专题02 计数原理（易错必刷40题8种题型专项训练）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

专题02 计数原理 （易错必刷40题8种题型专项训练） 题型一　分类加法分布乘法计数原理 题型二　涂色问题 题型三　数字排位问题 题型四　排列的常见类型与处理方法 题型五　定序问题 题型六　分组分配问题 题型七　求展开式中的指定的项或特定项（或其系数） 题型八　利用赋值法进行求有关系数和 题型一　分类加法分布乘法计数原理 1．（22-23高二下·河北邯郸·期中）有序数对满足，且使关于的方程有实数解，则这样的有序数对的个数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．10 【答案】A 【分析】分情况讨论即可计算有序数对的个数. 【详解】（1）当时，有为实根，则有4种可能； （2）当时，方程有实根，所以，所以. 当时，有4种. 当时，有4种. 当时，有3种. 所以，有序数对的个数为. 故选：A. 2．（2023·天津·一模）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，，则下列结论正确的是（    ） A．最高处的树枝定是 B．最低处的树枝一定是 C．九根树枝从高到低不同的顺序共有种 D．九根树枝从高到低不同的顺序共有种 【答案】C 【分析】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为，还剩下，，，且树枝比高，树枝在树枝，之间，树枝比低，根据的位置不同分类讨论，求得这九根树枝从高到低不同的顺序共33种. 【详解】由题判断出部分树枝由高到低的顺序为， 还剩下，，，且树枝比高，树枝在树枝，之间，树枝比低， 最高可能为G或I，最低为F或H，故A 、B错误； 先看树枝，有4种可能，若在，之间， 则有3种可能： ①在，之间，有5种可能； ②在，之间，有4种可能； ③在，之间，有3种可能， 此时树枝的高低顺序有（种）. 若不在，之间，则有3种可能，有2种可能， 若在，之间，则有4种可能， 若在，之间，则有3种可能， 此时树枝的高低顺序有（种）可能， 故这九根树枝从高到低不同的顺序共有种，故C项正确. 故选：C. 3．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有种不同颜色的球被取出的取法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】合理分步，应用分步乘法原理计算即可. 【详解】第一步，从9个球中任意取一个，有 种取法； 第二步，从与第一步所取球颜色不同的6个球中任意取一个，有种取法； 第三步，剩下的球中与第一步颜色相同的球有2个，与第二步颜色相同的球也有2个，从这4个球中任意选一个，有 种取法； 根据分步乘法计数原理，结束取球时，恰有2种不同颜色的球被取出的取法共有种. 故选：D . 4．（23-24高二下·山东济南·期末）大明湖是济南三大名胜之一，素有“泉城明珠”之美誉，自2017年1月1日起全面向社会免费开放.景区有东南西北4个大门，每个大门进去都有不同景致，小明从一个门进，另一个门出，则不同进出方式的种数为（    ） A．7 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】由题意，分两步完成，第一步选一个大门进去有4种选法，第二步选一个大门出去有3种选法， 所以由分步乘法计数原理可知共有种. 故选：C 5．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）用0，1，2，3，…，9这十个数字． (1)可组成多少个三位数？ (2)可组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 【答案】(1)900； (2)648； (3)379 【分析】（1）（2）根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算出正确答案. （3）根据分类加法、分步乘法计数原理，分别分析1位数，两位数与三位数满足条件的数字计算出正确答案. 【详解】（1）要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法； 第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法， 根据分步乘法计数原理，共有个. （2）要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法， 根据分步乘法计数原理，无重复数字的三位数共有个． （3）作用题意，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类： 第一类，满足条件的一位自然数：有10个， 第二类，满足条件的两位自然数：有个， 第三类，满足条件的三位自然数： 第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法； 第二步，确定十位数，有9种选法； 第三步，确定个位数，有8种选法，根据分步乘法计数原理，有个， 所以小于500且没有重复数字的自然数共有（个）. 题型二　涂色问题 6．（22-23高二下·山西太原·阶段练习）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色，满足条件的涂法数有（    ）种 A．24 B．72 C．120 D．144 【答案】C 【分析】由第一类区域6与区域4相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域3有2种方法，涂区域2有1种方法，第二类区域6与区域4不相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域6有1种方法，再分类，若区域6与区域3相同，涂区域2有2种方法；若区域6与区域3不相同，涂区域3，2有1种方法，分别利用分步计数原理求解. 【详解】解：第一类：若区域6与区域4相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域3有2种方法，涂区域2有1种方法， 则不同的涂色方案有种； 第二类：若区域6与区域4不相同，涂区域5有4种方法，涂区域1有3种方法，涂区域4有2种方法，涂区域6有1种方法， 再分类，若区域6与区域3相同，涂区域2有2种方法；若区域6与区域3不相同，涂区域3，2有1种方法； 则不同的涂色方案有种； 根据分类计数原理，不同的涂色方案有种. 故选：C. 7．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色．如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法数为（    ）    A．240 B．300 C．420 D．480 【答案】C 【分析】以S→A→B→C→D的顺序分步染色,用分步乘法计数原理,同时注意根据同色与不同色用分类计算． 【详解】以S→A→B→C→D的顺序分步染色． 第1步，对S点染色，有5种方法． 第2步，对A点染色，A与S在同一条棱上，有4种方法． 第3步，对B点染色，B与S，A分别在同一条棱上，有3种方法． 第4步，对C点染色，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类．当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法． 由分步乘法计数原理和分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(3＋2×2)＝420种． 故选：C． 8．（22-23高二下·湖北武汉·期末）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（    ）    A．120 B．180 C．221 D．300 【答案】B 【分析】分Ⅰ，Ⅳ同色和不同色两种情况讨论，结合分布乘法原理即可得解. 【详解】当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅱ有种涂色方法， Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法； Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有种涂色方法，Ⅳ有种涂色方法， Ⅱ有种涂色方法，Ⅲ有种涂色方法，此时共有种涂色方法， 综上共有种不同的着色方法. 故选：B. 9．（24-25高二下·云南·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有 种.    【答案】192 【分析】先对2，5染色，分1和5同色，或1和5不同色，两种情况下讨论4的涂法，再根据1，4分别与3，6对称得到答案. 【详解】先给2，5染色，有种方法. 若1和5同色，则4有2种涂法； 若1和5不同色，则4有种涂法. 因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种. 故答案为：192. 10．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有 种. 【答案】 【分析】依次填、、、、区域，讨论、同色和异色两种情况，结合分类加法和分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 接下涂、区域，若、区域颜色相同，则区域有种选择； 若、区域颜色不同，则区域有种选择，区域有种选择； 最后涂区域，有种选择， 由分类加法和分步乘法计数原理可知，不同的涂色方法种数为种. 故答案为：. 题型三　数字排位问题 11．（24-25高二下·福建福州·期中）春晚机器人秧歌表演动作流畅自然，惊艳了世界，其手臂可以向前、向后、向左、向右、向上、向下六个方向自由伸展，每接到一次方向指令，它向指定方向移动一个单位．现向机器人随机发4次方向指令，它按指令依次做了4次伸展，其手臂回到原来位置的指令共有（    ） A．216种 B．108种 C．90种 D．72种 【答案】C 【分析】分相反方向各移动两次和两组不同的相反方向各移动一次，利用排列组合的相关知识计算即可. 【详解】要使手臂回到原来位置，可分以下两种情况： 情况一：相反方向各移动两次（例如，向前移动两次，向后移动两次） 从组相反方向（前与后、左与右、上与下）中选组，有种选法， 然后在次移动中安排这两次相同方向的移动，有种方法， 根据分步乘法计数原理，这种情况共有种. 情况二：两组不同的相反方向各移动一次 从组相反方向中选组，有种选法， 然后对这次不同方向的移动进行全排列，有种排法， 根据分步乘法计数原理，这种情况共有种. 所以手臂回到原来位置的情况共有种. 故选：C 12．（24-25高二下·福建福州·期中）如图，某种雨伞架前后两排每排4个孔，共8个孔，编号分别为1-8号．若甲、乙、丙、丁四名同学每人要放一把伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，甲、乙不放在同一排且丙、丁也不放在同一排的放法有（   ）    A．68种 B．136种 C．144种 D．152种 【答案】C 【分析】先排甲乙，再排丙丁，由此即可得解. 【详解】由题意，先排甲，有种，再排乙，有种， 则甲乙两人有种排法， 再排丙，有种，最后排丁，有种， 所以甲乙丙丁有种放法. 故选：C. 13．（24-25高二下·江苏·期中）毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（    ） A．96 B．84 C．72 D．48 【答案】C 【分析】利用间接法，先直接排序，再分正前后相邻或左右相邻两种情况，结合排列和计数原理知识解决. 【详解】先直接排序，站法种数为； 当甲、乙两名同学为正前后相邻时，其中必有1人站在老师的左侧或右侧， 另1人站在正后面，站法种数为； 当甲、乙两名同学为左右相邻时，两人必都站在后一排，将甲、乙两名同学看成一个元素， 从其余的3人中选2人站在老师的左右两侧，余下的1人与甲、乙两名同学看成的一个元素进行全排列， 所以站法种数为； 所以不同站法种数为. 故选：C. 14．（2025·江西新余·模拟预测）毕业是青春的里程碑，更是奔赴星海的启航．希望中学高三（8）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅与小豪两位好朋友在这九人中身高由高到低分别位居第1位与第4位，他们要求要站在同一行相邻的位置，则不同的排列方式共有（   ）种． A．200 B．300 C．400 D．600 【答案】C 【分析】先确定特殊元素的位置，再利用排列、组合安排其他人的位置，根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】不妨将这9名挚友的身高从矮到高排序为1，2，3，4，5，6，7，8，9， 小郅同学最高，只能排在最后一行，小豪同学与之相邻，将其看作一个整体，共有种排法， 又由于小豪同学身高排第4，即从矮到高排第6，所以其前方只能站序号为1，2，3，4，5的同学， 从中选两名同学有种选法，选完之后让同学们由高到矮站位就行； 剩下的位置中任选两人站在小郅同学前面，剩余3人在最后一列按高矮顺序站位即可， 所以有种选法， 故共有种选法． 故选：C. 15．（24-25高二下·安徽宿州·期中）2025年1月16日在灵璧县钟灵文化广场举办了灵璧县第四届青年音乐节，节目均由青年人自导自演，展现了灵璧青年的独特风采和灵璧城市的魅力.若音乐节共6个节目，其中2个是个人歌唱表演，2个是舞蹈表演，1个大合唱，1个乐器合奏，要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻，现确定节目顺序，则不同的排法种数为（   ） A．280 B．336 C．360 D．408 【答案】D 【分析】利用间接法，首先求第一个节目不排大合唱的方法种数，再减去两个节目相邻的方法，即可求解. 【详解】间接法：第一个节目不排大合唱，共有（种）不同的排法，第一个节目不排大合唱且两个歌唱节目相邻共（种），所以第一个节目不排大合唱且两个歌唱节目不相邻共有（种）排法， 故选：D. 题型四　排列的常见类型与处理方法 16．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有多少种不同的站法（   ） A．18 B．12 C．28 D．24 【答案】D 【分析】利用捆绑法结合分类计数原理计算即可. 【详解】若哪吒和敖丙站第1，2位置，则太乙真人在第3或4位置，余下两人站余下位置， 此时有种站法， 同理，若哪吒和敖丙站第4，5位置，亦有8种站法； 若哪吒和敖丙站第2，3位置，则太乙真人在第4位置，余下两人站余下位置， 此时有种站法， 同理若哪吒和敖丙在第3，4位置，亦有4种站法； 合计有24种站法. 故选：D 17．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）一场元旦联欢晚会上有3个舞蹈节目，4个歌曲节目，2个语言类节目；则3个舞蹈类节目两两不相邻的节目安排种类数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用插空法求解即可. 【详解】先安排好除3个舞蹈节目外其余6个节目，再插空法安排3个舞蹈节目， 共有种不同的安排方法， 故选：A 18．（24-25高二下·浙江湖州·阶段练习）某学校安排了A，B，C，D共4场线上讲座，其中讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法种数是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据相邻排列，先排再将他们与作全排，即可得. 【详解】先安排有种排法，再把作为整体与作全排列有种排法， 所以共有种. 故选：C 19．（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）某种产品的加工需要经过5道工序. (1)如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ (2)如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ (3)如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 【答案】(1)36 (2)48 (3)72 【分析】（1）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列； （2）先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列； （3）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空即可. 【详解】（1）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有种不同的排法， 再将剩余的3道工序全排列，有种不同的排法， 故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （2）先排这2道工序，有种不同的排法，再将它们看作一个整体， 与剩余的工序全排列，有种不同的排法， 故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空， 有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序. 20．（24-25高二·全国·课堂例题）已知7人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 (4)种 【分析】针对相邻问题，采用捆绑法；不相邻问题，采用插空法；情况比较多时，可以间接法. 【详解】（1）（捆绑法）将甲，乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有种排法．甲，乙两人可交换位置，有种排法．故共有种排法． （2）方法一（间接法）：7人任意排列，有种排法．甲、乙两人相邻有种排法，故共有种排法． 方法二（插空法）：将其余5人排列，有种排法．5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有种排法．故共有种排法． （3）（捆绑法）将甲，乙，丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有种排法，甲，乙，丙三人有种排法，共有种排法． （4）（插空法）将其余4人排好，有种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有种排法．故共有种排法． 题型五　定序问题 21．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）2025年春节档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《哪吒之魔童闹海》，《唐探1900》，《蛟龙行动》，《封神2》，《熊出没》，《射雕英雄传》这6部，小明和小华两位同学准备从这6部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《哪吒之魔童闹海》，则两位同学不同的选择方案种数为（   ） A．36 B．60 C．100 D．70 【答案】D 【分析】根据分步乘法和分类加法计数原理及排列数和组合数的计算即可求解. 【详解】若两人所选影片均不同，此时小明先从除《哪吒之魔童闹海》中选择一部， 小华从剩余的4部中选择两部，此时共有种方案， 若两人所选影片中，《哪吒之魔童闹海》相同， 则两人从剩余5部中各选1部，有种方案， 若两人所选影片中，不是《哪吒之魔童闹海》相同， 相同的影片为5部中1部，有种选择， 再给小华从剩余4部中选择一部，有种选择， 故共有种方案， 综上，共有70种方案. 故选：D． 22．（2025·山西·二模）将1至6这六个自然数填到一个两行三列的空格内，每格填一个，要求每行中任意两个相邻数字的和为奇数，则不同的填法种数共有（   ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【分析】分第一行中间为偶数，两边为奇数，第二行中间为奇数，两边为偶数，和第一行中间为奇数，两边为偶数，第二行中间为偶数，两边为奇数，两种情况讨论即可. 【详解】①第一行中间为偶数，两边为奇数，有，第二行中间为奇数，两边为偶数，有，所以共有， ②第一行中间为奇数，两边为偶数，有，第二行中间为偶数，两边为奇数，有，所以共有， 所以共有， 故选：D 23．（24-25高二下·山西·期中）从人中选择人去，，三地调研，一个地方安排人另外两个地方各安排人的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】满足条件的安排方法可分两步完成，第一步，从人中选择人， 第二步，将所选人按要求分去，，三地调研，利用组合知识求第一步的方法数，根据部分平均分组问题的处理方法求第二步的方法数，再由分步乘法计数原理求结论. 【详解】满足条件的安排方法可分两步完成， 第一步，从人中选择人，完成该步有种方法， 第二步，将所选人按要求分去，，三地调研，完成该步的方法数为， 由分步乘法计数原理可得满足要求的方法共有种. 故选：D. 24．（24-25高二下·浙江·期中）北京时间2024年10月30日凌晨4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙．为了某次航天任务，需要选拔若干名航天员参加该次任务． (1)若本次任务需要从4名男航天员和3名女航天员中选出4人，且至少有一名女航天员，共有多少种不同的选法？（结果用数字作答） (2)若从7名航天员中选出4名航天员，分配到2个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室，共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答） (3)若从7名航天员中选出4名航天员，分配到3个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室.其中航天员甲和乙必须参加，但不能分配在同一个实验室，请问共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答） 【答案】(1)34 (2)490 (3)300 【分析】（1）方法一：直接发，分类讨论女性的人数，结合组合数运算求解；方法二：间接法，在所以组合中排除没有女性的组合； （2）先选4名航天员，分类讨论人数配比，结合组合数运算求解； （3）先选2名航天员，然后安排甲、乙两人，最后安排剩下的2人，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】（1）方法一：“直接法”，分成3种情况讨论： 恰有1名女性，共有种选法；恰有2名女性，共有种选法； 恰有3名女性，共有种选法；所以共有种选法； 方法二：“间接法”，总共有种，没有一名女航天员有种， 所以共有种选法． （2）先选4名航天员，有种，然后先分组再分配，可分两类： 若分为2，2的两组再分配，有种； 若分为1，3的两组再分配，有种； 所以共有种选法． （3）先选2名航天员，有种；然后安排甲、乙两人，有种； 最后安排剩下的2人，有种； 所以共有种选法． 25．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）高二某班准备从7名班委中（其中男生4人，女生3人）选择4人参加活动. (1)共有多少种不同选法？（结果用数字作答） (2)若要求至少有两名女生，共有多少种不同选法？（结果用数字作答） (3)若7名班委中班长和副班长两人不能同时参加该活动，则不同的选择方法有多少种？（结果用数字作答） 【答案】(1)35 (2)22 (3)25 【分析】（1）由组合数计算，可得答案； （2）由女生人数，分为选或个女生，利用分类加法原理，可得答案； （3）由正难则反的思想，利用总的情况数减去两人同时参加的情况数，可得答案. 【详解】（1）（种） （2）（种） （3）（种） 题型六　分组分配问题 26．（2025·江西鹰潭·二模）2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】D 【分析】分类求出满足小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式. 【详解】若小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影， 有两人看《哪吒》，则有种方案，有一人看《哪吒》电影，则有种方案， 即满足小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影一共有种方案. 故选：D. 27．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）文昌中学举行志愿者爱心活动，某社区设三个服务站，高三年级5名同学到A、B、C三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲不去A号服务点，则不同的安排方法共有（    ） A．68种 B．98种 C．100种 D．120种 【答案】C 【分析】第一步先按和确定分组，第二步将含有同学甲的一组安排到B或C服务点，即可求解. 【详解】将5名同学按和分组分别有种和种分法， 再将含有同学甲的一组安排到B、C服务点，最后安排另两组，安排方法有种， 所以不同的安排方法共有（种）. 故选：C 28．（24-25高二下·江苏连云港·期中）3个完全相同的球（无任何差别），放入5个不同的盒子，则不同的放法种数为（   ） A．35 B．60 C．243 D．125 【答案】A 【分析】将3个相同的球放入5个不同的盒子里,可以使用"星与条"的方法解决 【详解】根据题意,. 故选:A 29．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法. (1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人； (2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人； (3)6人分配到三所学校每所学校至少一人； 【答案】(1)60 (2)90 (3)540 【分析】（1）利用分步计数原理可求得方法数； （2）先将名学生按分为三个组有种方法，则可求人分配到分配到三所学校方法数； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三所学校可求总的方法数. 【详解】（1）名学生选名到甲学校任教有种方法；从剩余的名学生中选名到乙学校有种方法；剩余名学生都分配到丙学校去任教有种方法， 则人分配到三所学校甲学校人、乙学校人、丙学校人共有种分配方法； （2）名学生按分为三个组有种方法，则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法，则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法； ③名学生平均分配到所学校有种方法； 则人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法. 30．（23-24高二下·广东广州·期中）四个不同的小球，全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中． (1)随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？ (2)四个盒都不空的放法有多少种？ (3)恰有两个空盒的放法有多少种？ (4)甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？ 【答案】(1)256 (2)24 (3)84 (4)96 【分析】（1）由分步乘法计数原理，即可求得答案； （2）四个盒都不空即相当于将4个球全排列到4个位置上，由此可求得答案； （3）先选出2个盒子，再将4个小球分成两堆，最后将两堆小球放入4个盒子中，由分步乘法计数原理，即可求得答案； （4）分类考虑，即先确定甲球放入的盒子，再确定乙放入的盒子，最后确定其余球的放法，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知每个小球都有4种方法，故共有种放法； （2）四个盒都不空即相当于将4个球全排列到4个位置上，共有种放法； （3）由题意，必然是4个小球放入其中2个盒子中，分三步完成： 先选出2个盒子，再将4个小球分成两堆，最后将两堆小球放入4个盒子中， 故共有种放法； （4）由题意可分为三类考虑： 第一类，甲球放入1号盒子中，则乙球有3种放法，即可放入2，3，4号盒子中的一个， 其余2球可随便放入4个盒子中，有种放法， 故此时共有种放法； 第二类，甲球放入2号盒子中，则乙球有2种放法，即可放入3，4号盒子中的一个， 其余2球可随便放入4个盒子中，有种放法， 故此时共有种放法； 第三类，甲球放入3号盒子中，则乙球有1种放法，即放入4号盒子中， 其余2球可随便放入4个盒子中，有种放法， 故此时共有种放法； 综合可知甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有种. 题型七　求展开式中的指定的项或特定项（或其系数） 31．（23-24高二下·安徽合肥·期末）在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式系数和可求，进而利用通项公式可求奇次项有，利用排列组合知识，可求奇次项都互不相邻的概率. 【详解】在二项式展开式中，二项式系数的和为，所以. 二项式即为， 通项公式为， 故展开式共有7项，当时，展开式为奇次项， 把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项都互不相邻，即把其它的3个偶次项先任意排， 再把这4个奇次项插入其中的4个空中，方法共有种， 故奇次项都互不相邻的概率为. 故选：A. 32．（22-23高二下·北京延庆·期末）在的展开式中，下面关于各项的描述不正确的是（    ） A．常数项为240 B．含的项的二项式系数为15 C．各项的二项式系数和为64 D．第四项为60 【答案】D 【分析】根据二项展开式的通项公式逐个选项分析即可. 【详解】由题可知二项展开式的通项为. 对A，当，即时取得常数项，故A正确； 对B，当，即时取得的项，其二项式系数为，故B正确； 对C，二项式系数和为，故C正确； 对D，第四项为，故D错误. 故选：D 33．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）对于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．的展开式中共有6项. B．展开式中的第四项与的展开式中的第四项不同. C．的展开式中奇数项与偶数项的系数相等. D．的展开式中系数为有理数的项共有四项. 【答案】D 【分析】根据二项展开式的性质及通项公式逐项判断即可. 【详解】由，可知展开式共7项，故A错误； 展开式中的第四项为，的展开式中的第四项为，相同，故B错误； 因为展开式的通项公式为，所以第一项的系数为8，第二项的系数为，不相等，故C错误； 展开式的通项公式为，当系数为有理数时，，共四项，故D正确. 故选：D 34．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（    ） A．60 B． C．448 D． 【答案】A 【分析】先应用二项式系数相等得出，再应用通项公式应用赋值法计算求值. 【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则， 则展开式通项公式是， 令，得，∴的系数为， 故选：A. 35．（24-25高二下·全国·课后作业）已知的展开式的第5，6，7项的二项式系数依次成等差数列，且展开式的项数为偶数． (1)求的值； (2)求二项展开式中系数的绝对值最大的项． 【答案】(1) (2)第7项． 【分析】（1）根结题意，得到，即，进而求得的值； （2）由（1）求得展开式的通项为，假设二项展开式中系数绝对值最大的是第项，列出不等式组，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由二项式的展开式的第5，6，7项的二项式系数依次成等差数列， 可得，即，解得或， 又因为展开式的项数为偶数，所以. （2）解：由（1）知： 可得展开式的通项为， 假设二项展开式中系数绝对值最大的是第项， 则满足，解得， 因为，所以，即二项展开式中系数绝对值最大的项为第7项． 题型八　利用赋值法进行求有关系数和 36．（24-25高二下·江苏南京·期中）设，则的值为（    ） A．128 B．-128 C． D． 【答案】B 【分析】求出二项式展开式的通项公式，确定各项的正负，再利用赋值法求解. 【详解】依题意，的通项公式为， 则都为负数，都为正数， 因此 ，取，得， 所以. 故选：B 37．（24-25高二下·江苏苏州·期中）的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（   ） A． B．75 C．135 D．165 【答案】D 【分析】求出展开式的通项，进而求出，再利用组合计数问题求出即可. 【详解】展开式的通项， 则， 的展开式中的项为，则， 所以. 故选：D 38．（24-25高二下·新疆·阶段练习）若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用赋值法，即可求解. 【详解】令，得到， 令，得到， 则， 故选：C. 39．（2025·广东珠海·模拟预测）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先二项展开式的通项判断各项系数的正负，然后利用赋值法求出，根据二项展开式的通项求出系数即可. 【详解】由， 其展开式的通项为，， 由于，且的展开式中的次数均为偶次， 所以当为偶数时，对应项的的次数为偶次，且对应项的系数大于0， 当为奇数时，对应项的的次数为奇次，且对应项的系数小于0， 所以为正数，为负数， 由， 令，则， 则， 此时由， 其展开式的通项为，， 而的展开式的通项为，， 要使的展开式中的次数为3， 则或， 则， 故选：A． 40．（24-25高二下·安徽滁州·期中）已知的二项展开式中，前三项的二项式系数和等于46. (1)求展开式中所有项的系数和； (2)求展开式中含的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用前三项的二项式系数和求出参数，再利用赋值法求出所有项的系数和即可. （2）利用二项式定理求出指定项的系数，再写出指定项即可. 【详解】（1）因为前三项的二项式系数和等于46，所以， 即，即，所以（舍）或. 令，得， 所以展开式中所有项的系数和为. （2）由（1）知二项式为， 其二项展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中含的项为. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 计数原理 （易错必刷40题8种题型专项训练） 题型一　分类加法分布乘法计数原理 题型二　涂色问题 题型三　数字排位问题 题型四　排列的常见类型与处理方法 题型五　定序问题 题型六　分组分配问题 题型七　求展开式中的指定的项或特定项（或其系数） 题型八　利用赋值法进行求有关系数和 题型一　分类加法分布乘法计数原理 1．（22-23高二下·河北邯郸·期中）有序数对满足，且使关于的方程有实数解，则这样的有序数对的个数为（    ） A．15 B．14 C．13 D．10 2．（2023·天津·一模）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，，则下列结论正确的是（    ） A．最高处的树枝定是 B．最低处的树枝一定是 C．九根树枝从高到低不同的顺序共有种 D．九根树枝从高到低不同的顺序共有种 3．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）不透明的盒子中有红色、黄色、黑色的球各个，且这些球标有不同的编号，每次从中随机取出个，不放回，当取出相同颜色的球时，结束取球，则结束取球时，恰有种不同颜色的球被取出的取法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．（23-24高二下·山东济南·期末）大明湖是济南三大名胜之一，素有“泉城明珠”之美誉，自2017年1月1日起全面向社会免费开放.景区有东南西北4个大门，每个大门进去都有不同景致，小明从一个门进，另一个门出，则不同进出方式的种数为（    ） A．7 B．8 C．12 D．16 5．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）用0，1，2，3，…，9这十个数字． (1)可组成多少个三位数？ (2)可组成多少个无重复数字的三位数？ (3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？ 题型二　涂色问题 6．（22-23高二下·山西太原·阶段练习）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色，满足条件的涂法数有（    ）种 A．24 B．72 C．120 D．144 7．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色．如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法数为（    ）    A．240 B．300 C．420 D．480 8．（22-23高二下·湖北武汉·期末）如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（    ）    A．120 B．180 C．221 D．300 9．（24-25高二下·云南·期中）用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有 种.    10．（24-25高二下·广东广州·期中）如图，对、、、、五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有 种. 题型三　数字排位问题 11．（24-25高二下·福建福州·期中）春晚机器人秧歌表演动作流畅自然，惊艳了世界，其手臂可以向前、向后、向左、向右、向上、向下六个方向自由伸展，每接到一次方向指令，它向指定方向移动一个单位．现向机器人随机发4次方向指令，它按指令依次做了4次伸展，其手臂回到原来位置的指令共有（    ） A．216种 B．108种 C．90种 D．72种 12．（24-25高二下·福建福州·期中）如图，某种雨伞架前后两排每排4个孔，共8个孔，编号分别为1-8号．若甲、乙、丙、丁四名同学每人要放一把伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，甲、乙不放在同一排且丙、丁也不放在同一排的放法有（   ）    A．68种 B．136种 C．144种 D．152种 13．（24-25高二下·江苏·期中）毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（    ） A．96 B．84 C．72 D．48 14．（2025·江西新余·模拟预测）毕业是青春的里程碑，更是奔赴星海的启航．希望中学高三（8）班的九名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小郅与小豪两位好朋友在这九人中身高由高到低分别位居第1位与第4位，他们要求要站在同一行相邻的位置，则不同的排列方式共有（   ）种． A．200 B．300 C．400 D．600 15．（24-25高二下·安徽宿州·期中）2025年1月16日在灵璧县钟灵文化广场举办了灵璧县第四届青年音乐节，节目均由青年人自导自演，展现了灵璧青年的独特风采和灵璧城市的魅力.若音乐节共6个节目，其中2个是个人歌唱表演，2个是舞蹈表演，1个大合唱，1个乐器合奏，要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻，现确定节目顺序，则不同的排法种数为（   ） A．280 B．336 C．360 D．408 题型四　排列的常见类型与处理方法 16．（24-25高二下·广西贵港·阶段练习）在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有多少种不同的站法（   ） A．18 B．12 C．28 D．24 17．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）一场元旦联欢晚会上有3个舞蹈节目，4个歌曲节目，2个语言类节目；则3个舞蹈类节目两两不相邻的节目安排种类数为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二下·浙江湖州·阶段练习）某学校安排了A，B，C，D共4场线上讲座，其中讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法种数是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 19．（24-25高二下·河北衡水·阶段练习）某种产品的加工需要经过5道工序. (1)如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ (2)如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ (3)如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 20．（24-25高二·全国·课堂例题）已知7人站成一排．求： (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？ 题型五　定序问题 21．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）2025年春节档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《哪吒之魔童闹海》，《唐探1900》，《蛟龙行动》，《封神2》，《熊出没》，《射雕英雄传》这6部，小明和小华两位同学准备从这6部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《哪吒之魔童闹海》，则两位同学不同的选择方案种数为（   ） A．36 B．60 C．100 D．70 22．（2025·山西·二模）将1至6这六个自然数填到一个两行三列的空格内，每格填一个，要求每行中任意两个相邻数字的和为奇数，则不同的填法种数共有（   ） A．24 B．36 C．48 D．72 23．（24-25高二下·山西·期中）从人中选择人去，，三地调研，一个地方安排人另外两个地方各安排人的安排方法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 24．（24-25高二下·浙江·期中）北京时间2024年10月30日凌晨4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙．为了某次航天任务，需要选拔若干名航天员参加该次任务． (1)若本次任务需要从4名男航天员和3名女航天员中选出4人，且至少有一名女航天员，共有多少种不同的选法？（结果用数字作答） (2)若从7名航天员中选出4名航天员，分配到2个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室，共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答） (3)若从7名航天员中选出4名航天员，分配到3个不同的实验室去，每个实验室至少一名航天员，每个航天员只能去一个实验室.其中航天员甲和乙必须参加，但不能分配在同一个实验室，请问共有多少种不同的选派方式？（结果用数字作答） 25．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）高二某班准备从7名班委中（其中男生4人，女生3人）选择4人参加活动. (1)共有多少种不同选法？（结果用数字作答） (2)若要求至少有两名女生，共有多少种不同选法？（结果用数字作答） (3)若7名班委中班长和副班长两人不能同时参加该活动，则不同的选择方法有多少种？（结果用数字作答） 题型六　分组分配问题 26．（2025·江西鹰潭·二模）2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 27．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）文昌中学举行志愿者爱心活动，某社区设三个服务站，高三年级5名同学到A、B、C三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲不去A号服务点，则不同的安排方法共有（    ） A．68种 B．98种 C．100种 D．120种 28．（24-25高二下·江苏连云港·期中）3个完全相同的球（无任何差别），放入5个不同的盒子，则不同的放法种数为（   ） A．35 B．60 C．243 D．125 29．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法. (1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人； (2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人； (3)6人分配到三所学校每所学校至少一人； 30．（23-24高二下·广东广州·期中）四个不同的小球，全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中． (1)随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？ (2)四个盒都不空的放法有多少种？ (3)恰有两个空盒的放法有多少种？ (4)甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？ 题型七　求展开式中的指定的项或特定项（或其系数） 31．（23-24高二下·安徽合肥·期末）在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，奇次项（未知数的指数为奇数的项）都互不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高二下·北京延庆·期末）在的展开式中，下面关于各项的描述不正确的是（    ） A．常数项为240 B．含的项的二项式系数为15 C．各项的二项式系数和为64 D．第四项为60 33．（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）对于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．的展开式中共有6项. B．展开式中的第四项与的展开式中的第四项不同. C．的展开式中奇数项与偶数项的系数相等. D．的展开式中系数为有理数的项共有四项. 34．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（    ） A．60 B． C．448 D． 35．（24-25高二下·全国·课后作业）已知的展开式的第5，6，7项的二项式系数依次成等差数列，且展开式的项数为偶数． (1)求的值； (2)求二项展开式中系数的绝对值最大的项． 题型八　利用赋值法进行求有关系数和 36．（24-25高二下·江苏南京·期中）设，则的值为（    ） A．128 B．-128 C． D． 37．（24-25高二下·江苏苏州·期中）的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，则（   ） A． B．75 C．135 D．165 38．（24-25高二下·新疆·阶段练习）若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 39．（2025·广东珠海·模拟预测）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 40．（24-25高二下·安徽滁州·期中）已知的二项展开式中，前三项的二项式系数和等于46. (1)求展开式中所有项的系数和； (2)求展开式中含的项. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$