则 AD+DE等于 3(江苏南家期中)如图，在△ABC中，∠C=90° 点D在AB上，满足BC =BD,过点D作DE⊥ AB交AC于点E,若 △ABC的周长为36， ⑦题型变式 讲本7答案PI0 △ADE的周长为12，则 3题图 BC= ①（题型4变式）如图，已知AE⊥BC,DF⊥BC,点 4④如图，已知AD,AF分别是钝角△ABC和钝角 E,F是垂足，AE=DF,AB=DC,求证：AC=DB. △ABE的高，如果AD=AF,AC=AE, 求证：BC=BE. 1题图 4题图 见此图标跟科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩八年级数学·北师版（下册） 2.解：BM=AM+CM.理由如下： 又，∠BCE+∠ECD=180°， 如答图，在DA上取点F,使DF=ME,连接CF ∴.∠BCE+∠BAC=180. △ABC与△EIDC都是等边三角形， .AC=BC=AB,CE=CD.∠BCA=∠ECD=60. ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE, 即∠BCE=∠ACD.∴，△BCE≌△ACD. B C D ∴.AD=BE,∠BEC=∠ADC. 3题答图 在△MEC和△FDC中， 2直角三角形 ME FD, 课时1直角三角形的性质与判定 ∠MEC=∠FDC, 【基础巩围练】 LEC =DC. 1.A[解析]：AB=9.8米，AP>AB,.绳子AP的长 ∴.△MEC≌△FDC(SAS). 度不可能是9米.故选A ∴MC=FC,∠MCE=∠FCD 2.C .∠MCF=∠MCE+∠ECF=∠FCD+∠ECF= ∠ECD=60 3.证明：CD是△ABC的中线，且CD=2B, ∴，△MCF是等边三角形.∴MC=MF .AD =CD,BC CD, .BM BE ME =AD -DF =AM+MF =AM+CM. ∴.∠A=∠ACD,∠B=∠BCD, :∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴，∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=I80°， ∴.2（∠ACD+∠BCD)=180°， 2题答图 ∴.∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90° 3.(1)①证明：，∠BAC=∠DAE, 4.解：CD⊥AB, ,∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ∴.∠ADC=∠BDC=90. ∴∠BAD=∠CAE. 在Rt△BDC中，BC=15,BD=9, 又.AB=AC,AD=AE .CD=√BC-BD=115-9=12. ∴.△ABD≌△ACE.·∠ABD=∠ACE. 在Rt△ADC中，AC=20,CD=12, ∴.∠BCE+∠BAC=∠BCA+∠ACE+∠BAC= ∠BCA+∠ABD+∠BAC=180°. .AD=/AC2-CD=V20-12=16. 2解：：△ABC是等边三角形，且AB=AC=2, 5.解：如答图，作△ABC边AB上的高CD. .BC=2. 在R△ADC中， △ABD≌△ACE.∴，BD=CE, :∠ADC=90°，∠A=30°，AC=2, ,四边形ADCE的周长=AD+DC+CE+AE=AD DC+BD+AE=BC+2AD. cD=74c=3×2=1 ∴，当AD最短，即AD⊥BC时，四边形ADCE的周长 AD=√AC-CD=5 最小 在Rt△BDC中， ·△ABC是等边三角形，AD⊥BC, ∠BDC=90°，∠B=45°， m=CB=7x2=1 .∠BCD=45°，∴，∠B=∠BCD (2)解：∠BCE+∠BAC=180° .BD CD =1,BC /CD +BD =2. 理由：如答图，设CE与AD交与点F .AB =AD+BD=3+1. ∠BAC=∠DAE,∴.∠BAD=∠CAE 又，AB=AC,AD=AE,∴.△ABD≌△ACE ∴∠ADB=∠AEC. '∠AFE=∠CFD,∴.∠EAF=∠ECD. D ∠BAC=∠FAE,∴.∠BAC=∠ECD. 5题答图 ·8 参考答案及解析 6.解：△ABC为直角三角形.理由如下： 3.B4.A5.B BC=15,BD=19,△BCD为直角三角形，∴，CD=12. 6.证明：(1)∠ACB=∠ECD=90°， AC=20,△ACD为直角三角形，÷AD=16, ∴.∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD, BD=9,∴AB=AD+BD=16+9=25. 即∠ACE=∠BCD. AC2+BC2=202+152=625,AB=252=625 在△ACE和△BCD中. .AC+BC2=AB,∴△ABC是直角三角形. AC BC, 7.解：如答图，连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得 ∠ACE=∠BCD, AC=VAB+BC2=√T+22=5. LEC DC. 在△ACD中，AC+CD=5+2=9,AD=32=9, .∴，△ACE≌△BCD, .AC +CD2 =AD2, (2):△ACE≌△BCD,∴.∠CAE=∠B=45 ∴，△ACD为直角三角形，且∠ACD=90° ∴.∠DAE=∠CAE+∠CAB=∠B+∠CAB=9O°， 六Sar=2X1X2=l,Sa4m=2×5×2=5, 可得AD+BD=AD2+AE=DE2=2CD 题型变式 六Sw陆卷D=Sae+SAD=1+,5. D 1.20°40°[解析]在Rt△ABF和R1△ACE中， ∠A=70°，CE,BF分别是AB,AC边上的高， ∴.∠EBF=20°，∠ACE=20°.又∠BCE=30°， .∠ACB=50°.∴.在Rt△BCF中，∠FBC=40. 7题答图 2.解：，AD是BC边上的高， 8.B[解析]①同旁内角互补，两直线平行的逆命题 .∠ADC=90°，∴∠DMC+∠DCM=90 是两直线平行，同旁内角互补，是真命题：②若1a ∠DCM=∠MAE,∠DMC=∠AME, =1b,则a=b的逆命题是若a=b,则1al=1b1,是 ∴.∠AME+∠MAE=90°， 真命题：③直角都相等的逆命题是相等的角是直 ,∴·△AEM是直角三角形. 角，是假命题：④相等的角是对顶角的逆命题是对 3.169 顶角是相等的角，是真命题，所以逆命题是真命题4.解：由题意可设EC的长为x,则DE=8-x 的有3个.故选B. :△ADE折叠后的图形是△AFE, 【能力投升练】 ∴.AD=AF,DE=EF 1.C[解析]∠ACB=90°，DE⊥AC,,DE∥BC .AD =BC =10,..AF =10. .∠BCD=∠CDE=∠A::CD⊥AB,.∠B+ 又，AB=8,在Rt△ABF中，由勾股定理，得 ∠BCD=90°，∴2∠CDE+∠CDE=90°，.∠A= BF2=AF2-AB2=102-82=36,BF=6. ∠CDE=30°，故选C. ∴.FC=BC-BF=10-6=4. 2.A【解析]根据题意，建主如答图所示的模型，BB 在Rt△EFC中，由勾股定理，得FC+EC=EF. 的长即为所求.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 即42+x2=(8-x)2. 5 m,BC =3 m,..AC AB BC2 52 -3 解得x=3. 4(m).在Rt△A,B,C中，∠A,CB,=90°，A,C=AC .EC的长为3. AM,=4-1=3(m),A,B,=5m,B,C= 课时2直角三角形全等的判定 √A,B,-A,C=√5-3=4(m)..BB,=B,C 【基础巩固练】 BC=4-3=1(m).故答聚为A 1.A[解析]条件是AB=CD.理由：AE⊥BC, DF⊥BC,∴∠CFD=∠AEB=90°.在R△ABE和 RL△DCF中， ,gCE':m△ABE≌△DcF(HL). 故选A B 2.8cm[解析]：∠C=90°，DE⊥AB,∴.∠C=∠BED 2题答图 「BD=BD =90°.在RL△BCD和Rt△BED中， BC BE, ·9 八年级数学·北师版（下册） ∴.RI△BCD≌Rt△BED(HL),∴.CD=ED, 3.B[解析]：DE是AC的垂直平分线，AE=4cm, 即AD+DE=AD+DC=AC=8cm,故答案为8cm. ∴，AC=2AE=8cm,AD=DC.:△ABD的周长为 3.12[解析]连接BE.∠C=90°，DE⊥AB,在 16 cm,.'.AB +BD +AD =AB BD CD =AB BC= R△BCE和△BDE中，{BC=BD, 「BE=BE, 16(cm),.△ABC的周长为AB+BC+AC=16+8 .Rt△BCE≌ =24(cm)故选B. Rt△BDE(HL),∴.CE=DE.设BC=BD=x 4.10[解析]在△ABC中，边AB,AC的垂直平分线 △ABC的周长为36，△ADE的周长为12，BC+ 分别交BC于点E,F,∴.AE=BE,AF=CF.BC=BE BD+CE+AD+AE BC+BD+DE+AD+AE=x+ +EF+CF=AE+EF+AF=IO,,△AEF的周长 x+12=36,解得x=12,即BC=12.故答案为12. 是10. 4.证明：：AD,AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的 5.(0,0)[解析]平面直角坐标系如答图所示，AB与 高，且AC=AE,AD=AF, AC的垂直平分线的交点为，点O,∴到△ABC三个顶 .Rt△ADC≌RI△AFE,∴.CD=EF 点距离相等的点的坐标为(0,0).故答案为(0,0). ,AB=AB,AD=AF,,Rt△ABD≌Rt△ABF, ∴BD=BF,∴.BD-CD=BF-EF,即BC=BE. 5.解：：∠ABC=∠BAC=45°，∴.∠ACB=90°，AC=BC ∠DAC+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACD=90°. ∴.∠DAC=∠ECB. ,∠DAC=∠ECB, 5题答图 在△ACD和△CBE中， ∠ADC=∠CEB, 6.证明：∠1=∠2， LAC CB, ∴EB=EC ∴.△ACD≌△CBE(AAS),∴.BE=CD=2. ∴.点E在线段BC的垂直平分线上 又.∠3=∠4. 题型变式 ∠I+∠3=∠2+∠4，即∠ABC=∠ACB. 1.证明：，AE⊥BC,DF⊥BC, ..AB=AC, ∴.∠AEB=∠DFC=90, .点A在线段BC的垂直平分线上， [AB=DC. 在Rt△ABE和R△DCF中， .AD垂直平分BC. AE =DF. 7.A[解析]如答图，A选项，：直线I为线段FG的 ÷.R△ABE≌Rt△DCF(HL). 垂直平分线，.FO=GO,ILFG.:EF=GH,∴.EF+ .∠ABE=∠DCF. F0=OG+GH,即E0=OH,∴.I为线段EH的垂直平 AB=DC. 分线，故此选项正确；B远项，：E0≠OQ,1不是 在△ABC和△DCB中. ∠ABC=∠DCB, 线段EQ的垂直平分线，故此选项错误；C选项， BC CB. ,FO≠O川，，I不是线段FH的垂直平分线，故此 ∴△ABC≌△DCB(SAS),∴，AC=DB. 选项错误：D选项，：1为直线，EH不能平分直线， 3线段的垂直平分线 故此选项错误.故选A 课时1 线段垂直平分线的性质与判定 【基础巩固练】 1.D E FO G OH 2.C[解析]对角线AC垂直平分BD,∴.AB=AD, BC=DC,BE=DE,故A一定成立：在R1△BEC和 7题容图 RI△DEC中，BE=DE,BC=DC,∴，RI△BEC≌8.D[解析]A作图能得到BA=BP,无法得出AP= RI△DEC,,∠BCE=∠DCE,即CA平分∠BCD,故 BP,故不能得出PA+PC=BC,故此选项错误：B.作 B,D一定成立.根据已知条件无法得出AB=BD,故 图能得到PA=PC,无法得出AP=BP,故不能得出 C符合题意. PA+PC=BC,故此选项错误：C.作图能得到CA= ·10·