1.3 勾股定理的应用（第1课时） 课时作业-2025-2026学年北师大版八年级数学上册

1.3 勾股定理的应用（第1课时） 课时作业 一、选择题 1．（2025春•天津期中）如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶着地点距树底的距离为，则这棵大树在折断前的高度为　　 A．10 B．17 C．18 D．20 2．（2025•香洲区模拟）智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本．某智能物流机器人在仓库中需从货架点出发，先向正东方向行驶12米到达点，再向正北方向行驶5米到达点．为优化路线，若机器人从点沿直线方向直接行驶到点，则线段长为　　 A．7米 B．13米 C．17米 D．20米 3．（2025春•大连期中）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A．30km B．40km C．50km D．不能确定 4．（2025春•东西湖区期中）将一根长的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设牙刷露在杯子外面的长度为 ，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．（2025春•长寿区校级期中）如图，圆柱的底面周长为6，高为4，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短路程是　　 A． B．5 C． D．10 6．（2025春•平舆县期中）如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面周长是，高，要从点环绕油罐建梯子，正好到达的正上方的点，则梯子最短需要　　 A． B． C． D． 7．（2025春•黄陂区期中）如图铁路上、两点相距40千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点　　 A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 8．（2025•罗定市一模）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是　　尺．（丈和尺是长度单位，1丈尺） A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13 二、填空题 9．（2025春•道外区期中）如图，某公园有这样两棵树，一棵树高，另一棵树高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 　　 米． 10．（2025春•天津期中）如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为　　． 12．（2025春•青秀区校级期中）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以12海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 　　海里． 13．（2024秋•沙市区期末）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，则它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为　　 ． 14．（2025春•西城区校级期中）如图，在地面上有一口井，井口位于点的位置，井身与地面垂直．一个孩子在玩耍时不慎掉入井中卡在距离地面15米的点位置．救援人员接到通知后迅速赶到商讨救援方案，由于井身太窄，救援人员无法直接进入，在井身附近挖掘又怕引起塌方伤到孩子．最终决定从距离井口10米的点处开始斜向径直挖掘到与点同一水平高度的点处，再横向挖掘到点．若计划挖掘隧道的总长度为19米，则点与点的水平距离为 　　 米． 15．（2024秋•新泰市期末）学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③若小明同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线　　 ． 16．（2025春•越秀区校级期中）如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是　　 ． 17．（2025春•铜梁区校级期中）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为 　　 ． 18．（2024秋•李沧区期末）如图，已知一个长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 　　 ． 三、解答题 19．（2025春•吐鲁番市期中）如图，有一块四边形的土地，，，，，，求该四边形土地的面积． 20．（2025春•广东校级期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为，恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）求这块空地的面积． 21．（2025春•越秀区校级期中）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距． （1）判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由； （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 22．（2025春•静海区期中）如图所示，一架长的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，此时梯子底端离墙． （1）求这架梯子的顶端距离地面的高度． （2）如果梯子的顶端沿墙下滑了，那么梯子底端水平外移了多少？ 23．（2025春•静海区期中）如图所示的一块空地，经测量，，，，．求这块空地的面积． 24．（2025春•五华区校级期中）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图中，． 请解答： （1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积、、之间的数量关系是　　． （2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积、、之间的数量关系是　　，请说明理由． （3）如图4，在梯形中，，，，分别以、、为边向梯形外作正方形，其面积分别为、、，则、、之间的数量关系式为　　，请说明理由． 25．（2024秋•衡山县期末）【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？ 参考答案 一、选择题 1．（2025春•天津期中）如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶着地点距树底的距离为，则这棵大树在折断前的高度为　　 A．10 B．17 C．18 D．20 【答案】 【考点】勾股定理的应用 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识 【分析】根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【解答】解：树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 这棵树原来的高度为：， 即：这棵大树在折断前的高度为， 故正确． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键． 2．（2025•香洲区模拟）智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本．某智能物流机器人在仓库中需从货架点出发，先向正东方向行驶12米到达点，再向正北方向行驶5米到达点．为优化路线，若机器人从点沿直线方向直接行驶到点，则线段长为　　 A．7米 B．13米 C．17米 D．20米 【答案】 【考点】勾股定理的应用 【专题】三角形 【分析】根据题意得出△是直角三角形，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：根据题意可得，，， 米， 故选：． 【点评】该题考查了勾股定理的应用，掌握其性质是解题的关键． 3．（2025春•大连期中）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A．30km B．40km C．50km D．不能确定 【考点】勾股定理的应用．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】证明三角形ABC是直角三角形即可推出结果． 【解答】解：如图， 由题意可知，∠FAB＝60°，∠EBC＝30°，AB＝30km，BC＝40km， ∴∠BAD＝30°， ∴∠ABD＝60°， ∴∠ABC＝90°， ∴AC＝（km）， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 4．（2025春•东西湖区期中）将一根长的牙刷置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设牙刷露在杯子外面的长度为 ，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】勾股定理的应用 【专题】应用意识；等腰三角形与直角三角形 【分析】根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【解答】解：圆柱形水杯的底面直径为，高为， 在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，， 最长时等于牙刷斜边长度是：， 的取值范围是：， 即． 故选：． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键． 5．（2025春•长寿区校级期中）如图，圆柱的底面周长为6，高为4，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短路程是　　 A． B．5 C． D．10 【答案】 【考点】平面展开最短路径问题 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识 【分析】沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可． 【解答】解：如图所示：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接， 则的长是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程， ，，， 由勾股定理得：． 故选：． 【点评】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程． 6．（2025春•平舆县期中）如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面周长是，高，要从点环绕油罐建梯子，正好到达的正上方的点，则梯子最短需要　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】平面展开最短路径问题 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识 【分析】把圆柱沿侧面展开，连接，再根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：如图所示： ，， ． 答：梯子最短需要13米， 故选：． 【点评】本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 7．（2025春•黄陂区期中）如图铁路上、两点相距40千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点　　 A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】 【考点】勾股定理的应用 【专题】运算能力；应用意识；等腰三角形与直角三角形 【分析】根据题意利用勾股定理得出，进而求出即可． 【解答】解：设 ，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， 故， 解得：， 则候车点应距点． 故选：． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意，进而利用勾股定理得出是解题关键． 8．（2025•罗定市一模）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是　　尺．（丈和尺是长度单位，1丈尺） A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13 【答案】 【考点】勾股定理的应用 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识 【分析】，设尺，则：尺，在△中，利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如图， 设尺，则尺， 由题意，得：（尺， 在△中，由勾股定理得：， 解得：， ， 即水深为12尺，芦苇长13尺， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理的实际应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 二、填空题 9．（2025春•道外区期中）如图，某公园有这样两棵树，一棵树高，另一棵树高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 　10　 米． 【答案】10． 【考点】勾股定理的应用 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识 【分析】根据树高可以计算两棵树的高度的差值，由题意知，在△中，根据勾股定理即可计算即可． 【解答】解：如图，四边形是矩形， ，， ， 在△中，， 答：小鸟至少飞行10米． 故答案为：10． 【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找出△，并且根据勾股定理正确的计算是解题的关键． 10．（2025春•天津期中）如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为　64　． 【考点】：勾股定理的应用 【分析】由勾股定理和正方形的面积公式解答． 【解答】解：由图可知正方形的边长为，正方形的面积为． 【点评】此题很简单，只要熟知勾股定理和正方形的面积公式即可解答． 11．（2025春•广东校级期中）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 　4　，却踩伤了花草． 【答案】4． 【考点】勾股定理的应用 【专题】运算能力；应用意识；等腰三角形与直角三角形 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可． 【解答】解：在中， 米，米， （米， 少走的路长为， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解题的关键． 12．（2025春•青秀区校级期中）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以12海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，1小时后两艘轮船相距20海里，则乙轮船每小时航行 　16　海里． 【答案】16． 【考点】勾股定理的应用；方向角 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间以及勾股定理解答即可． 【解答】解：甲轮船以12海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ， 小时后两艘轮船相距20海里， （海里），海里， 在中，（海里）， 乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：16． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算是解题的关键． 13．（2024秋•沙市区期末）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，则它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为　4　 ． 【答案】4． 【考点】平面展开最短路径问题 【专题】应用意识；等腰三角形与直角三角形 【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【解答】解：如图，， ， 答：它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少， 故答案为：4． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 14．（2025春•西城区校级期中）如图，在地面上有一口井，井口位于点的位置，井身与地面垂直．一个孩子在玩耍时不慎掉入井中卡在距离地面15米的点位置．救援人员接到通知后迅速赶到商讨救援方案，由于井身太窄，救援人员无法直接进入，在井身附近挖掘又怕引起塌方伤到孩子．最终决定从距离井口10米的点处开始斜向径直挖掘到与点同一水平高度的点处，再横向挖掘到点．若计划挖掘隧道的总长度为19米，则点与点的水平距离为 　2　 米． 【答案】2． 【考点】勾股定理的应用 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识 【分析】过作于，根据矩形的判定和性质，以及勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过作于， ， 四边形是矩形， ，， 设米， ， ， 解得， 答：点与点的水平距离为2米， 故答案为：2． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15．（2024秋•新泰市期末）学习了“勾股定理”之后，小明同学为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③若小明同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线　2　 ． 【答案】2． 【考点】勾股定理的应用 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力 【分析】设风筝下降到点处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解． 【解答】解：设风筝下降到点处，连接，则， ， ， ，，由勾股定理可得： ， ， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键． 16．（2025春•越秀区校级期中）如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是　　 ． 【答案】． 【考点】平面展开最短路径问题 【专题】运算能力；展开与折叠；推理能力 【分析】如图把圆柱体展开，连接，然后可知，，进而可由两点之间，线段最短可知即为所求． 【解答】解：圆柱的高等于，底面上圆的周长等于，如图， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面展开最短路径问题，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键． 17．（2025春•铜梁区校级期中）如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为 　16　 ． 【答案】16． 【考点】勾股定理的应用 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，再求出的长，进而可得出结论． 【解答】解：如图，连接， 饮料盒的底面长为，宽为，高为， ， ， 露在外面的长度为， ， ． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 18．（2024秋•李沧区期末）如图，已知一个长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点开始经过4个侧面爬行一圈到达点，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 　25　 ． 【考点】平面展开最短路径问题 【专题】等腰三角形与直角三角形；展开与折叠；几何直观；运算能力 【分析】先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【解答】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内， 由题意，得，． 在△中，由勾股定理得：， 解得：（负值已舍去）； 故答案为：25． 【点评】本题考查平面展开最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键． 三、解答题 19．（2025春•吐鲁番市期中）如图，有一块四边形的土地，，，，，，求该四边形土地的面积． 【答案】 【考点】勾股定理的应用 【分析】连接，在中，利用勾股定理求出和的长度，然后根据已知三角形的三边利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，最后把四边形的面积转化为两个直角三角形面积和即可求解． 【解答】解：连接， 在中， ， ， 解得：， 在中，，，， ， 为直角三角形， 则． 即四边形土地的面积为204． 【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，将四边形的面积转化为两个直角三角形面积和使求解过程变得简单． 20．（2025春•广东校级期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为，恰好是的中点，且． （1）求边的长； （2）求这块空地的面积． 【答案】（1）； （2）这块空地的面积为． 【考点】勾股定理的应用 【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识 【分析】（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可； （2）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【解答】解：（1）， ． 在△中， ，， ， 是的中点， ． （2），是的中点， ． ，， ， ， △是直角三角形． ， ， 由（1）可知，， ， 这块空地得面积为：． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． 21．（2025春•越秀区校级期中）2024年9月第11号台风“摩羯”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距． （1）判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由； （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】（1）农场会受到台风的影响，理由见解析； （2）5小时． 【考点】勾股定理的应用 【专题】应用意识；等腰三角形与直角三角形 【分析】（1）如图，过作于，由勾股定理得到，由此即可求解； （2）如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，，由勾股定理得，，由此即可求解． 【解答】（1）解：农场会受到台风的影响，理由如下： ，若，之间相距，，之间相距．如图，过作于， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， △的面积， ， ， ， 农场会受到台风的影响； （2）如图，台风从点开始影响该农场，到点以后结束影响，连接，， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， 台风中心的移动速度为， 台风影响该农场持续时间是：（小时）． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，正确添加辅助线，勾股定理的计算方法是解题的关键． 22．（2025春•静海区期中）如图所示，一架长的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，此时梯子底端离墙． （1）求这架梯子的顶端距离地面的高度． （2）如果梯子的顶端沿墙下滑了，那么梯子底端水平外移了多少？ 【答案】（1）这架梯子的顶端距离地面有高； （2）梯子的底端在水平方向滑动了． 【考点】勾股定理的应用 【专题】应用意识；运算能力；等腰三角形与直角三角形 【分析】（1）由题意易得，，进而根据勾股定理进行求解即可； （2）由题意易得，进而根据勾股定理可进行求解． 【解答】解：（1）在△中，，， ． 答：这架梯子的顶端距离地面有高； （2）， 在△中，， ． ． 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 【点评】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 23．（2025春•静海区期中）如图所示的一块空地，经测量，，，，．求这块空地的面积． 【答案】这块空地的面积为． 【考点】勾股定理的应用 【专题】应用意识；等腰三角形与直角三角形；运算能力 【分析】连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；根据四边形的面积等于△面积减△的面积解答即可． 【解答】解：如图所示，连接， 在△，，， ， ， △是直角三角形，即， ， ， 答：这块空地的面积为． 【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答本题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 24．（2025春•五华区校级期中）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图中，． 请解答： （1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积、、之间的数量关系是　　． （2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积、、之间的数量关系是　　，请说明理由． （3）如图4，在梯形中，，，，分别以、、为边向梯形外作正方形，其面积分别为、、，则、、之间的数量关系式为　　，请说明理由． 【考点】：勾股定理的应用 【专题】：探究型 【分析】（1）利用直角的边长就可以表示出等边三角形、、的大小，满足勾股定理． （2）利用直角的边长就可以表示出半圆、、的大小，满足勾股定理． 【解答】解：设直角三角形的三边、、的长分别为、、，则 （1），证明如下： ，， ； （2）．证明如下： ，， ； （3）过点作，交于，设梯形的边、、的长 分别为、、，可证，， ， 则 、、，表示，则． 故答案为：；；． 【点评】考查了三角形、正方形、圆的面积的计算以及勾股定理的应用． 25．（2024秋•衡山县期末）【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？ 【答案】消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务． 【考点】勾股定理的应用 【专题】应用意识；等腰三角形与直角三角形 【分析】由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【解答】解：，消防车高，，．如图，过点作， ，，，三点在同一直线上． ，， ． 在△中，由勾股定理，得． 在△中，由勾股定理，得 ． 答：消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 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