清单03 概率（考点清单，知识导图+7个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

清单03 概率 （7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】条件概率 1．条件概率的概念 条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 3．条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)． 4．全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝=i＝1，2，…，n. 6.在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率． 【清单02】二项分布 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3．二项分布（若有件产品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服从二项分布的） 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【清单03】两点分布 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.（想象成扔硬币问题） 【清单04】超几何分布 超几何分布：一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为,其中，且．称分布列 0 1 … … 为超几何分布列．如果随机变量 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 服从超几何分布. 注意：若有件产品，其中件为次品，无放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服出超几何分布. 【清单05】正态分布 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线： 函数，，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示： 　 甲　　　　　　　　　乙 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)． 3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974． 4．3σ原则 通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值． 【规律方法】 1.求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为． (2)待定系数法：求出μ，σ便可． 2.正态分布下2类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个． 3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1． (2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若b<μ，则P(X<b)＝． 特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称． 【清单06】离散型随机变量的均值与方差 Ⅰ：随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 方差：．称为随机变量的方差，它反映了离散型随机变量相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，其算术平方根为随机变量的标准差，记作，方差(或标准差)越小表明的取值相对于期望越集中，否则越分散． Ⅱ： 均值与方差的性质 (1)． (2)(为常数)．（3） 两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差 (1)若X服从两点分布，则，． (2)若X服从二项分布，即，则． (3)若X服从超几何分布，即时， ． 方法总结：　求离散型随机变量的均值、方差的基本步骤： 第一步：判断取值：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值； 第二步：探求概率：利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式)等，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步：写分布列：按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质(概率总和为1)检验所求的分布列是否正确； 第四步：求期望值和方差：利用数学期望和方差的公式分别求期望和方差的值．对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望与方差公式，可加快解题速度． 【清单07】二项分布之概率最值问题 Ⅰ：如果，其中，求最大值对应的值. 一般是考察与的大小关系. 因为 所以要使，则.故有 ⑴如果，则时取得最大值. ⑵如果，是不超过的正整数，则当和时，取得最大值. （3）如果是不超过的非整数，则当（注意表示不超过的最大整数）时取得最大值. Ⅱ：方法二 【考点题型一】条件概率的求算 技巧：规律方法　利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 【例1】暑假期间，甲､乙､丙､丁四名大学生到某科研单位的第一､二､三这三个科室实习，每个科室至少有一人实习，且每人只到一个科室实习.在甲在第一科室实习的条件下，甲与乙不在同一科室实习的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值. 【变式1-4】（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）（i）对于事件，，，当时，求证：； （ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率. 【考点题型二】全概率公式 技巧：全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时， 我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 【例2】2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【变式2-1】已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高一、高二年级学生的近视率分别为25%，35%．若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为40%，则高三年级学生的近视率为（   ） A．54.5% B．52.5% C．50.5% D．50.25% 【变式2-2】已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（    ） A．0.42 B．0.46 C．0.51 D．0.62 【变式2-3】甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛的结果相互独立．为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择： 方案一：规定每局比赛的胜方得1分，败方得0分，则首次比对手高两分的一方获胜． 方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜． (1)若，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率． (2)若，为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由． 附：当0 < q < 1时，． 【变式2-4】小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 【考点题型三】贝叶斯公式 技巧：贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝ i＝1，2，…，n. 【例3】随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】假设你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%. (1)如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ (2)如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ 【变式3-4】春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 【考点题型四】离散型随机变量的分布列 技巧：规律方法　求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列． 【例4】随机变量的分布列如图，（1）若，则 ；（2）若，则 （填“>”、“=”、“<”） 0 3 【变式4-1】已知三个正整数的和为9，用表示这三个数中最小的数，则 ． 【变式4-2】“政府送温暖，老人有饭吃”．近年来，我国各级政府重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区创建了“幸福大食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．据统计“幸福大食堂”2025年1月份共为1600名老人提供了午餐服务，其中好评有1200位老人，其余均为非好评．为了提升菜品品质，该食堂更换了厨师，更换厨师后该食堂2025年2月份为4000名老人提供了午餐服务，其中好评有3200位老人，其余均为非好评． 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 (1)完成上面：列联表，并依据小概率值的的独立性检验，判断该食堂的好评率是否与更换厨师有关联； (2)现从更换厨师前的评价中，用比例分配的分层抽样方法做抽样调查，拟从好评和非好评两层中抽取8位老人，再从这8位老人中随机抽取3位，记抽取的3位老人中好评的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 【变式4-3】近年来，直播带货成为电商销售的新模式，某质检部门为了评估某知名主播直播间所售商品的质量，随机抽取了该直播间近3个月销售的600件产品，统计了它们的用户评分（1~5分）和退货率，见下表： 评分 1分 2分 3分 4分 5分 评分分布 5% 10% 20% 45% 20% 退货率 80% 50% 20% 5% 2% (1)从600件商品中随机抽取1件，求该商品评分不低于4分且未被退货的概率； (2)假设该直播间每售出1件商品，若未退货则盈利50元，若退货则亏损30元（含运费和售后成本）.设单件商品的盈利为随机变量，求的分布列和期望，并据此判断该直播间的销售模式是否可持续； (3)质检部门规定，若直播间的商品评分的中位数低于4分，则需要整改.计算该直播间评分的中位数，根据结果判断是否需要整改，若将评分标准改为“众数低于4分”，结论是否改变?解释这种修改对商家可能产生的影响. 【变式4-4】花旗银行于2024年12月发布的《人工智能机器人的崛起》报告，深入剖析了AI机器人领域的技术突破、市场机遇与挑战．这份报告传递了一个清晰的信号：AI机器人正在从实验室和工厂加速走向我们的日常生活，预计到2035年将有13亿台，2050年更将达到40亿台．某人工智能公司先后共开发七款人工智能类产品（代码x为1~7），其综合评分y如下表所示： 代码x 1 2 3 4 5 6 7 综合评分y（单位：分） 5.8 6.6 7.2 8.8 9.6 10.4 11.8 (1)求这七款人工智能类产品综合评分的40%分位数； (2)根据表中的数据，可推断出变量y与x之间具有线性相关关系，请预测该公司即将研发成功的第八款人工智能类产品的综合评分； (3)把综合评分不超过8分的人工智能类产品叫做“初级品”，从已开发的七款人工智能类产品中任取2款，X表示取到“初级品”的个数，求X的分布列和数学期望． 参考数据：． 参考公式：回归直线方程，其中． 【考点题型五】正态曲线的图像的应用 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点： 一是对称轴为x＝μ， 二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式． 【例5】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知随机变量服从正态分布，下列结论中正确的是（   ） A． B．当时， C． D．随机变量落在与落在的概率相等 【变式5-2】已知随机变量，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【变式5-3】设随机变量，若. (1)求c的值； (2)若，求. 【变式5-4】设，试求： (1)； (2)． 【考点题型六】利用正态分布的对称性求概率 技巧：规律方法　利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1， 故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ] 内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 【例6】已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．16 D． 【变式6-1】若随机变量，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式6-2】已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【变式6-3】某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格： 工作强度指数 人数 10 81 9 名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者 (1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比； (2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且． ①若落在和落在内的概率相等，求的值； ②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望． 【变式6-4】某生物研究小组准备探究某地区棉花长绒分布规律，据统计该地区棉花有，个品种，且这两个品种的种植数量大致相等，记种棉花和种棉花的绒长（单位：）分别为随机变量，，其中服从正态分布，服从正态分布. (1)从该地区的棉花中随机采摘一朵，求这朵棉花的绒长在区间的概率； (2)记该地区棉花的绒长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（1）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）； (3)在（2）的条件下，从该地区的棉花中随机采摘3朵，记这3朵棉花中绒长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.参考数据：若，则，，. 【考点题型七】正态分布的实际应用 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值， 这在统计学中称为3σ原则. 【例7】某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（    ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 【变式7-1】某工厂5月份生产5000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，已知，则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为（    ） A．4400 B．4500 C．4600 D．4900 【变式7-2】天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立． (1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）； (2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差． 参考数据：若，则，，． 【变式7-3】高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望及方差．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【变式7-4】冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 概率 （7个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】条件概率 1．条件概率的概念 条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 3．条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1； (2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)． 4．全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 5．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝=i＝1，2，…，n. 6.在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率． 【清单02】二项分布 1．n重伯努利试验的概念 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验具有如下共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 3．二项分布（若有件产品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服从二项分布的） 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 【清单03】两点分布 两点分布：是很简单的一种概率分布，其实验结果只有两种可能，且概率和为1；两点分布列又称分布列或佰努利分布列；两点分布能清晰的反映出事件的正反两面.两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的意见产品是否为正品，新生儿的鉴定，投篮是否命中等.（想象成扔硬币问题） 【清单04】超几何分布 超几何分布：一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品数，则事件发生的概率为,其中，且．称分布列 0 1 … … 为超几何分布列．如果随机变量 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 服从超几何分布. 注意：若有件产品，其中件为次品，无放回地任意抽取件，则其中恰有的次品件数是服出超几何分布. 【清单05】正态分布 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线： 函数，，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示： 　 甲　　　　　　　　　乙 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)． 3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974． 4．3σ原则 通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值． 【规律方法】 1.求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为． (2)待定系数法：求出μ，σ便可． 2.正态分布下2类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个． 3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1． (2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若b<μ，则P(X<b)＝． 特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称． 【清单06】离散型随机变量的均值与方差 Ⅰ：随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝为随机变量X的均值或数学期望． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3．离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 方差：．称为随机变量的方差，它反映了离散型随机变量相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，其算术平方根为随机变量的标准差，记作，方差(或标准差)越小表明的取值相对于期望越集中，否则越分散． Ⅱ： 均值与方差的性质 (1)． (2)(为常数)．（3） 两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差 (1)若X服从两点分布，则，． (2)若X服从二项分布，即，则． (3)若X服从超几何分布，即时， ． 方法总结：　求离散型随机变量的均值、方差的基本步骤： 第一步：判断取值：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值； 第二步：探求概率：利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式)等，求出随机变量取每个值时的概率； 第三步：写分布列：按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质(概率总和为1)检验所求的分布列是否正确； 第四步：求期望值和方差：利用数学期望和方差的公式分别求期望和方差的值．对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望与方差公式，可加快解题速度． 【清单07】二项分布之概率最值问题 Ⅰ：如果，其中，求最大值对应的值. 一般是考察与的大小关系. 因为 所以要使，则.故有 ⑴如果，则时取得最大值. ⑵如果，是不超过的正整数，则当和时，取得最大值. （3）如果是不超过的非整数，则当（注意表示不超过的最大整数）时取得最大值. Ⅱ：方法二 【考点题型一】条件概率的求算 技巧：规律方法　利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 【例1】暑假期间，甲､乙､丙､丁四名大学生到某科研单位的第一､二､三这三个科室实习，每个科室至少有一人实习，且每人只到一个科室实习.在甲在第一科室实习的条件下，甲与乙不在同一科室实习的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的公式和性质计算即可. 【详解】记事件为“甲在第一科室实习”，事件为“甲与乙不在同一科室实习”， 样本点的总数为，， 事件同时发生的情况种数为， ∴，. . 故选：C. 【变式1-1】某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（至少有一门是“美育”课程的概率）和（两门都是“美育”课程的概率），再代入公式计算. 【详解】设事件A：至少有一门是“美育”课程，事件AB：两门都是“美育”课程， 从五门课程中任选两门的选法数为种. “至少有一门是‘美育’课程”的对立事件是“两门都是‘劳动教育’课程”. 两门都是“劳动教育”课程的选法数为种. 所以至少有一门是“美育”课程的选法数为种.则. 从三个不同的“美育”课程中选两门的选法数为种，所以. 由条件概率公式，将，代入可得： . 故选：B. 【变式1-2】已知某班级的数学兴趣小组中，有男生5人，女生3人，现从这个小组中随机抽出2名学生参加同一个数学竞赛，在其中一人是男生的条件下，另一人也是男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率计算公式即可求解. 【详解】记“其中一人是男生”，“另一人也是男生”， 则， 故选：C 【变式1-3】某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20，每局比赛，棋手胜加10分；平局不得分；棋手负减10分.当棋手总分为0时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为、、，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，棋手每胜1局，获奖5千元.记局后比赛终止且棋手获奖1万元的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）两局后比赛终止有两种情况：两胜达到 30 分或两负达到 0 分，利用相互独立事件概率公式计算； （2）先求出 3 局后比赛终止的概率以及 3 局后挑战成功的概率，再利用条件概率公式计算； （3）根据获奖金额确定胜的局数，再结合比赛终止条件得到比赛局数与胜、负局数的关系，从而得出概率表达式，进而求最大值. 【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 【变式1-4】（1）甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和丙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是.请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）（i）对于事件，，，当时，求证：； （ii）若某同学做如下摸球试验：一个袋子中有10个大小完全相同的小球，其中黑球7个，白球3个，每次从袋子中随机摸出1个球，且摸出的球不再放回.若该同学摸球三次，求三次都摸到白球的概率. 【答案】（1）丙投篮水平较高，理由见解析；（2）（i）证明见解析（ii） 【分析】（1）设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、，根据所给条件得到方程组，求出、、，即可判断； （2）（i）根据条件概率公式证明即可；（ii）记事件“第次摸到白球”为，结合（i）的公式求出，即可得解. 【详解】（1）丙投篮水平较高，理由如下： 设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、. 依题意，得， 解得， 因为，所以，丙投篮水平较高. （2）（ⅰ）因为，， 所以，得证. （ⅱ）记事件“第次摸到白球”为. 由题意可知，，. 由结论， 可得. 故三次都摸到白球的概率为. 【考点题型二】全概率公式 技巧：全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时， 我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 【例2】2025上海市实验学校举办体育节，为了增加体育节的趣味性，同时提高全体师生的参与热情，学校体育组购买了很多奖品，然后放入个盲盒，其中有个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为，则对任意符合题意的，，都有（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】C 【分析】利用古典概型概率公式和全概率公式，求出和，由比值确定大小关系. 【详解】设事件为“最终中奖”，事件为“一开始选中的有奖”，则， 在组织方打开无奖的盲盒后，若一开始选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 更换后， 若一开始选中的无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换后， 故， 由于风吹掉为随机吹掉，故所有个盲盒中有个奖品，且所有盲盒中有奖品的概率相等，， 因此，故. 故选：. 【变式2-1】已知某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为，高一、高二年级学生的近视率分别为25%，35%．若从该校三个年级中随机抽出一名学生，该学生近视的概率为40%，则高三年级学生的近视率为（   ） A．54.5% B．52.5% C．50.5% D．50.25% 【答案】B 【分析】设事件表示“抽出一名学生，该学生近视”，事件表示“学生抽自高一年级”，事件表示“学生抽自高二年级”， 事件表示“学生抽自高三年级”，根据全概率公式列式求解. 【详解】设事件表示“抽出一名学生，该学生近视”，事件表示“学生抽自高一年级”， 事件表示“学生抽自高二年级”， 事件表示“学生抽自高三年级”， 则，，，，，， 由全概率公式， 即，解得. 故选：B. 【变式2-2】已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（    ） A．0.42 B．0.46 C．0.51 D．0.62 【答案】C 【分析】根据题意确定全概率公式中各量，再由全概率公式计算可得. 【详解】设事件B为“选出的运动员能晋级”，为“选出的运动员是一级运动员”，为“选出的运动员是二级运动员”，为“选出的运动员是三级运动员”， 则，，， 又根据题意可得，，， ∴由全概率公式可得： ， ∴任选一名运动员能够晋级的概率为0.51. 故选：C. 【变式2-3】甲乙二人进行比赛，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛的结果相互独立．为决出最终获胜的一方，有以下两种方案可供选择： 方案一：规定每局比赛的胜方得1分，败方得0分，则首次比对手高两分的一方获胜． 方案二：首次连胜两局比赛的一方获胜． (1)若，且采用方案一，求第四场比赛结束时恰好分出胜负的概率． (2)若，为使甲获胜的概率更大，则应该选择哪种比赛方案？请说明理由． 附：当0 < q < 1时，． 【答案】(1) (2)方案二，理由见解析 【分析】（1）根据题意，列出满足题意的所有事件，根据概率的加法公式即可求解； （2）根据概率公式分别求得选方案一和方案二时甲获胜的概率，作商比较大小即可求解． 【详解】（1）第四场结束恰好分出胜负对应的事件为： ：甲贏第1，3，4局，乙赢第2局， ：甲赢第2，3，4局，乙赢第1局， ：乙赢第1，3，4局，甲赢第2局， ：乙赢第2，3，4局，甲赢第1局， 对应概率：； （2）设事件：甲最终获胜，事件：甲乙在前两局结束后得分相同． 记使用方案一，二时甲胜出的概率分别为． 对于方案一，根据条件概率公式： ， 因为每场比赛的结果相互独立，所以在前两局甲，乙各胜出一局达到同分的条件下，甲从第三局开始出现优先超过乙两分的概率恰为，即， 故， 从而． 对于方案二，甲最终获胜对应的事件只可能是甲乙相互获胜且最后甲连胜两局，即每局胜者按照“甲乙甲乙…甲乙甲甲”或“乙甲乙甲…乙甲甲”的规律． 从而甲获胜的概率 ， 显然，令， 有，即， 因为，所以 所以应选择方案二． 【变式2-4】小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 【答案】(1)，， (2) (3)的最大值为，最小值为 【分析】（1）先求得，，然后结合全概率公式可得； （2）由全概率公式即可得解； （3）首先求得，对分奇数、偶数两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）记事件“掷两颗骰子所得的点数之和大于等于10”， 则“掷两颗骰子所得的点数之和小于10”， 易得，，故 ，； （2）； （3）由（2）有，即，（，） 所以，即， 设，解得，. 所以为等比数列，公比为的等比数列， 所以，所以， 当n为偶数时，，由于单调递减， ∵，∴最大值为； 当n为奇数时，，由于单调递增， ∵，∴最小值为； 综上，的最大值为，最小值为. 【考点题型三】贝叶斯公式 技巧：贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝ i＝1，2，…，n. 【例3】随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解概率即可. 【详解】设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”， 由题意可知：，，，， 则，， 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是． 故选：B 【变式3-1】随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件设出事件，并根据全概率公式，贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件为选择文心一言，事件为选择豆包，事件为选择DeepSeek，事件为报告有误， ，，，， 所有， . 故选：C 【变式3-2】有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的，事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品，利用贝叶斯公式可求得的值. 【详解】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的， 事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品， 则，，， ，，， 由贝叶斯公式可得. 因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为. 故选：C. 【变式3-3】假设你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%. (1)如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ (2)如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求得结果. （2）根据全概率公式以及贝叶斯公式即可求得结果. 【详解】（1）设事件A为“ta喜欢你”，事件B为“第一次能约出来”，则 又因为ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%，故, 根据全概率公式可得, 则根据贝叶斯公式：, （2）设事件C为“第二次能约出来”,设事件D为“crush连着两次都能约出来”， 因为第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.故, 根据全概率事件, 而事件,则,, 根据全概率公式：, 根据贝叶斯公式：. 【变式3-4】春季是万物复苏的季节，也是流感病毒活跃的高发期．已知在甲，乙，丙三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． (1)求这个人患流感的概率； (2)设是一组两两互斥的事件，，且，对任意的事件，证明：； (3)若此人患流感，则他来自于哪个地区的可能性最小． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)此人来自甲地区的可能性最小 【分析】（1）应用全概率公式计算求解； （2）应用条件概率公式计算证明； （3）应用贝叶斯公式计算求解. 【详解】（1）设“选取的人患流感”，用，分别表示选取的人来自甲，乙，丙地区， 则， 所以 由全概率公式得 （2）根据乘法公式 条件概率得 所以； （3）由（2）知： ， ， ， 所以， 答：此人来自甲地区的可能性最小 【考点题型四】离散型随机变量的分布列 技巧：规律方法　求离散型随机变量分布列的步骤 (1)首先确定随机变量X的取值； (2)求出每个取值对应的概率； (3)列表对应，即为分布列． 【例4】随机变量的分布列如图，（1）若，则 ；（2）若，则 （填“>”、“=”、“<”） 0 3 【答案】 6 【分析】（1）先根据分布列的性质和期望的概念确定的值，再求随机变量的方差. （2）结合，分别表示出与，用作差法比较其大小. 【详解】（1）若，则. 所以. （2）易知. 因为， . 若，则的分布列为： 0 3 所以， . 岁 因为，所以，所以. 故答案为：6； 【变式4-1】已知三个正整数的和为9，用表示这三个数中最小的数，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意，可知可能取值为1，2，3，用隔板法，求出排法总数有种，依次求得时的概率，利用期望公式计算即可. 【详解】设这三个正整数分别为，则由题意可得， 故随机变量可能取值为1，2，3，用隔板法，可知排法总数有种. 当时，可分两种情况：① 三个数中，只有一个1，有种；② 三个数中有两个1，有种， 故； 当时，可分两种情况：①三个数中只有一个2，有种，② 三个数中有两个2，有种， 故； 当时，只有一种情况，即. 故. 故答案为：. 【变式4-2】“政府送温暖，老人有饭吃”．近年来，我国各级政府重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区创建了“幸福大食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．据统计“幸福大食堂”2025年1月份共为1600名老人提供了午餐服务，其中好评有1200位老人，其余均为非好评．为了提升菜品品质，该食堂更换了厨师，更换厨师后该食堂2025年2月份为4000名老人提供了午餐服务，其中好评有3200位老人，其余均为非好评． 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 (1)完成上面：列联表，并依据小概率值的的独立性检验，判断该食堂的好评率是否与更换厨师有关联； (2)现从更换厨师前的评价中，用比例分配的分层抽样方法做抽样调查，拟从好评和非好评两层中抽取8位老人，再从这8位老人中随机抽取3位，记抽取的3位老人中好评的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)列联表见解析，该食堂的好评率和更换厨师有关联 (2)分布列见解析， 【分析】（1）先结合题意求出列联表，再求出进行独立性检验即可. （2）先依据抽样调查的性质判断可能的取值，再求出每个取值对应的概率，最后求出分布列和数学期望即可. 【详解】（1）由题可得列联表， 好评 非好评 合计 更换厨师前 400 1600 更换厨师后 3200 800 4000 合计 4400 5600 记零假设为：该食堂的好评率和更换厨师无关． 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该食堂的好评率和更换厨师有关联，此推断犯错误的概率不超过． （2）由题可知，抽样调查的8位老人中， 好评的人数为人，非好评的人数为2人，则的可能取值为． 而；；； 从而X的分布列为： x 1 2 3 P 则数学期望． 【变式4-3】近年来，直播带货成为电商销售的新模式，某质检部门为了评估某知名主播直播间所售商品的质量，随机抽取了该直播间近3个月销售的600件产品，统计了它们的用户评分（1~5分）和退货率，见下表： 评分 1分 2分 3分 4分 5分 评分分布 5% 10% 20% 45% 20% 退货率 80% 50% 20% 5% 2% (1)从600件商品中随机抽取1件，求该商品评分不低于4分且未被退货的概率； (2)假设该直播间每售出1件商品，若未退货则盈利50元，若退货则亏损30元（含运费和售后成本）.设单件商品的盈利为随机变量，求的分布列和期望，并据此判断该直播间的销售模式是否可持续； (3)质检部门规定，若直播间的商品评分的中位数低于4分，则需要整改.计算该直播间评分的中位数，根据结果判断是否需要整改，若将评分标准改为“众数低于4分”，结论是否改变?解释这种修改对商家可能产生的影响. 【答案】(1) (2)分布列见解析，，可持续 (3)中位数为4，不需要整改；结论不变，这种修改会使商家更关注获得最多评分的质量水平 【分析】（1）根据全概率公式计算即可； （2）判断X的取值为50，－30，求出对应的概率，用期望公式求出期望，依据期望的正负判断是否可持续； （3）中位数为第300个和第301个评分的均值，计算得中位数为4，不需要整改，并通过众数的概念解释影响即可. 【详解】（1）设“评分不低于4分且未被退货”，“评分为分”，，“没被退货”， 则； （2）X的取值为50，－30， ， ， 分布列为： X 50 -30 P 0.8435 0.1565 ， ，可持续； （3）评分为1分、2分、3分、4分的累计频数分别为30，90，210，480， 第300个和第301个评分均为4分，故中位数为， 不低于4分，不需要整改. 众数也为4，所以改成众数后结论不变，也不需要整改. 众数并未告诉它比别的数值多的程度，这种修改会使商家更关注获得最多评分的质量水平. 【变式4-4】花旗银行于2024年12月发布的《人工智能机器人的崛起》报告，深入剖析了AI机器人领域的技术突破、市场机遇与挑战．这份报告传递了一个清晰的信号：AI机器人正在从实验室和工厂加速走向我们的日常生活，预计到2035年将有13亿台，2050年更将达到40亿台．某人工智能公司先后共开发七款人工智能类产品（代码x为1~7），其综合评分y如下表所示： 代码x 1 2 3 4 5 6 7 综合评分y（单位：分） 5.8 6.6 7.2 8.8 9.6 10.4 11.8 (1)求这七款人工智能类产品综合评分的40%分位数； (2)根据表中的数据，可推断出变量y与x之间具有线性相关关系，请预测该公司即将研发成功的第八款人工智能类产品的综合评分； (3)把综合评分不超过8分的人工智能类产品叫做“初级品”，从已开发的七款人工智能类产品中任取2款，X表示取到“初级品”的个数，求X的分布列和数学期望． 参考数据：． 参考公式：回归直线方程，其中． 【答案】(1)7.2 (2)12.6 (3)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）利用百分位数的定义求解即可； （2）根据统计表中数据结合公式即可求出线性回归方程，将代入线性回归方程即可预测该公司即将研发成功的第八款人工智能类产品的综合评分. （3）由题意，已开发的七款人工智能类产品中“初级品”为三款，利用超几何分布可求得分布列与数学期望. 【详解】（1）由， 得这七款人工智能类产品综合评分的分位数为7.2． （2）由题知，，， 所以， 所以关于的回归方程为， 当时，， 即预测该公司即将研发成功的第八款人工智能类产品的综合评分为； （3）由题意，已开发的七款人工智能类产品中“初级品”为三款， 因此从已开发的七款人工智能类产品中任取2款，取到＂初级品＂的个数的值可能为0，1，2， 则， 因此的分布列如下： 0 1 2 所以． 【考点题型五】正态曲线的图像的应用 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点： 一是对称轴为x＝μ， 二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式． 【例5】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的正态曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于，随机变量服从正态分布，且， 所以随机变量的方差，故错误； 对于，根据给定的正态分布密度曲线图象，可得，， 所以，故正确； 对于，根据正态分布密度曲线图象，可得时随机变量对应的曲线与轴围成的面积小于时随机变量对应的曲线与轴围成的面积， 所以，故错误； 对于，根据正态分布密度曲线图象，可得，， 即，所以D错误. 故选：. 【变式5-1】已知随机变量服从正态分布，下列结论中正确的是（   ） A． B．当时， C． D．随机变量落在与落在的概率相等 【答案】D 【分析】由正态分布的对称性可得A错误，D正确；由方差的性质可得B错误；由正态分布期望的表示可得C错误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，由正态分布密度曲线可知，故C错误； 对于D，由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与落在的概率相等，故D正确． 故选：D． 【变式5-2】已知随机变量，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性得到，进而建立方程，求解出，再利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为正态分布曲线关于对称，所以， 因为，， 所以，即，解得或（舍去）， 由正态分布的性质得，故B正确. 故选：B. 【变式5-3】设随机变量，若. (1)求c的值； (2)若，求. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正态分布的对称性，可得解； （2）根据正态分布对称性，可得，可得解 【详解】（1）由题意，随机变量，且 由正态分布的对称性可知， 故c的值为2. （2）由于，因此，， 故 【变式5-4】设，试求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用正态分布曲线的对称性分别求解. 【详解】（1）， （1） （2）， 【考点题型六】利用正态分布的对称性求概率 技巧：规律方法　利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1， 故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ] 内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解． 【例6】已知随机变量，且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．16 D． 【答案】B 【分析】由正态分布的对称性求得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意正态分布均值，结合对称性可知：，可得，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以最小值为8. 故选：B 【变式6-1】若随机变量，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由正态分布的对称性有，再应用“1”的代换和基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，即的最小值为1. 故选：C 【变式6-2】已知随机变量服从正态分布，若，，则（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【分析】利用正态分布曲线的性质，再根据条件，即可求出结果. 【详解】解析：由已知得正态曲线关于直线对称，， ，解得， 故选：C． 【变式6-3】某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格： 工作强度指数 人数 10 81 9 名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者 (1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比； (2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且． ①若落在和落在内的概率相等，求的值； ②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)①；②分布列见解析，. 【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可. （2）应用，由二项分布分别求出分布列及计算数学期望. 【详解】（1）由题意得：，，，， 所以，， 所以. 所以事件发生的条件下事件发生的似然比为. （2）①已知，且，落在和落在内的概率相等， 根据正态分布的对称性，. ②因为，所以从一线工作者中抽1人为轻压力工作者的概率为：. 所以从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数，即： 的可能取值为： 且，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 且. 【变式6-4】某生物研究小组准备探究某地区棉花长绒分布规律，据统计该地区棉花有，个品种，且这两个品种的种植数量大致相等，记种棉花和种棉花的绒长（单位：）分别为随机变量，，其中服从正态分布，服从正态分布. (1)从该地区的棉花中随机采摘一朵，求这朵棉花的绒长在区间的概率； (2)记该地区棉花的绒长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（1）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）； (3)在（2）的条件下，从该地区的棉花中随机采摘3朵，记这3朵棉花中绒长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.参考数据：若，则，，. 【答案】(1)； (2)，． (3)分布列见解析，期望为. 【分析】（1）根据正态分布的对称性计算即可； （2）首先求得，再根据（1）得到方程组，解出即可； （3）利用二项分布的模型即可得到其分布列，再计算其期望即可. 【详解】（1）记这朵棉花的线长为． 因为A种棉花和种棉花的个体数量大致相等，所以这朵棉花是A种还是种的可能性是相等的． 所以． （2）由于两种棉花的个体数量相等，，的方差也相等， 根据正态曲线的对称性，可知， 由（1）可知得． （3）设棉花的绒长为，则， 由题有，所以， 因此的分布列为 0 1 2 3 . 【考点题型七】正态分布的实际应用 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值， 这在统计学中称为3σ原则. 【例7】某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（    ） 附：，，. A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格 【答案】B 【分析】利用正态分布的性质即可求解. 【详解】由题得，，所以，， ，， 因为，， 所以， 根据比例成绩大于分为优秀， 因为， 根据比例成绩在到之间的为良好， ， 根据比例成绩在到之间的为合格， ， 根据比例成绩小于分为基本合格， 因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好. 故选：B. 【变式7-1】某工厂5月份生产5000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，已知，则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为（    ） A．4400 B．4500 C．4600 D．4900 【答案】B 【分析】由已知，可得，则，则可求得该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数. 【详解】因为灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布，且， 所以， 所以， 则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为 个， 故选：B. 【变式7-2】天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利地完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经调研，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布），航天员在此项指标中的要求为．为了宣传我国航天事业取得的巨大成就，某校特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动，共有307名学生参加了这次模拟选拔活动．这些学生首先要进行身体指标的筛查，筛查合格的学生再进行另外4个环节选拔．假设学生通过另外4个环节的概率依次为，，，，且每个环节的选拔相互独立． (1)估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数（四舍五入到个位）； (2)如果符合“”这个指标的学生，继续进行另外4个环节的选拔，求最终通过学校航天员选拔活动的人数的方差． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）利用正态分布密度曲线的性质先求，再求人数. （2）利用二项分布的方差公式求方差. 【详解】（1）. 因为， 所以估计这307名学生中符合“”这个指标的学生人数为7. （2）学生符合“”这个指标，进行另外4个环节的选拔且能通过的概率为：， 由题意，，所以. 【变式7-3】高中生坚持跑操有利于增强体质．某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有的学生每月平均坚持跑操的次数超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到“及格”等级的概率为，而每月平均坚持跑操的次数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为． (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学生中抽取2名学生，记为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求随机变量的分布列和数学期望． (3)经统计：该校学生综合体测得分近似服从正态分布，若得分，则综合体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立．现从该校所有学生中抽取40名学生，记为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求的数学期望及方差．（结果四舍五入保留整数） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，， 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)数学期望为6，方差为5 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式计算；（2）利用超几何分布求分布列，利用期望定义计算期望；（3）利用正态分布求得 ，得到，然后利用二项分布的期望公式和方差公式计算. 【小题1】事件“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超过40次”， 则“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级” ， 由全概率公式： ， ∴从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率为； 【小题2】的可能取值为0，1，2 ， ， ，， ∴的分布列为： 0 1 2 ； 【小题3】由题意得，， ， ，， ∴的数学期望为6，方差为5. 【变式7-4】冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼． (1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列 (2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率； (3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)高二年级学生体能检测合格 【分析】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解； （2）利用条件概率公式即可求解； （3）利用正态分布的区间即可求解. 【详解】（1）由题意的可能取值为， 所以， 所以的分布列为 1 2 （2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”， 所以， 所以， ， 所以； （3）由已知有，所以， 所以， 所以高二年级学生体能检测合格. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$