17.2 勾股定理的逆定理-【勤径学升】2024-2025学年八年级下册数学同步练测（人教版）

八年级数学（下册） 17.2 勾股定理的逆定理 <《基础巩固练 [答案P14] 知银点①互逆命题与互逆定理 数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但 它的逆命题却是假命题.例如：如果a>2,那么a 25 >4.下列命题中，具有以上特征的是 B C D A.两直线平行，同位角相等 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，若AB B.如果1al=1,那么a=1 =13,AD=12,AC=15,BD=5,则CD的长为 C.全等三角形的对应角相等 D.如果x>y,那么mx>my 2下列命题中，逆命题为真命题的有 ①有两边相等的三角形是等腰三角形： ②对顶角相等： ③三边对应相等的两个三角形全等； 7题图 ④若a=b,则a2=b2. 8如图，△ABC中，AB=AC,BC长为10，点D是 A.1个 B.2个 AC上的一点，BD=8,CD=6. (1)求证：BD⊥AC; C.3个 D.4个 (2)求线段AB的长 3写出下列命题“若p,则g”的形式，写出它的逆 命题并判断它们的真假， (1)全等三角形的对应边相等： (2)互为相反数的两个数的和为零 8题图 知银息②勾股定理的逆定理 4(北京大兴区期末)下列各组数中，能作为直角 三角形的三边长的是 ( A.1.5,2,3 B.2,3,4 如银点③勾股数 C.1,1,2 D.5,13,14 9(浙江宁波外国语学校期末)勾股数，又名毕氏 5(广安期末)在△ABC中，BC2-AC2=AB2.若 三元数，则下列各组数构成勾股数的是() ∠B=25°，则∠C= ( A写4品 B.5,4,5 A.35° B.65 C.5,15,20 D.9,40,41 C.75° D.90 和（山东青岛有才中学期中）观察下列几组勾股 6五根小棒，其长度（单位：cm)分别为7,15,20， 数，并填空：①4,3,5，②6,8,10，③8,15,17， 24,25,现将它们摆成两个直角三角形，其中正确 ④10,24,26，⑤12,35,37，…则第⑦组勾股数为 的是 ( 20 见此图标酮抖音/微信扫码领取配套资稳步提升成绩 第十七章勾股定理 <《能力提升练 [答案P14] ①下列四个命题：①三个角对应相等的三角形是 3(题型2·典倒3变式)如图，D是BC边上的一 全等三角形，②到角的两边距离相等的点，在这 点，若AB=10,AD=8,AC=17,BD=6,求BC的 个角的平分线上，③同位角相等，④三边长分别 长 为6,8,10的三角形是直角三角形，其中错误的 命题有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2观察下列各组数：①7,12,15，②8,15,17，③7， 24,25,④12,15,20，其中能作为直角三角形三边 3题图 长的有 A.1组 B.2组C.3组 D.4组 3一根30m长的绳子，折成三段，围成一个三角 形，其中一条边的长度比较短边长7m,比较长 边短1m,则它是 4(题型2·典例4变式)如图，已知△ABC是等边 A.钝角三角形 B.直角三角形 三角形，AP=√3，BP=2,CP=1,求∠APC的度 C.锐角三角形 D.无法判断 数 4(温州实验中学期中)如图，已知∠A=90°，AC= AB=4,CD=2,BD=6,则∠ACD= 4题图 4题图 ○题型变式 讲本P16答案P15 1(题型1变式)若△ABC的三边长a,b,c满足ac -bc2=(a-b)(a2+b2),则△ABC是() 5(题型3变式)如图，MN为我国领海线，其方向 A.等腰三角形 为南北方向，MN以西为我国领海，以东为公海， B.直角三角形 上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有 C.等腰三角形或直角三角形 一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我国领 D.等腰直角三角形 海开来，便立即通知正在MW线上巡逻的我国反 2(题型2·典例2变式)有如图的一块地，已知 走私艇B密切注意.此时反走私艇A和走私艇C 的距离是13海里，A,B两艇的距离是5海里，反 AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米， 走私艇B和走私艇C的距离是12海里，若走私 BC=12米.求这块地的面积 艇C的速度不变，则最早会在什么时候进入我 国领海？ 南 2题图 5题图 见此图标服科音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 2八年级数学（下册） 17.2勾股定理的逆定理 6.C[解析]A项，152+202=252,72+202≠242，故A 【基础巩置练】 不正确；B项，7+242=252,152+202≠242，故B不 1.C[解析]A原命題正确，逆命题为“同位角相等， 正确：C项，7+242=252,152+20=252，故C正确： 两直线平行”，正确，是真命题，不符合题意； D项，7+20≠252,242+152≠252，故D不正确 B.原命题错误，是假命题，不符合题意； 7.9[解析]AB=13,AD=12,BD=5,.AB=AD C原命题正确，是真命题，逆命题为“对应角相等的 +BD,∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°， 三角形全等”，错误，是假命题，符合题意； .△ADC是直角三角形.在Rt△ADC中，CD= D.当m=0时，原命题错误，是假命题，不符合题意， √/AC-AD=√152-12=9. 故选C 8.(1)证明：，BC=10,BD=8,CD=6, 2.B[解析]①“有两边相等的三角形是等腰三角 .BD2+CD2=82+62=102=BC2, 形”的逆命题为“等腰三角形有两边相等”，此逆命 ·LBDC=90°，.BD⊥AC 题为真命题： (2)解：设AB=x,则AB=AC=x ②“对顶角相等”的逆命题为“若两个角相等，则这 CD=6,∴.AD=x-6 两个角是对顶角”，此逆命题为假命题； AB'BD +AD', ③“三边对应相等的两个三角形全等”的逆命题为 x2=82+(x-6)2, “若两个三角形全等，则它们的三边对应相等”，此 逆命题为真命题； 解得-亭AB- 3 ④“若a=b,则a2=b2"的逆命题为“若a2=b,则a 9.D[解析]A.不是正整数，不是勾股数；B.3,5不 =b”,此逆命题为假命题，故选B. 是正整数，不是勾股数：C.52+15≠20，不是勾股 3.解：(1)“若P,则g”的形式：若两个三角形全等，则 数：D.92+402=412,且各数均为正整数，为勾股数， 这两个三角形的对应边相等，是真命题， 故选D. 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三 10.16,63,65[解析]根据题目给出的前几组数的 角形全等，是真命题 规律可得这组勾股数中的第一个数是2(n+1), (2)“若p,则g”的形式：若两个数互为相反数，则它 第二个是n(n+2),第三个数是(n+1)2+1,故第 们的和为零，是真命题 ⑦组勾股数是16,63,65. 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是 【能力提升练】 真命题. 1.B[解析]①③是错误的. 4.C[解析]A项，1.52+2≠32，∴以1.5,2,3为 2.B[解析]②③是勾殷数. 边长不能组成直角三角形，故本选项不符合题意：B 项，22+32≠42，.以2,3,4为边长不能组成直角 3.B[解析]设“其中一条边”的长为xcm,则有x-7 三角形，故本选项不符合题意；C项，1+1 +x+x+1=30,解得x=12,故三边长分别为5,12， 13,它为直角三角形. (迈)2，以1,1，反为边长能组成直角三角形，故本 4.45°[解析]∠A=90°，AC=AB=4,.∠ACB= 选项符合题意；D项，52+13≠142，∴以5,13,14 为边长不能组成直角三角形，故本选项不符合题意 ∠ABC=45°，在Rt△ABC中，BC=√/AC2+AB= 5.B[解析]，BC2-AC2=AB,BC2=AC2+AB, 42,则CD2+BC2=2+(4√2)2=36，BD2=62= ∴.△ABC是直角三角形，且∠A=90°.∠B=25°， 36,CD+BC2=BD,∴∠BCD=90°，∴.∠ACD= ∴.∠C=90°-∠B=65°. ∠BCD-∠ACB=45. 。14· 参考答案及解析 题型变式 5.解：设MN与AC相交于点E,则∠BEC=90° 1.C[解析]因为ac2-bc2=(a-b)(a2+b2),所以 因为AB2+BC2=52+122=132=AC2, (a-b)(a2+b2-c2)=0,所以a-b=0或a2+b2- 所以△ABC为直角三角形，且∠ABC=90. c2=0,即a=b或a2+b2=c2,因此△ABC是等腰三 因为∠BEC=90°， 角形或直角三角形. 所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE的长 2.解：如答图，连接AC 由SAx=之AB·BC=子AC·BE,得BE= 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=√AD+CD =√4+3=5（米）， 智海里 在△ABC中，：AC2+BC=52+122=169,AB2=13 由CE+BE=BC,得CB-告海里， =169, ..AC2+BC2=AB2, 增1B=齿-085（时）=51（分）. ,△ABC是直角三角形. 所以走私艇C到点E的时间为10时41分 ÷这块地的面积为Sc-5Aa=方x5×12-号 答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海. 专项2勾股定理与最短路径问题 ×3×4=24(米2) 1.3[解析]如答图，过点B作BE⊥AC于点E,与 AD交于点P,此时PE+PC的值最小.△ABC是 等边三角形，且D是BC的中点，AD⊥BC,·PC =PB,∴，PE+PC=PB+PE=BE,即BE的长就是 2题答图 PE+PC的最小值.：△ABC是一个边长为2的等 3.解：：BD2+AD=62+82=102=AB, 边三角形，∴CE=1,∴，在Rt△BCE中，由勾股定 ,△ABD是直角三角形..AD⊥BC. 理，得BE=√2-1下=5，PE+PC的最小值 在Rt△ACD中，CD=√AC-AD2=15, 是3. ∴.BC=BD+CD=6+15=21. 4.解：如答图，以AP为一边作等边三角形APQ,连接 CQ,则∠QAP=∠APQ=60°，AQ=PQ=AP=3. :∠BAC=∠PAQ=60°， ∴.∠BAP=∠CAQ. 1题答图 2题答图 在△ABP和△ACQ中， 2.B[解析]如答图，连接ED交AC于点F,连接BF AP=AQ, 四边形ABCD是正方形， ∠BAP=∠CAQ, 点B与点D关于AC对称.，BF=DF LAB=AC, .△BFE的周长=BF+EF+BE=DE+BE,此时 4题答图 ∴.△ABP≌△ACQ(SAS), △BEF的周长最小 :.CQ=BP=2. 由勾股定理，得DE=5,则△BFE的周长=DE+ 在△PCQ中，PQ+CP2=CQ, BE=5+1=6. ∴.△PCQ是直角三角形，且LQPC=90°， 3.C4.B .∴.∠APC=60°+90°=150°. 5.15[解析]如答图，AC的长即为这只蜜蜂需爬行 ·15·