2024-2025学年下学期期末考试押题卷02 -2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

2024-2025学年下学期期末考试押题卷02 高二·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：导数、选择性必修修第三册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．11 B．14 C．11或23 D．14或23 2．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 3．有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（   ）. A．32种 B．64种 C．96种 D．144种 4．在实际应用中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则.现用甲､乙､丙､丁四台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这四台3D打印设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸Z（单位：）服从正态分布，且.根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，四台设备各试打5个零件，打印出的零件内径尺寸（单位：）如下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是（    ） A．甲：27.3，29.2，30.5，36.7，39.3 B．乙：25.1，27.2，29.5，31.2，33.3 C．丙：25.9，27.3，28.8，31.1，34.4 D．丁：25.6，30.4，32.7，33.9，36.3 5．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学在同一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（   ） A． B． C． D． 6．某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（    ） A．样本中心点为 B． C．时， 残差为 D．相关系数 7．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，其导函数为，若对任意的，均有恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 10．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”进行调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的．若根据小概率值的独立性检验，可以推断追星和性别有关，则调查样本中男生人数可以是（    ） （参考公式及数据：，临界值） A．10 B．11 C．12 D．18 11．已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答）. 13．甲、乙两人下棋，甲每局获胜的概率为，某天两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者将赢得100元的奖金，不考虑平局.在比分是的情况下，甲应该分 元奖金比较公平． 14．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 有男运动员名，女运动员名，其中男、女队长各人.选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法? (1)至少有名女运动员； (2)队长中至少有人参加； (3)既要有队长，又要有女运动员. 16．（15分） 在数字化浪潮的推动下，线上办公日益普及.为研究不同工作年限的员工对线上办公的态度，某人力资源研究机构对300名员工进行了调查，将员工分为工作年限5年以下和工作年限5年及以上两组，调查结果如表所示： 接受线上办公 不接受线上办公 合计 工作年限5年以下 80 40 120 工作年限5年及以上 60 120 180 合计 140 160 300 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对线上办公的态度与工作年限有关？ (2)从样本中接受线上办公的员工中按工作年限利用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人分享线上办公经验，设这3人中工作年限为5年以下的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．（15分） DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末 DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAI GPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次 DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X). 参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973. 18．（17分） 电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿.“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据： 线上宣传投入金额（万元） 20 30 40 50 60 70 游客满意度评分（分） 60 65 70 78 80 85 (1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由（精确到小数点后两位）； (2)《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，. ①若甲以获胜的概率为，求的最大值； ②在①中，若，以作为的值，设甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望. 参考公式：相关系数，， 参考数据：. 19．（17分） 已知，． (1)讨论的单调性； (2)已知恰有三个零点，求实数a的取值范围； (3)已知，是不为1的两个零点，求证：． 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期期末考试押题卷02 高二·数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：导数、选择性必修修第三册。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．11 B．14 C．11或23 D．14或23 【答案】D 【解析】由题意可得，成等差数列，则， 即， 即，即， 解得或. 故选：D. 2．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，故． 设切线的倾斜角为，则，又，所以， 故选：． 3．有2位老师和4名学生排成一队照相，老师既不能分开也不排在首尾，则不同的排法有（   ）. A．32种 B．64种 C．96种 D．144种 【答案】D 【解析】2位老师不能分开，即将他们捆绑为一个整体，2位老师的顺序可交换，有种排法， 老师不排在首尾，由于将2位老师看成一个整体了，与4名学生一共是5个位置在排列， 2位老师不能选首尾的2个的位置，只能选中间的3个位置中的一个，2位老师选定后，剩下4名学生在4个位置全排列， 所以有种排法， 根据分步乘法计数原理，不同的排法一共有种. 故选：D. 4．在实际应用中，通常认为服从正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则.现用甲､乙､丙､丁四台3D打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这四台3D打印设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸Z（单位：）服从正态分布，且.根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，四台设备各试打5个零件，打印出的零件内径尺寸（单位：）如下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是（    ） A．甲：27.3，29.2，30.5，36.7，39.3 B．乙：25.1，27.2，29.5，31.2，33.3 C．丙：25.9，27.3，28.8，31.1，34.4 D．丁：25.6，30.4，32.7，33.9，36.3 【答案】C 【解析】依题意，，，所以，. 所以打印出来的零件内径尺寸应满足，结合选项可知，不需要调试的为丙， 故选：C 5．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学在同一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为，其中甲班中女生占，乙班中女生占，则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 故选：A 6．某学校一同学研究温差x(°C)与本校当天新增感冒人数y (人)的关系，该同学记录了5天的数据： x 5 6 8 9 12 y 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（    ） A．样本中心点为 B． C．时， 残差为 D．相关系数 【答案】C 【解析】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项正确； 对于C项，由B项知，，令，则， 所以残差为，故C项错误； 对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关， 故相关系数，故D项正确. 故选：C 7．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”， 那么由题意可知可知：，又， 所以，构造等比数列， 因为第一次由甲传球，可认为第次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故， 因为第一次由甲传球，之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，所以乙、丙地位对称， 即，所以经过次传球后，球恰在乙手中的概率为. 故选：C. 8．已知函数的定义域为，其导函数为，若对任意的，均有恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 即，令， 则. 令，， 所以在上是单调递减函数. 不等式， 等价于， 即，， 所求不等式即， 由于在上是单调递减函数， 所以，解得， 且，即， 故不等式的解集为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题意，，故A正确； 则，故C错误； 而， 故B错误； 则，故D正确. 故选：AD. 10．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”进行调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的．若根据小概率值的独立性检验，可以推断追星和性别有关，则调查样本中男生人数可以是（    ） （参考公式及数据：，临界值） A．10 B．11 C．12 D．18 【答案】CD 【解析】设样本中男生人数为，得列联表 追 不追 合计 男 女 合计 所以，即，又，故C、D正确． 故选：CD. 11．已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】ACD 【解析】 由题知，不等式恒成立，设，， 即直线恒在函数图象的上方，直线恒过点，，当时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴当时，，，当时，， 在同一坐标系中作出函数与直线的图象， 设直线与函数的图象相切时切点为，，解得或； ∴当直线与函数的图象相切时切线斜率为2或，由图知，， 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答）. 【答案】 【解析】的展开式中的系数等价于的展开式中的系数， 而的展开式的通项为， 令得的展开式中的系数为， 即的展开式中的系数为. 故答案为： 13．甲、乙两人下棋，甲每局获胜的概率为，某天两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者将赢得100元的奖金，不考虑平局.在比分是的情况下，甲应该分 元奖金比较公平． 【答案】 【解析】在比分是的情况下，甲赢的概率是， 故甲应该分元. 故答案为：64.8. 14．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【解析】因为函数有两个零点，则有两个根，即与两个函数有两个交点. ，，则函数在上单调递减，在上单调递增.当；时，，则图象如图 设与的切点为， 则，，得或. 当或时，与有两个公共点； 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 有男运动员名，女运动员名，其中男、女队长各人.选派人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法? (1)至少有名女运动员； (2)队长中至少有人参加； (3)既要有队长，又要有女运动员. 【解析】（1）解法一：至少有名女运动员包括以下几种情况: 女男， 女男， 女男， 女男. 由分类加法计数原理可得共有种选法. 解法二：“至少有名女运动员”的对立事件为“全是男运动员”， 可用间接法求解.从人中任选人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种. 故“至少有名女运动员”的选法有 （种）. （2）解法一：可分类求解:“只有男队长”的选法有种；“只有女队长”的选法有种； “男、女队长都入选”的选法有种， 故共有种选法. 解法二：间接法:从人中任选人，有种选法，其中不选队长的方法有种， 故“至少有1名队长”的选法有 （种）. （3）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法； 当不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种， 因此，不选女队长时的选法共有种. 故既有队长又有女运动员的选法共有 （种）. 16．（15分） 在数字化浪潮的推动下，线上办公日益普及.为研究不同工作年限的员工对线上办公的态度，某人力资源研究机构对300名员工进行了调查，将员工分为工作年限5年以下和工作年限5年及以上两组，调查结果如表所示： 接受线上办公 不接受线上办公 合计 工作年限5年以下 80 40 120 工作年限5年及以上 60 120 180 合计 140 160 300 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对线上办公的态度与工作年限有关？ (2)从样本中接受线上办公的员工中按工作年限利用分层随机抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人分享线上办公经验，设这3人中工作年限为5年以下的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）零假设：员工对线上办公的态度与工作年限无关. 由题知. 当时，，因为， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为员工对线上办公的态度与工作年限有关. （2）按工作年限利用分层随机抽样的方法抽取7人，则其中工作年限为5年以下的员工有（人），工作年限为5年及以上的员工有（人）. 故的所有可能取值为0，1，2，3. 则， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. 17．（15分） DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末 DeepSeek-R1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAI GPT-4.为提升工作效率，M公司引入DeepSeek，并对员工进行了DeepSeek培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为 求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； (2)为了激发员工的培训积极性，提升员工使用DeepSeek的能力，M公司在培训过后举办了一次 DeepSeek知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩 Z 近似服从正态分布N(90，9)，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为X元，求X的分布列与数学期望E(X). 参考数据：若Z~N(μ，σ²)，则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973. 【解析】（1）分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C， 则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率 （2）由已知得μ的近似值为90，σ的近似值为3， 所以 而， 所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317. （3）X的所有可能取值为0，800，1600，2400， 所以X的分布列为 x 0 800 1 600 2 400 P 18．（17分） 电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿.“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据： 线上宣传投入金额（万元） 20 30 40 50 60 70 游客满意度评分（分） 60 65 70 78 80 85 (1)根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由（精确到小数点后两位）； (2)《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，. ①若甲以获胜的概率为，求的最大值； ②在①中，若，以作为的值，设甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望. 参考公式：相关系数，， 参考数据：. 【解析】（1）由已知得，， 可得， ， ， 所以， 因为，可以推断与正两个变量正线性相关，且相关程度很强， 可用线性回归模型拟合与的关系， 则，所以， 所以关于的线性回归方程为：. （2）①若甲以获胜，则前四局中甲、乙各胜两局，且第五局甲获胜， 所以， 所以， 令，可得，当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，取得最大值， ②由①知，，随机变量， 可得；； ， 所以随机变量的分布列为 3 4 5 所以. 19．（17分） 已知，． (1)讨论的单调性； (2)已知恰有三个零点，求实数a的取值范围； (3)已知，是不为1的两个零点，求证：． 【解析】（1）由题知定义域为R，， 当时，，∴在区间上单调递增； 当时，当时，；当时，，当且仅当时， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）由（1）知，显然是的一个零点， 设，， 当时，，∴在区间上单调递增， ∴最多有一个零点，即最多有两个零点； 当时，当时，；当时，， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，， 所以要使恰有3个零点，则需恰有2个不为1的零点， 则，解得， ，， 设，， 设，，∴在区间上单调递增， ∴，∴在区间上单调递增，， ∴存在，使，即， ∴实数a的取值范围为. （3）证明：由（2）知，，是不为1的零点，也是不为1的零点， 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证，又， ∴只需证，即证， 令，即， 则， ∴函数在R上单调递增．由，可得，即， ，又函数在上单调递减， ，即得证． 第14页 第15页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$