专题01 空间向量与立体几何（易错必刷40题8种题型专项训练）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

专题01 平面向量（易错必刷40题8种题型专项训练） 题型一　利用向量研究位置问题 题型二　利用空间向量的数量积求值 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 题型四　空间平面的共线与共面 题型五　异面直线所成的角 题型六　利用空间向量解决二面角 题型七　利用空间向量解决距离问题 题型八　利用空间向量解决线面角 题型一　利用向量研究位置问题 1．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，等边三角形的边长为，，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 2．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点是线段上的动点（不含端点）. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)当直线与平面所成角的正弦值为时，求. 3．（2025·甘肃白银·三模）如图，在四棱锥中，平面. (1)证明：. (2)求平面与平面夹角（锐角）的余弦值. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面为等腰梯形，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，求二面角的余弦值. 5．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在四棱锥中，平面，，点M在棱PC上．    (1)当M为PC上靠近点P的四等分点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成的角为45°，当M为PC的中点时，求二面角的余弦值． 题型二　利用空间向量的数量积求值 6．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 7．（2026高三·全国·专题练习）三棱柱中，，分别是，上的点，且．设． （1）用表示向量为 ； （2）若，则的长为 ． 8．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 9．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量满足，则（   ） A． B． C．0 D．1 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 11．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）若，，则（ ） A．25 B． C． D．29 12．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A． B． C．3 D． 13．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知，，且与共线，则等于（   ） A．2 B．6 C． D．9 14．（2025·福建南平·三模）已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为 ，此时 . 15．（2025·上海普陀·二模）在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为 . 题型四　空间平面的共线与共面 16．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 17．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 18．（2025高三·全国·专题练习）已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度不可能为（ ） A．1 B． C．2 D． 19．（2025·山西临汾·一模）在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 题型五　异面直线所成的角 20．（24-25高二上·云南昭通·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A．与所成角的余弦值为 B．平面与平面所成的角为 C．四点共面 D．点到平面的距离为 21．（24-25高二上·河南周口·期末）在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·安徽·期末）如图，四边形中，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，现将沿折起，当二面角的平面角大小时，直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·河北承德·期末）在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型六　利用空间向量解决二面角 25．（24-25高二上·重庆长寿·期末）在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，E为线段PB的中点，若面面ABCD，则平面PAD和平面ABCD夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高三下·河南·阶段练习）设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 28．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，为的中点，，，，，，.    (1)求平面与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 29．（2025·山西晋中·三模）如图，在四棱锥中，，，，E为棱PC的中点，且． (1)证明：平面PAD； (2)证明：平面PAD； (3)若，，且二面角的余弦值为，求AB的长． 30．（24-25高二下·福建福州·期中）已知四棱锥的底面是梯形，底面ABCD，且，．    (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 题型七　利用空间向量解决距离问题 31．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知点，平面，其中向量，则点到平面的距离是（   ） A． B． C．2 D．3 33．（24-25高三上·河南周口·期中）已知底面边长为，高为的正三棱柱的顶点均在球的表面上，则球心到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 34．（2025高三·全国·专题练习）如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：. (2)求二面角的余弦值. (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 35．（24-25高二下·安徽淮南·期中）如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若，且点到平面的距离为，求的值． 题型八　利用空间向量解决线面角 36．（24-25高二下·重庆·阶段练习）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）在直三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高二下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为的正方形，，，分别为和的中点． (1)求证：平面； (2)若已知点到平面的距离2．从条件①，条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面； 条件②：． 39．（2025·上海金山·模拟预测）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，． (1)证明：平面平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 40．（2025·江苏·三模）如图，在直三棱柱中，点在上，． (1)证明：平面； (2)若，二面角的大小为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量（易错必刷40题8种题型专项训练） 题型一　利用向量研究位置问题 题型二　利用空间向量的数量积求值 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 题型四　空间平面的共线与共面 题型五　异面直线所成的角 题型六　利用空间向量解决二面角 题型七　利用空间向量解决距离问题 题型八　利用空间向量解决线面角 题型一　利用向量研究位置问题 1．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，等边三角形的边长为，，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知及线面平行的判定证明平面，平面，再应用面面平行的判定证明结论； （2）连接交于点，连接，构建以，，为基底建立如图空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，应用向量法求出平面所成角的余弦值，进而得到正弦值. 【详解】（1）因为是等边三角形，为中点，所以，又， 由都在平面内，则， 又平面，平面，所以平面， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，且都在平面内， 所以平面平面. （2）连接交于点，连接， 在平面中，，， 所以是的中垂线，所以为中点，又，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以，，又， 以为原点，，，方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 在直角三角形中，，，所以， 所以，，，， 所以，， 设平面的一个法向量， 由（1）平面平面，所以， 取，平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为，则， 所以，故平面与平面所成角的正弦值为. 2．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，点是线段上的动点（不含端点）. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)当直线与平面所成角的正弦值为时，求. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或. 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）过作于点，连接，可证得，即是二面角的平面角，结合立体几何的图形关系，即可求得； （3）通过证明，可得是直线与平面所成角，在直角中，可求得，所以，在中，设，结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）过作于点，在等腰梯形中，，， 可得，所以，所以， 又平面为正方形，所以 又平面平面，且平面平面， 所以平面，所以， 又，，平面； 平面平面； （2）过作于点，连接， 平面，， 又，，平面，， 是二面角的平面角. 在直角中，，，得， ，二面角的平面角的余弦值为； （3）平面，平面平面， 过作于点，连接， 平面平面，平面平面，，平面， 是直线与平面所成角，， 在直角中，，，，得，， 在中，，，，，设，得， 即，解得或，即或. 3．（2025·甘肃白银·三模）如图，在四棱锥中，平面. (1)证明：. (2)求平面与平面夹角（锐角）的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）连接，利用线面垂直得到线线垂直，结合余弦定理，求得，利用勾股定理可得，再利用线面垂直的判定定理，可得平面，即可得到线线垂直； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法直接求解面面角的余弦值即可. 【详解】（1）连接，因为平面平面， 所以，又，所以. 在中，由， 所以，解得， 则，即. 因为平面平面，所以. 又平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为平面，所以平面. 又平面，所以. （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由，可得，则， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则由得， 令，得. 设平面的法向量为， 则由得， 令，得. 设平面与平面的夹角为，则. 即平面与平面的夹角的余弦值为. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面为等腰梯形，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)若为的中点，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，借助三角形全等得到，证明，，进而证明平面，再利用面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求相关点及向量的坐标，再求平面、平面的法向量，利用向量的夹角公式求二面角的余弦值即可. 【详解】（1）因为是等边三角形，所以. 如图，延长交于点，连接， 因为底面为等腰梯形，所以， 所以，故， 因为，，， 所以为的中位线，所以， 在中，，利用余弦定理可得，可得， 所以，所以， 同理可得. 又平面，，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）由（1）知以为坐标原点，以与线段的中点所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，. 设平面的法向量为， 则由得，解得， 取，则， 设平面的法向量为， 则由得，取，则. 则， 易知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 5．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在四棱锥中，平面，，点M在棱PC上．    (1)当M为PC上靠近点P的四等分点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成的角为45°，当M为PC的中点时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接OM，利用三角形相似得到，进而有，得到，再由线面平行的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PBD、平面MBD的法向量，进而求它们夹角的余弦值. 【详解】（1）如图，连接AC交BD于点O，连接OM， 因为，所以∽，所以， 因为M为PC上靠近点P的四等分点，所以． 因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，所以为与底面所成的角，所以， 因为，所以， 由题意得，又平面，所以两两垂直， 以D为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面PBD的法向量为，则， 所以，即，解得，令，则， 则， 设平面MBD的法向量为，则， 所以，即，令，则， 则， 因为，又二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为．    题型二　利用空间向量的数量积求值 6．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为， 又，，所以， 所以. 故答案为： 7．（2026高三·全国·专题练习）三棱柱中，，分别是，上的点，且．设． （1）用表示向量为 ； （2）若，则的长为 ． 【答案】 【分析】（1）根据图形，利用向量的加减数乘运算可将用表示即可； （2）利用向量数量积的运算律，根据（1）的结果计算即得. 【详解】（1）根据图形，可得 ． （2）由题设条件，可得， 由 ，故． 故答案为：① ； ② . 8．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 因为为单位向量，，， 所以， 所以， 故选：B 9．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 10．（24-25高一下·山东潍坊·期中）已知向量满足，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 所以，所以， 所以. 故选：B. 题型三　空间向量及其运算的坐标表示 11．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）若，，则（ ） A．25 B． C． D．29 【答案】B 【分析】先根据向量的加法、数乘运算法则分别求出与的坐标，再根据向量数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】已知，， 所以，， 所以， 所以 . 故选：B. 12．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】通过向量的坐标运算求出与的坐标，再利用向量的数量积公式求出两向量夹角的余弦值，进而求出正弦值，最后根据平行四边形面积公式求出面积. 【详解】已知，，，根据向量坐标运算可得，. 根据向量数量积坐标运算：可得. 根据向量模长公式：可得，. 根据向量夹角公式可得. 因为. 根据平行四边形面积公式，可得. 则邻边的平行四边形的面积为. 故选：B. 13．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知，，且与共线，则等于（   ） A．2 B．6 C． D．9 【答案】B 【分析】根据两个向量平行的性质求解即可. 【详解】因为，，且与共线，则，即. 故选：B． 14．（2025·福建南平·三模）已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 ； . 【分析】以为原点建立适当空间直角坐标系，设，利用取得最小值时，为异面直线和的公垂线段，进而得且，利用向量垂直坐标表示即可求出参数s和t，进而利用向量坐标运算即可计算求解. 【详解】由题可以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以， 当取得最小值时，为异面直线和的公垂线段， 所以此时且， 故， 所以取得最小值时，，， 所以的最小值为， 此时. 故答案为：；. 15．（2025·上海普陀·二模）在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，得出的坐标，设，根据已知列出方程，化简得出点的轨迹为球.进而结合图象即可得出点到平面的最大距离，结合体积公式即可得出答案. 【详解】    如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则有. 又， 所以. 设，则. 因为， 代入可得， 整理可得， 即在以点为球心，为半径的球上. 又的面积为， 平面到平面的距离为4， 所以到平面的最大距离为. 体积最大值为. 故答案为：. 题型四　空间平面的共线与共面 16．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 17．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用四点共面中的向量关系来求解，再利用三棱锥体积变换来求比值，从而解答问题. 【详解】如图所示， 由四点共面，且四边形为正方形， 可得， 由，，设， 可得：，即， 根据四点共面，可得， 即， 设，分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，， ，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：D. 18．（2025高三·全国·专题练习）已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度不可能为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题设条件建系，写出相关点的坐标，设,则由，可求得，利用空间两点之间距离公式和二次函数的最值求出线段长度的范围即可. 【详解】如图所示，以为原点，以,,所在直线分别为轴，轴，轴正方向， 建立空间直角坐标系，则、、、、、 .设，由点是上的动点，知，即 ，∴ ，故， ∴ 所以. 故选：A 19．（2025·山西临汾·一模）在平行六面体中，为的中点，，，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四点，，，共面可得存在实数，使，用同一组基底向量表示出，根据系数对应相等列方程组求解. 【详解】由平行六面体的特征可得，    则， 所以， 又，， 又由，，，四点共面，可得存在实数，使， 所以，解得. 故选：D. 题型五　异面直线所成的角 20．（24-25高二上·云南昭通·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A．与所成角的余弦值为 B．平面与平面所成的角为 C．四点共面 D．点到平面的距离为 【答案】C 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出可判断A；判断出为二面角的平面角，再由可判断B；取的中点，连接，判断出四边形是平行四边形可判断C；利用点到平面距离的向量求法可判断D. 【详解】以为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，则， ，， 对于A，， 所以， 所以与所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，平面平面， 又因为为等腰三角形，则即为二面角的平面角， ，故B错误； 对于C，如图2，取的中点，连接， 由正方体的性质可知， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可知： ，所以，， 四边形是平行四边形，则四点共面，故C正确； 对于D，，， 设平面法向量为， 则，即， 令，则，则， 点到平面的距离，D错误. 故选：C. 21．（24-25高二上·河南周口·期末）在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成的角的夹角公式可得，平方后利用换元法可求范围. 【详解】以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，故，， 设与所成的角为，则， 所以，令， 所以，故. 故选：B. 22．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，向量、、表示和，再利用数量积的运算律及夹角公式计算可得. 【详解】设，因为，， 所以， ， 所以， ， ， 设向量与的夹角为，则 ∴直线和夹角的余弦值为． 故选：D 23．（24-25高二上·安徽·期末）如图，四边形中，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，现将沿折起，当二面角的平面角大小时，直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，，过点作平面的垂线，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】取中点，连接，，易知为二面角的平面角， 所以，过点作平面的垂线， 以为原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 从而，，所以. 所以直线与所成角的余弦值是. 故选：D. 24．（24-25高二上·河北承德·期末）在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可. 【详解】在中，，则，即， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，于是， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 于是，得， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 题型六　利用空间向量解决二面角 25．（24-25高二上·重庆长寿·期末）在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，将二面角转化为两个半平面的法向量之间的夹角问题，再利用空间向量的夹角公式进行求解. 【详解】不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示 则，，， 设平面的一个法向量为， 因为，，所以 则，即，取，则，，故. 平面，故平面的一个法向量为， 设二面角为， 则，因为为锐角，所以， 故二面角的余弦值为. 故选：D. 26．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，E为线段PB的中点，若面面ABCD，则平面PAD和平面ABCD夹角余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，得到或其补角为平面PAD和平面ABCD夹角，建立空间直角坐标系，设，则，由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，由得到方程，求出，故的补角为平面PAD和平面ABCD夹角，作出辅助线，得到，又，求出，得到答案. 【详解】取的中点，连接， 因为底面为正方形，， 所以⊥，为等边三角形，故⊥， 所以或其补角为平面PAD和平面ABCD夹角， 过点作⊥平面，交平面于点， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，， 设，则， 因为面面，交线为，⊥，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， ， 故，解得， 所以的补角为平面PAD和平面ABCD夹角， 过点作⊥轴于点，则， 又， 其中， 所以的补角的余弦值为. 故选：A 27．（24-25高三下·河南·阶段练习）设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先设，，再根据二面角得出，最后应用，应用数量积化简结合基本不等式计算求最小值. 【详解】 设，， 在平面直角坐标系中，过作轴于点，过作轴于点， 则，，，， 折叠后即有， 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选:C. 28．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥中，为的中点，，，，，，.    (1)求平面与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点为线段的中点 【分析】（1）由题意，根据线面垂直性质与判定，建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用面面角的向量公式，可得答案； （2）利用空间向量的位置关系，根据向量坐标，建立方程，可得答案. 【详解】（1）因为， 所以，又因为为的中点， 所以与均为等腰直角三角形，所以 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，又，平面，所以平面， 在平面内，过点作，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， 所以，，设平面的一个法向量为 则，即，令，则， 平面的一个法向量为. 又因为平面的一个法向量为，所以. 设平面与平面所成角为，则. （2）假设线段上存在点，使得平面 设， 所以. 因为平面，所以， 所以，即点是线段的中点， 所以存在点，点为线段的中点. 29．（2025·山西晋中·三模）如图，在四棱锥中，，，，E为棱PC的中点，且． (1)证明：平面PAD； (2)证明：平面PAD； (3)若，，且二面角的余弦值为，求AB的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）取PD的中点，可得，，则，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）由可得，再利用线面垂直判定定理即可得证； （3）由题意计算可得，则可建立适当空间直角坐标系，再计算出平面与平面的法向量后，结合空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）如图，取PD的中点，连接，， 则，，又，， 所以，且，所以四边形ABEF为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面PAD； （2）因为，，所以， 又因为，，且、平面， 所以平面； （3）由，，可知，所以． 故PA，AB，AD两两垂直， 所以可以A为坐标原点，建立如上图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 所以，，， 设平面ABE的法向量为， 则，即，令，得，，所以， 设平面PBE的法向量为， 则，即，令，得，，所以， 设二面角的大小为（由题可知为锐角）， 则，解得， 所以AB的长为1． 30．（24-25高二下·福建福州·期中）已知四棱锥的底面是梯形，底面ABCD，且，．    (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建系，由点到面距离的向量法求即可； （2）求得平面法向量，代入夹角公式即可. 【详解】（1）连接与交于点，连接，    因为，，所以，所以． 又，故，所以． 又平面，平面， 所以平面 由已知得PD，AD，CD两两垂直， 以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，又， 故 由已知得，，，， 设平面BDM的法向量，则，， 即，取，则，，故 设点到平面MBD的距离为h，则 所以直线到平面的距离为； （2）由（1）知平面的法向量， 易知平面法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以， 所以平面与平面夹角正弦值为. 题型七　利用空间向量解决距离问题 31．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建系，由用空间向量法求点线距即可； 【详解】 以D为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图， 则，，， ，则方向的单位向量， 那么， 所以F到直线AE的距离， 故选：D． 32．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知点，平面，其中向量，则点到平面的距离是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】由点到平面距离的向量公式求解即可. 【详解】由题意可得：， 所以点到平面的距离是： . 故选：A. 33．（24-25高三上·河南周口·期中）已知底面边长为，高为的正三棱柱的顶点均在球的表面上，则球心到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】设外接圆圆心为，外接圆圆心为，则正三棱柱的外接球球心为中点， 由题意，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 因为边长为，高为， 所以，故， 故， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以，平面的法向量为， 所以到平面的距离. 故选：C 34．（2025高三·全国·专题练习）如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. (1)求证：. (2)求二面角的余弦值. (3)判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3)存在，. 【分析】（1）在平面图形中证得，取的中点，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解. 【详解】（1）在图1中，由，得，则，， 由，得，即，在图2中，， 取的中点，连接，由为的中点，得，则， 由，得，而，平面，则平面， 又平面，所以. （2）由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则，即，取，得， 设平面的法向量为，则，即，取，得. 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）假设线段上存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以，则点到平面的距离为1， 令，由（2）得，平面的法向量为， 点到平面的距离， 所以，所以线段上存在点，使得三棱锥的体积为，且. 35．（24-25高二下·安徽淮南·期中）如图，在四棱锥中．底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若，且点到平面的距离为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）连结，交于点，连结，证明，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量即可求解面面角的余弦值； （3）由（2）可得，再由求解即可. 【详解】（1）如图，连结，交于点，连结， 因为点是的中点，底面为矩形， 所以点是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）如图，以向量为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 且平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）可得，，，， ，，平面的法向量， 故， 设点与平面的距离为， 则，解得． 题型八　利用空间向量解决线面角 36．（24-25高二下·重庆·阶段练习）在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，取中点，平面即为平面再根据线面角的向量法求解即可. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 取中点，因为是棱的中点，故， 又平面，平面，则平面， 故平面即为平面 ， ， 设平面的一个法向量为，即， 令则，即为平面的一个法向量， 线面角的正弦值为. 故选：C 37．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）在直三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出答案. 【详解】设，则， 则，即， 在直三棱柱中，平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得. 直线与平面所成角为， 所以， 故直线BC与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 38．（24-25高二下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为的正方形，，，分别为和的中点． (1)求证：平面； (2)若已知点到平面的距离2．从条件①，条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面； 条件②：． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，构造平行四边形，即可证明； （2）若选择条件①，根据面面垂直，转化为线线垂直，从而建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；若选择条件②，根据等腰三角形的性质，同样可以建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角. 【详解】（1）取中点，连接，， 因为，分别为，中点， 所以，， 因为底面是正方形，为中点， 所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以，又在外，在平面内， 所以平面； （2）连接与交于点O，连接，因为是正方形，所以是，的中点， 选条件①：因为，O是AC的中点，所以， 又因为平面平面ABCD，交线是AC，所以平面ABCD， 所以，且， 又，所以，分别以OC，OD，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由已知可得，，，，，， 所以，，， 设平面MCD的一个法向量为， 则，取，，所以， 设直线与平面MCD所成的角为， 所以． 选条件②：因为，，O是，的中点，所以，， 又，所以平面ABCD，所以，又，所以，分别以OC，OD，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，以下同条件①． 39．（2025·上海金山·模拟预测）如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，． (1)证明：平面平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）先根据已知边的关系和角度，用勾股定理逆定理证，再结合面面垂直性质定理，因平面与平面垂直且交线为，得⊥平面，最后由面面垂直判定定理得证. （2）先确定直线与平面所成角为，设，用勾股定理表示相关线段长度，根据正弦值列方程求出.接着建立空间直角坐标系，根据向量关系求出坐标，进而得到相关向量坐标.最后借助向量夹角余弦公式计算即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴，∴， ∵，， 又∵，∴， 又∵，∴． （2）由（1）可知， 则为直线与平面所成的角， 令，则，，， 在中，， ∴，即， 以点C为坐标原点，分别以，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 由，得， ∴，，， 令平面的法向量为， 则，则，则， 令，则，，则， 令平面的法向量为， 则，则，则， 令，则，，则， 由已知可知二面角为锐二面角，令其大小为θ， 则， 故二面角的余弦值为． 40．（2025·江苏·三模）如图，在直三棱柱中，点在上，． (1)证明：平面； (2)若，二面角的大小为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据直棱柱的性质及线面垂直的判定定理即可得证； （2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，①中求出平面的法向量，利用向量夹角得出直棱柱的高，再由线面角的向量求法求解； ②中根据三棱锥体积求出点到平面的距离，再由向量法求距离，化简可得轨迹方程，利用轨迹方程确定轨迹为线段，即可得解. 【详解】（1）在直三棱柱中，平面ABC, 因为平面，所以 又因为，，平面， 所以平面 （2）①在直三棱柱中，平面，， 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设, 设平面的法向量， 由，取，得， 所以平面的一个法向量， 又平面的法向量， 所以，解得 所以， 所以 设与平面所成角为，则 ②因为， 所以 因为三棱锥的体积为， 所以到平面的距离为 因为在侧面上，可设, 到平面的距离为， 即轨迹方程为，而, 所以在侧面上的运动轨迹是线段， 所以的轨迹长度为. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$