【精准提分】专题08 平面直角坐标系及其应用（9个基础题型+3个压轴题型+课后巩固）- 2024-2025学年七年级下册数学期末专项培优（人教版2024）（原卷+解析版）

【精准提分】专题08 平面直角坐标系及其应用（人教2024） 【9个基础题型+3个压轴题型】 【基础题型一】写出直角坐标系中点的坐标 1 【基础题型二】判断点所在的象限 4 【基础题型三】已知点所在的象限求参数的取值范围 6 【基础题型四】点到坐标轴之间的距离相关求解 6 【基础题型五】坐标轴上点的特点 8 【基础题型六】与坐标轴平行的直线上点的特点 9 【基础题型七】角平分线上点的特点 11 【基础题型八】平面直角坐标系中对称和旋转问题 12 【基础题型九】平面直角坐标系中平移问题 14 【压轴题型十】平面直角坐标系中新定义类题型 17 【压轴题型十一】规律探索类题型 19 【压轴题型十二】平面直角坐标系中动点问题 23 【基础题型一】写出直角坐标系中点的坐标 例题1（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，已知点，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级下·北京通州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，四边形是长方形，，，三点的坐标分别是，，，点在第一象限，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·福建龙岩·期中）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕．如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25七年级下·广东中山·期中）“无终”三孔布是山西省博物院内一藏品，是战国布币中最珍罕的品类．如图，建立平面直角坐标系标注一个三孔布，若A，B两点的坐标分别为，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图所示的象棋盘上，若“士”的坐标是．在图中建立适当的平面直角坐标，表示出“炮”的坐标（   ） A． B． C． D． 【变式1-6】（2025·广西桂林·一模）如图，将一片枫叶标本放置在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-7】（24-25七年级下·山东德州·期中）褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-8】（23-24七年级下·北京·期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 【变式1-9】（23-24七年级下·北京·期中）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部”两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【基础题型二】判断点所在的象限 例题2（24-25七年级下·安徽淮南·期中）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·湖北黄石·期中）a为任意实数，坐标平面内点不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-3】（24-25七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标满足，，下列说法正确的是（   ） A．点在第一象限 B．点在第二象限 C．点在第三象限 D．点在第四象限 【变式2-4】（24-25七年级下·广东广州·期中）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了，两个关键点：若点在第四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-5】（2025·江西新余·二模）在平面直角坐标系中，点（为实数）不可能在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-6】（24-25七年级下·山东·期中）在平面直角坐标系中，已知点，则点P在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式2-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点A的横坐标为（a为实数），纵坐标为，则点A在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-8】（24-25七年级下·福建福州·期中）若点在第三象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【基础题型三】已知点所在的象限求参数的取值范围 例题3（24-25九年级上·湖南娄底·期末）若点在第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级下·福建厦门·期中）若点在第二象限，那么a的取值范围是（   ） A． B． C．0 D． 【变式3-2】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点位于第四象限，则，满足（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】（24-25九年级上·贵州黔南·期中）若点关于原点对称的点是第二象限内的点，则满足（    ） A． B． C． D．或 【变式3-4】（2025·河南郑州·一模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则a的取值范围是 ． 【变式3-5】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知点在第二象限，则的取值范围是 ． 【变式3-6】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）已知点在第四象限，化简 ． 【变式3-7】（23-24八年级下·四川成都·期末）点在第二象限，则m的取值范围是 ． 【基础题型四】点到坐标轴之间的距离相关求解 例题4（24-25七年级下·四川绵阳·期中）已知点在第三象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·北京·期中）已知点到轴的距离是到轴的距离的2倍，则的值是（   ） A．8 B．17 C．17或 D．8或2 【变式4-2】（24-25七年级下·新疆喀什·期中）若轴负半轴上有一个点，到轴的距离为，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【变式4-3】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到轴的距离为1，到y轴的距离为，则点P的坐标为（      ） A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知在第二象限内的点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式4-5】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知点平面内不同的两点A和B到x轴的距离相等，则a的值为（　　） A． B． C．2或 D．1或 【变式4-6】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式4-7】（24-25八年级下·山西临汾·期末）两个单项式与的和是一个单项式，点到横轴的距离是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式4-8】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，若点M在第三象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6，则点M的坐标是 ． 【变式4-9】（24-25七年级下·安徽淮南·期中）点，其中，且它到轴的距离为3，到轴的距离为4，请写出点的坐标 ． 【变式4-10】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系内，有一个动点，若点到轴的距离为，到轴距离为，则的最小值为 ． 【变式4-11】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）已知点在第二象限，且点A到两坐标轴的距离之和为9，则点A的坐标为 ． 【变式4-12】（23-24七年级下·四川德阳·期末）已知△ABC的面积为6，且，两点的坐标分别为、，若点到轴距离是1，则轴上方的点的坐标为 ． 【基础题型五】坐标轴上点的特点 例题5（24-25七年级下·安徽黄山·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）若点在y轴上，那么点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级下·广东惠州·期中）已知 ，C为y轴上一点，且，则C点坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式5-3】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，如果点在轴上，距离原点4个单位长度，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-4】（24-25七年级下·重庆潼南·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则在第 象限． 【变式5-5】（24-25七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是 ． 【变式5-6】（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知点在y轴上，点在x轴上，则点的坐标为 ． 【变式5-7】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）若点在坐标轴上，则 ． 【变式5-8】（24-25七年级下·天津·期中）已知点Q的坐标为，且点Q在y轴上，则点Q的坐标是 ． 【变式5-9】（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知点，点在轴上，且，则满足条件的点坐标为 ． 【变式5-10】（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知点在上，点在轴上，则 ． 【变式5-11】（24-25七年级上·山东烟台·期末）若点在y轴上，则点位于第 象限． 【基础题型六】与坐标轴平行的直线上点的特点 例题6（24-25七年级下·山西大同·期中）已知直线轴，点的坐标为，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式6-1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）线段，且轴，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-2】（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点N到x轴的距离等于4，且N在第一象限，则点N的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25七年级下·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的长度最小时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（24-25八年级下·重庆·期中）已知P、Q两点位于y轴两侧，且到y轴距离相等，轴，，则点Q坐标（    ） A． B． C． D． 【变式6-5】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，直线轴，则线段的长为 ． 【变式6-6】（24-25七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，A点的坐标，若线段轴，且，则点B的坐标为 ． 【变式6-7】（24-25七年级下·北京·期中）已知，则在平面直角坐标系中，点的坐标为 ；若轴，且点在轴上，则点的坐标为 ． 【变式6-8】（24-25七年级下·北京海淀·期中）平面直角坐标系中，已知线段与轴平行，且，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【变式6-9】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，已知点轴，，则点Q的坐标为 ． 【变式6-10】（24-25七年级下·河南新乡·期中）在平面直角坐标系中，轴，轴．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ，线段的长与线段的长的和为 ． 【变式6-11】（24-25七年级下·重庆九龙坡·期中）在平面直角坐标系中，若点，点，且直线轴，则 ． 【变式6-12】（24-25七年级上·山东东营·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，线段的长为4且平行于轴，则点B的坐标为 ． 【基础题型七】角平分线上点的特点 例题7（24-25七年级下·广东珠海·期中）已知点在第二、四象限的角平分线上，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若，求点P的坐标； (2)若点P在第一象限的角平分线上，求x的值； (3)若点P到两坐标轴的距离之和为14，求x的值． 【变式7-2】（24-25八年级下·河北邢台·期中）已如点，根据下列条件分别求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的纵坐标比横坐标大； (3)点在象限的角平分线上． 【变式7-3】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在第三象限，且到轴的距离为3，求点的坐标； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【变式7-4】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知点， (1)当点在轴上时，求的值． (2)当点在第二象限时，求的取值范围． (3)当点在第二、四象限的角平分线上时，求的值． 【变式7-5】（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，已知点P坐标为． (1)若点P在x轴下方且到x轴的距离为11，求m的值． (2)若点P在二、四象限的角平分线上，求点P的坐标． 【变式7-6】（24-25八年级下·吉林长春·期中）已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【变式7-7】（23-24八年级上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在第四象限，且M到y轴的距离是3，求M点的坐标； (2)若点M在第一、三象限的角平分线上，求M点的坐标． 【基础题型八】平面直角坐标系中对称和旋转问题 例题8（23-24八年级上·西藏拉萨·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，如果将线段绕点顺时针旋转至，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若点A的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）平面坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】（24-25七年级下·江西上饶·期中）若点与点关于轴对称，则：的立方根 ． 【变式8-5】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，如果△ABC三个顶点的坐标分别是，，，△ABC关于轴成轴对称的图形是，关于轴成轴对称的图形是，则点的坐标为 ． 【变式8-6】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若点与点关于轴成轴对称，则 ． 【变式8-7】（24-25七年级上·吉林·期末）如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为 ． 【变式8-8】（24-25七年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为 ． 【基础题型九】平面直角坐标系中平移问题 例题9（2025·浙江丽水·二模）平面直角坐标系中，线段经过平移得到线段，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025·浙江金华·二模）在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别为，平移线段，点，的对应点分别为，已知，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25七年级下·天津·期中）将点向右平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后所得点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25七年级下·河南许昌·期中）已知 ，将线段 平移至，若，，则 的值为（    ） A． B． C．6 D．9 【变式9-4】（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移至，若点的对应点的坐标为，则线段平移的方式可以为（   ） A．向右平移4个单位，向下平移5个单位 B．向左平移5个单位，向上平移4个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移5个单位，向下平移4个单位 【变式9-5】（2025年江西省抚州市中考二模数学试题）在平面直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点，则点的坐标为 ． 【变式9-6】（24-25七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，点，动点C的纵坐标为，，则三角形的面积为 ． 【变式9-7】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，将三角形沿轴向右平移，平移后得到三角形，点的对应点是点．已知点的坐标为，点的坐标为，且，，满足．则点的坐标为 ． 【变式9-8】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知长方形的顶点坐标：，，，与轴交于点，则点坐标为 ． 【变式9-9】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，平移线段，使点A，B均落在坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标是 ． 【变式9-10】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，，将△ABC平移得到，顶点的坐标为，则顶点的坐标为 ． 【变式9-11】（24-25九年级下·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点的坐标为，点在轴的正半轴上，将△AOB沿轴正方向平移后得到，点的对应点为点．若，，则点的坐标为 ． 【变式9-12】（24-25八年级下·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，△ABC平移后，顶点的对应点的坐标为，则顶点的对应点的坐标为 ． 【变式9-13】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段平移后点A的对应点是，则点B的对应点的坐标为 ． 【压轴题型十】平面直角坐标系中新定义类题型 例题10（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴距离的较大值，称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，称，两点为“等距点”．若，两点为“等距点”，则的值是 ． 【变式10-1】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ． 【变式10-2】（2025七年级下·全国·期中）对于平面直角坐标系中的任意两点定义一种新的运算“*”：．若点在第二象限，点在第三象限，则在第 象限． 【变式10-3】（24-25八年级上·安徽六安·期末）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为 ． 【变式10-4】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．把经过点垂直于轴的直线记作直线，点，关于直线的对称点分别为点，，连接和，当在某一范围内取值时，的值总保持不变，则的取值范围是 ． 【变式10-5】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点、 、的“半矩面积”给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“半矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“半矩面积”．已知两点，，若点是轴上任意一点，则、、三点的“半矩面积”的最小值为 ． 【变式10-6】（24-25七年级下·江西南昌·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：点为的1号派生点，点为的2号派生点，例如的1号派生点为，它的2号派生点为 (1)已知点，那么它的1号派生点为___________，2号派生点为___________； (2)若将点上平移1个单位长度，直接分别写出平移方向和距离； (3)已知点连接它的1号派生点和2号派生点，若线段行于坐标轴，求值． 【变式10-7】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）【读】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴的距离中的较小值称为点的“短距”；当点到轴，轴的距离相等时，则称点为”完美点“． 【思】（1）点的“短距”为________． 【悟】完成任务  （2）若点是“完美点”，求的值． 【省】迁移应用  （3）若点是“完美点”，求点的“短距”． 【变式10-8】（24-25七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“优距”，较小值称为点P的“劣距”，如果点P到x轴、y轴的距离相等，那么我们称点P为“等距点”． (1)点的“劣距”为________，这个距离是点A到________（填x或y）轴的距离； (2)若点是“等距点”，求a的值； (3)若点的“优距”为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，判断点D是否为“等距点”，并说明理由． 【压轴题型十一】规律探索类题型 例题11（24-25七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫作点的终结点，已知的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，……，这样依次得到点，，，，…，，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B．（-4，-1） C．（0，-3） D．（2，1） 【变式11-1】（24-25七年级下·河南信阳·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，，若把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点…按这样的规律，经过第2025次运动后，蚂蚁的坐标（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令：从原点发，按“向上”向右下右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，第一次移动到点第二次移动到点移动到点则点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式11-4】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式11-5】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，一只电子蚂蚁，在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即，…，按照这样的运动规律，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式11-6】（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆、半圆、半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式11-7】（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次平移，每次移动1个单位长度，得到点，，，，，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式11-8】（24-25七年级下·河南漯河·期中）如图，平面直角坐标系内，动点P按照图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点P第2025次运动到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式11-9】（2025·广东梅州·一模）在直角坐标系中，设动点P从向上运动1个单位至点，然后向左运动2个单位至点，再向下运动3个单位至点，再向右运动4个单位至点，再向上运动5个单位至点，……，如此继续运动下去，则点的横坐标 ． 【变式11-10】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点，第9次运动到点，第10次运动到点．，…，依此规律继续运动下去，第2025次运动到点的坐标是 ． 【变式11-11】（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC沿轴向右变换到的位置，再变换到的位置，依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为 ． 【压轴题型十二】平面直角坐标系中动点问题 例题12（24-25七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称，两点为轴距等点．例如，图中的，两点即为轴距等点． (1)已知点，在点，，中，点的轴距等点是_____； (2)若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是_____（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是_____； (3)已知点，点，连接． ①点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得，两点为轴距等点，则的最小值是_____； ②将线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，线段可以由线段经过怎样的平移得到？ 【变式12-1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式12-2】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，有个点，记为：，，…，若这个点的横坐标的最大值记为，纵坐标的最大值记为，将【，，…，】记为这个点的“和值”． 例如：对于，则“和值”【，】． 已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标为、、、，边与轴交于点． (1)“和值”【，，】______； (2)已知，过点作直线轴，直线与直线、分别交于点、记【、、、】． ①当时，______； ②当点在轴上运动时，判断有最大值还是最小值，并写出的最大或最小值以及相应的点的坐标． 【变式12-3】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C． (1)点C的坐标为__________； (2)P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标． 【变式12-4】（24-25七年级下·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴、y轴的垂线，交x轴子点C，y轴于点B，动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t（秒），a，b满足． (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)用含t的式子表示线段的长，并写出t的取值范围； (3)已知点，连接，，在（2）条件下是否存在t值，使四边形的面积是三角形的面积的5倍，若存在，请求出t值及点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式12-5】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标为和．将线段先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段，连接，． (1)点的坐标为________；点的坐标为________． (2)如果．且上有一动点，的最小值为________． (3)点是直线上一动点，连接，当点在直线上运动（不与点，重合）直接写出，，之间的数量关系． (4)点，分别是线段，的动点，点从点出发向点运动，每秒2个单位，到点即停；点从点出发向点运动，每秒3个单位，到点即停；如果两点同时出发，几秒后两点距离最短？并写出点，的坐标． 【变式12-6】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图①，平面直角坐标系中，，直线轴交y轴于点E，点F在直线之间（不在直线上）． (1)连接，，求的度数． (2)若，在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点H在射线上运动，M为x轴上点B右侧的一点，连接，若始终平分，且，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【变式12-7】（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在直角坐标系中，轴，轴，，，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动，运动时间为， (1)写出，，三个点坐标． (2)当秒时，求的面积． (3)当到轴距离等于到轴距离时，求时间． 【变式12-8】（24-25七年级下·广东惠州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标． (2)P，Q为两动点，P，Q同时出发，其中点P从C点出发，在线段CB，上以3个单位长度每秒的速度沿着C→B→O运动，到达O点P停止运动；点Q从B点出发以1个单位长度每秒速度沿着线段向O点运动，到O点Q停止运动，设运动时间为t，当P在上时，t取何值时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2？ (3)如图2，连接，点在线段上，且m，n满足，M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积分别记为，若，请直接写出N点的坐标． 【变式12-9】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，，，，满足． (1)如图1，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，已知坐标轴上有两个动点、，点从点出发沿轴负方向以个单位每秒的速度移动，点从点出发沿轴负方向以个单位每秒的速度移动，设运动时间为秒．当三角形的面积与三角形的面积之和等于时，求的值． (3)如图2，过点作轴的平行线，点是线段上一个动点（不与、重合），连接，平分，平分交于点，过点作交于点，问的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 1．（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系内，点到轴的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）小东将游乐场的地图放在如图所示的方格纸中，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置．若建立平面直角坐标系，使得旋转木马和过山车的坐标分别为，则摩天轮的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽淮南·期中）根据下列表述，能够确定位置的是（   ） A．淮南在合肥市的西北方向上 B．从学校出发走2千米正好到达小蕊家 C．小莹坐在横店影城的第二排 D．春晖中学位于北纬，东经 5．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）已知点A的坐标，直线轴，且，则点B的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 6．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）如图，，若将线段平移至，使得点、点分别落在x、y坐标轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 7．（24-25七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．3 8．（24-25七年级下·山东临沂·期中）春天到了，七年级2班组织同学们到人民公园春游，李明、张华利用平面直角坐标系画出人民公园示意图如图所示（图中每个小正方形边长代表，每个小正方形的对角线长为），规定正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且景点A和景点B的坐标分别是和．李明、张华分别对景点C的位置进行了描述，则下列判断正确的是（   ） 李明：景点C的坐标是； 张华：景点C在景点D的北偏东方向，相距处． A．只有李明说得对 B．只有张华说得对 C．两人说得都对 D．两人说得都不对 9．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．将某整点连续进行若干次平移操作，每次平移1个单位长度，平移方向取决于该点横、纵坐标之和除以4的余数：当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移；余数为3时，向下平移．例如点按上述规则连续平移3次：，最后得到点．若某整点按上述规则连续平移次后，最后得到点，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，则点到轴的距离是 ． 11．（24-25七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为 ． 12．（2025·四川成都·二模）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中点，，，将△ABC的顶点A平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ． 13．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如，三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”h＝6，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为20，则 ． 14．（24-25七年级下·山东济宁·期中）在由边长为1的小正方形组成的的网格，小正方形的顶点称为格点．在这个网格中建立适当的平面直角坐标系．如果从一个格点出发，先向右移动1个单位长度，再向上移动2个单位长度，称为一次上平移；如果从一个格点出发，先向右移动2个单位长度，再向下移动1个单位长度，称为一次下平移．若点A从点出发，连续两次平移到达点B，则点B所有可能的坐标是 ． 15．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点，点在轴上，则点的坐标为 ；点是轴负半轴上一点，过点作轴，在第二象限，点在线段上，连接、、、，且，．则四边形的面积最大值为 ． 16．（2025·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，点A、、的对应点分别为点、、． (1)在图中画出； (2)写出点的坐标． 17．（24-25八年级下·河北沧州·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 18．（24-25七年级下·河南新乡·期中）【知识回顾】一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用有理数加法表示为． 【类比学习】若坐标平面上的点做如下平移：沿轴方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿轴方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位，则把有序数对，叫做平移后的“位移量”；用记号来表示，“位移量”与“位移量”的加法运算法则为． 【解决问题】 (1)计算：_____． (2)动点从坐标原点出发，先按照“位移量”平移到，再按照“位移量”平移到，若先把动点按照“位移量”平移到，再按照“位移量”平移，在图1中标出点、、，并画出四边形． (3)如图2，一艘船从码头出发，先航行到湖心岛码头，再从码头航行到码头．用“位移量”表示它从点航行到点的航行过程应表示为：____________． 19．（24-25七年级下·山西大同·期中）阅读与思考 利用面积法求直线上点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________； 第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________． ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ∴可得关于的一元一次方程为________． 解这个方程，可得点的坐标为________． 【问题迁移】 （2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标． 【问题拓展】 （3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标． 20．（24-25七年级下·江苏南通·期中）阅读理解： 在平面直角坐标系中，对于点，点，规定与中的较大的值记为，特别地，当时，规定． 例如，点，点，因为，所以． 解答下列问题（图1、图2均为备用图形）： (1)已知点，点B为x轴上的一个动点． ①若，则点B的坐标为_______； ②的最小值为_______； ③若动点满足，所有动点C组成的图形的周长为32，则l的值为_______． (2)对于点，点，若有动点使得，结合图形，直接写出m的取值范围． 1 / 112 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【精准提分】专题08 平面直角坐标系及其应用（人教2024） 【9个基础题型+3个压轴题型】 【基础题型一】写出直角坐标系中点的坐标 1 【基础题型二】判断点所在的象限 8 【基础题型三】已知点所在的象限求参数的取值范围 11 【基础题型四】点到坐标轴之间的距离相关求解 15 【基础题型五】坐标轴上点的特点 21 【基础题型六】与坐标轴平行的直线上点的特点 26 【基础题型七】角平分线上点的特点 32 【基础题型八】平面直角坐标系中对称和旋转问题 38 【基础题型九】平面直角坐标系中平移问题 45 【压轴题型十】平面直角坐标系中新定义类题型 54 【压轴题型十一】规律探索类题型 61 【压轴题型十二】平面直角坐标系中动点问题 70 【基础题型一】写出直角坐标系中点的坐标 例题1（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，已知点，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，建立直角坐标系如图所示： 由图可知：点的坐标为． 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·北京通州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，掌握点的坐标的定义是解答本题的关键． 根据点的坐标的定义判断即可． 【详解】解：由图可得，点P的横坐标是，纵坐标是，故点P的坐标为． 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级下·天津河西·期中）如图，四边形是长方形，，，三点的坐标分别是，，，点在第一象限，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，长方形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据长方形的性质得到，由点，的坐标分别是，得到，可得到点的坐标为，即可得到答案． 【详解】解：四边形是长方形， ， 点，的坐标分别是，， ， 点的坐标为， 故选：A． 【变式1-3】（24-25七年级下·福建龙岩·期中）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月14日晚在哈尔滨圆满闭幕．如图是本届亚冬会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形与坐标，根据题中、两点的坐标分别为、，数形结合，建立平面直角坐标系，即可得到点的坐标，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由、两点的坐标分别为、，建立平面直角坐标系，如图所示： 点的坐标为， 故选：C． 【变式1-4】（24-25七年级下·广东中山·期中）“无终”三孔布是山西省博物院内一藏品，是战国布币中最珍罕的品类．如图，建立平面直角坐标系标注一个三孔布，若A，B两点的坐标分别为，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键在于根据已知条件确定原点．根据已知条件，确定平面直角坐标系原点，最后即可求出答案． 【详解】解：如图所示，A，B两点的坐标分别为，，建立坐标系如下： ∴点C的坐标为， 故选：B． 【变式1-5】（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图所示的象棋盘上，若“士”的坐标是．在图中建立适当的平面直角坐标，表示出“炮”的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系的特点，掌握根据点建立平面直角坐标系是关键． 根据题意，建立平面直角坐标系，再有图形与坐标的特点得到“炮”的坐标即可求解． 【详解】解：∵“士”的坐标是， ∴平面直角坐标系如图所示， ∴“炮”的坐标为， 故选：D ． 【变式1-6】（2025·广西桂林·一模）如图，将一片枫叶标本放置在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标系中点的坐标，根据点A和点B的坐标可以确定每个小正方形的边长为1，再结合点C的位置即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点C的坐标为， 故选：A． 【变式1-7】（24-25七年级下·山东德州·期中）褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据点的坐标，点的坐标确定出坐标轴的位置，即可求得点的坐标． 【详解】解：表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为， 可以建立如图所示的平面直角坐标系： 点的坐标为， 故选：A． 【变式1-8】（23-24七年级下·北京·期中）如图，小手盖住的点的坐标可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，以及根据点所在的象限得出点的坐标，结合第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，进行作答即可． 【详解】解：依题意，小手在第二象限， 即第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴符合题意． 故选：B． 【变式1-9】（23-24七年级下·北京·期中）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部”两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标．根据，两点的坐标分别为，可以判断原点的位置，然后确定点坐标即可． 【详解】解：如图所示， ∴， 故选：B． 【基础题型二】判断点所在的象限 例题2（24-25七年级下·安徽淮南·期中）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴点一定在第四象限． 故选：D． 【变式2-1】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据第四象限内，点的横坐标大于零，纵坐标小于零，进行判断可得答案． 【详解】解：、在第二象限，本选项不符合题意； 、在第四象限，本选项符合题意； 、在第一象限，本选项不符合题意； 、在第三象限，本选项不符合题意． 故选：． 【变式2-2】（24-25七年级下·湖北黄石·期中）a为任意实数，坐标平面内点不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查点的坐标，据点的横坐标小于纵坐标，再根据各象限内点的坐标特征进行判断即可．判断出点的横坐标与纵坐标的大小关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点的横坐标小于纵坐标， ∴点不可能在第四象限． 故选：D． 【变式2-3】（24-25七年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标满足，，下列说法正确的是（   ） A．点在第一象限 B．点在第二象限 C．点在第三象限 D．点在第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键； 根据各象限内点的坐标特征解答即可．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：点的坐标满足，， 故点在第四象限； 故选：D 【变式2-4】（24-25七年级下·广东广州·期中）公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了，两个关键点：若点在第四象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据各象限内的点的坐标的符号特征进行判断即可．熟练掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点在第四象限， ，， ， 点在第三象限． 故选：C． 【变式2-5】（2025·江西新余·二模）在平面直角坐标系中，点（为实数）不可能在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：当时，则， ∴可能是正数，也可能是负数， ∴点可能在第二或第三象限； 当时，则， ∴不可能是负数， ∴点不可能在第四象限； ∴在平面直角坐标系中，点不可能在的象限是第四象限． 故选：D． 【变式2-6】（24-25七年级下·山东·期中）在平面直角坐标系中，已知点，则点P在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根据四个象限的符号特点进行分析判断即可． 【详解】解：点的横坐标小于，纵坐标， 点位于第二象限． 故选：B． 【变式2-7】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点A的横坐标为（a为实数），纵坐标为，则点A在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：．根据点的坐标特征判断即可． 【详解】解：∵，， ∴点A在第二象限． 故选B． 【变式2-8】（24-25七年级下·福建福州·期中）若点在第三象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键； 根据象限内的点确定和的正负，从而确定点在的象限； 【详解】解：点在第三象限， 则，， 则， 则，， 则点在第四象限； 故选：D 【基础题型三】已知点所在的象限求参数的取值范围 例题3（24-25九年级上·湖南娄底·期末）若点在第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点在第二象限， ， 解得， 故答案为：D． 【变式3-1】（24-25九年级下·福建厦门·期中）若点在第二象限，那么a的取值范围是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查根据点所在的象限求参数的范围．根据第二象限内的点的符号特征：，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选：B． 【变式3-2】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点位于第四象限，则，满足（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限的符号特征，根据点P位于第四象限，可知其符号特征是，可得答案． 【详解】解：∵点位于第四象限， ∴． 故选：D． 【变式3-3】（24-25九年级上·贵州黔南·期中）若点关于原点对称的点是第二象限内的点，则满足（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，各象限内点的坐标符号特征，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数求出点关于原点对称的点的坐标，再根据第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数列出关于的不等式组，解不等式组即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点坐标为， ∵点是第二象限内的点， ∴， 解得， 故选：． 【变式3-4】（2025·河南郑州·一模）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和点的坐标特征，能得出关于的不等式组是解此题的关键．根据点在第二象限得出不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：若点P在第二象限，则， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为，即a的取值范围是， 故答案为：． 【变式3-5】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点坐标所在的象限，熟练掌握平面直角坐标系中的点坐标的特征是解题关键．根据第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3-6】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）已知点在第四象限，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，坐标系中各象限坐标的特点，牢记第四象限的点满足横、纵坐标，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键． 根据第四象限的点满足横、纵坐标，得出，，根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：点在第四象限， ， ， ∴， 故答案为：． 【变式3-7】（23-24八年级下·四川成都·期末）点在第二象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了象限的特点，根据象限求坐标的参数，一元一次不等式组的应用，解得的关键在于根据象限特点列出不等式组求解．根据点在第二象限，列出不等式组求解即可． 【详解】解：点在第二象限， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 的取值范围是， 故答案为：． 【基础题型四】点到坐标轴之间的距离相关求解 例题4（24-25七年级下·四川绵阳·期中）已知点在第三象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点在第三象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3， ∴点P的坐标为， 故选：A． 【变式4-1】（24-25七年级下·北京·期中）已知点到轴的距离是到轴的距离的2倍，则的值是（   ） A．8 B．17 C．17或 D．8或2 【答案】D 【分析】此题考查了点到坐标轴的距离和解一元一次方程．根据到轴的距离等于到轴的距离的2倍列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题可知： ∴， ∴， ①当时，得：； ②当时，得， 即a的值是8或2． 故选：D． 【变式4-2】（24-25七年级下·新疆喀什·期中）若轴负半轴上有一个点，到轴的距离为，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是掌握坐标轴上的点的坐标的特征． 点P在x轴上则该点纵坐标为0，点到y轴的距离为则横坐标的绝对值是，据此解答即可． 【详解】解：∵点P到轴的距离为， ∴点的横坐标为或， ∵点P在x轴的负半轴上， ∴点P的纵坐标为0，横坐标为， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到轴的距离为1，到y轴的距离为，则点P的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，点到坐标轴的距离，先结合点P在第二象限，得出横坐标为负数，纵坐标为正数，再根据点P到轴的距离为1，到y轴的距离为，进行作答即可． 【详解】解：∵点P在第二象限， ∴点P的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵点P到轴的距离为1，到y轴的距离为， ∴点P的坐标为， 故选：A． 【变式4-4】（24-25七年级下·河南商丘·期中）已知在第二象限内的点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标轴距离，各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出方程求出，即可得解． 【详解】解：∵点是第二象限内的一个点，且 P 到两坐标轴的距离相等， ， 解得：， ， ∴点的坐标为 故选：A． 【变式4-5】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知点平面内不同的两点A和B到x轴的距离相等，则a的值为（　　） A． B． C．2或 D．1或 【答案】C 【分析】此题考查点到坐标轴的距离：点到x轴的距离是点纵坐标的绝对值，据此列得，求出a值即可． 【详解】解：因为点和到轴的距离相等， 所以．即或． 当时，，； 当时，，． 当时，，，两点不同； 当时，，，两点不同，均符合题意， 所以的值为或， 故选C 【变式4-6】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 【变式4-7】（24-25八年级下·山西临汾·期末）两个单项式与的和是一个单项式，点到横轴的距离是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项和点的坐标．根据同类项定义，求出字母的值即可判断． 【详解】解：因为两个单项式与的和是一个单项式， 所以这两个单项式是同类项，，， 解得，，， 所以点到横轴的距离是7， 故选：B． 【变式4-8】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）在平面直角坐标系中，若点M在第三象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6，则点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标的几何意义是解题的关键；因此此题可根据“点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6”进行求解即可． 【详解】解：由题意得：点M的横坐标为，纵坐标为， ∵点M在第三象限， ∴点M的坐标为； 故答案为． 【变式4-9】（24-25七年级下·安徽淮南·期中）点，其中，且它到轴的距离为3，到轴的距离为4，请写出点的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键．根据点到坐标轴的距离即可得到答案． 【详解】解：， 故点在第二象限或第四象限， 它到轴的距离为3，到轴的距离为4， 故点的坐标为或， 故答案为：或； 【变式4-10】（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系内，有一个动点，若点到轴的距离为，到轴距离为，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，绝对值和的最小值．根据题意得到，，得到，从而分类讨论求解即可． 【详解】解：∵，其中a为任意实数，m，n分别表示点P到x轴和y轴的距离， ∴，， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴①当时，； ②当时，， ③当时，； 综上，， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【变式4-11】（24-25七年级下·湖北荆门·期中）已知点在第二象限，且点A到两坐标轴的距离之和为9，则点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查求点的坐标，根据第二象限的点的符号特征，以及点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意得：，解得：， ∴． 故答案为： 【变式4-12】（23-24七年级下·四川德阳·期末）已知△ABC的面积为6，且，两点的坐标分别为、，若点到轴距离是1，则轴上方的点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】以为底，根据面积求出点C的纵坐标为4，再由C到y轴距离是1得到其横坐标为，由此即可求出C点的坐标． 本题考查三角形的面积，平面直角坐标系中点的坐标特点等；本题的关键是通过三角形面积求出点的纵坐标的绝对值，进而确定的点坐标． 【详解】解：∵A、B两点的坐标分别为、， ∴， 设C点纵坐标为y（），且的面积为6， ∴，即 ∴， ∵点C到y轴距离是1， ∴C点的横坐标为， ∴点C的坐标为或。 故答案为：或 【基础题型五】坐标轴上点的特点 例题5（24-25七年级下·安徽黄山·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点在轴上， ， ， ， ， 故选：D． 【变式5-1】（24-25七年级下·江苏南通·期中）若点在y轴上，那么点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标．根据轴上点的横坐标为0列方程求出的值，再求解即可． 【详解】解：点在轴上， ， 解得， ， 点A的坐标为． 故选：A． 【变式5-2】（24-25七年级下·广东惠州·期中）已知 ，C为y轴上一点，且，则C点坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，点的坐标，根据的纵坐标为，得出，再结合进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵C为y轴上一点， ∴设， ∵， ∴， 则， 则， ∴或， 解得或， ∴C点坐标为或． 故选：C 【变式5-3】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，如果点在轴上，距离原点4个单位长度，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了坐标平面上各象限内与坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离；根据点在在轴上，距离原点4个单位长度，则点P可在x轴正半轴或负半轴两种情况求解即可． 【详解】解：∵在轴上，距离原点4个单位长度， ∴当点P可在x轴正半轴上时，坐标为；当点P可在x轴负半轴上时，坐标为； 故答案为：或． 【变式5-4】（24-25七年级下·重庆潼南·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则在第 象限． 【答案】二 【分析】此题主要考查根据点坐标判定其所在象限，熟练掌握各象限的点的坐标特征是解题关键．根据点在轴上，可得横坐标为，即可得出，进而得出点的坐标，即可判定其在第二象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴在第二象限． 故答案为：二 【变式5-5】（24-25七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标的性质，注意x轴上点的坐标特点是解题的关键．直接利用x轴上坐标的特点，则纵坐标为0，进而得出m的值求出答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得：， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【变式5-6】（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知点在y轴上，点在x轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了坐标轴上的点的特征．在轴上的点横坐标为0，在轴上的点的纵坐标是0，据此进行解答即可． 【详解】解：∵点在轴上，点在轴上， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【变式5-7】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）若点在坐标轴上，则 ． 【答案】2或/或2 【分析】本题考查坐标轴上的点的特征，熟练掌握x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，是解题的关键． 根据x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0，即可求解． 【详解】解：∵点在坐标轴上， ∴或， ∴或． 故答案为：2或 【变式5-8】（24-25七年级下·天津·期中）已知点Q的坐标为，且点Q在y轴上，则点Q的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了在y轴上的点的坐标特点，在y轴上的点横坐标为0，据此求出a的值即可得到答案． 【详解】解：∵点Q的坐标为，且点Q在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标是， 故答案为：． 【变式5-9】（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知点，点在轴上，且，则满足条件的点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标系中坐标与线段的关系，熟练掌握坐标与线段的转化是解题的关键．设，根据，，得到，解得，把线段转化为坐标即可． 【详解】解：设， 因为，， 所以， 解得， 当点A在x轴的正半轴时，点， 当点A在x轴的负半轴时，点， 故答案为：或． 【变式5-10】（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知点在上，点在轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数，在轴上的点的横坐标为零；在轴上的点的纵坐标为零，据此即可求解； 【详解】解：∵点在上，点在轴上， ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【变式5-11】（24-25七年级上·山东烟台·期末）若点在y轴上，则点位于第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查坐标轴和各象限上的点的坐标特点，熟练掌握各象限上的点的坐标特点是解题的关键．根据y轴上的点的横坐标为0得到，求出，从而求出点B的坐标，进而判断出点B所在的象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴，， ∴点B的坐标为，它在第二象限． 故答案为：二． 【基础题型六】与坐标轴平行的直线上点的特点 例题6（24-25七年级下·山西大同·期中）已知直线轴，点的坐标为，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：直线轴，且点的坐标为， 点的纵坐标为3， ， ，， 即点的横坐标为5或， 则点的坐标为或． 故选：C． 【变式6-1】（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）线段，且轴，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，两点间的距离为横坐标的差值的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵线段，且轴，点的坐标为， ∴点的坐标为或， 即：或； 故选D． 【变式6-2】（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点N到x轴的距离等于4，且N在第一象限，则点N的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于轴的直线上的点的横坐标相同的性质． 根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，再求出点的横坐标，然后求解即可． 【详解】解∶∵点与点在同一条平行于y轴的直线上， ∴， ∵点N到x轴的距离等于4，且N在第一象限， ∴， ∴点N的坐标为． 故选：A 【变式6-3】（24-25七年级下·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的长度最小时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂线段最短、点的坐标的定义，掌握垂线段最短是解题的关键． 由垂线段最短可知点时，有最小值，从而可确定点的坐标． 【详解】解：如图， ∵轴，，， ∴， 根据垂线段最短，当于点时， 点到的距离最短，即的最小值为：， 此时点的坐标为， 故选：B． 【变式6-4】（24-25八年级下·重庆·期中）已知P、Q两点位于y轴两侧，且到y轴距离相等，轴，，则点Q坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得点Q的横坐标为6，平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此可得点Q的纵坐标为4，由此可得答案． 【详解】解：∵P、Q两点到y轴距离相等， ∴P、Q两点的横坐标的绝对值相同， ∵P、Q两点位于y轴两侧，， ∴点Q的横坐标为6， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为4， ∴点Q的坐标为， 故选：A． 【变式6-5】（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，直线轴，则线段的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，掌握平面直角坐标系中两点之间的线段与x轴平行，两点之间距离为横坐标差的绝对值，两点之间的线段与y轴平行，两点之间距离为纵坐标差的绝对值成为解题的关键． 由直线轴，则P、Q两点横坐标相等，据此列方程求得a的值，进而求得P点坐标为，然后求出线段的长即可． 【详解】解：∵直线轴， ∴，解得： ∴P点坐标为， ∴PQ=． 故答案为4． 【变式6-6】（24-25七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，A点的坐标，若线段轴，且，则点B的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查求点的坐标，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，以及两点间距离等于横坐标的差值的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵线段轴，A点的坐标，且， ∴或， ∴或 ； 故答案为：或． 【变式6-7】（24-25七年级下·北京·期中）已知，则在平面直角坐标系中，点的坐标为 ；若轴，且点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，平面直角坐标系，掌握与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征是解题的关键．先根据绝对值和算式平方根的非负性求出的值，即可得到点P的坐标，再根据轴，且点在轴上，得到点Q的横坐标与点P的横坐标相同，点Q的纵坐标为0，即可解答 ． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴； ∵轴，且点在轴上， ∴点Q的横坐标与点P的横坐标相同，点Q的纵坐标为0， ∴， 故答案为：，． 【变式6-8】（24-25七年级下·北京海淀·期中）平面直角坐标系中，已知线段与轴平行，且，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，得到点的纵坐标为，根据，分点在点的左侧和右侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵线段与轴平行， ∴点的纵坐标为， ∵，， ∴或； ∴或； 故答案为：或 【变式6-9】（24-25七年级下·湖北孝感·期中）在平面直角坐标系中，已知点轴，，则点Q的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，由题意可得点Q的横坐标为，再由求Q点坐标即可． 【详解】解：∵轴， ∴点Q的横坐标为， ∴设Q点的坐标为 ∵， ∴， 解得，或， 所以，点Q的坐标为或 故答案为：或 【变式6-10】（24-25七年级下·河南新乡·期中）在平面直角坐标系中，轴，轴．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ，线段的长与线段的长的和为 ． 【答案】 7 【分析】本题考查了点的坐标，两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据轴，轴．得点的纵坐标与点的纵坐标是相等的，点的横坐标与点的横坐标是相等的，即点的坐标为，再分别算出线段的长，线段的长，即可作答． 【详解】解：∵轴，轴，若点的坐标为，点的坐标为， ∴点的纵坐标与点的纵坐标是相等的，点的横坐标与点的横坐标是相等的， ∴点的坐标为， 则， ∴， ∴线段的长与线段的长的和为7， 故答案为：,7． 【变式6-11】（24-25七年级下·重庆九龙坡·期中）在平面直角坐标系中，若点，点，且直线轴，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知，点，点，且直线轴， 所以， 解得． 所以m的值为． 故答案为：． 【变式6-12】（24-25七年级上·山东东营·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，线段的长为4且平行于轴，则点B的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，关键是根据平行于y轴的坐标特点解答．根据平行于y轴的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵直线平行于y轴，点A的坐标为，线段， 则点B的坐标为，， 故答案为：或． 【基础题型七】角平分线上点的特点 例题7（24-25七年级下·广东珠海·期中）已知点在第二、四象限的角平分线上，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【变式7-1】（24-25七年级下·湖北黄石·期中）已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若，求点P的坐标； (2)若点P在第一象限的角平分线上，求x的值； (3)若点P到两坐标轴的距离之和为14，求x的值． 【答案】(1)(2)(3)x的值为或 【分析】本题考查了点的坐标的特点，实数的混合运算，求不等式组的解集，利用到两坐标轴的距离相等列出方程是解题关键． （1）把化简后代入求解即可； （2）根据第一象限的角平分线上点的横纵坐标相等列方程求解即可； （3）分别利用P点在第一、二、三、四象限以及在坐标轴上分别分析得出答案．． 【详解】（1）∵， ∴，即． （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：当点P在第一象限时， 由题意，得， 解得：， ，符合题意； 当点P在第二象限时， 由题意，得， 解得，不合题意； 当点P在第三象限时， 由题意，得， 解得， ，符合题意； 当点P在第四象限时， 由题意，得， 解得：，不合题意； 当点P在x轴上，则， 解得：x=，此时，不合题意； 当点P在y轴上，则， 解得：，此时，不合题意； 综上可知，x的值为或． 【变式7-2】（24-25八年级下·河北邢台·期中）已如点，根据下列条件分别求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的纵坐标比横坐标大； (3)点在象限的角平分线上． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】本题考查点的坐标，实数的混合运算，熟练掌握特殊点的特征，是解题的关键： （1）根据轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可； （3）根据第一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， 点的纵坐标为0，即，解得， ， 点的坐标为； （2）解：∵点的纵坐标比横坐标大， ，解得， ，， 点的坐标为． （3）解：当点在第一、三象限的角平分线上， 点的横坐标与纵坐标相同， ，解得， ，， 点的坐标为． 当点在第二、四象限的角平分线上， 点的横坐标与纵坐标互为相反数， ，解得 ，， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【变式7-3】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在第三象限，且到轴的距离为3，求点的坐标； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了点与坐标的对应关系，点到坐标轴的距离，各个象限的点的特征，第二、四象限的角平分线上的点的特征，解题的关键是掌握点的坐标特征． （1）根据题意得到且，解答即可； （2）根据题意得到点横、纵坐标互为相反数，进而即可求解. 【详解】（1）解：由题意得：且， ∴且或， ∴， 当时，， （2）解;∵在第二、四象限的角平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式7-4】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）已知点， (1)当点在轴上时，求的值． (2)当点在第二象限时，求的取值范围． (3)当点在第二、四象限的角平分线上时，求的值． 【答案】(1)1(2)(3)2 【分析】本题主要考查了坐标轴上及各象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离等知识点，熟练掌握平面直角坐标系的特征是解题的关键． （1）根据在x轴上的点的纵坐标是0，可得，解方程即可求出的值； （2）根据第二象限的点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）根据第二、四象限的角平分线上的点的横坐标、纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得：； （2）解：∵点在第二象限， ∴， 解得：； （3）解：∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴， 解得：． 【变式7-5】（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，已知点P坐标为． (1)若点P在x轴下方且到x轴的距离为11，求m的值． (2)若点P在二、四象限的角平分线上，求点P的坐标． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键． （1）根据点P在x轴下方且到x轴的距离为且x轴的距离为1得出，进而得出答案； （2）根据点P在二、四象限的角平分线上，进而得出答案． 【详解】（1）解：点在轴下方且到轴的距离为且轴的距离为11， （2）解：点在二、四象限的角平分线上， 点的坐标为． 【变式7-6】（24-25八年级下·吉林长春·期中）已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，涉及轴上点的坐标特征、二、四象限的角平分线上点的特点等知识，利用点的特征列方程求解即可得到答案，熟记平面直角坐标系中点的坐标特征是解决问题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为零可得，解方程即可得到答案； （2）根据第二、四象限的角平分线上点的特点：横坐标与纵坐标互为相反数，得到方程即可得到答案． 【详解】（1）解：点在轴上， ，解得； （2）解：点在第二、四象限的角平分线上， ∴点P的两个坐标互为相反数， ，解得． 【变式7-7】（23-24八年级上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在第四象限，且M到y轴的距离是3，求M点的坐标； (2)若点M在第一、三象限的角平分线上，求M点的坐标． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，各个象限的点的特征，第一、三象限的角平分线上的点的特征，解题的关键是掌握点的坐标特征． （1）根据题意得到，，解答即可； （2）根据题意得到点横、纵坐标相等，进而即可求解. 【详解】（1）解：由题意得：， ，， ，， 又∵点M在第四象限， ∴， ∴，则， 当时，， （2）解;∵在第一、三象限的角平分线上, ∴， ∴， ∴. 【基础题型八】平面直角坐标系中对称和旋转问题 例题8（23-24八年级上·西藏拉萨·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：关于轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标与该点纵坐标互为相反数， 若点与点关于轴对称，则，． 故选：． 【变式8-1】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，如果将线段绕点顺时针旋转至，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 根据点可得；如图：过点C作轴于点D，然后证明得到，进而得到，最后根据点C的位置确定坐标即可． 【详解】解：∵点， ∴， 如图：过点C作轴于点D， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在第二象限， ∴点C的坐标是． 故选B． 【变式8-2】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若点A的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角坐标系中的旋转问题，解题的关键是掌握旋转的性质，根据证明．作轴于点C，作轴于点D，根据旋转的性质可得，，根据证明，推出，，可得 ． 【详解】解：如图，为旋转后线段，作轴于点C，作轴于点D， 点的坐标是， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：B． 【变式8-3】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）平面坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与旋转变换，掌握旋转的性质及全等三角形的性质是解题的关键．根据旋转的性质利用一线三垂直构造全等三角形，即过作轴于点，过作轴于点，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点， 则，，， 又， ， ， 又， ， ，， ， 故选：A． 【变式8-4】（24-25七年级下·江西上饶·期中）若点与点关于轴对称，则：的立方根 ． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称点的特征，代数式的值，立方根，掌握关于轴对称点的特征，代数式的值，立方根是解题关键．根据关于轴对称的两点坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出、的值，进而求出，最后根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ， 的立方根为， 故答案为：． 【变式8-5】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，如果△ABC三个顶点的坐标分别是，，，△ABC关于轴成轴对称的图形是，关于轴成轴对称的图形是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点，先利用两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，再利用两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 简记：关于谁对称谁不变． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是，点关于x轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 【变式8-6】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若点与点关于轴成轴对称，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握点坐标的轴对称变化规律是解题关键．根据关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵点与点关于轴成轴对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式8-7】（24-25七年级上·吉林·期末）如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为，点的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键； 先根据题意得到，，再由矩形的性质可得，，，由旋转的性质可得，，，，据此可得第二象限内的坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，点在第二象限， ∴，，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式8-8】（24-25七年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先求出，再由勾股定理得，可推出，求出，再求出，再由旋转的性质及平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：点，点， ， ， ， ，， ， ， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，，过点C作轴于H，设交轴于点； ， ， ， ， ， ， 点C的坐标为， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，， 此时，点C与点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：或． 【基础题型九】平面直角坐标系中平移问题 例题9（2025·浙江丽水·二模）平面直角坐标系中，线段经过平移得到线段，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴点B的对应点的坐标是． 故选：A． 【变式9-1】（2025·浙江金华·二模）在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别为，平移线段，点，的对应点分别为，已知，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的变化--平移，掌握横坐标右加左减，纵坐标上加下减的规律是解题的关键．根据A点的坐标及其对应点的坐标可得线段向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，即可得到点的坐标． 【详解】解：平移后得到的坐标为， 向左平移了2个单位，向上平移了1个单位， ∴平移后的点的坐标为，即点的坐标为， 故选：A． 【变式9-2】（24-25七年级下·天津·期中）将点向右平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后所得点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是点的平移法则，左右平移是横坐标在改变，向左则减，向右则加；上下平移是纵坐标在改变，向上则加，向下则减． 根据点的平移法则即可得到答案． 【详解】解：将点向右平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后所得点的坐标为，即， 故选：C． 【变式9-3】（24-25七年级下·河南许昌·期中）已知 ，将线段 平移至，若，，则 的值为（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查平移的坐标与图形变化．熟练掌握平移规律是解题的关键． 根据点平移的性质“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”解答即可． 【详解】解：由题可得， 解得：， ∴， 故选：D． 【变式9-4】（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）在平面直角坐标系中，将线段平移至，若点的对应点的坐标为，则线段平移的方式可以为（   ） A．向右平移4个单位，向下平移5个单位 B．向左平移5个单位，向上平移4个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移5个单位，向下平移4个单位 【答案】C 【分析】本题考查了坐标系中点的平移规律，利用平移变换的规律解决问题即可．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：点向左平移个单位，向上平移5个单位得到点的坐标为， 线段平移的方式是：向左平移个单位，向上平移5个单位． 故选：C． 【变式9-5】（2025年江西省抚州市中考二模数学试题）在平面直角坐标系中，点先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加3，纵坐标减5即可得到点B的坐标，由此求出的值，即可解答． 【详解】解：∵点先向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-6】（24-25七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，点，点，动点C的纵坐标为，，则三角形的面积为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了点的坐标，三角形的面积公式，绝对值的意义．先根据得，据此可得线段与轴平行，，且到轴的距离为，再求得动点C到线段的距离，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 点的坐标为， 又点的坐标为， 线段平行于轴，到轴的距离为：， ， 动点C的纵坐标为， 动点C到线段的距离为， 三角形的面积为， 故答案为：4． 【变式9-7】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，将三角形沿轴向右平移，平移后得到三角形，点的对应点是点．已知点的坐标为，点的坐标为，且，，满足．则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、平移的性质、坐标与图形等知识，熟练掌握平移的性质，正确求得、、是解答的关键．根据非负性求得，，的值，得到点，、的坐标，再根据平移性质求解即可； 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，，， ∴，，， 则根据平移性质得， ∴； 故答案为：． 【变式9-8】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知长方形的顶点坐标：，，，与轴交于点，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，点到坐标轴的距离，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据平移的性质确定点的坐标，过点作轴于点，轴于点，连接、，根据的面积求出的长，即可得到答案． 【详解】解：长方形， 可由平移得到， ，， 点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可以得到点， ， ，即， 如图，过点作轴于点，轴于点，连接、， ，， ,，，， ， 又， ， ， ， 故答案为： 【变式9-9】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，平移线段，使点A，B均落在坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平面直角坐标系内图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．设平移后点A、B的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在y轴上，在x轴上；②在x轴上，在y轴上． 【详解】解：设平移后点A、B的对应点分别是、． 分两种情况：①在y轴上，在x轴上， 则横坐标为0，纵坐标为0， ∴线段向右平移个单位，向下平移n个单位， ∴，即 ∴点B平移后的对应点的坐标是；； ②在x轴上，在y轴上．，则纵坐标为0，横坐标为0， ∴线段向右平移个单位，向下平移个单位， ∴，即 故答案为：或． 【变式9-10】（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，，将△ABC平移得到，顶点的坐标为，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图-平移变换，由点和得出平移方式，即可确定顶点的坐标． 【详解】解：根据题意得，△ABC平移得到，且和， 可得，△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位， ∵， ∴顶点的坐标为，即， 故答案为：． 【变式9-11】（24-25九年级下·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点的坐标为，点在轴的正半轴上，将△AOB沿轴正方向平移后得到，点的对应点为点．若，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形平移，平面直角坐标系的点坐标，掌握图形的平移是关键． 根据图形平移得到点与点对应，得到即为平移距离，结合点的平移规律即可求解． 【详解】解：将△AOB沿轴正方向平移后得到，点的对应点为点， ∴点与点对应， ∴， ∴， ∵，， ∴，即平移距离为4， ∵顶点的坐标为， ∴， 故答案为： ． 【变式9-12】（24-25八年级下·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，△ABC平移后，顶点的对应点的坐标为，则顶点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的变化——平移，熟练掌握平移中点的变化规律是解题关键． 根据平移后的对应点的坐标为，可得△ABC平移规律，即△ABC向左平移了个单位长度，向上平移了个单位长度，由点即可推算出对应点的坐标． 【详解】解：平移后的对应点的坐标为， ，， 向左平移了个单位长度，向上平移了个单位长度， 点的坐标为，即． 故答案为：． 【变式9-13】（24-25七年级下·安徽淮北·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段平移后点A的对应点是，则点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化——平移，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据点A平移前后的坐标，得到其平移方式，即可得到点B的对应点的坐标． 【详解】解：平移后得到的对应点的坐标为， 平移方式为向右平移了个单位，向上平移了个单位， 的对应点坐标为，即， 故答案为：． 【压轴题型十】平面直角坐标系中新定义类题型 例题10（24-25七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴距离的较大值，称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，称，两点为“等距点”．若，两点为“等距点”，则的值是 ． 【答案】或 【详解】解：∵，两点为“等距点”， ∴且或且， 当且时， 解得或； 当且， 解得（舍去）或（舍去）； 综上所述，或 故答案为：或． 【变式10-1】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，新定义，根据卫星点的定义列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 此时，，， 则点的卫星点为和， ∵这两个卫星点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等）， ∴， 解得，， 故答案为：． 【变式10-2】（2025七年级下·全国·期中）对于平面直角坐标系中的任意两点定义一种新的运算“*”：．若点在第二象限，点在第三象限，则在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了点的符号特征，根据新定义求出，再根据点的符号特征，判断点所在的安象限即可． 【详解】解：∵点在第二象限，点在第三象限， ∴， ∴， ∵ ∴在第四象限； 故答案为：四． 【变式10-3】（24-25八年级上·安徽六安·期末）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为 ． 【答案】 3 或2或4 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，垂线段最短． （1）分别计算出，，的长度，比较得出最小值即可； （2）分别计算出，的长度，由于斜边大于直角边，故，，所以“最佳间距”为或者的长度，由于“最佳间距”为1，分两种情况讨论，即可求解点的横坐标． 【详解】解：（1）点，，， ，，， 垂线段最短， ， 点，，的“最佳间距”是3． 故答案为：3； （2）点， ∴， ∴，， 垂线段最短， ，， 点，，的“最佳间距”是1， ∴或， ∵，， ∴或， 当时，，点，，的“最佳间距”是1，，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为或2或4． 故答案为：或2或4． 【变式10-4】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，对于任意线段，我们给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值叫做线段的“纵轴距”，记作，例如：，，则线段的“纵轴距”为3，记作．把经过点垂直于轴的直线记作直线，点，关于直线的对称点分别为点，，连接和，当在某一范围内取值时，的值总保持不变，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，点到坐标轴的距离，正确理解“轴距”的定义是解题的关键． 先根据对称的性质求出，进而求出当，即时，，当时，，同理当时，，当时，，由此讨论求解即可． 【详解】∵点、关于直线的对称点分别为点E、F， ∴， ∴当，即时，， ∴当时，， 同理当时，，当时，， ∴当时，，符合题意； 当时，不是定值，不符合题意； 当时， ，符合题意； 综上所述，当或，的值不变，为4． 故答案为：或． 【变式10-5】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点、 、的“半矩面积”给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“半矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“半矩面积”．已知两点，，若点是轴上任意一点，则、、三点的“半矩面积”的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形，读懂题意是解题的关键．由题意得，，可知的最小值为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得，， 可知的最小值为， ∴、、三点的“半矩面积”的最小值为：， 故答案为：2． 【变式10-6】（24-25七年级下·江西南昌·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：点为的1号派生点，点为的2号派生点，例如的1号派生点为，它的2号派生点为 (1)已知点，那么它的1号派生点为___________，2号派生点为___________； (2)若将点上平移1个单位长度，直接分别写出平移方向和距离； (3)已知点连接它的1号派生点和2号派生点，若线段行于坐标轴，求值． 【答案】(1)；(2)向上平移2个单位长度，向左平移1个单位(3)或 【分析】本题考查坐标与平移，点的变换，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）求出平移后点的坐标和对应的派生点的坐标进行判断即可； （3）先根据新定义，求出点和点的坐标，分轴和轴，两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即：，； （2）∵， ∴将点上平移1个单位长度得到， 此时对应的，即，， ∴向上平移了个单位，向左平移了1个单位； （3）∵， ∴， 当轴时，则：，解得：； 当轴时，则：，解得：； 综上：或． 【变式10-7】（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）【读】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴的距离中的较小值称为点的“短距”；当点到轴，轴的距离相等时，则称点为”完美点“． 【思】（1）点的“短距”为________． 【悟】完成任务  （2）若点是“完美点”，求的值． 【省】迁移应用  （3）若点是“完美点”，求点的“短距”． 【答案】（1）3；（2）或；（3）3或6 【分析】（1）由点，得点A到x轴的距离为，到y轴的距离为，根据，得到点A的“短距”为3． （2）根据点是“完美点”，得，求的值即可． （3）根据点是“完美点”，得，再求点的“短距”． 本题考查了实数的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：（1）由点，得点A到x轴的距离为，到y轴的距离为，根据，得到点A的“短距”为3． 故答案为：3． （2）解：点是“完美点”，，或， 解得或． （3）解：由题意，得， 或， 解得或， 当时，点， ，， “短距”为3； 当时，点，，， “短距”为6． 综上所述，点的“短距”为3或6． 【变式10-8】（24-25七年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“优距”，较小值称为点P的“劣距”，如果点P到x轴、y轴的距离相等，那么我们称点P为“等距点”． (1)点的“劣距”为________，这个距离是点A到________（填x或y）轴的距离； (2)若点是“等距点”，求a的值； (3)若点的“优距”为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，判断点D是否为“等距点”，并说明理由． 【答案】(1)，(2)或(3)点D是“等距点”，理由见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于“新定义”类型题目，解题的关键是读懂题目里的定义． （1）根据“劣距”的定义解答即可； （2）根据“等距点”的定义解答即可； （3）由“优距”的定义求出值，然后根据“等距点”的定义判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为，到轴的距离为， 点的“劣距”为，这个距离是点A到轴的距离， 故答案为：，； （2）点是“等距点”， ， 或， 解得或； （3）点D是“等距点”． 理由如下： 点的“优距”为4，且点C在第二象限内， ，解得， ，， 点D的坐标为， 点D到x轴、y轴的距离都是3， 点D是“等距点”． 【压轴题型十一】规律探索类题型 例题11（24-25七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫作点的终结点，已知的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，……，这样依次得到点，，，，…，，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B．（-4，-1） C．（0，-3） D．（2，1） 【答案】D 【详解】解：∵点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，……， ∴，即； ∴，即； 同理可得，，…； ∴点的坐标每4个一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同，即． 故选：D 【变式11-1】（24-25七年级下·河南信阳·期中）如图，平面直角坐标系中，，，，，若把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角坐标系的应用，根据点的坐标求出四边形的周长，然后求出细线另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案． 【详解】解：，，，， ， 四边形的周长为， ， 细线另一端在绕四边形第 圈的第个单位长度的位置，即细线另一端所在位置的点的坐标是， 故选：A． 【变式11-2】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点…按这样的规律，经过第2025次运动后，蚂蚁的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型—点的坐标，解决本题的关键是观察点的运动变化发现规律，总结规律． 分别找到横坐标和纵坐标的变化规律，再算出2025与2的商和余数，继而得解． 【详解】解：第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， …， 则横坐标是从1开始的正整数，每个正整数出现2次， 纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次， 则， ∴第2025次的坐标是：， 故选：B． 【变式11-3】（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令：从原点发，按“向上”向右下右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，第一次移动到点第二次移动到点移动到点则点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律． 根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标． 【详解】解：，由 智能机器人移动的规律看出： 每移动4次将在轴上向右前进2个单位长度， ， 完成506次移动后，机器人回到轴，离坐标原点的距离为：个单位长度，接下来机器人还需继续按规律向上移动1个单位长度， 的坐标是． 故选：B． 【变式11-4】（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，根据动点P的运动规律，求出其坐标． 【详解】解：根据题意有， 第1次点P的坐标为， 第2次点P的坐标为， 第3次点P的坐标为， 第4次点P的坐标为， 第5次点P的坐标为， 第6次点P的坐标为， 第7次点P的坐标为， 第8次点P的坐标为， ……， 易知第n次，点P的横坐标即为n，纵坐标的值以1，0，2，0为一个周期， ， ∴第2025次运动后，动点P的坐标是． 故选：D． 【变式11-5】（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，一只电子蚂蚁，在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即，…，按照这样的运动规律，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标，平移的性质，寻找点的坐标的规律等，解题的关键是熟练掌握平移的性质，善于发现规律． 将两次运动看作一个周期，每两次运动向右平移了3个单位长度，向上平移了1个单位长度，即可求解． 【详解】解：根据电子蚂蚁的运动轨迹可以将两次运动看作一个周期，即每两次运动向右平移了3个单位长度，向上平移了1个单位长度， ∴点可以看作是第50个周期运动的点， ∴． 故选：C． 【变式11-6】（24-25八年级下·河南鹤壁·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆、半圆、半圆，组成一条平滑的曲线，点从原点出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标规律问题，解题的关键是得出点的坐标规律即可． 由题意知圆的周长为个单位长度，然后可得点运动半圆所需2秒，即可求解． 【详解】解：由题意得：圆的周长为个单位长度， ∵点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点运动半圆所需（秒）， ∴第1秒时，点的坐标为； 第2秒时，点的坐标为； 第3秒时，点的坐标为； 第4秒时，点的坐标为； 第5秒时，点的坐标为； ， 故点的纵坐标以循环， ∵， ∴第2025秒时，点的坐标是； 故选：D． 【变式11-7】（24-25七年级下·广东阳江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次平移，每次移动1个单位长度，得到点，，，，，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，掌握平移中点的变化规律是：左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加是解题的关键．根据图象可得移动次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标． 【详解】解：， 则的坐标是， 即的坐标是． 故选：C． 【变式11-8】（24-25七年级下·河南漯河·期中）如图，平面直角坐标系内，动点P按照图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，动点P第2025次运动到点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查规律型—点的坐标规律探究，观察图形可知：每次运动为一个循环，并且每一个循环向右运动个单位，用可判断出第次运动时，点在第几个循环第几次运动中，进一步即可计算出坐标． 【详解】解：动点的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，每个循环向右运动个单位， ∵， ∴第2025次运动时，点P在第次循环的第次运动上， ∴横坐标为，纵坐标为， ∴此时点P运动到点的坐标为． 故选：B． 【变式11-9】（2025·广东梅州·一模）在直角坐标系中，设动点P从向上运动1个单位至点，然后向左运动2个单位至点，再向下运动3个单位至点，再向右运动4个单位至点，再向上运动5个单位至点，……，如此继续运动下去，则点的横坐标 ． 【答案】1013 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，观察发现，点的坐标变化为每四个一个周期，周期内横坐标变化，由此即可即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察动点的运动过程可得： 到，横坐标不变，都为1， 到，横坐标从1变为， 到，横坐标不变，都为， 到，横坐标从变为， 到，横坐标不变为， 观察发现，点的坐标变化为每四个一个周期，周期内横坐标变化， ∵， ∴点的横坐标， 故答案为：． 【变式11-10】（24-25七年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，第7次运动到点，第8次运动到点，第9次运动到点，第10次运动到点．，…，依此规律继续运动下去，第2025次运动到点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力，解题的关键是找出点坐标规律． 根据坐标发现当运动次数为（k为正整数）时，点的坐标为，即可求解． 【详解】解：∵， ，，，， ∴当运动次数为（k为正整数）时，点的坐标为， ∵， ∴，即， 故答案为：． 【变式11-11】（2025·黑龙江绥化·二模）如图，在平面直角坐标系中，将△ABC沿轴向右变换到的位置，再变换到的位置，依次进行下去，若已知点，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律问题，由已知可得，即得，据此可得，进而即可求解，找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【压轴题型十二】平面直角坐标系中动点问题 例题12（24-25七年级下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称，两点为轴距等点．例如，图中的，两点即为轴距等点． (1)已知点，在点，，中，点的轴距等点是_____； (2)若点在第三象限，点与点为轴距等点． ①点的坐标可以是_____（写出一个即可）； ②将点向右平移5个单位得到点，若点与点仍为轴距等点，则点的坐标是_____； (3)已知点，点，连接． ①点为线段上一点且满足，经过点且垂直于轴的直线记作直线，若在直线上存在点，使得，两点为轴距等点，则的最小值是_____； ②将线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，线段可以由线段经过怎样的平移得到？ 【答案】(1) (2)①满足等式的值即可，答案不唯一，② (3)① ②左平移4个单位长度，再向上平移平移4个单位长度 【详解】（1）解∶ 到两条坐标轴的距离之和为，点到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为，到两条坐标轴的距离之和为， 故点的轴距等点是． 答案为C． （2）①设点的坐标为， ∵点在第三象限，点与点为轴距等点， ∴，，， 即，满足该等式的值不唯一， 如，． ②由①得，， ∴， ∵点与点仍为轴距等点， ∴，即， ∴， 即， ∴或（不合题意，舍去） 解得， ∴ ∴E， 故答案为． （3）①设， 由，可得，且， ∵，两点为轴距等点， ∴， ∴， 即当时，， ∴当时为最小值． 故答案． ②如图所示，点，，设线段与交点为E， ∵线段平移得到线段（与不重合），若线段上的任意一点与点为轴距等点，且 ∴ 当 时，点E在左侧，有 ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在右侧，有 ， ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在、之间（不包括A、B）， ， ∴，不符合题意，舍去． 当 时，点E在与点A重合，有 ，此时符合条件． 故线段向左平移4个单位长度，再向上平移平移4个单位长度得到线段． 【变式12-1】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，(2)或(3)或 【分析】（1）利用非负性可求a、b的值，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当E在直线上方时；②当E在直线下方时；分别根据的面积是6，列方程求解； （3）由与的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：设E为， 分以下两咱情况讨论： ①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接， 则 ， ∴，， ②当E在直线下方时，同样可得， ∴，， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、， 依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形： ①如图，当点P在梯形的内部时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点P在梯形的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点在x轴上， 如图，作轴于G，连接， ， ， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P点的坐标为或． 【变式12-2】（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，有个点，记为：，，…，若这个点的横坐标的最大值记为，纵坐标的最大值记为，将【，，…，】记为这个点的“和值”． 例如：对于，则“和值”【，】． 已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标为、、、，边与轴交于点． (1)“和值”【，，】______； (2)已知，过点作直线轴，直线与直线、分别交于点、记【、、、】． ①当时，______； ②当点在轴上运动时，判断有最大值还是最小值，并写出的最大或最小值以及相应的点的坐标． 【答案】(1) (2)①②m有最小值，当时，，对应点；无最大值 【分析】本题考查平面直角坐标系点的特征，和值的定义，熟练掌握平面直角坐标系点的特征是解题的关键； （1）根据和值的定义求解即可； （2）①根据题意，求解， ，进而求解和值；②根据的不同范围，分析横纵坐标最大值即可求解； 【详解】（1）解：根据图象，可得， 横坐标最大值：、、中最大为； 纵坐标最大值：、、中最大为； 【，，】； 故答案为： （2）①当时，则， ， 横坐标最大值： 、， 中最大为1； 纵坐标最大值：、、， 中最大为； 求和值：； 故答案为： ②根据的不同范围，分析横纵坐标最大值： 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而增大）； 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而增大）。 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而减小）； 综上，m有最小值：当时，，对应点； 无最大值：随增大而无限增大； 【变式12-3】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C． (1)点C的坐标为__________； (2)P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标． 【答案】(1)；(2)或或；(3)． 【分析】本题考查平面直角坐标系点的坐标和线段长度间的关系，算术平方根的意义等知识，解决问题的关键是转化面积相等的条件． （1）根据平面直角坐标系的坐标特征，进而求得点坐标； （2）由三角形面积公式，求得的长，分为当点到O点之前和到O点之后进行分类讨论，进一步求得结果； （3）先由一次函数和求出M点坐标，由得出，进而求得点坐标． 【详解】（1）解：，，且轴，轴， ； 故答案为：； （2）当点P 在线段BO上运动时， 由得， ， ， 当P、Q都未到达O点时 ∴ ∴或， 当P到达O点，Q点未达到O点时， 此时 综上所述：或或； （3）设点， ，，， 直线的解析式是：， ， ，且M在线段AB上 ∴ ∴ 解得∴ ， ， ， ∴， ． 【变式12-4】（24-25七年级下·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点分别作x轴、y轴的垂线，交x轴子点C，y轴于点B，动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t（秒），a，b满足． (1)直接写出点B和点C的坐标； (2)用含t的式子表示线段的长，并写出t的取值范围； (3)已知点，连接，，在（2）条件下是否存在t值，使四边形的面积是三角形的面积的5倍，若存在，请求出t值及点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当时，，当时，； (3)存在；，点P的坐标为；，点P的坐标为． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，算术平方根的非负性，三角形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键； （1）根据求出a、b，及点A坐标，根据矩形特征即可得到结论； （2）根据，，可得：，，分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段上时，用用含t的式子表示即可； （3）当点P在线段上时，当点P在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 点，即，， 作x轴、y轴的垂线，交x轴于点C，交y轴于点B， ，； （2）解：由，，可得：，， 点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动， 当点P在线段上时， ， 即当时，， 当点P在线段上时， ， 即；当时，； （3）解：存在，理由如下： 点， ，， ， ， 当点P在线段上时， ，， 解得：， ， 点P的坐标为； 当点P在线段上时， 解得：； ， 点P的坐标为 综上所述：，点P的坐标为；，点P的坐标为． 【变式12-5】（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标为和．将线段先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段，连接，． (1)点的坐标为________；点的坐标为________． (2)如果．且上有一动点，的最小值为________． (3)点是直线上一动点，连接，当点在直线上运动（不与点，重合）直接写出，，之间的数量关系． (4)点，分别是线段，的动点，点从点出发向点运动，每秒2个单位，到点即停；点从点出发向点运动，每秒3个单位，到点即停；如果两点同时出发，几秒后两点距离最短？并写出点，的坐标． 【答案】(1)；；(2) (3)或； (4)秒后两点距离最短，此时点，的坐标分别为、． 【分析】（1）根据平移方式确定点的坐标即可； （2）由垂线段最短可知，当时，有最小值，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况求解：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，过点作，利用平行线的性质分别求解即可； （4）设运动时间为秒，进而表示出点、的坐标，由垂线段最短可知，当时，的距离最短，此时两点横坐标相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将线段先向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到线段， 因为，点、的坐标为和， 所以，点的坐标为，即；点的坐标为，即， 故答案为：；； （2）解：因为点、的坐标为、， ，， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， 所以，即的最小值为， 故答案为：； （3）解：或，理由如下： ①当点在线段上时，如图，过点作， ， 由平移的性质可知，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，如图，过点作， ， 由平移的性质可知，， ， ， ； （4）解：设运动时间为秒， 由题意可知，，， 因为点、的坐标分别为、， 所以点、的坐标分别为、， 由垂线段最短可知，当时，的距离最短，此时两点横坐标相同， ， 解得：，即秒后两点距离最短， 此时点，的坐标分别为、． 【变式12-6】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图①，平面直角坐标系中，，直线轴交y轴于点E，点F在直线之间（不在直线上）． (1)连接，，求的度数． (2)若，在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点H在射线上运动，M为x轴上点B右侧的一点，连接，若始终平分，且，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在，或(3)的值不会变化，其值为 【分析】本题考查了坐标与图形，平行线的性质，一元一次方程，解题的关键是运用方程思想解决几何问题； （1）过点F作，根据平行线的性质求解即可； （2）先求出，再分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，再根据面积关系列方程求解即可； （3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解． 【详解】（1）解：过点F作， ， ，， ， ， ， ． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴， 设， ， ， 解得， 当点P在y轴负半轴上时，如图， ， ， 解得， 或； （3）解：的值不会变化，理由如下： 设，，，则，， 始终平分， ， ， ， ，即， 由（1）可知，， ，即， ， ， ， ， 所以的值不会变化，其值为． 【变式12-7】（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在直角坐标系中，轴，轴，，，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动，运动时间为， (1)写出，，三个点坐标． (2)当秒时，求的面积． (3)当到轴距离等于到轴距离时，求时间． 【答案】(1)，，(2)12(3)或 【分析】本题考查了坐标系点的坐标，坐标系点的动点问题，坐标系点坐标到坐标轴的距离，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． （1）根据题意，先求得和，再写出点的坐标即可； （2）先判断点和所在位置，写出两个点的坐标，然后求出三角形的面积即可； （3）分4种情况①时，点在线段时，②，点在线段时，③，点在线段时，④，点在线段时，依次讨论即可． 【详解】（1）解：轴，轴，，， ，， ，，； （2）解：当秒时，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动， 点走了6个单位长度，点走了6个单位长度， 点在线段上，此时，点在线段上， 的纵坐标为，， ， ； （3）解：①时，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，； ②，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，，； ③，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，，即，不符合题意； ④，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上, 到轴距离为8，不符合题意； 综上，或． 【变式12-8】（24-25七年级下·广东惠州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)请直接写出A，B，C三点的坐标． (2)P，Q为两动点，P，Q同时出发，其中点P从C点出发，在线段CB，上以3个单位长度每秒的速度沿着C→B→O运动，到达O点P停止运动；点Q从B点出发以1个单位长度每秒速度沿着线段向O点运动，到O点Q停止运动，设运动时间为t，当P在上时，t取何值时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2？ (3)如图2，连接，点在线段上，且m，n满足，M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积分别记为，若，请直接写出N点的坐标． 【答案】(1)、， (2)当P在上时，取或或7时，，，三点构成的三角形面积为2； (3) 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，也考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目． （1）先利用非负性求出，进而得出点，坐标，利用垂直确定出点坐标； （2）由题意可得点运动的时间，点运动的时间，当时，分时，时两种情况，用含的式子表示出，分别求解即可； （3）连接，过M点作轴，垂直于x轴，根据△AOB的面积得到，，结合，得到的面积为16，从而可计算出的长，即可得到点N的坐标． 【详解】（1）解：， ，， ，， 、， 、， 过，两点分别做轴，轴的垂线交于点， ； （2）解：由题意得：，， 点运动的时间，点运动的时间， 当当P在上时，即， 此时点运动的距离，即，此时点在线段上， ①时，此时点在线段上，未到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，解得：或； ②时，此时点已到达点， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，解得：； 当P在上时，取或或7时，，，三点构成的三角形面积为2； （3）解：如图，连接，过M点作轴，垂直于x轴， = ∵M到x轴的距离为1，M在第二象限， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式12-9】（24-25七年级下·湖南长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，，，，满足． (1)如图1，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，已知坐标轴上有两个动点、，点从点出发沿轴负方向以个单位每秒的速度移动，点从点出发沿轴负方向以个单位每秒的速度移动，设运动时间为秒．当三角形的面积与三角形的面积之和等于时，求的值． (3)如图2，过点作轴的平行线，点是线段上一个动点（不与、重合），连接，平分，平分交于点，过点作交于点，问的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)的值不发生变化， 【分析】本题考查了平行线的性质，直角坐标系，非负数的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据非负数的性质求出、，即可求解； （2）由题意得：，，则，得到，，根据题意列方程，即可求解； （3）过点作，设，，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：，满足， ，， 解得：，， 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； （2）由题意得：，， ，， ， ， ，， 三角形的面积与三角形的面积之和等于， ， 当时， 解得：， 当时，， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述，； （3）的值不发生变化， 设，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 过点作， ， ， ，， ， ． 1．（24-25七年级下·云南昆明·期中）在平面直角坐标系内，点到轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：点到轴的距离为， 故选：． 2．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的平移，熟练掌握点坐标的平移规律是解题关键．根据点坐标的平移规律求解即可得． 【详解】解：点的坐标为，将点向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点，即． 故选：A． 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）小东将游乐场的地图放在如图所示的方格纸中，并标注了自己最想游玩的三个项目的位置．若建立平面直角坐标系，使得旋转木马和过山车的坐标分别为，则摩天轮的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据点的坐标确定原点的位置，建立直角坐标系，进行判断即可． 【详解】解：由题意，建立直角坐标系如图： 由图可知：摩天轮的坐标为； 故选B． 4．（24-25七年级下·安徽淮南·期中）根据下列表述，能够确定位置的是（   ） A．淮南在合肥市的西北方向上 B．从学校出发走2千米正好到达小蕊家 C．小莹坐在横店影城的第二排 D．春晖中学位于北纬，东经 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键．根据坐标的定义，确定一个位置需要两个数据，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：选项A：淮南在合肥市的西北方向上，没有明确具体位置，故本选项错误； 选项B：从学校出发走2千米正好到达小蕊家，没有明确具体位置，故本选项错误； 选项C：小莹坐在横店影城的第二排，没有明确具体位置，故本选项错误； 选项D：春晖中学位于北纬，东经，这是唯一的，故本选项正确． 故选：D． 5．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）已知点A的坐标，直线轴，且，则点B的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为点A坐标为，且直线轴， 所以点B的横坐标为． 又因为， 所以， 所以点B的坐标为或． 故选：B． 6．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）如图，，若将线段平移至，使得点、点分别落在x、y坐标轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内平移后点的坐标， 将点A平移至，且在x轴上，其可得点的纵坐标为0，再根据点B平移至，且在y轴上，其可得点的横坐标为0，然后根据点B的平移特征得出答案． 【详解】解：∵将点A平移至，且在x轴上， ∴点的纵坐标为0． 将点平移至，且在y轴上， ∴点的横坐标为0， 即点B的横坐标减1， ∴点平移后的点的坐标为， 即． 故选：A． 7．（24-25七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数，根据在y轴上的点的横坐标为0，进行列式，再计算得，即可作答． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴， 故选：B． 8．（24-25七年级下·山东临沂·期中）春天到了，七年级2班组织同学们到人民公园春游，李明、张华利用平面直角坐标系画出人民公园示意图如图所示（图中每个小正方形边长代表，每个小正方形的对角线长为），规定正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且景点A和景点B的坐标分别是和．李明、张华分别对景点C的位置进行了描述，则下列判断正确的是（   ） 李明：景点C的坐标是； 张华：景点C在景点D的北偏东方向，相距处． A．只有李明说得对 B．只有张华说得对 C．两人说得都对 D．两人说得都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系和方位角的知识，理解并掌握相关知识是解题关键．根据景点A和景点的坐标确定平面直角坐标系的原点，即可判定李明的说法；根据方位角的知识判定张华的说法． 【详解】解：根据景点A和景点的坐标分别是和，可知平面直角坐标系的原点在景点处，故李明的说法正确； 根据所规定的正东、正北方向，可知景点在景点D的南偏西方向，相距处，故张华的说法不对； 综上分析可知：只有李明说得对． 故选：A． 9．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点．将某整点连续进行若干次平移操作，每次平移1个单位长度，平移方向取决于该点横、纵坐标之和除以4的余数：当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移；余数为3时，向下平移．例如点按上述规则连续平移3次：，最后得到点．若某整点按上述规则连续平移次后，最后得到点，则点的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系内点的平移运动，将各选项的点平移几次后可得规律进行判断即可． 【详解】解：A. 多次平移后点的横坐标与纵坐标的和为9或10，故连续平移后可得出点； B. 多次平移后点的横坐标与纵坐标的和为5或6，故连续平移后不可能得出点； C. 多次平移后点的横坐标与纵坐标的和为9或10，故连续平移后可得出点； D. 多次平移后点的横坐标与纵坐标的和为9或10，故连续平移后可得出点； 故选：B． 10．（24-25七年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，则点到轴的距离是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离公式是解题的关键．根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值即可求解． 【详解】解：点的坐标是， 点到轴的距离是． 故答案为：8． 11．（24-25七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 点的坐标为或， 故答案为：或． 12．（2025·四川成都·二模）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中点，，，将△ABC的顶点A平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，由题意可得平移的方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，再根据点的坐标的平移规律计算即可得解． 【详解】解：∵将△ABC的顶点A平移至点的位置， ∴平移的方式为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴平移后点C的对应点的坐标是，即， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）定义：任意三点A，B，C的“矩面积”计算方法：“水平底”a是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如，三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”h＝6，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为20，则 ． 【答案】5或 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据矩面积的定义表示出“水平底”a和铅垂高h，利用分类讨论对其铅垂高h进行讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解． 【详解】解：∵“水平底”，“矩面积”为20， ∴“铅垂高”， ∴或， ∴或， 故答案为：5或． 14．（24-25七年级下·山东济宁·期中）在由边长为1的小正方形组成的的网格，小正方形的顶点称为格点．在这个网格中建立适当的平面直角坐标系．如果从一个格点出发，先向右移动1个单位长度，再向上移动2个单位长度，称为一次上平移；如果从一个格点出发，先向右移动2个单位长度，再向下移动1个单位长度，称为一次下平移．若点A从点出发，连续两次平移到达点B，则点B所有可能的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了根据平移性质求点的坐标，熟练掌握点的平移规律，上加下减，右加左减，是解题的关键．分四种情况进行讨论：当连续两次平移都是上平移时，当连续两次平移都是下平移时，当先上平移，后下平移时，当先下平移，后上平移时． 【详解】解：当连续两次平移都是上平移时，点B的坐标为：，即点B的坐标为； 当连续两次平移都是下平移时，点B的坐标为：，即点B的坐标为； 当先上平移，后下平移时，点B的坐标为：，即点B的坐标为； 当先下平移，后上平移时，点B的坐标为：，即点B的坐标为； 综上分析可知：点B所有可能的坐标是或或． 故答案为：或或． 15．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点，点在轴上，则点的坐标为 ；点是轴负半轴上一点，过点作轴，在第二象限，点在线段上，连接、、、，且，．则四边形的面积最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得，再由在y轴上的点横坐标为0，得到，据此可求出点B的坐标；分别过点O和点D作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T，则，由由垂线段最短可知，据此可得答案． 【详解】解：∵点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度到点， ∴点B的坐标为，即， ∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； 如图所示，分别过点O和点D作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T， ∴ ， 由垂线段最短可知， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：；． 16．（2025·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，点A、、的对应点分别为点、、． (1)在图中画出； (2)写出点的坐标． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题主要考查图形与坐标—平移，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键； （1）先根据平移方式得出对应点的坐标，然后再进行作图即可； （2）根据（1）中的图形可进行求解 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：由（1）中图可知：点的坐标为． 17．（24-25八年级下·河北沧州·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案． 本题考查了坐标与图形，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵点在轴上， ， 解得：， 则， 点的坐标为：； （2）解：直线轴， 直线上所有点的纵坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，， ， 即， 解得： 18．（24-25七年级下·河南新乡·期中）【知识回顾】一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用有理数加法表示为． 【类比学习】若坐标平面上的点做如下平移：沿轴方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿轴方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位，则把有序数对，叫做平移后的“位移量”；用记号来表示，“位移量”与“位移量”的加法运算法则为． 【解决问题】 (1)计算：_____． (2)动点从坐标原点出发，先按照“位移量”平移到，再按照“位移量”平移到，若先把动点按照“位移量”平移到，再按照“位移量”平移，在图1中标出点、、，并画出四边形． (3)如图2，一艘船从码头出发，先航行到湖心岛码头，再从码头航行到码头．用“位移量”表示它从点航行到点的航行过程应表示为：____________． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】本题考查了平移，理解“平移量”的定义和加法运算法则是解题关键． （1）根据“平移量”的加法法则即可得； （2）先根据“平移量”的定义得出点的坐标，再描点、顺次连接点即可得； （3）先求出点到点的“平移量”，再数形结合算得点到点的“平移量”即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：动点P从坐标原点O出发，先按照“位移量”平移到A，再按照“位移量”平移到B ，即， 动点P从坐标原点O出发，若先把动点P按照“位移量”平移到C， 即 先描点，再顺次连接点、、、，即可得到四边形，如图所示： （3）解：一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头，再从码头P航行到码头 点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 用“位移量”表示它从点P航行到点Q的航行过程应表示为：． 19．（24-25七年级下·山西大同·期中）阅读与思考 利用面积法求直线上点的坐标 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，点，在直线上，求点的坐标． 【问题探究】 （1）请阅读并填空： 第一步：过点作轴于点，由，两点的坐标，可直接得出三角形的面积为________； 第二步：过点作轴于点，三角形的面积，三角形的面积为________． ∵三角形的面积三角形的面积三角形的面积， ∴可得关于的一元一次方程为________． 解这个方程，可得点的坐标为________． 【问题迁移】 （2）连接，请仿照（1）中的方法，求点的坐标． 【问题拓展】 （3）若点在直线上，且在轴的左侧，三角形的面积为5，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）6；m；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）用两种不同的方法求出的面积，构建方程求解即可； （2）利用面积法，构建方程求解即可； （3）首先判断出点在轴下方，过点作轴于点，则，然后根据构建方程求解． 【详解】解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点， ，，点， ∴，，，， ， ∴，． ， ， 解得，， 点的坐标为； 故答案为：，，，； （2）如图，连接，过点作于，于． 依题意，直线与坐标轴交于，两点，点，在直线上， ， ， ， 点的坐标为； （3）∵点在直线上，且三角形的面积等于5， ∵， ∴点在轴下方， 如图所示，过点作轴于点，则 ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∴． 20．（24-25七年级下·江苏南通·期中）阅读理解： 在平面直角坐标系中，对于点，点，规定与中的较大的值记为，特别地，当时，规定． 例如，点，点，因为，所以． 解答下列问题（图1、图2均为备用图形）： (1)已知点，点B为x轴上的一个动点． ①若，则点B的坐标为_______； ②的最小值为_______； ③若动点满足，所有动点C组成的图形的周长为32，则l的值为_______． (2)对于点，点，若有动点使得，结合图形，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①点的坐标为或；②2；③(2) 【分析】本题考查了新定义，坐标与图形性质，正确理解“绝对距离”的定义是解题的关键． （1）①设，根据可得，求出b即可得到点的坐标； ②根据点A、B的纵坐标之差的绝对值是2可得的最小值为2； ③判断出点C在以为中心，以为边长的正方形上，然后根据点组成的图形周长为32计算即可； （2）由题意，分情况列出不等式求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：①设， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； ②∵，设， ∴， ∴的最小值为2； ③∵，点满足， ∴点C在以为中心，以为边长的正方形上， ∴， ∴； （2）解：∵点，点， ∵有动点，使得， ∴分类讨论， ①当时，，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，，符合题意； ③当时，由题意得：， 解得：， ∴ 综上，的取值范围为． 1 / 112 学科网（北京）股份有限公司 $$