【精准提分】专题09 二元一次方程（组）（13个基础题型+4个压轴题型+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（人教版2024）（原卷+解析版）

【精准提分】专题09 二元一次方程（组）（人教2024） 【13个基础题型+4个压轴题型】 【基础题型一】根据二元一次方程的定义判断 2 【基础题型二】根据二元一次方程的定义求参数的值 4 【基础题型三】用一个字母表示另一个字母 7 【基础题型四】二元一次方程的解相关计算 9 【基础题型五】二元一次方程中整数解问题 13 【基础题型六】判断是否为二元一次方程组 17 【基础题型七】已知二元一次方程组的解求参数 21 【基础题型八】解二元一次方程组（计算题） 24 【基础题型九】二元一次方程组中错解复原问题 31 【基础题型十】构建二元一次方程组求解 40 【基础题型十一】已知二元一次方程组解的情况求参数 45 【基础题型十二】二元一次方程中同解问题 51 【基础题型十三】解三元一次方程及其应用 58 【压轴题型十四】二元一次方程组中特殊解法（选填） 61 【压轴题型十五】特殊解法解二元一次方程组（解答题） 71 【压轴题型十六】二元一次方程组中新定义问题 85 【压轴题型十七】二元一次方程中整除问题 99 【基础题型一】根据二元一次方程的定义判断 例题1（24-25七年级下·天津和平·期中）在下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是整式方程，故不是一元一次方程，故不符合题意； B、∵， ∴， ∴ ∴，不符合二元一次方程定义，故不符合题意； C、最高项的次数为2，不是二元一次方程，故不符合题意； D、是二元一次方程，故符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（24-25七年级下·重庆·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有两个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程”进行求解即可． 【详解】解：A、，不是二元一次方程，故不符合题意； B、，是二元一次方程，故符合题意； C、，不是二元一次方程，故不符合题意； D、，不是二元一次方程，故不符合题意； 故选B． 【变式1-2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义即可求出答案．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：A. ，该方程是二元一次方程，故符合题意；     B. ，该方程不是二元一次方程，故不符合题意；     C. ，该方程不是二元一次方程，故不符合题意； D. ，该方程不是整式方程，故不符合题意． 故选：A． 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（    ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，含有两个未知数，且两个未知数的次数都为的整式方程叫二元一次方程，据此逐一判断即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：下列方程：①；②；③；④；⑤， 是二元一次方程的是①；⑤． 故选：A． 【变式1-4】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列方程中，不是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：（1）共有两个未知数；（2）未知数的项最高次数是1次；（3）都是整式方程．据此逐一判断即可． 【详解】解：A． 未知数的项最高次数是2次，不是二元一次方程，故本选项符合题意； B． 是二元一次方程，故本选项不符合题意； C． 是二元一次方程，故本选项不符合题意； D． 是二元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 【基础题型二】根据二元一次方程的定义求参数的值 例题2（24-25七年级下·北京·期中）已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．1或 【答案】A 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 【变式2-1】（24-25七年级下·吉林·期中）是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， ，， 解得： 故选B． 【变式2-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）若为二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查二元一次方程的概念，解题的关键是能够熟练的掌握二元一次的基本概念即可． 根据二元一次方程的概念分析解答即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ， ， 故答案为：2． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若是关于，的二元一次方程，则的值 ． 【答案】0 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且，且， ∴， ∴； 故答案为：0． 【变式2-4】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，得且，求得m的值． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且， ∴，， 解得， 故答案为：2． 【变式2-5】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）若方程是二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．根据二元一次方程的概念列出方程求解字母的值，代入代数式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ∴ 故答案为：． 【变式2-6】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及二元一次方程的定义、解一元一次方程等知识，先由二元一次方程的定义列出关于的方程，再解一元一次方程求出，代入代数式计算即可得到答案．熟记二元一次方程的定义、解一元一次方程等知识是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程是二元一次方程， ， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式2-7】（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知方程是关于的二元一次方程，则的值分别为 【答案】， 【分析】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义得到，，即可求出的值． 【详解】解：方程是关于的二元一次方程， ，， ，． 【基础题型三】用一个字母表示另一个字母 例题3（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知方程，把它变形为用含x的代数式表示y，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程的变形，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键． 通过移项，等式两边同时除以2，即可求解． 【详解】解： ， ∴， 故选：D． 【变式3-1】（24-25七年级下·北京·期中）把方程改写成用含的式子表示的形式： ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数． 将x看作已知数，进行移项，系数化1即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·广东江门·期中）把方程写成用含的式子表示的形式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程，由通过移项，得，满足题意，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴把方程写成用含的式子表示的形式为， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·期中）已知二元一次方程，则用含y的式子表示x为 ，用含x的式子表示y为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 根据等式的性质得出即可；根据等式的性质得出，再根据等式的性质方程两边都除以2即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 【变式3-4】（23-24七年级下·福建福州·期末）将二元一次方程写成用含x的式子表示y的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程，利用等式的性质对方程进行变形，熟练掌握等式的性质是解答本题的关键． 将含有x的项移到等号右边即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-5】（21-22七年级下·福建福州·期末）把二元一次方程改写成用含的式子表示的形式 ． 【答案】 【分析】把x当作已知数求出y即可． 【详解】解：方程， 解得：． 故答案为． 【变式3-6】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，请你用含的代数式表示 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，先把当已知数求得即可求解． 【详解】解：， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式3-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）把方程改写成用含的式子表示的形式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程，掌握等式的基本性质是解题的关键．可先移项，再系数化为即可． 【详解】解：方程改写成用含的式子表示的形式为， 故选：C． 【基础题型四】二元一次方程的解相关计算 例题4（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（　　） A． B． C．5 D．3 【答案】B 【详解】解：把代入关于x、y的二元一次方程中， 可得：， 解得． 故选：B． 【变式4-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（　　） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程的解，根据方程解的定义代入求解即可． 【详解】解：把代入得到， 解得 故选：B 【变式4-2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知是方程的一个解，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．将方程的解代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-3】（24-25七年级下·北京通州·期中）已知方程，下列选项中是此方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，分别把个选项的值代入方程中计算即可判断求解，理解二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意； 、把代入方程得，， ∴是方程的解，该选项符合题意； 、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意； 、把代入方程得，， ∴不是方程的解，该选项不合题意； 故选：． 【变式4-4】（24-25七年级下·天津河西·期中）下列每对，的值不是方程的解的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键，利用，的值不是方程的解，将，的值代入判断，即可得到答案． 【详解】解：A、当，时，，此项正确； B、当，时，，此项正确； C、当，时，，此项错误； D、当，时，，此项正确； 故选：C． 【变式4-5】（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A．13 B．11 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解，求代数式的值，将代入方程，得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：把代入方程，得：， ∴； 故选：C． 【变式4-6】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知是关于，二元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、代数式求值等知识点，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键． 把代入可得，再把所求代数式化成含有的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入可得， ∴． 故答案为3． 【变式4-7】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）若是方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．根据二元一次方程的解的定义把代入方程中，得到，然后将要求的式子变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴． 故答案为： 【变式4-8】（24-25七年级下·重庆·期中）如果是方程的一组解，那么代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据是方程的一组解，得到，整体代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴． ∴ ． 故答案为：． 【基础题型五】二元一次方程中整数解问题 例题5（24-25七年级下·四川眉山·期中）二元一次方程正整数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 解题思路：要求二元一次方程的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的值，再求得另一个未知数即可． 【答案】B 【详解】解：由，得． 要使x，y都是正整数，必须满足是2的倍数且是正数． 根据以上两个条件可知，合适的x值只能是， 相应的． 所以有2组，分别为，． 故选：B． 【变式5-1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）二元一次方程的正整数解的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解， 先用含有x的代数式表示y，再正整数解讨论得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． 所以符合题意的有2个． 故选：B． 【变式5-2】（2025七年级下·全国·期中）二元一次方程的正整数解有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二元一次方程的正整数解，把y看作已知数表示出x，确定出方程的正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，；当时，； 则方程的正整数解有2组， 故选：B． 【变式5-3】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）二元一次方程的所有正整数解有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，正确理解二元一次方程的解得概念是解题的关键． 直接写出二元一次方程的所有正整数解即可． 【详解】解：由二元一次方程可得，正整数解为： 或或或或，共个， 故选：． 【变式5-4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．根据题意得到方程的正整数解，即可得到答案． 【详解】解：方程在正整数范围内的解有或或， 故选C． 【变式5-5】（24-25七年级下·山东聊城·期中）二元一次方程的正整数解共有（   ）组． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解．由，可得出，结合，均为正整数，即可求出二元一次方程的正整数解． 【详解】解：， ． 又，均为正整数， 或， 二元一次方程的正整数解共有2组． 故选：A． 【变式5-6】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）二元一次方程的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是用y表示出x．将，代入计算得到x为正整数即可． 【详解】解：方程， 解得：， 当时，；时，；时，， 则方程的正整数解有3个． 故选：C． 【变式5-7】（24-25七年级下·北京·期中）已知二元一次方程，写出该方程的一组正整数解： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二元一次方程的解，理解方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．把看作已知数求出，确定出整数解即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴该方程的正整数解为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-8】（24-25七年级下·吉林长春·期中）写出关于的二元一次方程的所有正整数解 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解二元一次方程解的计算是关键． 根据二元一次方程的解的概念求解即可． 【详解】解：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴所有正整数解为， 故答案为： ． 【变式5-9】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）二元一次方程正整数解的个数是 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握用含的式子表示是解题的关键．先用含的代数式表示出，再将符合条件的的值代入即可求解． 【详解】解：∵， ， 当时，， 当时，， 二元一次方程的正整数解的个数是2， 故答案为：2． 【基础题型六】判断是否为二元一次方程组 例题6（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：符合二元一次方程组的定义，则A符合题意； 中不是整式，则B不符合题意； 中的次数不是1，则C不符合题意； 中的次数不是1，则D不符合题意； 故选：A． 【变式6-1】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）若方程组，是二元一次方程组，则“…”可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，未知项的次数最高是1次的整式方程组成的方程组叫二元一次方程组，逐项判断即可． 【详解】解：A、与组成的方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意； B、是二元二次方程，与组成的方程组是二元二次方程组，故此选项不符合题意； C、是分式方程，与组成的方程组不是二元一次方程组，故此选项不符合题意； D、是二元二次方程，与组成的方程组是二元二次方程组，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式6-2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）方程组若属于二元一次方程组，则“……”可以是下列哪个方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组，理解二元一次方程组的定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组，据此逐个判断即可． 【详解】解：A、不是一次方程，故不属于二元一次方程组，不符合题意； B、不是方程，故不属于二元一次方程组，不符合题意； C、不是整式方程，故不属于二元一次方程组，不符合题意； D、是二元一次方程，故属于二元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【变式6-3】（24-25七年级下·广东江门·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义“二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程；两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程”判断即可． 【详解】解：A、含有三个未知数，不是二元一次方程组，此项不符合题意； B、方程组中的第二个方程不是一次方程，此项不符合题意； C、是二元一次方程组，此项符合题意； D、方程组中的第一个方程不是整式方程，此项不符合题意； 故选：C． 【变式6-4】（24-25七年级下·北京·期中）下列方程组：①②，③，其中是二元一次方程组的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义逐项分析判断即可，二元一次方程组：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：①是三元一次方程组，故不符合题意， ②中的第一个方程不是整式方程，故不符合题意， ③是二元一次方程组，故符合题意， 故选：D． 【变式6-5】（24-25八年级上·广东佛山·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程满足的条件是解题关键． 二元一次方程满足的条件：为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1；两个二元一次方程组合成二元一次方程组．根据二元一次方程的形式及其特点逐一判断即可． 【详解】解：A、最高次项的次数是2，故A不符合题意； B、第二个方程不是整式方程，故B不符合题意； C、为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1，故C符合题意； D、整个方程组含有3个未知数，故D不符合题意． 故选：C． 【变式6-6】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义．二元一次方程组的定义的三要点：（1）只有两个未知数；（2）未知数的项最高次数都应是一次；（3）都是整式方程．据此可来逐项分析解题． 【详解】解：A、是二次的，此选项错误； B、方程组含有3个未知数，是三元的，此选项错误； C、符合二元一次方程组的定义，此选项正确； D、是分式，此选项错误． 故选：C． 【基础题型七】已知二元一次方程组的解求参数 例题7（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若方程组的解是，则（   ） A．2 B． C．0 D．4 【答案】C 【详解】解：方程组的解是， ， 解得，， ， 故选：C． 【变式7-1】（24-25七年级下·山东烟台·期中）若是方程组的解，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D．10 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．理解定义是关键． 把代入方程组得到一个关于的方程组，求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 解得：， 则． 故选：C． 【变式7-2】（24-25七年级下·重庆·期中）已知是方程组的解，则的值是（　　） A． B．2 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，涉及已知含参数二元一次方程组的解求参数、解二元一次方程组等知识，先由是方程组的解，代入得到新的方程组求解即可得到的值，代值求解即可得到答案．熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程组的解， ，解得， ， 故选：B． 【变式7-3】（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于，的方程组的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求代数式的值，根据二元一次方程组的解的定义求出字母的值是解题的关键． 将方程组的解代入求出，的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，方程组的解为， 所以， 解得：； 故； 故答案为： 【变式7-4】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，两式相加得：，根据的和为6，整体代入即可得到k的值，熟练掌握二元一次方程组的解，解一元一次方程并知道将整体代入是解决此题的关键． 【详解】解：两式相加得：， ∴， ∵的和为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-5】（23-24七年级上·安徽·期末）若关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数，则的值是 【答案】 【分析】本题考查由含参数的二元一次方程组解的情况求参数，根据题意得到，联立求解得到，进而代入得，解方程即可得到答案，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数， ， 联立，解得， 将代入得，解得， 故答案为：． 【基础题型八】解二元一次方程组（计算题） 例题8（24-25七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：， 由①得， 把代入②可得， 解得， 把代入，可得， 是原方程组的解； （2）解：， 由①得， 把代入②可得， 解得， 把代入，可得， 是原方程组的解． 【变式8-1】（24-25七年级下·河南新乡·期中）解下列方程（组） (1)； (2)． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和运用平方根的性质解方程，解题关键是掌握二元一次方程组的解法和平方根的性质． （1）通过开平方得到两个一元一次方程，解一元一次方程，可得答案 （2）运用代入消元法解方程组即可； 【详解】（1）解： 开方，得 或 解得：，； （2）解： 由①得 把③代入②得 解得， 将代入③得 ， ∴原方程组的解为． 【变式8-2】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①可得：， 将③代入②得， 解得：， 把代入③得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 由①得， 将③代入②得， 解得， 把代入③得， 则方程组的解为． 【变式8-3】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）解 下 列 方 程（组）： (1)； (2) ； (3)． 【答案】(1)或；(2)(3) 【分析】（1）先由平方根运算开方得到或，解一元一次方程即可得到答案； （2）先由立方根运算开方得到，解一元一次方程即可得到答案； （3）根据代入消元法的求解步骤，先将②恒等变形为，代入①求出，再将值代入③即可得到，从而确定方程组的解． 【详解】（1）解：， ， 则或， 或； （2）解：， ， 则， ； （3）解：， 由②得， 将③代入①得， 解得， 将代入③得， 原方程组的解为． 【变式8-4】（24-25七年级下·重庆·期中）解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，解二元一次方程组． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）整理后用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ （2）解：原方程组整理得 把①代入②，得 ， 解得， 把代入①，得 ， 解得， 得． 【变式8-5】（24-25七年级下·北京·期中）解方程或方程组 (1) (2) (3) 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了根据平方根，立方根解方程，解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键． （1）根据直接开方法求解即可； （2）直接开方法求解即可； （3）利用代入法求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3） 由①得：③ 将③代入②，得：； 解得：； 将代入③，解得：； 故该方程组的解为：． 【变式8-6】（24-25七年级下·山西晋城·期中）解下列方程（组）： (1)； (2) 【答案】(1)(2)． 【分析】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组． （1）方程利用去分母、去括号、移项合并、系数化为1求出解即可； （2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可． 【详解】（1）解：去分母得， 去括号刘， 移项合并得， 解得； （2） 解：化简方程组得， 由④得，⑤ 把⑤代入③，得， 解得， 把代入⑤，得， 解得， 所以． 【变式8-7】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）解方程或方程组 (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组的方法，解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解二元一次方程组的方法，利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解；， 由①得， 将③代入②，得， 解得：， 将代入③，得， 所以方程组的解为：． 【基础题型九】二元一次方程组中错解复原问题 例题9（24-25七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 【答案】5 【详解】解：∵甲将①中的看成了它的相反数解得，代入原式得到：， ∴③，， ∵乙抄错②中的解得，代入原式的①得到：， ∴④， ∴， 解得： ∴， 故答案为：5． 【变式9-1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）甲和乙两人同解方程组甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得则的值等于 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组求解的步骤． 将代入②可求的值，将代入①可求的值，然后求解即可． 【详解】解： 将代入得， 解得， 将代入①得， 解得， ， 故答案为：4． 【变式9-2】（24-25八年级下·山西临汾·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的，的值； (2)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 【答案】(1)，；(2)，． 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数、解二元一次方程组、求代数式的值． 根据甲、乙二人求出的方程组的解，把甲求出的解代入方程中求出，把乙求出的方程组的解代入方程中，求出的值即可； 由（1）可得原方程组为，解方程组求出正确的、的值，再把求出的正确的解代入代数式中求值即可． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：； 把代入， 可得：， 解得：； （2）解：由（1）可得原方程组为， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 解得原方程组的正确解为， ． 【变式9-3】（24-25七年级下·重庆万州·期中）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】2 【分析】根据甲看错了方程①中的a，②没有看错，代入②得到一个方程求出b的值，乙看错了方程②中的b，①没有看错，代入①求出a的值，然后再把a、b的值代入代数式计算即可求解．本题考查了 二元一次方程组的错解复原问题，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【详解】解：∵甲、乙两人共同解关于x，y的方程组由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为， 把代入，得， ∴ ∴， 把代入，得， ∴ ∴， ∴． 【变式9-4】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，求出正确的a，b的值 【答案】， 【分析】把代入②中求得b值，把代入①中求得a值，后求值计算即可． 本题考查了方程组的解法，代数式的值计算，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，； 把代入的②中，得， 解得； 把代入①中，得， 解得， 故，． 【变式9-5】（24-25七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人解关于，的方程组，甲因看错了，解得，乙将方程②中的写成了它的相反数，解得．求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组； 根据二元一次方程组的解的定义，将分别代入，可以求出的值，再将 代入求出的值，进而得出，再代入原方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：将分别代入得：， 解得：， 将，代入后，左右两边不相等， 故：，将，代入后可得： ，解得：， 原方程组为 ①+②得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴原方程组的解为： 【变式9-6】（24-25七年级下·四川宜宾·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为 (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把看成了，乙把看成了；(2) 【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键． （1）甲看错了方程组中的，把代入①，②，乙看错了方程组中的，把代入①，②，从而求出、正确的值和错误的值； （2）把，代入原方程组，然后用加减消元法解出方程组的解． 【详解】（1）解：， 把代入①，②得， ， ， ． ； 把代入①、②得， ， ， ， ； 甲把看成了，乙把看成了； （2）把，代入原方程组， 原方程组为， 由②，得③， ，得， 把代入①，得， 原方程组的解：． 【变式9-7】（24-25七年级下·重庆万州·期中）甲、乙两人解同一个关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)求a与b的值； (2)求的值． 【答案】(1)，(2)2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． （1）将代入方程组的第②个方程，将代入方程组的第①个方程，联立即可求得a与b的值； （2）将a与b的值代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，将代入②可得：，解得：； 将代入①得：，即． （2）解：， ， ， ． 【变式9-8】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了，解得；乙解题时看错了，解得．请你根据以上两种结果，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，求平方根．把甲的解代入中求出n的值，把乙的解代入中求出m的值；把m与n的值代入即可求得平方根． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴的平方根为， 即：的平方根为． 【变式9-9】（24-25七年级下·河南新乡·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，而得到方程组的解为． (1)求出a和b的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)，(2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． （1）把代入②可解得正确的b，把代入①可解得正确的a； （2）利用代入消元法求解即可．； 【详解】（1）解： 把代入②得， 解得； 把代入①得 ， 解得：； （2）把，代入得 由④得 将⑤代入③得 解得 把代入⑤得 ∴原解方程组的解为． 【基础题型十】构建二元一次方程组求解 例题10（24-25七年级下·重庆·期中）对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选A． 【变式10-1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）对于非零的两个实数，规定．若，则的值为（   ） A． B．13 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，理解题意，明确算法是解决本题的关键．首先根据规定，若，可得，，解得，的值，据此即可解答． 【详解】解：规定，若， ， 解方程组得，， ， 故选：C． 【变式10-2】（23-24七年级下·河北保定·期末）定义一种新运算“※”，规定，其中a，b为常数，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解新运算法则是解题关键．根据已知等式列方程组，求出、的值，再计算求值即可． 【详解】解：，且， ，解得：， ， ， 故选：B 【变式10-3】（24-25九年级下·四川广安·期中）对于，定义一种新运算“”为：，其中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么 ． 【答案】13 【分析】本题考查了新定义运算、解二元一次方程组，由题意可得，求解得出，从而计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式10-4】（24-25七年级下·广东广州·期中）若实数x，y满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，根据非负数的性质列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，然后根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式10-5】（24-25七年级下·山东日照·期中）已知，，，…，中每一个数值只能取、0、1中的一个，且满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，根据题意列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键．先设有个取，个取，其余的取，根据，可得出关于，的二元一次方程组，求出，的值，再把，及的值代入求解． 【详解】解：设有p个x取1，q个x取， 则有， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式10-6】（23-24七年级下·四川德阳·期末）若关于、的二元一次方程无论实数取何值，此二元一次方程都有一组相同的解，则这个解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组是解题的关键． 把方程整理成关于m的方程，根据无论m取何值时，此二元一次方程都有一个相同的解令m的系数为0，然后得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵无论取何值时，此二元一次方程都有一个相同的解， ∴， 解得：， ∴这个相同的解是， 故答案为：． 【变式10-7】（23-24七年级下·浙江温州·期中）关于的整式，它的各项系数之和为∶(常数项系数为常数项本身)．已知是关于的整式，最高次项次数为2，系数为1．若是一个只含两项的多项式，则各项系数之和的最大值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查整式的定义，多项式乘多项式，解二元一次方程．根据题意对整式的表述，可设、为待求的常数），计算，整理后得到关于的三次四项式．由于条件说乘积是只有两项，故有两项的系数为0，需分3种情况讨论计算，列得关于、的方程组，据此求解即可． 【详解】解：是关于的整式，最高次项次数为2，二次项系数为1， 设，、为常数， ， 乘积是一个只含有两项的多项式， ①， 解得：， ，各项系数之和为； ②， 解得：， ，各项系数之和为； ③， 解得：， ．各项系数之和为； ∵； 则各项系数之和的最大值为7． 故答案为：7． 【变式10-8】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）若，则代数式xy的值是 ． 【答案】0 【分析】根据任何数的平方以及绝对值都是非负数，两个非负数的和是0，每个非负数都等于0，得到关于x、y的方程组，解方程求得x，y的值，进而就可求得xy的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 则xy＝0． 故答案为：0． 【基础题型十一】已知二元一次方程组解的情况求参数 例题11（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：由， 将方程组中的两个方程相加，得， 故， 由， 得， 解得． 故选：D． 【变式11-1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知关于的方程组，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 利用加减消元法把方程组变形为，得到，得出，解得，即可得到答案． 【详解】解∶ 得， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式11-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若关于x，y的方程组的解互为相反数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件可知，然后把代入求出，从而求出，最后把，代入，求出即可． 【详解】解：关于，的方程组的解互为相反数， ， 把代入得：， 解得：， ， 把，代入得： ， 故答案为：． 【变式11-3】（24-25七年级下·重庆万州·期中）若关于，的方程组有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟知二元一次方程组有无数组解时，方程组的两个方程是同一个方程是解题的关键． 根据题意可知方程和方程是同一个方程，据此求解a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于，的方程组有无数组解， ∴方程和方程是同一个方程， ∴， ∴，则 故答案为：． 【变式11-4】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将方程组两个方程相加得到，整理得到，结合方程组的解满足，得到关于的方程，解出的值即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 方程组的解满足， ， 解得：． 故答案为：． 【变式11-5】（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)，(2)(3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 【变式11-6】（24-25七年级下·四川内江·期中）已知关于的二元一次方程组． (1)当时，求方程组的解； (2)若方程组的解与的值互为相反数，求的值； (3)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法，理解二元一次方程的解的定义是正确解答的前提． （1）把代入方程组中的每个方程，再运用加减消元法解方程即可； （2）求出方程组的解，再根据方程组的解与的值互为相反数列方程，求出的值即可； （3）求出方程组的解，再根据列不等式，求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，方程组变形为： ， 得，， 解得，， 把代入①得， 解得，， 所以，方程组的解为：； （2）解：， 得，， ∴， 把代入②，得：， ∴， ∵与的值互为相反数， ∴，即， 解得，； （3）解：∵，，且， ∴， 解得，． 【变式11-7】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于、的方程组 (1)若，求方程组的解； (2)若方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及求解二元一次方程中参数的值的知识，掌握加减消元法是解答本题的关键． （1）将代入方程组，解出x，y值即可； （2）将当做常数，采用加减消元法即可得方程组的解；再代入中，解方程即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：； （2）解：， 得， 解得：，代入中， 解得：， ∴方程组的解为：； 将代入到中， 有， 解得． 即的值为． 【变式11-8】（24-25七年级下·山东聊城·期中）是否存在一个数，使关于x，y的方程组的解满足？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出，再把，代入中得到关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：解方程组得， 将代入，得 解得， ∴当时，方程组的解满足． 【基础题型十二】二元一次方程中同解问题 例题12（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如关于，的方程组和有相同的解，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】B 【详解】解：方程组和有相同的解， 则有， ，得， 解得， 把代入①，解得， 把，，代入， 得， ，得， 解得， 把代入④，解得， 当，时，． 故选：B． 【变式12-1】（24-25七年级下·重庆·期中）若关于、的二元一次方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据题意得到方程组，解方程求出、再代入方程组，求出即可．解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义和解二元一次方程组的一般步骤． 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组和有相同的解， ∴， ，得：， 解得：， 把代入，得：， ∴方程组的解为， 把代入方程组得： ，得：， ∴， 即的值为． 故答案为：D． 【变式12-2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴与的解相同， 由，解得， ∴，解得， ∴； 故选D． 【变式12-3】（24-25七年级下·四川眉山·期中）若关于、的方程组和的解相同，则的值 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，代入即可求解． 【详解】解：解得， ， 把代入得， ， 解得， ． 故答案为：． 【变式12-4】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果关于的二元一次方程组与关于的二元一次方程组有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，两个二元一次方程组有相同的解，首先从每个方程组中取一个系数完整的方程，组成一个新的方程组，解新方程组求出方程的解，再把求出的解分别代入方程，，得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，再把、的值代入代数式计算即可． 【详解】解：解方程组， 得：， 解得：， 把代入方程可得：， 解得：， 方程组的解为， 把分别代入，， 可得：， 得：， 解得：， 把代入方程可得：， 解得：， 方程组的解为， ． 故答案为： ． 【变式12-5】（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）已知关于x，y的方程组和有相同解，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】此题考查了两个二元一次方程组有公共解，熟练掌握二元一次方程组解的定义，解法是关键． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴原方程组可化为（1）， （2）， 解方程组（1）得， 代入（2）得， 解得：． 故答案为：2；3． 【变式12-6】（24-25七年级下·广东惠州·期中）若方程组和方程组有相同的解． (1)求方程组的解． (2)求a，b的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间解得关系． （1）由题意得，解方程组即可解答． （2）首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到关于a、b的方程组，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵方程组和方程组有相同的解， ∴， 得，解得， 将代入①得，解得 ∴方程组的解为． （2）解：由（1）可得是方程和方程的解， ∴， 解得 【变式12-7】（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知关于，的方程组和方程组的解相同． (1)求出这两个方程组的相同解； (2)求出的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的核心思想是消元，有加减消元法和代入消元法．是方程组中每个方程都成立的未知数的值，是方程组的解． （1）根据两方程组解相同，联立①和③，再用加减消元法求解即可； （2）把方程组的解代入②和④，联立求解出a和b的值，再代入即可． 【详解】（1）解：∵方程组与方程组的解相同， ∴联立①和③得：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：把代入②和④得：， 由得：， 解得：， 把代入⑤得：， 解得：， ∴． 【基础题型十三】解三元一次方程及其应用 例题13（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：根据题意，把三个方程相加，得， 解得． 故选：B． 【变式13-1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知方程组的解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程组的特殊解法，利用整体的思想解题是关键．将方程组中的三个等式相加求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 故选：B． 【变式13-2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程组的应用．根据题意，正确的列出三元一次方程组，是解题的关键．根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵等式中，当时，；当时，；当时，； ∴，解得：； 故选：B． 【变式13-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 【变式13-4】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解三元一次方程组，将三个式子相加求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式13-5】（24-25七年级下·福建泉州·期中）用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于，，的三元一次方程组，若为定值，则与的关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键．根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， 得：， ∵为定值， ∴． 故答案为：． 【变式13-6】（24-25八年级上·四川成都·期中）若方程组的解满足，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了解三元一次方程组和点坐标所在象限的判定，方程组三方程相加即可求出的值，从而得到k的值，即可得到P的坐标，再进行判断即可． 【详解】解：， 得， 整理得， ∴， ∴， 点为， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 【变式13-7】（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，代值列出三元一次方程组进行解答，即可． 【详解】解：由题可得：， 解得， ∴等式为， 故答案为：． 【压轴题型十四】二元一次方程组中特殊解法（选填） 例题14（24-25七年级下·福建泉州·期中）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的 则得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解为， 故选：B． 【变式14-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组（a，b为常数）的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是利用整体思想． 根据二元一次方程组的解的定义，利用整体的思想得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：C． 【变式14-2】（24-25七年级下·北京·期中）若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件和二元一次方程组的解的定义得到，求出，即可． 【详解】解：∵， ∴， 方程组的解为， ， 解得：， 方程组的解为：， 故选：C． 【变式14-3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解， 先将原方程组整理为，根据题意可得，再求出方程组的解即可． 【详解】解：将原方程组整理为：， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， 解得． 故选：A． 【变式14-4】（24-25七年级下·四川内江·期中）已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组解的定义．先将原方程组整理，再运用整体的思想，得，解得． 【详解】解：由题意，方程组的解为， 方程组整理得：， ∴方程组的解为：， 解得， 故选：B． 【变式14-5】（24-25七年级下·山东日照·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，原方程可化为，根据题意得出，，即可求解． 【详解】解：，即， ∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式14-6】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，仿照已知方程组的解确定出所求方程组x，y的关系，再联立解出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解为：， 解得， 故答案为：． 【变式14-7】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，也考查了解二元一次方程组．二元一次方程组的解看成，解出x，y即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴把关于二元一次方程组看作关于和 的二元一次方程组， ∴， 解得：， 则二元一次方程组的解是， 故答案为： 【变式14-8】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若方程组解为则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，设，则方程组变为，再根据二元一次方程组的解的定义得出，继而得出，从而得到，即可求出的值，观察方程组的系数特点并准确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 则方程组为， ∵方程组解为， ， ， ，， ，， ， ， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【变式14-9】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，掌握整体思想的应用是解题关键． 把，，看作一个整体，则第二个方程组与第一个方程组形式和结构一样，是同解方程组，得出，由此即可求解． 【详解】解： 根据题意可知：， 解得， 故答案为：． 【变式14-10】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若方程组的解是，则方程组的解 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，理解二元一次方程的解的计算是关键． 根据题意，将原方程组变形得，结合原方程组的解得到，由此即可求解． 【详解】解：， 将方程组变形得，， ∵的解是， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【变式14-11】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义和解二元一次方程组的一般步骤． 先利用等式的基本性质把方程组变形为：，然后根据已知条件，列出关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：方程组变形为：， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴方程组的解为， 由①得：， 由②得：， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【变式14-12】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程组的解以及方程组的变形求解，解题的关键是通过对已知方程组解的运用，将所求方程组进行合理变形． 利用已知方程组的解，把所求方程组进行转化，通过对比系数求出未知数的值． 【详解】已知方程组的解是， 将其代入原方程组可得， 把代入可得： ， 进一步变形为． 解得；， 所以方程组的解是， 故答案为：． 【压轴题型十五】特殊解法解二元一次方程组（解答题） 例题15（24-25七年级下·浙江台州·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：（1）设m，n，则原方程组可化为， 解得，， 即， 解得，； （2）解：根据题意得， 解得，； （3）设，，则原方程组可化为， 解得，， ∴， 解得，． 【变式15-1】（24-25七年级下·广东珠海·期中）解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组； (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，4，1，(2)；(3)． 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：，4，1，； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 【变式15-2】（24-25七年级下·重庆万州·期中）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． (1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为． (2)请用换元法解方程：． 【答案】(1)，；1，3(2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的特殊解法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合上下文，则得，再运用加减消元法解，，再得，同理解得，即可作答． （2）模仿题干过程，先设，则原方程组可化为关于a、b的方程组，运用加减消元法解得，，则同理解得原方程组的解为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设，， 则原方程组可化为关于a、b的方程组， 由得， 解得 把代入， 得， ∴ ∴， 整理得， 两式子相加得， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 故答案为：，；1，3． （2）解：∵， ∴设， 则原方程组可化为关于a、b的方程组， 由得， 解得， 把代入， 得， ∴ ∴， 整理得， 两式子相加得， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 【变式15-3】（24-25七年级下·河南南阳·期中）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即③， ③，得④， ②④得， 从而可得， ∴原方程组的解是． (1)请你仿照上面的解题方法解方程组； (2)请你仿照上面的解题方法解方程组； (3)请大胆猜测关于的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证． 【答案】(1)(2)(3)，见解析 【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题干的方法是解题的关键． （1）仿照题干的方法求解即可； （2）仿照题干的方法求解即可； （3）根据题干和（1），（2）中的结果直接猜测方程组的解是，分别代入到方程组进行验证即可． 【详解】（1）解： ，得， ， 得， 得， 把代入②得， 解得：， 方程组的解是； （2）解：； 得，即③， 得， 得， 把代入③得， 解得， 原方程组的解是； （3）解：猜测方程组的解是， 检验：把代入方程得左边，右边，左边＝右边， 把代入方程，得左边，右边，左边＝右边， 是关于的方程组的解． 【变式15-4】（24-25七年级下·云南昆明·期中）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组 解：把②代入①，得，解得， 把代入②，得． 所以方程组的解为． (1)请用同样的方法解方程组； (2)已知方程组的解为，可以运用整体思想， 解方程组直接得出_____，_____， 所以该方程组的解为_____． 【答案】(1)(2)；； 【分析】本题考查了解二元一次方程组的整体代入法和换元法，解题关键是通过整体代入和换元，将复杂方程组转化为简单方程组求解； （1）仿照已知整体代入法求出方程组的解即可． （2）设，，利用换元，整体代入法求出方程组的解即可． 【详解】（1）解： 由①，得③． 把③代入②，得 解得．         把代入③，得．     所以方程组的解为 （2）令，，则 ， ∵方程组的解为， 即， 解得， 故答案为：，，． 【变式15-5】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元；那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． (1)解方程组． (2)猜想：下列关于x、y的方程组的解是什么？并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，仔细阅读题目信息，理清方程组求解的方法思路是解题的关键． （1）根据题目信息，两个方程相减求出的值，然后再利用加减消元法求解； （2）根据题目信息以及（1）的结论猜想方程组的解． 【详解】（1）解：， ①②得，， 所以，③， 将③，得④， ②④，得， 把代入③得，， 方程组的解是； （2）解：猜想：关于、的方程组的解是． 理由：， ①②得，， 所以，③， 将③，得④， ②④，得， 把代入③得，， 方程组的解是． 【变式15-6】（23-24七年级下·全国·期末）小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过“换元”可以解决问题．设，则原方程组可化为_______，解关于的方程组，得，所以解这个方程组，得_______． (2)运用上述方法解方程组：． (3)已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的二元一次方程组的解． 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； （3）将所求方程组变形为，然后得出，进而可得答案． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 解方程组， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 所以； （2）解：设，则原方程组可化为， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得： 解得， 所以， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 所以； （3）解：方程组可化为， 所以， 所以． 【变式15-7】（24-25七年级下·吉林长春·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知数字的值求代数式的值等． （1）根据题意列式，计算出来即可； （2）根据题意利用换元法解方程即可； （3）先求出的值，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， 故答案为：； （2）解：， 设，， ∴， 得：，即：， 将代入①得：，即：， ∴，解得：； （3）解：， 得：，即：， 将代入②得：，即：， ∴， 故答案为：． 【压轴题型十六】二元一次方程组中新定义问题 例题16（24-25七年级下·广东广州·期中）对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：分析第二个方程 1.若为偶数， 则, 化简得： ， 2.若为奇数， 则, 化简得： ， 处理第一个方程， 情况1：， 1.计算内层运算， ， 因此，。 2.计算外层运算，和为： 奇偶性分析： 为奇数（因为奇数)，为偶数，故和为偶数。 因此，外层运算结果为： ， 根据方程： ，整理得：， 3.联立方程1和方程3， ， 解得：。 情况2：， 1.计算内层运算， ， 因此，。 2.计算外层运算，和为：(必为奇数)， 因此，外层运算结果为：， 根据方程： ， 解得： (非整数，不符合题意)， 综上所述，的值为3． 【变式16-1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如；，则方程组的解为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查解二元一次方程组以及分类讨论的思想，先根据加减消元法解出，，然后再根据分类讨论，分别求出合适的a，b值即可． 【详解】解： ②，， 解得， 将代入①得：， 解得：， 当时，即当时，得， 解得：， 当时，即当时，得， 解得：（舍去） 当时，即当时，， 解得：， 当时，即当时，， 解得：， 综上：原方程组的解为：或， 故答案为：或． 【变式16-2】（2025七年级下·浙江·期中）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了解二元一次方程组，实数的新定义运算，分类讨论与分别为非负数和负数四种情况考虑，方程组利用题中的新定义化简求出与的值，即可作出判断． 【详解】解：当，，即，时， 解得： 当，，即，时， 解得：， 当，，即，时， 解得： （舍去） 当，，即，时， 解得：（舍去） 综上所述，或. 故答案为：或． 【变式16-3】（24-25七年级下·四川南充·期中）定义：当两个实数，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组中方程组的解与具有“友好关系”，试求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】(1)方程组的解与具有“友好关系”，理由见解析 (2)；，或， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程，熟知解二元一次方程组和解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）把方程组中两个方程相减即可证明，据此可得结论； （2）根据题意可得，解方程组求出x、y的值，再把x、y的值代入方程中，并解方程求出a、b的正整数值即可得到答案． 【详解】（1）解：方程组的解与具有“友好关系”，理由如下： 得， ∴方程组的解与具有“友好关系”； （2）解：∵方程组中方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴是正整数，即b为正偶数， ∴当时，；当，； 【变式16-4】（24-25七年级下·全国·期中）定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】(1)具有友好关系．理由见解析(2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据方程组的解的情况，求参数的值： （1）用，得到，即可得出结论； （2）根据x与y具有“友好关系”，得到，结合组成新的方程组，求出的值，得到关于的二元一次方程，进而求出其正整数值即可． 【详解】（1）解：x与y具有“友好关系”，理由如下： 由方程组， 得， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2）解：∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴③ 联立， 解得， 把代入中得， 则a，b的正整数值为或． 【变式16-5】（24-25七年级下·北京·期中）对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足（其中为常数），则称该方程组具有性质．例如，当时，方程组的解满足，所以该方程组具有性质． (1)下列关于，的方程组具有性质的是______（只填写序号）； ；； (2)用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下面问题： 若关于，的方程组具有性质，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，绝对值不等式的应用以及对新定义概念的理解，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）解两个二元一次方程组，计算解中与的绝对值差，判断是否满足的性质； （2）将和视为整数变量，解方程组确定其值，根据取整函数的定义，确定和的取值范围，然后在和的取值范围内，找到使最小的组合即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ，不满足性质； 解方程组得， ，满足性质； 故答案为：； （2）解：设（整数），（整数）， 则方程组化为， 解得， ，， ，， 当，时，最小，此时最小， ，故的最小值为． 【变式16-6】（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 【答案】(1)52(2)13，31(3)是常数为9，见解析 【分析】本题考查了新定义，解答本题的关键是明确题意，理解“相异数”． （1）根据题目中“相异数”的定义即可判断； （2）根据题目中“相异数”的定义，即可得到所有“相异数”b的值； （3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由“相异数”的定义可得，两位数：20，52，44中，“相异数”为52； （2）解：设“相异数”b的十位数字是x，个位数字是y， ∵“相异数”b满足 ∴ ∴ 即 ∵个位数字与十位数字互不相同，且都不为零 ∴当时，，此时b的值为13； 当时，，此时b的值为31； ∴所有“相异数”b的值为13，31； （3）解：是常数，理由如下： ∵m、n都是“相异数”，且 设，则 ∴ ， ∴． 【变式16-7】（24-25七年级下·北京·期中）定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出方程的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，直接写出代数式的值． 【答案】(1)，(2)；(3)2025 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“对称方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“对称方程”为， 联立得， 解得， 故答案为：，； （2）解：方程的“对称方程”为， 联立得， ∵方程组的解为， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得，即， ∴ ， 【变式16-8】（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1，(2)53)(4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 【变式16-9】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为________； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为________； (3)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②的：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方 程组为，解得， ∴把代入可得，即， ∴， 【变式16-10】（24-25七年级下·四川乐山·期中）【阅读感悟】： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？ (3)对于两数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么_________． 【答案】(1)；5(2)购买这批防疫物资共需6700元(3) 【分析】（1）直接把两个方程相加或相减，即可求出答案； （2）根据题意，列出方程组，然后利用整体思想代入计算，即可得到答案； （3）根据题意，利用新定义进行计算，然后利用整体的思想即可求出的值． 【详解】（1）解：， 由得：； 由，得， ∴． （2）解：设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元， 依题意，得： ， 由可得， ∴． 答：购买这批防疫物资共需6700元． （3）解：依题意，得： ， 由可得：， ∴． 【压轴题型十七】二元一次方程中整除问题 例题17（24-25八年级下·重庆璧山·期中）一个四位正整数的千位上的数字小于十位上的数字，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，均等于10，则称为“十全十美数”，将“十全十美数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的和记为，将“十全十美数”的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的差记为．例如：四位正整数2873，，且 是“十全十美数”，此时，，． （1）若是最大的“十全十美数”，请直接写出： ； （2）若是“十全十美数”，且能被9整除，求符合条件的的最小值 ． 【答案】 【详解】解：（1）由题意可知，十位数字要大于千位数字，那么千位最大是8，那么百位为2，十位数字为9，个位为1， ∴， 故答案为：8291； （2）解：设的千位数字是，十位数字是，则百位数字是，个位数字是， ， ， 能被9整除， 能被9整除， ， ， ，或，或，或， 是或或或． ∴符合条件的的最小值 【变式17-1】（24-25七年级下·重庆万州·期中）若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”例如：、都是“双生数”．将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到一个四位数，规定．例如：若，则；计算 ．若一个“双生数”（，，且，为整数），当能被6整除时，求满足条件的所有值中的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了新定义，整除问题，根据新定义表示要求的式子是解本题的关键． 直接利用新定义计算即可得出结论；把合并，再用a、b表示，最后计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 当时， 由题：为整数， 为的倍数 或或或或或 经讨论得：或或或 当时， 故答案为：；． 【变式17-2】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）一个四位自然数，其中，，不为0，如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于81，即，那么就称这个数为“九九归一数”．把“九九归一数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：一个四位数，，是“九九归一数”，且．则最小的“九九归一数”是 ，若是“九九归一数”，且能被13整除，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 1629 5310 【分析】本题主要考查了数的规律探索，整式的运算，解方程组等知识点．根据题目的对“九九归一数”的定义求解第一空．根据题目对“九九归一数”的定义，求出a，b，c，d之间的关系式，然后根据题目讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 而是中的千位数字，要求最小的“九九归一数”，则， ∴①， 而是中的百位数字，要求最小的“九九归一数”，也要最小， 而①中、最大可以是9， ∴，即最小取6， ∴②， 而是中的十位数字，要求最小的“九九归一数”， 也要最小，则取最大， ∴，， ∴最小的“九九归一数”为1629； ∵， ∴， 又，即③， 则， ∴， ∴④， 要使④能被13整除，则④应该是13，即⑤， 要使最大，则千位数字最大，由⑤知最小也得是3， 当时，由③得，显然不符合； 当时，由③得，即，显然不符合； 当时，由③得，即，结合⑤，显然不符合； 当时，由③得，即， 最大是3，则，此时，， ∴的最大值为5310， 验证：， ， ， ∴5310符合题意， 故答案为：1629，5310． 【变式17-3】（2025·山东日照·一模）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“成双数”．对于“成双数”M，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．例如“成双数”3412，．若“成双数”M千位上的数字与个位上的数字之和为7，且能被3整除，则满足条件的“成双数”中的最大数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义问题，整式加减的应用，二元一次方程的应用，正确理解新定义是解题的关键．根据题意表示出各个数位上的数，求出，根据能被3整除，进而求解即可． 【详解】解：根据题意：M千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为，个位上的数字为，且， 则 ， ∴， ∵能被3整除， ∴能被3整数， ∴能被3整数， ∵，且b越大，M越大， ∴当时，不能被3整除，不符合题意； 当时，能被3整除，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的“成双数”中的最大数为， 故答案为：． 【变式17-4】（24-25七年级下·重庆·期中）一个各数位数字互不相等且均不为0三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去4等于十位数字，则称这个三位数为“至善数”，例如：631，因为，则称631是“至善数”；则最大的“至善数”与最小的“至善数”之差是 ；若正整数，记．且，是两个不同的“至善数”（，，，且y，z，m，n均为整数），且能被17整除，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，新定义、数的整除等知识，分类讨论是解题的关键 根据最大的“至善数”可得，进而根据定义求得，同理求得最小的“至善数”的，再求得的值，求两数的差，即可求解．，是两个不同的“至善数”，可得方程组；再根据列代数式，最后根据能被17整除进行分类讨论，即可得答案． 【详解】解：∵是“至善数”， ∴，则 最大的“至善数”可得，则，则最大的“至善数”为 最小的“至善数”的，则，则最小的“至善数”为 ∵，是两个不同的“尚美数， 得，即， ． ∵，，， ． ∵能被整除， ∴或或或或51． ①当时，即， ∴， 当时，，，， ∴ ②当时， 当时，，，， ∴ ③当时， 当时，，，， ∴（舍去） ④当时， 当时，，，， ∴ ⑤当时， 当时，，，， ∴，（相同，舍去） 综上所述，， 故答案为：；． 【变式17-5】（24-25八年级下·重庆·期中）如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0．且前两位数字之和为6，后两位数字之和为9，则称M为“智数”，把“智数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数、规定．例如：是“智数”则．如果“智数”，则 ；已知是“智数”，（且a，b，c，d均为整数），若恰好能被7整除，则满足条件的S的最大值与最小值之和是 ． 【答案】 21 6708 【分析】本题考查整式的加减运算．根据的计算方法，求出，，根据恰好能被7整除，得到能被7整除，分类讨论求出最大值和最小值即可．理解新定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：； ， ∵是智数， ∴， ∴， ∴， ∵恰好能被7整除， ∴能被7整除， ∴能被7整除， ∵且a，b，c，d均为不为0的正整数，， ∴， ∴， ∴ 当最大时，则：，， ∴当时，，不符合题意； 当，即：，当时，，此时， ∴为； 当时，，不符合题意； 故满足条件的S的最大值是． 当最小时，则：，， ∴当时，，不符合题意； 当，即：，当时，，此时， ∴为； 当时，，不符合题意； 故满足条件的最小值为， ∴ 故答案为：． 【变式17-6】（24-25九年级上·重庆巫山·期中）一个各位数字都不为且互不相等的四位自然数，若千位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，则称这个四位数为“均衡数”，最大的均衡数是 ；将“均衡数”的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数n．记，，，均为整数，则满足条件的m的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字问题，新定义，四位数的表示，整式的加减，二元一次方程的解，整数被某数整除时求字母的值，难度比较大，能够理解新定义并熟练掌握所学知识是解题的关键．设的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，，根据题意，表示出和，再表示出和，根据和均为整数来确定，，，的值． 【详解】解：设的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，，则有，且各位数字都不为0且互不相等， ∴当这个均衡数最大时，，则， ∴最大的均衡数为； ∵的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数， ∴，， ， 不妨设， 则， 当，即时，为整数； ， 当被整除时为整数，可得最大等于， ∵各位数字都不为0且互不相等，且， ∴排除，为和，只能是和， 再根据均衡数的定义，求得，， ∴满足条件的的最大值是， 故答案为：，． 【变式17-7】（24-25九年级上·重庆巫山·期末）若一个四位正整数的各位数字之和是百位数字与十位数字之和的倍，则称这个四位正整数为“三和数”．将一个“三和数”的百位数字与十位数字交换位置后，得到一个新的四位数，记，则 ；当“三和数”的百位数字是个位数字的倍，千位数字与十位数字之和能被整除时，，当 最大时， 的值为 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，二元一次方程的解，直接根据定义求解；设“三和数”m千位、百位、十位和个位的数字分别为a、b、c、d，根据定义可得，根据千位上的数字与十位上的数字之和能被9整除，列举出符合条件的a、c的值，根据最大时得出的最大值为，进而得出的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：， 设“三和数”千位、百位、十位和个位的数字分别为、、、， ∴， 由“三和数”定义可得， ∴， ∵百位上的数字是个位上的数字的2倍， ∴， ∴，即 ∵千位上的数字与十位上的数字之和能被9整除， 或或 当时，，不合题意； 当时，则 ∴，∵不合题意，舍去 当时，则， ∴ ∴当取得最大值时， ∴ ∴ ∴ ∴当最大时，， ， 故答案为：，． 【变式17-8】（24-25八年级上·四川成都·期末）若一个各位数字均不为0的四位数（，，，a，b，c，d均为整数）满足：把N的千位数字a作为十位数字，N的十位数字c作为个位数字组成的两位数与5的和记作X，N的千位数字a与个位数字d的3倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与Y的和是一个正整数K的立方，则称这个四位数为“开心数”，正整数K称“开心元素”；当，时，最小“开心数”为 ；若“开心数”N满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大M为 ． 【答案】 3115 8163 【分析】当，时，可知，，则，当时，    a可以取得最小值3，且，据此即可求得答案；根据和为整数，可求得为整数，可得或，分情况逐一讨论即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴四位数． ∴，． ∴． ∴当时，a可以取得最小值3． 又， ∴； ∵， ∴ ． ∵为整数， ∴为整数． 又，， ∴或．①当时．根据题意可知，， ∴，．∴． ∴． ∴不符合题意． ②当，且，时． 根据题意，得， ∴，． ∴． ∵    K为正整数， ∴． ∴． ∴； ∴． ③当，且，时． 根据题意，得， ∴，． ∴． ∵K为正整数，． ∴不合． ∴． 综上所述，符合条件的的最大值为8163． 故答案为：3115，8163． 【变式17-9】（24-25九年级上·重庆·期末）一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字组成的两位数的和等于150，那么就称这个数为“满分数”．把“满分数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：一个四位数，∵，∴是“满分数”，且．则 ；若是“满分数”，且是整数，则满足条件的所有的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，整式的加减运算的应用、方程整数解的应用． 根据题意得到，再根据题意得到，，进一步得到是整数，设，其中为正整数，求出或，据此进行分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴是“满分数”， ， ∵是“满分数”， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∵是整数， ∴设，其中为正整数， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，，则， 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当，时，此时，不符合题意； 当时，，则， 当，时，此时，即，，符合题意，则， 当，时，此时，即，，不满足各个数位上的数字互不相等，故不符合题意； 当，时，此时，即，，符合题意，则， 当，时，此时，即，，符合题意，则， 则 ∴满足条件的所有的和为， 故答案为：， 1．（24-25七年级下·山东威海·期中）对于任意有理数，，，，规定．若，满足， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的乘法，利用题中的新定义得到二元一次方程组，求出与的值然后代入求解即可，弄清题中的新定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，解得：， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得，， 将代入得， 解得， ∴原方程组的解为， 故选：B． 3．（24-25七年级下·四川内江·期中）在中，当时，；当时，；则当时，的值为（　　） A．2 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解，将时，；当时，代入中，计算可求解k、b的值，然后将x值代入等式计算可求求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， 当时，． 故选：B． 4．（24-25七年级下·北京·期中）如图，用四个长和宽分别为，的长方形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是，下面结论中正确的是（   ） A．若，则， B．若，则， C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的应用，二元一次方程组的应用， 由图得出大正方形的边长是，中间围成的小正方形的边长是，根据正方形的面积可得，，据此根据面积求出a、b，即可判断A、B；根据a、b值求出S，可判断C、D． 【详解】解：∵大正方形的面积是64， ∴ 小正方形的面积 若，则， 则 解得：，，故A选项错误， 若，则， 则 解得：，，故B选项错误， 若，，则，故C选项正确； 若，，则，故D选项错误； 故选：C． 5．（24-25七年级下·河南漯河·期中）解关于，的方程组可以用，消去未知数，也可以用消去未知数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，根据消元方法，列出关于的方程组，进行求解然后代入即可求解，掌握二元一次方程组解法是解题的关键． 【详解】解：， ，消去未知数，得， ∴， ，消去未知数，得， ∴， 得，， ∴， 故选：． 6．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法的计算是关键． 运用加减消元法，代入消元法解二元一次方程组，再根据解均为整数列式判定即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解均为整数， ∴的值可为， ∴符合条件的整数的值有个， 故选：D ． 7．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组， 先根据取最大值可得，再求出二元一次方程组的解，可得最大值，然后用含有x的代数式表示y，z,可得s，即可讨论最小值，最后求差即可． 【详解】解：当有最大值时，， ∴， 解得， ∴； 当有最小值时， ， 解得，， ∴， 当时，s取最小值2， ∴s的最大值与最小值的差是． 故选：A． 8．（24-25七年级下·重庆·期中）已知整式，，其中，，…，，，，…，为自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有8个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键． ①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；假设存在，此时使得，可得，从而得到，再由为自然数，可判断③． 【详解】解：当时，，， ∵，，且， ∴， 解得：， ∵当时，，， ∴，， ∵， ∴，故①符合题意； ②当时，， ∵为自然数，为正整数， ∴取1，2，3， 当时， ∴， ∴， 此时有或或或或或； 当时， ∴， ∴， 此时有或或； 当时， ∴， ∴， 此时有 即当时，满足条件的整式共有10个，故②不符合题意 假设存在，此时使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为自然数， ∴或或或， 即不存在任何，使得，故③符合题意； 故选：C 9．（2025·河北沧州·二模）如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据每行、每列及对角线上三个数的和都相等，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ，解得：； 故答案为：． 10．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）已知关于，的二元一次方程组，求 ． 【答案】 【分析】本题考查加减法解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法是解题的关键． 用加减法求得，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴得， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， 解得， ∴， 故答案为；． 12．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，先把代入原方程组得到，则，；再把代入方程得到，联立，求出、，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：是方程组的解， ， 解得：，， 小刚只看错了，解得， 是方程的解， ， 联立， 解得：， ， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知，，，，中每一个数值只能取，，中的一个，且满足，，则，，，，中数值是的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，根据题意列出关于、的二元一次方程组是解答此题的关键．先设有个取，个取，根据，，可得出关于、的二元一次方程组，求出、的值即可． 【详解】解：设有个取，个取， ，， ， 解得：， 的个数是（个）． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）已知是关于的方程的解，若是二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解方程及方程组，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是关于的方程的解，则，又因为是方程组的解，则有，然后利用加减消元得，得出即可求解． 【详解】解：因为是关于的方程的解，， 所以， 所以， 因为是方程组的解， 所以， ，得， 所以， 所以． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示），就是一个三阶“幻方”（如图所示）．观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，根据寻找出的关系，可推算出的值为 ． 【答案】64 【分析】本题考查了本题主要考查了二元一次方程组的应用，首先根据图可知：“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，再根据图可以得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出，的值，代入求值即可． 【详解】解：由图可知： ， ， ， ， ， ， ， ， “幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图可知， 解得：， 则． 故答案为：64． 16．（24-25七年级下·山西临汾·期中）解下列方程或（方程组） (1) (2) 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法、二元一次方程组的解法． 根据解一元一次方程的步骤：移项、合并同类项、系数化为即可求解； 利用加减消元法消去未知数，得到关于的一元一次方程，解方程求出 ，再把代入方程求出的值即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解： 得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：． ∴方程组的解为：． 17．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）若关于的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据题意可得方程组，解方程组得到，再把代入方程中求出的值即可． 【详解】解：由题意得： 解得， 将代入，得：， ∴． 18．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为405，n的值为405 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； （2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 19．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形为，即，③ 把方程①代入③得，∴， 把代入①得， ∴方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知x，y满足方程组求整式的值． 【答案】(1)(2)19 【分析】本题考查解二元一次方程组等知识． （1）将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，即可求出y，进而可得解； （2）由①得，即③，把方程③代入②得，即可求出，进而可求，再整体代入所求式子即可得解． 【详解】（1）解：将方程②变形为，即③， 把方程①代入③得， ∴， 把代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：由①得，即③， 把方程③代入②得， 解得， 把代入③得， ∴， 答：整式的值为19． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，如图1，已知点在轴负半轴上，点在第一象限，其中，满足：，连接线段交轴正半轴于点，连接． (1)若，求三角形的面积； (2)如图2，已知点是轴负半轴上一点，，过点作直线交轴于点．点是射线上一点．若点的纵坐标是，且．求，的值以及点的坐标； (3)在第（2）问的前提下，连接，，若三角形的面积为12，直接写出线段的长度并求点的坐标． 【答案】(1)1(2)，(3)，点的坐标是或 【分析】（1）由非负数的性质得，再求出，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）根据可求出，结合，可求出，再根据求出点的坐标； （3）连接．由求出，由求出，然后分当时（即点在线段上时）和当时（即点在线段的延长线上时）两种情况求解即可． 【详解】（1）由题意可得：解得 又，在第一象限， 所以， 于是：，， ∴． （2）∵点的纵坐标是， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 又， 联立解得： ∴， ， ∴． （3）如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴， 当时（即点在线段上时）， ∵， ∴， 解得：， 所以：的坐标是． 当时（即点在线段的延长线上时）， 同理可求得：的坐标是， 综上所述：点的坐标是或． 1 / 131 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题09 二元一次方程（组）（人教2024） 【13个基础题型+4个压轴题型】 【基础题型一】根据二元一次方程的定义判断 2 【基础题型二】根据二元一次方程的定义求参数的值 2 【基础题型三】用一个字母表示另一个字母 3 【基础题型四】二元一次方程的解相关计算 4 【基础题型五】二元一次方程中整数解问题 5 【基础题型六】判断是否为二元一次方程组 6 【基础题型七】已知二元一次方程组的解求参数 7 【基础题型八】解二元一次方程组（计算题） 8 【基础题型九】二元一次方程组中错解复原问题 10 【基础题型十】构建二元一次方程组求解 12 【基础题型十一】已知二元一次方程组解的情况求参数 13 【基础题型十二】二元一次方程中同解问题 14 【基础题型十三】解三元一次方程及其应用 15 【压轴题型十四】二元一次方程组中特殊解法（选填） 17 【压轴题型十五】特殊解法解二元一次方程组（解答题） 19 【压轴题型十六】二元一次方程组中新定义问题 24 【压轴题型十七】二元一次方程中整除问题 27 【基础题型一】根据二元一次方程的定义判断 例题1（24-25七年级下·天津和平·期中）在下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·重庆·期中）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（    ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【变式1-4】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）下列方程中，不是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【基础题型二】根据二元一次方程的定义求参数的值 例题2（24-25七年级下·北京·期中）已知方程是关于，的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．1或 【变式2-1】（24-25七年级下·吉林·期中）是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）若为二元一次方程，则 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）若是关于，的二元一次方程，则的值 ． 【变式2-4】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）已知是关于，的二元一次方程，则 ． 【变式2-5】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）若方程是二元一次方程，则 ． 【变式2-6】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值 ． 【变式2-7】（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知方程是关于的二元一次方程，则的值分别为 【基础题型三】用一个字母表示另一个字母 例题3（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知方程，把它变形为用含x的代数式表示y，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·北京·期中）把方程改写成用含的式子表示的形式： ． 【变式3-2】（24-25七年级下·广东江门·期中）把方程写成用含的式子表示的形式为 ． 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·期中）已知二元一次方程，则用含y的式子表示x为 ，用含x的式子表示y为 ． 【变式3-4】（23-24七年级下·福建福州·期末）将二元一次方程写成用含x的式子表示y的形式，则 ． 【变式3-5】（21-22七年级下·福建福州·期末）把二元一次方程改写成用含的式子表示的形式 ． 【变式3-6】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，请你用含的代数式表示 ． 【变式3-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）把方程改写成用含的式子表示的形式（   ） A． B． C． D． 【基础题型四】二元一次方程的解相关计算 例题4（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（　　） A． B． C．5 D．3 【变式4-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（　　） A． B． C．4 D．6 【变式4-2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知是方程的一个解，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式4-3】（24-25七年级下·北京通州·期中）已知方程，下列选项中是此方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25七年级下·天津河西·期中）下列每对，的值不是方程的解的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-5】（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知是关于的二元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A．13 B．11 C．7 D．9 【变式4-6】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知是关于，二元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【变式4-7】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）若是方程的解，则 ． 【变式4-8】（24-25七年级下·重庆·期中）如果是方程的一组解，那么代数式 ． 【基础题型五】二元一次方程中整数解问题 例题5（24-25七年级下·四川眉山·期中）二元一次方程正整数解的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 解题思路：要求二元一次方程的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的值，再求得另一个未知数即可． 【变式5-1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）二元一次方程的正整数解的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】（2025七年级下·全国·期中）二元一次方程的正整数解有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式5-3】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）二元一次方程的所有正整数解有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 【变式5-5】（24-25七年级下·山东聊城·期中）二元一次方程的正整数解共有（   ）组． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-6】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）二元一次方程的正整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-7】（24-25七年级下·北京·期中）已知二元一次方程，写出该方程的一组正整数解： ． 【变式5-8】（24-25七年级下·吉林长春·期中）写出关于的二元一次方程的所有正整数解 ． 【变式5-9】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）二元一次方程正整数解的个数是 个． 【基础题型六】判断是否为二元一次方程组 例题6（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）若方程组，是二元一次方程组，则“…”可以是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级下·河南新乡·期中）方程组若属于二元一次方程组，则“……”可以是下列哪个方程（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25七年级下·广东江门·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】（24-25七年级下·北京·期中）下列方程组：①②，③，其中是二元一次方程组的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【变式6-5】（24-25八年级上·广东佛山·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-6】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【基础题型七】已知二元一次方程组的解求参数 例题7（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若方程组的解是，则（   ） A．2 B． C．0 D．4 【变式7-1】（24-25七年级下·山东烟台·期中）若是方程组的解，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D．10 【变式7-2】（24-25七年级下·重庆·期中）已知是方程组的解，则的值是（　　） A． B．2 C．5 D． 【变式7-3】（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于，的方程组的解为，则的值为 ． 【变式7-4】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知关于x、y的方程组的解x，y的和为6，则k的值为 。 【变式7-5】（23-24七年级上·安徽·期末）若关于的二元一次方程组的解满足与互为相反数，则的值是 【基础题型八】解二元一次方程组（计算题） 例题8（24-25七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1)； (2)． 【变式8-1】（24-25七年级下·河南新乡·期中）解下列方程（组） (1)； (2)． 【变式8-2】（24-25七年级下·四川绵阳·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【变式8-3】（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）解 下 列 方 程（组）： (1)； (2) ； (3)． 【变式8-4】（24-25七年级下·重庆·期中）解方程（组）： (1)； (2)． 【变式8-5】（24-25七年级下·北京·期中）解方程或方程组 (1) (2) (3) 【变式8-6】（24-25七年级下·山西晋城·期中）解下列方程（组）： (1)； (2) 【变式8-7】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）解方程或方程组 (1)； (2)． 【基础题型九】二元一次方程组中错解复原问题 例题9（24-25七年级下·湖南长沙·期中）甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则 ． 【变式9-1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）甲和乙两人同解方程组甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得则的值等于 ． 【变式9-2】（24-25八年级下·山西临汾·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的，的值； (2)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 【变式9-3】（24-25七年级下·重庆万州·期中）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，由于甲看错方程①中的a，得到方程组的解为，由于乙看错方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【变式9-4】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，求出正确的a，b的值 【变式9-5】（24-25七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人解关于，的方程组，甲因看错了，解得，乙将方程②中的写成了它的相反数，解得．求原方程组的解． 【变式9-6】（24-25七年级下·四川宜宾·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为 (1)甲把看成了什么，乙把看成了什么； (2)求出原方程组的正确解． 【变式9-7】（24-25七年级下·重庆万州·期中）甲、乙两人解同一个关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)求a与b的值； (2)求的值． 【变式9-8】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了，解得；乙解题时看错了，解得．请你根据以上两种结果，求的平方根． 【变式9-9】（24-25七年级下·河南新乡·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，而得到方程组的解为． (1)求出a和b的值； (2)求出原方程组的正确解． 【基础题型十】构建二元一次方程组求解 例题10（24-25七年级下·重庆·期中）对有理数x，y定义一种新运算“”，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）对于非零的两个实数，规定．若，则的值为（   ） A． B．13 C．5 D． 【变式10-2】（23-24七年级下·河北保定·期末）定义一种新运算“※”，规定，其中a，b为常数，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10-3】（24-25九年级下·四川广安·期中）对于，定义一种新运算“”为：，其中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知：，，那么 ． 【变式10-4】（24-25七年级下·广东广州·期中）若实数x，y满足，则 ． 【变式10-5】（24-25七年级下·山东日照·期中）已知，，，…，中每一个数值只能取、0、1中的一个，且满足，，则 ． 【变式10-6】（23-24七年级下·四川德阳·期末）若关于、的二元一次方程无论实数取何值，此二元一次方程都有一组相同的解，则这个解是 ． 【变式10-7】（23-24七年级下·浙江温州·期中）关于的整式，它的各项系数之和为∶(常数项系数为常数项本身)．已知是关于的整式，最高次项次数为2，系数为1．若是一个只含两项的多项式，则各项系数之和的最大值为 ． 【变式10-8】（23-24七年级下·辽宁大连·期末）若，则代数式xy的值是 ． 【基础题型十一】已知二元一次方程组解的情况求参数 例题11（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式11-1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）已知关于的方程组，若，则的值为 ． 【变式11-2】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若关于x，y的方程组的解互为相反数，则m的值为 ． 【变式11-3】（24-25七年级下·重庆万州·期中）若关于，的方程组有无数个解，则的值为 ． 【变式11-4】（24-25七年级下·四川宜宾·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【变式11-5】（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【变式11-6】（24-25七年级下·四川内江·期中）已知关于的二元一次方程组． (1)当时，求方程组的解； (2)若方程组的解与的值互为相反数，求的值； (3)若方程组的解满足，求的取值范围． 【变式11-7】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于、的方程组 (1)若，求方程组的解； (2)若方程组的解也是方程的解，求的值． 【变式11-8】（24-25七年级下·山东聊城·期中）是否存在一个数，使关于x，y的方程组的解满足？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【基础题型十二】二元一次方程中同解问题 例题12（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如关于，的方程组和有相同的解，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2024 【变式12-1】（24-25七年级下·重庆·期中）若关于、的二元一次方程组和有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25七年级下·四川眉山·期中）若关于、的方程组和的解相同，则的值 ． 【变式12-4】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如果关于的二元一次方程组与关于的二元一次方程组有相同的解，则的值为 ． 【变式12-5】（24-25八年级上·辽宁辽阳·期末）已知关于x，y的方程组和有相同解，则 ， ． 【变式12-6】（24-25七年级下·广东惠州·期中）若方程组和方程组有相同的解． (1)求方程组的解． (2)求a，b的值． 【变式12-7】（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知关于，的方程组和方程组的解相同． (1)求出这两个方程组的相同解； (2)求出的值． 【基础题型十三】解三元一次方程及其应用 例题13（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式13-1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知方程组的解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【变式13-2】（24-25七年级下·云南昆明·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式13-3】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【变式13-4】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【变式13-5】（24-25七年级下·福建泉州·期中）用高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示关于，，的三元一次方程组，若为定值，则与的关系为 ． 【变式13-6】（24-25八年级上·四川成都·期中）若方程组的解满足，则点在第 象限． 【变式13-7】（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 【压轴题型十四】二元一次方程组中特殊解法（选填） 例题14（24-25七年级下·福建泉州·期中）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组（a，b为常数）的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25七年级下·北京·期中）若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式14-3】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式14-4】（24-25七年级下·四川内江·期中）已知关于的方程组的解为，则关于的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式14-5】（24-25七年级下·山东日照·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式14-6】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【变式14-7】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【变式14-8】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若方程组解为则方程组的解为 ． 【变式14-9】（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知关于，的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是 ． 【变式14-10】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若方程组的解是，则方程组的解 ． 【变式14-11】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【变式14-12】（24-25七年级下·江苏南京·期中）若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【压轴题型十五】特殊解法解二元一次方程组（解答题） 例题15（24-25七年级下·浙江台州·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 【变式15-1】（24-25七年级下·广东珠海·期中）解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组； (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解． 【变式15-2】（24-25七年级下·重庆万州·期中）换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． (1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为． (2)请用换元法解方程：． 【变式15-3】（24-25七年级下·河南南阳·期中）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即③， ③，得④， ②④得， 从而可得， ∴原方程组的解是． (1)请你仿照上面的解题方法解方程组； (2)请你仿照上面的解题方法解方程组； (3)请大胆猜测关于的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证． 【变式15-4】（24-25七年级下·云南昆明·期中）对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组 解：把②代入①，得，解得， 把代入②，得． 所以方程组的解为． (1)请用同样的方法解方程组； (2)已知方程组的解为，可以运用整体思想， 解方程组直接得出_____，_____， 所以该方程组的解为_____． 【变式15-5】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元；那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． (1)解方程组． (2)猜想：下列关于x、y的方程组的解是什么？并说明理由． 【变式15-6】（23-24七年级下·全国·期末）小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组． (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过“换元”可以解决问题．设，则原方程组可化为_______，解关于的方程组，得，所以解这个方程组，得_______． (2)运用上述方法解方程组：． (3)已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的二元一次方程组的解． 【变式15-7】（24-25七年级下·吉林长春·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 【压轴题型十六】二元一次方程组中新定义问题 例题16（24-25七年级下·广东广州·期中）对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为 ． 【变式16-1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如；，则方程组的解为 ． 【变式16-2】（2025七年级下·浙江·期中）对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为 ． 【变式16-3】（24-25七年级下·四川南充·期中）定义：当两个实数，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组中方程组的解与具有“友好关系”，试求出方程组的解及a，b的正整数值． 【变式16-4】（24-25七年级下·全国·期中）定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值． 【变式16-5】（24-25七年级下·北京·期中）对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足（其中为常数），则称该方程组具有性质．例如，当时，方程组的解满足，所以该方程组具有性质． (1)下列关于，的方程组具有性质的是______（只填写序号）； ；； (2)用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下面问题： 若关于，的方程组具有性质，求的最小值． 【变式16-6】（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 【变式16-7】（24-25七年级下·北京·期中）定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出方程的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，直接写出代数式的值． 【变式16-8】（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【变式16-9】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为________； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为________； (3)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【变式16-10】（24-25七年级下·四川乐山·期中）【阅读感悟】： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？ (3)对于两数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么_________． 【压轴题型十七】二元一次方程中整除问题 例题17（24-25八年级下·重庆璧山·期中）一个四位正整数的千位上的数字小于十位上的数字，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，均等于10，则称为“十全十美数”，将“十全十美数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的和记为，将“十全十美数”的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的差记为．例如：四位正整数2873，，且 是“十全十美数”，此时，，． （1）若是最大的“十全十美数”，请直接写出： ； （2）若是“十全十美数”，且能被9整除，求符合条件的的最小值 ． 【变式17-1】（24-25七年级下·重庆万州·期中）若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”例如：、都是“双生数”．将一个四位正整数的百位和十位交换位置后得到一个四位数，规定．例如：若，则；计算 ．若一个“双生数”（，，且，为整数），当能被6整除时，求满足条件的所有值中的最小值为 ． 【变式17-2】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）一个四位自然数，其中，，不为0，如果的千位数字和十位数字组成的两位数与的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于81，即，那么就称这个数为“九九归一数”．把“九九归一数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：一个四位数，，是“九九归一数”，且．则最小的“九九归一数”是 ，若是“九九归一数”，且能被13整除，则满足条件的的最大值为 ． 【变式17-3】（2025·山东日照·一模）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“成双数”．对于“成双数”M，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．例如“成双数”3412，．若“成双数”M千位上的数字与个位上的数字之和为7，且能被3整除，则满足条件的“成双数”中的最大数为 ． 【变式17-4】（24-25七年级下·重庆·期中）一个各数位数字互不相等且均不为0三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去4等于十位数字，则称这个三位数为“至善数”，例如：631，因为，则称631是“至善数”；则最大的“至善数”与最小的“至善数”之差是 ；若正整数，记．且，是两个不同的“至善数”（，，，且y，z，m，n均为整数），且能被17整除，的值是 ． 【变式17-5】（24-25八年级下·重庆·期中）如果一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0．且前两位数字之和为6，后两位数字之和为9，则称M为“智数”，把“智数”M的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数、规定．例如：是“智数”则．如果“智数”，则 ；已知是“智数”，（且a，b，c，d均为整数），若恰好能被7整除，则满足条件的S的最大值与最小值之和是 ． 【变式17-6】（24-25九年级上·重庆巫山·期中）一个各位数字都不为且互不相等的四位自然数，若千位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，则称这个四位数为“均衡数”，最大的均衡数是 ；将“均衡数”的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数n．记，，，均为整数，则满足条件的m的最大值为 ． 【变式17-7】（24-25九年级上·重庆巫山·期末）若一个四位正整数的各位数字之和是百位数字与十位数字之和的倍，则称这个四位正整数为“三和数”．将一个“三和数”的百位数字与十位数字交换位置后，得到一个新的四位数，记，则 ；当“三和数”的百位数字是个位数字的倍，千位数字与十位数字之和能被整除时，，当 最大时， 的值为 【变式17-8】（24-25八年级上·四川成都·期末）若一个各位数字均不为0的四位数（，，，a，b，c，d均为整数）满足：把N的千位数字a作为十位数字，N的十位数字c作为个位数字组成的两位数与5的和记作X，N的千位数字a与个位数字d的3倍的和记作Y，如果X的各位数字之和与Y的和是一个正整数K的立方，则称这个四位数为“开心数”，正整数K称“开心元素”；当，时，最小“开心数”为 ；若“开心数”N满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大M为 ． 【变式17-9】（24-25九年级上·重庆·期末）一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，如果前两位数字所组成的两位数与后两位数字组成的两位数的和等于150，那么就称这个数为“满分数”．把“满分数”的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：一个四位数，∵，∴是“满分数”，且．则 ；若是“满分数”，且是整数，则满足条件的所有的和为 ． 1．（24-25七年级下·山东威海·期中）对于任意有理数，，，，规定．若，满足， ，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川内江·期中）在中，当时，；当时，；则当时，的值为（　　） A．2 B． C． D．5 4．（24-25七年级下·北京·期中）如图，用四个长和宽分别为，的长方形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是，下面结论中正确的是（   ） A．若，则， B．若，则， C．若，，则 D．若，，则 5．（24-25七年级下·河南漯河·期中）解关于，的方程组可以用，消去未知数，也可以用消去未知数，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 7．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25七年级下·重庆·期中）已知整式，，其中，，…，，，，…，为自然数，，，，为正整数，且满足：，，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有8个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2025·河北沧州·二模）如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则 ． 10．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）已知关于，的二元一次方程组，求 ． 11．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为 ． 12．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）解方程组时，小强正确解得，而小刚只看错了，解得，则的值为 ． 13．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知，，，，中每一个数值只能取，，中的一个，且满足，，则，，，，中数值是的个数是 ． 14．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）已知是关于的方程的解，若是二元一次方程组的解，则的值为 ． 15．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示），就是一个三阶“幻方”（如图所示）．观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，根据寻找出的关系，可推算出的值为 ． 16．（24-25七年级下·山西临汾·期中）解下列方程或（方程组） (1) (2) 17．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）若关于的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，求的值． 18．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 19．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形为，即，③ 把方程①代入③得，∴， 把代入①得， ∴方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知x，y满足方程组求整式的值． 20．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，如图1，已知点在轴负半轴上，点在第一象限，其中，满足：，连接线段交轴正半轴于点，连接． (1)若，求三角形的面积； (2)如图2，已知点是轴负半轴上一点，，过点作直线交轴于点．点是射线上一点．若点的纵坐标是，且．求，的值以及点的坐标； (3)在第（2）问的前提下，连接，，若三角形的面积为12，直接写出线段的长度并求点的坐标． 1 / 131 学科网（北京）股份有限公司 $$