8.2.1一元线性回归模型课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

8.2一元线性回归模型及其应用 第八章 成对数据的统计分析 课时1 一元线性回归模型 新知探究 探究一：一元线性回归模型 情境设置 根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量𝑦 (单位：百千克)与某种液体肥料每亩使用量𝑥 (单位：千克)之间的对应数据的散点图如图所示. 问题1: 依据数据的散点图，计算样本相关系数𝑟 . 问题2: 用什么模型来刻画𝑦与𝑥 之间的关系？ 2 新知生成 知识点一 一元线性回归模型 1.一元线性回归模型的相关概念 (1)一元线性回归模型:我们称为𝑌关于𝑥 的一元线性回归模型. (2)因变量和自变量:𝑌称为因变量或响应变量，𝑥 称为自变量或解释变量. (3)参数：𝑎和𝑏为模型的未知参数，𝑎称为截距参数，𝑏 称为斜率参数. (4)随机误差：𝑒是𝑌与𝑏𝑥+𝑎 之间的随机误差. 3 新知生成 知识点一 一元线性回归模型 2.模型中的𝑌也是随机变量，其值虽然不能由变量𝑥的值确定，却能表示为𝑏𝑥+𝑎与𝑒 的 和(叠加)，前一部分由𝑥所确定，后一部分是随机的.如果𝑒=0，那么𝑌与𝑥 之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述. 3.在一元线性回归模型𝑌=𝑏𝑥+𝑎+𝑒中，𝑒 产生的原因主要有以下几种： (1)所用的确定性函数不恰当引起的误差； (2)忽略了某些因素的影响； (3)存在观测误差. 4 一、一元线性回归模型 例题1 (多选题)在一元线性回归模型𝑌=𝑏𝑥+𝑎+𝑒 中，下列说法错误的是( ). A.𝑌=𝑏𝑥+𝑎+𝑒 是一次函数 B.响应变量𝑌是由解释变量𝑥 唯一确定的 C.响应变量𝑌除了受解释变量𝑥 的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导 致随机误差𝑒 的产生 D.随机误差𝑒是计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差𝑒 的产生 【解析】对于A，在一元线性回归模型𝑌=𝑏𝑥+𝑎+𝑒 中，方程表示的不是确定性关系， 因此𝑌=𝑏𝑥+𝑎+𝑒 不是一次函数，所以A错误； 对于B，响应变量𝑌不是由解释变量𝑥 唯一确定的，所以B错误； 对于C，响应变量𝑌除了受解释变量𝑥 的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因 素会导致随机误差𝑒 的产生，所以C正确； 对于D，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所以D错误. 故选ABD . ABD 5 反思感悟 方法总结 明确一元线性回归模型的含义是解题的关键,其中𝑎和𝑏为模型的未知参数，𝑎称为截距参数,𝑏称为斜率参数,𝑒是𝑌与𝑏𝑥+𝑎之间的随机误差. 6 新知运用 跟踪训练1 关于一元线性回归模型给出下列说法： ①表达式𝑌=𝑏𝑥+𝑎+𝑒刻画的是变量𝑌与变量𝑥 之间的线性相关关系； ②𝑏𝑥+𝑎反映了由于𝑥的变化而引起的𝑌 的变化； ③误差项𝑒是一个期望值为0的随机变量，即𝐸(𝑒)=0 ； ④对于所有的𝑥值，𝑒的方差都相同. 以上说法正确的是__________.（填序号） 【解析】根据一元线性回归模型的含义可知，以上说法均正确. ①②③④ 7 新知探究 探究二:最小二乘法 情境设置 雾霾天气影响了人们的生活，对雾霾天气的研究也渐渐多了起来，某研究机构对 某地春节燃放烟花爆竹的天数𝑥与雾霾天数𝑦 进行统计分析，得出下表数据： 问题1：能用一元线性回归模型表示𝑦与𝑥 的关系吗？ 问题2：如何求出一元线性回归模型的方程呢？ 4 5 7 8 2 3 5 6 8 新知生成 知识点二 最小二乘法 1.经验回归方程(直线) 我们将称为关于的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 2.最小二乘法 求经验回归方程的方法叫作最小二乘法，求得的,叫作,的最小二乘估计. 3.方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据，， ， 的回归方程，其中，是待定参数，其最小二乘估计分别为 ,， 其中，，，称为样本点的中心. 9 新知生成 知识点二 最小二乘法 4.经验回归方程与直线方程的区别：经验回归方程中𝑦 的上方加记号“^ ”是为了与实 际值𝑦相区别，因为经验回归方程中“ ”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它具有随机性，因而对于每一个具体的实际值而言，的值只是比较接近，但存在一定的误差，即(其中为随机变量)，预测值与实际值的接近程度由随机变量𝑒 的标准差决定. 10 二、 最小二乘法 例2 大学生小敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至12月份某种机械配 件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价𝑥和销售量𝑦 之间的一组数据如表所示： (1)根据7月份至11月份的数据，求出𝑦关于𝑥 的经验回归方程. (2)若由经验回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5件，则认为所得到的经验回归方程是理想的，试问(1)中所得到的经验回归方程是否理想？ (3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从(1)中的关系，若该种机械 配件的成本是2.5元/件，则该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？ (注：利润= 销售收入-成本)参考公式：在经验回归方程中，， .参考数据：， . 月份 7 8 9 10 11 12 销售单价 元 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量 件 11 10 8 6 5 14 11 二、 最小二乘法 【解析】(1)因为 ， ， 所以，则 ， 于是关于的经验回归方程为 . (2)当时，，则 ， 所以可以认为所得到的经验回归方程是理想的. (3)令销售利润为 ，则 ， 所以当时， 取得最大值. 故当该配件的销售单价定为7.5元时，获得的利润最大. 12 反思感悟 方法总结 用经验回归方程估计总体的一般步骤： (1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近； (2)若散点在一条直线附近，则用公式求出，，并写出经验回归方程，否则求出的经验回归方程是没有意义的； (3)根据经验回归方程对总体进行估计. 13 新知运用 跟踪训练2 某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成 [20,30),[30,40)，[40,50),[50,60)，[60,70] ，共五组，并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等. (1)估计口罩生产车间工人生产速度的中位数. (2)为了了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如下表： 根据上述数据求每名工人的生产速度关于他的工龄的经验回归方程 ，并 据此估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度. 经验回归方程中， . 工龄 年 6 8 12 10 14 生产速度 (件/小时) 40 55 60 60 65 14 二、 最小二乘法 【解析】(1) 设前四组的频率分别为,,,，公差为 ，由题意知 ， 故 ，联立解得 ， .故各组频率分别为,,,, . 又 ，所以中位数为 . (2) 由题意得，， ， ， 则 ， ， 故经验回归方程为 . 当时， ，故估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度为78件/小时. 15 随堂检测 1. 已知变量𝑦与𝑥正线性相关，且由观测数据算得样本平均数， ，则由该观测数据算得的经验回归方程可能为( ). A. B. C. D. 2. 根据如下样本数据得到的经验回归方程为，若，则 每增加1个单位，估计( ). A.增加0.9个单位 B.减少0.9个单位 C.增加1个单位 D.减少1个单位 3. 如图，这是一组数据的散点图,经最小二乘法计算, 与之间的经验回归方程为,则 ____. B A 0.8 3 4 5 6 7 4 2.5 0.5 16 随堂检测 4.某研究机构对高三学生的记忆力𝑥和判断力𝑦 进行统计分析，得下表数据： 已知记忆力𝑥和判断力𝑦 是线性相关的，求经验回归方程. 【解析】由已知得， ， ， ， 则， ， 故所求的经验回归方程为 . 6 8 10 12 2 3 5 6 17 课堂小结 1.知识清单： (1)一元线性回归模型； (2)最小二乘法. 18 $$