专题04 统计（易错必刷30题6种题型专项训练）（期末复习专项训练）高二数学下学期湘教版

专题04 统计 （易错必刷30题6种题型专项训练） 题型一　相关关系的理解 题型二　用2×2列联表分析两分类变量间的关系 题型三　残差分析与相关指数的应用 题型四　独立性检验的综合应用 题型五　求回归直线方程 题型六　一元线性回归的应用 题型一　相关关系的理解 1．以下散点图经过标准化后，相关系数最大的是（   ） A．   B．     C．   D．   2．下列说法不正确的是（ ） A．一组数据 的第 80 百分位数为17 B．若随机变量 ，且 ，则 C．若随机变量 ，则方差 D．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则乙组数据的线性相关性更强 3．以下说法正确的个数为（   ） ①两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0； ②设是随机变量，则，； ③设随机变量，若，则； ④设随机变量，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．下列说法不正确的是（     ） A．一组数据 的第 80 百分位数为17 B．若随机变量 ，且 ，则 C．若随机变量 ，则方差 D．对于回归分析，相关系数的绝对值越小，说明拟合效果越好 5．下列命题错误的是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B．设，若，则 C．线性回归直线一定经过样本点的中心 D．一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 题型二　用2×2列联表分析两分类变量间的关系 6．某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时． (1)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？ 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 每周的锻炼时间不超过5小时 合计 (2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训． ①求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率； ②已知学生甲参加培训后短跑成绩合格，求学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率． 参考公式与数据：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 7．2024年9月16日，沈阳市举行马拉松比赛，全球马拉松爱好者积极参与本场比赛，某服务部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到下表： 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 50 非常满意 40 70 合计 60 120 (1)求的值； (2)能否有的把握认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？ (3)用频率估计概率，现随机采访本场比赛的1名女性参赛人员与2名男性参赛人员，已知3人中恰有一人对该部门服务非常满意，求该人为女性的概率． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 8．某次考试中，数学成绩可划分为“优秀”、“良好”、“一般”三个等级，一班与二班各等级学生人数如下表： 优秀 良好 一般 一班 9 13 23 二班 15 14 16 (1)一班、二班数学成绩的优秀率分别是多少？ (2)填写如下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断两班学生的数学成绩优秀率有差异？ 优秀 其他 合计 一班 二班 合计 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 9．今年某台风在沿海地区登陆，恰逢暑假，小明调查了当地某小区100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据(单位：元)分成 ， 五组，并绘制如下频率分布直方图．    (1)台风过后居委会号召小区居民为重灾区捐款，小明调查的100户居民捐款情况如下表， 在表格空白处填写正确数字， 并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否超过4000元有关？ （） 损失不超过 4000 损失超过 4000 合计 捐款超过 500 60 捐款不超过 500 10 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量受灾居民中，采取随机抽样方法每次抽取1户居民， 抽取3次， 记被抽取的3户居民自身经济损失超过4000元的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量的分布列、期望和方差． 10．某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）： 学校 企业 自由开发者 有需求 170 无需求 120 已知调查了400个学校和150个自由开发者. (1)求和的值； (2)估计目标用户对该设备有需求的概率； (3)是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？ 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 题型三　残差分析与相关指数的应用 11．某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（    ） A．样本中心点为 B． C．时， 残差为 D．相关系数 12．为研究某种植物的生长高度y（单位：cm）与光照时间x（单位：小时）之间的关系，研究人员随机测量了12株该种植物的光照时间和生长高度，得到的回归方程为，则样本的残差的绝对值为（    ） A．1.05 B．1.15 C．1.25 D．1.35 13．为了研究某市高中生的脚长（单位：cm）和身高（单位：cm）的关系，市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查，经统计，所调查数据的，根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为．已知被调查的某学生的脚长为25cm，身高180cm，则该样本点的残差为（    ） A．1cm B．cm C．4cm D．cm 14．为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，物价部门对某商品在各商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到了若干对数据，经过分析，计算，得到关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 15．人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）为AI电脑的月销量. 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代号 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则2025年3月的残差为（    ）（实际值与预计值之差） A． B． C．0.02 D．0.04 题型四　独立性检验的综合应用 16．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，小于85分为非优秀统计成绩后，得到列联表如表所示： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 总计 105 已知在甲、乙两班全部105人中，随机抽取1人为优秀的概率为． (1)请完成上面的列联表； (2)根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超的前提下认为“成绩与班级有关系”？ 参考公式：． P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 17．为了研究大气污染物浓度的影响因素，研究人员检测了经济发展水平相当的24个城市的汽车流量.得到数据如下： 浓度（单位：） 汽车流量（单位：千辆/24小时） 合计 8 2 10 1 13 14 合计 9 15 24 (1)判断是否有的把握认为浓度与汽车流量有关？ (2)对于随机事件，，若，则认为事件对事件发生有促进作用，否则就认为是抑制作用.现记为“浓度超过”，为“城市汽车流量不超过1.4千辆/24小时”，用表格数据估计事件A、B发生的概率，试问：事件B对事件A是促进作用还是抑制作用? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占.假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的. (1)填写如下列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关； 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为，当取最大值时，求. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.1 0.05 0.005 0.001 2.706 3.841 7.879 10.828 19．某机构为了调查喝酸奶是否可以降体脂，邀请了40名女性作为研究对象，将其随机分成两组，实验组中人员每天喝220g酸奶，对照组中人员每天喝220g牛奶，持续24周后，得到如下数据. 单位：人 受试者 脂肪 合计 没有减少1kg 至少减少1kg 每天喝220g酸奶 2 18 20 每天喝220g牛奶 8 12 20 合计 10 30 40 (1)根据小概率值的独立性检验，能否推断喝酸奶与降体脂有关联？ (2)若将表中所有数据都扩大为原来的k（）倍，再用独立性检验推断喝酸奶是否与降体脂有关联，若要使得依据的独立性检验，可以推断喝酸奶与降体脂有关联，求k的最小值. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 20．在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第五．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． (1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 题型五　求回归直线方程 21．对于变量和变量，经过随机抽样获得成对样本数据，且，若关于的经验回归方程为，其样本相关系数为，则（    ） （参考数据：） A．1 B．2 C．3 D．4 22．已知变量x和y的统计数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若x和y线性相关，则y关于x的线性回归方程为（    ） （附：线性回归方程,中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A． B． C． D． 23．咸阳市进入3月份以来，昼夜温差较大，若人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，所以要多加防范．某高中数学兴趣小组研究了昼夜温差大小与某社区新增感冒就诊人数之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到社区卫生服务中心查阅了这六天中每天新增感冒就诊的人数，得到数据如下： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 昼夜温差 4 7 8 9 14 12 新增感冒就诊人数（位） (1)已知第一天新增感冒就诊的人群中有4位男性，从第一天新增感冒就诊的人群中随机抽取2位，其中男性人数记为，若抽取的2人中仅有一位女性的概率为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)已知两个变量与之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并据此估计昼夜温差为时，该社区卫生服务中心新增感冒就诊的人数． 参考数据：，． 参考公式：，，． 24．当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力．某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：    30.5 15 15 46.5 表中，． (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， (2)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布．企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元，记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）． 附：若随机变量，则，． 25．某农业科学院果树研究所在培育新品种苹果树的研究中，选择6个果园试种新品种苹果树，得到样本数据如下表： 果园的面积（单位：亩） 1 2 3 4 5 6 产量（单位：吨） 2.6 6.3 9.3 11.2 16.5 18.3 (1)若果园的面积（单位：亩）与产量（单位：吨）满足线性回归关系，试求关于的线性回归方程； (2)果树研究所在某县大面积推广此品种苹果树，以这6个果园亩产量高于3吨/亩的频率为概率，从该县果园中随机抽取3个，其中亩产量高于3吨/亩的果园的个数记为，求的分布列和数学期望． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：． 题型六　一元线性回归的应用 26．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得（为人的年龄，为人体脂肪含量）．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是（　　） A．年龄为岁的人体内脂肪含量一定为 B．年龄为岁的人体内脂肪含量约为 C．年龄为岁的人群中的体内脂肪含量平均为 D．年龄为岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为 27．已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 28．为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，传播节能降碳和绿色发展理念，倡导绿色低碳生活方式，某市积极响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放.下表为该市统计的近5年内燃油车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增燃油车数量. 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 新增燃油车/万辆 6.1 5.2 4.9 4 3.8 (1)计算相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.（保留到小数点后两位） (2)求关于的线性回归方程，并据此估计该市2024年的新增燃油车数量. 参考数据： 参考公式： 29．六盘水红心猕猴桃因富含维生素C及K、Ca、Mg等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”．某果农通过不断学习猕猴桃先进种植技术，2017年至2023年的年利润y与年份代号x的统计数据如下表（已知该果农的年利润与年份代号之间呈线性相关关系）． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 年利润y（单位：千元） 29 33 36 44 48 52 59 (1)求y关于x的线性回归方程，并预测该果农2024年的年利润； (2)当某年利润的实际值大于该年利润的估计值时，该年为甲级利润年，否则为乙级利润年．现从2019年至2023年这5年中随机抽取3年，求恰有1年为甲级利润年的概率． 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，并计算得：，，． 30．2022年11月29日23时03分．我国酒泉卫星发射中心用长征二号F遥十五运载火箭，成功将神舟十五号载人飞船送入预定轨道，顺利将费俊龙、邓清明、张陆3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．某公司负责生产的A型材料是神舟十五号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造．根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 x 2 3 4 6 8 10 13 y 15 22 27 40 18 54 60 建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：； (1)根据表格中的数据，比较模型①，②的相关指数的大小； (2)选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益． 回归模型 模型① 模型② 79.31 20.2 附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 统计 （易错必刷30题6种题型专项训练） 题型一　相关关系的理解 题型二　用2×2列联表分析两分类变量间的关系 题型三　残差分析与相关指数的应用 题型四　独立性检验的综合应用 题型五　求回归直线方程 题型六　一元线性回归的应用 题型一　相关关系的理解 1．（24-25高二下·天津·阶段练习）以下散点图经过标准化后，相关系数最大的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定大小，即可得到答案. 【详解】对于，散点呈上升趋势，线性相关系数为正数，这些点紧密的聚集在一条直线的附近，线性相关性强； 对于，散点分布呈曲线趋势，线性相关程度比弱； 对于，散点呈下降趋势，线性相关系数为负数； 对于，散点分布比较分散，线性相关程度比弱； 所以相关系数最大的是. 故选：. 2．（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）下列说法不正确的是（ ） A．一组数据 的第 80 百分位数为17 B．若随机变量 ，且 ，则 C．若随机变量 ，则方差 D．若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则乙组数据的线性相关性更强 【答案】D 【分析】由百分位数、正态分布、二项分布、相关系数的概念逐项判断； 【详解】对于A，共有10个数据，，所以第 80 百分位数为正确； 对于B，由正态分布的对称性可得：，正确； 对于C，由二项分布方差公式可得：，正确； 对于D，因为，所以甲组数据的线性相关性更强，错误. 故选：D 3．（24-25高三上·辽宁锦州·期末）以下说法正确的个数为（   ） ①两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近0； ②设是随机变量，则，； ③设随机变量，若，则； ④设随机变量，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】由相关系数的概念判断①，由相关变量的均值和方差的关系判断②，由正态分布的概率计算判断③，由两点分布方差的计算和均值不等式判断④. 【详解】两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故①错误； 若是随机变量，则，故②正确； 随机变量，若，则，故③错误； 设随机变量，则，当且仅当，时等号成立，故④错误； 故选：B． 4．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）下列说法不正确的是（     ） A．一组数据 的第 80 百分位数为17 B．若随机变量 ，且 ，则 C．若随机变量 ，则方差 D．对于回归分析，相关系数的绝对值越小，说明拟合效果越好 【答案】D 【分析】根据百分位数概念判断A，根据正态分布的对称性判断B，由二项分布的方差公式判断C，根据相关系数的概念判断D. 【详解】由，可知数据 的第 80 百分位数为，故A正确； 因为随机变量 ，且 ，所以，故B正确； 因为随机变量 ，则方差 ，故C正确； 对于回归分析，相关系数的绝对值越小，说明拟合效果越差，故D错误. 故选：D. 5．（2024·上海·三模）下列命题错误的是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B．设，若，则 C．线性回归直线一定经过样本点的中心 D．一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 【答案】D 【分析】选项A，根据相关系数的表示意义即可求解；选项B，根据条件，利用二项分布的性质，得到，即可求解；选项C，根据最小二乘法求回归方程，即可判断选项C的正误；选项D，根据条件，利用超几何分布的定义即可判断. 【详解】对于选项A，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故选项A正确； 对于选项B，由，，得，解得， 故选项B正确； 对于选项C，线性回归直线一定经过样本点的中心，故选项C正确； 对于选项D，由于是不放回地随机摸出20个球作为样本， 由超几何分布的定义知服从的超几何分布， 且，故选项D错误. 故选：D. 题型二　用2×2列联表分析两分类变量间的关系 6．（2025·青海海东·三模）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时． (1)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？ 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 每周的锻炼时间不超过5小时 合计 (2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训． ①求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率； ②已知学生甲参加培训后短跑成绩合格，求学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率． 参考公式与数据：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，能推断. (2)①；②. 【分析】（1）完善列联表，求出的观测值并与临界值比对得解. （2）①利用全概率公式求解；②利用条件概率公式求解. 【详解】（1）列联表如下： 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 零假设学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时无关， 根据表格中的数据，经计算得， 依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关，此推断犯错误的概率不超过0.005. （2）①设事件“学生甲参加培训后短跑成绩合格”，事件“学生甲每周的锻炼时间超过5小时， 短跑成绩不合格”，事件“学生甲每周的锻炼时间不超过5小时，短跑成绩不合格”， 则， 于是, 所以学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为. ②学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为： . 7．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）2024年9月16日，沈阳市举行马拉松比赛，全球马拉松爱好者积极参与本场比赛，某服务部门为提升服务质量，随机采访了120名参赛人员，得到下表： 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 50 非常满意 40 70 合计 60 120 (1)求的值； (2)能否有的把握认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异？ (3)用频率估计概率，现随机采访本场比赛的1名女性参赛人员与2名男性参赛人员，已知3人中恰有一人对该部门服务非常满意，求该人为女性的概率． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有的把握认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据列联表即可求解，，，得解； （2）计算卡方，即可与临界值比较作答； （3）根据相互独立乘法事件的概率公式及条件概率公式即可求解． 【详解】（1）解：完善列联表为： 满意度 性别 合计 女性 男性 比较满意 30 20 50 非常满意 30 40 70 合计 60 60 120 故，，，，故； （2）假设：依据小概率值的独立性检验，认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价没有差异，根据题目所给公式：． ， 故依据小概率值的独立性检验，有的把握认为不同性别的参赛人员对该部门服务质量的评价有差异． （3）女性对服务满意的概率为，女性对服务不满意的概率为，男性对服务满意的概率为，男性对服务不满意的概率为； 设事件为“采访1名女性参赛人员与2名男性参赛人员中，3人中恰有一人对该部门服务非常满意”，事件为“该人为女性”； ； ， 由条件概率． 8．（24-25高二下·山西·期中）某次考试中，数学成绩可划分为“优秀”、“良好”、“一般”三个等级，一班与二班各等级学生人数如下表： 优秀 良好 一般 一班 9 13 23 二班 15 14 16 (1)一班、二班数学成绩的优秀率分别是多少？ (2)填写如下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断两班学生的数学成绩优秀率有差异？ 优秀 其他 合计 一班 二班 合计 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)； (2)表格见解析，认为两班学生的数学成绩优秀率没有差异. 【分析】（1）由统计表中数据直接计算可得； （2）根据已知完善表格，根据公式计算，然后查表可知. 【详解】（1）一班共有人，其数学成绩的优秀率是； 二班共有人，其数学成绩的优秀率是. （2） 优秀 其他 合计 一班 9 36 45 二班 15 30 45 合计 24 66 90 可得， 依据小概率值的独立性检验，认为两班学生的数学成绩优秀率没有差异. 9．（24-25高二下·上海·期中）今年某台风在沿海地区登陆，恰逢暑假，小明调查了当地某小区100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据(单位：元)分成 ， 五组，并绘制如下频率分布直方图．    (1)台风过后居委会号召小区居民为重灾区捐款，小明调查的100户居民捐款情况如下表， 在表格空白处填写正确数字， 并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否超过4000元有关？ （） 损失不超过 4000 损失超过 4000 合计 捐款超过 500 60 捐款不超过 500 10 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量受灾居民中，采取随机抽样方法每次抽取1户居民， 抽取3次， 记被抽取的3户居民自身经济损失超过4000元的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量的分布列、期望和方差． 【答案】(1)填表见解析；有 (2)分布列见解析；， . 【分析】（1）根据频率分布直方图结合列联表中的数据完成列联表，然后计算分析判断即可； （2）由题意得，然后根据二项分布的概率公式求出相应的概率，从而随机变量的分布列、期望和方差. 【详解】（1）由频率分布直方图可知损失超过4000的有户， 所以列联表为 损失不超过4000 损失超过4000 合计 捐款超过500 60 20 80 捐款不超过500 10 10 20 合计 70 30 100 所以， 于是有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否超过4000元有关． （2）由题意知抽取1户居民自身经济损失超过4000元的概率为， 所以由题意得， 所以，， ，， 于是的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 所以， . 10．（24-25高二下·河南南阳·期中）某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）： 学校 企业 自由开发者 有需求 170 无需求 120 已知调查了400个学校和150个自由开发者. (1)求和的值； (2)估计目标用户对该设备有需求的概率； (3)是否有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？ 附：. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1) (2)； (3)有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异. 【分析】（1）根据题意列出关于m，n的等量关系式即可求解； （2）由题设数据结合古典概型直接计算即可得解； （3）列出列联表，计算出卡方值即可判断得解. 【详解】（1）由题得； （2）由题可得估计目标用户对该设备有需求的概率为； （3）列出列联表： 学校用户 非学校用户 总计 有需求 300 270 570 无需求 100 170 270 总计 400 440 840 零假设学校用户与非学校用户对该设备的需求情况无差异. 由表格得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异. 题型三　残差分析与相关指数的应用 11．（24-25高二下·天津·期中）某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（    ） A．样本中心点为 B． C．时， 残差为 D．相关系数 【答案】C 【分析】由回归直线必过样本中心可判断A项、B项，由残差公式可判断C项，由线性回归方程的斜率即可相关系数正负可判断D项. 【详解】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项正确； 对于C项，由B项知，，令，则， 所以残差为，故C项错误； 对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关， 故相关系数，故D项正确. 故选：C 12．（24-25高二下·山东德州·期中）为研究某种植物的生长高度y（单位：cm）与光照时间x（单位：小时）之间的关系，研究人员随机测量了12株该种植物的光照时间和生长高度，得到的回归方程为，则样本的残差的绝对值为（    ） A．1.05 B．1.15 C．1.25 D．1.35 【答案】A 【分析】先根据回归方程求出时的预报值，再运用残差计算公式计算即可. 【详解】把代入，可得生长高度y的估计值为， 则样本的残差的绝对值为. 故选：A. 13．（2025·山东聊城·二模）为了研究某市高中生的脚长（单位：cm）和身高（单位：cm）的关系，市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查，经统计，所调查数据的，根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为．已知被调查的某学生的脚长为25cm，身高180cm，则该样本点的残差为（    ） A．1cm B．cm C．4cm D．cm 【答案】D 【分析】根据回归方程必过点求出，即可得到回归方程，再根据残差的定义计算可得. 【详解】因为，又经验回归方程必过点， 所以，解得，所以， 当时， 所以该样本点的残差为. 故选：D 14．（24-25高二下·山西·期中）为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，物价部门对某商品在各商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到了若干对数据，经过分析，计算，得到关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，令时，求得，结合残差的概念，即可求得样本点的残差，得到答案. 【详解】由关于的回归方程为，且样本点， 当时，可得，所以残差为. 故选：A. 15．（2025·河南·三模）人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年11月至2025年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）为AI电脑的月销量. 月份 2024年11月 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 月份代号 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则2025年3月的残差为（    ）（实际值与预计值之差） A． B． C．0.02 D．0.04 【答案】B 【分析】求出样本中心点，带入回归方程求出，在求出对应的月销量预测值，结合月销量求出残差 【详解】因为， 所以，所以关于的线性回归方程为， 2025年3月对应的，故此时残差为. 故选：B. 题型四　独立性检验的综合应用 16．（24-25高二下·北京东城·期中）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，小于85分为非优秀统计成绩后，得到列联表如表所示： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 总计 105 已知在甲、乙两班全部105人中，随机抽取1人为优秀的概率为． (1)请完成上面的列联表； (2)根据列联表的数据，能否在犯错误的概率不超的前提下认为“成绩与班级有关系”？ 参考公式：． P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)列联表见解析 (2)能在犯错误的概率不超的前提下认为“成绩与班级有关系” 【分析】（1）首先求出优秀的人数，即可完善列联表； （2）计算出卡方，即可判断. 【详解】（1）由甲、乙两班全部人中，随机抽取人为优秀的概率为， 所以优秀的人数为人，则非优秀的人数为人； 所以列联表如下： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 总计 30 75 105 （2）根据列联表中的数据可得， 所以能在犯错误的概率不超的前提下认为“成绩与班级有关系”. 17．（24-25高二下·浙江·期中）为了研究大气污染物浓度的影响因素，研究人员检测了经济发展水平相当的24个城市的汽车流量.得到数据如下： 浓度（单位：） 汽车流量（单位：千辆/24小时） 合计 8 2 10 1 13 14 合计 9 15 24 (1)判断是否有的把握认为浓度与汽车流量有关？ (2)对于随机事件，，若，则认为事件对事件发生有促进作用，否则就认为是抑制作用.现记为“浓度超过”，为“城市汽车流量不超过1.4千辆/24小时”，用表格数据估计事件A、B发生的概率，试问：事件B对事件A是促进作用还是抑制作用? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有的把握认为浓度与汽车流量有关- (2)是抑制作用 【分析】（1）通过卡方检验算出卡方值，再判断两个变量是否有关； （2）通过计算相关指标判断事件之间的作用关系. 【详解】（1）设：浓度与汽车流量无关，由 ， 所以有的把握认为不成立，即浓度与汽车流量有关. （2）由题知， 则，所以事件对事件是抑制作用. 18．（2025·四川宜宾·三模）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占.假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的. (1)填写如下列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关； 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 没有抗体 合计 (2)用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为，当取最大值时，求. 参考公式：（其中为样本容量） 参考数据： 0.1 0.05 0.005 0.001 2.706 3.841 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关 (2) 【分析】（1）根据已知填表格，计算卡方，再比较临界值判断求解； （2）根据二项分布写出概率，再列不等式计算求解. 【详解】（1）由题可得，列联表如下： 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 25 125 150 没有抗体 20 30 50 合计 45 155 200 假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联. 根据列联表中的数据，得：， 根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. （2）由题知每只小白鼠在注射疫苗后产生抗体的概率的估计值为， 所以随机变量， 所以，要使最大，则 解得：，所以. 19．（24-25高二下·河北沧州·期中）某机构为了调查喝酸奶是否可以降体脂，邀请了40名女性作为研究对象，将其随机分成两组，实验组中人员每天喝220g酸奶，对照组中人员每天喝220g牛奶，持续24周后，得到如下数据. 单位：人 受试者 脂肪 合计 没有减少1kg 至少减少1kg 每天喝220g酸奶 2 18 20 每天喝220g牛奶 8 12 20 合计 10 30 40 (1)根据小概率值的独立性检验，能否推断喝酸奶与降体脂有关联？ (2)若将表中所有数据都扩大为原来的k（）倍，再用独立性检验推断喝酸奶是否与降体脂有关联，若要使得依据的独立性检验，可以推断喝酸奶与降体脂有关联，求k的最小值. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)认为喝酸奶与降体脂有关联 (2)3 【分析】（1）根据给定的数表，求出的观测值，再与临界值比对分析即可； （2）求出表中所有数据都扩大为原来的k倍后的观测值，令，即可求得k的最小值. 【详解】（1）零假设为：喝酸奶与降体脂没有关联. 根据列联表中的数据，可得. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喝酸奶与降体脂有关联. （2）. 令，解得. 因为，所以k的最小值为3. 20．（2025·江苏盐城·三模）在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第五．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． (1)请将上面的列联表补充完整，并且判断是否有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关； (2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关 (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方的计算即可求解； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，结合服从超几何分布计算概率写出分布列，最后计算数学期望. 【详解】（1）因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人. 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人. 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 根据列联表中的数据，计算可得 ，故没有的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关. （2）由题意，按分层抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为. 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数，所以的所有可能取值为. 则， ， . 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 题型五　求回归直线方程 21．（2025·甘肃平凉·模拟预测）对于变量和变量，经过随机抽样获得成对样本数据，且，若关于的经验回归方程为，其样本相关系数为，则（    ） （参考数据：） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据样本相关系数的公式计算出，再根据回归系数的公式计算出，最后根据计算即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 故选：C. 22．（24-25高二下·江西赣州·期中）已知变量x和y的统计数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 若x和y线性相关，则y关于x的线性回归方程为（    ） （附：线性回归方程,中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知数据求，代入回归直线方程即可求解. 【详解】由题意得. ，， 所以， 故线性回归方程为. 故选：D 23．（2025·陕西咸阳·三模）咸阳市进入3月份以来，昼夜温差较大，若人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，所以要多加防范．某高中数学兴趣小组研究了昼夜温差大小与某社区新增感冒就诊人数之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到社区卫生服务中心查阅了这六天中每天新增感冒就诊的人数，得到数据如下： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 昼夜温差 4 7 8 9 14 12 新增感冒就诊人数（位） (1)已知第一天新增感冒就诊的人群中有4位男性，从第一天新增感冒就诊的人群中随机抽取2位，其中男性人数记为，若抽取的2人中仅有一位女性的概率为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)已知两个变量与之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，并据此估计昼夜温差为时，该社区卫生服务中心新增感冒就诊的人数． 参考数据：，． 参考公式：，，． 【答案】(1)分布列见解析， (2)，37人． 【分析】（1）首先根据抽取的2人中至少有一位女生的概率计算出，从而得到随机变量的取值，根据超几何分布概率计算可得分布列和数学期望； （2）首先根据样本相关系数和已知条件计算出，进一步计算可得，，最小二乘法求出关于的经验回归方程，从而得到线性回归方程，将代入可得答案. 【详解】（1）因为，所以，解得． 即第一天新增感冒就诊人数为9，其中男生4位，女生5位， 则随机变量的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布，其中，，，，，， 的分布列为 0 1 2 的数学期望． （2）因为，所以，所以， 由于， 所以， 所以， 因为，，解得， 所以，所以， 当时，， 据此估计昼夜温差为16℃时，该社区卫生服务中心新增感冒就诊的人数为37人． 24．（2025·四川成都·模拟预测）当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，让越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力．某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下：    30.5 15 15 46.5 表中，． (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， (2)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布．企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励2元；若超过，每件产品奖励4元，记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）． 附：若随机变量，则，． 【答案】(1)适合， (2)2.27元 【分析】（1）结合散点图即可判断，然后结合表中数据代入计算，即可得到结果； （2）由正态分布的概率公式代入计算，再由期望的计算公式即可得到结果. 【详解】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型 对两边取对数，得，即， 由表中数据得：，， ，所以， 所以关于的回归方程为. （2）因为，，所以 ， ， （元）. 25．（2025·河北·模拟预测）某农业科学院果树研究所在培育新品种苹果树的研究中，选择6个果园试种新品种苹果树，得到样本数据如下表： 果园的面积（单位：亩） 1 2 3 4 5 6 产量（单位：吨） 2.6 6.3 9.3 11.2 16.5 18.3 (1)若果园的面积（单位：亩）与产量（单位：吨）满足线性回归关系，试求关于的线性回归方程； (2)果树研究所在某县大面积推广此品种苹果树，以这6个果园亩产量高于3吨/亩的频率为概率，从该县果园中随机抽取3个，其中亩产量高于3吨/亩的果园的个数记为，求的分布列和数学期望． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 参考数据：． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为2 【分析】（1）首先求，再根据参考公式求和，求回归直线方程； （2）首先求这6个果园亩产量高于3吨/亩的频率为概率，再转化为二项分布求分布列和数学期望. 【详解】（1），， ， 所以， ， 所以； （2）由题意可知，6个果园亩产量高于3吨/亩的频率为， 则， ，， ，， 即 0 1 2 3 . 题型六　一元线性回归的应用 26．（24-25高二下·江苏南通·期中）某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得（为人的年龄，为人体脂肪含量）．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是（　　） A．年龄为岁的人体内脂肪含量一定为 B．年龄为岁的人体内脂肪含量约为 C．年龄为岁的人群中的体内脂肪含量平均为 D．年龄为岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量约为 【答案】C 【分析】根据回归直线的定义，结合所给函数即可得出结论. 【详解】由题意， 在中，当时，， 表示的是年龄为37岁的人群中体内脂肪含量平均为， 故选：C. 27．（2025·山东烟台·一模）已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线，估计的对应值，最后由残差的定义求解. 【详解】由题设，则， 增加数据后，，，且回归直线为， 所以，则， 所以，有，故残差的绝对值为. 故选：A 28．（23-24高三下·河南·阶段练习）为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，传播节能降碳和绿色发展理念，倡导绿色低碳生活方式，某市积极响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放.下表为该市统计的近5年内燃油车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增燃油车数量. 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 新增燃油车/万辆 6.1 5.2 4.9 4 3.8 (1)计算相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.（保留到小数点后两位） (2)求关于的线性回归方程，并据此估计该市2024年的新增燃油车数量. 参考数据： 参考公式： 【答案】(1)，可以用线性回归模型拟合与的关系 (2)，3.06万辆 【分析】（1）根据题意求相关系数r，结合相关系数的性质分析理解； （2）根据题意求得回归方程为，令，代入运算即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：， 则 ， 因为，故可以用线性回归模型拟合与的关系. （2）由题意可得：，， 则，当时，， 所以估计该市2024年新增燃油车3.06万辆. 29．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）六盘水红心猕猴桃因富含维生素C及K、Ca、Mg等多种矿物质和18种氨基酸，被誉为“维C之王”．某果农通过不断学习猕猴桃先进种植技术，2017年至2023年的年利润y与年份代号x的统计数据如下表（已知该果农的年利润与年份代号之间呈线性相关关系）． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 年利润y（单位：千元） 29 33 36 44 48 52 59 (1)求y关于x的线性回归方程，并预测该果农2024年的年利润； (2)当某年利润的实际值大于该年利润的估计值时，该年为甲级利润年，否则为乙级利润年．现从2019年至2023年这5年中随机抽取3年，求恰有1年为甲级利润年的概率． 参考公式：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，并计算得：，，． 【答案】(1)；63千元 (2) 【分析】（1）先求出，然后利用公式求出和，得到线性回归方程，再将代入计算预测即可； （2）先求出2019年至2023年的年利润的估计值，得到这5年中甲级利润年的有2年，乙级利润年的有3年，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）根据表中的数列，计算可得， ， 所以，故， 所以关于的线性回归方程为， 当时，（千元）， 所以该果农2024年的年利润预测值为63千元. （2）由（1）可知2019年至2023年的年利润的估计值分别为38，43，48，53，58（单位：千元）， 其中实际利润大于相应的估计值的有2年， 故这5年中甲级利润年的有2年，乙级利润年的有3年， 所以从2019年至2023年这5年中随机抽取3年，恰有1年为甲级利润年的概率为． 30．（22-23高三上·陕西西安·阶段练习）2022年11月29日23时03分．我国酒泉卫星发射中心用长征二号F遥十五运载火箭，成功将神舟十五号载人飞船送入预定轨道，顺利将费俊龙、邓清明、张陆3名航天员送入太空，发射取得圆满成功．11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．某公司负责生产的A型材料是神舟十五号的重要零件，该材料应用前景十分广泛，该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造．根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 7 x 2 3 4 6 8 10 13 y 15 22 27 40 18 54 60 建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：； (1)根据表格中的数据，比较模型①，②的相关指数的大小； (2)选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益． 回归模型 模型① 模型② 79.31 20.2 附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好．． 【答案】(1) (2)模型②拟合精度更高、更可靠，72.93亿元 【分析】（1）由已知数据计算相关指数即可； （2）当越大时，回归方程的拟合效果越好．即可判断模型②更可靠，然后估计即可. 【详解】（1）对于模型①， 对应的， 故对应的， 故对应的相关指数，对于模型②， 同理对应的相关指数，． （2）模型②拟合精度更高、更可靠． 故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为（亿元）． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$