专题10 概率压轴解答题（7大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题08 概率综合问题 【题型归纳目录】 题型一：决策问题 题型二：概率最值问题 题型三：顺序排位问题 题型四：赛制问题 题型五：概率递推问题 题型六：期望递推 题型七：高尔顿板问题 【典型例题】 题型一：决策问题 【例1】（2025·高二·浙江温州·期中）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率． 【变式1-1】（2025·高二·北京通州·期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； (3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【变式1-2】（2025·高二·广东佛山·阶段练习）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购买机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用300元，另外，实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次60元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修费用720元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，根据大数据统计显示，每台机器在三年使用期内的维修次数可能是4次，5次或6次，其概率分别是，，．记X表示2台机器在三年使用期内的维修次数，n表示购买2台机器时，一次性购买的维修服务次数． (1)求X的分布列； (2)以机器维修所需费用的期望值为决策依据，在和之中选取其一，应选用哪个？ 【变式1-3】（2025·高二·江苏连云港·期中）甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，乙赢丙的概率为． (1)若甲、乙两人打第一局，求比赛局数的概率分布列； (2)求甲成为优胜者的概率； (3)为保护甲的比赛热情，由甲确定第一局的比赛双方，请你以甲成为优胜者的概率大为依据，帮助甲进行决策． 题型二：概率最值问题 【例2】（2025·高二·上海闵行·期中）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时有放回地依次取出3个球，求恰有一次取到黑球的概率． (2)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求与，并判断事件A与B是否独立． (3)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n． 【变式2-1】（2025·高二·广东佛山·期末）甲同学参加立定投篮训练活动.规则如下：每投中一球得1分，投不进得分.已知甲每次的投篮命中率为，前6次投篮全部命中，各次投篮结果相互独立. (1)求甲投完第8次球后得分依旧为6分的概率. (2)若甲最多有10次投篮机会，得分不少于7分则为优秀.为了使获得优秀的概率最大，甲选择的投篮次数应该是多少次？ 【变式2-2】（2025·高二·河南焦作·期末）为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高一学生进行调查，得到了他们的日平均阅读时长（单位：时），将全部样本数据分成九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率； (2)为进一步了解高一学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在，，三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记日平均阅读时长在内的学生人数为，求的分布列和期望； (3)以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高一学生中随机抽取21名学生，用表示这21名学生中恰有名学生日平均阅读时长在内的概率，其中，当最大时，求的值． 题型三：顺序排位问题 【例3】（2025·高三·重庆·阶段练习）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． (1)已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． (2)若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 【变式3-1】（2025·山东·模拟预测）某企业在2024年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完为止．员工甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲歌名的概率分别为（其中），猜对时获得的奖励分别为1千元，2千元，3千元． (1)若甲按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为；按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为，比较与的大小． (2)已知．甲考虑了两种方案，方案一：按照的顺序猜；方案二：按照的顺序猜.请从获得奖励的数学期望的角度分析，甲应当选择哪种方案？ 【变式3-2】（2025·辽宁鞍山·二模）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 题型四：赛制问题 【例4】（2025·高二·安徽芜湖·期中）观看篮球比赛一直受到广大高中生喜爱. (1)某职业球员甲每次投篮，选择投两分球的概率为，命中率为；投三分球的概率为，命中率为，求球员甲每次投篮命中的概率； (2)“大心脏”通常形容篮球员在最后时刻有良好的心理素质，以高命中率进行得分.在比赛最后几分钟内，乙有三次投篮机会，第一投篮的命中率为0.5，从第二次开始，每次投中的命中率会发生改变，若前一次投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加0.2；若前一次未投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加0.15，求乙在第三次投中的概率（答案请用小数表示）. 【变式4-1】（2025·高二·江苏宿迁·期中）为了能不断地传承与弘扬中国传统文化，某校高二年级各班在周班会课上进行了“中国传统文化”知识竞赛.各班竞赛形式多样，其中高二(1)(2)两班竞赛规则最具代表性，请完成以下两题： (1)高二(1)班班委会设置如下竞赛规则：从6道题中任选2题作答，2题均答对就获得“传统文化小达人”的称号.已知6道题中同学甲能答对其中的4道题，求甲在已经答对一题的前提下 没有获得“传统文化小达人”称号的概率； (2)高二(2)班班委会采取的竞赛规则：共设置n道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对就进入下一题，答错则终止答题，若n道题全部答对，就获得一个小礼品.已知同学乙答对每道题的概率为 （i）当时，设乙答题结束时，答题的个数为X，随机变量X的分布列及数学期望； （ii）设乙答题结束时，答对题目的个数为Y，求使得成立的n的最小值. （参考数据：） 【变式4-2】（2025·高二·山东·期中）2025年春节期间，国产大模型DeepSeek成为全球AI领域的一颗新星，“人工智能”的概念更加深入人心.某校举行“人工智能”知识竞赛，此次比赛共分三个环节，每一位选手必须前两个环节都通过才能进入最后的决赛环节.前两个环节是否通过是相互独立的，任何一个环节失败则立即停止比赛.现有甲、乙、丙三人参加比赛.甲通过前两个环节的概率分别为和p.当时，甲通过前两个环节的概率最大. (1)求的值； (2)取，且前两个环节中，乙和丙通过每一个环节的概率均为. （ⅰ）求恰有两人仅通过第一个环节的概率； （ⅱ）设进入决赛的人数为X，求X的分布列与数学期望. 题型五：概率递推问题 【例5】（2025·高二·重庆·期中）某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复. (1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； (2)求该学生第二天选择C图书馆的概率； (3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式. 【变式5-1】（2025·高二·湖南·期中）已知一个盒中装有3个大小，形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立． (1)经过2次操作后，记盒中红球的个数为X，求X的分布列； (2)求第3次操作取到红球的概率； (3)设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前n项和． 【变式5-2】（2025·高二·湖南郴州·期中）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分. (1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； (2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 题型六：期望递推 【例6】（2025·高二·广东广州·期末）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . (1)求 与 ； (2)设 ，求证：数列是等比数列； (3)求 的数学期望 （用 表示）. 【变式6-1】（2025·广东茂名·二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求的期望. 【变式6-2】（2025·吉林长春·模拟预测）某学校食堂共有A，B，C三个窗口分别为学生提供三种不同菜品，假设每人每餐只能选择一个窗口，某人第i次在A，B，C窗口选餐分别记为事件．已知，若某次选择A窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为；若某次选择B窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为．若某次选择C窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为． (1)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由； (2)设，证明：； (3)定义随机变量，当选择A窗口时，否则，求数学期望． 题型七：高尔顿板问题 【例7】（2025·高二·河南信阳·期中）如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，经过10次碰撞最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码． (1)求和X的分布列． (2)求小球最后落入格子的号码X为奇数的概率． (3)求变量X的数学期望和方差． 【变式7-1】（2025·高三·广东佛山·阶段练习）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以的概率向左滚下，或在前6次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以的概率向右滚下． （1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率； （2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为ξ元．其中ξ＝|20﹣5X|． ①求X的分布列： ②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【变式7-2】（2025·高二·广东中山·期末）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内. 如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，6的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以的概率向左滚下. （1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率； （2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中. ①求的分布列： ②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【强化训练】 1．（2025·高二·辽宁大连·期中）某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．比赛规则为：甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响． (1)经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望； (2)若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后乙得分高于甲得分的概率． ①求，，； ②规定，且有，请根据①中，，的值求出A、，并求出数列的通项公式． 2．（2025·高三·江西·开学考试）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第，…次的状态无关，即．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次（）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有2个白球的概率为，恰有1个白球的概率为． (1)求和． (2)证明：为等比数列． (3)求的数学期望（用n表示）． 3．（2025·高二·山东青岛·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过次与小木块碰撞，最后掉入编号为的球槽内．例如小球要掉入号球槽，则在次碰撞中有次向右次向左滚下． （1）如图，进行一次高尔顿板试验，求小球落入号球槽的概率； （2）曾经在街头巷尾的地摊上流行过一种利用高尔顿板改造的赌博游戏．摊主规定：元可以尝试一次，如果小球落入号和号球槽可以得到元奖金；如果小球落入号和号球槽可以得到元奖金；如果小球落入号和号球槽可以得到元奖金；如果小球落入球槽没有奖金．如果某天有人次尝试此游戏，摊主预计可以获取多少收益． 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）甲参加一项闯关挑战比赛，共设有3个关卡，分别为，挑战成功分别积2分､4分､6分．根据他以往挑战的经验，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，各个关卡之间相互独立．闯关规则为：闯关前先选择闯关搭配（每个关卡最多只能挑战一次，闯关不分先后顺序），可随机选择挑战1关､2关或3关，一旦选定，需要全部闯关成功才能积分，选择搭配的闯关中若有一关失败则积分为0分，最后以积分最高者胜． (1)求甲最后积分为6分的概率； (2)记甲最后的积分为随机变量，求的分布列和期望． 5．（2025·山东烟台·一模）为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. (1)设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求； (2)设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列； (3)假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 6．（2025·高二·云南玉溪·期中）甲、乙两名同学最近50次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 30 25 未投中 20 25 用频率估计概率，解答下列问题. (1)若从甲、乙两人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率； (2)若甲、乙两人各投篮2次，甲、乙每次投中与否相互独立，求至少投中3次的概率； (3)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投.规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则为平局.甲、乙每次投中与否相互独立.求甲投了第三次后停止比赛的概率. 7．（2025·高二·河北邢台·期中）“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)粒子经过4次随机选择后，记粒子在1号仓出现的次数为，求的分布列与数学期望. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 概率综合问题 【题型归纳目录】 题型一：决策问题 题型二：概率最值问题 题型三：顺序排位问题 题型四：赛制问题 题型五：概率递推问题 题型六：期望递推 题型七：高尔顿板问题 【典型例题】 题型一：决策问题 【例1】（2025·高二·浙江温州·期中）人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率． 【解析】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件． 则， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）（i）因为是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. （ii）由（i）得， 设为第次独立试验结束的概率，则 所以设题设概率为，则. 【变式1-1】（2025·高二·北京通州·期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表： 销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨 甲 3 4 3 乙 2 5 3 (1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率； (2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列； (3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个． 【解析】（1）设甲市场销售量为4吨的事件为A，则. （2）设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为， 则由题意得，，； ，，， 设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10， ， ， ， ， ， 所以的分布列如下表： 6 7 8 9 10 0.06 0.23 0.35 0.27 0.09 （3）由（2）知，，， 当时，销售利润，当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 则元； 当时，，，， 销售利润，当时，， 当时，，当时，， 因此的分布列为： 0.06 0.71 则元； 因为，所以应选. 【变式1-2】（2025·高二·广东佛山·阶段练习）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购买机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用300元，另外，实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次60元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修费用720元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，根据大数据统计显示，每台机器在三年使用期内的维修次数可能是4次，5次或6次，其概率分别是，，．记X表示2台机器在三年使用期内的维修次数，n表示购买2台机器时，一次性购买的维修服务次数． (1)求X的分布列； (2)以机器维修所需费用的期望值为决策依据，在和之中选取其一，应选用哪个？ 【解析】（1）X的取值为8，9，10，11，12．     ．     ． ． ． ． 所以X的分布列为 X 8 9 10 11 12 P （2）法1：当时，设为机器维修所需费用，则的分布列为 3180 3240 3960 4680 5400 P 于是． 当时，设为机器维修所需费用，则的分布列为 3480 3540 3600 4320 5040 P 于是， 因为3645<3670，所以应选用． 法2：当时，机器维修所需费用的期望值为， 当时，机器维修所需费用的期望值为． 因为，所以应选用． 【变式1-3】（2025·高二·江苏连云港·期中）甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，乙赢丙的概率为． (1)若甲、乙两人打第一局，求比赛局数的概率分布列； (2)求甲成为优胜者的概率； (3)为保护甲的比赛热情，由甲确定第一局的比赛双方，请你以甲成为优胜者的概率大为依据，帮助甲进行决策． 【解析】（1）比赛局数的可能取值为2，3，4． 比赛两局结束，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以． 比赛三局结束，则第二局、第三局丙连胜，所以． 比赛四局结束，所以． 所以的分布列为 2 3 4 （2）记甲、乙比赛第一局为事件，甲、丙比赛第一局为事件，乙、丙比赛第一局为事件，甲成为优胜者为事件． 第一局比赛双方可能是甲乙、甲丙、乙丙共三种情况，则． 所以． ． ． 所以 ． 所以甲成为优胜者的概率为． （3）由（2）知，， 所以甲参加第一局比赛成为优胜者的概率大． 题型二：概率最值问题 【例2】（2025·高二·上海闵行·期中）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时有放回地依次取出3个球，求恰有一次取到黑球的概率． (2)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，求与，并判断事件A与B是否独立． (3)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机抽取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量n． 【解析】（1）有放回的抽取，每次抽取到白球的概率为，取到黑球的概率为， 由次独立重复试验知，恰有一次取到黑球的概率为. （2）当时，盒中有6个白球，14个黑球，，， ， ，则，所以事件与相互不独立. （3）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 设，当时，， ，当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 【变式2-1】（2025·高二·广东佛山·期末）甲同学参加立定投篮训练活动.规则如下：每投中一球得1分，投不进得分.已知甲每次的投篮命中率为，前6次投篮全部命中，各次投篮结果相互独立. (1)求甲投完第8次球后得分依旧为6分的概率. (2)若甲最多有10次投篮机会，得分不少于7分则为优秀.为了使获得优秀的概率最大，甲选择的投篮次数应该是多少次？ 【解析】（1）依题意，记“接下来第i次投中”，，2，3，4 “甲投完第8次球后甲得分为6分” 则，且与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得 . （2）记“甲再投一次优秀”，则，故， 记“甲再投两次优秀”，则，故 记“甲再投三次优秀”，则， 则 记“甲再投四次优秀”，则， 故， 因此应该选择投篮7次或9次. 【变式2-2】（2025·高二·河南焦作·期末）为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了部分高一学生进行调查，得到了他们的日平均阅读时长（单位：时），将全部样本数据分成九组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率； (2)为进一步了解高一学生电子书阅读时间和纸质书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时长在，，三组内的学生中，按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记日平均阅读时长在内的学生人数为，求的分布列和期望； (3)以样本的频率估计总体的概率，从该地区的高一学生中随机抽取21名学生，用表示这21名学生中恰有名学生日平均阅读时长在内的概率，其中，当最大时，求的值． 【解析】（1）由频率分布直方图得，解得． 所以区间对应的频率为， 所以所求概率为． （2）由题可知，该地区高一学生中日平均阅读时长在三组内的学生人数比为， 则需从日平均阅读时长在内的学生中分别抽取人，人，人． 现从这6人中随机抽取3人，则的所有可能取值为0，1，2，3． ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． （3）由（1）可知从该地区的高一学生中随机抽取1人，估计其日平均阅读时长在内的概率为， 则， 由组合数的性质可得，当时，递增，且， 故当或时，最大． 题型三：顺序排位问题 【例3】（2025·高三·重庆·阶段练习）育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． (1)已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． (2)若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 【解析】（1）（i）的可能取值为， ，， . 所以的分布列为： 所以 （ii）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功， 所以概率为. （2）若顺序为“乙甲丙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以. . 若顺序为“丙甲乙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以 . ， ， 由于，所以， 所以丙先参赛. 【变式3-1】（2025·山东·模拟预测）某企业在2024年的年终庆典中，有一个根据“歌曲旋律猜歌名”的游戏，该游戏环节的规则如下：设定三首歌曲，按照一定的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，直到猜不对或猜完为止．员工甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对歌曲歌名的概率分别为（其中），猜对时获得的奖励分别为1千元，2千元，3千元． (1)若甲按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为；按照的顺序猜，至少猜对两首的概率为，比较与的大小． (2)已知．甲考虑了两种方案，方案一：按照的顺序猜；方案二：按照的顺序猜.请从获得奖励的数学期望的角度分析，甲应当选择哪种方案？ 【解析】（1）因为， ，且， 所以. （2）方案一：设获得奖励的金额为，则的值可以为：0，1000，3000，6000. 且，， ，. 所以. 方案二：设获得奖励的金额为，则的值可以为：0，2000，3000，6000. 且，， ，. 所以. 所以.所以甲应该选择方案二. 【变式3-2】（2025·辽宁鞍山·二模）某篮球夏令营举行超远距离投篮闯关游戏，游戏规则如下： 夏令营成员组队参加游戏，每队由三名队员组成.三名队员排好出场顺序后，依次出场投篮，且每名队员只投一次.如果一名队员投中，则游戏停止；如果这名队员没有投中，则派出下一名队员，直至有队员投中（闯关成功）或无队员可派出（闯关失败）时游戏停止.现有甲、乙、丙三人组队参加游戏，他们投中的概率分别为、、，且每次每人投中与否相互独立. (1)若，，，求游戏停止时小队有人投中的概率； (2)若，现在小队计划两种方案参加游戏. 方案一：甲最先、乙次之、丙最后；方案二：丙最先、甲次之、乙最后； （ⅰ）若采用方案一，求所需派出人员数目的分布列和期望； （ⅱ）分析采用哪种方案，可使所需派出人员数目的期望更小. 【解析】（1）设“停止比赛时小队有人投中”为事件， 则，所以. （2）（ⅰ）的所有可能取值为1，2，3 ，，； 所以的分布列为 1 2 3 . （ⅱ）设方案二所需派出人员数目，同理可得， 因为，所以 ， 所以，方案一可使所需派出人员数目的期望更小. 题型四：赛制问题 【例4】（2025·高二·安徽芜湖·期中）观看篮球比赛一直受到广大高中生喜爱. (1)某职业球员甲每次投篮，选择投两分球的概率为，命中率为；投三分球的概率为，命中率为，求球员甲每次投篮命中的概率； (2)“大心脏”通常形容篮球员在最后时刻有良好的心理素质，以高命中率进行得分.在比赛最后几分钟内，乙有三次投篮机会，第一投篮的命中率为0.5，从第二次开始，每次投中的命中率会发生改变，若前一次投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加0.2；若前一次未投中，则该次投中的概率比前一次成功的概率增加0.15，求乙在第三次投中的概率（答案请用小数表示）. 【解析】（1）设事件为“甲选择投两分球”，事件为“甲选择投三分球”，事件为“甲投篮命中”，则球员甲每次投篮命中的概率. （2）设事件为“乙在第次投篮命中”，其中， 则，，， 所以， ， ， ， 所以乙在第三次投中的概率为. 【变式4-1】（2025·高二·江苏宿迁·期中）为了能不断地传承与弘扬中国传统文化，某校高二年级各班在周班会课上进行了“中国传统文化”知识竞赛.各班竞赛形式多样，其中高二(1)(2)两班竞赛规则最具代表性，请完成以下两题： (1)高二(1)班班委会设置如下竞赛规则：从6道题中任选2题作答，2题均答对就获得“传统文化小达人”的称号.已知6道题中同学甲能答对其中的4道题，求甲在已经答对一题的前提下 没有获得“传统文化小达人”称号的概率； (2)高二(2)班班委会采取的竞赛规则：共设置n道题，参加比赛的同学从第1题开始答题，答对就进入下一题，答错则终止答题，若n道题全部答对，就获得一个小礼品.已知同学乙答对每道题的概率为 （i）当时，设乙答题结束时，答题的个数为X，随机变量X的分布列及数学期望； （ii）设乙答题结束时，答对题目的个数为Y，求使得成立的n的最小值. （参考数据：） 【解析】（1）设事件表示甲已经答对一题，事件表示甲获得“传统文化小达人”称号， 则， ， 则. （2）（i）的可能取值为， 则，， ， 分布列为： 则. （ii）的可能取值为， ，， ， 由期望的公式可得， 设， 则， 两式相减可得 ， 所以， 则 ， 由可得，即， 即，其中， ， 则， 所以的最小值为. 【变式4-2】（2025·高二·山东·期中）2025年春节期间，国产大模型DeepSeek成为全球AI领域的一颗新星，“人工智能”的概念更加深入人心.某校举行“人工智能”知识竞赛，此次比赛共分三个环节，每一位选手必须前两个环节都通过才能进入最后的决赛环节.前两个环节是否通过是相互独立的，任何一个环节失败则立即停止比赛.现有甲、乙、丙三人参加比赛.甲通过前两个环节的概率分别为和p.当时，甲通过前两个环节的概率最大. (1)求的值； (2)取，且前两个环节中，乙和丙通过每一个环节的概率均为. （ⅰ）求恰有两人仅通过第一个环节的概率； （ⅱ）设进入决赛的人数为X，求X的分布列与数学期望. 【解析】（1）由题意可知：，解得， 甲通过前两个环节的概率为， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可知当时，取到最大值，即当时，取到最大值， 所以. （2）（ⅰ）由（1）可知：甲通过前两个环节的概率分别为和， 甲、乙、丙仅通过第一个环节的概率分别为 ， 恰有两人仅通过第一个环节的概率为 ； （ⅱ）设甲、乙、丙进入决赛分别为事件， 则，可得， 由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3， 则； ； ； ； 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的期望为. 题型五：概率递推问题 【例5】（2025·高二·重庆·期中）某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复. (1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； (2)求该学生第二天选择C图书馆的概率； (3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式. 【解析】（1）由题意，第一天和第二天都选择C图书馆的概率为 （2）第一天选C图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 第一天选D图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 故第二天选C图书馆的概率为. （3）由题意，当时，，则， 即， 故是以为首项，为公比的等比数列， 故，解得 【变式5-1】（2025·高二·湖南·期中）已知一个盒中装有3个大小，形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立． (1)经过2次操作后，记盒中红球的个数为X，求X的分布列； (2)求第3次操作取到红球的概率； (3)设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前n项和． 【解析】（1）由题意， 的所有可能取值为1,3， , 故的分布列为 1 3 （2）由题意， （方法一）设事件表示第次取到红球， 则 （方法二）由（1）知第3次操作取到红球的概率为． （3）由题意及（1）（2）得， 设次操作后，盒中全是黑球、1个红球和2个黑球、2个红球和1个黑球、全是红球的概率分别为． 由操作规则可知， 当为奇数时，盒中全是黑球或2个红球、1个黑球， 当为偶数时，盒中全是红球或1个红球、2个黑球， 即，其中． 因为， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则． 故． 即 【变式5-2】（2025·高二·湖南郴州·期中）投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分. (1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望； (2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【解析】（1）由题意投掷1次骰子得分的概率为，投掷1次骰子得分的概率为， 由题意的可能取值为2，3，4， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 因此，数学期望. （2）由题意知， 故，且，，， 故是以为首项，为公比的等比数列， 故， 所以，当时， ， 当时，上式也成立， 综上所述：. 题型六：期望递推 【例6】（2025·高二·广东广州·期末）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 . (1)求 与 ； (2)设 ，求证：数列是等比数列； (3)求 的数学期望 （用 表示）. 【解析】（1）为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则， 为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则， 为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则. （2）是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个、0个3种情况，所以 是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关， 分为有2个、1个2种情况，所以， 所以， 从而数列是以为首项，以为公比的等比数列. （3）由（2）知，即，， 的取值范围为，所以 【变式6-1】（2025·广东茂名·二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求的期望. 【解析】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知： ;;， 故的分布列如下表： 0 1 2 （2）由全概率公式可知： ， 即：， 所以， 所以， 又， 所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 即：. （3）由全概率公式可得： , 即：, 又, 所以, 所以, 又, 所以, 所以, 所以, 所以. 【变式6-2】（2025·吉林长春·模拟预测）某学校食堂共有A，B，C三个窗口分别为学生提供三种不同菜品，假设每人每餐只能选择一个窗口，某人第i次在A，B，C窗口选餐分别记为事件．已知，若某次选择A窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为；若某次选择B窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为．若某次选择C窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为． (1)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由； (2)设，证明：； (3)定义随机变量，当选择A窗口时，否则，求数学期望． 【解析】（1）， ， 所以事件与事件相互独立. （2）依题意，，， ， 则，， ， 于是，， 所以. （3）， 由（2）知，，而， 数列中的奇数项是以为首项，为公比的等比数列， 当为奇数时，， 又，则，因此； 当为偶数时，， ，解得， 所以. 题型七：高尔顿板问题 【例7】（2025·高二·河南信阳·期中）如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，经过10次碰撞最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码． (1)求和X的分布列． (2)求小球最后落入格子的号码X为奇数的概率． (3)求变量X的数学期望和方差． 【解析】（1）设“向右下落”，“向左下落”，则， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数， 而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以， 则的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， 所以， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）记小球最后落入格子的号码为奇数为事件， 则 （3）由（1）知， ，. 【变式7-1】（2025·高三·广东佛山·阶段练习）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以的概率向左滚下，或在前6次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以的概率向右滚下． （1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率； （2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入X号球槽得到的奖金为ξ元．其中ξ＝|20﹣5X|． ①求X的分布列： ②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【解析】（1）记小球落入记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M， 小球落入第7层第6个空隙处，需要6次碰撞中有1次向左5次向右， ∴这个小球落入第7层第6个空隙处的概率P（M）． （2）①由已知得X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7， P（X＝1）＝P（X＝7）， P（X＝2）＝P（X＝6）， P（X＝3）＝P（X＝5）， P（X＝4）， ∴X的分布列为： X 1 2 3 4 5 6 7 p ②∵ξ＝|20﹣5X|， ∴ξ的可能取值为0，5，10，15， P（ξ＝0）＝P（X＝4）， P（ξ＝5）＝P（X＝3）+P（X＝5）， P（ξ＝10）＝P（X＝2）+P（X＝6）， P（ξ＝15）＝P（X＝1）+P（X＝7）． ∴E（ξ）8， ∴小明同学能盈利． 【变式7-2】（2025·高二·广东中山·期末）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内. 如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，6的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右4次向左滚到第7层的第3个空隙处，再以的概率向右滚下，或在前6次碰撞中有3次向右3次向左滚到第7层的第4个空隙处，再以的概率向左滚下. （1）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率； （2）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中. ①求的分布列： ②高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？ 【解析】(1)记小球落入第7层第6个空隙处的事件为M，小球落入第7层第6个空隙处，需要在6次碰撞中有1次向左5次向右， 则； (2)①，记第7层从左向右的空隙编号为，的取值分别为1,2,3,4,5,6,7， 则的取值分别为0,1,2,3,4,5,6，且 ，X的取值可为1，2，3，4，5，6， ， ， ， ， ， ， ∴X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P ②，的可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， ∴. ∴小明同学能盈利. 【强化训练】 1．（2025·高二·辽宁大连·期中）某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．比赛规则为：甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响． (1)经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望； (2)若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后乙得分高于甲得分的概率． ①求，，； ②规定，且有，请根据①中，，的值求出A、，并求出数列的通项公式． 【解析】（1）的可能取值为， 则， ， ， 所以得分布列为： 所以得数学期望为. （2）①由（1）知， 经过两轮踢球，乙的累计得分高的有两种情况： 一是乙两轮都得分为1；二是两轮中乙一轮得1分，另一轮得0分， 则， 经过三轮踢球，乙累计得分高于甲有四种情况：乙3轮各得1分；乙3轮中有2轮各得1分，l轮得0分； 乙3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；乙3轮中有2轮各得1分，1轮得分. 则； ②由，可得， 将的值代入可得，解得，， ，即， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， ， ， 所以数列的通项公式为. 2．（2025·高三·江西·开学考试）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，其过程具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，即第n＋1次状态的概率分布只与第n次的状态有关，与第，…次的状态无关，即．已知甲盒中装有1个白球和2个黑球，乙盒中装有2个白球，现从甲、乙两个盒中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复n次（）这样的操作，记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有2个白球的概率为，恰有1个白球的概率为． (1)求和． (2)证明：为等比数列． (3)求的数学期望（用n表示）． 【解析】（1）若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率， 研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为 若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， 综上，. （2）依题意，经过次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为， 恰有1个白球的概率为，则甲盒中恰有3个白球的概率为， 研究第次交换球时的概率，根据第次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， ③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为， 此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为， 综上， 则， 整理得，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3）由（2）知，则， 随机变量的分布列为 1 2 3 所以. 3．（2025·高二·山东青岛·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过次与小木块碰撞，最后掉入编号为的球槽内．例如小球要掉入号球槽，则在次碰撞中有次向右次向左滚下． （1）如图，进行一次高尔顿板试验，求小球落入号球槽的概率； （2）曾经在街头巷尾的地摊上流行过一种利用高尔顿板改造的赌博游戏．摊主规定：元可以尝试一次，如果小球落入号和号球槽可以得到元奖金；如果小球落入号和号球槽可以得到元奖金；如果小球落入号和号球槽可以得到元奖金；如果小球落入球槽没有奖金．如果某天有人次尝试此游戏，摊主预计可以获取多少收益． 【解析】（1）设这个小球掉入6号球槽为事件，掉入6号球槽，需要向右5次向左1次， 所以 所以这个小球掉入6号球槽的概率为； （2）每一次游戏中，的可能取值为 0 1 2 5 一次游戏付出的奖金 则摊主的收益为 所以人次的总收益为100元 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）甲参加一项闯关挑战比赛，共设有3个关卡，分别为，挑战成功分别积2分､4分､6分．根据他以往挑战的经验，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，各个关卡之间相互独立．闯关规则为：闯关前先选择闯关搭配（每个关卡最多只能挑战一次，闯关不分先后顺序），可随机选择挑战1关､2关或3关，一旦选定，需要全部闯关成功才能积分，选择搭配的闯关中若有一关失败则积分为0分，最后以积分最高者胜． (1)求甲最后积分为6分的概率； (2)记甲最后的积分为随机变量，求的分布列和期望． 【解析】（1）根据题意，甲随机搭配的样本空间， 有7个样本点，设“甲积分为6分”，包含两种组合且均成功， 则； （2）根据题意，的所有可能取值为； 其中， ，， ，， ， ， 变量的分布列为： 0 2 4 6 8 10 12 所以期望． 5．（2025·山东烟台·一模）为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立. (1)设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求； (2)设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列； (3)假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额. 【解析】（1）每个项目挑战成功的概率 ， 则 . （2）甲参赛队获得奖金数为随机变量的所有可能取值为4000，3000，2000，1000，0. ；； ； ；. ∴甲获得奖金数的分布列为： 4000 3000 2000 1000 0 （3）由（2）得出甲参赛队获得奖金数数学期望 元， 因为假设本届比赛共有36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为元 6．（2025·高二·云南玉溪·期中）甲、乙两名同学最近50次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 30 25 未投中 20 25 用频率估计概率，解答下列问题. (1)若从甲、乙两人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率； (2)若甲、乙两人各投篮2次，甲、乙每次投中与否相互独立，求至少投中3次的概率； (3)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投.规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则为平局.甲、乙每次投中与否相互独立.求甲投了第三次后停止比赛的概率. 【解析】（1）甲同学的投篮命中率为，  乙同学的投篮命中率为， 从甲、乙中随机选择人投篮次，投中的概率为. （2）由题意：至少投中3次的概率为 ； （3）由题意得：甲投了3次，则乙投了2次，又甲比乙多投中2次，则有2种情况， 第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次， 即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为， 第二种情况，甲投中了2次，乙投中了0次， 即甲第一、三次投篮都投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中；或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中. 其概率为， 甲投了第三次后停止比赛的概率为. 7．（2025·高二·河北邢台·期中）“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓. (1)求； (2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)粒子经过4次随机选择后，记粒子在1号仓出现的次数为，求的分布列与数学期望. 【解析】（1）由题意可得：. （2）记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为，粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为， 所以 所以，所以， 又， 所以是公比为的等比数列. 所以. （3）结合题意易得可取， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 的数学期望 14 学科网（北京）股份有限公司 $$