第1讲 集合4大考点讲义-2026届高三数学一轮复习

集合及其表示 1． 集合概念：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合，简称“集”． 组成集合的每个对象都是这个集合的元素． 2．元素与集合 集合一般用英文大写字母A，B，C表示，元素一般用英文小写字母a，b，c表示． (1)元素与集合的关系是 或 关系，用符号 或 表示． 例：1 ；3 ． (2)集合中元素的三个特征： 、 、 ． 确定性：集合的元素必须是确定的，不能模棱两可，应明确的判断出来，即或，二者其一； 互异性：集合中任意两个元素一定是不同的； 无序性：集合中的元素可以任意排列． (3)给定两个集合A和B，如果组成他们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作． 3．集合的分类： (1)有限集：含有有限个元素的集合； (2)无限集：含有无限个元素的集合； (3)空集：不含任何元素的集合称为空集，记．可看成0个元素的集合，所以空集是有限集 另外，根据集合元素的类型不同可以把集合分为数集，点集等等． 4．几种常见的数集 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋或N* Z Q R 5．集合的表示方法： (1)列举法：把集合中的元素一一列出（不考虑元素的顺序），注意元素用逗号隔开（单元素不用），并写在大括号内． 例：不等式的正整数解组成的集合，可以表示为 (2)描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画出一条竖线，在竖线后面写出集合中元素所共同具备的特征性质．其形式为 例：方程的解的集合，可以表示为 (3)维恩(Venn)图法 6．区间及其表示 一般地，如果，则规定： 定义 名称 符号 数轴表示 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 闭区间 用“”表示“正无穷大”，用“”表示“负无穷大”． 实数集R可表示为区间 1．集合理解（判断） (1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1．(　　) (2){1,2,3}＝{3,2,1}．(　　) (3) ＝{0}．(　　) (4)不等式的所有解的集合表示为．(　　) 考点一 集合的三大特征 【例1】1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A．某班个子较高的同学 B．相当大的实数 C．我国著名数学家 D．倒数等于它本身的数 2．已知a∈R，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 014＋b2 014＝________． 【训练1】1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 2．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素可构成△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 4．已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 考点二 元素与集合的关系 【例2】1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( ) A．4 B．2 C．0 D．0或4 2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是( ) A．0 B．2 C．3 D．6 3．已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则集合B =_________________． 【训练2】1．下列命题中正确的是 ( ) A．{0}是空集 B．是有限集 C．是空集 D．集合N中最小的数是1 2．用符号或填空： （1）2______ （2）______ （3）0____ （4）0______ （5）______ （6）0______ 3．下列关系中正确的是 ( ) A．0∈{(0，1)} B．0∈{0，1} C．1∈{(0，1)} D． 4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 5．已知含有三个元素的集合M={x，xy，x－y}，N={0，|x|，y}且M=N，求x、y的值． 考点三 集合的表示方法 【例3】1．用列举法表示下列集合： （1）不大于10的非负偶数集； （2）自然数中不大于10的质数集； （3）方程x2+2x-15=0的解． 2．用描述法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集： （1）所有被2整除的数； （2）坐标平面内，x轴上的点的集合； 【训练3】1．若集合，用列举法表示集合S． 2．写出下列集合中的元素（并用列举法表示）： （1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 （2）大于10而小于20的合数组成的集合 3．用描述法表示下列集合： （1）被5除余1的正整数所构成的集合． （2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合． （3）函数的图像上所有的点． 4．用列举法表示下列集合： （1） （2） （3） （4） 集合关系及基本运算 1．集合间的基本关系 表示关系 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A的任意一个元素都是集合B的元素 A⊆B或 真子集 集合A的任意一个元素都是集合B的元素，并且B中至少有一个元素不属于A 空集 不含任何元素的集合 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ⊆A， ⫋B(B≠) 对应地，如果A不是B的子集，则记作A⊈B(或B⊉A)，读作“A不包含于B”（或“B不包含A”） 小结：有三种可能： （1）中所有元素是中的一部分元素； （2）任何一个集合是它本身的子集； （3）规定：空集是任何集合的子集． 子集的个数：含有n个元素的集合的子集个数是 ，真子集个数是 ，非空子集个数是 ，非空真子集的个数是 ． 2．集合的基本运算 集合的交集 集合的并集 集合的补集 图形语言 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 3．集合的运算性质 交集的性质： A∩＝ ；A∩A＝ ；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔ ． 并集的性质： A∪＝ ；A∪A＝ ；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔ ． 补集的性质： ＝ ；＝ ；＝ ． ，． 1．集合运算（判断） (1)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(　　) (2)若A∩B＝A∩C，则B＝C．(　　) (3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)总成立．(　　) (4)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则＝{2}．(　　) (5)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则()∪T＝{x|－4≤x≤1}．(　　) 考点一 集合间的基本关系 【例1】1．若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________． 【训练1】1．集合{－1,0,1}共有_______个子集．有_______个非空子集，有_______个真子集， 有______个非空真子集． 2．设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( ) A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 5．已知集合A＝{0,1}，则满足条件A∪B＝{2,0,1,3}的集合B共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二 集合的基本运算① 【例2】1．设集合，Z为整数集，则中元素的个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 2．（21全国甲文）设集合，则（ ） A. B. C. D. 3．（22全国乙理） 设全集，集合M满足，则（ ） A． B． C． D． 【训练2】1．（多选）若非空集合满足：，则（    ） A． B． C． D． 2．（22全国甲文） 设集合，则（ ） A． B． C． D． 3．设集合，．若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知集合A＝{0,2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________． 5．（21全国乙理）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 6．（23全国甲理）设集合，U为整数集，（ ） A． B． C． D． 7．（22全国甲理） 设全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 8．（23新高考一）已知集合，，则（ ） A． B． C． D．2 9．（24全国甲文）集合，，则（ ） A． B． C． D． 10．（24全国甲理）集合，则（ ） A． B． C． D． 考点三 集合的基本运算② 【例3】1．已知集合，B=，则A∩B=（ ） A．｛-1,0｝ B．｛0,1｝ C．｛-1,0,1｝ D．｛0,，1，2｝ 2．（22新高考Ⅰ）若集合，则（ ） A． B． C． D． 3．（24新高考一）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【训练3】1．（22新高考Ⅱ） 已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．设集合 ，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则( ) A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B 4．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为( ) A．{x|x≥1} B．{x|－4＜x＜2} C．{x|－8＜x＜1} D．{x|1≤x＜2} 5．（20全国Ⅰ理）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A．–4 B．–2 C．2 D．4 6．设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝}，B＝{x∈Z|－1<x≤3}，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为(　　) A．3 B．4 C．7 D．8 7．已知集合M＝{x|≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于(　　) A． B．{x|x≥1} C．{x|x>1} D．{x|x≥1或x<0} 8．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________． 9．已知集合 则（ ） A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D． 10．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 11．（23全国乙理）设集合，集合，，则（ ） A． B． C． D． 12．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________． 考点四 利用集合运算求参数 【例4】1．（23新高考二）设集合，，若，则( ) A．2 B．1 C． D． 2．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为( ) A．{－1} B．{1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} 3．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}． (1)若A∩B＝，求a的取值范围； (2)若A∪B＝R，求a的取值范围． 【训练4】1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设A={x|ax+1=0}，，若，求实数a的值． 3．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是_______． 4．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围________． 5．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a<x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围是________． 6．已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a}． (1)若A∩B＝，试求a的取值范围； (2)若A∩B＝{x|3<x<4}，试求a的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 集合及其表示 1．集合概念：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合，简称“集”． 组成集合的每个对象都是这个集合的元素． 2．元素与集合 集合一般用英文大写字母A，B，C表示，元素一般用英文小写字母a，b，c表示． (1)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号表示． 例：1；3． (2)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． 确定性：集合的元素必须是确定的，不能模棱两可，应明确的判断出来，即或，二者其一； 互异性：集合中任意两个元素一定是不同的； 无序性：集合中的元素可以任意排列． (3)给定两个集合A和B，如果组成他们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作． 3．集合的分类： (1)有限集：含有有限个元素的集合； (2)无限集：含有无限个元素的集合； (3)空集：不含任何元素的集合称为空集，记．可看成0个元素的集合，所以空集是有限集． 另外，根据集合元素的类型不同可以把集合分为数集，点集等等． 4．几种常见的数集 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N＋或N* Z Q R 5．集合的表示方法： (1)列举法：把集合中的元素一一列出（不考虑元素的顺序），注意元素用逗号隔开（单元素不用），并写在大括号内． 例：不等式的正整数解组成的集合，可以表示为 (2)描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画出一条竖线，在竖线后面写出集合中元素所共同具备的特征性质．其形式为 例：方程的解的集合，可以表示为 (3)维恩(Venn)图法 6．区间及其表示 一般地，如果，则规定： 定义 名称 符号 数轴表示 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 闭区间 用“”表示“正无穷大”，用“”表示“负无穷大”． 实数集R可表示为区间 1．集合理解（判断） (1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1．(　×　) 【解析】当x＝1时，{x2,1}={1,1}，不符合集合的互异性，故x＝0． (2){1,2,3}＝{3,2,1}．(　√　) (3) ＝{0}．(　×　) 【解析】是不含任何元素的集，是{0}的子集． (4)不等式的所有解的集合表示为．(　√　) 考点一 集合的三大特征 【例1】1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A．某班个子较高的同学 B．相当大的实数 C．我国著名数学家 D．倒数等于它本身的数 【答案】D 【解析】A，B，C中元素不具有确定性，不符合集合的定义，D中倒数等于它本身的数为1，，能构成集合{,1}，综上所述，答案：D 2．已知a∈R，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2 014＋b2 014＝________． 【答案】1 【解析】由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 014＋b2 014＝1． 【训练1】1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数 【答案】C 【解析】根据元素的确定性，接近于0的数，不可能组成集合，其他选项都可以组成集合． 2．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素可构成△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 3．设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【解析】设集合，若，，或， 当时，，此时；当时，，此时； 所以或.故选：C 4．已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，故选：A 考点二 元素与集合的关系 【例2】1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( ) A．4 B．2 C．0 D．0或4 【答案】A 【解析】 ①a=0时，无解，空集；②a≠0时，△=0，a=0或a=4，又a≠0，∴a=4 2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是( ) A．0 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【解析】∵z＝xy，x∈A，y∈B，且A＝{1,2}, B＝{0,2}，∴z的取值有：1×0＝0；1×2＝2；2×0＝0；2×2＝4．故A*B＝{0,2,4}．∴集合A*B的所有元素之和为0＋2＋4＝6． 3．已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则集合B =_________________． 【答案】 {0，1，2} 【训练2】1．下列命题中正确的是 ( ) A．{0}是空集 B．是有限集 C．是空集 D．集合N中最小的数是1 【答案】C 2．用符号或填空： （1）2______ （2）______ （3）0____ （4）0______ （5）______ （6）0______ 【答案】 3．下列关系中正确的是 ( ) A．0∈{(0，1)} B．0∈{0，1} C．1∈{(0，1)} D． 【答案】B 4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1； 当x＝1，y＝2时，z＝3．故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共含有3个元素． 5．已知含有三个元素的集合M={x，xy，x－y}，N={0，|x|，y}且M=N，求x、y的值． 【答案】x=－1，y=－1 【解析】∵0∈N，M=N，∴0∈M，∵集合M为含三个元素的集合，∴x≠xy，∴x≠0∵0∈N，y∈N，根据元素的互异性，∴y≠0，因此，在集合M中，只有x－y=0∴x=y，所以集合，集合N={0，|x|，x}，∴，∴x=0，x=±1，又据元素的互异性可得x=－1，y=－1。 考点三 集合的表示方法 【例3】1．用列举法表示下列集合： （1）不大于10的非负偶数集； （2）自然数中不大于10的质数集； （3）方程x2+2x-15=0的解． 【答案】（1）{0，2，4，6，8} （2）{2，3，5，7} （3）{-3，5} 2．用描述法表示下列集合，并指出它们是有限集还是无限集： （1）所有被2整除的数； （2）坐标平面内，x轴上的点的集合； 【答案】（1）； （2）两个都是无限集 【训练3】1．若集合，用列举法表示集合S． 【答案】S={2，3，4，7} 2．写出下列集合中的元素（并用列举法表示）： （1）既是质数又是偶数的整数组成的集合； 【答案】 （2）大于10而小于20的合数组成的集合； 【答案】 3．用描述法表示下列集合： （1）被5除余1的正整数所构成的集合． 【答案】 （2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合． 【答案】 （3）函数的图像上所有的点． 【答案】 （4）． 【答案】 4．用列举法表示下列集合： （1） 【答案】 （2） 【答案】 （3） 【答案】 （4） 【答案】 集合关系及基本运算 1．集合间的基本关系 表示关系 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A的任意一个元素都是集合B的元素 A⊆B或 真子集 集合A的任意一个元素都是集合B的元素，并且B中至少有一个元素不属于A 空集 不含任何元素的集合 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ⊆A， ⫋B(B≠) 对应地，如果A不是B的子集，则记作A⊈B(或B⊉A)，读作“A不包含于B”（或“B不包含A”） 小结：有三种可能： （1）中所有元素是中的一部分元素； （2）任何一个集合是它本身的子集； （3）规定：空集是任何集合的子集． 子集的个数：含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2． 2．集合的基本运算 集合的交集 集合的并集 集合的补集 图形语言 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 3．集合的运算性质 交集的性质： A∩＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B． 并集的性质： A∪＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A． 补集的性质： ＝U；＝；＝A； ，． 1．集合运算（判断） (1)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(　×　) (2)若A∩B＝A∩C，则B＝C．(　×　) (3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)总成立．(　√　) (4)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则＝{2}．(　√　) (5)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则()∪T＝{x|－4≤x≤1}．(　×　) 考点一 集合间的基本关系 【例1】1．若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________． 【答案】0或 【解析】∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．当a＝0时，x＝符合要求． 当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝.故a＝0或. 【训练1】1．集合{－1,0,1}共有_______个子集．有_______个非空子集，有_______个真子集， 有______个非空真子集． 【答案】8，7，7，6 【解析】所给集合的子集个数为23＝8个． 2．设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】 A 【解析】集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6(个)． 3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 D 【解析】由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( ) A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【解析】P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集共有4个． 5．已知集合A＝{0,1}，则满足条件A∪B＝{2,0,1,3}的集合B共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 D 【解析】由题知B集合必须含有元素2,3，可以是{2,3}，{2,1,3}，{2,0,3}，{2,0,1,3}，共4个． 考点二 集合的基本运算① 【例2】1．设集合，Z为整数集，则中元素的个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 2．（21全国甲文）设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，故，故选：B. 3．（22全国乙理） 设全集，集合M满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知,对比选项知，正确,错误故选: 【训练2】1．（多选）若非空集合满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误； 由可得，故选项正确；因为且，所以，则，故选项正确；由可得：不一定为空集，故选项错误；故选：. 2．（22全国甲文） 设集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以．故选：A. 3．设集合，．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 4．已知集合A＝{0,2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________． 【答案】±2 【解析】由题意知a2＝4，所以a＝±2．　 5．（21全国乙理）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】任取，则，其中，所以，，故，因此，.故选：C． 6．（23全国甲理）设集合，U为整数集，（ ） A． B． C． D． 【答案】A 7．（22全国甲理） 设全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，所以，所以.故选：D. 8．（23新高考一）已知集合，，则（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为，而， 所以．故选：C． 9．（24全国甲文）集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意得，对于集合中元素，满足，则可能的取值为，即，于是.故选：A 10．（24全国甲理）集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，则， ，故选：D 考点三 集合的基本运算② 【例3】1．已知集合，B=，则A∩B=（ ） A．｛-1,0｝ B．｛0,1｝ C．｛-1,0,1｝ D．｛0,，1，2｝ 【答案】A 【解析】由已知得，故，故选A 2．（22新高考Ⅰ）若集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故，故选：D 3．（24新高考一）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且注意到， 从而.故选：A. 【训练3】1．（22新高考Ⅱ） 已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故，故选：B. 2．设集合 ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 3．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则( ) A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B 【答案】B 【解析】集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2，或x＜0}∪{x|－＜x＜}＝R． 4．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为( ) A．{x|x≥1} B．{x|－4＜x＜2} C．{x|－8＜x＜1} D．{x|1≤x＜2} 【答案】D 【解析】阴影部分是A∩∁RB．集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁RB＝{x|x≥1}，所以A∩∁RB＝{x|1≤x＜2}． 5．（20全国Ⅰ理）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A．–4 B．–2 C．2 D．4 【答案】B 【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B. 6．设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝}，B＝{x∈Z|－1<x≤3}，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为(　　) A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为A＝{x∈N|y＝}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1,2,3}，所以其真子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个． 7．已知集合M＝{x|≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于(　　) A． B．{x|x≥1} C．{x|x>1} D．{x|x≥1或x<0} 【答案】C 【解析】由≥0，得 ∴x>1或x≤0，∴M＝{x|x>1或x≤0}，N＝{y|y≥1}，M∩N＝{x|x>1}． 8．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________． 【答案】－1，1 【解析】A＝{x|－5<x<1}，因为A∩B＝{x|－1<x<n}，B＝{x|(x－m)(x－2)<0}，所以m＝－1，n＝1． 9．已知集合 则（ ） A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D． 【答案】B 10．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 11．（23全国乙理）设集合，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 12．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________． 【答案】3 【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图， 观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)， 因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)， 因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)， 因此，至少看了一支短视频的有(人)， 所以没有观看任何一支短视频的人数为.故答案为：3 考点四 利用集合运算求参数 【例4】1．（23新高考二）设集合，，若，则( ) A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B. 2．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为( ) A．{－1} B．{1} C．{－1,1} D．{－1,0,1} 【答案】D 【解析】a＝0时，B＝{x|1≠0}＝∅⊆A； a≠0时，B＝⊆A，则－＝－1或－＝1，故a＝0或a＝1或－1． 3．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}． (1)若A∩B＝，求a的取值范围； (2)若A∪B＝R，求a的取值范围． 【答案】{a|－≤a≤2或a>3}；a∈ 【解析】(1)由A∩B＝， ①若A＝，有2a>a＋3，∴a>3. ②若A≠，如图：∴，解得－≤a≤2. 综上所述，a的取值范围是{a|－≤a≤2或a>3}． (2)由A∪B＝R，如图所示，∴，解得a∈. 【训练4】1．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，.要使，只需，解得：.故选：A 2．设A={x|ax+1=0}，，若，求实数a的值． 【答案】0或－1或1/2 【解析】由已知得：B={1，-2} ∵ ，∴A=φ或A={1}或A={-2}， 由A=φ得a=0；由A={1}得a=-1；由A={-2}得a=1/2。∴ a的值为0或-1或1/2． 3．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 (－∞，4] 【解析】当B＝时，有m＋1≥2m－1，则m≤2. 当B≠时，若B⊆A，如图． 则，解得2<m≤4.综上，m的取值范围为m≤4. 4．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围________． 【答案】 【解析】A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，集合B有两种情况，B＝或B≠. ①B＝时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，∴Δ＝16－4a<0，∴a>4. ②B≠时，当Δ＝0时，a＝4，B＝{2}⊆A满足条件； 当Δ>0时，若1,2是方程x2－4x＋a＝0的根， 由根与系数的关系知矛盾，无解，∴a＝4.综上，a的取值范围是a≥4. 5．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a<x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1] 【解析】因为C∩A＝C，所以C⊆A.①当C＝时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－； ②当C≠时，要使C⊆A，则解得－<a≤－1. 6．已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a}． (1)若A∩B＝，试求a的取值范围； (2)若A∩B＝{x|3<x<4}，试求a的取值范围． 【答案】（1）a的取值范围是{a|a≤，或a≥4}；（2）a＝3 【解析】(1)如图，有两类情况，一类是B≠∅⇒a>0.此时，又分两种情况：①B在A的左边，如图B所示； ②B在A的右边，如图B′所示．B或B′位置均使A∩B＝∅成立，即3a≤2或a≥4，解得0<a≤，或a≥4.另一类是B＝∅，即a≤0时，显然A∩B＝∅成立．综上所述， a的取值范围是{a|a≤，或a≥4}． (2)因为A＝{x|2<x<4}，A∩B＝{x|3<x<4}，如图所示： 集合B若要符合题意，显然有a＝3，此时B＝{x|3<x<9}，所以a＝3为所求． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$