精品解析：山东省青岛市第六十六中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024-2025高一下期中（66中） 一､单选题. 1. 设复数z满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】设，代入，得，由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求． 【详解】解：设， 由，得， 即， ，解得，． 复数z在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选D． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，即可求出． 【详解】由正弦定理得，所以， 因为，所以，所以， 则， 故选：B． 3. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由斜二测画法画出圆图可得答案. 【详解】由斜二测画法规则知，正方形的原实际图形是平行四边形， 如图，其中， 因此有， 所以原图形的周长为. 故选：B. 4. 在中，，分别是边，的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，由平面向量的加法法则求解即可； 【详解】 ， 故选：D. 5. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）. A. B. 100m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解. 【详解】由题意， 而，由正弦定理可得，即，解得， 注意到， 从而. 故选：C. 6. 已知向量、满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设向量、的夹角为，由平面向量数量积的运算性质可得出，再利用投影向量的定义可求得结果. 【详解】设向量、的夹角为，因为，可得， 所以，在上的投影向量为. 故选：C. 7. 将一个半径为的金属球熔化后，先浇铸成个半径为的小球，再把剩余材料铸成个正方体， 则该正方体的棱长大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方体为棱长为，根据熔化前后体积不变可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设正方体为棱长为，则，解得. 故选：B. 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，的中点，连接，，，.在正方体中，易证平面平面.又平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，可确定点在线段上运动.在中，利用三角形知识即可求解线段的长度的最小值. 【详解】 取的中点，的中点，连接，，，，如图所示. 在正方体中， ∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. ∵，分别是和的中点，∴. 同理可知，∴. 又平面，平面，∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. ∵平面，动点P在正方形（包括边界）内运动， ∴点在线段上运动. 在中，易求，，为等腰三角形， ∴点为线段的中点时，取得最小值. 此时， 即的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题的解题关键是：根据平面分析出动点的运动轨迹，在三角形中利用平面几何即可求解. 二､多选题 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两个平面向量平行、垂直的坐标公式计算可分别判断A项、B项，由平面向量的模、数量积的坐标公式计算可分别判断C项、D项. 【详解】因为向量，， 若，则，所以，故A正确； 若，则，所以，故B正确； 若，解得，故C错误； 若，则，所以，故D正确； 故选：ABD. 10. 若复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.利用复数的除法化简判断；B.结合A得到共轭复数，再求模判断；C.利用复数的几何意义判断；D.利用复数的模的几何意义判断. 【详解】复数，，故A错误； ，，故B正确； z实部为4大于零，虚部为-1，小于零，则z在复平面内对应的点位于第四象限，故C正确； 因为复数满足，设在单位圆上，则表示和点z之间的距离， 其最大值为z到原点的距离加半径，最大值为，故D正确， 故选：BCD 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在点，使得平面 B. 过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C. 三棱锥体积为定值 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】当为中点时平面，即可判断A，根据平行关系作出截面图，即可判断B，根据锥体的体积公式判断C，转化为求长方体的外接球，即可判断D. 【详解】对于A：当为中点时，因为是中点，所以， 平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B：因为，分别是，的中点，所以， 在正方体中，易证，所以， 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形，故B错误； 对于C：因为，所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体（长为，宽为，高为）的外接球， 所以外接球的半径，所以外接球的表面积，故D正确， 故选：ACD. 三､填空题 12 已知向量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可求的坐标，接着可求. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 13. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用圆台的侧面积公式即可求解. 【详解】根据题意可知：圆台的侧面积为. 故答案为：. 14. 在圆内接四边形中，已知，，平分.则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用余弦定理分别解，根据圆的性质可建立方程计算，再根据向量的线性运算及数量积的运算律计算即可. 【详解】设，因为平分，所以. 在中由余弦定理可知：， 作差可得， 又. 故答案为： 四､解答题 15. 已知向量，且． （1）求； （2）求与的夹角． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算求得，即可求得； （2）根据向量夹角的坐标公式计算即可求得. 【小问1详解】 因为向量，所以， 由得，解得，所以. 又，所以. 【小问2详解】 设向量与向量的夹角为， 因为，则， 又，所以， 即向量与向量的夹角是. 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． （1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB； （2）若平面AEC，求证：E是PD中点． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可知，利用线面平行的判定定理可证平面； （2）连接，交于，连接，因为平面，利用线面平行的性质定理可得，且为中点，可证E是PD中点． 【小问1详解】 证明：取中点，连接，， 在中，因为，分别为所在边的中点，所以，且， 又因为底面ABCD为平行四边形，为的中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 连接，交于，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，在中，为中点， 所以为中点. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合，即可求得的值； （2）结合已知与余弦定理可得，进而可求，利用三角形的面积公式可求的面积. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 因为，且，所以由余弦定理， 可得，所以，， 所以的面积为． 18. 如图，在正三棱柱中，已知是棱的中点. （1）若平面平面，求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行性质可证. （2）设中点为，可证，利用余弦定理可求. （3）利用柱体及锥体体积公式可求. 【小问1详解】 证明：在正三棱柱中，平面平面，平面, ∴平面， ∵平面，平面平面， ∴. 【小问2详解】 设中点为，连接，， ∵是棱的中点，∴且， 即四边形为平行四边形，∴， 在正三棱柱中，， ，，， 故与所成角的余弦值. 【小问3详解】 在正三棱柱中，底面为等边三角形， ，， ， ， 所以剩余部分的体积. 19. 为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花．已知扇形的半径为米，圆心角为，点在扇形的弧上，点在上，且． （1）当米时，求的长； （2）综合考虑到成本与美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大，设，求面积的最大值与面积最大值时的角． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）在中，先利用平行关系求出，利用余弦定理即可求出的长； （2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 由，得， 在中，，， 由余弦定理得， 即，而，解得. 【小问2详解】 由，得，，， 在中，由正弦定理得，则， 因此 ， 因，所以， 所以当，即时，， 的面积取得最大值， 所以面积的最大值为平方米，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高一下期中（66中） 一､单选题. 1. 设复数z满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，内角，，所对边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，分别是边，的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）. A. B. 100m C. D. 6. 已知向量、满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 将一个半径为的金属球熔化后，先浇铸成个半径为的小球，再把剩余材料铸成个正方体， 则该正方体的棱长大约为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 3 二､多选题 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若复数，则（ ） A B. C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则最大值为 11. 如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 存在点，使得平面 B. 过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥的外接球表面积为 三､填空题 12. 已知向量，则__________. 13. 已知一个圆台上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为______． 14. 在圆内接四边形中，已知，，平分.则的值为__________. 四､解答题 15. 已知向量，且． （1）求； （2）求与的夹角． 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． （1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB； （2）若平面AEC，求证：E是PD中点． 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 18. 如图，在正三棱柱中，已知是棱的中点. （1）若平面平面，求证：； （2）求与所成角余弦值； （3）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 19. 为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花．已知扇形的半径为米，圆心角为，点在扇形的弧上，点在上，且． （1）当米时，求的长； （2）综合考虑到成本与美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大，设，求面积的最大值与面积最大值时的角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$