精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区黄羊片区中考二模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级数学二模试卷 一、选择题（30分） 1. 据中国国家铁路集团统计，2025年1月1日元旦期间，全国铁路发送旅客1150万人次，数据“1150万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 3. 已知二次函数（为常数，且）的图象只经过两个象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把以点B为中心顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D、E，且点D恰好在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形，点E在边上，点P在对角线上，且满足，，连接，过P做交于F，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上．若，，当取得最小值时，的长为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图是一个已知表面积大小的长方体（长、宽、高均不相等，且长度未知），由8个大小相同的这种长方体搭成的几何体中，能求得其表面积的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（24分） 11. 已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为_____． 12. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为________． 13. 如图，在中，，，将绕着点C顺时针旋转得到，连接，则的度数为______． 14. 如图，⊙的内接正六边形的边长为6，点P是弧的中点，则弧的长为______． 15. 如图，菱形的顶点是坐标原点，点在反比例函数的图象上，点在轴上．若菱形的面积是6，则的值为___________． 16. 如图，在中，，D，E分别是，上的点，将沿着折叠，使点A落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ________ ． 17. 如图，是的直径，与弦交于点E，，，，则图中阴影部分的面积为______． 18. 一个棱柱的三视图如图所示，若，．则的长为_____． 三、解答题（66分） 19. 如图，在中，已知点，，． （1）将向右平移4个单位长度，画出平移后的； （2）画出关于轴对称的； （3）将绕原点旋转，画出旋转后的． 20. （1）计算：； （2）解不等式组：． 21. 某电子商铺购进一批电子配件，其进价为每件40元，按每件60元出售，平均每天可售出100件，经过市场调查发现，单价每降低2元，平均每天的销售量可增加20件，现在该商铺要尽快减少库存，采取降价措施，并且平均每天获利2240元，那么每件应定价多少元？ 22. 一只不透明的袋子中装有2块白色橡皮、1块黑色橡皮，这些橡皮除颜色外都相同，搅匀后，甲、乙两名同学分别从中任意摸出1块橡皮，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学恰好摸到不同颜色橡皮的概率． 23. 如图所示，是圆的直径，弦，垂足为，，． （1）求证：； （2）求图中阴影部分的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第一、三象限内的，两点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）直接写出当时，x的取值范围． 25. 如图，是的直径，点A，点D在上，且位于的两侧，点C在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 26. 如图，我国南部某海域有A，B两个小岛，相距海里，小岛B在小岛A的东北方向，点C处有一艘海警船，该海警船在小岛A的北偏西方向，在小岛B的北偏西方向，求海警船C与小岛B之间的距离？（结果保留整数，参考数据：，，，） 27. 如图1，抛物线交轴于点、两点，顶点，点为第一象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）如图2，直线交抛物线于、，直线交抛物线于、，点为的中点，点为的中点，当时，求直线一定经过的定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级数学二模试卷 一、选择题（30分） 1. 据中国国家铁路集团统计，2025年1月1日元旦期间，全国铁路发送旅客1150万人次，数据“1150万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：1150万， 故选：C． 2. 若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故选：A． 3. 已知二次函数（为常数，且）的图象只经过两个象限，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的图象经过的象限确定参数的取值范围，解一元一次不等式组，解题关键是将问题转化为不等式组求解．根据二次函数的图象只经过两个象限，列出不等式组求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为，顶点坐标为， ∵它的图象只经过两个象限， ∴或， 不等式组无解； 不等式组的解集为． 故选：B． 4. 如图，把以点B为中心顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D、E，且点D恰好在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据旋转的性质、等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质逐项判定即可． 【详解】解：A．由旋转可知，而不一定成立，故该选项错误，不符合题意； B．∵把以点B为中心顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即B选项正确，符合题意； C．∵， ∴，故该选项错误，不符合题意； D．由不能证明平分，即不能证明，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．先证明和都是等边三角形，求得，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 6. 在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了概率公式，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式计算即可求得答案． 【详解】解：∵袋子里有3个白球和1个红球，共有4个球， ∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是． 故选：D． 7. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质等知识点，掌握反比例函数的性质成为解题的关键． 根据反比例函数性质可得反比例函数图像分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：，， ∴反比例函数图像分布在二、四象限，在每一个象限y随x的增大而增大， ，， ，， ． 故选：A． 8. 如图，正方形，点E在边上，点P在对角线上，且满足，，连接，过P做交于F，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，设正方形的边长为，则可得，，，过点作，延长交于点， 利用得到，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 四边形是正方形， ， ， ，， 如图，过点作，延长交于点， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上．若，，当取得最小值时，的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，取得最小值，设，得到，，得到，即可求出答案． 【详解】解：当时，取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∵将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上． ∴， ∴，， 设，则， 故点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得， 即的长为， 故选：A 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、折叠的性质等知识，熟练掌握解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、折叠的性质是解题的关键． 10. 如图是一个已知表面积大小的长方体（长、宽、高均不相等，且长度未知），由8个大小相同的这种长方体搭成的几何体中，能求得其表面积的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查长方体表面积的计算以及对组合体表面积的分析求解能力． 【详解】设小长方体的长、宽、高分别为（ ），已知单个小长方体表面积． A：该组合体表面积．由，可进而求出． B：该组合体表面积 ，仅知道 ，无法由确定． C：该组合体表面积 ，仅根据 ，不能求出． D：该组合体表面积 ，仅由 ，无法得出． 故选：A． 二、填空题（24分） 11. 已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的情况是解题的关键，由于，是方程的两个实数根，可得，，代入可得，进而得到，，代入原式验证后，即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，原方程为， ∴，不符合题意舍去， 当时，原方程为， ∴，符合题意舍去， 综上所述：， 故答案为：． 12. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及二次函数的一般式化为顶点式，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．先将化为顶点式，再利用左加右减，上加下减即可得出平移后的表达式． 【详解】解：， ∵先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的表达式为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，将绕着点C顺时针旋转得到，连接，则的度数为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，证明，，，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：在中，，，将绕着点C顺时针旋转得到， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 14. 如图，⊙的内接正六边形的边长为6，点P是弧的中点，则弧的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质、弧长公式等知识点，正确地添加辅助线是解题的关键．连接、、、、，因为⊙的内接正六边形的边长为6，可得，，即可判断是等边三角形，即，由点P是弧的中点，，则，根据弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接、、、、， ⊙的内接正六边形的边长为6， ，， ，， 是等边三角形， ， 点P是弧的中点， ， ， ， 弧的长为：， 故答案为：． 15. 如图，菱形的顶点是坐标原点，点在反比例函数的图象上，点在轴上．若菱形的面积是6，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据反比例函数值几何意义解答结构． 【详解】解：连接交于点D， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， 又∵双曲线位于第二象限， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，D，E分别是，上的点，将沿着折叠，使点A落在边的中点（记为）处．若，，则的长为 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接交于点F，证明，进而求解． 【详解】解：如图，连接交于点F， 由题意知，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，是的直径，与弦交于点E，，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接、，由，，求得，由得，由得，根据三角形内角和定理求得，进而求得，最后根据即可得解． 【详解】解：连接、， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 一个棱柱的三视图如图所示，若，．则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了已知三视图求边长，解直角三角形的相关计算等知识点，根据题意得出是解题的关键． 根据三视图的对应情况可以得出，中上的高即为的长，进而通过解直角三角形即可求出． 【详解】解：如图，过点E作于点Q，     由题意可知：， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（66分） 19. 如图，在中，已知点，，． （1）将向右平移4个单位长度，画出平移后的； （2）画出关于轴对称的； （3）将绕原点旋转，画出旋转后的． 【答案】（1） 解：如图，为所作； （2） 解：如图，为所作； （3） 解：如图，为所作． 【解析】 【分析】本题考查了在坐标系中画图形的平移、旋转与轴对称图形，掌握相减变换的性质是解题的关键； （1）根据坐标系中点右移坐标加的特点，画出三个顶点平移后的对应点，再依次连接即可； （2）根据关于x轴对称，点的横坐标不变，纵坐标变为相反数，确定三个顶点关于x轴对称的坐标并描点，再依次连接即可； （3）根据坐标系中关于原点对称的点的特征：横纵坐标变为其相反数，确定三个顶点绕原点旋转后的坐标并描点，再依次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及0指数、特殊角的三角函数值、负整数指数等知识，也考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． （1）先计算0指数、代入特殊角的三角函数值、计算负整数指数、化简绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先求出每个不等式的解集，再找出其解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，，解得：， ∴不等式组的解集为． 21. 某电子商铺购进一批电子配件，其进价为每件40元，按每件60元出售，平均每天可售出100件，经过市场调查发现，单价每降低2元，平均每天的销售量可增加20件，现在该商铺要尽快减少库存，采取降价措施，并且平均每天获利2240元，那么每件应定价多少元？ 【答案】每件应定价54元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件应降价x元，则每件定价为元，根据每天获得的利润等于单件利润乘以销售量列出方程求解即可． 【详解】解：设每件应降价x元，则每件定价为元， 根据题意得， 化简得：， 解得：， ∵商铺要尽快减少库存， ∴， 答：每件应定价54元． 22. 一只不透明的袋子中装有2块白色橡皮、1块黑色橡皮，这些橡皮除颜色外都相同，搅匀后，甲、乙两名同学分别从中任意摸出1块橡皮，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学恰好摸到不同颜色橡皮的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． 画树状图，得到共有种得可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好摸到不同颜色橡皮的结果有种，用概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下， 由树状图可知共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好摸到不同颜色橡皮的结果有种， 甲、乙两名同学恰好摸到不同颜色橡皮的概率为． 23. 如图所示，是圆的直径，弦，垂足为，，． （1）求证：； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 因为是的直径，弦， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、扇形面积公式，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由垂径定理得到，然后求出，即可证明出； （2）首先得出，然后得到，然后利用扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）的结论，知， 所以 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第一、三象限内的，两点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，利用数形结合思想求解不等式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据交点坐标和图象，找到一次函数图象位于反比例函数图象下方部分的点的横坐标取值范围可得答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第一、三象限内的，两点， ∴，，即， ∴，， 将代入中，得， ∴该反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 根据图象，当时，x的取值范围为或． 25. 如图，是的直径，点A，点D在上，且位于的两侧，点C在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ∵，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ∴， 即的半径为6． 26. 如图，我国南部某海域有A，B两个小岛，相距海里，小岛B在小岛A的东北方向，点C处有一艘海警船，该海警船在小岛A的北偏西方向，在小岛B的北偏西方向，求海警船C与小岛B之间的距离？（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】20海里 【解析】 【分析】利用方位角作辅助线构建矩形与直角三角形，利用矩形性质得线段关系．在中，根据已知条件求长度， 由方位角推出角度关系，判定为等腰三角形，得，设，在相关直角三角形中用表示线段，结合三角函数列方程求解即长度． 【详解】过点A水平线l，过点A作垂直于l的直线m，过点B作垂直于l的直线n，交直线于点D，过点C分别作垂直于l的直线p，交于点E和平行于直线l的直线q，与交直线m，n交于点F，G， ∴，，，， ∴四边形为矩形， ， ∵在中，， ， ∴ ∵海警船在小岛A的北偏西方向，在小岛B的北偏西方向， ∴，， ∵小岛B在小岛A的东北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设， 在中 ， ∴， ∴， 在中 ， ∴， ∴． 答：海警船C与小岛B之间的距离为20海里， 【点睛】本题考查方位角概念、直角三角形及矩形性质、等腰三角形判定、三角函数应用；解题关键是通过作辅助线构建几何图形，利用角度关系判定等腰三角形，结合三角函数建立方程求解 ． 27. 如图1，抛物线交轴于点、两点，顶点，点为第一象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）如图2，直线交抛物线于、，直线交抛物线于、，点为的中点，点为的中点，当时，求直线一定经过的定点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，连接，直线的解析式为，根据，可得，则直线解析式为，联立，解得或，则点P的坐标为； （3）联立得，则，进而得到，根据中点坐标公式得到，同理可得；则可求出直线解析式为，根据，得到直线解析式为，当时，，则直线一定经过点． 【小问1详解】 解：把，代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，或， ∴， 如图所示，连接，设直线的解析式为， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， ∵， ∴和是同底等高的三角形， ∴， ∴可设直线解析式为， 把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 解：联立得， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴，即； 联立得， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴，即； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵， ∴， ∴直线解析式为， 当时，， ∴直线一定经过点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $