精品解析：甘肃省兰州市学府致远学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

兰州市学府致远学校2024—2025学年度第二学期 高二年级期中考试数学试卷 （本试卷满分150分，时间120分钟） 一．选择题（共8小题） 1. 若函数，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 分析】求导可得，即可得结果. 【详解】由题意可得：，所以. 故选：A. 2. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用初等函数导数公式以及导数的运算法则求解可判断每个选项的正误. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：A. 3. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以， 即曲线在点处的切线斜率为， 故选：C． 4. 已知点关于轴的对称点为A，则等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解. 【详解】点关于轴的对称点为， 所以. 故选：C 5. 如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A. 当时，取得极小值 B. 在上是增函数 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 【答案】D 【解析】 【分析】由取极值的必要条件即可判断AC，由导函数符号和函数单调性的关系可判断BD. 【详解】对于A，，不满足取极值的必要条件，故A错误； 对于B，当时，，这表明在上单调递增，故B错误； 对于C，，不满足取极值的必要条件，故C错误； 对于D，当时，，当时，， 所以在上是增函数，在上是减函数，故D正确. 故选：D. 6. 在空间直角坐标系中，有，，三点，则点C到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出与的坐标，再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解． 【详解】因为，，， 所以，， 所以，， 所以点C到直线的距离为. 故选：D. 7. 在正方体中，M是的中点，N是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体棱长为2，取中点E,BC中点F连接,可证得,，则为与所成角，计算即可求得结果. 【详解】设正方体棱长为2，取中点E,BC中点F连接, ,,四边形为平行四边形，. ,,四边形为平行四边形，. 为与所成角. 在中，, . 与所成角的余弦值为. 故选：D 8. 若函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，根据函数单调性与导数的关系得到的不等式，再通过构造函数求其最大值，进而得到的最小值． 【详解】已知，可得．  因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立． 移项可得在区间上恒成立，令，，则．  对求导，可得：． 令，即，因为恒成立，所以，解得或． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以在处取得极大值，也最大值，．  因为，所以实数的最小值为．  故选：C． 二．多选题（共3小题） 9. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（ ） A. B. C D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，直接得到各点的坐标，即可判断. 【详解】因在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，， ，F是棱的中点，， 所以，，，， 所以A，D正确，B，C错误. 故选：AD 10. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求出即可判断A，利用向量的数量积的坐标运算即可判断B，由在上的投影向量为计算即可判断C，计算夹角公式即可判断D. 【详解】，故A正确； ， 所以，所以与不垂直，故B错误； 在上的投影向量为，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 11. 已知（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，的所有零点之和为0 C. 直线是的切线 D. 存在使在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】求出导数，利用极值的定义判断A；求出零点判断B；求出切点判断C；取特值说明判断D. 【详解】函数定义域为R，求导得， 对于A，，当时，， 当时，，因此是的极小值点，A错误； 对于B，，存在三个零点，， 为方程的两根，则，所有零点之和为0，B正确； 对于C，由时，得，点在函数的图象上， 因此函数的图象在点处的切线为，C正确； 对于D，，而，则不存在使在上单调递增，D错误. 故选：BC 三．填空题（共3小题） 12. 已知函数，则________. 【答案】9 【解析】 【分析】求出函数导数计算即可. 【详解】因为， 所以，， 故答案为：9 13. 已知，空间向量，，．若，，共面，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】设，列出方程，可求的值. 【详解】因为，，共面，所以，存在，使得， 即，解得. 故. 故答案为：3 14. 若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则实数m的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用判别式小于等于0得出实数m的取值范围. 【详解】f′(x)＝3x2＋2mx＋1.由题意得Δ＝4m2－12≤0，解得，即实数m的取值范围是. 故答案为： 四．解答题（共5小题） 15. 已知函数，且满足. （1）求实数的值； （2）求函数的极值． 【答案】（1）； （2）极大值极小值 【解析】 【分析】（1）求出导函数，将代入求值即可； （2）利用导函数分析函数单调性，得出极值点，计算得到极值. 【小问1详解】 由题意，则 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，，所以 令，则或. 所以，或时，， 单调递增； 时，，单调递减. 所以，函数在时取得极大值在时取得极小值 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，无最小值 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性，可得出函数的最大值和最小值. 【小问1详解】 因为，则，所以，，， 所以，曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数的增区间为，减区间为， 故的最大值为，函数无最小值. 17. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点． （1）求证：⊥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面垂直的判断定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解； 【小问1详解】 连接，在正方体中有平面，又平面， 所以，又因为四边形是正方形，E是的中点， 所以，又,平面， 所以平面； 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，由棱长为2， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令得， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，E是棱PA的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法求出面面角的余弦值. 【小问1详解】 在四棱锥中，连接交于点，连接， 由四边形为正方形，得为的中点，又E是棱PA的中点，则， 而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在四棱锥中，平面， 因为平面，所以， 以点为原点，直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，得， 设平面的法向量为，则， 解得，取，则，得， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若，对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间为及 （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，结合的解集，即可求得函数的单调递增区间； （2）求得，当时，求得，令求得；当时，利用在的单调性，得到，令函数，利用导数，结合函数的单调性，进而得到答案． 【小问1详解】 由题意可得，， 令，解得或， 所以的单调递增区间为及； 【小问2详解】 ，， 则当，，在单调递增，所以， 令，可得，所以； 当时，由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，可得， 令，，可得， 所以在上单调递减， 所以，所以，所以在上单调递减， 因为且，所以， 综上可得：实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市学府致远学校2024—2025学年度第二学期 高二年级期中考试数学试卷 （本试卷满分150分，时间120分钟） 一．选择题（共8小题） 1. 若函数，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 0 2. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 2 B. C. D. 1 4. 已知点关于轴的对称点为A，则等于（ ） A. B. C. D. 2 5. 如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A. 当时，取得极小值 B. 在上是增函数 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 6. 在空间直角坐标系中，有，，三点，则点C到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，M是的中点，N是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A B. C. D. 二．多选题（共3小题） 9. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱，，，F是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在上的投影向量为 D. 11. 已知（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，的所有零点之和为0 C. 直线是的切线 D. 存在使在上单调递增 三．填空题（共3小题） 12. 已知函数，则________. 13. 已知，空间向量，，．若，，共面，则______． 14. 若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则实数m的取值范围是_____. 四．解答题（共5小题） 15. 已知函数，且满足. （1）求实数的值； （2）求函数的极值． 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的最值． 17. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点． （1）求证：⊥平面； （2）求直线与平面所成角正弦值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，E是棱PA中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调递增区间； （2）若，对恒成立，求实数a取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $