精品解析：2025年四川省绵阳市游仙区中考三模数学试题

绵阳市游仙区2024-2025学年度九年级中考第三次模拟检测 九年级数学试卷 考生注意：本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分为150分，考试时间为120分钟． 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数是（ ） A. B. 5 C. D. 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 点与点关于坐标原点对称，则（ ） A. 1 B. C. D. 2025 5. 如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（　　） A. B. C. D. 6. 若在实数范围内有意义，则满足的条件为（ ） A. B. C. 且 D. 7. 假如鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的外角平分线，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为6m，求甲建筑物的高度为（ ）（，，，结果保留整数） A. B. C. D. 10. 若关于的方程与有一个解相同，则的值为（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或2 11. 如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 42 C. D. 12. 已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13. 在实数范围内分解因式：______________． 14. 如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1＝50°，则∠2的度数是_____． 15. 若关于方程有实数根，则的取值范围是_______________． 16. 如图，一个纸杯杯口直径为，杯底直径为，，长为，则纸杯的表面积为_______________（结果保留） 17. 如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，分别与，交于点，．若的面积为1，则平行四边形的面积为________________． 18. 如图，在中，，，．是平面内任意一点，，，，分别为线段，，，的中点．当四边形为菱形时，点到直线的最大距离是_____________． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，满足． 20. 某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成表格． 学生目前每周劳动时间统计表 每周劳动时间（小时） 组中值 1 2 3 4 5 人数（人） 21 30 19 18 12 （1）画扇形图描述数据时，这组数据对应的扇形圆心角是多少度？ （2）估计该校学生目前每周劳动时间平均数； （3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明其合理性． 21. 如图，一次函数（）的图象经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3． （1）求该一次函数的解析式； （2）若反比例函数的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且，求m的值． 22. 为积极响应政府提出的“绿色发展•低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元． （1）求男式单车和女式单车的单价； （2）该社区要求男式单车比女式单车多4辆，两种单车至少需要22辆，购置两种单车的费用不超过50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？ 23. 如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且． （1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若，， ①求⊙O的半径； ②求BD的长． 24. 如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C （1）求点A，B，C坐标； （2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段长度取得最小值时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳市游仙区2024-2025学年度九年级中考第三次模拟检测 九年级数学试卷 考生注意：本试卷分第I卷和第II卷两部分，满分为150分，考试时间为120分钟． 第I卷（选择题，共36分） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和相反数，根据负数的绝对值等于它的相反数，以及结合只有符号不同的两个数互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：， ∵相反数是， ∴的相反数是， 故选：C 2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】大于0而小于1的数用科学记数法表示，10的指数是负整数，其绝对值等于第一个不是0的数字前所有0的个数． 【详解】解：2.5μm=， 故选：C． 4. 点与点关于坐标原点对称，则（ ） A. 1 B. C. D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，关于原点对称点的坐标特征、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得，，再结合代入消元法解得，的值，再代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：点与点关于坐标原点对称， ∴，， 整理得， 把代入， 得， ∴ 解得 把代入， 得 ， 故选：B． 5. 如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正视图是从物体的正面看得到的图形即可得． 【详解】解：从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为2，1， 如图所示： 故选A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图． 6. 若在实数范围内有意义，则满足的条件为（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数；分式有意义的条件是分式的分母不能为0．据此求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ，， ，且， 故选：C． 7. 假如鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画树状图得出所有情况，看三只雏鸟中恰有2只雄鸟的情况数占总情况数的多少即可．此题考查画树状图求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比；得到三只雏鸟中恰有两只雄鸟的情况数是解决本题的关键． 【详解】解：根据题意画图如下： 共8种等可能的情况，三只雏鸟中恰有两只雄鸟有3种情况， ∴雏鸟中恰有两只雄鸟的概率为 故选：B． 8. 如图，的外角平分线，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了外角和角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据外角平分线的定义得，，再根据三角形内角和定理得，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵的外角平分线，交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为6m，求甲建筑物的高度为（ ）（，，，结果保留整数） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题．过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，设， 根据题意可得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， 即， ∴ 解得， 经检验是原分式方程的解且符合题意， ∴． 故选：C． 10. 若关于的方程与有一个解相同，则的值为（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，解题关键能正确求出方程的解． 先求出一元二次方程的解，再将解代入分式方程中，转化为关于待求字母参数的方程求解． 【详解】解：方程，解得：，， 当时，将代入，得，解得：； 当时，此时分母，分式方程无意义，所以不是方程的解．   故选： B． 11. 如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 42 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，圆周角定理、垂径定理和锐角三角函数定义等知识，过作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值，由对称的性质可知，再由圆周角定理可求出的度数，再由垂径定理和锐角三角函数即可求解．解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形． 【详解】解：如图，过作关于直线的对称点，连接， 由轴对称的性质可知即为的最小值， 连接，，， 关于直线对称， ， ， ，， ， 过作于， 则， ， ， 在中，， ， 即的最小值， 故选：D． 12. 已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CP-OC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解． 【详解】解：如图， ，， ∴ = = = ==， ∴， 设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为， 则， ， ∴， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ， ∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的线段上， ∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值， 过O作OE⊥BC于E， ∴， ∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC ∴∠OCE=30°，CE= ∴OC=2OE ∵， ∴， 解得OE=， ∴OC=， ∴OP=CP-OC=． 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键． 第II卷（非选择题，共114分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 13. 在实数范围内分解因式：______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用提公因式及平方差公式进行分解因式是解题的关键；因此此题可根据提公因式及平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解：原式； 故答案为． 14. 如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1＝50°，则∠2的度数是_____． 【答案】80° 【解析】 【分析】直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠BAD＝∠CAD＝50°，进而得出答案． 【详解】解：∵∠BAC的平分线交直线b于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵a∥b，∠1＝50°， ∴∠BAD＝∠CAD＝50°， ∴∠2＝180°﹣50°﹣50°＝80°． 故答案为：80°． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠BAD=∠CAD=50°是解题关键． 15. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，再结合一元二次方程的判别式进行列式计算，即可得到答案．此题主要考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有实数根， ∴当时，即， 则 解得，满足题意； ∴ 当即时，是一元二次方程， ∴， 当即时，有实数根， 综上，取值范围是， 故答案为： 16. 如图，一个纸杯杯口直径为，杯底直径为，，长为，则纸杯的表面积为_______________（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解扇形的面积，先计算纸杯的底面积为，再结合展开图可得纸杯的侧面积是；进一步可得答案． 【详解】解：如图，纸杯的底面积为， 纸杯的侧面积是； 设展开图圆心角， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∴纸杯的侧面积是 ； ∴纸杯的表面积为． 故答案为： 17. 如图，在平行四边形中，点，分别是，的中点，分别与，交于点，．若的面积为1，则平行四边形的面积为________________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形中线的性质，相似三角形的判定和性质，重心的性质．连接，，证明是的中位线，求得，，推出，，得到，再根据三角形中线的性质和平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接，， 设平行四边形的面积为， ∴， 在中，点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， 同理， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 18. 如图，在中，，，．是平面内任意一点，，，，分别为线段，，，的中点．当四边形为菱形时，点到直线的最大距离是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，中位线的性质， 先过点A作，交于点G，根据菱形的性质可知，再根据勾股定理求出，当点A,P在直线的同侧时，画出图形，根据求出答案． 【详解】解：过点A作，交于点G， ∵是的中位线， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 设，则，根据勾股定理，得 , 即， 解得， ∴． 根据勾股定理，得． 当共线时，点P到的距离最大， 即． 故答案为：． 三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】（1） （2）化简得，求值得 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂，绝对值，二次根式的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，还考查了分式的化简求值，非负性的应用，熟练掌握相关的运算法则和运算方法是解题的关键． （1）先利用负整数指数幂，绝对值，二次根式的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值化简，再进行加减即可； （2）先利用分式的混合运算方法化简，再利用非负性求出，的值，代入求解即可． 【详解】解：（1） （2） ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式． 20. 某中学为加强学生的劳动教育，需要制定学生每周劳动时间（单位：小时）的合格标准，为此随机调查了100名学生目前每周劳动时间，获得数据并整理成表格． 学生目前每周劳动时间统计表 每周劳动时间（小时） 组中值 1 2 3 4 5 人数（人） 21 30 19 18 12 （1）画扇形图描述数据时，这组数据对应的扇形圆心角是多少度？ （2）估计该校学生目前每周劳动时间的平均数； （3）请你为该校制定一个学生每周劳动时间的合格标准（时间取整数小时），并用统计量说明其合理性． 【答案】（1） （2）2.7小时 （3）制定标准的原则：既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心；从平均数看，标准可以定为3小时，见解析 【解析】 【分析】（1）求出这组数据所占的比例，再利用比例乘上即可得到； （2）分别求出每组人数乘上组中值再求和，再除总人数即可； （3）根据意义，既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心．可以分别从从平均数，中位数来说明其合理性． 【小问1详解】 解：， ． 小问2详解】 解：（小时）． 答：由样本估计总体可知，该校学生目前每周劳动时间的平均数约为2.7小时． 【小问3详解】 解：制定标准的原则：既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心． 从平均数看，标准可以定为3小时． 理由：平均数为2.7小时，说明该校学生目前每周劳动时间平均水平为2.7小时，把标准定为3小时，至少有30%的学生目前每周劳动时间能达标，同时至少还有51%的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标． 从中位数的范围或频数看，标准可以定为2小时． 理由：该校学生目前每周劳动时间的中位数落在范围内，把标准定为2小时，至少有49%的学生目前劳动时间能达标，同时至少还有21%的学生未达标，这样有利于学生建立达标的信心，促进未达标学生努力达标，提高该校学生的劳动积极性． 【点睛】本题考查了频数表，扇形圆心角、中位数、平均数等，解题的关键是从表中获取相应的信息及理解平均数及中位数的意义． 21. 如图，一次函数（）的图象经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3． （1）求该一次函数的解析式； （2）若反比例函数的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由一次函数（）的图象经过点，得出①，由于一次函数的图象与y轴的交点是，根据三角形的面积公式可求得b的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）作轴于点D，轴于点E，则．由，得出，那么．设B点纵坐标为，则A点纵坐标为．由直线AB的解析式为，得出，，再根据反比例函数的图象经过A、B两点，列出方程，解方程求出n的值，那么，代入计算即可． 【小问1详解】 ∵一次函数（）的图象经过点， ∴①，点C到y轴的距离是3， ∵， ∴， ∵一次函数的图象与y轴的交点是， ∴， 解得：， 把代入①， 解得：， 则函数的解析式是． 故这个函数的解析式为； 【小问2详解】 如图，作轴于点D，轴于点E，则． ∵， ∴， ∴， ∴． 设B点纵坐标为，则A点纵坐标为． ∵直线的解析式为， ∴，， ∵反比例函数的图象经过A、B两点， ∴， 解得，（不合题意舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．正确求出一次函数的解析式是解题的关键． 22. 为积极响应政府提出的“绿色发展•低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元． （1）求男式单车和女式单车的单价； （2）该社区要求男式单车比女式单车多4辆，两种单车至少需要22辆，购置两种单车的费用不超过50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？ 【答案】（1）男式单车2000元/辆，女式单车1500元/辆；（2）该社区共有4种购置方案，其中购置男式单车13辆、女式单车9辆时所需总费用最低，最低费用为39500元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设男式单车x元/辆，女式单车y元/辆，根据“购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16000元”列方程组求解可得； （2）设购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，根据“两种单车至少需要22辆、购置两种单车的费用不超过50000元”列不等式组求解，得出m的范围，即可确定购置方案；再列出购置总费用关于m的函数解析式，利用一次函数性质结合m的范围可得其最值情况． 试题解析：解：（1）设男式单车x元/辆，女式单车y元/辆，根据题意，得：，解得：． 答：男式单车2000元/辆，女式单车1500元/辆； （2）设购置女式单车m辆，则购置男式单车（m+4）辆，根据题意，得：，解得：9≤m≤12，∵m为整数，∴m值可以是9、10、11、12，即该社区有四种购置方案； 设购置总费用为W，则W=2000（m+4）+1500m=3500m+8000，∵W随m的增大而增大，∴当m=9时，W取得最小值，最小值为39500． 答：该社区共有4种购置方案，其中购置男式单车13辆、女式单车9辆时所需总费用最低，最低费用为39500元． 点睛：本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系列出方程组或不等式组是解题的关键． 23. 如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且． （1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若，， ①求⊙O的半径； ②求BD的长． 【答案】（1）CO与⊙O相切，理由见解析 （2）①⊙O的半径为2；② 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据，可得，再由，可得，然后根据BE与⊙O相切可得，即可求解； （2）①设，根据，即可求解；②由①得：OC=6，OD=2，AB=4，求出，证明，可得，再由勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：CO与⊙O相切，理由如下∶ 连接OD， ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵BE与⊙O相切 ∴，即 ∴ ∴，即∠ODE=90°， ∴ ∴CD与⊙O相切； 【小问2详解】 解：①设， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴，解得 故⊙O的半径为2； ②由①得：OC=6，OD=2，AB=4， 在Rt△COD中， ∵AB为直径 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 设，则， 由勾股定理得，即 解得（负值舍去） ∴ 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键，是中考常见题型． 24. 如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C （1）求点A，B，C的坐标； （2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），点C坐标（0，2）；（2）或；（3）M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）． 【解析】 【详解】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题；（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题；（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题． 解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0， x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0）， 令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）． （2）由图象可知AB只能为平行四边形的边， ∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1， ∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣） ∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=． （3）如图所示， ①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N， 在RT△CM1N中，CN==， ∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）． ②当M3为顶点时， ∵直线AC解析式为y=﹣x+2，线段AC的垂直平分线为y=x， ∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）． ③当点A为顶点的等腰三角形不存在． 综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）． “点睛”本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题． 25. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3）， ， ， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $