2025年四川省成都市中考数学二轮专题复习：B卷26题-几何压轴预测

2025年四川省成都市中考数学B卷26题-几何综合压轴预测 一、中考真题再现 1、（成都2022年中考真题26题12分）如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H． 【尝试初探】 （1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由． 【深入探究】 （2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值． 【拓展延伸】 （3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代数式表示）． 2、（成都2023年中考真题26题12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】 （1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 （2）①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） 【拓展运用】 （3）如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 3、（成都2024年中考真题26题12分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 二、中考压轴预测 预测分析：成都中考B卷26题固定题型考察“平面几何综合”，纵观近3年成都中考B26的考点，不难发现除2022年以矩形入题（但实际还是相似三角形）以外后两年都是以直角三角形入题，题目都是以探究的形式展开，对于这类题目一定要从（1）小问就开始要找准方向，找准解题的侧重点。在思考第（2）（3）小问时要结合第（1）小问来思考解题；本题考察得比较全面，需要有扎实的平面几何功底。 1、折纸是数学课中常见的操作活动，同学们可由此进行观察、猜想和证明．如图1，在矩形纸片中，点在边上，沿折叠矩形，点落在点处，连接交于点． (1)小明发现，在图1中如果延长交边于点，如图2，则有，请说明理由； (2)若矩形是一张纸，且点是边的中点，如图2所示进行折叠与连线，求的值； (3)在矩形纸片中，点、分别在边和上，连接、、，且平分，，，求的值． 2、△ABC中，AB=AC，将AB绕点A逆时针旋转90°到AD，直线AD与直线BC交于点E，过点D作DF∥AB交AC延长线于点F． (1)如图1，当时，连接，若，求的长度； (2)如图2，若点G为的中点，连接，请用等式表示线段之间的数量关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，，连接，点P为边上一动点，连接，以为直角边在其右侧作等腰直角，，并将绕点Q旋转至，连接，请直接写出当和均取得最小值时的面积． 3、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且，，，M，N，P分别为，，的中点，△ADE可以绕着顶点A自由转动． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，B，D，E三点在一条直线上，与相交于点F，利用备用图，求的值． 4、在△ABC中，．    (1)如图1，若，D是边上一点，，是的中线，求的长； (2)如图2，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，点F是边上一点，连接．若，猜想之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（1）的条件下，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，点H，P分别是线段上一点，且，点Q是线段上一点，且，连接，当最小时，请直接写出的面积． 5、一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1． (1)求证：； (2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系． 6、在中，，，点是外部的一点，连接、，若，延长至点，连接，若． (1)如图1，若，，求． (2)如图2，过点作于点交于点，求证：． (3)如图3，将关于对称得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当最大时，请直接写出的值． 7、在△ABC中， 为外一点，连接 连接 交 于点 ，且满足 (1)如图1，若 ，求 的长； (2)如图 为线段 上一点，连接 ，过点 作， 交 的延长线于点 若 求证； (3)如图 为线段 上一点 ，点 是直线 上的一个动点，连接 将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，点 是线段 上的一个动点，连接 若 ，请直接写出 的最小值 8、某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD•AB．理由如下： ∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∵CD⊥AB ∴∠ADC＝90° ∴∠A+∠ACD＝90° ∴∠B＝①_____ ∵∠A＝∠A ∴△ABC∽△ACD ∴②_____ ∴AC2＝AD•AB 请完成填空：①　 　；②　 　； （2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE的长． 9、在中，，，点为线段上一动点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长． （2）如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：． （3）在取得最小值条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 10、综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 11、如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接． 【问题引入】 请你在图或图中证明选择一种情况即可； 【探索发现】 在中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 如图，，延长至点，使，连接当的周长最小时，请你直接写出线段的长． 12、在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点． (1)如图1，若，直接写出和的数量关系和的度数． (2)如图2，若为的中点，求的值． (3)如图3，连接并延长交于点，若，，直接写出的长． 13、【探究】（1）如图1，，，，E是线段的中点，连接并延长交于点F，连接．判断与之间的数量关系，并证明． 【延伸】 （2）如图2，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连接、．判断与之间的数量关系，并证明． （3）将图2中的正方形绕点B旋转一定的角度（如图3），求证上述和的数量关系仍然成立． 14、在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接． （1）如图1，求的大小； （2）已知点和边上的点满足． （ⅰ）如图2，连接，求证：； （ⅱ）如图3，连接，若，求的值． 15、如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：； （3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值． 2025年四川省成都市中考数学B卷26题-几何综合题压轴预测1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年四川省成都市中考数学B卷26题-几何综合压轴预测 一、中考真题再现 1、（成都2022年中考真题26题12分）如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H． 【尝试初探】 （1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由． 【深入探究】 （2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值． 【拓展延伸】 （3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代数式表示）． 【分析】（1）根据两角对应相等可证明△ABE∽△DEH； （2）设DH＝x，AE＝a，则AB＝2x，AD＝4x，DE＝4x﹣a，由△ABE∽△DEH，列比例式可得x＝，最后根据正切的定义可得结论； （3）分两种情况：FH＝BH和FH＝BF，先根据三角形相似证明F在射线DC上，再根据三角形相似的性质和勾股定理列等式可得结论． 【解答】解：（1）∵四边形EBFG和四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BEG＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEH＝90°， ∴∠DEH＝∠ABE，∴△ABE∽△DEH， ∴在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系； （2）如图1，∵H是线段CD中点， ∴DH＝CH，设DH＝x，AE＝a，则AB＝2x，AD＝4x，DE＝4x﹣a， 由（1）知：△ABE∽△DEH，∴＝，即＝，∴2x2＝4ax﹣a2， ∴2x2﹣4ax+a2＝0，∴x＝＝， ∵tan∠ABE＝＝，当x＝时，tan∠ABE＝＝， 当x＝时，tan∠ABE＝＝；综上，tan∠ABE的值是． （3）分两种情况： ①如图2，BH＝FH，设AB＝x，AE＝a， ∵四边形BEGF是矩形， ∴∠AEG＝∠G＝90°，BE＝FG， ∴Rt△BEH≌Rt△FGH（HL），∴EH＝GH， ∵矩形EBFG∽矩形ABCD，∴＝＝n， ∴＝n，∴＝，由（1）知：△ABE∽△DEH， ∴＝＝，∴＝，∴nx＝2a，∴＝，∴tan∠ABE＝＝＝； ②如图3，BF＝FH， ∵矩形EBFG∽矩形ABCD， ∴∠ABC＝∠EBF＝90°，＝， ∴∠ABE＝∠CBF， ∴△ABE∽△CBF，∴∠BCF＝∠A＝90°， ∴D，C，F共线，∵BF＝FH， ∴∠FBH＝∠FHB，∵EG∥BF， ∴∠FBH＝∠EHB， ∴∠EHB＝∠CHB， ∵BE⊥EH，BC⊥CH，∴BE＝BC， 由①可知：AB＝x，AE＝a，BE＝BC＝nx，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2， ∴x2+a2＝（nx）2，∴x＝（负值舍），∴tan∠ABE＝＝＝， 综上，tan∠ABE的值是或． 【点评】此题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定与性质，矩形的相似的性质，矩形的性质以及直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定等知识，注意运用参数表示线段的长，并结合方程解决问题，还要运用分类讨论的思想． 2、（成都2023年中考真题26题12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】 （1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 （2）①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） 【拓展运用】 （3）如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①，证明过程略；②当点F在射线上时，，当点F在延长线上时， ；（3） 【解析】【分析】（1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答； （2）①过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到； ②分类讨论，即当点F在射线上时；当点F在延长线上时，画出图形，根据①中的原理即可解答； （3）如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度，可利用建系的方法表示出的坐标，再利用中点公式求出，最后利用勾股定理即可求出的长度． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 当时，，即， ， ，，, ，，即，， ，；在与中， ，，，； 【小问2详解】 ①；证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点， 当时，，即，是的中点， ，，， ，，， 是等腰直角三角形，且，， 根据（1）中的结论可得，； 故线段之间的数量关系为； ②解：当点F在射线上时， 如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点， 同①，可得，，， ，，同①可得， ， 即线段之间数量关系为； 当点F在延长线上时， 如图，在上取一点使得，过作的平行线，交于点，交于点，连接；同（1）中原理，可证明， 可得，，， ，，同①可得， 即线段之间数量关系为, 综上所述，当点F在射线上时，；当点F在延长线上时，； 【小问3详解】 解：如图，当与重合时，取的中点，当与重合时，取的中点，可得的轨迹长度即为的长度， 如图，以点为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过点作的垂线段，交于点，过点作的垂线段，交于点， ， ，， ，，， ，是的中点，， ， ， ， 根据（2）中的结论，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确地画出图形，作出辅助线，找对边之间的关系是解题的关键． 3、（成都2024年中考真题26题12分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． （1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积分别为4，16，12， 解析：（1）∵，，．∴， ∴，， ∴即，∵；；∴， ∴． （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得， ∴，∵中线；∴， ∴，∵，∴即， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴四边形是平行四边形，∵；∴矩形， ∴，∴， ∴，∴，设，则，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q，∵，∴， ∵，，，∴四边形是矩形， ∴，∴，故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，∴， ∴，∵， ∴， ∴， 解得； 故． 二、中考压轴预测 预测分析：成都中考B卷26题固定题型考察“平面几何综合”，纵观近3年成都中考B26的考点，不难发现除2022年以矩形入题（但实际还是相似三角形）以外后两年都是以直角三角形入题，题目都是以探究的形式展开，对于这类题目一定要从（1）小问就开始要找准方向，找准解题的侧重点。在思考第（2）（3）小问时要结合第（1）小问来思考解题；本题考察得比较全面，需要有扎实的平面几何功底。 1、折纸是数学课中常见的操作活动，同学们可由此进行观察、猜想和证明．如图1，在矩形纸片中，点在边上，沿折叠矩形，点落在点处，连接交于点． (1)小明发现，在图1中如果延长交边于点，如图2，则有，请说明理由； (2)若矩形是一张纸，且点是边的中点，如图2所示进行折叠与连线，求的值； (3)在矩形纸片中，点、分别在边和上，连接、、，且平分，，，求的值． 答案：(1)见解析；(2)；(3) （1）解：点关于折叠到， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，； （2）解：由（1）知：，， 设，则，，，， ，∴∠BOE=90°，又，， ，，，即， ，，． （3）解：延长到点，使得，连接交与点，连接，如图所示： 平分， ， ， ，， ， ， 又四边形是矩形， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ． 2、△ABC中，AB=AC，将AB绕点A逆时针旋转90°到AD，直线AD与直线BC交于点E，过点D作DF∥AB交AC延长线于点F． (1)如图1，当时，连接，若，求的长度； (2)如图2，若点G为的中点，连接，请用等式表示线段之间的数量关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，，连接，点P为边上一动点，连接，以为直角边在其右侧作等腰直角，，并将绕点Q旋转至，连接，请直接写出当和均取得最小值时的面积． 答案：(1)；(2)，证明见解析；(3) 解析：（1）解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，延长到T，使得，连接， 由旋转的性质可得， ∵， ∴，， ∴，∴，∵，∴， ∴，∵，∴，∴，∴， ∵∠ADF=90°，点G为的中点，∴，∴，∴，∴； （3）解：如图所示，以B为直角顶点，为直角边作等腰直角，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，且， ∴， ∴，∴， 由旋转的性质可得， ∴，∴； ∵，∴，∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是正方形，∴， ∴点Q在直线上运动，且，则K、D、F三点共线， ∴当时，有最小值，设此时点Q与重合，∵将绕点Q旋转至， ∴，∴点M在以点Q为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当M、E、Q三点共线，且点E在上时，有最小值，设此时M与重合； 在中，由勾股定理得，∵，G为的中点， ∴，由（2）的结论可知，∴，∴； ∵，∴，∴，， ∴；如图所示，过点作于N，则， 又∵，∴，∴，即，∴， ∴． 3、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且，，，M，N，P分别为，，的中点，△ADE可以绕着顶点A自由转动． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，B，D，E三点在一条直线上，与相交于点F，利用备用图，求的值． 答案：(1)见解析;(2)等腰直角三角形，见解析;(3) （1）证明：，则，， 在与中，，； （2）为等腰直角三角形；           证明： M，N，P分别为，，的中点，， 又；，，， ，，， ； ，为等腰直角三角形； （3）连接．∵，，∴，则， ， ，， 又，为的中点， ∴，，则， ，， 设，则，，，， ，． 4、在△ABC中，．    (1)如图1，若，D是边上一点，，是的中线，求的长； (2)如图2，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，点F是边上一点，连接．若，猜想之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（1）的条件下，在平面内将线段绕点A逆时针旋转得到线段，点H，P分别是线段上一点，且，点Q是线段上一点，且，连接，当最小时，请直接写出的面积． 答案：(1)；(2)，证明见解析；(3) （1）解：∵在中，，，， ∴，，， ∵是的中线， ∴，则， ∴， ∴，， 过D作于F，    ∴在中，， ∴在中，； （2）解：，证明如下： 延长交于T，在上截取，取的中点M，连接、、，   由旋转性质得，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴是等边三角形， ∴，，则， ∴， ∴，， ∴，又， ∴， ∴，则， ∵， ∴，又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴，即； （3）解：如图，过P作于K，   由旋转性质得， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过A作于T，连接，则， ∴，， ∵，，∴，∴，即， 作点C关于的对称点，连接，，分别与相交于、M， 则，，， ∴， 当、P、T共线时取等号，此时，取得最小值，点P与重合， ∵，∴四边形是矩形，∴，， ∵，，， ∴，∴， ∴， ∵，， ∴， 如图，在中，在上截取，过H作于L，  ∴，∴，∴，， 在中，由得， 解得（负值已舍去），∴． 5、一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1． (1)求证：； (2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系． 答案：(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②当时，线段，，的数量关系为；当时，线段，，的数量关系为； 解析：（1）证明：设，∵，，∴，∴， ∵，∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：①∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，即， 而， ∴， ∴四边形是正方形； ②如图，当时，连接， 由（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时，连接， 由（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴； 6、在中，，，点是外部的一点，连接、，若，延长至点，连接，若． (1)如图1，若，，求． (2)如图2，过点作于点交于点，求证：． (3)如图3，将关于对称得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，当最大时，请直接写出的值． 答案：(1)；(2)证明见解析；(3) （1）解：如图，过点作，交的延长线于点，∴， ∵，∴，∴， ∵中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作，交的延长线于点， 又∵，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴，又∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， 又∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， 即； （3）解：∵将关于对称得到，∴，再结合是定值， 则可构造的外接圆，如图，得，又∵， ∴，∵，，∴， ∴点在上，∴为中点，， ∴点在以中点为圆心，为直径的上； 过点作且，连接，，如图， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴，是定长， ∴点在以定点为圆心，长为半径的上； 利用两相交圆上两点之间的最大距离可得当、、、依次共线时，最大，此时如图所示， 过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 7、在△ABC中， 为外一点，连接 连接 交 于点 ，且满足 (1)如图1，若 ，求 的长； (2)如图 为线段 上一点，连接 ，过点 作， 交 的延长线于点 若 求证； (3)如图 为线段 上一点 ，点 是直线 上的一个动点，连接 将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，点 是线段 上的一个动点，连接 若 ，请直接写出 的最小值 答案：(1)；(2)见解析；(3) （1）解：过点作于点， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，， ∵，∴，∴， ∴， ∴， ∴； （2）在上取一点，使得， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ， ， 即； （3）作点的对称点，连接，，，作于点，作于点，作于点，作于点， 则， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点在上运动， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，∴四边形是矩形，∴， 又∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 的最小值为：． 8、某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD•AB．理由如下： ∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∵CD⊥AB ∴∠ADC＝90° ∴∠A+∠ACD＝90° ∴∠B＝①_____ ∵∠A＝∠A ∴△ABC∽△ACD ∴②_____ ∴AC2＝AD•AB 请完成填空：①　 　；②　 　； （2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE的长． 解：（1）①∠ACD，②， 故答案为：∠ACD，； （2）△AEB是直角三角形， ∵∠ACE＝∠AFC，∠CAE＝∠FAC， ∴△ACF∽△AEC， ∴， ∴AC2＝AF•AE， 由（1）得 AC2＝AD•AB， ∴AF•AE＝AD•AB， ∴， ∵∠FAD＝∠BAE， ∴△AFD∽△ABE， ∴∠ADF＝∠AEB＝90°， ∴△AEB是直角三角形； （3）∵∠CEB＝∠CBD，∠ECB＝∠BCD， ∴△CEB∽△CBD， ∴． ∴CD•CE＝CB2＝24． 如图，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C，D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0＝6，交⊙A于D0，CD0＝4，∠CDD0＝90°， ∴CD0•CE0＝24＝CD•CE，则， ∵∠ECE0＝∠D0CD， ∴△ECE0～ΔD0CD， ∴∠CDD0＝∠CE0E＝90°， ∴点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动， 过点B作BE'⊥E0E，垂足为E′，BE′即为最短的BE，连接CE′， ∵∠BCE0＝∠CE0E′＝∠BE′E0＝90°， ∴四边形CE0E'B是矩形， 在RtΔCE0E'中可求得CE′2， ∴CE＝2． 9、在中，，，点为线段上一动点，连接． （1）如图1，若，，求线段的长． （2）如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点． 若，求证：． （3）在取得最小值条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到． 连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值． 解析：（1）解：在中，，，∴， ∵，∴； （2）证明：如图所示，延长使得，连接， ∵是的中点则，，， ∴，∴，∴，∴ ∵是等边三角形，∴， ∵，∴四点共圆， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴； （3）解：如图所示， 在取得最小值的条件下，即， 设，则，， ∴，， ∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到． ∴；∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 取的中点，连接，则是的中位线，∴在半径为的上运动， 当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点， ∵是的中点， ∴，∴是等边三角形， 则，∴， ∵，，∴， ∴，， ∵，∴， 如图所示，连接，交于点，则四边形是矩形， ∴，是的中点， ∴ 即是的中位线，同理可得是的中位线， ∴， ∵是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴；∴ 则；在中， ∴． 10、综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 解：（1）∵，，，∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）∵，，，∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）如图，连接， ∵，正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11、如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接． 【问题引入】 请你在图或图中证明选择一种情况即可； 【探索发现】 在中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 如图，，延长至点，使，连接当的周长最小时，请你直接写出线段的长． 解析：证明：选择图，四边形是正方形，，， ，≌，，由旋转得：，． 选择图，四边形是正方形，，， ，≌，，由旋转得：，． 解：猜想理由如下： 选择图，过点作交于点， 则， 四边形是正方形，， ，，， ，， ，，， ，，， ，≌，， ，，，， ． 若选择图，过点作交的延长线于点， 则，四边形是正方形，， ，，， ，， ，， ，，， ，≌， ，，，，，． 解：如图，取的中点，连接， ， 点是的中点， ， 的周长， 当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，如图， 四边形是正方形， ，，， 在中，， 点是的中点， ，， ， ∽， ， ， ， ，即， ．  12、在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点． (1)如图1，若，直接写出和的数量关系和的度数． (2)如图2，若为的中点，求的值． (3)如图3，连接并延长交于点，若，，直接写出的长． 答案：(1)，；(2)；(3)15 （1）解：∵正方形，∴，，， 由翻折的性质可得，，∴， 又∵，∴，即是等边三角形，∴， ∴，∵，∴，， ∴，∴，∴， ∴综上所述，，． （2）解：∵正方形，∴，，， 由翻折的性质可得，，， ∴，∵为的中点，∴， 延长交延长线于点，∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，即，∴垂直平分，∴，∴， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，延长交于点，连接交于点， ∵正方形， ∴，， 由翻折的性质可得，，， ∴，，∴， 又∵，∴， ∴，∴是的垂直平分线， ∴，，∴， 又∵，∴，即， 又∵，，∴，∴，∴， ∵，∴设，则，∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：，∴． 13、【探究】（1）如图1，，，，E是线段的中点，连接并延长交于点F，连接．判断与之间的数量关系，并证明． 【延伸】 （2）如图2，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连接、．判断与之间的数量关系，并证明． （3）将图2中的正方形绕点B旋转一定的角度（如图3），求证上述和的数量关系仍然成立． 答案：（1），见解析；（2），见解析；（3）见解析 （1）：，理由：证明：∵，∴， ∵E是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； 【延伸】（2），理由： 证明：如图，延长交于点M， ∵四边形，为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵P为的中点，∴， ∵，∴， ∴； ∵， ∴； （3）证明：延长到点Q，使，连接，作于点H， ∴， ∴， 由题意，，，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 14、在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接． （1）如图1，求的大小； （2）已知点和边上的点满足． （ⅰ）如图2，连接，求证：； （ⅱ）如图3，连接，若，求的值． （1）解：∵ ∴， 在中， ∴ （2）证明：（ⅰ）证法一：如图，延长，交于点，则， ∵，；∴．又∵， ∴四边形是平行四边形．∴． ∵是的中点，，∴．∴． ∴四边形是平行四边形．∵，∴是菱形．∴． ∵，∴．∴． ∵，即，∴，即点是斜边的中点．∴． 证法二：∵，是斜边的中点， ∴点在以为圆心，为直径的上． ∵，∴垂直平分．∴．∴． ∵，∴．∴． ∴． 证法三： ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点，， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． ∴． ∵，是斜边的中点， ∴点在以为圆心，为直径的上． ∴． （ⅱ）如图所示，过点作于点， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 15、如图，在等边中，于点，为线段上一动点（不与，重合），连接，，将绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点，连接，，与所在直线交于点，求证：； （3）如图3，连接交于点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，连接，．若，直接写出的最小值． 解析：（1）证明：∵为等边三角形，∴，， ∵将绕点顺时针旋转得到线段，∴，；∴ ∴；即；在和中 ，∴，∴； （2）证明：如图所示，过点作，交点的延长线于点，连接，， ∵是等边三角形，∴， ∵；∴；∴垂直平分，∴ 又∵，∴，∴, ∴在的垂直平分线上， ∵；∴在的垂直平分线上，∴垂直平分 ∴，；∴ 又∵，；∴是等边三角形，∴ ∴；∴， 又∵，；∴ ∴，∴ 在与中，；∴；∴ ∴；∴四边形是平行四边形，∴； （3）解：依题意，如图所示，延长交于点， 由（2）可知是等边三角形， ∴ ∵将沿所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿所在直线翻折至所在平面内，得到， ∴， ∴， ∴等边三角形， ∴ 由（2）可得；∴， ∵，∴， ∵，∴ ∴四边形是平行四边形，∴ 由（2）可知是的中点，则 ∴ ∴ ∵折叠， ， ∴， 又， ∴， ∴当取得最小值时，即时，取得最小值，此时如图所示， ∴， ∴， ∴． 2025年四川省成都市中考数学B卷26题-几何综合题压轴预测1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$